´ Algebra lineal Abril 16, 2015 Guillermo Mantilla-Soler Taller 4. Bases ortnonormales: Sea {u1 , ..., um } una base para W un sub-espacio de Rn . En clase vimos un algoritmo1 para construir una base ortonormal {w1 , ..., wn } de W . En estas notas les recuerdo en detalle el procedimiento. La idea del algoritmo se basa en lo que pasa en el caso de dos vectores {u1 , u2 }: como vimos en clase si tomamos v2 := u2 − Proyu1 (u2 ) v2 es ortogonal a u1 y si llamamos v1 := u1 tenemos que span{u1 , u2 }=span{v1 , v2 }. En particular hemos construido dos vectores {v1 , v2 }, que generan lo mismo que {u1 , u2 }, con la particularidad que v1 · v2 = 0. Si adicionalmente queremos vectores de norma (magnitud o longitud) 1 podemos tomar w1 = v1 v2 y w2 = . ||v1 || ||v2 || El caso general es exactamente igual que el caso de dos vectores: Algoritmo de Gram-Schmidt. Supongamos que {u1 , ..., um } una base para W . El output del algoritmo ser´a {w1 , ..., wn } una base ortonormal de W . i) Defina v1 = u1 y para k = 2, ..., m defina vk := uk − ProySpan{v1 ,...,vk−1 } (uk ). Lo anterior se puede escribir de manera m´as expl´ıcita como vk = uk − Proyv1 (uk ) − ... − Proyvk−1 (uk ). ii) Los vectores {v1 , ..., vm } obtenidos son ortogonales entre si y generan W . Para obtener vectores de magnitud 1 se normalizan los vi es decir se toman wi = ||vvii || para i = 1, ..., n. El mismo procedimiento de arriba, pero sin hacer referencia a proyecciones de manera expl´ıcita, est´ a dado por: • w1 = u1 ku1 k • wk = uk − (w1 · uk )w1 − (w2 · uk )w2 − ... − (wk−1 · uk )wk−1 para k = 2, ..., m kuk − (w1 · uk )w1 − (w2 · uk )w2 − ... − (wk−1 · uk )wk−1 k 1´ este algoritmo se conoce como proceso de ortonormalizaci´ on de Gram-Schmidt Problema  1 2 • Encuentre una base para W el espacio nulo de la matriz A =  3 4  −1 2 0 −2 4 0 . −3 6 0 −4 8 0 • Encuentre una base ortonormal para W . • Encuentre una base para W ⊥ el espacio ortogonal de W .   0 0  . Escriba el vector v como v = vW + vW ⊥ donde vW ∈ W y vW ⊥ ∈ W ⊥ . • Sea v =   3 4