TEMA 5: Vectores en R3 MATEMATICAS. BC2 1. Siendo = (1, 0, 1), = (1, 1, 0) y independientes y expresa el vector = (0, 1, 1), demostrar que dichos vectores son linealmente = (1, 2, 3) como combinación lineal de dichos vectores. 2. Determinar el valor del parámetro k para que los vectores sean: a) Ort o go n al es b) P aral el o s =k −2 +3 , =− +k + 3. Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide: a) Hallar para qué valores del parámetro a están alineados. b) Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos. 4. Hallar dos vectores de m ó d u l o l a u n i d ad y o r t o go n ales a (2, −2, 3) y (3, −3, 2). 5. Dados los vectores a) Los m ó d u l o s de y y , hallar: · b) El pro d u ct o v ect o ri a l de y · c) Un v ect o r u n i t ari o o r t o go n al a y · d) El área d el par al el o g ram o que tiene por lados los vectores 6. Hallar el án gu l o que forman los v ect o res 7. Dados los vectores este vector es ortogonal a y y ya y · . , hallar el producto . Hallar el vector y compararlo con y comprobar que . 8. Calcular el pro d u ct o m i x t o: 9. Dados los vectores , y , hallar el pro d u ct o m i x t o . ¿Cuánto vale el v o l u m en d el par al el epí p ed o que tiene por aristas los vectores dados? 10. Sean A (−3, 4, 0), B (3, 6, 3) y C (−1, 2, 1) los tres vértices de un triángulo. Se pide: a) Calcular el coseno de cada uno de los tres ángulos del triángulo. b) C al cu l ar el á rea d el t ri án gu l o . 11. Considerar la siguiente figura. Se pide: a) D para qué ABCD sea un paral el o gr am o . b) Área de este p aral el o g ram o . 12. Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide: a) Hallar para qué valores del parámetro a están alineados. b) Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos. SOLUCIONES Ejercicio 1.= (1 , 0 , 1 ), = (1 , 1 , 0 ) y = (0 , 1 , 1 ), d em o s t rar q u e d i ch o s v ect o res s o n l i n eal m en t e i n d epe n d i en t es y ex pres a el v e ct o r l i n eal d e d i ch o s v ec t o res . = (1 , 2 , 3 ) co m o co m bi n a ci ó n El s i s t em a ad m i t e ú n i cam en t e l a s o l u ci ó n t ri v i al : P o r t an t o , l o s t res v ect o res s o n l i n eal m e n t e i n d epen d i en t es . S u m am o s m i em bro a m i em bro l as t res ecu a ci o n es y a la ec u aci ó n o bt en i d a s e l e res t a c ad a u n a d e l a s ecu aci o n es . Ejercicio 2.a) Ort o go n al es : Para que los v ect o res sean o rt o go n al es su pro d u ct o es cal a r tiene que ser igual a cero . b) P aral el o s : P ar a q u é d o s v ect o r es s ea n paral el o s , s u s co m po n en t es t i en en q u e s er pro po r ci o n al es . El sistema no admite solución. No es posible. Ejercicio 3.a) S i A, B y C es t á n al i n ead o s l o s v ect o res y t i en en l a m i s m a d i recci ó n , po r l o q u e s o n l i n ea l m en t e d epen d i en t es y t i en en s us co m po n en t es pro po r ci o n al es . b) Ejercicio 4.- Ejercicio 5.a) Lo s m ó d u l o s d e y · b) El pro d u ct o v ect o ri al d e y c) Un v e ct o r u n i t ari o o rt o go n al a · y · d ) El áre a d el pa ral e l o gram o q u e t i en e p o r l ad o s l os v ect o re s Ejercicio 6.- Ejercicio 7.- Ejercicio 8.- y · Ejercicio 9.- Ejercicio 10.- Ejercicio 11.a) P o r s er l a fi gu ra u n paral el o gr am o , l o s v ect o res y s o n eq u i po l en t es . b) El área es Ejercicio 12.a) S i A, B y C es t án al i n ead o s l o s v ect o res y t i en en l a m i s ma d i rec ci ó n , po r l o q u e s o n l i n ea l m en t e d epen d i en t es y t i en en s us co m po n en t es pro po r ci o n al es . b) El m ó d u l o d el pro d u ct o v ect o ri al d e l o s v ect o res paral el o gr am o co n s t ru i d o s o bre y . y es i gu al al área d e l
© Copyright 2024