TEMA 5: Vectores en R3
MATEMATICAS. BC2
1. Siendo
= (1, 0, 1),
= (1, 1, 0) y
independientes y expresa el vector
= (0, 1, 1), demostrar que dichos vectores son linealmente
= (1, 2, 3) como combinación lineal de dichos vectores.
2. Determinar el valor del parámetro k para que los vectores
sean: a) Ort o go n al es
b) P aral el o s
=k
−2
+3
,
=−
+k
+
3. Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide:
a) Hallar para qué valores del parámetro a están alineados.
b) Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo
de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.
4. Hallar dos vectores de m ó d u l o l a u n i d ad y o r t o go n ales a (2, −2, 3) y (3, −3, 2).
5. Dados los vectores
a) Los m ó d u l o s de
y
y
, hallar:
·
b) El pro d u ct o v ect o ri a l de
y
·
c) Un v ect o r u n i t ari o o r t o go n al a
y
·
d) El área d el par al el o g ram o que tiene por lados los vectores
6. Hallar el án gu l o que forman los v ect o res
7. Dados los vectores
este vector es ortogonal a
y
y
ya
y
·
.
, hallar el producto
. Hallar el vector
y compararlo con
y comprobar que
.
8. Calcular el pro d u ct o m i x t o:
9. Dados los vectores
,
y
, hallar el pro d u ct o m i x t o
. ¿Cuánto vale el v o l u m en d el par al el epí p ed o que tiene por aristas los vectores
dados?
10. Sean A (−3, 4, 0), B (3, 6, 3) y C (−1, 2, 1) los tres vértices de un triángulo. Se pide:
a) Calcular el coseno de cada uno de los tres ángulos del triángulo.
b) C al cu l ar el á rea d el t ri án gu l o .
11. Considerar la siguiente figura. Se pide:
a) D para qué ABCD sea un paral el o gr am o .
b) Área de este p aral el o g ram o .
12. Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide:
a) Hallar para qué valores del parámetro a están alineados.
b) Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo
de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.
SOLUCIONES
Ejercicio 1.= (1 , 0 , 1 ),
= (1 , 1 , 0 ) y
= (0 , 1 , 1 ), d em o s t rar q u e d i ch o s v ect o res s o n
l i n eal m en t e i n d epe n d i en t es y ex pres a el v e ct o r
l i n eal d e d i ch o s v ec t o res .
= (1 , 2 , 3 ) co m o co m bi n a ci ó n
El s i s t em a ad m i t e ú n i cam en t e l a s o l u ci ó n t ri v i al :
P o r t an t o , l o s t res v ect o res s o n l i n eal m e n t e i n d epen d i en t es .
S u m am o s m i em bro a m i em bro l as t res ecu a ci o n es y a la ec u aci ó n o bt en i d a s e l e
res t a c ad a u n a d e l a s ecu aci o n es .
Ejercicio 2.a) Ort o go n al es : Para que los v ect o res sean o rt o go n al es su pro d u ct o es cal a r tiene que ser
igual a cero .
b) P aral el o s : P ar a q u é d o s v ect o r es s ea n paral el o s , s u s co m po n en t es t i en en q u e
s er pro po r ci o n al es .
El sistema no admite solución. No es posible.
Ejercicio 3.a) S i A, B y C es t á n al i n ead o s l o s v ect o res
y
t i en en l a m i s m a d i recci ó n ,
po r l o q u e s o n l i n ea l m en t e d epen d i en t es y t i en en s us co m po n en t es pro po r ci o n al es .
b)
Ejercicio 4.-
Ejercicio 5.a) Lo s m ó d u l o s d e
y
·
b) El pro d u ct o v ect o ri al d e
y
c) Un v e ct o r u n i t ari o o rt o go n al a
·
y
·
d ) El áre a d el pa ral e l o gram o q u e t i en e p o r l ad o s l os v ect o re s
Ejercicio 6.-
Ejercicio 7.-
Ejercicio 8.-
y
·
Ejercicio 9.-
Ejercicio 10.-
Ejercicio 11.a) P o r s er l a fi gu ra u n paral el o gr am o , l o s v ect o res
y
s o n eq u i po l en t es .
b) El área es
Ejercicio 12.a) S i A, B y C es t án al i n ead o s l o s v ect o res
y
t i en en l a m i s ma d i rec ci ó n ,
po r l o q u e s o n l i n ea l m en t e d epen d i en t es y t i en en s us co m po n en t es pro po r ci o n al es .
b) El m ó d u l o d el pro d u ct o v ect o ri al d e l o s v ect o res
paral el o gr am o co n s t ru i d o s o bre
y
.
y
es i gu al al área d e l