1. No category

MPSI B
6 juin 2015
´
Enonc´
e
Premi`
ere partie
Soit V un espace vectoriel r´eel 1 . L’espace vectoriel des endomorphismes de V est d´esign´e
par L(V ). Lorsque f ∈ L(V ) et k ∈ N, on d´esigne par
Le but de cette partie est d’´etablir des propri´et´es des endomorphismes g recherch´es pour
un λ r´eel donn´e et de donner un exemple.
1. Une caract´erisation des sous-espaces vectoriels stables par g.
f 0 = IdV , f k = f k−1 ◦ f
´
a. Etant
donn´e un entier naturel n donn´e, soit p ∈ {0, 1, · · · , n}. Montrer que s’il
existe un endomorphisme g de l’espace vectoriel En = Rn [X] tel que
la compos´ee de f avec lui mˆeme k fois.
On d´esigne par E l’espace des polynˆ
omes `
a coefficients r´eels et, pour un entier n, par En
l’espace des polynˆ
omes de degr´e inf´erieur ou ´egal `
a n.
g 2 = λIdEn + Dn
E = R[X], En = Rn [X]
alors l’endomorphisme g commute avec Dn :
Soit D l’endomorphisme de d´erivation de E qui `
a un polynˆome Q associe son polynˆome
d´eriv´e Q0 . De mˆeme, Dn est l’endomorphisme de d´erivation de En qui `a un polynˆome Q
de degr´e inf´erieur ou ´egal `
a n associe son polynˆ
ome d´eriv´e Q0 .
L’objet du probl`eme est de rechercher les r´eels λ pour lesquels l’endomorphisme λIdE +D
est ´egal a` un g 2 pour un certain endomorphisme g de E. On se pose la mˆeme question pour
l’endomorphisme λIdEn + Dn .
g ◦ Dn = Dn ◦ g
Montrer que Ep est stable par g. Soit gp la restriction de g `
a Ep . D´emontrer la
relation :
gp2 = λIdEp + Dp
b. Montrer que s’il existe un endomorphisme g de l’espace vectoriel E = R[X] tel
que
g 2 = λIdE + D
Pr´
eliminaires : noyaux it´
er´
es
Soit V un espace vectoriel r´eel et f un endomorphisme de V .
1. Montrer que la suite des noyaux des endomorphismes f k pour k = 1, 2, · · · est une
suite de sous-espaces vectoriels de V emboit´ee croissante :
alors l’endomorphisme g commute avec D :
g◦D =D◦g
ker f 0 ⊂ ker f 1 ⊂ · · · ⊂ ker f k ⊂ ker f k+1 ⊂ · · ·
En d´eduire que, pour tout entier naturel n, En est stable par g. Soit gn la restriction de g `a En . D´emontrer la relation :
2. Montrer que s’il existe un entier p tel que les noyaux des endomorphismes f p et f p+1
soient ´egaux, alors :
∀k ≥ p : ker f k = ker f p
gn2 = λIdEn + Dn
c. Soit g un endomorphisme de l’espace vectoriel E = R[X] tel que
3. Montrer que lorsque l’espace V est de dimension finie n, la suite des dimensions des
noyaux des endomorphismes f k est constante `
a partir d’un rang p inf´erieur ou ´egal `a
la dimension n de l’espace. En d´eduire en particulier ker f n = ker f n+1
4. Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel V de dimension finie n pour lequel il
existe un entier q sup´erieur ou ´egal `
a 1 tel que uq soit l’endomorphisme nul. On dit
alors que u est nilpotent.
Montrer que un est l’endomorphisme nul.
g 2 = λIdE + D
i. Soit F un sous-espace vectoriel de E stable par D et de dimension n + 1.
On note DF l’endomorphisme de F qui est la restriction de D `
a F . Montrer
que DF est nilpotent. En d´eduire que F = En = Rn [X] D´eterminer tous les
sous-espaces vectoriels G de E (de dimension finie ou non) stables par D.
ii. D´emontrer que, pour qu’un sous-espace vectoriel G de E soit stable par g, il
faut et il suffit qu‘’il soit stable par D.
1 Pr´
eliminaires, Premi`
ere et Deuxi`
eme partie de la premi`
ere ´
epreuve du Concours Commun Mines-Ponts
2001 PC.
Cette cr´
eation est mise `
a disposition selon le Contrat
Paternit´
e-Partage des Conditions Initiales a
` l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
R´
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b. En d´eduire qu’il existe une base Bn de En = Rn [X] pour laquelle la matrice de
Dn est la matrice Aλ . Quelle est la matrice associ´ee `
a λIdEn + Dn dans cette base
Bn ?
2. Une application imm´ediate : le cas λ < 0.
a. Sous quelle condition n´ecessaire sur le r´eel λ existe-t-il un endomorphisme g de
l’espace E0 = R0 [X] tel que
4. Un exemple. Dans cette question, l’entier n est ´egal `
a 2.
g 2 = λIdE0 + D0
a. Montrer que les seuls endomorphismes h de E2 qui commutent avec D2 sont les
polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `
a 2 en D2 c’est `
a dire les polynˆ
omes de la
forme
h = aIdE1 + bD2 + cD22
b. Soit λ un r´eel strictement n´egatif, d´eduire des questions pr´ec´edentes les deux
propri´et´es :
– Il n’existe pas d’endomorphisme g de E tel que
pour a, b, c r´eels.
g 2 = λIdE + D
b. En d´eduire qu’il existe des endomorphismes g de E2 qui v´erifient
– Il n’existe pas d’endomorphisme g de En tel que
g 2 = λIdE3 + D2
2
g = λIdEn + Dn
D´eterminer les matrices carr´ees G d’ordre 3 qui v´erifient
3. Une repr´esentation matricielle simple de Dn .
Soit n un entier naturel sup´erieur ou ´egal `
a 1 et λ un r´eel.
On d´efinit la matrice carr´ee d’ordre n + 1 not´ee Aλ et dont les coefficients sont not´es
ai,j par les relations suivantes :


ai,j = λ si i = j
ai,j = 1 si i + 1 = j


ai,j = λ sinon
C’est `
a dire

λ
1
0

0


Aλ =  0

.
 ..
λ
0
..
.
0
···
1
..
.
..
.
0
···
..
.
..
.
λ
0
G2 = A1
Deuxi`
eme partie
L’objet de cette partie est d’´etudier le cas o`
u le r´eel λ est nul. Dans cette partie, l’entier
n est sup´erieur ou ´egal `
a 1.
1. Existence d’un endomorphisme g tel que g 2 = Dn .
a. Montrer que, s’il existe un endomorphisme g de En = Rn [X] tel que g 2 = Dn ,
alors l’endomorphisme g est nilpotent et le noyau de g 2 a une dimension au mins
´egale `a 2.

0
.. 
.


0


1
λ
b. En d´eduire qu’il n’existe pas d’endomorphisme g de En = Rn [X] tel que g 2 = Dn .
c. En d´eduire qu’il n’existe pas d’endomorphisme g de E = R[X] tel que g 2 = D.
2. Existence d’un endomorphisme g tel que g k = Dn .
a. Soit m un entier sup´erieur ou ´egal a
` 1 et k un entier sup´erieur ou ´egal `
a 2. Soit
g un endomorphisme de E = R[X] tel que
a. Soit V un espace vectoriel de dimension finie n + 1 et f un endomorphisme de V
tel que f n+1 soit l’endomorphisme nul sans que f n le soit. D´emontrer qu’il existe
un vecteur y dans V tel que
gk = Dm
Montrer que les deux endomorphismes D et g sont surjectifs.
B = (y, f (y), f 2 (y), · · · , f n (y))
b. D´emontrer que les sou-espaces vectoriels ker g q de E sont de dimension finie
lorsque 0 ≤ q ≤ k.
soit libre. Quel est la matrice de f dans la base B ?
Cette cr´
eation est mise `
a disposition selon le Contrat
Paternit´
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c. Soit p un entier tel que 2 ≤ p ≤ k. Soit Φ l’application d´efinie dans ker g p par :
Corrig´
e
Pr´
eliminaires
∀P ∈ ker g p : Φ(P ) = g(P )
1. Comme f 0 est l’identit´e, son noyau {OV } est inclus dans ker f . Pour k entier non nul,
∀x ∈ ker f k : x ∈ ker f k ⇒ f k (x) = 0V ⇒ f f k (x) = f (0V ) ⇒ x ∈ ker f k+1
Montrer que cette application est lin´eaire de ker g p et `a valeurs dans ker g p−1 .
Pr´eciser son noyau et son image. En d´eduire une relation entre les dimensions des
sous-espaces ker g p et ker g p−1 .
Quelle est la dimension de ker g p en fonction de ker g ?
Ce qui montre la chaˆıne d’inclusions demand´ee.
2. Soit p un entier tel que
d. D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante sur les entiers m et k pour qu’il
existe un endomorphisme g de E tel que g k = Dm . Retrouver le r´esultat de la
question II.1.c.
ker f p = ker f p+1
Nous allons montrer que
ker f p+2 ⊂ ker f p+1
Cela entrainera l’´egalit´e
ker f p = ker f p+2
puis, en recommen¸cant avec p + 1, cela entrainera l’´egalit´e de tous les noyaux suivants.
Il s’agit donc de montrer
ker f p+2 ⊂ ker f p+1
Cela r´esulte de
∀x ∈ ker f p+2 : f p+1 (f (x)) = 0V ⇒ f (x) ∈ ker f p+1 = ker f p
⇒ f p+1 (x) = f p (f (x)) = 0V ⇒ x ∈ ker f p+1
3. On suppose que V est de dimension finie. Les dimensions des noyaux forment une
suite croissantes d’entiers tous inf´erieurs ou ´egaux `
a dim V . Une telle suite ne peut
ˆetre strictement croissante. Il existe donc un entier p tel que :
0 = dim(ker f 0 ) < dim(ker f 1 ) < · · · < dim(ker f p ) = dim(ker f p+1 ) ≤ dim V = n
Comme les premi`eres in´egalit´es sont strictes, on obtient
p ≤ dim(ker f p ) ≤ n
Comme on est en dimension finie :
)
dim(ker f p ) = dim(ker f p+1 )
ker f p ⊂ ker f p+1
⇒ ker f p = ker f p+1
L’´egalit´e se propage alors (d’apr`es 2.) `
a tous les k ≥ p parmi lesquels figure n.
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4. On applique le r´esultat de la question pr´ec´edente.
Dans le cas d’un endomorphisme u nilpotent, la suite ”croissante” des noyaux it´er´es
se stabilise (avant n) `
a sa valeur finale qui est V tout entier. On en d´eduit qu’il existe
un p ≤ n tel que V = ker up . Cela signifie
ii. Comme g commute avec D, un sous-espace est stable par g si et seulement si
il est stable par D.
2. Cas λ < 0
a. Dans E0 = R qui est un espace de dimension 1, les seules applications lin´eaires
sont les multiplications par un scalaire. En particulier g est la multiplication par
µ et D0 est l’application nulle donc
up = 0L(V ) ⇒ un = 0L(V )
Premi`
ere Partie
1.
µ2 = λ
2
a. Dans En , si g = λIdE + Dn alors Dn s’exprime en fonction de g :
Ce qui entraˆıne λ ≥ 0
Dn = −λIdE + g 2
b. D’apr`es 1., lorsqu’il existe un g (dans E ou dans En ), le sous-espace E0 est stable
par D et g donc λ ≥ 0. Ainsi, lorsque λ < 0, il n’existe pas d’application g
v´erifiant la condition ´etudi´ee (ni dans E, ni dans un En ).
Sous cette forme, il est ´evident que Dn commute avec g. On en d´eduit que g
commute avec les puissance de Dn . En particulier
3.
x∈
ker Dnp+1
⇒ g(x) ∈
ker Dnp+1
car
a. Soit f lin´eaire de V dans V telle que f n+1 soit nulle mais pas f n . Il existe alors
un y ∈ V tel que
f n (y) 6= 0
Montrons que B = (y, f (y), · · · , f n (y)) est libre.
Si (λ0 , λ1 , · · · λn ) sont des r´eels tels que
Dnp+1 (g(x)) = g(Dnp+1 (x)) = g(0E ) = 0E
Une fois prouv´ee la stabilit´e de Ep par g, on peut consid´erer la restriction gp de
g`
a Ep . Elle v´erifie ´evidemment la mˆeme relation que g.
λ0 y + λ1 f (y) + · · · + λn f n (y) = 0
b. Le raisonnement est le mˆeme que pour la question pr´ec´edente. Le fait que E ne
soit pas de dimension finie ne change rien. Si g v´erifie la relation, il commute donc
avec l’op´erateur de d´erivation.
Comme plus haut, En est stable par g car c’est un noyau d’une puissance de Dn
et la restriction gn de g v´erifie la mˆeme relation avec la restriction Dn de D.
c.
en composant par f n , on obtient λ0 f n (y) = 0 avec f n (y) 6= 0 d’o`
u λ0 = 0 et ainsi
de suite. En composant successivement par f n−1 , f n−2 , · · · on obtient la nullit´e
de tous les coefficients. La famille est donc libre.
Cette famille est une base car elle contient autant de vecteurs que la dimension
de l’espace. La matrice de f dans cette base est A0 .
i. L’op´erateur DF est la restriction `
a F de l’op´erateur de d´erivation. Comme
F est de dimension finie, il existe un entier k qui est le degr´e maximal d’un
polynˆ
ome quelconque de F . Alors DFk+1 est nul.
D’apr`es la partie pr´eliminaire, comme DF est nilpotent dans un espace de
dimension n + 1, l’endomorphisme DFn est nul. Ceci montre que F ⊂ Rn [X].
Comme les deux espaces sont de mˆeme dimension, ils sont ´egaux.
On peut en conclure que les seuls sous-espaces de dimension finie stables par
D sont les Rn [X].
Un seul sous-espace de dimension infinie est stable par D, il s’agit de R[X] lui
mˆeme. En effet, un tel espace doit contenir des polynˆomes de degr´e arbitraire
et tous leurs polynˆ
omes d´eriv´es.
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b. L’existence d’une base Bn dans laquelle la matrice de Dn est A0 r´esulte de la
question pr´ec´edente. On pouvait aussi choisir une famille constitu´ee de polynˆ
omes
de la forme
1 k
X
k!
La matrice associ´ee `
a λIdEn + Dn dans cette base est Aλ
4. Ici n = 2
a. Il est bien ´evident que les h de la forme
aIdE + bD2 + cD22
4
R´
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commutent avec D2 .
On va montrer que ce sont les seuls.
Soit P un polynˆ
ome de degr´e 2. Alors (P, D(P ), D2 (P )) est une base de E2 .
Comme f (P ) ∈ E2 , il existe des r´eels a, b, c tels que
Deuxi`
eme Partie
1.
f (P ) = aP + bD(P ) + cD2 (P )
Comparons f et F = aIdE + bD + cD2 . Pour cela, il suffit de les comparer sur
les vecteurs d’une base.
Par d´efinition :
b. Il n’existe pas de g tel que g 2 = Dn car le noyau de Dn est de dimension 1 alors
que celui de g devrait ˆetre de dimension 2.
f (P ) =F (P )
c. idem
f (D(P )) =D(f (P )) = aD(P ) + bD2 (P ) = F (D(P )) car D3 (P ) = 0
2.
f (D2 (P )) =D2 (f (P )) = aD2 (P ) = F (D2 (P ))
Les deux fonctions co¨ıncident sur une base, elles sont donc ´egales.
b. On doit chercher les g telles que g 2 = λId + D parmi les applications qui commutent avec D. Cherchons donc des conditions sur a, b, c assurant que
g = aIdE + bD2 +
a. Comme Dn est nilpotent, il est ´evident que g l’est aussi lorsque g 2 = Dn . Par
cons´equent g 2 ne peut pas ˆetre injectif.
Mais pourquoi ker g 2 est-il de dimension au moins 2 ?
Comme g est nilpotente elle n’est pas injective. Donc si la dimension de ker g 2
n’est pas au moins 2 alors ker g et kerg 2 seront de dimension 1 et ´egaux. D’apr`es
la partie pr´eliminaire, la suite des noyaux de g est constante d`es le premier rang.
Autrement dit g est nulle ce qui est absurde.
a. Tout polynˆ
ome admet plusieurs polynˆ
omes primitifs (c’est `
a dire dont le polynˆ
ome
d´eriv´e est ´egal au polynˆ
ome donn´e) qui diff`erent d’une constante. L’application
D est donc surjective. Il en est de mˆeme de Dm = g k .
La surjectivit´e de g k entraˆıne celle de g.
b. Pour q ≤ k, ker g q ⊂ ker g k = ker Dm = Em−1 qui est de dimension finie m.
c. L’application Φ est clairement lin´eaire. Elle prend ses valeurs dans ker g q−1 car si
x ∈ ker g k alors g q (x) = g q−1 (g(x)) donc g(x) ∈ ker g q−1 .
Montrons la surjectivit´e de Φ.
Soit x ∈ ker g q−1 alors comme g est surjective, il existe un y tel que x = g(y) et
cD22
v´erifie g 2 = λId + D. Calculons g 2 :
g 2 = a2 Id + 2abD2 + (b2 + 2ac)D2 = λId + D
0 = g p−1 (x) = g p (y)
Comme les application lin´eaires (Id, D, D2 ) forment une famille libre, on peut
identifier les coefficients. On trouve donc deux matrices une d´efinie par
donc y ∈ ker g p et y est un ant´ec´edent par Φ de x.
Ainsi Φ est surjective de ker g p vers ker g p de noyau ker g. Le th´eor`eme du rang
donne alors
dim(ker g p ) = dim(ker g p−1 ) + dim(ker g)
√
a=
λ
1
b= √
2 λ
c=−
1
√
8λ λ
La suite des dimensions est arithm´etique d’o`
u
L’autre ´etant son oppos´ee.
Dans le cas o`
u λ = 1, on trouve la matrice


1 12 − 81

1 
0 1
2 


0 0
1
dim(ker g p ) = p dim(ker g)
d. Si g k = Dm , comme dim(ker Dm ) = m, on doit avoir dim(ker g k ) = m c’est `
a dire
k dim(ker g) = m. Il est donc n´ecessaire que k divise m.
et son oppos´ee.
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