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M.Bousquet - Lycée Camille Vernet
PCSI - 2014-2015
TD 20 : Applications linéaires
Exercice 1 : Dire si les applications suivantes sont linéaires :
1. u(x, y) = xy.
2. u(x, y) = (x + y, y).
3. u(x, y) = (|x|, y).
4. u(x, y) = (x + y, x + 1, 2x + y).
Exercice 2 : ♥ Soient trois K espaces vectoriels E, F et G. Soit u ∈ L(E, F ) et v ∈ L(F, G). Montrer que :
1. ker(u) ⊂ ker(v ◦ u)
2. Im(v) ⊃ Im(v ◦ u)
3. ker(u) = ker(v ◦ u) ⇐⇒ ker(v) ∩ Im(u) = {0F }
4. Im(v) = Im(v ◦ u) ⇐⇒ ker(v) + Im(u) = F
Exercice 3 :Soit E = C ∞ (R, R), on pose u : E → E définie par u(f ) = f 0 − f .
1. Montrer que u est un endomorphisme.
2. (a) Déterminer u est-elle injective.
(b) Justifier que u est surjective (on pourra se servir du cours sur les ED du début d’année).
3. Soit A = {f ∈ E/f (0) = 0}. Montrer que E = A ⊕ ker u.
4. Déterminer ker u2 .
Exercice 4 : Soit u, v ∈ L(E) tels que u ◦ v = v ◦ u.
Montrer que ker u et Imu sont stables par v. (ie : v(ker u) ⊂ ker u et v(Im(u)) ⊂ Im(u))
Exercice 5 : Soit E un espace vectoriel, u ∈ L(E) avec E de dimension finie tel que u2 − 2u + 3idE = 0.
1. Montrer que u est un automorphisme et déterminer u−1 .
2. Montrer que E = ker(u − idE ) ⊕ Im(u − idE ).
3. (a) Montrer qu’il existe deux suites (an ) et (bn ) telles que pour tout n ∈ N : un = an u + bn id.
(b) Déterminer une relation entre an+2 , an+1 et an .
(c) En déduire an puis bn .
4. On pose u(x, y) = (−y, 2x + 3y) pour tout (x, y) ∈ R2
(a) Montrer que u ∈ L(R2 ). Calculer u2 − 2u + 3id.
(b) On définit deux suites (xn ) et (yn ) définies par : x0 = 1 et y0 = 1 et pour n ≥ 0 : xn+1 = −yn et
yn+1 = 2xn + 3yn .
Exprimer xn+1 et yn+1 en fonction de u, xn et yn .
(c) En déduire les valeurs de xn et yn .
Exercice 6 : Soit E un K-espace vectoriel, u ∈ L(E) tel que u2 = −u.
1. Si E est de dimension finie. Montrer que E = ker u ⊕ Im u.
2. Montrer que ce résultat reste vraie si E est de dimension infinie.
Exercice 7 : Soit u un endomorphisme de E tel que u2 − 5u + 6idE = 0L(E) .
1. Justifier que u est bijective et déterminer u−1 .
2. Montrer que : Im(u − 3idE ) ⊂ ker(u − 2idE ) et Im(u − 2idE ) ⊂ ker(u − 3idE ).
3. Montrer que idE est combinaison linéaire de u − 3idE et u − 2idE .
4. En déduire que E = Im(u − 3idE ) ⊕ Im(u − 2idE ).
En déduire que E = ker(u − 3idE ) ⊕ ker(u − 2idE ).
5. (a) Montrer qu’il existe deux suites (an ) et (bn ) telles que pour tout n ∈ N, on ait : un = an u + bn idE .
(b) Déterminer une relation entre an+2 , an+1 et an .
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(c) En déduire une expression de an puis de bn .
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6. Application : Soit f défini par f (x, y) = (4x − 2y, x + y). Que vaut f 2 − 5f + 6id ?
Calculer f n (x, y).
un+1 = 4un − 2vn
Avec u0 = 1 et v0 = −1 et pour tout n ∈ N,
.
vn+1 = un + vn
Comment obtenir une expression de un et vn en fonction de n ?
Exercice 8 : Soit F = {(x, y, z) ∈ R3 / x − y + z = 0} et G = V ect((1, 1, 1)).
1. Montrer que F et G sont supplémentaires.
2. Déterminer la projection de F parallèlement à G.
3. Soit s la symétrie par rapport à F parallèlement à G. Déterminer s.
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Exercice 9 : Soit u : R2 → R2 définie par u(x, y) = (−x + 2y, −2x + 4y). Montrer que u est un projecteur et
3
donner ses éléments géométriques.
Exercice 10 : Soient p et q deux projecteurs d’un espace vectoriel E.
1. Montrer que p + q est un projecteur ssi p ◦ q = q ◦ p = 0L(E) .
2. Prouver que si p + q est un projecteur alors :
ker(p + q) = ker p ∩ ker q , Im(p + q) = Im p ⊕ Im q
Exercice 11 : Soit E un espace vectoriel de dimension 2 et (e1 , e2 ) une base de E. Soit u ∈ L(E) définie par
u(e1 ) = 3e1 + 2e2 et u(e2 ) = −4e1 − 3e2 . u est-elle une symétrie ? Si c’est le cas déterminer ses éléments caractéristiques.
u : R3
→
(a, b, c) 7→
Montrer que u est un isomorphisme.
Exercice 12 : Soit
R2 [X]
(a + b) + (a + 2b + c)X + (a + c)X 2
Exercice 13 : On considère l’endomorphisme u : R3 → R3 défini par :
u(x, y, z) = (x + 2y − z, x + z, y − z)
u est-il un automorhisme ? Déterminer une base ker u puis une base de Im(u). Montrer que Im(u) et ker u sont
supplémentaires.
Exercice 14 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). Montrer les équivalences suivantes :
E = Im(u) ⊕ ker u ⇐⇒ Im(u) = Im(u2 ) ⇐⇒ ker u = ker u2
Exercice 15 : Soit E et F deux K-espaces vectriels de dimension finie et u, v ∈ L(E, F ).
Montrer que : |rg(u) − rg(v)| ≤ rg(u + v) ≤ rg(u) + rg(v).
Exercice 16 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n, u, v ∈ L(E). On suppose que u ◦ v = 0 et
u + v ∈ GL(E). Montrer que rg u + rg v = n.
Exercice 17 : Soit E un espace vectoriel, u ∈ L(E) tel qu’il existe r ∈ N∗ tel que ur = 0L(E) et ur−1 6= 0L(E) .
On dit que u et nilpotente d’indice r.
1. Justifiez qu’il existe x ∈ E tel que ur−1 (x) 6= 0E .
2. On prend x0 ∈ E tel que ur−1 (x0 ) 6= 0E . Montrer que la famille (x0 , u(x0 ), .., ur−1 (x0 )) est libre.
3. Justifiez que si E est de dimension finie n et si r = n alors (x0 , u(x0 ), .., ur−1 (x0 )) est une base de E.
4. Montrer que (id − u) est un automorphisme.
v: M2 (R) →
u: M2 (R) → M2 (R) a b
c a
a b
et
7
→
7→
c d
d b
c d
1. Montrer que u et v sont des endomorphismes.
Exercice 18 : On pose
2
M
2 (R)
a+d
d
d
a+d
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2. Montrer que u est un automorphisme. Calculer u4 . Déterminer u−1 .
3. v est-il un automorphisme ? Déterminer une base de ker v et Im(v) ?
4. A-t-on ker(v) ⊕ Im(v) ?
Exercice 19 : Soit A =
1
3
2
4
. On pose :
u : M2 (R) →
M
7→
1. Montrer que u est un endomorphisme.
2. Montrer que u est un automorphisme.
3. Déterminer u−1 .
3
M2 (R)
AM
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