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´ lculo Avanzado
Ca
Primer cuatrimestre de 2015
´ ctica 4 -Completitud y CompacidadPra
Ejercicio 1. Sean (X, d) e (Y, d0 ) espacios m´etricos y sea f : X −→ Y una funci´on que satisface:
d0 (f (x1 ), f (x2 )) ≤ c d(x1 , x2 )
para todo x1 , x2 ∈ X, donde c ≥ 0. Probar que f es uniformemente continua.
Ejercicio 2.
i) Sean (X, d) e (Y, d0 ) espacios m´etricos, A ⊆ X y f : X −→ Y una funci´on. Probar que si
existen α > 0, (xn )n∈N , (yn )n∈N ⊂ A sucesiones y n0 ∈ N tales que
a) d(xn , yn ) −→ 0 para n → ∞
b)
d0 (f (x
n ), f (yn ))
y
≥ α para todo n ≥ n0 ,
entonces f no es uniformemente continua en A.
ii) Verificar que la funci´
on f (x) = x2 no es uniformemente continua en R. ¿Y en R≤−π ?
iii) Verificar que la funci´
on f (x) = sen(1/x) no es uniformemente continua en (0, 1).
Ejercicio 3.
i) Sea f : (X, d) −→ (Y, d0 ) una funci´on uniformemente continua y sea (xn )n∈N una sucesi´
on
de Cauchy en X. Probar que (f (xn ))n∈N es una sucesi´on de Cauchy en Y .
ii) Sea f : (X, d) −→ (Y, d0 ) un homeomorfismo uniforme. Probar que (X, d) es completo si y
s´olo si (Y, d0 ) es completo.
En particular, si un espacio m´etrico X es completo para una m´etrica lo es para cualquier
otra m´etrica uniformemente equivalente.
Ejercicio 4.
i) Dar un ejemplo de una funci´
on f : R −→ R acotada y continua pero no uniformemente
continua.
ii) Dar un ejemplo de una funci´
on f : R −→ R no acotada y uniformemente continua.
Ejercicio 5. Sea f : (X, d) −→ (Y, d0 ) una funci´on uniformemente continua, y sean A, B ⊂ X
conjuntos no vac´ıos tales que d(A, B) = 0. Probar que d0 (f (A), f (B)) = 0.
Ejercicio 6. Sea (X, d) un espacio m´etrico y sea (xn )n∈N ⊂ X. Probar que:
i) l´ım xn = x si y s´
olo si para toda subsucesi´on (xnk )k∈N , l´ım xnk = x.
n→∞
k→∞
ii) Si existe x ∈ X para el cual toda subsucesi´on (xnk )k∈N de (xn )n∈N tiene una subsucesi´
on
(xnkj )j∈N tal que l´ım xnkj = x, entonces (xn )n∈N converge y l´ım xn = x.
n→∞
j→∞
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iii) Si (xn )n∈N es convergente, entonces (xn )n∈N es de Cauchy. ¿Vale la rec´ıproca?
iv) Si (xn )n∈N es de Cauchy, entonces es acotada.
v) Si (xn )n∈N es de Cauchy y tiene una subsucesi´on (xnk )k∈N tal que l´ım xnk = x ∈ X,
k→∞
entonces (xn )n∈N converge y l´ım xn = x.
n→∞
Ejercicio 7. Probar que si toda bola cerrada de un espacio m´etrico X es un subespacio completo
de X, entonces X es completo.
Ejercicio 8. Probar que todo espacio m´etrico con la m´etrica discreta es completo.
Ejercicio 9. Sean (X, d) e (Y, d0 ) espacios m´etricos. Probar que (X × Y, d∞ ) es completo si y
s´olo si (X, d) e (Y, d0 ) son completos.
Ejercicio 10.
i) Sea X un espacio m´etrico y sea B(X) = {f : X → R / f es acotada }. Probar que
(B(X), d∞ ) es un espacio m´etrico completo, donde d∞ (f, g) = sup |f (x) − g(x)|.
x∈X
ii) Sean a, b ∈ R, a < b. Probar que (C[a, b], d∞ ) es un espacio m´etrico completo, donde
d∞ (f, g) = sup |f (x) − g(x)|.
x∈[a,b]
iii) Probar que C0 := {(an )n∈N ⊂ R | an → 0} es un espacio m´etrico completo con la distancia
d∞ ((an )n∈N , (bn )n∈N ) = sup |an − bn |.
x∈N
Ejercicio 11. Sea (X, d) un espacio m´etrico y sea D ⊂ X un subconjunto denso con la propiedad
que toda sucesi´
on de Cauchy (an )n∈N ⊂ D converge en X. Probar que X es completo. (Se puede
usar este resultado para probar la existencia de la completaci´on de todo espacio m´etrico de
manera alternativa a la estudiada en clase, copiando la idea de la construcci´on de R a partir de
Q).
Ejercicio 12. Probar que todo espacio m´etrico completo separable y no contable tiene cardinal
c.
Ejercicio 13. Sea X = (0, 1) ⊆ R y sea ((Y, d0 ), i) su completaci´on. Calcular el cardinal de
Y r i(X).
Ejercicio 14. Probar que Rn no puede escribirse como uni´on numerable de subespacios vectoriales propios.
Ejercicio 15. Sean (X, d) un espacio m´etrico completo sin puntos aislados y sea D un subconjunto denso y numerable de X. Probar que D no es un Gδ .
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Ejercicio 16. Demostrar que no existe ninguna funci´on f : R −→ R que sea continua s´olo en
los racionales.
Sugerencia: Para cada n ∈ N considerar
n
1o
Un = x ∈ R / ∃ U ⊆ R abierto con x ∈ U y diam(f (U )) <
.
n
Ejercicio 17. Sea (In )n∈N la sucesi´
on de intervalos de [0, 1] con extremos racionales y para cada
n ∈ N sea
En = {f ∈ C[0, 1] / f es mon´otona en In }.
i) Probar que para cada n ∈ N, En es cerrado y nunca denso en (C[0, 1], d∞ ).
ii) Deducir que existen funciones continuas en el intervalo [0, 1] que no son mon´otonas en
ning´
un subintervalo.
Ejercicio 18. Sea (X, d) espacio m´etrico. Se dice que un conjunto A ⊂ X es nunca denso si
◦
A = ∅.
1. Probar que si A es nunca denso, entonces X − A es denso. ¿Vale el rec´ıproco?
2. Probar que si A es abierto y denso, entonces X − A es nunca denso.
Ejercicio 19. Sea (X, d) espacio m´etrico y A ⊂ X. Probar que son equivalentes:
1. A es nunca denso;
2. toda bola B abierta contiene otra B1 ⊂ B abierta tal que B1 ∩ A = ∅;
3. A no es denso en ninguna bola abierta.
Ejercicio 20. Sea Lip[a, b] = {f ∈ C[a, b]/ ∃k > 0, |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|}. Probar que
Lip[a, b]◦ = ∅ en C[a, b].
Ejercicio 21. Probar que, si A es el conjunto de funciones continuas que tienen alg´
un intervalo
de monoton´ıa, entonces A tiene interior vac´ıo en C[a, b].
Ejercicio 22.
i) Sea (an )n∈N ⊂ R tal que l´ım an = 0. Probar que el conjunto {0} ∪ {an / n ∈ N} ⊂ R es
n→∞
compacto.
ii) Mostrar que el intervalo (0, 1] ⊂ R no es compacto.
iii) Sea S = (a, b) ∩ Q con a, b ∈ R − Q. Probar que S es un subconjunto cerrado y acotado
pero no compacto de (Q, d), donde d es la m´etrica eucl´ıdea de R.
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Ejercicio 23. Probar que todo espacio m´etrico compacto es separable.
(n)
Ejercicio 24. Sea A = {a(n) ∈ `∞ / n ∈ N}, donde cada sucesi´on a(n) = (ak )k∈N est´a definida
por
(
0 si k 6= n,
(n)
ak =
1 si k = n.
Probar que A es discreto, cerrado y acotado; pero no compacto.
Ejercicio 25. Dado un cubrimiento por abiertos (Ui )i∈I de un espacio m´etrico (X, d), un n´
umero ε > 0 se llama n´
umero de Lebesgue de (Ui )i∈I si para todo x ∈ X existe j ∈ I tal que
B(x, ε) ⊂ Uj . Probar que todo cubrimiento por abiertos de un espacio m´etrico compacto tiene
un n´
umero de Lebesgue.
Ejercicio 26. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Se dice que una familia (Fi )i∈I de subconjuntos de
X tiene la propiedad de intersecci´
on finita (P.I.F.) si cualquier subfamilia finita de (Fi )i∈I tiene
intersecci´on no vac´ıa. Probar que los siguientes enunciados son equivalentes:
1. X es compacto;
2. toda familia (Fi )i∈I de subconjuntos cerrados de X con la P.I.F. tiene intersecci´on no
vac´ıa;
3. todo subconjunto infinito de X tiene un punto de acumulaci´on en X;
4. X es secuencialmente compacto (es decir, toda sucesi´on en X tiene una subsucesi´on convergente);
5. X es completo y totalmente acotado.
Ejercicio 27. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Probar que:
i) Toda uni´
on finita y toda intersecci´on (finita o infinita) de subconjuntos compactos de X
es compacta.
ii) Si (X, d) es compacto, todo subconjunto cerrado de X es compacto.
iii) Un subconjunto F ⊂ X es cerrado si y s´olo si F ∩ K es cerrado para todo compacto
K ⊂ X.
Ejercicio 28. Sea c0 = {(xn )n∈N ⊂ R / l´ım xn = 0}. Se define en c0 la m´etrica
n→∞
d(x, y) = sup{|xn − yn | / n ∈ N}.
i) Demostrar que la bola cerrada B(x, 1) = {y ∈ C0 / d(x, y) ≤ 1} no es compacta.
ii) Probar que (c0 , d) es separable.
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Ejercicio 29. Sean (X, d) e (Y, d0 ) espacios m´etricos. Se considera (X × Y, d∞ ), donde
d∞ ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = m´ax{d(x1 , x2 ), d0 (y1 , y2 )}.
Probar que (X × Y, d∞ ) es compacto si y s´olo si (X, d) e (Y, d0 ) son compactos.
Ejercicio 30. Sea (X, d) un espacio m´etrico.
i) Sean K ⊂ X un compacto y sea x ∈ X − K. Probar que existe y ∈ K tal que
d(x, K) = d(x, y); es decir, la distancia entre x y K ((se realiza)).
ii) Sean F, K ⊂ X dos subconjuntos disjuntos de X tales que F es cerrado y K es compacto.
Probar que la distancia d(F, K) entre F y K es positiva.
iii) Sean K1 , K2 ⊂ X dos subconjuntos compactos de X tales que K1 ∩ K2 = ∅. Probar que
existen x1 ∈ K1 y x2 ∈ K2 tales que d(K1 , K2 ) = d(x1 , x2 ); es decir, la distancia entre K1
y K2 ((se realiza)).
Ejercicio 31. Sea (X, d) un espacio m´etrico completo. Se define
K(X) = {K ⊂ X / K es compacto y no vac´ıo}.
˜ B) = sup{d(a, B)}. Verificar que d˜ no es una m´etrica en K(X).
i) Sea d(A,
a∈A
˜ B), d(B,
˜ A)}. Probar que para
ii) Se define δ : K(X) × K(X) → R como δ(A, B) = m´ax{d(A,
todo ε > 0 vale
δ(A, B) < ε
⇐⇒
A ⊂ B(B, ε)
y
B ⊂ B(A, ε),
donde B(C, ε) = {x ∈ X / d(x, C) < ε} para cada C ⊂ X.
iii) Probar que δ es una m´etrica en K(X).
Ejercicio 32. Sean (X, d) e (Y, d0 ) espacios m´etricos y f : X −→ Y continua y biyectiva. Probar
que si (X, d) es compacto, entonces f es un homeomorfismo.
Ejercicio 33. Sea (X, d) un espacio m´etrico compacto. Probar que para cada espacio m´etrico
(Y, d0 ), la proyecci´
on π : X × Y → Y definida por π(x, y) = y es cerrada.
Ejercicio 34. Sean (X, d) e (Y, d0 ) espacios m´etricos, y sea f : X −→ Y una funci´on. Probar
que si Y es compacto y el gr´
afico de f es cerrado en X × Y , entonces f es continua.
Ejercicio 35.
i) Sea f : R≥a −→ R una funci´
on que es uniformemente continua en [a, b] y tambi´en en
[b, +∞). Probar que f es uniformemente continua en R≥a .
√
ii) Deducir que x es uniformemente continua en R≥0 .
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iii) Sea f : R −→ R continua y tal que l´ımx→−∞ f (x) = l´ımx→+∞ f (x) = 0. Probar que f es
uniformemente continua en R.
Ejercicio 36. Sea (X, d) un espacio m´etrico y sea A ⊂ X compacto. Probar que si f : A −→ R
es continua y f (x) > 0 para todo x ∈ A, entonces existe K > 0 tal que f (x) ≥ K para todo
x ∈ A.
Ejercicio 37. Sea f : R −→ R una funci´on continua y abierta.
i) Probar que f no tiene extremos locales; es decir, no existen x0 ∈ R y ε > 0 tales que
f (x0 ) ≤ f (x) (resp. f (x0 ) ≥ f (x)) para todo x ∈ (x0 − ε, x0 + ε).
ii) Comprobar que existen a, b ∈ R ∪ {−∞, ∞} tales que f (R) = (a, b).
iii) Mostrar que f : R −→ (a, b) es un homeomorfismo y que ella y su inversa son funciones
mon´otonas.
Ejercicio 38. Sea (X, d) un espacio m´etrico compacto y sea f : X −→ R una funci´on semicontinua superiormente. Probar que f est´a acotada superiormente en X y que f alcanza m´aximo
en X.
Ejercicio 39. Sea C el conjunto de Cantor.
i) Probar que C es cerrado y acotado (luego compacto).
ii) Probar que C es perfecto (i.e. C = C 0 ).
iii) Probar que C tiene interior vac´ıo.
iv) Probar que x ∈ C sii su desarrollo en base 3 tiene s´olo las cifras 0 y 2.
v) Probar que C tiene la potencia del continuo.
Ejercicio 40. Sea (X, d) un espacio m´etrico completo. Probar que si P ⊆ X es perfecto entonces
es no numerable.
Ejercicio 41.
i) Sea S ⊆ Rn y no numerable. Sea T el conjunto de puntos de condensaci´on de S. Probar
que:
a) S − T es numerable.
b) S ∩ T es no numerable.
c) T es un conjunto cerrado.
d ) T no posee puntos aislados.
ii) (Teorema de Cantor-Bendixon) Probar que cualquier conjunto F cerrado no numerable de
Rn puede expresarse en la forma F = A ∪ B, donde A es perfecto y B es numerable.
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