Gjennomgang av deler av kapittel 6, 7, 8 og 10 i
Marshall & Plumb (2008)
Av Helge Drange
Geofysisk institutt, Universitetet i Bergen
GEOF110 vår 2017, 7. mars 2017.
Vennligst gi et ord om feil, mangler, ønsker etc. til [email protected]
Tenk på miljøet – unngå unødvendige utskrifter!
7. mars 2017
1
Innhold
1 Bakgrunn
1.1 Fluid/fluider . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Bevegelsen til hav og atmosfære . . . . . . . . .
1.3 (i) Differensiert oppvarmet . . . . . . . . . . . .
1.4 (iii) Hydrodynamisk væske . . . . . . . . . . .
1.5 (ii) Væskens lagdeling . . . . . . . . . . . . . .
1.6 (iv) Roterende koordinatsystem . . . . . . . . .
1.7 (v) De primitive ligningene . . . . . . . . . . .
1.7.1 Bevaring av masse og bevegelsesmengde
1.7.2 Tilleggsligninger for atmosfæren . . . .
1.7.3 Tilleggsligninger for havet . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
6
6
6
6
7
7
8
8
9
2 Utledning og tolkning
2.1 Den totalderiverte av u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tidsderivert av posisjonsvektor i et roterende koordinatsystem .
2.3 Totalderivert i et roterende koordinatsystem . . . . . . . . . . . .
2.4 Utledning av fiktive akselerasjoner i et roterende koordinatsystem
2.5 Jordens rotasjonsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Tolkning av bevegelsesligningens ledd . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Egenskaper til Coriolisaksakselerasjonen −2Ω × u . . . . . . . . .
2.7.1 Coriolisleddet utfører ikke arbeid . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Coriolisakselerasjonen på komponentform . . . . . . . . .
2.7.3 Coriolisakselerasjonen på forenklet form . . . . . . . . . .
2.8 Egenskaper til sentrifugalakselerasjonen −Ω × (Ω × r) . . . . . .
2.9 Sentrifugalakselerasjonen på komponentform . . . . . . . . . . .
2.10 Sentrifugalakselerasjonen som del av gravitasjonsleddet . . . . . .
2.11 Derivasjon i et polarkoordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.1 Polare koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.2 Polare kulekoordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
10
10
12
14
15
15
15
16
16
18
18
18
19
19
19
21
3 Forenklinger og anvendelser
3.1 Avstander på en kuleflate . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Skalaanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Geostrofisk balanse1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Rossbytall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Hydrostatisk balanse . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Geostrofisk balanse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Eksempel, geostrofisk balanse . . . . . . . . . . . . .
3.4 Geostrofisk balanse i trykk-kordinater . . . . . . . . . . .
3.5 Tolkning av geostrofisk balanse i trykk-koordinater . . . .
3.5.1 (∂z/∂x)p = konst < 0, (∂z/∂y)p = 0 og f > 0 . . .
3.5.2 (∂z/∂x)p = 0, (∂z/∂y)p = konst < 0 og f > 0 . . .
3.5.3 Eksempel, en synoptisk værsituasjon, 23. februar 2009
3.6 Termalvind, generelt uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Termalvind for atmosfæren i trykk-koordinater . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
22
23
23
23
24
24
24
25
27
27
27
27
29
30
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 For gradient vind balanse, se seksjon 4.5 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K.
Smith, Version: December 11, 2007.
2
3.8
3.9
Termalvinduttrykket integrert mellom to isobarer . . . . . . . . . . . . . . .
Tolkning av termalvind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.1 Sammenheng mellom geostrofisk vind og termalvind . . . . . . . . .
3.9.2 Orientering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.3 ∇p T = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.4 ∇p T = konst 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.5 (∂T /∂y)p = konst < 0, (∂T /∂x)p = 0 og f > 0 . . . . . . . . . . . .
3.9.6 (∂T /∂y)p = konst > 0, (∂T /∂x)p = 0 og f < 0 . . . . . . . . . . . .
3.9.7 (∂T /∂x)p = konst > 0, (∂T /∂y)p = 0 og f > 0 . . . . . . . . . . . .
3.9.8 Kald og varm adveksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.9 Idealisert eksempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.10 Eksempel basert på klimatologi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.11 Sammenheng mellom temperatur og avstand mellom to isobarflater .
3.9.12 Anvendelse av trykk- og høydegradient . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.13 Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med kald kjerne . . . . . . . .
3.9.14 Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med varm kjerne . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
31
31
31
31
31
32
32
32
32
34
34
36
38
39
39
4 Energioverføring i atmosfæren
4.1 Spinnsatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Atmosfærens spinn i sonal retning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Eksempel, verdier for atmosfærens spinn i sonal retning . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Eksempel, sammenheng mellom spinnsatsen og sonal komponent av momentumligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Oppdriftsfrekvens/Brunt-Väisälä frekvensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Redusert gravitasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Margules sammenheng2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Rossbys tilpasningsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Venstre side av (171) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Høyre side av (171) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Rossby deformasjonsradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Frigjøring av potensiell energi3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Potensiell energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Beregning av potensiell energi for en tolagsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Kinetisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Kinetisk energi uttrykt med termalvind i en tolagsmodell . . . . . . . . . . . . .
39
39
41
42
5 Vinddrevet havsirkulasjon
5.1 Ekman teori4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Horisontal massetransport i Ekman-laget . . . . . . .
5.1.2 Transport gjennom nedre grenseflate på Ekman-laget
5.1.3 Respons av Ekman-pumping under Ekman-laget . . .
57
58
58
58
60
2 Se
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
42
42
44
46
47
48
49
49
50
53
54
56
56
også seksjon 5.2 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, 2007
3 Se også seksjon 9.1–9.3 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version:
December 11, 2007.
4 Se også seksjon 8.6 i Introduction to Geophysical Fluid Dynamics av Benoit Cushman-Roisin og Jean-Marie
Beckers (2010), og seksjon 5.3 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version:
December 11, 2007.
3
5.1.4
5.2
Meridional hastighet ved Ekman-pumping forklart med Taylor-Proudman
teoremet5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sverdrupbalanse6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Eksempel, sammenheng mellom Ekman- og Sverdrup-teori . . . . . . . . . . .
5.2.2 Sverdrupbalanse, geometrisk tolkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Grunnleggende funksjon- og vektoranalyse
A.1 Koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Rektangulære koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.2 Kurvelineære polare koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.3 Buelengde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.4 Polare koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.5 Polare kulekoordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Funksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Skalarfunksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5 Vektorfunksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8 Derivasjon i et fikssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8.1 Gradient til en skalarfunksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8.2 Divergensoperatoren; divergerende og konvergerende vektorfunksjon
A.8.3 Dobbeltderivert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8.4 Kurl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8.5 Relativ, absolutt og potensiell virvling . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.9 Vektoridentiteter som involverer del-operatoren . . . . . . . . . . . . . . . .
A.10 Derivasjon i et polarkoordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.10.1 Polare koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.10.2 Polare kulekoordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.10.3 Totalderivert uttrykt i kulekoordinater . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.11 Adveksjonsleddet for ren sirkulær bevegelse i to dimensjoner . . . . . . . . .
A.12 Sirkulær bevegelse og avstander på en kule . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.12.1 Fart til en sirkulær bevegelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.12.2 Avstander på en kule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.13 Taylorrekke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
65
66
66
70
70
70
70
71
71
72
72
72
72
73
73
73
74
74
74
75
75
75
76
76
76
77
80
81
82
82
83
83
B Oppdateringer vår 2016
84
C Oppdateringer vår 2015
84
D Oppdateringer vår 2013
84
E Oppdateringer vår 2012
85
F Oppdateringer vår 2011
85
5 Se
også diskusjon i seksjon 4.1-4.4 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith,
Version: December 11, 2007.
6 Se også seksjon 6.3 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, 2007.
4
G Oppdateringer vår 2010
85
5
1
1.1
Bakgrunn
Fluid/fluider
Et fluid, godkjent norsk ord, substativ, intetkjønn. Fellesbetegnelse for gasser og væsker.
All materiale i naturen kan grupperes i én av to typer; som fast stoff eller som fluid. I et fast
stoff er molekylenes bevegelse begrenset (”molecular immobility”). I et fluid er molekylene fri til
å bevege seg (”molecular mobility”). Fluider eksisterer som gass eller væske7 .
1.2
Bevegelsen til hav og atmosfære
Bevegelsen til en (i) ulikt oppvarmet, (ii) lagdelt (iii) væske på en (iv) roterende kule er ikke
tilfeldig; den følger grunnleggende (v) fysiske prinsipper eller lover.
I det følgende betrakter vi jorden, men tilsvarende gjelder for enhver roterende planet med
differensiert oppvarming.
1.3
(i) Differensiert oppvarmet
For jorden er det netto oppvarming i tropene og netto nedkjøling ved polene, se figur 5.5 i
Marshall & Plumb. Uten transport av varme fra tropene mot polene, ville temperaturen stadig
stige i tropene og stadig falle ved polene. Fra observert temperatur vet vi at dette ikke er tilfellet,
følgelig må det være varmetransport fra tropene mot høyere breddegrader på hver halvkule. Dette
er tilfellet for både atmosfære og hav.
1.4
(iii) Hydrodynamisk væske
Luft og vann er begge (hydrodynamiske) væsker. For å beskrive bevegelsen til luft og vann,
deler vi væskene opp i tenkte, materielle volumer. Materielle volumer er volumer som hele tiden
består av de samme partiklene. Summen av krefter som virker på et materielt volum bestemmer
hvordan volumet, det vil si luften og vannet, beveger seg. Newtons andre lov (N2; også kalt
momentumligningen eller ligningen for bevaring av bevegelsesmengde)
F = ma
(1)
gjelder for ethvert materielt volum på samme måte som N2 gjelder for et fallende legeme i luft
eller for en glidende klosse på et skråplan. I ligningen over er F (enhet: N) kraften som virker på
volumet, m (kg) er volumets masse og a (m s−2 ) er volumets akselerasjon.
1.5
(ii) Væskens lagdeling
Generelt vil luftens tetthet (masse per volum) avta oppover i atmosfæren og vannets tetthet
vil øke nedover havet. Tetthet betegnes ofte ρ med enhet kg m−3 . En stabil lagdeling (eller
7 Reddy, J. N. (2013), An Introduction to Continuum Mechanics, second edition, s. 242, Cambridge University
Press.
6
stratifisering) betyr at en lett væske ligger over en tyngre væske. Skulle en tung væske ligge over
en lettere væske, sier vi at væsken er ustabilt stratifisert og det vil da oppstå vertikal blanding
inntil nøytral eller stabil lagdeling framkommer.
Figur 1: Illustrasjon på en væske som er (a) stabilt, (b) nøytralt og (c) ustabilt stratifisert. En
stabil stratifisering motvirker vertikal blanding da det krever energi å løfte en tung væske og
senke en lett væske i væskesøylen. En ustabil stratifisering vil føre til vertikal blanding inntil
nøytral eller stabil stratifisering oppstår.
1.6
(iv) Roterende koordinatsystem
N2 gjelder for et ikke-akselererende koordinatsystem, ofte antatt å ligge fast eller å bevege seg med
konstant hastighet i forhold til fiksstjernene, det vil si stjerner som ligger fast på himmelen.
Jorden roterer og vi observerer vind og strøm relativt til jorden; altså i et roterende referansesystem. For å kunne bruke N2 må vi da uttrykke N2 i et roterende referanse- eller koordinatsystem.
Dette gir opphav til Coriolis- og sentrifugalakselerasjonene.
Ofte blir N2 uttrykt i et rettlinjet koordinatsystem med koordinater x, y og z, hvor x og y gjerne
betegner de horisontale retningene og z gir vertikal retning for problemet vi betrakter. Siden
jorden er tilnærmet kuleformet, er det praktisk å bruke kulekoordinatene λ, ϕ og z 0 . Her er λ
lengdegrad, ϕ er breddegrad og z 0 er vertikal retning fra jordens sentrum. Uavhengig av valg av
koordinatsystem, følger koordintsystemene høyrehåndsregelen. Alltid!
Se appendix A.1 for en kort gjennomgang av ofte brukte koordinatsystemer.
1.7
(v) De primitive ligningene
(primitiv = opprinnelig, uutviklet, som hører til et tidlig utviklingstrinn)
7
z y x Figur 2: Illustrasjon av et rettvinklet koordinatsystem i tre dimensjoner (til venstre) og et kulekoordinatsystem ofte brukt for å beskrive atmosærens og havets dynamikk (til høyre). I kulekoordinatsystemet er a = 6.37 × 106 m jordens midlere radius og z 0 = 0 er ved havets overflate, det
vil si at z 0 > 0 i atmosfæren og z 0 < 0 i havet.
- De dynamiske og termodynamiske naturlovene som beskriver atmosfærens og
havets bevegelser, undergruppe av de mer generelle Navier-Stokes ligningene
- Basert på emperi og hypoteser
- Kan ikke bevises (men er til dags dato ikke motbevist)
- Bare idealiserte tilfeller kan løses eksakt; full løsning krever numeriske metoder/modeller
Et system av koplede differesialligninger kan løses dersom antall ligninger er lik antall ukjente
og når de ukjente er beskrevet av kjente (foreskrevne) initial- og randverdier. De grunnleggende
ligningene følger under.
1.7.1
Bevaring av masse og bevegelsesmengde
Bevaring av masse
∂ρ
+ ∇ · (ρu) = 0
∂t
Bevaring av bevegelsesmengde (momentum) i tre dimensjoner (x, y, z)
∂u
1
+ u · ∇u + ∇p + ẑg = −2 Ω × u − Ω × (Ω × r) + F
∂t
ρ
1.7.2
(2)
(3)
Tilleggsligninger for atmosfæren
Tilstandsliking for atmosfæren (ideelle gasslov som er en god beskrivelse av tørr luft)
p = ρRT
8
(4)
Bevaring av varme (her temperatur)
∂T
+ ∇ · (T u) = Q
∂t
(5)
ligningene (2)-(5) er et løsbart system bestående av 6 ligninger med 6 ukjente ρ, u = (u, v, w), p
og T .
1.7.3
Tilleggsligninger for havet
Tilstandsligning for havet (en av flere versjoner)
ρ = ρ0 [1 − α(T − T0 ) + β(S − S0 )]
(6)
Bevaring av varme (her temperatur)
∂T
+ ∇ · (T u) = Q
∂t
(7)
Bevaring av salt
∂S
+ ∇ · (Su) = kilder minus sluk
(8)
∂t
ligningene (2), (3) og (6)-(8) er et løsbart system bestående av 7 ligninger med 7 ukjente ρ,
u = (u, v, w), p, S og T .
9
2
Utledning og tolkning
- Utledning basert på Newtons 2. lov og massebevaring
- For Newton: Gjelder med bevegelsen, innfører den totalderiverte
- Bruker skalarprodukt og vektorprodukt
- Anvender Taylorrekkeutviking til laveste orden (andre metoder kan benyttes
og gir samme resultat, f.eks. fra statistisk mekanikk)
- Overgang fra ikke-roterende til roterende kartsisk koordinatsystem
- Overgang fra kartesisk til krumlinje (kule)koordinatsystem
- Fysisk tolkning av de ulike leddene
Se appendiks for definisjon av skalarprodukt, vektorprodukt, buelengde, polarkoordinater, kulepoordinater, rekkeutvikling, etc.
2.1
Den totalderiverte av u
Uttrykket
∂u
Du
=
+ u · ∇u
Dt
∂t
er den totalderiverte av u og gir endringen av u når en følger med bevegelsen.
(9)
Den totalderiverte består av to ledd. Lokal endring i tid i et fast geografisk punkt
∂u
∂t
(10)
u · ∇u
(11)
og bidraget av adveksjon
Den totalderiverte (9) har tre komponenter
Du
Dt
Dv
Dt
Dw
Dt
2.2
=
=
=
∂u
∂u
∂u
∂u
+u
+v
+w
∂t
∂x
∂y
∂z
∂v
∂v
∂v
∂v
+u
+v
+w
∂t
∂x
∂y
∂z
∂w
∂w
∂w
∂w
+u
+v
+w
∂t
∂x
∂y
∂z
(12)
(13)
(14)
Tidsderivert av posisjonsvektor i et roterende koordinatsystem
Vi betrakter posisjonsvektoren r som har konstant lengde men som endrer retning grunnet rotasjon med vinkelhastighet Ω om en akse som vist i figur 3. I det roterende koordinatsystemet
er r(t) konstant i tid, slik at r(t) = r(t + ∆t). Men betraktet fra et fast koordinatsystem, et fikssystem, endrer posisjonsvektoren seg fra r(t) til r(t + ∆t) i løpet av tiden ∆t. Siden det kun er
endring av r grunnet rotasjon vi betrakter her, ikke lengden til r, er |r| = konst i det følgende.
Tilfellet med en generell vektor A som roterer og som endrer lengde er utledet i påfølgende
avsnitt.
10
Figur 3: Illustrasjon av tidsendringen til en posisjonsvektor r(t) som roterer mot klokken med
konstant vinkelgastighet Ω = |Ω|. R er radiusen i sirkelen som posisjonsvektoren r(t) spenner ut
(markert som et lyserødt plan i figuren). I løpet av tiden ∆t beveger posisjonsvektoren seg en
avstand ∆r i det fargede sirkulasjonsplanet.
11
Fra uttrykket for en buelengde (300) følger det at lengden av ∆r kan skrives som
∆r = R∆λ = r sin θ∆λ
(15)
∆λ = Ω ∆t
(16)
Videre er
hvor Ω = |Ω|. Det følger da fra (15) og (16) at
∆r
= Ω r sin θ
∆t
(17)
For ∆t → 0, får vi
dr
= Ω r sin θ
dt
eller, fra definisjonen av et vektorprodukt (avsnitt A.7), at
dr
=Ω×r
dt
(18)
(19)
Merk at høyrehåndsregelen gir at Ω × r er rettet langs ∆r i figur 3. Sett fra et fast (ikkeroterende) koordinatsystem er derfor tidsendringen av den roterende posisjonsvektoren r gitt
ved (19).
Transformasjonen (19) er grunnleggende for å utlede sammenhengen mellom bevegelsesligningene
i et ikke-roterende og roterende koordinatsystem.
2.3
Totalderivert i et roterende koordinatsystem
Vi starter med å betrakte et koordinatsystem som ligger fast, et fiksssystem (navn etter fiksstjernene), og et som roterer rundt en koordinatakse. Fikssystemet er angitt med umerkede størrelser
og subskrift f , mens merkede størrelser og subskrift r betegner det roterende systemet. For enkelhetsskyld har koordinatsystemene felles origo og rotasjonen skjer langs den felles z-aksen, se
figur 4.
Figur 4: Vektoren A i et fast (x, y, z) og et roterende (x0 , y 0 , z 0 ) koordinatsystem.
12
Vektoren A kan uttrykkes entydig i begge systemene:
A
A
0
A
= x̂Ax + ŷAy + ẑAz
= x̂
0
= A
A0x
0
+ ŷ
0
A0y
+ ẑ
0
A0z
(20)
(21)
(22)
Sett fra det roterende koordinatsystemet ligger enhetsvektorene x̂0 , ŷ0 og ẑ0 fast, slik at den
tidsderiverte av A0 i dette tilfellet er gitt ved den tidsderiverte av A0 s komponenter
0 0 DA0y DA0 0 DAx 0
0 DAz = x̂
+ ŷ
+ ẑ
(23)
Dt r
Dt r
Dt r
Dt r
hvor subskrift r betegner at derivasjonen er gjort i det roterende koordinatsystemet.
På tilsvarende måte kan den tidsderiverte sett fra fikssystemet (subskrift f) skrives som
DAx DAy DAz DA = x̂
+ ŷ
+ ẑ
Dt f
Dt f
Dt f
Dt f
(24)
Sett fra fikssystemet, vil enhetsvektorene i det roterende koordinatsystemet endre seg i tid. Siden
A = A0 , følger det at
0 0 DA0y DA DA0 0 DAx 0
0 DAz =
= x̂
+ ŷ
+ ẑ
Dt f
Dt f
Dt f
Dt f
Dt f
Dx̂0 0
Dŷ0 0
Dẑ0 0
+
A +
A +
A
(25)
Dt f x
Dt f y
Dt f z
Fra transformasjonsuttrykket for en vektor i et roterende koordinatsystem (19), følger det at
Dx̂0 = Ω × x̂0
(26)
Dt f
Dŷ0 = Ω × ŷ0
(27)
Dt f
Dẑ0 = Ω × ẑ0
(28)
Dt f
Fra de tre siste leddene i (25) har vi at de tre uttrykkene over skal multipliseres med henholdsvis
A0x , A0y og A0z . Dette gir
Dx̂0 0
Dŷ0 0
Dẑ0 0
A +
A +
A = Ω × (A0x x̂0 + A0y ŷ0 + A0z ẑ0 ) = Ω × A0
(29)
Dt f x
Dt f y
Dt f z
Videre er tidsendringen av lengden til A0 sine
de to koordinatsystemene
DA0x Dt f
DA0y Dt f
DA0z Dt f
komponenter, som er skalare størrelser, identisk i
=
=
=
13
DA0x Dt r
DA0y Dt r
DA0z Dt r
(30)
(31)
(32)
Dette gir at
0 DA0y DA0 DA0x 0
0 DAz x̂
+ ŷ
+ ẑ
=
Dt f
Dt f
Dt f
Dt r
0
Uttrykkene (29) og (33) innsatt i (25), gir
DA0 DA0 =
+ Ω × A0
Dt f
Dt r
(33)
(34)
Eller, for en vilkårlig vektor A,
DA DA =
+Ω×A
Dt f
Dt r
Med notasjonen over kan tidsendringen av posisjonsvektoren r i (19) skrives på formen
dr =Ω×r
dt f
(35)
(36)
Det følger derfor at (35) er en generalisert versjon av uttrykk (19).
2.4
Utledning av fiktive akselerasjoner i et roterende koordinatsystem
Uttrykket (35) kan brukes til å relatere tidsendringen av hastighetsvektorene, det vil si akselerasjonen, i et fikssystem og i et roterende system, ved først å erstatte A med r:
Dr Dr =
+Ω×r
(37)
Dt f
Dt r
De to første leddene i uttrykket over gir hastigheten u i henholdsvis fikssystemet og det roterende
systemet, slik at (37) kan skrives som
uf = ur + Ω × r
Videre følger det at akselerasjonen i et fiksssystem kan uttrykkes som
Duf (35) Duf =
+ Ω × uf
Dt f
Dt r
D
(38)
=
(ur + Ω × r) + Ω × (ur + Ω × r)
Dt
r
Dur
Dr
=
+Ω×
+ Ω × ur + Ω × (Ω × r)
Dt
Dt r
Dur =
+ 2 Ω × ur + Ω × (Ω × r)
Dt r
(38)
(39)
Fra uttrykket over følger det at bevegelsesligningen i det roterende koordinatsystemet kan skrives
som
Du 1
+ ∇p + ẑg = −2 Ω × u − Ω × (Ω × r) + F
(40)
Dt
ρ
14
Siden det er underforstått at (40) uttrykker bevegelsesligningen i et roterende koordnatsystem,
er subskrift r droppet fra ligningen.
Leddet −2 Ω × u kalles Coriolisakselerasjonen og leddet −Ω × (Ω × r) kalles sentrifugalakselerasjonen. Begge leddene er fiktive akselerasjoner, det vil si at de representerer tilsynelatende akselerasjoner som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende koordnatsystem.
Siden akselerasjon er det samme som kraft per enhetsmasse, kalles de to fiktive kreftene over
også Corioliskraft per enhetsmasse og sentrifugalkraft per enhetsmasse.
2.5
Jordens rotasjonsvektor
Ω er jordens rotasjonsvektor; den er rettet oppover sett fra en fiksstjerne (i hht. høyrehåndsregelen)
og har verdi Ω = 2π/T ≈ 2π/(86400 s) ≈ 7.3 · 10−5 rad s−1 . Her er T tiden til en full rotasjon
(dvs. 24 timer). Ofte skrives enheten til Ω som s−1 , som da er underforstått rad s−1 , der rad er
radianer.
Sett fra det ikke-roterende fikssystemet roterer jorden mot høyre, det vil si fra vest mot øst.
2.6
Tolkning av bevegelsesligningens ledd
∂u
∂t
|{z}
lokal endring
1
= −2 Ω × u −Ω × (Ω × r) + |{z}
ẑg
F
+ u
∇u} + ∇p +
| ·{z
| {z } |
|{z}
{z
}
ρ
| {z } gravitasjon
adveksjon
friksjon
Coriolis
sentrifugal
(41)
trykk
Figur 5: Orientering til Coriolisakselerasjonen (venstre) og sentrifugalakselerasjonen (høyre) i et
roterende koordinatsystem på den nordlige halvkule.
2.7
Egenskaper til Coriolisaksakselerasjonen −2Ω × u
- Er en fiktiv akselerasjon som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende system
- Virker bare når det er bevegelse
15
- Er proporsjonal med farten |u|
- Virker normalt på hastigheten, så bare retningen, ikke farten |u|, endres (se seksjon 2.7.1)
- Er rettet til høyre for hastighetsvektoren u på den nordlige halvkule, se figur 5
- Er rettet til venstre på den sørlige halvkule
- Er størst ved polene og fraværende ved ekvator (rent formelt gjelder det siste bare dersom
bevegelsen er rettet langs jordens overflate, fordi Coriolis har en liten vertikal komponent,
se seksjon 2.7.2)
- Kan forenkles til −fẑ × u, der f = 2 Ω sin ϕ kalles Coriolisparameteren (se seksjon 2.7.3)
2.7.1
Coriolisleddet utfører ikke arbeid
Dette kan vi vise fra (3) dersom vi bare betrakter den totalderiverte av u og Coriolisleddet:
Du
= −2 Ω × u
Dt
Prikker vi momentumuttrykket (42) med u, får vi for adveksjonsleddet
Du
D 1
D 1 2
u·
=
u·u =
u
Dt
Dt 2
Dt 2
(42)
(43)
og for Coriolisleddet
u · (−2 Ω × u) = 0
(44)
Følgelig gjelder
D
u2 = 0
Dt
u2 er altså bevart med bevegelsen i et system der bare Coriolis-akselerasjonen virker.
(45)
Starter vi ut med en væske i ro, vil væsken forbli i ro. På tilsvarende måte, starter vi ut med
en væske med hastighet u, vil |u| = konst. Coriolis-akselerasjonen endrer derfor retningen, men
ikke absoluttverdien (eller farten), til u. Følgelig er kinetisk energi konservert, og Coriolis-leddet
utfører ikke arbeid. Det siste gjelder for enhver akselerasjon (eller kraft) som virker normalt på
hastighetsvektoren.
2.7.2
Coriolisakselerasjonen på komponentform
Vi betrakter koordinatsystemet som vist i figur 6. Uttrykt i koordinatsystemet (x, y, z) som
roterer med jorden og hvor x-aksen er rettet østover, y-aksen nordover og z-aksen radielt utover,
følger det at rotasjonsvektoren Ω kan skrives på komponentform som
Ω = Ω(0, cos ϕ, sin ϕ)
(46)
−2 Ω × u = −2 Ω(w cos ϕ − v sin ϕ, u sin ϕ, −u cos ϕ)
(47)
Coriolisakselerasjonen blir da
hvor u = (u, v, w) er hastighetsvektorens komponenter i (x, y, z)-retningene.
Fra (47), og med hjelp av figur 6, ser vi følgende
16
Figur 6: Øverst: Jorden med et lokalt roterende koordinatsystem (x, y, z). x er rettet østover, y
nordover og z radielt utover. Rotasjonsjonen foregår i østlig retning og er gitt ved Ω. λ betegner
lengdegrad og ϕ breddegrad. Nederst, fra venstre: −2 Ω × (u, 0, 0), −2 Ω × (0, v, 0) og −2 Ω ×
(0, 0, w).
17
• u bidrar i Coriolisakselerasjonens y- og z-retninger fordi −2 Ω × (u, 0, 0) er rettet radielt
ut fra rotasjonsaksen, det vil si at −2 Ω × (u, 0, 0) har en komponent i y-retningen og en
komponent i z-retningen. Merk at −2 Ω × (u, 0, 0) bidrar i to retninger siden u = (u, 0, 0)
står normalt på Ω. Dette i motsetning til v- og w-komponentene som begge ligger i samme
plan som Ω.
• v bidrar kun til Coriolisakselerasjonens x-retning fordi −2 Ω×(0, v, 0) er rettet i x-retningen.
Merk at −2 Ω × (0, v, 0) bidrar i kun en retning siden u = (0, v, 0) ligger i samme plan som
Ω.
• w bidrar kun til Coriolisakselerasjonens x0 -retning fordi −2 Ω × (0, 0, w) er rettet i −xretningen. Merk at −2 Ω × (0, 0, w) bidrar i kun en retning siden u = (0, 0, w) ligger i
samme plan som Ω.
2.7.3
Coriolisakselerasjonen på forenklet form
Vi tar utgangspunkt i det fulle uttrykket for Coriolisakselerasjonen (47). Generelt er w mye mindre enn den horisontale hastighetskomponenten v (det samme gjelder for u). Under forutsetning
av at vi holder oss borte fra ekvator, kan da leddet med w neglisjeres. Videre er Coriolisakselerasjonens z-komponent svært liten i forhold til tyngdeakselerasjonen g. Følgelig kan vi også se
bort fra z-komponenten.
Dette betyr
−2 Ω × u ≈ −2 Ω(−v sin ϕ, u sin ϕ, 0)
(48)
Uttrykket over kan skrives som
−2 Ω × u = −fẑ × u
(49)
der ẑ er enhetsvektoren i z-retningen og Coriolisparameteren
f = 2 Ω sin ϕ
(50)
Merk at Coriolisparameteren er positiv på den nordlige halvkule og negativ på den sørlige halvkule. For 45◦ breddegrad er |f | ≈ 1 × 10−4 s−1 .
2.8
Egenskaper til sentrifugalakselerasjonen −Ω × (Ω × r)
- Er en fiktiv akselerasjon som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende system
- Er statisk; virker alltid
- Er alltid rettet radielt utover i forhold til rotasjonsvektoren Ω
- Reduserer gravitasjonen i radiell retning med Ω2 r cos ϕ, der r er jordens radius of ϕ er
breddegrad. Den målte gravitasjonen på jorden er derfor mindre enn om jorden ikke roterte
- Gir gravitasjonen et bidrag rettet mot ekvator på nordlige og sørlige halvkule (Ω2 r sin ϕ cos ϕ);
som er grunnen til at jorden buler noe ut ved ekvator
2.9
Sentrifugalakselerasjonen på komponentform
−Ω × (Ω × r) = Ω2 R(0, − sin ϕ, cos ϕ)
der R er avstand fra jordens rotasjonsakse til et gitt punkt, d.v.s. R = r cos ϕ.
18
(51)
2.10
Sentrifugalakselerasjonen som del av gravitasjonsleddet
Sentrifugalakselerasjonen kan skrives som gradienten til et potensial
2 2
Ω R
Ω × (Ω × r) = −∇
2
(52)
Gravitasjonen kan også skrives som gradienten til et potensial
ẑg = ∇(gz)
(53)
ẑg + Ω × (Ω × r) = ∇φ
(54)
Ved å kombinere (52) og (53) får vi
der
Ω2 R 2
2
Altså kan momentumligningen (3) alternativt uttrykkes
φ = gz −
Du 1
+ ∇p + ∇φ = −fẑ × u + F
Dt
ρ
2.11
2.11.1
(55)
(56)
Derivasjon i et polarkoordinatsystem
Polare koordinater
Gradient-operatoren i polare koordinater (r, θ) er gitt ved den inverse av skalafaktorene (303)
∂ 1 ∂
∇=
,
(57)
∂r r ∂θ
Fra figur 7 følger det at enhetsvektorene er og eθ kan skrives som
er
= x̂ cos θ + ŷ sin θ
(58)
eθ
= −x̂ sin θ + ŷ cos θ
(59)
hvor x̂ og ŷ er enhetsvektorene i det faste (x, y) koordinatsystemet. Fra (58) og (59) følger det
at
∂er
= eθ
∂θ
∂eθ
= −er
∂θ
∂er
=0
∂r
∂eθ
=0
∂r
(60)
(61)
Divergensen til hastighetsvektoren u = er ur + eθ uθ , sett fra det faste koordinatsystemet (x, y),
19
Figur 7: Kurvelineære polare koordinater i to dimensjoner med tilhørende ortogonale enhetsvektorer er og eθ .
blir da
∂
1 ∂
∇ · u = er
+ eθ
· (er ur + eθ uθ )
∂r
r ∂θ
1
∂
∂
(er ur + eθ uθ ) + eθ ·
(er ur + eθ uθ )
= er ·
∂r
r
∂θ
!
>
>
>
∂eθ ∂er ∂ur
∂u
θ
ur + er
= er ·
+ uθ + eθ ∂r
∂r
∂r
∂r
!
>
>
1
∂er
∂eθ ∂uθ
∂u
r
+ eθ ·
ur + er + uθ + eθ
r
∂θ
∂θ
∂θ
∂θ
=
(62)
∂ur
ur
1 ∂uθ
+
+
∂r
r
r ∂θ
Her har vi benyttet at er · er = eθ · eθ = 1, er · eθ = 0 og uttrykkene (60) og (61). Skråpilene
viser leddene som ikke gir bidrag.
Ved å kombinere de to første leddene på høyre side av uttrykket over, får vi
∇·u=
1 ∂uθ
1 ∂
(rur ) +
r ∂r
r ∂θ
(63)
På tilsvarende måte finner vi at
∇2 φ =
1 ∂
r ∂r
r
∂φ
∂r
20
+
1 ∂2φ
r2 ∂θ2
(64)
2.11.2
Polare kulekoordinater
Gradient-operatoren i polare kulekoordinater (λ, ϕ, r) er gitt ved den inverse av skalafaktorene
(307)
1
∂ 1 ∂ ∂
∇=
,
,
(65)
r cos ϕ ∂λ r ∂ϕ ∂r
Divergensen til hastighetsvektoren u = eλ u + eϕ v + er w, blir da
∇·u=
Videre er
1 ∂u
1 ∂v cos ϕ
1 ∂wr2
+
+ 2
r cos ϕ ∂λ r cos ϕ ∂ϕ
r ∂r
1
∂2φ
∂
1
+ 2
∇ φ= 2
2
2
r cos ϕ ∂λ
r cos ϕ ∂ϕ
2
∂φ
cos ϕ
∂ϕ
1 ∂
+ 2
r ∂r
(66)
2 ∂φ
r
∂r
(67)
I tilfellet med konstant r, kan det siste leddet i (66) og (67) forenkles siden r2 -faktorene kansellerer
hverandre.
21
3
Forenklinger og anvendelser
- Forenklinger basert på skalaanalyse eller gitte antagelser
- Hydrostatisk tilnærming
- Geostrofisk tilnærming
- Termalvind
- Friksjon
- p- vs z-koordinater
- Kompressible og ikke-kompressibel væske
- Divergent og konverhent hastighetsfelt
- Barotrop og baroklin væske
3.1
Avstander på en kuleflate
Figur 8: Bredde- og lengdegradssirkler på en kule. Breddegradssirklene er rettet i nord-sør retningen og er gitt ved breddegradsvinkelen ϕ, og lengdegradssirklene i øst-vest retningen gitt ved
lengdegradsvinkelen λ. Bredde- og lengdegradsretningene kalles også meridional og sonal retning.
(Figur fra http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sphere wireframe.svg).
Figur 8 illustrerer bredde- og lengdegradssirkler på en kule. Det følger fra figuren at den geografiske avstanden mellom to lengdegrader avtar med økende breddegrad ϕ (mot polene), mens
avstanden mellom to breddegrader er konstant.
Avstanden mellom to breddegradssirkler eller to lengdegradssirkler følger fra skalafaktorene for
en kule, se (307). For en breddegradsvinkel δλ = 1 grad = π/180 rad, vil utspent buelengde på
jorden være r cos ϕ δλ, hvor r = 6.37 · 106 m er jordens radius. Dette gir at utspent buelengde
22
er 111 cos ϕ km. For en lengdegradsvinkel δϕ = 1 grad = π/180 rad, vil utspent buelengde på
jorden være r δϕ, eller 111 km.
3.2
Skalaanalyse
For et gitt problem eksesterer det ofte karakteristiske horisontale langdeskalaer L, vertikale
lengdeskalaer H, horisontale hastigheter U og tidsskalaer T . Verdiene for disse karakteristiske
størrelsene varierer om vi er i atmosfæren eller i havet.
Karakteristiske verdier for fri bevegelse i havet på midlere breddegrader (f.eks. 45◦ ) er
Lengdeskala L ∼ 106 m
Vertikal skala H ∼ 103 m
Horisontal hastighet U ∼ 10−1 m s−1
Vertikal hastighet W ∼ 10−4 m s−1
Trykk horisontalt P ∼ 107 Pa
Trykk vertikalt P ∼ 104 Pa
Tetthet ρ ∼ 103 kg m−3
Coriolisparameter f ∼ 10−4 s−1
Gravitasjon g ∼ 10 m s−2
3.2.1
Geostrofisk balanse8
Horisontalkomponent u av bevegelsesligningen (3), når en ser bort fra friksjon, er
∂u
∂u
∂u 1 ∂P
∂u
+u
+v
+w
+
= fv
|{z}
∂t
∂x
∂y
∂z ρ ∂x
|{z}
|{z}
|{z} | {z } | {z }
fU
U
T
U2
L
W2
H
U2
L
(68)
p
ρL
Innsatt verdier, følger det at trykk- og Coriolisleddene er de dominerende. Dette gir den geostrofiske balanse
1 ∂p
1 ∂p
og f v ≈
(69)
fu ≈ −
ρ ∂y
ρ ∂x
3.2.2
Rossbytall
Forholdstallet mellom størrelsen av adveksjon og Coriolis kalles Rossbytallet R0
R0 =
|adveksjon|
U
∼
|Coriolis|
fL
(70)
Det følger at geostrofisk balanse er en god tilnærming for R0 1.
For den frie atmosfæren på midlere breddegrader er typisk R0 ∼ 0.1. Tilsvarende verdi for havet
er R0 = 10−3 .
8 For gradient vind balanse, se seksjon 4.5 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K.
Smith, Version: December 11, 2007.
23
3.2.3
Hydrostatisk balanse
Vertikalkomponent av bevegelsesligningen (3), når en ser bort fra friksjon, er
∂w
∂w
∂w
∂w 1 ∂p
+u
+v
+w
+
+ g =0
∂t
∂x}
∂y
∂z
ρ ∂z |{z}
|{z}
| {z
| {z } | {z } | {z }
g
W
T
W2
L
W2
H
W2
L
(71)
P
ρH
Innsatt verdier følger det at trykk- og gravitasjonsleddene er de dominerende. Dette gir den
hydrostatiske balanse
∂p
= −ρg
(72)
∂z
3.3
Geostrofisk balanse
Dersom vi definerer den geostrofiske hastighet ug til å tilfredsstille (69), får vi
ug = −
ug =
3.3.1
(73)
1 ∂p
f ρ ∂x
(74)
1
ẑ × ∇p
fρ
(75)
vg =
eller
1 ∂p
f ρ ∂y
Eksempel, geostrofisk balanse
Oppgave 4, side 136 i Marshall & Plumb.
Vi betrakter et lavtrykkssystem på den sørlige halvkule sentrert på 45◦ S, og med trykket ved havnivå
gitt med
2
2
p = 1000 hPa − ∆p exp−r /R
(76)
der ∆p = 20 hPa og R = 500 km.
Trykkfordelingen gitt ved (76) beskriver et symmetrisk lavtrykk med et sentertrykk på 980 hPa og hvor
trykket øker radielt.
Geostrofisk balanse gir, fra uttrykk (75),
ug =
1
ẑ × ∇p
fρ
(77)
Siden lavtrykket er radielt symmertrisk, er det hensiktsmessig å uttrykke geostrofi-balansen i polarkoordinater. Fra (338) har vi at gradienten til p (en skalar størrelse) kan skrives som
∇p = êr
∂p
1 ∂p
+ êθ
∂r
r ∂θ
(78)
Det følger da at
êr
ẑ × ∇p = 0
∂p
∂r
êθ
0
1 ∂p
r ∂θ
ẑ
1
0
24
= −êr 1 ∂p + êθ ∂p
r ∂θ
∂r
(79)
Den radielle geostrofi-komponenten er
1 ∂p
f rρ ∂θ
(80)
1 ∂p
f ρ ∂r
(81)
ugr = −
og den azimutale komponenten er
ugθ =
Siden p i (77) ikke varierer med θ, følger det at
ugr = 0
(82)
Sirkulasjonen foregår altså i sin helhet langs linjer med konstant r, det vil si langs isobarene.
Den azimutale komponenten i (81) framkommer ved å derivere p med hensyn på r
2
2
∂p
2r
= ∆p 2 exp−r /R
∂r
R
(83)
som gir
2
2
1
2r
∆p 2 exp−r /R
fρ
R
Siden f < 0 på den sørlige halvkule følger det at sirkulasjonen er rettet med klokken.
ugθ =
(84)
Maksimal geostrofisk hastighet finner vi ved å søke ekstremverdien til ∂ugθ /∂r, det vil si den r som
tilfredsstiller
∂ugθ
=0
(85)
∂r
Fra (84) følger det at
2
2
2
2
1
1
2
2r −2r
(86)
∆p 2 exp−r /R + ∆p 2
exp−r /R = 0
fρ
R
fρ
R
R2
Uttrykket over kan forenkles til
2r2
=0
eller
R2
√
Maksimal hastighet finnes altså for r = R/ 2, som gir
1−
R
r= √
2
√
√
1
2
∆p
exp−1/2
ugθ (r = R/ 2) =
fρ
R
Innsatt de oppgitte verdiene, får vi
√
√
1
2
−1/2
2000
exp
m s−1 = 23.8 m s−1
ugθ (r = R/ 2) =
−1.2 · 10−4 · 1.2
500 · 103
(87)
(88)
(89)
hvor vi har brukt ρ = 1.2 kg m−3 , ∆p = 20 hPa = 2000 Pa og f < 0.
√
Oppsummert: Maksimal hastighet på 23.8 m s−1 oppstår i en avstand r = R/ 2 = 354 km fra lavtrykkets
sentrum.
3.4
Geostrofisk balanse i trykk-kordinater
Det er ofte hensiktsmessig å kvitte seg med tettheten ρ i (73)-(75). Dette kan gjøres ved å gå
over fra høyde z til trykk p som vertikal koordinat. Den hydrostatiske ligningen benyttes for
denne transformasjonen. Vi betrakter først hvordan ∂/∂x kan skrives med trykk som vertikal
koordinat.
25
Figur 9: Illustrasjon på overgang mellom z- og p-koordinater. Langs den blå krumme linjen er
trykket p konstant. Langs den horisontale blå linjen er z konstant.
Fra figur 9 følger det at
pB − pA
pB − pC
∂p =
=
∂x z
δx
δx
(90)
hvor vi har benyttet at pA = pC siden p er konstant langs isobaren i figur 9, og hvor subskrift z
betegner at derivasjonen utføres langs linjen z = konst.
Den hydrostatiske ligningen
∂p
= −ρ g
∂z
(91)
p = p0 − ρ g z
(92)
pC − pB = −ρ g δz
(93)
pB − pC = ρ g δz
(94)
δz ∂p = ρg
∂x z
δx p
(95)
gir at
hvor p0 er en konstant.
Fra figur 9 følger det da at
eller
(94) innsatt i (90) gir
Her betegner subskrift p at derivasjonen utføres langs linjen p = konst. Dette er en direkte følge
av antagelsen i (90). For små δx, δz, følger det at
∂z ∂p = ρg
(96)
∂x z
∂x p
Tilsvarende får vi for ∂/∂y at
∂p ∂z = ρg
∂y z
∂y p
26
(97)
Dette betyr at den geostrofiske ligningen kan uttrykkes i trykk-koordinater som
ug =
g
ẑp × ∇p z
f
(98)
eller på komponentform
g ∂z
f ∂y p
g ∂z
vg =
f ∂x p
ug = −
(99)
(100)
Merk at tettheten ρ ikke inngår i uttrykkene over.
3.5
3.5.1
Tolkning av geostrofisk balanse i trykk-koordinater
(∂z/∂x)p = konst < 0, (∂z/∂y)p = 0 og f > 0
I dette tilfellet er vi på den nordlige halvkule og isobarflaten heller nedover mot øst, se venstre
del av figur 10. Fra (99) og (100) følger det at ug = 0 og vg < 0, det vil si at den geostrofiske
vinden har en sørlig komponent (i negativ y-retning).
Figur 10: Illustrasjon av (∂z/∂x)p og (∂z/∂y)p i det geostrofiske uttrykket (98) på den nordlige
halvkule (f > 0). zp betegner enhetsvektoren normalt på isobarflatene.
3.5.2
(∂z/∂x)p = 0, (∂z/∂y)p = konst < 0 og f > 0
Vi er på den nordlige halvkule og isobarflaten heller nedover mot nord, se høyre del av figur 10.
Fra (99) og (100) følger det at ug > 0 og vg = 0, det vil si at den geostrofiske vinden har en
østlig komponent (i positiv x-retning).
3.5.3
Eksempel, en synoptisk værsituasjon, 23. februar 2009
Retning og fart til den geostrofiske vinden kan utledes fra et synoptisk værkart, se figur 11. Hastigheten
ved den røde sirkelen er omtrentlig gitt ved x-konponenten av (98):
g ∂z
ug = −
(101)
f ∂y p
27
Figur 11: Synoptisk værkart for høyden z til isobarflaten p = 250 hPa (blå konturlinjer) og vindhastighet
(piler). Den røde sirkelen er sentrert på ca. 62 grader nord og det røde linjestykket dekker ca. fire
breddegrader. Den blå sirkelen er sentrert på ca. 54 grader nord og det blå linjestykket dekker ca. fire
lengdegrader. Høydeforskjellen mellom høydekonturene er 40 m. Figur fra Marius Opsanger Jonassen
(Geofysisk institutt, UiB) basert på Hirlam24 og plottet med Diana.
28
Her er f ≈ 1.2 · 10−4 s−1 for 62◦ N. Videre er avstanden av det røde linjestykket δy = 4 · 111 · 103 m og
høyden over samme linjestykke, i positiv y-retning (nordover), avtar med δz ≈ 220 m. Vi får da
9.8
−220
ug = −
m s−1 = 39.6 m s−1
(102)
1.2 · 10−4 4 · 111 · 103
Den geostrofiske hastigheten i punktet med den røde sirkelen er altså ca. 40 m s−1 i østlig retning.
Tilsvarende finer vi hastigheten ved den blå sirkelen er omtrentlig gitt ved y-konponenten av (98):
g ∂z
(103)
ug =
f ∂x p
For 52◦ N er f ≈ 1.2 · 10−4 s−1 . Videre er avstanden av det brå linjestykket δx = 4 · 111 · 103 cos(52◦ ) m
og høyden over samme linjestykke, i positiv x-retning (østover), øker med δz ≈ 110 m. Vi får da
9.8
110
vg =
m s−1 = 32.2 m s−1
(104)
1.2 · 10−4 4 · 111 · 103 cos(52◦ )
Den geostrofiske hastigheten i punktet med den blå sirkelen er altså ca. 32 m s−1 i nordlig retning.
3.6
Termalvind, generelt uttrykk
Geostrofi gir oss vinden for konstant høyde z, ligning (75), eller for konstant trykk p, ligning (98).
For å kunne si noe om hvordan ug varierer i vertikal-retningen, ser vi på hvordan variasjoner
i tettheten ρ påvirker den geostrofiske balansen i z-retningen. Ofte kan vi skrive tettheten ρ
som
ρ = ρ0 + σ
(105)
der ρ0 er konstant (en referansetetthet) og σ/ρ0 1. Fra (105) følger det at
∂σ
∂ρ
=
∂x
∂x
og
∂ρ
∂σ
=
∂y
∂y
(106)
Deriverer vi (75) med hensyn på z og bruker at
1
1
1
=
≈
ρ
ρ0 + σ
ρ0
(107)
får vi
∂ug
1 ∂ ∂p
=−
(108)
∂z
f ρ0 ∂y ∂z
∂vg
1 ∂ ∂p
=
(109)
∂z
f ρ0 ∂x ∂z
Hydrostatisk tilnærming fra ligning (72) innsatt i parentesene over, samt bruk av (106), gir
∂ug
g ∂σ
=
∂z
f ρ0 ∂y
(110)
∂vg
g ∂σ
=−
∂z
f ρ0 ∂x
(111)
eller
∂ug
g
=−
ẑ × ∇σ
(112)
∂z
f ρ0
Uttrykket (112) viser at den horisontale tetthetsgradienten ∇σ gir opphav til et vertikalt hastighetsskjær ∂ug /∂z. En generell tilstandsligning på formen (105) gir altså opphav til en termalvind
på formen (112).
29
3.7
Termalvind for atmosfæren i trykk-koordinater
Vi tar her utgangspunkt i geostrofisk uttrykk i trykk-koordinater (98). Dersom vi deriverer dette
uttrykket med hensyn på p og bruker den hydrostatiske tilnærmingen
∂p
= −ρ g
∂z
får vi
∂ug
g ∂
=−
∂p
f ∂y
∂z
∂p
∂z
1
=−
∂p
ρg
eller
=−
p
g ∂
f ∂y
−
1
ρg
=
p
(113)
1 ∂
f ∂y
1
ρ p
(114)
og
∂vg
1 ∂
=−
∂p
f ∂x
1
ρ p
(115)
Den ideelle gassloven (4) beskriver sammenhengen mellom p, ρ og T for tørr luft på en god måte.
Fra (4) har vi at
1
RT
p = ρRT
eller
=
(116)
ρ
p
Høyre uttrykk i (116) innsatt i (114) og (115), gir
∂ug
R ∂T
=
∂p
f p ∂y p
∂vg
R
=−
∂p
fp
eller
3.8
∂T
∂x
(117)
(118)
p
∂ug
R
= − ẑp × ∇p T
∂p
fp
(119)
Termalvinduttrykket integrert mellom to isobarer
Integrerer vi (117) mellom de to isobarflatene p = p1 og p = p2 , får vi
)
Z ( Z p2
R p2 1 ∂T
∂ug
dp =
dp
∂p
f p1
p ∂y p
p1
Z p2
R ∂T
1
=
dp
f ∂y p p1 p
(120)
(121)
I den siste overgangen har vi brukt at
R T representerer middelverdien av T mellom isobarflatene
p = p1 og p = p2 , betegnet T . Siden x−1 dx = ln x, følger det at
uT ≡ ug (p2 ) − ug (p1 )
=
=
30
∂T
∂y p
R p1 ∂T
− ln
f
p2 ∂y p
R p2
ln
f
p1
(122)
(123)
der uT er x-komponenten til termalvindvektoren uT , og hvor vi i siste overgang har brukt at
ln(a/b) = − ln(b/a). Tilsvarende får vi for y-komponenten:
R p1 ∂T
vT ≡ vg (p2 ) − vg (p1 ) = ln
(124)
f
p2 ∂x p
Termalvind-komponentene (123) og (124) kan uttrykkes på vektorform
uT = ug (p2 ) − ug (p1 ) =
R p1
ln
ẑp × ∇p T
f
p2
(125)
Merk at det er hensiktsmessig å bruke ln(p1 /p2 ) i termalvinduttrykkene siden ln(p1 /p2 ) > 0 for
p1 > p2 .
3.9
3.9.1
Tolkning av termalvind
Sammenheng mellom geostrofisk vind og termalvind
Det følger fra (125) at termalvind er differansen mellom geostrofisk vind på to isobarflater. Termalvinden sier derfor hvor stort det vertikale hastighetsskjæret er. Kjenner vi to av de tre vektorene ug (p1 ), ug (p2 ) og uT , kan vi utlede den tredje vektoren direkte fra vektorsummen
ug (p1 ) + uT = ug (p2 )
3.9.2
(126)
Orientering
Det følger fra (125) at uT er rettet normalt på ∇p T , det vil si parallelt med isotermene. På den
nordlige halvkule vil lav temperatur ligge til venstre for uT (til høyre på den sørlige halvkule
grunnet fortegent til f ).
3.9.3
∇p T = 0
Dersom den horisontale middeltemperaturen mellom isobarflatene avgrenset av p = p1 og p = p2
er konstant, ∇p T = 0, følger det fra (125) at ug (p1 ) = ug (p2 ), det vi si at den geostrofiske vinden
er uendret i høydeintervallet avgrenset av isobarflatene p1 og p2 . Gjelder dette for hele atmosfæren, sier vi at atmosfæren er barotrop. Det er da uniform vertikal hastighet i atmosfæren.
3.9.4
∇p T = konst 6= 0
I dette tilfellet vil ug (p1 ) 6= ug (p2 ), det vi si at vi har et vertikalt vindskjær. Atmosfæren er da
baroklin.
Dersom vi antar at p = p1 representerer bakketrykket og at ug (p1 ) er liten ved bakken (det
vil si at ug (p1 ) ≈ 0), følger det fra (125) at |uT | og |ug (p2 )| øker når p2 avtar, og at økningen
skalerer med ln(p1 /p2 ). Derfor øker den termale vinden med høyden så lenge det er en horisontal
temperaturgradient mellom p1 og p2 .
31
3.9.5
(∂T /∂y)p = konst < 0, (∂T /∂x)p = 0 og f > 0
I dette tilfellet er vi på den nordlige halvkule og temperaturen avtar mot nord, se figur 12. Fra
(123) og (124) ser vi at uT > 0 og vT = 0, det vil si at den termiske vinden har en østlig
komponent (i positiv x-retning).
Figur 12: Illustrasjon av tilfellet (∂T /∂y)p = konst < 0, (∂T /∂x)p = 0 og f > 0. Merk at den
resulterende termalvinden er rettet i positiv x-retning.
Det er temperaturgradienten mellom sør og nord som er opphavet til at jetstrømmene er østlig
rettet på den nordlige halvkule.
3.9.6
(∂T /∂y)p = konst > 0, (∂T /∂x)p = 0 og f < 0
I dette tilfellet er vi på den sørlige halvkule og temperaturen avtar mot sør. Siden både (T /∂y)p
og f har motsatt fortegn i forhold til tilfellet i seksjon (3.9.5), gir denne konfigurereingen samme
dynamikk som i seksjon (3.9.5), altså er jetstrømmen østlig rettet også på den sørlige halvkule.
3.9.7
(∂T /∂x)p = konst > 0, (∂T /∂y)p = 0 og f > 0
I dette tilfellet er vi på den nordlige halvkule og temperaturen øker mot øst, se figur 13. Fra (123)
og (124) ser vi at uT = 0 og vT > 0, det vil si at den termiske vinden har en nordlig komponent
(i positiv y-retning).
3.9.8
Kald og varm adveksjon
Termalvinden diskutert i seksjon (3.9.5) kan representeres som vist i figur 14, med avtagende
temperatur mot nord og uT rettet østover.
Dersom den geostrofiske vinden på nivå p = p1 er rettet mot lavere temperatur (nordover), se
venstre del av figur 15, følger det fra vektorsummen (125) at ug (p2 ) er dreiet med klokken i
forhold til ug (p1 ). I tillegg følger det at den geostrofiske vinden bringer varm luft med seg. Dette
kalles varm adveksjon. Dersom ug (p1 ) betegner vinden på bakkenivå, betyr dette at vinden dreier
stadig mer til høyre relativt ug (p1 ) når en beveger seg oppover i atmosfæren.
32
Figur 13: Illustrasjon av tilfellet (∂T /∂x)p = konst > 0, (∂T /∂y)p = 0 og f > 0. Merk at den
resulterende termalvinden er rettet i positiv y-retning.
Figur 14: Illustrasjon på termalvind uT for et temperaturfelt som avtar mot nord.
Figur 15: Som figur 14 og for en antatt nord-rettet ug (p1 ) (figur til venstre) og sør-rettet ug (p1 )
(figur til høyre).
33
På tilsvarende måte viser den høyre del av figur 15 en situasjon der ug (p1 ) er rettet mot høyere
temperatur (sørover). I dette tilfellet er ug (p2 ) dreiet mot klokken i forhold til ug (p1 ), og den
geostrofiske vinden bringer kald luft med seg. Dette kalles kald adveksjon. Dersom ug (p1 ) betegner
vinden på bakkenivå, betyr dette at vinden dreier stadig mer til venstre relativt ug (p1 ) når en
beveger seg oppover i atmosfæren.
Siden temperaturen avtar mot begge polene, følger det fra diskusjonen over at den geostrofiske
vinden vil alltid – og uavhengig av retningen til ug (p1 ) – dreies mot øst når en beveger seg
oppover i atmosfæren. Det er følgelig den fallende temperaturen når vi går fra tropene til høyere
(nordlige og sørlige) breddegrader som gjør at vi har østlig rettet vind i høyden når vi fjerner
oss fra ekvator.
3.9.9
Idealisert eksempel
Anta den horisontale temperaturgradienten er konstant på alle trykk-nivåer i troposfæren, og gitt
ved
20 K
î
(127)
∇p T =
1000 km
Ved bakken er trykket p1 = 1000 hPa og ug (p1 ) = vg (p1 ) ĵ = 5 m s−1 ĵ. Hva er vinden ved p2 = 700
hPa og p3 = 500 hPa? Anta vi er på 45 grader nord.
Siden ∇p T bare har en x-komponent, er det bare y-komponenten av termalvinden, uttrykk (124), som
gir bidrag:
R p1 ∂T
vg (p2 ) = vg (p1 ) + ln
(128)
f
p2 ∂x p
For p2 = 700 hPa = 7 · 105 Pa, får vi
1 · 106
20
287
ln
m s−1 = 25.5 m s−1
vg (p2 ) = 5 +
1 · 10−4
7 · 105 1000 · 103
På tilsvarende måte får vi for p3 = 500 hPa = 5 · 105 Pa
287
1 · 106
20
vg (p3 ) = 5 +
ln
m s−1 = 44.8 m s−1
1 · 10−4
5 · 105 1000 · 103
(129)
(130)
Altså øker vinden med høyden, fra 5 m s−1 ved bakken til 25.5 m s−1 ved 700 hPa og 44.8 m s−1 ved
500 hPa.
3.9.10
Eksempel basert på klimatologi
Figur (16) viser observasjons-basert sonal vind og sonal temperatur for månedene desember-januarfebruar. På den nordlige halvkule ser vi at jetstrømmen har maksimal verdi på vel 40 m s−1 på 200 hPa.
Årsaken til at jetstrømmen har maksimal verdi på ca. 30 grader nord er at den horisontale temperaturgradienten er størst – og har samme fortegn – for denne breddegraden. Dette gjelder for trykkintervallet
mellom overflaten og opp til ca. 200 hPa. Over 200 hPa skifter den horisontale temperaturgradienten
fortegn, og følgelig avtar den sonale jetstrømmen for p < 200 hPa.
Jetstrømmens hastighet ved 200 hPa kan estimeres ved å se på det termale bidraget rundt 30◦ N. Siden helningen til isotermene varierer en del mellom overflaten (p = 1000 hPa) og p = 200 hPa, er det
misvisende å gi én verdi for temperaturgradienten for hele dette trykkintervallet. Men vi kan dele trykkintervallet fra p = 1000 hPa til p = 200 hPa i mindre delintervaller og anslå midlere temperaturgradient
og beregne termalvind for hvert av disse trykkintervallene.
34
Figur 16: Atmosfærisk reanalyse (kombinert observasjoner og modell) for en typisk vintersesong
desember-januar-februar. Øvre panel viser sonalt midlet vind (legg merke til jetstrømmene på 45◦ S
og 30◦ N på ca. 200 hPa). Nedre panel viser sonalt midlet temperatur med heltrukken rød linje på 30◦ N.
Data fra NCEP/NCAR.
35
For å estimere temperaturgradienten for hvert trykkintervall, kan vi bruke de vertikale hjelpelinjene på
20◦ N og 40◦ N i nederste panel av figur 16. For intervallet mellom p1 = 1000 hPa og p2 = 800 hPa er
den sonale temperaturgradienten (∂T /∂y)900 hPa ≈ (0 − 17) K/(20 × 111 km). Helt ved bakken kan vi
anta ug (p1 ) ≈ 0 m/s. Vi får da
R p1 ∂T
u( p2 ) = − ln
f
p2 ∂y p
−17
287
1 · 105
ln
m s−1 = 6.7 m s−1
(131)
= −
7.3 · 10−5
8 · 104 20 · 111 · 103
For intervallet mellom p2 = 400 og p3 = 800 hPa er den sonale temperaturgradienten (∂T /∂y)600 hPa ≈
(−16 − 1) K/(20 · 111 km). Dette gir
R p2 ∂T
ug (p3 ) = ug (p2 ) − ln
f
p3 ∂y p
−17
287
8 · 104
=
6.7 −
ln
m s−1 = 27.6 m s−1
(132)
7.3 · 10−5
4 · 104 20 · 111 · 103
For intervallet mellom p3 = 400 og p4 = 200 hPa er den sonale temperaturgradienten (∂T /∂y)300 hPa ≈
(−49 − (−34)) K/(20 · 111 km), som gir
R p3 ∂T
ug (p4 ) = ug (p3 ) − ln
f
p4 ∂y p
4 · 104
−15
287
ln
m s−1 = 46.0 m s−1
(133)
=
27.6 −
7.3 · 10−5
2 · 104 20 · 111 · 103
Merk at ug (p4 ) er i bra samsvar med jetstrømmens faktiske styrke på > 40 m s−1 som vist i øverste
panel av figur(16).
Vi kan også estimere vindhastigheten for trykket p5 = 100 hPa. Den sonale temperaturgradienten
(∂T /∂y)150 hPa ≈ (−57 − (−66)) K/(20 · 111 km), som gir
R p4 ∂T
ug (p5 ) = ug (p4 ) − ln
f
p5 ∂y p
287
2 · 104
9
=
46.0 −
ln
m s−1 = 35.0 m s−1
(134)
7.3 · 10−5
1 · 104 20 · 111 · 103
ug (p5 ) er i bra samsvar med reanalysens vind for p = 100 hPa på rundt 30 m s−1 .
3.9.11
Sammenheng mellom temperatur og avstand mellom to isobarflater
Figur (17) viser to identiske luftsøyler (blå farge). Trykket på oversiden av søylene er lik, p = p1 .
Varmer vi opp søylen til høyre vil søylen bli høyere grunnet termisk ekspansjon av luften. Dersom
vi ikke har noen dynamisk respons til at søylen blir høyere, vil trykket på oversiden av den
oppvarmede søylen fremdeles være p = p1 .
Ser vi bort fra dynamisk respons, er det kun endring av temperaturen som kan endre søylens
høyde. Det siste følger ved å kombinere den hydrostatiske ligningen (72) og den idelle gasslov
(4):
∂p
= −ρg
(135)
∂z
36
Figur 17: Illustrasjon på termisk ekspansjon av en luftsøyle.
og
p = ρRT
(136)
Setter vi tettheten ρ fra (136) inn i (135), får vi
eller
gp
∂p
=−
∂z
RT
(137)
∂p
g
=−
∂z
p
RT
(138)
Integrerer vi uttrykket over fra høyden z = z1 til z = z2 , får vi
Z
p(z2 )
eller
ln
Z
z2
g
∂z
RT
(139)
p(z2 )
g
=−
(z2 − z1 )
p(z1 )
RT
(140)
p(z1 )
∂p
=−
p
z1
Her betegner T middelverdien av T mellom z = z1 og z = z2 . Uttrykket over kan alternativt
skrives
p1
RT
ln
(141)
z2 − z1 =
g
p2
Uttrykket (141) kalles den hypsometriske ligningen.
Fra (141) følger det at endringer i høyden mellom isobarflatene p = p1 og p = p2 , gitt ved z2 − z1 ,
kan bare oppstå grunnet endringer i temperaturen T . Og siden ln(p1 /p2 ) > 0 for p1 > p2 , fører
økende T til at høydeforskjellen z2 − z1 øker (og motsatt for avtangende T ).
Uttrykket (141) kan benyttes for å tallfeste effekten av termisk ekspansjon av luft. Dersom
temperaturen stiger med 1 K mellom p1 = 1000 hPa og p2 = 500 hPa, følger det at z2 − z1 , det
vil si avstanden mellom p = p1 og p = p2 , øker med 20.3 m. Vi har her brukt at R = 287 J kg−1
K−1 og g = 9.8 m s−2 (samt at enhetene 1 J = 1 kg m2 s−2 ). Siden verdien av R gjelder for tørr
luft, gjelder utregningen over for tørr luft, som er en god antagelse for atmosfæren.
37
Sammenhengen i variasjon mellom middeltemperatur T og avstanden mellom to isobarflater
z2 − z1 betyr at temperaturgradientene i figurene (12)-(15) også er et bilde på hvordan avstand
mellom to isobarflater endrer seg.
Merk at det er (141) som gir hvorfor isobarflatene ligger høyt i tropene (hvor det er varmt) og
lavt på høye breddegrader (hvor det er kaldt).
3.9.12
Anvendelse av trykk- og høydegradient
Figur 18: Illustrasjon på resulterende trykk- og høydegradient basert på figur 17.
Dersom det ikke er en dynamisk respons til at søylen i figur 17 blir høyere, vil trykket på oversiden
av den oppvarmede søylen fremdeles være p = p1 . Betrakter vi trykket p på et konstant nivå z
mellom de blå og røde søylene, følger det at trykket over den blå søylen tilfredstiller p < p1 , mens
trykket på samme z-nivå for den røde søylen tilfredsstiller p > p1 (øvre del av figur 18).
Trykkdifferansen mellom den røde og blå søylen vil sette opp en trykk-gradient som vist med den
røde pilen. Det vil derfor strømme varm luft mot venstre. Grunnet Coriolis-effekten vil den varme
luftadveksjonen bøyes av til høyre på den nordlige halvkule; den resulterende luftstrømmen vil
altså være rettet inn i figurplanet. Dersom y er rettet nordover, er dette varmluftsadveksjon
tilsvarende venstre del av figur 15. Merk at denne betraktningen er gjort for konstant høyde z,
altså konsistent med det geostrofiske uttrykket (75) og termalvinduttrykket (112).
Alternativt kan vi betrakte helningen til isobaren p = p1 , se nederste del av figur 15. I dette
38
tilfellet avtar z med økende y, altså er høydegradienten −(∂z/∂y)p rettet nedover mot venstre.
Dette fører til at varm luft strømmer mot venstre, og grunnet Coriolis-effekten vil den varme
vinden bøyes av til høyre på den nordlige halvkule. I motsetning til tilfellet i avsnittet over, er
denne betraktningen gjort for konstant trykk p, altså konsistent med det geostrofiske uttrykket
(98) og termalvinduttrykket (119).
3.9.13
Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med kald kjerne
Et vinterlavtrykk på den nordlige halvkule har gjerne en kald kjerne. Hvordan endrer vinden seg
med høyden i et slikt system? Se bort fra friksjon.
Venstre del av figur 19 viser et lavtrykk på den nordlige halvkule. Sirkulasjonen følger isobarene
og er rettet mot klokken. Ved bakken er den geostrofiske vinden langs positiv y-akse rettet
vestover (ug (p1 ) i figuren). På tilsvarende måte er geostrofisk vind langs negativ x-akse rettet
sørover (vg (p1 ) i figuren).
Høyre del av figuren indikerer at temperaturen er lavest i lavtrykkets sentum (blå farge). Dette
betyr at langs den positive y-aksen er termalvinden rettet vestover, i samme retning som ug (p1 ).
Langs den negative x-aksen er termalvinden rettet sørover, i samme retning som vg (p1 ).
ug (p2 ) har følgelig samme orientering som ug (p1 ), og fra (126) følger det da at |ug (p2 )| > |ug (p1 )|.
Følgelig øker vinden med høyden i et lavtrykk med kald kjerne.
3.9.14
Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med varm kjerne
Orkaner og tyfoner er eksempler på lavtrykk med varm kjerne. Hvordan endrer vinden seg med
høyden i et slikt system? Se bort fra friksjon.
Venstre del av figur 20 viser et lavtrykk på den nordlige halvkule. Sirkulasjonen følger isobarene
og er rettet mot klokken. Ved bakken er den geostrofiske vinden langs positiv y-akse rettet
vestover (øvre ug (p1 ) i figuren). På tilsvarende måte er geostrofisk vind langs negativ y-akse
rettet østover (nedre ug (p1 ) i figuren).
Høyre del av figuren indikerer at temperaturen er høy i lavtrykkets sentum (rød farge). Dette
betyr at langs den positive y-aksen er termalvinden rettet østover, i motsatt retning av den
øverste ug (p1 ) i figuren. Langs den negative y-aksen er termalvinden rettet vestover, i motsatt
retning av den nederste ug (p1 ).
Fra (126) følger det da at |ug (p2 )| < |ug (p1 )|. Følgelig avtar vinden med høyden i et lavtrykk
med varm kjerne. Orienteringen til ug (p2 ) relativt ug (p1 ) avhenger av |ug (p1 )| og |uT |. I en orkan
kan gjerne |ug (p1 )| = 30 m s−1 og |uT | = 25 m s−1 . I så fall er |uT | = 5 m s−1 og rettet i samme
retning som ug (p1 ).
4
4.1
Energioverføring i atmosfæren
Spinnsatsen
Spinnet L til en partikkel med masse m og hastighet v er definert som
L = r × mv
39
(142)
Figur 19: Lavtrykk på nordlige halvkule med en kald kjerne. De blå sirulære kurvene indikerer
lavtrykkets isobarer (med lavest trykk i sentrum), mens fargen i høyre del av figuren angir
lavtrykkets temperatur. ug (p1 ) er geostrofisk vind ved bakkenivå, ug (p2 ) geostrofisk vind i høyden
og uT den termale vinden.
Figur 20: Lavtrykk på nordlige halvkule med en varm kjerne. De blå sirulære kurvene indikerer
lavtrykkets isobarer (med lavest trykk i sentrum), mens fargen i høyre del av figuren angir
lavtrykkets temperatur. ug (p1 ) er geostrofisk vind ved bakkenivå, ug (p2 ) geostrofisk vind i høyden
og uT den termale vinden.
40
der r er avstandsvektoren (minste avstand) mellom partikkelen og spinnaksen. Merk at r ikke er
jordens radius, men vektoren r i figur 21. Spinnet kalles også anguært momentum, drivmoment
Figur 21: Jorden med rotasjonsvektor Ω, radius a og vektor r fra rotasjonsaksen og et punkt på
breddegrad ϕ.
og bevegelsesmengdemoment.
Den tidsderiverte av spinnet gir spinnsatsen
dL
dt
dr
d
× mv + r × (mv)
dt
dt
= v × mv + r × F
=
= r×F
(143)
der F er kraften som virker på partikkelen (Newtons 2. lov; F = ma). Dersom F k r eller F = 0,
følger det at
L = konst
(144)
Uttrykk (144) sier at spinnet L er konservert dersom det ikke virker krefter F på partikkelen.
4.1.1
Atmosfærens spinn i sonal retning
Absoluttverdi av spinnet per enhetsmasse A er
A=
|L|
= |r × v|
m
(145)
For atmosfæren består spinnet i sonal retning, eller i lengdegradsretningen, av to komponenter:
Jordens rotasjon pluss atmosfærens fart i forhold til jorden. Atmosfærens absoluttverdi av spinnet
per enhetsmasse i sonal retning kan derfor skrives som
A = |r × Ω r eλ | + |r × u eλ | = |Ω r2 + u r| = Ω r2 + u r
|
{z
} | {z }
jordens rot
sonal vind
41
(146)
I (146) har vi brukt at en partikkel i atmosfæren roterer med jorden i sonal retning med en fart
Ω r (se 400) og at partikkelen generelt har en sonal fart u i forhold til jorden. Siste overgang på
høyre side av (146) er gyldig siden vindfarten u er liten i forhold til jordens rotasjonsfart Ω r ,
som betyr at summen Ω r2 + u r er positiv.
Siden atmosfærens tykkelse er svært liten i forhold til jordens radius a, kan a brukes som en
tilnærming for punktets avstand fra jordens sentrum. Fra figur 21 følger det da at r ≈ a cos ϕ,
slik at
A = Ωa2 cos2 ϕ + ua cos ϕ
(147)
4.1.2
Eksempel, verdier for atmosfærens spinn i sonal retning
Kommer...
4.1.3
Eksempel, sammenheng mellom spinnsatsen og sonal komponent av momentumligningen
Kommer...
4.2
Oppdriftsfrekvens/Brunt-Väisälä frekvensen
En sentral størrelse i alanyse av dynamikken i atmosfæren og i havet er oppdriftsfrekvensen eller
Brunt-Väisälä frekvensen N (enhet s−1 ). Brunt-Väisälä frekvensen gir den frekvensen en væskepartikkel vil beskrive dersom væskepartikkelen forsyves i forhold til det nivået der partikkelen
har nøytral oppdrift. Nøytral oppdrift vil si at partikkelen har samme tetthet som omgivelsene,
det vil si at det ikke virker en vertikal oppdriftskraft på partikkelen.
Brunt-Väisälä frekvensen kan utledes basert på figur 22. Vi betrakter en væskepartikkel på
Figur 22: Illustrasjon på en væskepartikkel med areal δA og høyde δz som løftes fra z = z1 til
z = z2 . Partikkelens tetthet er ρ1 som også er lik omgivelsenes tetthet ved z = z1 . Omgivelsenes
tetthet ved z = z2 er ρ2 < ρ1 .
42
nivå z1 . Partikkelen har samme tetthet som omgivlsene, ρ1 . Det virker derfor ingen krefter på
partikkelen. Ligger partikkelen i ro ved et tidspunkt, vil partikkelen derfor forbli i ro.
Væskepartikkelen løftes så til nivå z2 , der z2 > z1 . Omgivelsene på nivå z2 har tetthet ρ2 , der
ρ2 < ρ1 . Siden partikkelen ved nivå z2 har større tetthet enn omgivelsene ved samme nivå, vil
partikkelen synke.
Kraften F som virker på væskepartikkelen på nivå z2 er lik differansen mellom partikkelens
gravitasjonsbidrag −g V ρ1 og bidraget fra den omkringliggende væsken −g V ρ2 , der V =
δA δz er partikkelens volum (Arkimedes’ prinsipp):
F = gV (ρ2 − ρ1 )
(148)
Siden ρ2 < ρ1 , er F rettet i negativ z-retning. Partikkelen vil derfor akslereres i samme retning.
Partikkelens tetthet er en funksjon av z. Taylorrekkeutvikling til laveste orden (se seksjon A.13)
gir da at
∂ρ
∆
(149)
δρ ≈
∂z
Videre kan vi tilnærme
ρ2 − ρ1 ≈ δρ
(150)
slik at (148) kan skrives
∂ρ
∆
∂z
F = gV
(151)
Newtons 2. lov gir at
d2 ∆
dt2
hvor massen m = ρ1 V . Kombinert med (151) gir dette
(152)
F = ma = m
ρ1 V
eller
d2 ∆
∂ρ
∆
= gV
2
dt
∂z
d2 ∆
ρ1 V 2 + ρ1 V
dt
g ∂ρ
−
ρ1 ∂z
(153)
∆=0
(154)
(154) kan alternativt skrives som
d2 ∆
+ N 2∆ = 0
dt2
hvor N er oppdriftsfrekvensen eller Brunt-Väisälä frekvensen
N2 ≡ −
g ∂ρ
ρ ∂z
(155)
(156)
Differensialligningen (155) er ligningen for en udempet svingning med løsning
δz = C0 cos(N t) + C1 sin(N t)
(157)
hvor C0 og C1 er konstanter (bestemt av initialbetingelser). Løsningen (157) uttrykker at en
væskepartikkel som forflyttes fra et nivå med nøytral oppdrift vil beskrive en vertikal svingning
med frekvens N .
43
Løftes partikkelen som vist i figur 22, vil partikkelen først falle siden oppdriftskraften F er
rettet i negativ z-retning. Oppdriftskraften reduseres ettersom partikkelen nærmer seg z = z1 .
Ved z = z1 virker det ingen kraft på partikkelen, men partikkelen vil fortsette å falle i negativ
z-retning grunnet patikkelens negative z-hastighet ved z = z1 .
For z < z1 er oppdriftskraften F rettet i positiv z-retning. Partikkelen vil derfor stoppe på et nivå
z < z1 , før partikkelen begynner å stige. Når partikkelen når z = z1 er oppdriftskraften F = 0,
men partikkelen vil fortsette å stige grunnet partikkelens positive z-hastighet ved z = z1 .
På denne måten vil enhver partikkel som er forskyvet vertikalt oscillere. Svingningen vil fortsette
helt til friksjon stopper svingningen.
Svingefrekvensen N avhenger av størrelsen på den vertikale stratifiseringen til den omkringliggede væsken ∂ρ/∂z. Svak stratifisering, det vil si liten ∂ρ/∂z, vil gi lang svingeperiode. Sterk
stratifisering, eller stor ∂ρ/∂z, vil gi kort svingeperiode.
Er den vertikale bakgrunnsstratifiseringen symmetrisk om z = z1 vil partikkelen svinge symmetrisk mellom z = z1 + ∆ og z = z1 − ∆.
Det er en rekke eksempler på vertikale svingninger i atmosfæren og i havet generert av små vertikale forskyvninger av væskepartikler. Det best kjente eksempelet er kanskje lebølger nedstrøms
av fjell (som kan generere linseskyer) og interne bølger i havet.
4.3
Redusert gravitasjon
Redusert gravitsjon g 0 er en ofte forekommende størrelse i dynamisk meteorologi og oseanografi.
Redusert gravitasjon er definert som
g0 ≡ g
∆ρ
ρref
(158)
hvor g er standard gravitasjon, ∆ρ er vertikal tetthetsforskjell i en væske og ρref er en typisk
verdi for væsken(es) tetthet.
For en væske som er stabilt stratifisert, er g 0 > 0. En stabilt stratifisert væske betyr at væskens
tetthet avtar med høyden, det vi si i positiv z-retning, slik at ∂ρ/∂z < 0. Dersom ∂ρ/∂z > 0,
seier vi at væsken er statisk ustabil. Sistnevnte tilstand vil føre til vertikal blanding inntil væsken
oppnår nøytral eller positiv stratifisering.
For havet er typisk 1024 kg m−3 < ρ < 1028 kg m−3 . (158) endrer seg lite om vi velger ρref =
1024 kg m−3 , 1026 kg m−3 eller 1028 kg m−3 . g 0 er derfor bestemt av ∆ρ. Dette gir oss en frihet
til å bruke den ρref som forenkler et uttrykk så lenge ρref er representativ for de væskene vi
betrakter.
(158) brukes for å uttrykke at gravitasjonen fører til en akselerasjon i z-retningen bare dersom
partikkelens tetthet er ulik tettheten til den omkringliggende væsken.
44
Figur 23: øverst: Illustrasjon på et laboratorieeksperiment med et rundt roterende kar med med
en tung (grøn) væske i sentrum og en lettere (hvit) væske utenfor. Grunnet rotasjonen holder
den tunge væsken seg i en konisk sektor rundt rotasjonsaksen. Figur 7.16 i Marshall & Plumb
(2008). Nederst: NCAR/NCEP reanalyse av sonalt midlet potensiell temperatur. Den heltrukne
linjen er rettet langs en isobar. De gule og hvite pilene betegner to ulike veier fra det nederste
til det øverste røde punktet på isobaren. Figur fra http://www.ecmwf.int/research/era/ERA40 Atlas/docs/section D25/parameter zmpttp.html.
45
4.4
Margules sammenheng9
Margules sammenheng er illustrert i figur 23: I et roterende system vil en tung væske beskrive en
konisk form rundt og opp langs rotasjonsaksen på tross av at gravitasjonskraften prøver å smøre
den tunge væsken horisontalt utover.
Kraftbalansen mellom gravitasjon og rotasjon som opprettholder den koniske formen til den
tunge væsken kan utledes ved å betrakte trykkendringen mellom de to røde punktene på figur
23.
For det første har vi at trykket p varierer i retningene y og z, det vil si at p = p(y, z). Taylorrekkeutvikling av p til laveste orden gir (se seksjon A.13)
δp =
∂p
∂p
δy +
δz
∂y
∂z
Trykkendringen langs vei 1 og vei 2 i fugur (23) må være lik, slik at
∂p
∂p
∂p
∂p
δy +
δz
=
δy +
δz
∂y
∂z
∂y
∂z
vei 1
vei 2
(159)
(160)
Hydrostatisk tilnærming gir sammenhengen mellom vertikal endring av p og gravitasjon
∂p
= −ρg
∂z
(161)
∂p1
∂p2
δy − ρ1 gδz =
δy − ρ2 gδz
∂y
∂y
(162)
(161) innsatt i 160 gir
Ved å dividere (162) med δy, får vi
∂p1
δz
∂p2
δz
− ρ1 g
=
− ρ2 g
∂y
δy
∂y
δy
(163)
∂p1
∂ρ2
δz
∂y − ∂y
=
δy
g (ρ1 − ρ2 )
(164)
eller
Fra figur 23 følger det at
tan γ =
δz
δy
∂p1
∂y
−
(165)
(164) kombinert med (165) gir
tan γ =
∂ρ2
∂y
g (ρ1 − ρ2 )
(166)
Trykk-gradienten i (166) kan uttrykes ved hjelp av geostrofisk hastighet ug (se (73))
ug = −
1 ∂p
ρf ∂y
eller
∂p
= −ug ρf
∂y
(167)
9 Se også seksjon 5.2 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, 2007
46
Dette gir at
tan γ =
ug2 ρ2 f − ug1 ρ1 f
ρref f (ug2 − ug1 )
f
≈
= 0 (ug2 − ug1 )
g (ρ1 − ρ2 )
g (ρ1 − ρ2 )
g
(168)
I (168) har vi brukt at ρ1 ≈ ρ2 ≈ ρref og redusert gravitasjon (158) på formen
g0 = g
ρ1 − ρ2
ρref
(169)
Margules sammenheng følger direkte fra (168)
ug2 − ug1 =
g 0 tan γ
f
(170)
eller for ϕ ≈ 90◦ N (for rotasjonsakseksperimentet i øvre del av figur 23 eller ved nordpolen i
nedre del av figur 23)
g 0 tan γ
(171)
ug2 − ug1 =
2Ω
Margules sammenheng (170) og (171) gir differansen i geostrofisk vind for to z-nivåer, og er
følgelig en variant av termalvind diskutert i seksjon 3.6.
4.5
Rossbys tilpasningsproblem
Et idealisert oppsett med en tung væske omringet av en lettere væske, som illustrert i figur 23,
er vist i figur 24. Rossbys tilpasningsproblem gir de karakteristiske rom- og tidskalaene som
Figur 24: Illustrasjon av en likevektssituasjon for en roterende, sirkulær beholder med en tung
væske med tetthet ρ1 i sentrum, omringet av en lettere væske med tetthet ρ2 . Initielt er væske
1 og 2 separert ved radius r1 (konstant).
beskriver likevektssituasjonene vist i figur 24. Denne sammenhengen følger fra (171).
47
4.5.1
Venstre side av (171)
Ser vi bort fra friksjon, som er en akseptabel antagelse når vi holder oss borte fra bunnen i det
roterende karet, gjelder spinnsatsen
Ωr2 + ur = konst
(172)
Den initielle rotasjonen for systemet ved radius r1 er Ωr1 . Det følger da fra spinnsatsen at
Ωr2 + ur = Ωr12
(173)
der r og u er endringer av radius og hastighet i forhold til initiell tilstand, det vi si etter at vi
frigjør den indre (tunge) væsken.
Når den tunge væsken er fri til å tilpasse seg ny likevektssituasjon som vist i figur 24, vil den få
en konisk form med radius r > r1 nede og radius r < r1 oppe i karet. Betegner vi endringen i
radius relativt r1 med δr og hastighetsendringen δu, følger det fra (173) at
Ω(r1 + δr)2 + δu(r1 + δr) = Ωr12
(174)
Ω(r12 + 2r1 δr + δr2 ) + δu(r1 + δr) = Ωr12
(175)
eller
For små endringer er de kvadratiske δ-leddene, det vil si Ωδr2 og δu δr, mye mindre enn de
lineære δ-leddene, slik at vi kan tilnærme (175) med
2Ωr1 δr + δu r1 = 0
(176)
δu = −2Ωδr
(177)
Dette gir
(177) viser at konestrukturen vil få økt azimutal hastighet oppe (hvor δr < 0) og redusert
azimutal hastighet nede (hvor δr > 0) relativt til den initielle rotasjonshastigheten Ωr1 .
Det følger da at
δu2 = 2Ω|δr|
(178)
δu1 = −2Ω|δr|
(179)
og
Innsatt i Margules sammenheng (171), får vi
δu2 − δu1 = 4Ω|δr|
(180)
Skulle den initielle sylinderen med tung væske ha en vinkel ϕ til rotasjonsaksen, vil (177) ha
følgende form
δu = −f δr
(181)
der Coriolisparameteren f = 2Ω sin ϕ. I så fall kan ligningene (178–(180) uttrykkes med f i stedet
for 2Ω.
48
4.5.2
Høyre side av (171)
Det følger fra figur 24 at
H
2|δr|
videre benytter vi oss av redusert gravitasjon, se (158),
tan γ =
g0 = g
∆ρ
ρ
(182)
(183)
For en væske som er stabilt stratifisert, det vil si at en lett væske ligger over en tyngre væske,
er g 0 > 0. I vårt tilfelle har vi en stabil stratifisering (siden væsken med tetthet ρ2 ligger over
væsken med tetthet ρ1 , og ρ1 > ρ2 ), slik at
g0 = g
ρ1 − ρ2
ρ
(184)
Det følger da at
g0 H
ρ1 − ρ2
H
ρ
g ρ1 − ρ2 2
H
=
ρ H
g ρ2 − ρ1 2
= −
H
ρ H
= N 2H 2
= g
(185)
(186)
(187)
(188)
Her er N Brunt-Väsälä frekvensen (se seksjon 4.2)
g ρ2 − ρ1
g ∂ρ
=−
ρ ∂z
ρ H
(189)
g 0 tan γ
g0 H
N 2H 2
=
=
2Ω
4|δr|Ω
4|δr|Ω
(190)
N2 = −
Høyre side av (171) kan da skrives som
4.5.3
Rossby deformasjonsradius
Margules sammenheng gitt ved (171) kan nå uttrykkes ved hjelp av (180) og (190). Løser vi med
hensyn på |δr|, får vi
√ 0
gH
NH
2|δr| =
=
≡ Lρ
(191)
2Ω
2Ω
I uttrykket over er Lρ Rossby deformasjonsradius, som er den karakteristiske lengdeskala hvor
effekten av rotasjon er sammenlignbar med (eller balanserer) effekten av stratifisering (det vil si
gravitasjon).
Rossby deformasjonsradius er en fundamental størrelse for dynamikken i atmosfæren og havet;
den gir lengeskalaen til lavtrykk i atmosfæren og hvirvler i havet. For midlere breddegrader
(|ϕ| ≈ 20 − 40◦ ) er Lρ ≈ 700 km for atmosfæren og 50 km for havet (se figur 25). For høyere
breddegrader avtar Lρ , mens Lρ øker mot ekvator. Ved ekvator kan Rossby deformasjonsradius
gitt ved (191) ikke benyttes da uttrykket ikke gjelder for små |ϕ| (Rossby-tallet R0 er da ikke
(mye) mindre enn 1, i motsetning til antagelsen for geostrofisk balanse, nemlig R0 1).
49
Figur 25: Utledet Rossby deformasjonsradius (i km) i havet. Figur fra Chelton et al., 1998.
4.6
Frigjøring av potensiell energi10
Grunnet temperaturgradienten mellom lave og høye breddegrader framkommer termalvindbalansen med en østgående jetstrøm på rundt 30◦ på begge halvkuler, som skissert i figur 26.
Men varme (og momentum) kan ikke transpoteres på tvers av jetstrømmen. Mekanismen som
bringer varme og momentum fra lave til høye breddegrader, og motsatt, kulde fra høye til lave
breddegrader, er lav- og høytrykk på midlere breddegrader. Vi kaller lav- og høytrykk for synoptiske systemer. Og for en roterende kule som jorden med høy temperatur i tropene og lav
temperatur mot polene, vil synoptiske systemer alltid oppstå på midlere breddegrader. Disse
synoptiske systemene kommer derfor i tillegg til jetstrømmen grunnet termalvind.
Bevegelsesenergien til de synoptiske systemene kommer fra tap av potensiell energi knyttet til
bevegelsen til de synoptiske systemene. Hovedmekanismen er at varm luft fra tropene løftes i
atmosfæren når den strømmer mot høyere breddegrader, mens kald luft fra høye breddegrader
synker i atmosfæren på vei mot tropene. Begge bevegelsene medfører tap av potensiell energi. Se
tekst omkring figur 8.8 i Marshall & Plumb (2008) for en diskusjon om dette.
Overgang fra potensiell til kinetisk energi i forbindelse med synoptisk aktivitet på midlere breddegrader kan utledes basert på figur 27. Vi betrakter to væskepartikler med tetthet ρ1 og ρ2
i posisjon (y1 , z1 ) og (y2 , z2 ). Partiklene bytter så plass som del av sirkulasjonen i et lav- eller
høytrykk. Vi antar at atmosfærens tetthet er kun en funksjon av potensiell temperatur, ρ = ρ(θ),
med isolinjer for potensiell temperatur og potensiell tetthet som vist i figur 27.
Initiell potensiell energi for de to væskepartiklene med tetthet ρ1 og ρ2 i posisjon (y1 , z1 ) og
(y2 , z2 ) er
P Estart = g(ρ1 z1 + ρ2 z2 )
(192)
10 Se også seksjon 9.1–9.3 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version:
December 11, 2007.
50
Figur 26: Grunnet netto innstråling ved lave breddegrader og netto varmetap på høye breddegrader er det en markant meridional temperaturgradient på jorden. Denne temperaturgradienten
gir opphav til vestavindsbeltene på rundt 30◦ på begge halvkuler. Men en konfigurering som
skissert i figuren er ustabil; lav- og høytrykk vil oppstå på midlere breddegrader og det er disse
synoptiske systemene som står for utjevningen av varme og momentum i meridional retning.
Figur 27: Atmosfære med isotermer for potensiell temperatur θ med stigningstall s1 (avtagende
temperatur i positiv y-retning, økende potensiell temperatur i positiv z-retning). Vi betrakter
endring av potensiell energi ved ombytte av partiklene (y1 , z1 ) og (y2 , z2 ).
51
Etter ombytte av væskepartiklene er den potensielle energien
P Eslutt = g(ρ2 z1 + ρ1 z2 )
(193)
Endring i potensiell energi kan da uttrykkes som
∆P E = P Eslutt − P Estart = g(ρ2 z1 + ρ1 z2 − ρ1 z1 − ρ2 z2 )
(194)
(194) kan skrives som
∆P E = −g(ρ2 − ρ1 )(z2 − z1 ) = −g∆ρ∆z
(195)
der
∆ρ = ρ2 − ρ1
og
∆z = z2 − z1
(196)
Uttrykk (195) sier at potensiell energi forblir uforandret dersom de to væskepakkene ligger på
samme nivå (z1 = z2 ) eller dersom de to væskepartiklenes tetthet er lik (ρ1 = ρ2 ). Sistnevnte situasjon betyr at væskepartiklene bytter plass langs isotermene for potensiell temperatur.
Potensiell energi vil bare øke når z2 > z1 og ρ2 < ρ1 . Dette kan kvantifiseres som beskrevet
under.
∆z kan uttrykkes ved hjelp av ∆y siden
∆z
∆y
(197)
∆z = s∆y
(198)
tan s =
For små s er tan s ≈ s, slik at
Videre har vi at siden ρ varierer i y- og z-retningene, gjelder (se seksjon A.13)
∆ρ ≈
∂ρ
∂ρ
∆y +
∆z
∂y
∂z
(198) og (199) innsatt i (195), gir
∂ρ
∂ρ ∂ρ
∂ρ
∆y +
s∆y s∆y = −g
+
s s(∆y)2
∆P E = −g
∂y
∂z
∂y
∂z
(199)
(200)
Figur 28: Illustrasjon for overgang fra horisontal koordinat (∂p/∂y) til trykk-koordinat (∂p/∂z).
Videre kan vi uttrykke ∂ρ/∂y med hensyn på ∂ρ/∂z. Til dette benytter vi at den potensielle
temperaturen θ, og med det tettheten siden ρ = ρ(θ), er konstant langs isolinjene i figur (28).
Det følger da at
∂ρ
ρb − ρa
ρb − ρc
=
=
(201)
∂y
yb − ya
yb − ya
52
hvor vi har brukt at ρa = ρc i den siste overgangen. Videre har vi at
∂ρ
ρc − ρb
=
∂z
zc − zb
(202)
Ved å kombinere (201) og (202), følger det at
∂ρ
zc − zb ∂ρ
∂ρ
∂ρ
=−
= − tan s1
≈ −s1
∂y
yb − ya ∂z
∂z
∂z
I siste overgang har vi brukt at tan s1 ≈ s1 for liten s1 . (203) innsatt i (200) gir
∂ρ
∂ρ
∆P E = −g
s−
s1 s(∆y)2
∂z
∂z
g ∂ρ
= ρref −
(s − s1 ) s(∆y)2
ρref ∂z
(203)
(204)
= ρref N 2 (s − s1 )s(∆y)2
der ρref er en typisk (eller referanse) tetthet og N er oppdriftsfrekvensen (eller Brunt-Väisälä frekvensen, se seksjon 4.2) gitt ved
g ∂ρ
N2 = −
(205)
ρref ∂z
(204) kan skrives som
∆P E = ρref N 2 (y2 − y1 )2 s(s − s1 )
(206)
∆P E ∝ s(s − s1 )
(207)
Det følger derfor at
(207) uttrykker at den potensielle energien avtar – og med det at den kinetiske energien øker –
for
0 < s < s1
(208)
(208) er et sentralt resultat: Frigjøring av potensiell energi forkommer for væskepartikler som
bytter plass innenfor en vertikal sektor s avgrenset av 0 < s < s1 . Det er overgangen fra potensiell
til kinetisk energi i denne sektoren som tilfører kinetisk energi til atmosfærens virvler.
Det framkommer også av (207) at den mest effektive overgangen fra potensiell til kinetisk energi
finner sted for den verdi av s som tilfredsstiller
∂∆P E
=0
∂s
∂
(s(s − s1 )) = 0
∂s
eller
(209)
det vil si for
s1
2
eller for vinkelen s som halverer sektoren avgrenset av konstant høyde z og vinkelen s1 .
s=
4.7
(210)
Potensiell energi
Potensiell energi til et system er gitt ved produktet mgh, der m er massen, g er gravitasjonskonstanten og h er en høyde i gravitasjonens retning (vertikal retning) som potensiell energi beregnes
relativt til.
53
For et system med volum dV = dxdydz og tetthet ρ, kan potensiell energi P E uttrykkes
som
P E = ρ dV gz = gzρ dV
(211)
Her betegner z høyden som P E beregnes relativt til.
For en væske begrenset av et bestemt volum, kan potensiell energi for væsken uttrykkes som
Z
P E = g zρ dV
(212)
Her er integrasjonen over volumet V som avgrensen væsken.
4.8
Beregning av potensiell energi for en tolagsmodell
Figur 29: Illustrasjon på en tolagsmodell med en væske med tetthet ρ1 for 0 < z < h(y) og
ρ2 < ρ1 for h(y) < z < H. Grenseflaten mellom væskene er gitt ved z = h(y) = H/2 + γy. Figur
8.9 i Marshall & Plumb (2008).
Potensiell energi per enhetslengde for tolagsmodellen vist i figur 29 er gitt ved
Z
H
Z
L
PE =
gρz dy dz
0
(213)
−L
Siden det er noen skrivefeil i boken i utledningen av den potensielle energien for en tolagsmodell
(side 296 i Marshall & Plumb 2008), gjentas gjennomgangen her.
Integrasjonen i z-retningen kan splittes i to intervaller, et fra z = 0 til z = h(y) (med tetthet ρ1 )
og et fra z = h(y) til z = H (med tetthet ρ2 )
Z
h(y)
Z
L
PE =
Z
H
Z
L
gρ1 z dy dz +
0
−L
gρ2 z dy dz
h(y)
(214)
−L
Siden ρ er konstant for hvert av de to delintervallene av z, samt at g er konstant, kan (214)
skrives som
!
!
Z L
Z h(y)
Z L
Z H
PE =
gρ1
z dz dy +
gρ2
z dz dy
(215)
−L
−L
0
54
h(y)
z-integralene i (215) kan løses direkte
Z
L
PE =
gρ1
−L
2
Z L
1 2
H
h2 (y)
h (y) dy +
gρ2
−
dy
2
2
2
−L
Siden
(216)
H
+ γy
2
(217)
H2
+ Hγy + γ 2 y 2
4
(218)
h(y) =
følger det at
h2 (y) =
og
H 2 − h2 (y) =
3H 2
− Hγy − γ 2 y 2
4
(219)
Innsatt i (216) gir dette
Z H2
gρ2 L 3H 2
2 2
2 2
+ Hγy + γ y dy +
− Hγy − γ y dy
4
2 −L
4
−L
L
L
Hγ 2 γ 2 3
gρ2 3H 2
Hγ 2 γ 2 3
gρ1 H 2
y+
y + y
+
y−
y − y
=
2
4
2
3
2
4
2
3
−L
−L
2
2
2
2
gρ1 H
2γ 3
gρ2 3H
2γ 3
=
L+0+
L +
L−0−
L
2
2
3
2
2
3
H 2L
γ 2 L3
+ g (ρ1 + 3ρ2 )
= g (ρ1 − ρ2 )
3
4
gρ1
PE =
2
Z
L
(220)
Det siste leddet i siste linje i uttrykket over kan omskrives
g (ρ1 + 3ρ2 )
H 2L
3
3g 0
= gρ1 H 2 L − g (ρ1 − ρ2 ) H 2 L = ρ1 g −
H 2L
4
4
4
hvor
g0 =
g (ρ1 − ρ2 )
ρ1
(221)
(222)
er den reduserte gravitasjonen (se 158).
Det følger da at (220) kan skrives som
PE =
1
3g 0
ρ1 g 0 γ 2 L3 + ρ1 g −
H 2L
3
4
Minste potensiell energi fåes for γ = 0 (når grenseflaten i figur 29 er horisontal), slik at
3g 0
P Emin = ρ1 g −
H 2L
4
(223)
(224)
Tilgjengelig potensiell energi (available potential energy, APE) er da
AP E = P E − P Emin =
55
1
ρ1 g 0 γ 2 L 3
3
(225)
4.9
Kinetisk energi
Kinetisk energi til et system er gitt ved produktet (1/2)mu2 , der m er masse og u er fart.
4.10
Kinetisk energi uttrykt med termalvind i en tolagsmodell
Assosiert med tolagsmodellen i figur 29 er det en termalvind. Margules sammenheng (170), for
små γ slik at tan γ ≈ γ, gir
g0 γ
ug2 ≈
(226)
f
hvor vi har antatt at ug2 ug1 .
Den kinetiske energien er da (for ug1 ≈ 0)
Z
H
Z
L
1
ρ2 u2g2 dydz
−L 2
h
Z LZ H
1
= ρ2 u2g2
dzdy
2
−L h(y)
Z L
1
H
2
= ρ2 ug2
− γy dy
2
2
−L
0 2
1
gγ
= ρ2
HL
2
f
KE =
(227)
Forholdet mellom AP E og KE fra (225) og (227) er
2 f 2 L2
AP E
=
KE
3 g0 H
(228)
hvor vi har benyttet at ρ1 ≈ ρ2 .
Fra definisjonen av Rossby deformasjonsradius (191) følger det at
L2ρ =
g0 H
f2
(229)
(228) kan da forenkles til
AP E
2
=
KE
3
L
Lρ
2
(230)
I atmosfæren er L ∼ 5000 km og Lρ ∼ 1000 km, så (L/Lρ )2 10. (230) uttrykker derfor at den
potensielle energien knyttet til løftingen av varm luft, fra tropene mot høyere breddegrader, og
senkingen av kald luft fra høye breddegrader til tropene, langt overstiger den kinetiske energien
knyttet til jetstrømmens termalvind.
56
5
Vinddrevet havsirkulasjon
To sentrale teorier for vinddrevet havsirkulasjon er oppkalt etter den svenske oseanografen Vagn
Walfrid Ekman (1874-1954) og den norske oseanografen Harald Ulrik Sverdrup (1888-1957).
Begge teoriene er utviklet basert på de samme ligningene; horisontal momentumligning for R0 1 (se seksjon 3.2.2) og bare friksjon på havets overflate (i dette tilfellet vindstress τ ):
−f v +
1 ∂p
1 ∂τx
=
ρref ∂x
ρref ∂z
1 ∂p
1 ∂τy
fu +
=
ρref ∂y
ρref ∂z
(231)
Horisontal hastighet uh = (u, v) i (231) kan splittes i et geostrofisk ug og et ageostrofisk uag
bidrag, slik at
uh = ug + uag
(232)
(231) kan defor skrives
−f (vg + vag ) +
1 ∂τx
1 ∂p
=
ρref ∂x
ρref ∂z
1 ∂p
1 ∂τy
f (ug + uag ) +
=
ρref ∂y
ρref ∂z
(233)
Per definisjon er den geostrofiske tilnærmingen gitt ved
ug = −
1 ∂p
f ρref ∂y
og
vg =
1 ∂p
f ρref ∂x
(234)
Den ageostrofiske tilnærmingen er da
uag =
1 ∂τy
f ρref ∂z
og
vag = −
1 ∂τx
f ρref ∂z
(235)
Siden hastighetskomponentene (u, v) forekommer lineært i (233), kan løsningen av (233) forenkles
ved å løse de geostrofiske og ageostrofiske uttrykkene (234) og (235) hver for seg. Løsningen av
(233) er da gitt ved (232).
I tillegg til (231) og (233), kan kontinuitetsligningen for en inkompressibel væske uttrykkes
som
∂w
∇ · u = 0 eller ∇h · uh +
=0
(236)
∂z
Her er ∇h = x̂ ∂/∂x + ŷ ∂/∂y den horisontale gradient-operatoren. Innsatt (232), får vi
∇h · (ug + uag ) +
∂w
=0
∂z
(237)
Det følger da at når de horisontale hastighetskomponentene ug og uag er kjent, kan (237) benyttes
for å bestemme den vertikale hastighetskomponenten w.
Betrakter vi åpent hav (eller den frie atmosfære) der friskjonen er liten, det vil si at vi holder
oss borte fra Ekmanlaget, er høyre side av (233) neglisjerbar, slik at u ≈ ug , der ug er gitt ved
(234) og tilhørende vertikalhastighet er gitt ved (237) med uag = 0. I Ekmanlaget dominerer
høyre side av (233), slik at u ≈ uag , der uag er gitt ved (235) og tilhørende vertikalhastighet er
gitt ved (237) for ug = 0.
57
5.1
Ekman teori11
Ekman-teorien følger antagelsene gitt over. I tillegg er Ekman-teorien basert på en idealisert
geometri i det vi betrakter et hav med uendelig horisontal utbredelse. I vertikalen betrakter vi to
lag; det øvre, tynne Ekman-laget avgrenset av −δ < z < 0, og under det termoklinen avgrenset
av −H < z < −δ. Typiske verdier for δ er 20-100 m, mens H ≈ 300 − 500 m.
5.1.1
Horisontal massetransport i Ekman-laget
Netto massetransport midlet over Ekman-laget finnes ved å integrere den ageostrofiske ligningen
(235) over Ekman-laget. Den ageostrofiske ligningen kan skrives på vektorform som
fẑ × uag =
1 ∂τ
ρref ∂z
(238)
Multipliserer vi (238) med ρref og integrerer uttrykket fra bunnen av Ekman-laget, z = −δ, til
overflaten z = 0, får vi
Z 0
Z 0
∂τ
dz = τ (0) − τ (−δ)
(239)
fẑ ×
ρref uag dz =
−δ
−δ ∂z
Siden τ (z = 0) = τvind og τ (z = −δ) = 0, kan (239) skrives som
fẑ × MEk = τvind
(240)
I uttrykket over er
Z
0
MEk ≡
ρref uag dz
(241)
−δ
den laterale (horisontale) massetransporten i Ekman-laget, kalt Ekman-transporten.
Krysser vi (240) med ẑ fra venstre, som vist til venstre i figur 30, får vi
MEk =
τvind × ẑ
f
(242)
Fra høyre i figur 30 følger det at netto Ekman-transport i Ekman-laget er rettet 90◦ til høyre
for vindstress-vektoren på den nordlige halvkule (f > 0). På den sørlige halvkulen er Ekmantransporten rettet 90◦ til venstre for vindstress-vektoren.
5.1.2
Transport gjennom nedre grenseflate på Ekman-laget
Verikal transport gjennom den nedre grenseflaten på Ekman-laget framkommer av kontinuitetsligningen med ageostrofisk horisontal hastighet
∇h · uag +
∂w
=0
∂z
(243)
11 Se også seksjon 8.6 i Introduction to Geophysical Fluid Dynamics av Benoit Cushman-Roisin og Jean-Marie
Beckers (2010), og seksjon 5.3 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version:
December 11, 2007.
58
Figur 30: Venstre: Orientering av Ekman-transporten MEk i forhold til enhetsvektoren ẑ. Høyre:
Orienteringen av Ekman-transporten på den nordlige halvkule i forhold til vindstress-vektoren
τ.
Integrerer vi (243) over Ekman-laget, får vi
Z 0
Z
∇h ·
uag dz +
−δ
0
−δ
∂w
dz = 0
∂z
(244)
eller
1
∇h · MEk + w(0) − w(−δ) = 0
ρref
Siden w(z = 0) = 0, kan (245) skrives som
wEk =
1
∇h · MEk
ρref
(245)
(246)
der wEk ≡ w(z = −δ).
(242) innsatt inn i (246) gir
τvind × ẑ
∇h ·
ρref
f
1
τvind
τvind
=
−
· ∇h ẑ
ẑ · ∇h ×
ρref
f
f
wEk =
1
(247)
I overgangen over har vi brukt vektoridentiteten
∇ · (a × b) = b · (∇ × a) − a · (∇ × b)
(248)
med a = τvind /f og b = ẑ.
Siden enhetsvektoren ẑ er konstant, følger det fra (247) at vertikal hastighet gjennom den nedre
grenseflaten av Ekman-laget kan uttrykkes som
1
∂ τvind, y
∂ τvind, x
wEk =
−
(249)
ρref ∂x
f
∂y
f
Typisk varierer vindstresset med 0.2 N m−2 over 20 breddegrader. For en breddegrad på rundt
45◦ , følger det da fra (249) at
1
0.2 N m−2
103 kg m−3 1 · 10−4 s−1 × 20 · 111 · 103 m
= 9 × 10−7 m s−1 ≈ 30 m år−1
|wEk | ≈
59
(250)
wEk beregnet fra observert vindstress gir at 15 m år−1 < |wEk | < 50 m år−1 . Til sammenligning
er gjennomsnittlig nedbør ca. 1 m år−1 .
Siden wEk ≈ 30 m år−1 , tar det rundt 10 år på å skifte ut vannet i termoklinen (typisk dyp på
300-500 m) grunnet Ekman-pumping.
5.1.3
Respons av Ekman-pumping under Ekman-laget
Under Ekman-laget gjelder gostrofisk tilnærming gitt ved (234). Horisontal divergens til geostrofisk strøm er
1 ∂p
∂
1 ∂p
∂
−
+
(251)
∇h · ug =
∂x
f ρref ∂y
∂y f ρref ∂x
Utfører vi derivasjonen på uttrykkene i parantes, og bruker at f = f (y), får vi
∇h · ug = −
1 ∂2p
1 ∂2p
1 1 ∂p ∂f
+
−
f ρref ∂x∂y f ρref ∂x∂y f 2 ρref ∂x ∂y
(252)
De to første leddene kansellerer hverandre, mens uttrykket for vg fra (234) kan brukes for å
forenkle det siste leddet. Dette gir
β
(253)
∇h · ug = − vg
f
hvor β = df /dy. Siden f øker med y for alle verdier av y (også på sørlige halvkule), er β =
df /dy > 0, se (259).
Kontinuitetsligningen uttrykt med ug er
∇h · ug +
∂w
=0
∂z
(254)
(253) og (254) gir sammenheng mellom meridional geostrofisk hastighet vg og vertikal hastighet
w siden
∂w
βvg = f
(255)
∂z
Integrerer vi (255) fra termoklinen z = −H til nedre grenseflate for Ekman-laget ved z = −δ,
får vi
Z −δ
Z −δ
∂w
β
vg dz = f
dz = f (w(−δ) − w(−H))
(256)
−H
−H ∂z
Uttrykket over kan skrives som
Z
−δ
vg dz ≈ f wEk
β
(257)
−H
hvor vi har antatt at w(−δ) = wEk w(−H).
Vi kan bruke (257) for å estimere forskjellen i størrelsen til vg og wEk . (257) gir
vg (H − δ) ≈
f
wEk
β
(258)
hvor vg er en typisk (midlet) meridional (nord-sør rettet) hastighet i havet under Ekman-laget.
Siden H δ, er H − δ ≈ H. Videre følger det fra definisjonen av buelengden at dy = a dϕ, slik
at
df
1 df
2Ω
β=
=
=
cos ϕ
(259)
dy
a dϕ
a
60
hvor a er jordens radius. (258) kan derfor skrives som
vg ≈
f wEk
2 Ω sin ϕ wEk
wEk
= 2Ω
= a tan ϕ
β H
H
H
a cos ϕ
(260)
Med en typisk dybde på termoklinen H på 300-500 m, og med jordens radius a = 6.37 · 106 m og
for midlere breddegrader ϕ = 45◦ , følger det at vg ≈ 104 wEk . Typisk verdi for Ekman-pumpingen
er 30 m år−1 , som derfor gir en meridional hastighet vg midlet over termoklinen på rundt 1 cm
s−1 .
5.1.4
Meridional hastighet ved Ekman-pumping forklart med Taylor-Proudman
teoremet12
Taylor-Proudman teoremet kan uttrykkes som
∂u
=0
∂ẑΩ
(261)
hvor ẑΩ er retningen til jordens rotasjonsakse. Antagelsene for TP-teoremet er at vi betrakter
en homogen og roterende væske, at sirkulasjonen er stasjonær (at sirkulasjonen ikke varierer i
tid; ∂/∂t = 0), at friksjonen er neglisjerbar og at Rossbytallet R0 1. For disse antagelsene
uttrykker (261) at komponentene til u er konstant i retningen til jordens rotasjonsakse.
Ved Ekman-pumping føres vann ned gjennom nedre grenseflate av Ekman-laget. En tenkt væskesøyle (kalt en Taylor-søyle) rettet langs ẑΩ kan da endres på to måter; ved at sylinderens radius
øker (venstre del av figur 31) eller at søylens høyde øker (høyre del av figur 31). Begge tilfellene
tilfredsstiller (261).
Figur 31: Figur 10.14 i Marshall & Plumb (2008).
12 Se også diskusjon i seksjon 4.1-4.4 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith,
Version: December 11, 2007.
61
Spinnsatsen anvendt på alternativet til venstre i figur 31 gir at endringen i azimutal hastighet
δuθ er gitt ved (se utledning som leder til (177))
δuθ = −2Ωδr
(262)
(262) sier at δuθ avtar når sylinderens radius r øker. At hastighetskomponenten δuθ endrer seg
som følge av Ekman-pumpingen strider mot en av TP-teoremets antagelser, nemlig at ∂/∂t = 0.
Følgelig kan ikke Taylor-søylen endre seg som vist til venstre i figur 31.
Alternativ 2 er i tråd med TP-teoremet. Den eneste muligheten søylens høyde kan øke (når
Ekman-pumpingen er rettet ned i havet, det vil si for ∂w/∂z < 0), er at søylen beveger seg mot
ekvator. Dette er illustrert i figur 32 hvor Taylor-søylen med høyde d for breddegrad ϕ (rød farge)
øker sin høyde når den beveger seg mot ekvator (grøn farge). Med de gitte vinklene, følger det
Figur 32: Illustrasjon på en Taylor-søyle med høyde d (rød strek) plassert i et hav med tykkelse
h (mørk blå strek). Når søylen beveger seg mot ekvator, vil søylens høyde øke (grøn farge).
at
cos θ =
h
d
(263)
Siden θ = π/2 − ϕ, gjelder
cos θ = cos
π
π
π
− ϕ = cos
cos ϕ + sin
sin ϕ = sin ϕ
2
2
2
Vi får da at
d=
h
sin ϕ
(264)
(265)
Den røde søylen i figur 33 viser geometrien til Taylor-søylen i figur 32. Dersom Taylor-søylens
radius er r, er søylens areal
A = πr2
(266)
Tenker vi oss at nederste grense for Ekman-laget skjærer gjennom Taylor-søylen, vil Ekman-laget
beskrive en ellipse i sylinderen med areal
A0 = πr1 r2
62
(267)
Figur 33: Til venstre vises geometrien til den røde Taylor-søylen i figur 32. Tayolor-søylen har et
areal πr2 , hvor r er søylens radius. Nedre grenseflate til Ekman-laget skjærer gjennom søylen som
illustrert med den stiplede, svarte linjen. Tverrsnittet til arealet av tilhørende ellipse er πr1 r2 ,
hvor r1 og r2 er ellipsens halvakser (og r1 = r). Til høyre vises Taylor-søylen, betraktet parallelt
med ellipsen vist på figuren til venstre.
der r1 og r2 er ellipsens halvakser. Fra venstre del av figur 33 følger det at r1 = r, og fra høyre
del av samme figur gjelder
π
r
−ϕ =
(268)
cos
2
r2
Siden cos(π/2 − ϕ) = sin ϕ (se 264), følger det at
r2 =
r
sin ϕ
(269)
Ellipsens areal A0 kan da skrives som
A0 = πr1 r2 = π
r2
A
=
sin ϕ
sin ϕ
(270)
Det følger nå at Ekman-pumpingen (wEk ) ned i Taylor-søylen er
A0 wEk =
A
wEk
sin ϕ
(271)
Som følge av Ekman-pumpingen, vil søylens høyde h øke. Siden wEk < 0 ved Ekman-pumping
ned i havet, kan vi skrive
Dh
wEk = −
(272)
Dt
(272) innstatt i (271) gir
A0 wEk =
A
A Dh
Dd
wEk = −
= −A
sin ϕ
sin ϕ Dt
Dt
63
(273)
hvor (265) er brukt i siste overgang.
Fra andre og siste likhet i (273) følger det at
wEk
Dd
=−
sin ϕ
Dt
(274)
Siden d er en funksjon av ϕ, d = d(ϕ), gir Taylor-rekkeutvikling til laveste orden at
δd =
∂d
dd
δϕ =
δϕ
∂ϕ
dϕ
(275)
Dividerer vi uttrykket over med δt, får vi for små δd og δϕ at
dd Dϕ
Dd
=
Dt
dϕ Dt
(276)
wEk
dd Dϕ
=−
sin ϕ
dϕ Dt
(277)
Dette gir at
Bruker vi (265), får vi
dd
d
=
dϕ
dϕ
h
sin ϕ
=−
h cos ϕ
sin2 ϕ
(278)
Dernest, basert på definisjonen av en buelengde, følger det at
dy = a dϕ
(279)
hvor a er jordens radius. Den tidsderiverte av (279) gir
Dϕ
Dy
=a
Dt
Dt
Dϕ
v
=
Dt
a
eller
(280)
hvor vi har brukt at Dy/Dt = v.
(278) og (280) innsatt i (277) gir
wEk =
v h cos ϕ
a sin ϕ
(281)
Multipliserer vi uttrykket over med 2 Ω sin ϕ, får vi
2 Ω sin ϕ wEk = vh
2Ω
cos ϕ
a
(282)
Siste uttrykk kan forenkles ved hjelp av Coriolisparameteren f og df /dy siden
f = 2 Ω sin ϕ og
df
2Ω
=
cos ϕ = β
dy
a
(283)
Innsatt i (282) gir dette
f wEk = vhβ
(284)
wEk
h
(285)
eller
βv = f
64
Uttrykket over, baset på Taylor-Proudman teoremet, har samme form som hastighetsbalansen
basert på geostrofi, se (255). De to tilnærmingene er derfor konsistente.
Begge tilnærmingene gir at den vertikalintegrerte meridionale hastigheten generert av wEk er
103 til 104 ganger større enn Ekman-pumpingen selv. Mekanismen for denne akselerasjonen er
Taylor-søylens bevegelse mot ekvator for wEk < 0 og vekk fra ekvator for wEk > 0. Som tidligere
nevnt er typisk verdi for Ekman-pumpingen på 30 m år−1 , som gir en meridional hastighet v ≈ 1
cm s−1 .
5.2
Sverdrupbalanse13
I motsetning til Ekman teorien, betrakter vi nå vinddrevet havsirkulasjon fra havets bunn
(z = −D) til overflaten, og for et hav avgrenset av kontinenter. Siden Sørishavet ikke er avgrenset av kontinenter, gjelder ikke Sverdrupbalansen for dette havområdet. Men Sverdrupbalansen
beskriver ellers havbassengenes respons til vind. Sverdrupbalansen beskriver også, i motsetning
til geostrofi, sirkulasjonen ved ekvator.
Antagelsene for Sverdrupbalansen er R0 1, at tettheten ρ = ρref (det vil si konstant tetthet)
og at friksjonen mot bunn og sider (kontinentene) er liten.
Utledningen av Sverdrupbalansen følger utledningen av termoklinens respons til Ekman-pumping,
se sekjson 5.1.3. Vi starter med de grunnleggende ligningene for vinddrevet havsirkulasjon (231)
−f v +
1 ∂τx
1 ∂p
=
ρref ∂x
ρref ∂z
1 ∂τy
1 ∂p
=
fu +
ρref ∂y
ρref ∂z
(286)
Trykk-leddene i (286) kan elimineres ved å derivere den øverste ligningen med −∂/∂y og den
nederste ligningen med ∂/∂x. Dette gir
∂w
1 ∂ ∂τy
∂τx
βv = f
+
−
(287)
∂z
ρref ∂z ∂x
∂y
hvor de første to leddene er utledet i seksjon 5.1.3, mens vindstress-leddene følger direkte fra
(286).
Integrerer vi (287) over vannsøylen, fra z = −D til z = 0, får vi
Z 0
∂τvind, y
∂τvind, x
1
−
β
v dz = f [w(0) − w(−D)] +
ρref
∂x
∂y
−D
(288)
Siden w(0) = w(−D) = 0, kan (288) skrives som
βV =
1
ρref
ẑ · ∇ × τvind
der
Z
(289)
0
V =
v dz
(290)
−D
13 Se også seksjon 6.3 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, 2007.
65
er dybde-integrert meridional transport. (289) og (290) er Sverdrupbalansen; en av de mest
brukte sammenhengene for å beskrive sirkulasjonen i verdenshavene.
Fra (290) følger det at den vertikalintegrerte meridionale hastigheten V = 0 hvor ∇ × τvind = 0.
Derfor kan ∇ × τvind = 0 (null vind-kurl) brukes for å definere de storstilte gyrene i havet.
I tillegg følger det fra (289) at V ≷ 0 for ẑ · ∇ × τvind ≷ 0 (siden β > 0).
5.2.1
Eksempel, sammenheng mellom Ekman- og Sverdrup-teori
Kommer...
5.2.2
Sverdrupbalanse, geometrisk tolkning
For dybdeintegrert strøm U = (U, V ), må
∇h · U = 0
(291)
For en divergensfri strøm eksisterer det en strømfunksjon ψ (enhet m2 s−1 ) gitt ved
U =−
∂ψ
∂y
og
V =
∂ψ
∂x
(292)
Strømfunksjonen er nyttig da strømmen følger strømfunksjonens isolinjer, og at strømstyrken er
proporsjonal med hvor tett strømfunksjonens isolinjer ligger.
At strømfunksjonen gitt ved (292) tilfredsstiller (291) følger av at
∂U
∂V
+
∂x
∂y
∂
∂ψ
∂ ∂ψ
=
−
+
∂x
∂y
∂y ∂x
2
2
∂ ψ
∂ ψ
=−
+
∂x∂y ∂x∂y
=0
∇h · U =
(293)
Sverdrupbalansen uttrykt ved (289) kan derfor skrives som
βV =β
∂ψ
1
=
ẑ · ∇ × τvind
∂x
ρref
(294)
Sammenhengen representert ved de to siste leddene kan integreres i x-retningen. Siden det ikke
kan være transport på tvers av kontinentene, må U = 0, det vil si at ψ = konst, langs kontinentene.
Siden (294) er en første ordens differensialligning, kan vi bare foreskrive én grenseflatebetingelse.
Grunnet stor hastighet mot vestlig kyst (gjelder for begge halvkuler, tenk på Golfstrømmen og
Brasilstrømmen), bryter Sverdrupbalansen sammen ved vestlig kyst. Følgelig må U = 0 (ψ =
konst) langs østlig kyst. Vi integrerer derfor (294) fra østlig kyst og vestover for å bestemme
ψ.
66
Med valget ψ = 0 ved østlig kyst, følger det at
Z x
1
ψ(x, y) =
(ẑ · ∇ × τvind ) dx
β ρref xøst
Z x ∂τvind, y
1
∂τvind, x
=
−
dx
β ρref xøst
∂x
∂y
Vindene blåser, til laveste orden, i sonal (x-) retning. Derfor er (295) tilnærmet gitt ved
Z x ∂τvind, x
1
ψ(x, y) ≈ −
dx
β ρref xøst
∂y
(295)
(296)
Dersom i tillegg vinden antas å være tilnærmet konstant i sonal retning, betegnet τ̄vind, x , kan
(296) forenkles til
1 ∂ τ̄vind, x
(x − xøst )
β ρref ∂y
1 ∂ τ̄vind, x
=
(xøst − x)
β ρref ∂y
ψ(x, y) ≈ −
(297)
β > 0 for alle breddegrader og (xøst − x) > 0, hvor siste sammenheng følger av at x er rettet i
østlig retning. Fortegnet til ψ er derfor bestemt av fortegnet til ∂ τ̄vind, x /∂y. Derfor er ψ > 0 når
det sonale vindstresset τvind, x øker med økende breddegrad, og vice versa.
Hastighetskomponentene U og V følger når vi kjenner ψ. I tilfellet med konstant sonalt vindstress,
som gitt ved uttrykk (297), er
U =0
V =−
1 ∂ τ̄vind, x
β ρref ∂y
(298)
Volumtransporten i Sv (m3 s−1 ) i et havbasseng, som illustrert for Stillehavet i figur 34, følger
ved å integrere (298) i henholdsvis y- og x-retningene.
I figuren fra Stillehavet er volumtransporten Mv (Sv) like sørøst for Japan ved 30◦ N på rundt
50 Sv. Denne verdien fremkommer ved å integrere V -komponenten i (298) fra ca. 160◦ Ø til 100◦ V,
eller over en distanse tilsvarende 100 breddegrader:
Z
100◦ V
Mv = −
160◦ Ø
1 ∂ τ̄vind, x
1 ∂ τ̄vind, x
dx = −
(100 · 111 · 103 m) ≈ −49 Sv
β ρref ∂y
β ρref ∂y
(299)
I uttrykket over er β = 1.9 × 10−11 og ∂ τ̄vind, x /∂y = 1.3 × 10−7 N m−3 (sistnevnte verdi lest
ut fra panelet til venstre i figur 34). Tilsvarende kan volumtransporten estimeres for alle punkt
i havet (både sonalt og meridionalt).
Merk at figur 34 er basert på vindstresskomponenter i både x- og y-retningene. Det er dette som
er årsaken til at isolinjene viser svake buktninger og at noen av null-isolinjene ikke er rettet i
perfekt sonal retning.
Fra figur 34 ser vi videre at sonalt midlet vindstress τ̄vind, x avtar fra 50◦ S til 20◦ S, og fra
ekvator til 20◦ N. Dette gir V > 0 og sirkulasjon mot klokken på begge halvkuler (stiplede
67
Figur 34: Venstre: Sonalt midlet vindstress for Stillehavet. Midten: Sverdruptransport (i Sv)
beregnet fra (295). Høyre: Sonalt midlet overflatestrøm basert på observasjoner. Figur 10.21 i
Marshall&Plumb (2008). Merk at de to verdiene for Sverdruptransporten ved ca. 10 ◦ N er byttet
om; Sverdruptransporten øker for positive verdier og avtar for negative verdier når en går fra
østlig til vestlig kyst (se uttrykk 297). Konturverdiene ved ca. 10 ◦ N skal derfor være −10 og −20
Sv når en går vestover.
68
isolinjer). Tilsvarende, fra 20◦ S til ekvator, og fra 20◦ N til 45◦ N, øker sonalt midlet vindstress
som innebærer V < 0 og sirkulasjon med klokken (heltrukne isolinjer).
Betrakter vi breddegradsintervallet mellom 50◦ S og 20◦ S, er det her en netto nordgående strøm.
Den nordgående strømmen må kompenseres med en sørgående strøm. Kompensasjonsstrømmen
er alltid lokalisert mot vestlig kyst, i dette tilfellet utenfor østkysten av Australia.
På tilsvarende måte er det en sørgående transport i havbassenget mellom 20◦ N og 45◦ N. Denne transporten er kompensert av en nordgående transport utenfor kysten av Kina og Japan.
Dette er Kuroshio-strømmen. Tilsvarende argumentasjon gjelder for Atlanterhavet. Her er det
den nordgående Golfstrømmen utenfor kysten av USA som kompenserer for sørgående Sverdruptransport mellom 20◦ N og 45◦ N.
Som vi ser beskriver Sverdrupbalansen hovedtrekkene til havstrømmene for alle havbassengene,
inkludert sirulasjonen ved ekvator. Siden Sørishavet ikke er begrenset av land, kan ikke Sverdrupbalansen benyttes for å beskrive sirkulasjonen her.
69
Noen av de følgende seksjonene er også beskrevet i hovedteksten over.
A
A.1
Grunnleggende funksjon- og vektoranalyse
Koordinatsystem
Et koordinatsystem betegner n variable som bestemmer et geometrisk objekt. n = 2 for et
todimensjonalt koordinatsystem og n = 3 for et tredimensjonalt system.
A.1.1
Rektangulære koordinater
Dette er et rettvinklet koordinatsystem. Kalles også et kartesisk koordinatsystem. I tre dimensjoner betegnes gjerne variablene som angir koordinatretningene for x, y og z. Orienteringen til
x, y og z er gitt ved høyrehåndsregelen, se figur 35.
z y x Figur 35: Et rettvinklet koordinatsystem i tre dimensjoner.
A.1.2
Kurvelineære polare koordinater
Dette koordinatsystemet beskrives av en eller flere vinkler relativt aksene i et rektangulært
koordinatsystem, samt avstand fra origo.
Kurvelineære polare koordinater i to og tre dimensjoner er vist i figur 36. Orienteringen til
variablene som angir koordinatretningene er gitt ved høyrehåndsregelen. I to dimensjoner er
gjerne koordinatvariablene r og θ. I tre dimensjoner er ofte koordinatvariablene λ, φ og z, som
for et jordsystem angir lengdegrad (storsirkler som går gjennom polene), breddegrad (storsirkler
går parallelt med ekvator) og radial koordinat.
70
y r θ x Figur 36: Kurvelineære koordinater i to og tre dimensjoner.
A.1.3
Buelengde
For en sirkelbue med radius r er buelengden l gitt ved
l = rθ
(300)
der r er sirkelbuens radius og θ (i radianer) er vinkelen som avgrenser buelengden (se figur 37).
For en sirkel er θ = 2π, og buelengden er lik sirkelens omkrets 2πr.
Figur 37: Buelengden l for en sirkelbue med (lokal) radius r spent ut av vinkelen θ.
A.1.4
Polare koordinater
Polare koordinater er ofte gitt ved r (radial koordinat) og θ (vinkel, polarvinkel eller asimut
koordinat). Fra venstre del av figur 36 har vi at
x
= r cos θ
(301)
y
= r sin θ
(302)
Fra definisjonen av en buelengde, følger det at en liten endring av vinkelen θ, δθ, spenner ut
linjestykket (buelengden) r δθ. En liten endring langs aksen r, δr, involverer ingen rotasjon og
71
gir derfor linjestykket δr. Av dette følger at skalafaktorene for de polare kulekoordinatene, dvs.
faktoren fremfor δr and δθ, er henholdsvis
1 og r.
(303)
Bruk skalafaktorene (303) til å utlede areal og omkrets av en sirkel med radius a. Hint: Integrer
over koordinatvariablene.
A.1.5
Polare kulekoordinater
Polare kulekoordinater i et jordsystem er ofte gitt ved koordinatvariablene λ (lengdegrad), ϕ
(breddegrad) og r (radial retning). Fra høyre del av figur 36 følger det at
x = r cos ϕ cos λ
(304)
y
= r cos ϕ sin λ
(305)
z
= r sin ϕ
(306)
Fra samme figur ser vi at en liten endring av vinkelen λ, δλ, spenner ut linjestykket (buelengden)
r cos ϕ δλ, og at vinkelen ϕ, δϕ, spenner ut linjestykket (buelengden) r δϕ. En liten endring langs
aksen r, δr, gir linjestykket δr. Av dette følger det at skalafaktorene for våre polare kulekoordinater er henholdsvis
r cos ϕ, r og 1.
(307)
Bruk skalafaktorene (307) til å utlede areal og volum av en kule med radius a. Hint: Integrer
over koordinatvariablene.
A.2
Variabel
Variable er de størrelsene som en funksjon avhenger av.
For eksempel er har funksjonen f (x, y) variablene x og y. Variablene i det rektangulære koordinatsystemet over er x, y og z, mens variablene i polare koordinater er λ, ϕ og r.
A.3
Funksjon
Funksjoner er sammenhenger (formler eller lovmessige uttrykk) som gir verdier for ethvert punkt
(x, y, z) eller (λ, ϕ, r).
A.4
Skalarfunksjon
Skalarfunksjonen φ = φ(x, y, z) (eller φ(λ, ϕ, r)) er en én-komponent størrelse (ett tall). En
skalarfunksjon påvirkes ikke av om koordinatsystemet roterer. Eksempler på skalarfunksjoner er
temperatur, trykk, skydekke og saltholdighet.
72
A.5
Vektorfunksjon
Vektorfunskjonen u = u(x, y, z) (eller u = u(λ, ϕ, r)) er en flerkomponent størrelse med lengde
(verdi eller absoluttverdi) og retning. Vektorfunksjonen endrer ikke verdi men vektorfunksjonens
komponenter endrer seg i et roterende koordinatsystem. Eksempler på vektorfunksjoner er vind
i atmosfæren og strøm i havet.
Lengden (verdien) av vektorfunksjonen u betegnes |u|. For u = (ux , uy , uz ) følger det at
q
(308)
|u| = u2x + u2y + u2z
eller alternativt
u2 = u2x + u2y + u2z
A.6
(309)
Skalarprodukt
Skalarproduktet av to vektorer a og b, a · b, er en skalar definert som
a · b ≡ |a||b| cos θ
(310)
For a = (ax , ay , az ) og b = (bx , by , bz ), følger det at
a · b = ax bx + ay by + az bz
(311)
Vis (311) i to dimensjoner x og y. Hint: Tegn vektorene a og b i et koordinatsystem, la θa og
θb være vinklene mellom de to vektorene og x-aksen og bruk at cos(θa ± θb ) = cos θa cos θb ∓
sin θa sin θb .
Videre er
a · b = 0 for a ⊥ b
(312)
Fysisk anvende av skalarproduktet er ofte knyttet til å projisere vektoren a på b, for eksempel
for å bestemme komponenten av kraften a i retning av b.
Skalaridentiteter
a·b
a · (b + c)
= b·a
(313)
= a·b+a·c
(314)
Vis (313) og (314). Hint: Skriv uttrykkene på komponentform.
A.7
Vektorprodukt
Vektorproduktet av to vektorer a og b, a × b, er en vektor definert som
i
j
k a × b = ax ay az = x̂ (ay bz − az by ) − ŷ (ax bz − az bx ) + ẑ (ax by − ay bx )
bx by bz a × b er normal på a og b, og orienteringen er gitt ved høyrehåndsregelen.
73
(315)
(315) Vis at a × b er normal på a og b, og at orienteringen er gitt ved høyrehåndsregelen.
Lengden av a × b er gitt ved uttrykket
|a × b| = |a||b| sin θ
(316)
der θ er vinkelen mellom a og b. Det følger av uttrykket over at |a × b| er lik arealet til parallellogrammet spent ut av a og b.
Vis at (316) er arealet av et parallellogram.
Kryssproduktidentiteter
a × b = −b × a
a × (b + c) = a × b + a × c
(317)
(318)
a × (b × c) 6=
(319)
(a × b) × c
Vis (317), (318) og (319). Hint: Skriv uttrykkene på komponentform.
A.8
Derivasjon i et fikssystem
Et fikskoordintsystem, eller fikssystem i kortform, er et koordinatsystem som ikke roterer, dvs.
et korrdinatsystem som ligger fast i forhold til fiksstjernene, derav navnet. I et slikt system ligger
koordinatsystemets akser, og med det koordinatsystemets enhetsvektorer, fast. Det er derfor ikke
bidrag fra enhetsvektorene når en vektorstørrelse deriveres i et fikssystem.
A.8.1
Gradient til en skalarfunksjon
Gradienten til en skalarfunksjon φ, ∇φ, er en vektor. ∇ kalles grad, del eller nabla.
∇ ≡ x̂
∂
∂
∂
+ ŷ
+ ẑ
∂x
∂y
∂z
(320)
∂φ
∂φ
∂φ
+ ŷ
+ ẑ
∂x
∂y
∂z
(321)
Det følger da at
∇φ = x̂
∇φ er alltid rettet fra lav til høy verdi av φ. ∇φ er også alltid rettet normalt på isoverdiene til φ.
Er vi ute i terrenget og φ er høydekvoter, vil ∇φ derfor være rettet brattest oppover i terrenget.
På tilsvarende måte vil ∇p, hvor p er lufttrykk, alltid være rettet fra lavt til høyt trykk (og stå
normalt på isobarene).
A.8.2
Divergensoperatoren; divergerende og konvergerende vektorfunksjon
Divergensen til en vektorfunksjon a, ∇ · a, er en skalar (ett tall).
∇· kalles div eller divergens. Fra definisjonen av et prikkprodukt, se (311), følger det at
∇·a=
∂ay
∂az
∂ax
+
+
∂x
∂y
∂z
74
(322)
Fysisk tolkning av ∇ · a er knyttet til en kilde eller et sluk til vektorfunksjonen a innenfor et
avgrenset volum.
Fra konserveringsligningen følger det at a øker innenfor volumet dersom ∇ · a < 0. Vi sier da
at vektorfeltet konvergerer. Tilsvarende avtar a dersom ∇ · a > 0. Vi ser da at vektorfeltet
divergerer. For tilfellet ∇ · a = 0, forblir a uforandret innenfor volumet.
A.8.3
Dobbeltderivert
Divergensen til gradienten av skalarfunksjonen φ, ∇ · (∇φ), er en skalarfunksjon og representerer
den dobbeltderiverte av φ. ∇2 kalles del-i-andre.
∇ · (∇φ) = ∇2 φ =
A.8.4
∂2φ ∂2φ ∂2φ
+ 2 + 2
∂x2
∂y
∂z
(323)
Kurl
Kurlen til en vektorfunskjon a, ∇ × a, er en vektor. ∇× kalles kurl. ∇ × a står alltid normalt på
∇ og a, og retningen er gitt ved høyrehåndsregelen.
i
j
k ∂
∂az
∂ay
∂az
∂ax
∂ay
∂ax
∂
∂ ∇ × a = ∂x ∂y
=
x̂
−
−
ŷ
−
+
ẑ
−
(324)
∂z ∂y
∂z
∂x
∂z
∂x
∂y
ax ay az A.8.5
Relativ, absolutt og potensiell virvling
Kurlen til hastighetsvektoren u kan skrives som
∂w ∂v
∂w ∂u
∂v
∂u
∇ × u = x̂
−
− ŷ
−
+ ẑ
−
∂y
∂z
∂x
∂z
∂x ∂y
(325)
Vertikalkomponenten til ∇ × u kalles relativ virvling og betegnes med symbolet ζ
ζ=
∂v
∂u
−
∂x ∂y
(326)
ζ > 0 betyr rotasjon mot klokken (syklinisk bevegelse) når en observerer rotasjonen overfra på
nordlige halvkule. For ζ < 0, er rotasjonen med klokken (anti-syklinisk bevegelse)
Absolutt virvling er gitt ved summen
ζ +f
(327)
hvor f er Coriolisparameteren 2Ω sin ϕ.
Potensiell virvling er som absolutt virvling, men inkluderer væskens høde h
ζ +f
h
75
(328)
A.9
Vektoridentiteter som involverer del-operatoren
∇ · (∇ × a)
=
0
(329)
∇ × (∇φ)
=
0
(330)
∇ · (φa)
∇ × (φa)
∇ · (a × b)
∇ × (a × b)
∇(a · b)
∇ × (∇ × a)
= φ∇ · a + a · ∇φ
(331)
= φ∇ × a + ∇φ × a
(332)
= b · (∇ × a) − a · (∇ × b)
(333)
= a(∇ · b) − b(∇ · a) + (b · ∇)a − (a · ∇)b
=
(a · ∇)b + (b · ∇)a + a × (∇ × b) + b × (∇ × a)
= ∇(∇ · a) − ∇2 a
(334)
(335)
(336)
Fra (335), følger det at
(a · ∇)a = ∇
1
a · a − a × (∇ × a)
2
(337)
Vis (329)-(337). Hint: Skriv uttrykkene på komponentform.
A.10
Derivasjon i et polarkoordinatsystem
A.10.1
Polare koordinater
Gradient-operatoren i polare koordinater (r, θ) er gitt ved den inverse av skalafaktorene (303)
∂ 1 ∂
∇=
,
(338)
∂r r ∂θ
Figur 38: Kurvelineære polare koordinater i to dimensjoner med tilhørende ortogonale enhetsvektorer er og eθ .
76
Fra figur 38, følger det at enhetsvektorene er og eθ kan skrives som
er
= x̂ cos θ + ŷ sin θ
(339)
eθ
= −x̂ sin θ + ŷ cos θ
(340)
hvor x̂ og ŷ er enhetsvektorene i det faste (x, y) koordinatsystemet. Fra (339) og (340) følger det
at
∂er
=0
∂r
∂eθ
=0
∂r
∂er
= eθ
∂θ
∂eθ
= −er
∂θ
(341)
(342)
Divergensen til hastighetsvektoren u = er ur + eθ uθ , sett fra det faste koordinatsystemet (x, y),
blir da
∂
1 ∂
∇ · u = er
+ eθ
· (er ur + eθ uθ )
∂r
r ∂θ
∂
1
∂
= er ·
(er ur + eθ uθ ) + eθ ·
(er ur + eθ uθ )
∂r
r
∂θ
!
>
>
>
∂eθ ∂ur
∂u
∂er θ
ur + er
+ uθ + eθ = er ·
(343)
∂r
∂r
∂r
∂r
!
>
>
1
∂er
∂eθ ∂uθ
∂u
r
+ eθ ·
ur + er + uθ + eθ
r
∂θ
∂θ
∂θ
∂θ
=
∂ur
ur
1 ∂uθ
+
+
∂r
r
r ∂θ
Her har vi benyttet at er · er = eθ · eθ = 1, er · eθ = 0 og uttrykkene (341) og (342). Skråpilene
viser leddene som ikke gir bidrag.
Ved å kombinere de to første leddene i uttrykket over, får vi
∇·u=
1 ∂
1 ∂uθ
(rur ) +
r ∂r
r ∂θ
(344)
På tilsvarende måte finner vi at
1 ∂
∇ φ=
r ∂r
2
∂φ
r
∂r
+
1 ∂2φ
r2 ∂θ2
(345)
Vis (345).
A.10.2
Polare kulekoordinater
Gradient-operatoren i polare kulekoordinater (λ, ϕ, r) er gitt ved den inverse av skalafaktorene
(307)
1
∂ 1 ∂ ∂
∇=
,
,
(346)
r cos ϕ ∂λ r ∂ϕ ∂r
77
Divergensen til hastighetsvektoren u = eλ u + eϕ v + er w, blir da
∇·u=
Videre er
1 ∂u
1 ∂v cos ϕ
1 ∂wr2
+
+ 2
r cos ϕ ∂λ r cos ϕ ∂ϕ
r ∂r
1
∂2φ
∂
1
+ 2
∇ φ= 2
2
2
r cos ϕ ∂λ
r cos ϕ ∂ϕ
2
∂φ
cos ϕ
∂ϕ
1 ∂
+ 2
r ∂r
(347)
2 ∂φ
r
∂r
(348)
I tilfellet med konstant r, kan det siste leddet i (347) og (348) forenkles siden r2 -faktorene
kansellerer hverandre.
Vis (347) og (348). Hint: Enhetsvektorene eλ , eϕ og er , uttrykt i kartesiske (x, y, z) koordinater, er
eλ
=
(− sin λ, cos λ, 0)
(349)
eϕ
=
(− cos λ sin ϕ, − sin λ sin ϕ, cos ϕ)
(350)
er
=
(cos λ cos ϕ, sin λ cos ϕ, sin ϕ)
(351)
Polare kulekoordinater (λ, ϕ, r), hvor λ spenner ut øst-vest retningen (sonal retning), ϕ spenner ut
nord-sør retningen (meridional retning) og r er radial koordinat, er vist til høyre i figur 36.
Skalafaktorene for henholdsvis λ-, ϕ- og r-retningen, er
r cos ϕ,
r,
1
Gradient-operatoren er gitt ved den inverse av skalafaktorene, altså
∂ 1 ∂
∂
1
,
,
∇=
r cos ϕ ∂λ r ∂ϕ ∂r
(352)
(353)
Alternativt kan (353) uttrykkes med hjelp av enhetsvektorene eλ , eϕ og er i henholdsvis λ-, ϕ- og
r-retningen. Dette gir
eλ
∂
∂
eϕ ∂
∇=
+
+ er
(354)
r cos ϕ ∂λ
r ∂ϕ
∂r
Enhetsvektorene eλ , eϕ og er har følgende komponenter i x, y, z koordinatsystemet
eλ
=
(− sin λ, cos λ, 0)
(355)
eϕ
=
(− cos λ sin ϕ, − sin λ sin ϕ, cos ϕ)
(356)
er
=
(cos λ cos ϕ, sin λ cos ϕ, sin ϕ)
(357)
Enhetsvektorene eλ , eϕ og er er ortogonale vektorer. Det følger derfor at
1 dersom n = m
en · em =
0 dersom n 6= m
(358)
der n og m er alle mulige permutasjoner av λ, ϕ og r.
I motsetning til enhetsvektorene i et kartesisk koordinatsystem som ligger fast, varierer enhetsvektorene
eλ , eϕ og er i rommet, i dette tilfellet med λ og ϕ, se (355)–(357). Det følger fra (355)–(357) at
∂
∂
∂
eλ =
eϕ =
er = 0
∂r
∂r
∂r
78
(359)
Videre er variasjonen av enhetsvektorene i ϕ-retningen
∂
eλ
∂ϕ
∂
eϕ
∂ϕ
∂
er
∂ϕ
=
0
(360)
=
(− cos λ cos ϕ, − sin λ cos ϕ, − sin ϕ) = −er
(361)
=
(− cos λ sin ϕ, − sin λ sin ϕ, cos ϕ) = eϕ
(362)
og, på tilsvarende måte, er variasjonen i λ-retningen
∂
eλ
∂λ
∂
eϕ
∂λ
∂
er
∂λ
=
(− cos λ, − sin λ, 0) = sin ϕ eϕ − cos ϕ er
(363)
=
(sin λ sin ϕ, − cos λ sin ϕ, 0) = − sin ϕ eλ
(364)
=
(− sin λ cos ϕ, cos λ cos ϕ, 0) = cos ϕ eλ
(365)
Divergensen til hastighetsvektoren u = eλ u + eϕ v + er w, blir da
1
∂ 1 ∂ ∂
∇·u=
,
,
· (u, v, w) = D1 + D2 + D3
r cos ϕ ∂λ r ∂ϕ ∂r
(366)
Her er, for oversiktens skyld, divergensen delt i tre bidrag: D1 , D2 og D3 . Vi har da
D1
∂
eλ
· (eλ u + eϕ v + er w)
r cos ϕ ∂λ
=
(367)
!
>
> ∂er
>
∂v
∂w
eλ
∂e
∂u
∂eϕ
λ
·
u + eλ
+
v + eϕ +
w + er r cos ϕ
∂λ
∂λ
∂λ
∂λ
∂λ
∂λ
∂u
eλ
· eλ
− eλ sin ϕ v + eλ cos ϕ w
r cos ϕ
∂λ
1 ∂u
v sin ϕ
w
−
+
r cos ϕ ∂λ
r cos ϕ
r
=
=
=
(368)
(369)
(370)
hvor skråpilene viser ledd som ikke gir bidrag.
Videre er
D2
=
=
=
eϕ ∂
· (eλ u + eϕ v + er w)
r ∂ϕ


∂eϕ
∂u
eϕ  ∂eλ
∂v
∂er
∂w

·
u + eλ
+
v + eϕ
+
w + er
r
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
w
1 ∂v
+
r ∂ϕ
r
(371)
(372)
(373)
og, til slutt,
D3
=
er
∂
· (eλ u + eϕ v + er w)
∂r
=
er ·
=
∂w
∂r
>
>
> ∂eϕ
>
> ∂er ∂u
∂v
∂e
∂w
λ
u + eλ + v + eϕ + w + er
∂r ∂r ∂r
∂r
∂r
∂r
(374)
!
(375)
(376)
79
Siden ∇ · u = D1 + D2 + D3 , følger det at
∇·u=
1 ∂u
v sin ϕ
1 ∂v
2w
∂w
−
+
+
+
r cos ϕ ∂λ
r cos ϕ
r ∂ϕ
r
∂r
(377)
På høyre side i uttrykket over kan ledd to og tre, og ledd fire og fem, slåes sammen. Vi får da
∇·u=
A.10.3
1 ∂v cos ϕ
1 ∂wr2
1 ∂u
+
+ 2
r cos ϕ ∂λ
r cos ϕ ∂ϕ
r ∂r
(378)
Totalderivert uttrykt i kulekoordinater
Den totalderiverte i kartesiske koordinater har formen
Du
∂u
=
+ u · ∇u
(379)
Dt
∂t
Den romlige derivasjonen i (379) får noen tilleggsledd i kulekoordinater. Disse kan utledes som
følger.
Ser vi bort fra radielle variasjoner (slik at ∂/∂r = 0), følger det fra (346) at gradientoperatoren
kan skrives som
∂
1 ∂
1
+ eϕ
(380)
∇ = eλ
a cos ϕ ∂λ
a ∂ϕ
I uttrykket over er a = konst jordens radius. Hastighetsvektoren er
u = eλ u + eϕ v + wez
(381)
Prikkproduktet u · ∇ kan skrives som
∂
1 ∂
1
+ eϕ
u · ∇ = (eλ u + eϕ v + ez w) · eλ
r cos ϕ ∂λ
r ∂ϕ
u
∂
v ∂
∂
=
+
+w
a cos ϕ ∂λ a ∂ϕ
∂r
(382)
hvor vi har brukt at enhetsvektorene er ortogonale.
Advekjsonsleddet i kulekoordinater blir da
u
∂
v ∂
u · ∇u =
+
(eλ u + eϕ v + ez w)
a cos ϕ ∂λ a ∂ϕ
(383)
Siden enhetsvektorene endrer retning, må både hastighetskomponentene (u, v, w) og enhetsvektorene eλ , eϕ og ez deriveres. Til sistnevnte benyttes (360)–(365). Det følger da at
u
∂
(eλ u + eϕ v + ez w)
a cos ϕ ∂λ
u
∂u
=
eλ + u(sin ϕeϕ − cos ϕez )
a cos ϕ ∂λ
∂v
eϕ − v sin ϕeλ
+
∂λ
∂w
+
ez + w cos ϕeλ
∂λ
80
(384)
og
v
a
∂u
∂v
eλ +
eϕ − vez + weϕ
∂ϕ
∂ϕ
(385)
Bidragene i eλ retningen blir
u ∂u v ∂u
uv
uw
+
−
tan ϕ +
a cos ϕ ∂λ a ∂ϕ
a
a
(386)
På tilsvarende måte blir bidragene i eϕ retningen
og i ez retningen
u ∂v
v ∂v
u2
vw
+
+
tan ϕ +
a cos ϕ ∂λ a ∂ϕ
a
a
(387)
u2 + v 2
u ∂w v ∂v
+
−
a cos ϕ ∂λ
a ∂ϕ
a
(388)
Fra kulekoordinatenes skalafaktorer (307) følger det at
δx = a cos ϕ δλ
og
δy = a δϕ
(389)
Uttrykk (383), innsatt (386)–(388), gir
∂u uv
uw
∂u
+v
−
tan ϕ +
∂x
∂y
a
a
∂v
u2
vw
∂v
+v
+
tan ϕ +
u · ∇v = u
∂x
∂y
a
a
∂w
∂w u2 + v 2
u · ∇w = u
+v
−
∂x
∂y
a
(390)
Du
∂u
uv
uw
=
+ u · ∇u −
tan ϕ +
Dt
∂t
a
a
Dv
∂v
u2
vw
=
+ u · ∇v +
tan ϕ +
Dt
∂t
a
a
Dw
∂w
u2 + v 2
=
+ u · ∇w −
Dt
∂t
a
(391)
u · ∇u = u
eller
A.11
Adveksjonsleddet for ren sirkulær bevegelse i to dimensjoner
For ren sirkulær bevegelse, følger det fra figur 38 at
u = uθ eθ
81
(392)
I dette tilfellet kan adveksjonsleddet skrives som
∂
1 ∂
u · ∇u = uθ eθ ·
er +
eθ uθ eθ
∂r
r ∂θ
uθ ∂
(uθ eθ )
=
r ∂θ
uθ ∂uθ
∂eθ
=
eθ + uθ
r
∂θ
∂θ
uθ ∂uθ
=
eθ − uθ er
r
∂θ
(393)
I tilfellet med konstant rotasjonshastighet, følger det at
u · ∇u = −
u2θ
er
r
(394)
I dette tilfellet er bidraget til adveksjonsleddet u · ∇u i retning til u
u · (u · ∇u) = 0
(395)
Adveksjonsleddet u · ∇u gir golgelig ikke bidrag til momentumligningen for an antatt konstant,
sirkulær bevegelse, som for idealiserte treghetssvingninger. Følgelig kan treghetssvingninger tilnærmes fra følgende (forenklede) variant av momentumligningen (se uttrykk (56); ser bort fra
trykkgradient og friksjon, i tillegg til adveksjonsleddet):
∂u
+ f ẑ × u = 0
∂t
A.12
Sirkulær bevegelse og avstander på en kule
A.12.1
Fart til en sirkulær bevegelse
(396)
Omkretsen O rundt en sirkel med radius r er
O = 2πr
(397)
θ = 2π/T
(398)
Vinkelfarten θ er
der T er tiden til en full rotasjon.
Det følger da at farten v til en partikkel som beveger seg med konstant vinkelfart θ rundt en
sirkel med radius r er
avstand
2πr
v=
=
= θr
(399)
tid
2π/θ
(399) kan uttrykkes på vektorform i polarkoordinater (se venstre del av figur 36) ved hjelp av
enhetsvektoren eθ (340)
v = v eθ = θr eθ
(400)
eller i kulekoordinater (se høyre del av figur 36)
v = u eλ = λr eλ
82
(401)
A.12.2
Avstander på en kule
Figur 39 illustrerer breddegradssirkler (parallelle med ekvator) og lengdegradssirkler (går gjennom polpunktene) på en kule. Det følger fra figuren at den geografiske avstanden mellom to
lengdegrader avtar med økende breddegrad (mot polene), mens avstanden mellom to breddegrader er konstant.
Figur 39: Bredde- og lengdegradssirkler på en kule. Breddegradssirklene er rettet i nord-sør
retningen og lengdegradssirklene i øst-vest retningen. Bredde- og lengdegradsretningene kalles
også meridional og sonal retning.
A.13
Taylorrekke
En kontinuerlig deriverbar (glatt) funksjon f (x) kan, for små δx, skrives som
f (x + δx) = f (x) +
∂f
∂ 2 f (δx)2
∂ n f (δx)n
δx +
+ ... +
2
∂x
∂x
2
∂xn n!
(402)
Til laveste orden kan (402) skrives som
δf =
∂f
δx
∂x
(403)
hvor δf = f (x + δx) − f (x). (403) brukes ofte i utledning av uttrykk hvor små endringer av δx
inngår.
På tilsvarende måte kan funksjonen f av flere variable f = f (x, y, ..., z) skrives som
f (x + δx, y + δy, ...., z + δz)
= f (x) + f (y) + ... + f (z)
∂f
∂f
∂f
δy + ... +
δz + O(δ 2 )
+ δx +
∂x
∂y
∂z
83
(404)
hvor O(δ 2 ) betegner ledd av andre og høyere orden. Til laveste orden kan (404) skrives som
δf =
∂f
∂f
∂f
δx +
δy + ... +
δz
∂x
∂y
∂z
(405)
hvor δf = f (x + δx) + f (y + δy) + ... + f (z + δz) − f (x) − f (y) − ... − f (z). (405) brukes ofte i
utledning av uttrykk hvor små endringer av δx, δy, ..., δz inngår.
Fra (402) følger det, for små |δx|,
f (x + δx/2) = f (x) +
∂f δx
∂x 2
(406)
f (x − δx/2) = f (x) −
∂f δx
∂x 2
(407)
Ved å kombinere (406) og (407), får vi (for små |δx|)
∂f
f (x + δx/2) − f (x − δx/2)
=
∂x
δx
(408)
f (x) − f (x − δx)
∂f
=
∂x
δx
(409)
Alternativt kan (408) skrives
B
Oppdateringer vår 2016
Takk til...
11. mai 2016 Sverdrupbalansen i avsnitt 5.2.2 er noe oppdatert.
13. mai 2016 Rettet fra “vetsgående” til “østgående jetstrøm” i avsnitt 4.6.
C
Silje Skjelsvik
Oppdateringer vår 2015
Takk til...
13. mai 2015 Termalvind og jetstrømmer er østlig rettet på hver halvkule (avsnitt 3.9.5 og 3.9.6). Olav
Håskjold
D
Oppdateringer vår 2013
Takk til...
15. januar 2013 Oppdatert kapittel 1.
84
E
Oppdateringer vår 2012
Takk til...
15. februar 2012 Skrevet om avstand mellom to bredde-/lengdegradssirkler i avsnitt 3.1.
2. februar 2012 Rettet uttrykk for x og y i avsnitt A.1.5.
31. januar 2012 Endret Drr /Dt til Dr/Dt i (39).
Marie
Pontoppidan
31. januar 2012 Omskrevet siste linje i avsnitt 2.7.
21. februar 2012 Tallverdi av f i siste linje i avsnitt 2.7.3.
21. februar 2012 Lagt inn noen regneeksempler i kap. 3.
3. april 2013 Lagt inn noen regneeksempler i kap. 4.
F
Oppdateringer vår 2011
27. januar 2011 Noen mindre justeringer av tekst i kapittel 2: Utledning og tolkning.
7. februar 2011 Lagt inn nummerering for ligning (39), og erstattet (36) med (34) over likhetstegnet i første høyreside av (39).
14. mars Skrevet ut integralet i avsnitt 4.9.
15. mars Nytt avsnitt i avsnitt 4.6 (starter med Uttrykk 195 ...).
31. mars Oppdatering om kulekoordinater i appendiks, avsnitt A.10.2 og A.10.3
G
Oppdateringer vår 2010
Takk til...
21. januar 2010 Rettet definisjon av divergens og konvergens av en vektorfunksjon, seksjon A.8.2 Martin
Flügge
21. januar 2010 Rettet definisjon av breddegrad og lengdegrad , blant annet i seksjon A.12.2
Cecilie
Villanger
21. januar 2010 Oppdatert det radielt deriverte leddet i divergensen til et hastighetsfelt i kulekoordinater, blant annet i seksjon A.10.2
24. januar 2010 (Mulig) Framtidige oppgaver har blitt kommentert ut
27. januar 2010 Rettet R (avstand mellom jordens rotasjonsakse og et punkt på jorden) og r
(jordens radius) i seksjon 2.9
Februar 2010 Lagt inn en del løsningsforslag til oppgaver
9. mars 2010 Rettet første setning i avsnitt (3.7) fra z-koordinater til trykk-koordinater
9. mars 2010 Rettet fortegn i ligning (51)
11. mars 2010 Rettet diskusjon i seksjon 3.9.4
85
Cecilie
Villanger
Aurora
Stenmark
12. mars 2010 Rettet ∂/∂y til ∂/∂
16. mars 2010 Rettet δx til δy i beregningen av geostrofisk hastighet i posisjonen til rød sirkel
20. april 2010 Rettet τvind /f i (247)
Siiri
Wickstrøm
20. april 2010 Rettet f 2 i ( 252)
21. april 2010 Små justeringer i teksten om Sverdrupbalanse
13. juni 2010 Rettet a2 til a i (??), og km til m i utregningen under
86
Erik
Rostad