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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
Laboratorio de Sistemas de Control Discreto
Práctica Nº 1
Transformada Z y Transformada Z inversa
Semana: 23-abril al 29-abril
1. OBJETIVOS
Utilizar MATLAB como herramienta de solución de la transformada Z y
trasformada Z inversa.
Reforzar los conocimientos adquiridos por los estudiantes en la teoría de
sistemas de control discreto.
2. FUNDAMENTO TEÓRICO
2.1.
Transformada Z
La transformada Z es una herramienta útil en teoría de control de tiempo discreto y su
papel es análogo al que juega la transformada de Laplace en tiempo continuo.
La Transformada Z convierte una señal que esté definida en el dominio del tiempo
discreto (que es una secuencia de números reales) en una representación en el
dominio de la frecuencia compleja.
En la ecuación 1 se tiene la trasformada de Laplace de la señal x(t) muestreada
(1)
Si se dice que
, se obtiene la definición la transformada Z
(2)
2.2.
Transformada Z inversa
La transformada z en sistemas de control en tiempo discreto juega el mismo papel que
la transformada de Laplace en sistemas de control en tiempo continuo. La notación
para la transformada z inversa es
. La trasformada z inversa de X(z) da como
resultado una única x(k), pero no da una única x(t).
Existen tres métodos para obtener la transformada z inversa que no implican el uso de
tablas:
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2.2.1. Método de la división directa: la transformada z inversa se obtiene mediante la
expansión de X(z) en una serie infinita de potencias de
. Este método es útil
cuando es difícil obtener una expresión en forma cerrada para la transformada
z inversa o se desea encontrar solo algunos de los primeros términos de x(k).
Entonces x(kT) o x(k) es el coeficiente del termino
. Por lo tanto, los valores
de x(kT) o x(k) para k = 0, 1, 2,… se pueden determinar por inspección.
Si X(z) está dada en la forma de una función racional, la expansión en una
serie de potencias infinita en potencias creciente de
se puede lograr
sencillamente al dividir el numerador entre el denominador, donde tanto el
numerador como el denominador de X(z) se escriben en potencias crecientes
de
.
2.2.2. Método de expansión en fracciones parciales: El método requiere que todos los
términos de la expansión en fracciones parciales se puedan reconocer
fácilmente en la tabla de pares de transformada z. Se debe observar que la
única razón de que se expanda X(z)/z en fracciones parciales es que cada uno
de los términos expandidos tenga una forma que se pueda encontrar
fácilmente a partir de las tablas de transformadas x de que se dispone
comúnmente.
2.2.3. Método de la integral de inversión: La integral de inversión de la transformada z
X(z) está dada por:
Donde C es un circulo con centro en el origen del plano z tal que todos los
polos de
están dentro de el.
La ecuación que da la transformada z inversa en términos de los residuos se
puede obtener si se utiliza la teoría de variable compleja. Esta se puede
obtener como sigue:
Donde
denotan los residuos de
respectivamente.
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en los polos
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3. TRABAJO PREPARATORIO
NOTA: PARA EL TRABAJO PREPARATORIO SE PROHIBE EL USO DE
MATLAB. TODOS LOS CALCULOS DEBEN SER REALIZADOS POR EL
ESTUDIANTE.
1. Consultar los archivos “.m”, que tipo de archivos hay en Matlab,
cuales son las diferencias entre estos archivos.
2. Calcule la trasformada z de las señales en tiempo discreto, exprese
la respuesta como una razón de polinomios en z, siempre que sea
posible.
a.
b.
c.
3. Encontrar la transformada Z inversa, utilizando los métodos vistos en
clase.
a.
b.
4. Hallar el valor final e inicial de las siguientes funciones
a.
b.
c. Genere un archivo “.m” que permita determinar los valores de
los literales 4.a, 4.b
5. El sistema de tiempo discreto dado por la ecuación de diferencias de
entrada y salida
La entrada
es un escalón unitario
Encontrar la salida del sistema
Hallar los primeros 10 valores de
4. TRABAJO EXPERIMENTAL
1.1 Usando el comando ztrans, resolver el literal 1b y 1c
2.1 Usando el comando iztrans, encuentre la transformada z inversa del
literal 2.b
3.1 Para el literal 4:
1.
Utilizando Matlab y el comando FILTER compruebe los
resultados obtenidos en el trabajo preparatorio.
2.
Calcule la respuesta al impulso unitario.
3.
Calcule la respuesta a la paso unitaria.
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4.
Calcule
para toda
, si
, con
5.
Utilizando Simulink implemente la ecuación en diferencias
del trabajo preparatorio.
1. Simule desde Matlab el modelo implementado en
Simulink si la entrada es una señal paso
2. Simule desde Matlab el modelo implementado en
Simulink para la señal de entrada y condiciones iniciales
indicadas en literal d4
4.1 Para la siguiente función de transferencia realizar un archivo .m que
calcule la trasformada z inversa usando el método de la integral de
inversión.
5. INFORME
5.1. Genere un archivo “.m” que permita resolver la ecuación diferencial del
literal 4.
Los argumentos de entrada del programa son:
Rango de k
Condiciones Iniciales
Tipo de Entrada (Impulso, Paso, Rampa)
Los argumentos de salida
5.2.
Salida almacenada en un vector
Salida en forma gráfica
Conclusiones
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