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Fundamentos de Geometr´ıa
Diferencial
Proyecto de Matem´
aticas
Carlos Antonio Julio Arrieta
2015
´Indice general
´
1. Algebra
tensorial y exterior
1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.2. Algebra
tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Una nota sobre espacio dual y funciones bilineales
1.2.2. Producto tensorial de espacios vectoriales . . . . .
1.2.3. Propiedades del producto tensorial . . . . . . . .
1.2.4. Tensores del tipo (r, s) . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Funciones multilineales . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6. Generalizando la propiedad universal . . . . . . .
1.2.7. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.3. Algebra
exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Propiedades del ´algebra exterior . . . . . . . . . .
1.3.3. Funciones multilineales alternadas . . . . . . . . .
1.3.4. Isomorfismos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Operaciones cl´asicas del ´algebra tensorial . . . . . . . . .
1.5. Pull-back y push-forward . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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43
2. Variedades diferenciables
2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Espacios localmente euclideos y sistema de coordenadas
2.3. El concepto de variedad diferenciable . . . . . . . . . .
2.3.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Funciones diferenciables entre variedades . . . .
2.4. Noci´on topol´ogica y orientaci´on . . . . . . . . . . . . .
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iii
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iv
´INDICE GENERAL
2.4.1. Espacios topol´ogicos paracompactos
2.4.2. Particiones de la unidad . . . . . .
2.4.3. Variedades orientables . . . . . . .
2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. La diferencial, subvariedades y campos vectoriales
3.1. Vectores tangentes y espacio tangente . . . . . . . .
3.1.1. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Espacio cotangente . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3. Fibrado tangente y cotangente . . . . . . . .
3.2. Inmersiones, submersiones y subvariedades . . . . .
3.2.1. Inmersiones y submersiones . . . . . . . . .
3.2.2. Subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Corchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Propiedades del corchete de Lie . . . . . . .
3.4. Curva integral de un campo vectorial . . . . . . . .
3.5. Flujo del corchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Derivaci´
on en variedades
4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Fibrados tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Campos tensoriales y formas . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Revizando variedades orientables . . . . . . . . .
4.3.2. Pull-back de una p−forma sobre M . . . . . . . .
4.4. Derivaci´on exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. La derivada de Lie para campos vectoriales y tensoriales
4.6. Producto interior para formas exteriores . . . . . . . . .
4.7. Otras f´ormulas que involucran la derivada de Lie . . . . .
4.8. Conexi´on af´ın y derivada covariante . . . . . . . . . . . .
4.9. Derivaci´on de campos tensoriales . . . . . . . . . . . . .
4.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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155
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5. Integraci´
on de formas diferenciales
5.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Integraci´on de formas . . . . . . . . .
5.2.1. Integraci´on sobre varias cartas
5.2.2. Dominio regular y borde . . .
iv
´INDICE GENERAL
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´INDICE GENERAL
1
5.2.3. Teorema Fundamental del C´alculo . . . . . . . . . . . 162
5.2.4. Formas cl´asicas del teorema fundamental del C´alculo 164
5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Bibliograf´ıa
221
´INDICE GENERAL
1
2
´
INTRODUCCION
2
´
INTRODUCCION
Introducci´
on general
La noci´on de variedad diferenciable se hace necesaria para extender los
m´etodos del C´alculo a espacios geom´etricos mas generales que Rn . Se presentar´a el concepto abstracto de variedad diferenciable generalizando el concepto de superficie regular, se ilustrar´a el concepto con una serie de ejemplos
para dar mayor claridad. Este estudio se ramifica en tres direcciones fundamentalmente: Topolog´ıa Diferencial, Geometr´ıa Diferencial (Riemanniana, Sub-Riemanniana, Semi-Riemanniana, Simpl´ectica, entre otras) y Geometr´ıa Algebraica. La primera se preocupa de las cuestiones topol´ogicas y
por lo tanto es m´as b´asica, sobre variedades diferenciables y su instrumento
de trabajo es la Topolog´ıa Algebraica, siendo muy importante la Teor´ıa de
Clases Caracter´ısticas.
La segunda, se ocupa de las variedades que son metrizables cuyos espacios
tangentes son dotados de una noci´on de producto interior (o alguna noci´on
de producto interior debilitada, sim´etrica o anti-sim´etrica), de este modo,
se obtienen varios tipos de Geometr´ıa Diferencial tales como: Riemanniana, Semi-Riemanniana, Simpl´ectica, entre otras; con lo que se estudia como
fundamento los conceptos que se pueden definir a partir de esos productos
interiores tales como: longitud de arco, ´angulo, volumen, geod´esicas, curvatura. El principal instrumento de trabajo, en esta direcci´on, es el An´alisis
Matem´atico Real y Complejo, cuando se refiere a propiedades locales; pegado con la Topolog´ıa Algebraica para pasar de lo local a lo global. Un
teorema t´ıpico de la Geometr´ıa Riemanniana es el siguinte:
Si M = M n es una variedad Riemanniana completa, simplemente conexa
tal que su curvatura ρ satisface la condici´
on
3r
≤ρ≤r
4
3
4
´
INTRODUCCION
ρ > 0 entonces M n es homeomorfa a una esfera S n . (Teorema de Rauch) el
lector interesado puede consultar el libro de Do Carmo Manfredo. Geometr´ıa
Riemanniana. Instituto de Matem´aticas Pura y Aplicada. Rio de Janeiro.
Brasil
´
La tercera, se ocupa de la interrelaci´on del Algebra
y las variedades, es un
´area extremadamente interesante. El principal instrumento de trabajo es el
´
Algebra
Conmutativa, Topolog´ıa Algebraica y An´alisis Real y Complejo.
Todos los estudios sobre variedades tienen aplicaciones muy interesantes,
pero en particular, la Geometr´ıa Diferencial es de las m´as llamativas, pues
se combina de manera muy adecuada con otras ´areas del conocimiento para
verse como una l´ınea fundamental de la Matem´atica Pura y Aplicada.
4
´
INTRODUCCION
Cap´ıtulo 1
´
Algebra
tensorial y exterior
§ 1.1.
Introducci´
on
Para formular, demostrar y dearrollar, de manera adecuada y comprimida; las ´areas de la Geometr´ıa Diferencial, la F´ısica Matem´atica y otras
ramas de la Mate´atica se precisan, como herramienta, varias cuestiones que
´
´
ya de por s´ı son de gran inter´es, tales como: el Algebra
tensorial y el Algebra
exterior en espacios vectoriales; en este cap´ıtulo se presentar´a una introducci´on a estos temas.
§ 1.2.
´
Algebra
tensorial
A continuaci´on se presenta una nota del espacio dual de un espacio
vectorial de dimensi´on finita y funciones bilineales ya que gran parte de la
teor´ıa est´a basada fundamentalmente en ´estos temas.
1.2.1.
Una nota sobre espacio dual y funciones bilineales
En este cap´ıtulo V, W, y U denotan espacios vectoriales reales (podr´ıan ser
complejos) de dimensi´on finita y Hom(V, W ) denota el espacio vectorial de
todas las transformaciones lineales de V en W ; como es bien sabido
dim[Hom(V, W )] = (dim V )(dim W ).
Se denotar´a con V ∗ al espacio vectorial dual de V, esto es el espacio vectorial
formado por todas las transformaciones (o funcionales) lineales T : V → R.
10
´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
El conjunto de todos los funcionales lineales sobre V forman un espacio
vectorial con suma y producto por escalares las naturalmente definidas entre
funciones.
Las funciones bilineales son de gran utilidad, esto es t : V × W → R se dice
que es una funci´on bilineal si t satisface:
t(x1 + x2 , y) = t(x1 , y) + t(x2 , y)
t(x, y1 + y2 ) = t(x, y1 ) + t(x, y2 )
t(cx, y) = ct(x, y) = t(x, cy)
Para todo x, x1 , x2 en V y todo y, y1 , y2 en W . El conjunto de todas las
funciones bilineales sobre V × W forman un espacio vectorial con suma y
producto por escalares las naturalmente definidas entre funciones.
Definici´
on 1.2.1 Una funci´on bilineal
(, ):V ×W →R
se dice no singular si satisface
(i) Para cada 0 6= w ∈ W , existe v ∈ V tal que (v, w) 6= 0
(ii) Para cada 0 6= v ∈ V , existe w ∈ W tal que (v, w) 6= 0
Lema 1.2.1 Si ( , ) : V × W → R es una funci´on bilineal no-singular.
Entonces la funci´on
ϕ :V → W ∗
v → ϕ(v)
(1.1)
tal que ϕ(v)(w) = (v, w) para todo w ∈ W es un isomorfismo de V sobre
W ∗.
Demostraci´
on. Es claro que ϕ as´ı definida es una transformaci´on lineal
entre espacios vectoriales.
ϕ es 1-1, pues
ϕ(v) = ϕ(v1 ) ⇒ϕ(v)(w) = ϕ(v1 )(w) (∀w ∈ W )
⇒(v, w) = (v1 , w) (∀w ∈ W )
⇒(v − v1 , w) = 0 (( , ) es bilineal)
⇒v = v1 (( , ) es no singular)
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
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(1.2)
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´
1.2. ALGEBRA
TENSORIAL
11
De manera an´aloga, la funci´on
ϕ′ :W → V ∗
w → ϕ(w)
(1.3)
tal que ϕ′ (w)(v) = (v, w) para todo v ∈ V tambi´en es 1-1, lo que implica
que V y W tienen la misma dimensi´on y as´ı ϕ es un isomorfismo de V sobre
W ∗.
Lo que demuestra que una funci´on bilineal no singular definida sobere V ×W
proporciona de manera natural un isomorfismo sobreyectivo de V en W ∗ (y
tambi´en otro de W sobre V ∗ ).
X
Lo que termina la demostraci´on
♦
Observaciones. El Lema 1.2.1 proporciona lo siguiente:
Si existe una funci´on bilineal ( , ) : V × W → R no singular, entonces
para cualquier funcional lineal f de W ∗ existe v ∈ V tal que
f (w) = (v, w),
w ∈ W.
y adem´as V ≈ W ∗ .
Sea e = {ei : i = 1, · · · , n} es una base para V. Si x, z ∈ V, entonces
existen escalares xi y z i con i = 1, · · · , n tal que
x=
n
X
i
x ei ,
i=1
z=
n
X
z i ei
i=1
y con esto se define la funci´on h , i : V × V → R mediante la f´ormula
hx, zi = x1 z1 + x2 z2 + · · · + xn zn
llamado producto escalar en V. Observe tambi´en que esta funci´on
es bilineal, no degenerada y entonces el Lema 1.2.1 proporciona que
V ≈ V ∗ . Adem´as para cualquier funcional lineal f de V ∗ , existe x ∈ V
tal que
f (z) = hx, zi ,
z ∈ V.
Como caso particular al item anterior, si h , i es un producto escalar
sobre Rn , entonces para cada funcional lineal f ∈ [Rn ]∗ , existe un
u
´nico x ∈ Rn tal que
f (z) = hx, zi
∀z ∈ Rn
y Rn ≈ [Rn ]∗ .
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
12
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CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
Ahora se retoma e = {ei : i = 1, · · · , n} una base para V, entonces su base
dual asociada (de V ∗ ) es e∗ = {ej : j = 1, · · · , n} tal que
(
1,
si i = j
ej (ei ) =
0,
si i 6= j,
cada ei es la proyecci´on en la i−esima componente respecto a la base e.
Los vectores con super´ındices siempre estar´an en el dual, por ejemplo
αi ∈ V ∗ ,
βj ∈ U ∗
Adem´as, obs´ervese que si v ∈ V y α ∈ V ∗ , entonces
v=
n
X
ei (v)ei
i=1
y α=
n
X
α(ej )ej .
j=1
Empleando la convenci´on de Eistein en donde la suma est´a invocada cuando
un ´ındice est´a repetido inferior y superiormente, entonces las expresiones
anteriores se convierten en
v = ei (v)ei
y α = α(ej )ej .
La convenci´on de Eistein se usar´a de ahora en adelante.
Se puede enviar V en V ∗∗ = L(V ∗ , R), el espacio vectorial de los funcionales
lineales definidas en V ∗ , en donde a cada v ∈ V se le asocia v ∗∗ ∈ V ∗∗ ,
definido por v ∗∗ (α) = α(v) para todo α ∈ V ∗ . En el caso en que V tiene dimensi´on finita, V V ∗ y V ∗∗ tienen la misma dimensi´on y como consecuencia
son, al menos algebraicamente, isomorfos (la funci´on que V → V ∗∗ es uno
a uno y por lo tanto un isomorfismo). Entre tanto, bajo esta identificaci´on
(y abuzando de la notaci´on) se tiene que
(
1,
si j = i
j
j
ei (ej ) = e∗∗
i (e ) = e (ei ) =
0,
si j 6= i
Lo que indica que tanto los {ei } y los {ej } actuan como funcionales lineales
de la manera adecuada anterior. Bajo estas condiciones cada vector v ∈ V
es un funcional lineal de V ∗ en R definido como sigue: para cada v ∗ ∈ V ∗
le asocia v(v ∗ ) = v ∗∗ (v ∗ ) que no es m´as que v ∗ (v).
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
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´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
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1.2. ALGEBRA
TENSORIAL
1.2.2.
13
Producto tensorial de espacios vectoriales
Es bien conocido que si V es un espacio vectorial sobre F (= R o C) y W
un subespacio vectorial de V, entonces V /W es un espacio vectorial sobre
F, con las operaciones, para v1 + W, v2 + W ∈ V /W y α ∈ F,
1. (v1 + W ) + (v2 + W ) = (v1 + v2 ) + W
2. α(v1 + W ) = αv1 + W
V /W se llama espacio vectorial cociente de V por W. El cero (0) de V /W
es W. Adem´as si v1 ∈ W, entonces v1 + W = W.
Definici´
on 1.2.2 Sea F (V, W ) el espacio vectorial libre sobre R cuyos generadores algebraicos son todos los puntos de V × W . As´ı F (V, W ) consiste
de todas las combinaciones lineales finitas de pares (v, w) con v ∈ V, y
w ∈ W. Sea R(V, W ) el subespacio vectorial de F (V, W ) generado por el
conjunto de todos los elementos de la siguiente forma

(v1 + v2 , w) − (v1 , w) − (v2 , w) 


(v, w1 + w2 ) − (v, w1 ) − (v, w2 )
(1.4)
(av, w) − a(v, w) 


(v, aw) − a(v, w)
para todo a ∈ R, v, v1 , v2 ∈ V, w, w1 , w2 ∈ W.
El espacio vectorial cociente F (V, W )/R(V, W ) se llama el Producto tensorial de V con W y se nota por V ⊗ W. La clase lateral de V ⊗ W que
contiene el elemento (v, w) ∈ F (V, W ) se nota por v ⊗ w, esto es
v ⊗ w = (v, w) + R(V, W )
Y por lo tanto sigue de 1.2.2 que se tienen las siguientes identidades para
V ⊗W :

(v1 + v2 ) ⊗ w = v1 ⊗ w + v2 ⊗ w 
v ⊗ (w1 + w2 ) = v ⊗ w1 + v ⊗ w2
(1.5)

(av) ⊗ w = v ⊗ (aw) = a(v ⊗ w)
1.2.3.
Propiedades del producto tensorial
En lo que sigue e∗ = {ei : i = 1, · · · , n} una base para V ∗ dual de
e = {ek : k = 1, · · · , n} base para V y w = {wj : j = 1, · · · , m} base para
W.
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
14
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CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
(a) Propiedad Universal Funcional.
Sea ϕ la funci´on bilineal
(v, w) → v ⊗ w de V × W en V ⊗ W. Entonces cualquiera que sea
U un espacio vectorial y h : V × W → U una funci´on bilineal, existe
˜ : V ⊗ W → U tal que el siguiente
una u
´nica transformaci´on lineal h
diagrama conmuta (ver, Figura 1.1):
V ⊗W
ϕ
˜
h
V ×W
h
Figura 1.1
U
˜◦ϕ=h
esto es, h
El par hV ⊗ W, ϕi se llama una soluci´on al Problema Universal
Funcional para funciones bilineales con dominio V × W. Adem´as el
par hV ⊗ W, ϕi es u
´nico con esta propiedad, en el sentido que, si T es
un espacio vectorial tal que
θ :V ×W →T
es una funci´on bilineal que satisface la Propiedad Funcional Universal,
entonces existe un isomorfismo α : V ⊗ W → T tal que α ◦ ϕ = θ.
(b) V ∗ ⊗ W es isomorfo a Hom(V ; W ).
Como consecuencia, dim V ⊗ W =(dimV )(dimW ).
(c) Una base para V ⊗ W est´a dada por
ei ⊗ wj : i = 1, · · · , n; j = 1, · · · , m .
(d) V ⊗ W es can´onicamente isomorfo con W ⊗ V.
(e) V ⊗ (W ⊗ U ) es can´onicamente isomorfo con (V ⊗ W ) ⊗ U.
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
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´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
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1.2. ALGEBRA
TENSORIAL
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Se verificar´an (a), (b) y (c) dejando el resto como un ejercicio,
˜ basta observar que h
˜ : V ⊗W → U
(a) Para demostrar la existencia de h,
definida por
˜ ⊗ w + v1 ⊗ w1 ) = h(v, w) + h(v1 , w1 )
h(v
satisface las condiciones requeridas:
˜ es lineal ya que
h
˜
˜ (av) ⊗ w + v1 ⊗ w1
h(a(v
⊗ w) + v1 ⊗ w1 ) =h
=h(av, w) + h(v1 , w1 )
=a h(v, w) + h(v1 , w1 )
˜ ⊗ w) + h(v
˜ 1 ⊗ w1 )
=ah(v
Conmutatividad del diagrama,
˜ ◦ ϕ(v, w) = h(ϕ(v,
˜
˜ ⊗ w) = h(v, w)
h
w)) = h(v
˜ : si F : V ⊗ W → U es otra transformaci´on lineal
Unicidad de h
que tambien hace conmutar el diagrama, es decir, F ◦ ϕ(v, w) =
h(v, w), entonces
˜ ⊗ w) = h(v, w) = F ◦ ϕ(v, w) = F (v ⊗ w).
h(v
Unicidad del par hV ⊗ W, ϕi. En este caso se supone que hT, θi es otra
soluci´on al problema universal para funciones bilineales con dominio
V ×W, entonces existen transformaciones lineales u
´nicas α : V ⊗W →
T y β : T → V ⊗ W tales que el par de diagramas (Figura 1.2)
V ⊗W
T
ϕ
V ×W
α
θ
β
θ
T
V ×W
Figura 1.2
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
ϕ
V ⊗W
´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
16
conmutan, esto es, θ = α ◦ ϕ, ϕ = β ◦ θ.
La idea que sigue es demostrar que α es un isomorfismo de V ⊗ W
sobre T.
Como θ = (α ◦ β) ◦ θ y ϕ = (β ◦ α) ◦ ϕ, entonces α ◦ β = i en T y
β ◦ α = i en V ⊗ W.
Con lo que se demuestra que α y β son transformaciones lineales
biyectivas con α = β −1 y as´ı V ⊗ W ≈ T.
(b) Para demostrar este item se define
L : V ∗ × W → Hom(V, W )
como
L(f, w) ∈ Hom(V, W )
tal que L(f, w)(v) = f (v)w (L as´ı definida es bilineal).
Como ϕ : V ∗ × W → V ∗ ⊗ W dada con ϕ(f, w) = f ⊗ w es bilineal, entonces la propiedad universal garantiza la existencia de una
transformaci´on lineal
α : V ∗ ⊗ W → Hom(V, W )
tal que el diagrama (ver, Figura 1.3)
V∗⊗W
ϕ
α
V∗×W
Hom(V, W )
L
Figura 1.3
conmuta, esto es, α ◦ ϕ = L, eqivalentemente, α(f ⊗ w) = L(f, w).
Se demostrar´a entonces que α es un isomorfismo sobreyectivo. Para
lo cual resta probar que la transformaci´on lineal α es 1-1 y sobre. En
efecto,
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
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´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
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1.2. ALGEBRA
TENSORIAL
17
(1) Inyectividad. Se c´alcula el nucleo de α, como
ker(α) = f ⊗ w ∈ V ∗ ⊗ W : α(f ⊗ w) = 0 ,
= f ⊗ w ∈ V ∗ ⊗ W : L(f, w) = 0 ,
= f ⊗ w ∈ V ∗ ⊗ W : f (v)w = 0, ∀v ∈ V ,
= f ⊗ w ∈ V ∗ ⊗ W : f = 0, o w = 0 ,
= 0 .
Lo que prueba que α es inyectiva.
(2) Sobreyectividad. Se demostrar´a que Im(α) = Hom(V, W ). Si
f = fi ei ∈ V ∗ , w = xj wj ∈ W se tiene
L(f, w)(v) = f (v)w = fi ei (v) (xj wj )
= fi xj ei (v)wj = fi xj L(ei , wj )(v),
por lo tanto, las transformaciones lineales L(ei , wj ) de V en W
satisfacen
n
o
Im(α) = Im(L) = L(f, w) : f ∈ V ∗ , w ∈ W
(1.6)
n,m
= {L(ei , wj )} i,j=1
Se afirma entonces que las transformaciones lineales L(ei , wj ) generan a Hom(V, W ) y como son mn elementos de Hom(V, W )
basta demostrar que son linealmente independientes. Por lo tanto, si
cji L(ei , wj ) = 0
entonces al aplicar esta identidad a ek , se obtiene
cji L(ei , wj )(ek ) = 0,
es decir, ‘
cji ei (ek )wj = 0
lo que muestra que cjk wj = 0 y como los wj son linealmente
independientes, entonces cjk = 0 para todo j y todo k.
Hay nm de tales funciones L(ei , wj ) ∈ Hom(V, W ) linealmente
independientes y la dimensi´on de Hom(V, W ) es precisamente
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
18
nm. De donde L(ei , wj ) i = 1, · · · n j = 1, · · · , m forma una base
para Hom(V, W ) y as´ı
Im(α) = Hom(V, W ).
Luego
V ∗ ⊗ W ≈ Hom(V, W ).
En particular, V ⊗ W ≈ Hom(V, W ).
(c) Sean v = xi ei , w = y j wj elementos de V y W respectivamente, entonces
v ⊗ w = xi y j (ei ⊗ wj )
lo que muestra que V ⊗ W es generado por el conjunto
β = ei ⊗ wj : i = 1, · · · , n, j = 1, · · · , m ,
como #β = mn = dim(V ⊗ W ), entonces los elementos de β son
linealmente independientes.
1.2.4.
Tensores del tipo (r, s)
Definici´
on 1.2.3 El espacio tensorial Trs (V ) de tipo (r, s) asociado con V
es el espacio vectorial
∗
· · ⊗ V }∗
· · ⊗ V} ⊗ V
| ⊗ ·{z
|V ⊗ ·{z
r−copias
la suma directa
T (V ) =
(1.7)
s−copias
X
Trs (V )
(1.8)
donde T00 (V ) = R se llama ´
algebra tensorial de V . Los elementos de T (V )
son combinaciones lineales finitas sobre R de elementos de varios Trs (V ) y
se le llaman tensores. T (V ) es no conmutativo, asociativo, y es un a´lgebra
graduada bajo multiplicaci´
on ⊗, es decir, si
u = u1 ⊗ · · · ⊗ ur1 ⊗ u1 ⊗ · · · ⊗ us1 ∈ Trs11 (V ),
v = v1 ⊗ · · · ⊗ vr2 ⊗ v 1 ⊗ · · · ⊗ v s2 ∈ Trs22 (V )
(1.9)
entonces el producto u ⊗ v se define por
u ⊗ v = u 1 ⊗ · · · ⊗ ur 1 ⊗ v 1 ⊗ · · · ⊗ v r 2 ⊗ u 1 ⊗ · · · ⊗ us 1 ⊗ v 1 ⊗ · · · ⊗ v s 2
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´
1.2. ALGEBRA
TENSORIAL
19
+s2
y est´
a en Trs11+r
(V ). Los tensores en un espacio tensorial particular Trs (V )
2
se llaman homog´eneos de grado (r, s). Un tensor homog´eneo [de grado (r, s)]
se dice descomponible o espandible si se puede escribir en la forma
v1 ⊗ · · · ⊗ vr ⊗ v 1 ⊗ · · · ⊗ v s
donde vi ∈ V
(i = 1, · · · , r) y v j ∈ V ∗
(j = 1, · · · , s).
Observe que si {ei : i = 1, · · · , n} es una base para V, {ej : j = 1, · · · , n}
su base dual para V ∗ . Entonces un peque˜
no ajuste a la parte (c) de las
propiedades del producto tensorial proporciona:
Tr0 (V ) = V ⊗ · · · ⊗ V tiene como base
ej1 ⊗ · · · ⊗ ejr ji = 1, · · · , n
(1.10)
y la dimensi´on de Tr0 (V ) es nr . Y si t ∈ Tr0 (V ), entonces
t = Aj1 ···jr ej1 × · · · ⊗ ejr
T0s (V ) = V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗ tiene como base
k1
e ⊗ · · · ⊗ eks ki , = 1, · · · , n
(1.11)
y la dimensi´on de T0s (V ) es ns . Y si t ∈ T0s (V ), entonces
t = Ak1 ···ks v k1 ⊗ · · · ⊗ v ks .
Trs (V ) = V ⊗ · · · ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗ tiene como base
ek1 ⊗ · · · ⊗ ekr ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs ki , ji = 1, · · · , n
(1.12)
y la dimensi´on de Trs (V ) es nr+s y t ∈ Trs (V ) implica
k1
ks
r
t = Ajk11···j
···ks ej1 ⊗ · · · ⊗ ejr ⊗ e ⊗ · · · ⊗ e
1.2.5.
Funciones multilineales
Sea Mrs (V ) el espacio vectorial de las funciones multilineales
∗
t : |V × ·{z
· · × V} × V
· · × V }∗ → R
| × ·{z
r−copias
s−copias
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
(1.13)
´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
20
con suma y producto por escalares las naturalmente definidas entre funciones, es decir como en C´alculo elemental. t se dice r−veces covariante y
s−veces contravariante.
Ahora se consideran varias dualidades entre los espacios Trs (V ) y los correspondientes espacios Trs (V ∗ ) constru´ıdo sobre el espacio dual V ∗ de V .
Aunque el Lema 1.2.1 proporciona una forma de obtener los isomorfismos
que se presentan de manera simple y rapida es necesario mostrar como la
propiedad universal tambi´en puede usarse para obtener algunos isomorfismos muy importante.
Lema 1.2.2 Existe una u
´nica funci´on bilineal no singular
( , ) : Trs (V ∗ ) × Trs (V ) → R
que sobre los elementos espandibles satisface
v ∗ = v 1 ⊗ · · · ⊗ v r ⊗ ur+1 ⊗ · · · ur+s ∈ Trs (V ∗ )
u = u1 ⊗ · · · ⊗ ur ⊗ v r+1 ⊗ · · · v r+s ∈ Trs (V )
(1.14)
tiene siguiente forma
(v ∗ , u) = v 1 (u1 ) · · · v r (ur )v r+1 (ur+1 ) · · · v r+s (ur+s ).
(1.15)
Demostraci´
on. Un c´alculo sencillo muestra que (1.15) proporciona una
funci´on bilinear u
´nica. Para ver que es no singular observe que, si
v ∗ = v 1 ⊗ · · · ⊗ v r ⊗ ur+1 ⊗ · · · ur+s ∈ Trs (V ∗ )
entonces sea
u = v1 ⊗ · · · ⊗ vr ⊗ ur+1 ⊗ · · · ur+s ∈ Trs (V )
se tiene que (v ∗ , v) 6= 0.
X
♦
De manera an´aloga cuando se tenga una combinaci´on lineal.
Lema 1.2.3
Trs (V ∗ ) ≈ Trs (V )∗
(1.16)
Demostraci´
on. Se obtiene directamente de los Lemas 1.2.1 y 1.2.2.
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
X
♦
´
1.2. ALGEBRA
TENSORIAL
1.2.6.
21
Generalizando la propiedad universal
Se denota
∗
· · × V }∗
V r × V ∗s = V
· · × V} × V
| × ·{z
| × ·{z
r−veces
s−veces
y observe que la Propiedad Universal Funcional se extiende de manera natural y obvia para funciones multilineales con dominio V r × V ∗s , es decir,
Propiedad Universal Funcional. Sea ϕ la funci´on multilineal
ϕ : V r × V ∗s → Trs (V )
definida por ϕ(v1 × · · · vr × v r+1 × · · · × v r+s ) = v1 ⊗ · · · vr ⊗ v r+1 ⊗ · · · ⊗ v r+s .
Entonces cualquiera que sea U un espacio vectorial y h : V r × V ∗s → U una
˜ : T s (V ) → U
funci´on multilineal, existe una u
´nica transformaci´on lineal h
r
tal que el siguiente diagrama conmuta (ver, Figura 1.4):
Trs (V )
ϕ
˜
h
V r × V ∗s
h
Figura 1.4
U
˜◦ϕ=h
esto es, h
El par hTrs (V ), ϕi se llama una soluci´on al Problema Universal Funcional para funciones multilineales con dominio V r × V ∗s . Adem´as el par
hTrs (V ), ϕi es u
´nico con esta propiedad, en el sentido que, si T es un espacio
vectorial tal que
θ : V r × V ∗s → T
es una funci´on multilineal que satisface la Propiedad Funcional Universal,
entonces existe un isomorfismo α de Trs (V ) sobre T tal que α ◦ ϕ = θ.
Lema 1.2.4
Trs (V )
∗
≈ Mrs (V )
(1.17)
donde Mrs (V ) es el espacio vectorial de las funciones multilineales con dominio V r × V ∗s .
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
22
Demostraci´
on. Sea h ∈ Mrs (V ) y ϕ : V r × V ∗s → Trs (V ) definida por
ϕ(v1 , · · · , vr , u1 , · · · , us ) = v1 ⊗ · · · ⊗ vr ⊗ u1 ⊗ · · · ⊗ us .
entonces la propiedad
s
∗ universal del producto tensorial, garantiza la exis˜
tencia de h ∈ Tr (V ) tal que el siguiente diagrama conmuta (ver, Figura
1.5)
Trs (V )
ϕ
˜
h
V r × V ∗s
R
h
Figura 1.5
esto es,
˜ 1 ⊗ · · · ⊗ v r ⊗ u 1 ⊗ · · · ⊗ us )
h(v1 , · · · , vr , u1 , · · · , us ) = h(v
(1.18)
∗
˜
Bajo estas condiciones se define F : Mrs (V ) → Trs (V ) , por F (h) = h.
Entonces
s
F es lineal. En efecto, sea h1 ∈ Mrs (V ) y a ∈ R, luego ah+h
1s∈ Mr∗(V )
y de nuevo por la propiedad universal, existen h˜1 , h∗ ∈ Tr (V ) tal
que
˜1 ◦ ϕ
h1 = h
y
ah + h1 = h∗ ◦ ϕ.
Como
h∗ (v1 ⊗ · · · ⊗ vr ⊗ u1 ⊗ · · · ⊗ us ) = h∗ ◦ ϕ(v1 , · · · , vr , u1 , · · · , us )
=(ah + h1 )(v1 , · · · , vr , u1 , · · · , us )
˜+h
˜ 1 )(v1 ⊗ · · · ⊗ vr ⊗ u1 ⊗ · · · ⊗ us ).
=(ah
As´ı que
˜+h
˜ 1 = aF (h) + F (h1 ).
F (ah + h1 ) = h∗ = ah
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-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´
1.2. ALGEBRA
TENSORIAL
23
F es 1-1. Para tal efecto se c´alcula el nucleo de F como una aplicaci´on
directa de 1.18
˜=0
N (F ) = h ∈ Mrs (V ) : F (h) = 0 = h ∈ Mrs (V ) : h
= h ∈ Mrs (V ) : h(v1 , · · · , vr , u1 , · · · , us ) = 0, ∀vi , ∀uj
= 0
˜ ∈ T s (V ) ∗ , se define entonces h : V r × V ∗s → R
F es sobre. Si h
r
como sigue
˜ 1 ⊗ · · · ⊗ vr ⊗ u1 ⊗ · · · ⊗ us ),
h(v1 , · · · , vr , u1 , · · · , us ) = h(v
˜ muestran
la multilinealidad del producto tensorial y la linealidad de h
que h es una funci´on multilineal.
X
Lo que termina la demostraci´on del Lema.
♦
Observaciones.
El lema 1.2.3 proporciona que Trs (V ∗ ) ≈ [Trs (V )]∗ de donde, cada
elemento espandible
v ∗ = v 1 ⊗ · · · ⊗ v r ⊗ ur+1 ⊗ · · · ⊗ ur+s ∈ Trs (V ∗ )
se identifica con exactamente un funci´onal lineal
∗
e
· · ⊗ V }∗ → R
h(v ∗ ) : |V ⊗ ·{z
· · ⊗ V} ⊗ V
| ⊗ ·{z
r−veces
s−veces
tal que si
u = u1 ⊗ · · · ⊗ ur ⊗ v r+1 ⊗ · · · ⊗ v r+s
entonces
e
h(v ∗ )(u) = (v ∗ , u) = v 1 (u1 ) · · · v r (ur )v r+1 (ur+1 ) · · · v r+s (ur+s ) (1.19)
∗
Por el Lema 1.2.4 se tiene que Trs (V ) ≈ Mrs (V ) y por lo tanto,
e
h(v ∗ ) se identifica con exactamente una funci´on multilineal h(v ∗ ) de
Mrs (V ), entonces por la ecuaci´on (1.18)
∗
h(v )(u1 , · · · , ur , u
r+1
,··· ,u
r+s
˜ ∗ )(u) =
) = h(v
r+s
Y
v i (ui )
i=1
∗
∗
entonces bajo isomorfismo h(v ) se denotar´a por v para escribir
∗
v (u1 , · · · , ur , u
r+1
,··· ,u
r+s
)=
r+s
Y
i=1
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
v i (ui )
(1.20)
´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
24
1.2.7.
Ejemplos
Ejemplo 1.2.1 Sean
e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, · · · , 0, 1)
los vectores de la base can´onica de Rn y {ei , 1 ≤ i ≤ n} base para (Rn )∗
dual a {e1 , · · · , en }.
(a) Son (0, 2) tensores sobre Rn :
t = e1 ⊗ en ,
t = e1 ⊗ e2 + 5e2 ⊗ en .
(b) Un tensor de tipo (0, 3) es
t = en ⊗ e2 ⊗ e3
(c) Por u
´ltimo un tensor de tipo (1, 2) es
t = 2e1 ⊗ e1 ⊗ e2 + 4e2 ⊗ e1 ⊗ e1 + 6e3 ⊗ e2 ⊗ e3
Ejemplo 1.2.2
(a) Si t es un (0, 2) tensor sobre V, entonces t tiene componentes
tij = t(ei , ej ),
es decir una matriz de tama˜
no n × n. Esta es la forma usual de asociar
una forma bilineal con una matriz. Por ejemplo, en R2 la forma bilineal
t(x, y) = Ax1 y1 + Bx1 y2 + Cx2 y1 + Dx2 y2
(donde x = (x1 , x2 ) y y = (y1 , y2 )) est´a asociada a la matriz
A B
C D
(b) Si t es un (0, 2) tensor sobre R2 , entonces tiene sentido decir que t es
sim´etrico si
t(e1 , e2 ) = t(e2 , e1 ).
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´
1.3. ALGEBRA
EXTERIOR
25
Esto es equivalente a decir que la matriz tij es sim´etrica. Un (0, 2)
tensor sim´etrico se puede recuperar de su forma cuadratica Q(e) =
t(e, e) por
1
t(e1 , e2 ) = Q(e1 + e2 ) − Q(e1 − e2 )
4
y t tiene como matriz asociada
A B
B D
entonces Q(x) = Ax21 + 2Bx1 x2 + Dx22
(c) En general, un (0, s) tensor sim´etrico se define con la condici´on
t(v1 , · · · , vs ) = t(vσ(1) , · · · , vσ(s) )
para toda permutaci´on σ de {1, · · · , s}, y todo v1 , · · · , vs ∈ V. Se le
puede asociar a t un polinomio homogeneo de grado k :
P (v) = t(v, · · · , v)
y como en el caso s = 2, P y t determina uno al otro. Tambi´en se
puede hacer una definici´on similar para el caso de (r, 0)−tensores. Es
claro que un tensor es sim´etrico si y s´olo si todas sus componentes en
cualquier base son sim´etricos.
(d) Un producto interior h , i sobre V es un (0, 2)−tensor y su matriz se
escribe generalmente con gij = h ei , ej i. As´ı gij es sim´etrico y defido
positivo. La matriz inversa se escribe con g ij .
§ 1.3.
´
Algebra
exterior
Se estudia el ´algebra exterior y formas sobre un espacio vectorial de
dimensi´on finita y las propiedades m´as importantes se obtinen como aplicaciones inmediatas de espacios vectoriales cocientes.
1.3.1.
Conceptos b´
asicos
Definici´
on 1.3.1 Sea
C(V ) =
X
Tk0 (V )
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
26
la sub´
algebra tensorial de T (V ) e Ik (V ) el ideal en ambos lados de C(V )
generado por los elementos de la forma
v1 ⊗ · · · ⊗ vi ⊗ · · · ⊗ vj ⊗ · · · ⊗ vk
tal que vi = vj para alg´
un i y alg´
un j.
Si
X
I(V ) =
Ik (V ),
(1.21)
entonces I(V ) es un ideal graduado en C(V ). El ´
algebra exterior Λ(V ) de
V es el ´
algebra graduada
C(V )/I(V ).
De donde
Λ(V ) = C(V )/I(V ) =
Si se escribe
Xh
Tk0 (V
)/Ik (V ) .
Λk (V ) = Tk0 (V )/Ik (V )
(k ≥ 2)
Λ0 (V ) = R, Λ1 (V ) = V,
entonces
Λ(V ) =
∞
X
i
Λk (V ).
(1.22)
(1.23)
k=0
Se denotar´a la multiplicaci´on el en ´algebra exterior Λ(V ) por ∧ llamado
producto exterior o wedge; Λk (V ) recibe el nombre de k−formas exteriores
sobre V. En particular la clase residual que contiene el elemento v1 ⊗ · · · ⊗ vk
se denotar´a por
v1 ∧ · · · ∧ vk ,
esto es,
v1 ∧ · · · ∧ vk = v1 ⊗ · · · ⊗ vk + Ik (V ).
con lo que las propiedades de multilinealidad del producto tensorial se trasladan al producto exterior,esto es,

(v1 + v2 ) ∧ w = v1 ∧ w + v2 ∧ w 
v ∧ (w1 + w2 ) = v ∧ w1 + v ∧ w2

(av) ∧ w = v ∧ (aw) = a(v ∧ w)
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
(1.24)
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´
1.3. ALGEBRA
EXTERIOR
1.3.2.
27
Propiedades del ´
algebra exterior
Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n.
(a). Si u ∈ Λk (V ) y v ∈ Λl (V ), entonces u ∧ v ∈ Λk+l (V ) y
u ∧ v = (−1)kl v ∧ u
(b). Si {e1 , · · · , en } es una base para V, entonces
{eΦ = ei1 ∧ · · · ∧ eik :
i1 < · · · < ik }
es base para Λk (V ), donde Φ = {i1 , · · · , ik } recorre todos los subconjuntos de {1, 2, · · · , n}, incluyendo el conjunto vac´ıo, en cuyo caso
eΦ = 1. En particular
Λn (V ) = R
Λn+j (V ) = {0}
(j > 0)
(1.25)
adem´as
dim Λ(V ) = 2n
n
dim Λk (V ) =
k
(0 ≤ k ≤ n)
(1.26)
A continuaci´on se verifican estas propiedades:
(a) Sup´ongase que e1 ∈ Λ1 (V ) y e2 ∈ Λ1 (V ) entonces
(e1 + e2 ) ∧ (e1 + e2 ) = 0,
esto es,
con lo que
por lo tanto
Observe que si
e1 ∧ e1 + e1 ∧ e2 + e2 ∧ e1 + e2 ∧ e2 = 0,
e1 ∧ e2 + e2 ∧ e1 = 0,
e1 ∧ e2 = (−1)e2 ∧ e1 .
v = v1 ∧ · · · ∧ vk ,
u = u 1 ∧ · · · ∧ ul ,
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
(1.27)
´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
28
entonces
v ∧ u =(v1 ⊗ · · · ⊗ vk + Ik (V )) ∧ (u1 ⊗ · · · ⊗ ul + Il (V ))
=v1 ⊗ · · · ⊗ vk ⊗ u1 ⊗ · · · ⊗ ul + Ik+l (V )
=v1 ∧ · · · ∧ vk ∧ u1 ∧ · · · ∧ ul
con lo que u ∧ v ∈ Λk+l (V ). Ahora es claro que
v ∧ u = (v1 ∧ · · · ∧ vk ) ∧ (u1 ∧ · · · ∧ ul )
= (−1)kl (u1 ∧ · · · ∧ ul ) ∧ (v1 ∧ · · · ∧ vk )
entonces
v ∧ u = (−1)kl u ∧ v
(b) Se demostrar´a que {ei1 ∧ · · · ∧ eik : 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n} es una base
para Λk (V ). En efecto,
Si vr = xir eir , ik = 1, · · · , n, r = 1, · · · , k entonces cada
elemento v ∈ Λk (V ) tiene la forma
v = v 1 ∧ · · · ∧ v k = x i1 · · · x ik e i1 ∧ · · · ∧ e ik
lo que indica que {ei1 ∧ · · · ∧ eik : 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n} genera
a Λk (V )
0 6= e1 ∧ · · · ∧ en ∈ Λn (V ). Ya que ei 6= ej para todo i 6= j, con
i, j = 1, 2 · · · , n, lo que implica e1 ⊗ · · · ⊗ en 6∈ Λk (V ). Luego
e1 ∧ · · · ∧ en = e1 ⊗ · · · ⊗ en + Ik (V ) 6= Ik (V ),
esto es, e1 ∧ · · · ∧ en 6= 0.
Independencia lineal. Sea
ti1 ···ik ei1 ∧ · · · ∧ eik = 0.
Para demostrar que ti1 ···ik = 0 para todo i1 , · · · , ik se toma
ej ∈ {1, · · · , n} con ej 6∈ {i1 , · · · , ik } y se multiplica (producto exterior) la anterior ecuaci´on por todos los ej que cumplan
esta condici´on y as´ı todos los sumando de la ecuaci´on resultante
se hacen cero exceptuando el sumando i1 · · · ik y as´ı
±ti1 ···ik e1 ∧ · · · ∧ en = 0
y como e1 ∧ · · · ∧ en 6= 0, se tiene ti1 ···ik = 0.
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´
1.3. ALGEBRA
EXTERIOR
29
La no repetici´on y el orden en los elementos ei1 ∧ · · · ∧ eik proporciona
que
n
dim Λk (V ) =
k
como caso particular
dim Λn (V ) = 1
y as´ı
Λn (V ) = R
Si eij = eir entonces eij ∧ · · · ∧ eij ∧ · · · ∧ eir ∧ · · · ∧ eik = 0 podemos
conclu´ır que
Λn+j (V ) = {0},
tambi´en
dim Λ(V ) =
n
X
dim Λk (V )
k=0
=
n X
n
k=0
n
(1.28)
k
=2
1.3.3.
Funciones multilineales alternadas
Definici´
on 1.3.2 Una funci´on multilineal
h : V × · · · × V −→ W
se dice alternada si
h(vπ(1) , · · · , vπ(r) ) = (sig π)h(v1 , · · · , vr )
donde v1 , · · · , vr ∈ V y para toda π en el grupo de permutaciones Sr sobre
r s´ımbolos, sig π es el signo de la permutaci´on π (+1 si π es par, -1 si π es
impar). El espacio vectorial de todas las funciones multilineales alternadas
de V × · · · × V en R se denotar´
a con Ar (V ), y por conveniencia A0 (V ) = R.
Teorema 1.3.1 Propiedad universal. Sea V k = V × · · · × V donde el
producto tiene k−copias de V y sea ϕ : V k → Λk (V ) la funci´on multilineal
alternada definida por
ϕ(v1 , · · · , vk ) = v1 ∧ · · · ∧ vk .
Entonces
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
30
´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
(i) Para cada funci´on multilineal alternante h : V k → W, existe una u
´nica
e
transformaci´
on lineal h : Λk (V ) → W tal que el siguiente diagrama
conmuta (ver, Figura 1.6)
Λk (V )
ϕ
Vk
˜
h
h
Figura 1.6
W
esto es, e
h◦ϕ=h
El par hΛk (V ), ϕi se llama una soluci´on al problema universal funcional para funciones multilineales alternadas con dominio V k .
(ii) La soluci´on dada por (i) es u
´nica en el sentido:
”si T es un espacio vectorial y hT, ϕi
˜ es otra soluci´on al problema
universal funcional para funciones multilineales alternadas con dominio V k , entonces Λk (V ) ≈ T y un tal isomorfismo α : Λk (V ) → T
satisface α ◦ ϕ = ϕ.
˜
Demostraci´
on. Bajo hip´otesis, primero se demostrar´a la existencia de e
h.
k
n
En efecto, si h : V → W es una funci´on multilineal alternante y {ei }i=1
es una base para V y φ ∈ Λk (V ), entonces existen escalares ti1 ···ik tales que
(notaci´on Eistein)
φ = ti1 ···ik ei1 ∧ · · · ∧ eik
con lo que se define e
h : Λk (V ) → W por
e
h(φ) = e
h(ti1 ···ik ei1 ∧ · · · ∧ eik ) = ti1 ···ik h(ei1 , · · · , eik ).
˜ as´ı deComo en el caso de la Propiedad Universal del producto tensorial h
finida es una transformaci´on lineal u
´nica.
˜ ◦ ϕ se obtiene como sigue, sea
La conmutaci´on del diagrama, esto es, h = h
v j = aij e ij
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
(j = 1, · · · , k),
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´
1.3. ALGEBRA
EXTERIOR
31
entonces
˜ ◦ ϕ(v1 , · · · , vk ) =h(v
˜ 1 ∧ · · · ∧ vk ) = h(a
˜ i 1 · · · ai k e i ∧ · · · ∧ e i )
h
1
k
=ai1 · · · aik h(ei1 , · · · , eik ) = h(v1 , · · · , vk )
Lo que demuestra que e
h ◦ ϕ = h.
Unicidad del par hΛk (V ), ϕi. Se supone que hT, θi es otra soluci´on al problema universal para funciones multilineales alternadas con dominio V k , entonces existen transformaciones lineales u
´nicas α : Λk (V ) → T y β : T → Λk (V )
tales que el par de diagramas conmutan (ver, Figura 1.7)
Λk (V )
T
ϕ
Vk
α
ϕ˜
T
ϕ˜
Vk
β
ϕ
Λk (V )
Figura 1.7
esto es, ϕ˜ = α ◦ ϕ, ϕ = β ◦ ϕ.
˜
Como ϕ˜ = (α ◦ β) ◦ ϕ˜ y ϕ = (β ◦ α) ◦ ϕ, entonces α ◦ β = i y β ◦ α = i.
Con lo que se demuestran que α y β son transformaciones lineales biyectivas
con α = β −1 y as´ı Λk (V ) ≈ T.
Y la demostraci´on ha terminado.
1.3.4.
X
♦
Isomorfismos b´
asicos
A continuaci´on se consideran varios isomorfismos de mucha importancia.
Lema 1.3.1
(a) Existe una funci´on bilineal alternada no singular
( , ) : Λk (V ∗ ) × Λk (V ) → R
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
32
que sobre elementos espandibles
v ∗ = v 1 ∧ · · · ∧ v k ∈ Λk (V ∗ )
u = u1 ∧ · · · ∧ uk ∈ Λk (V )
(1.29)
actua de la siguiente forma
(v ∗ , u) = det v i (uj ) .
(1.30)
Para k = 0 es simplemente multiplicaci´
on de n´
umeros reales.
(b) Adem´
as se tiene el siguiente isomorfismo
Λk (V ∗ ) ≈ Λk (V )∗ ,
(1.31)
Demostraci´
on.
(a) Es inmediato que (1.30) proporciona una funci´on bilineal alternada y
u
´nica. Tambi´en es simple demostrar que tal funci´on bilineal alternada
es no singular ya que, si
v ∗ = v 1 ∧ · · · ∧ v k ∈ Λk (V ∗ )
entonces para
v = v1 ∧ · · · ∧ vk ∈ Λk (V )
donde v est´a formado por los correspondientes factores duales de v ∗ ,
entonces se tiene que (v ∗ , v) 6= 0.
(b) Por la parte (a) de este Lema y el Lema 1.2.1, la funci´on ϕ : Λk (V ∗ ) →
Λk (V )∗ , definida como sigue, para cada
v ∗ = v 1 ∧ · · · ∧ v k ∈ Λk (V ∗ ),
ϕ(v ∗ ) ∈ Λk (V )∗ de tal manera que, para todo u = u1 ∧· · ·∧uk ∈ Λk (V )
ϕ(v ∗ )(v) = (v ∗ , u) = det(v i (uj )),
(1.32)
es un isomorfismo sobreyectivo.
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
X
♦
´
1.3. ALGEBRA
EXTERIOR
Lema 1.3.2
Λk (V )
∗
≈ Ak (V )
33
(1.33)
donde Ak (V ) es el espacio vectorial de las funciones multilineales alternadas
sobre V k .
Demostraci´
on. Sea ϕ : V k → Ak (V ) definida por ϕ(v1 , · · · , vk ) =v1 ∧· · ·∧
˜ ∈ Λk (V ) ∗
vk . Si h ∈ Ak (V ) entonces por la propiedad universal, existe h
tal que el siguiente diagrama conmuta (ver, Figura 1.8)
Λk (V )
ϕ
Vr
˜
h
R
h
Figura 1.8
esto es,
˜ 1 ∧ · · · ∧ vk )
h(v1 , · · · , vk ) = h(v
(1.34)
∗
˜ Se
Bajo estas condiciones se define F : Ak (V ) → Λk (V ) , por F (h) = h.
debe demostrar es un isomorfismo.
Entonces para h1 ∈ Ak (V ) y a ∈ R, se tiene que ah + h 1 ∈ Ak (V ) y de
˜ 1 , h∗ ∈ Λk (V ) ∗ tal que
nuevo por la propiedad universal, existen h
˜1 ◦ ϕ
h1 = h
y
ah + h1 = h∗ ◦ ϕ.
Tambi´en se observa que
h∗ (v1 ∧ · · · ∧ vk ) =h∗ ◦ ϕ(v1 , · · · , vk )
=(ah + h1 )(v1 , · · · , vk )
˜+h
˜ 1 )(v1 ∧ · · · ∧ vk ).
=(ah
Lo que muestra que F es una transformaci´on lineal.
F es 1-1 ya que
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
34
N (F ) = h ∈ Ak (V ) : F (h) = 0
˜ 1 ∧ · · · ∧ vk ) = 0, ∀vj ∈ V
= h ∈ Ak (V ) : h(v
= h ∈ Ak (V ) : h(v1 , · · · , vk ) = 0, ∀vj ∈ V
= 0
∗
F es sobre: para e
h ∈ Λk (V ) , se define entonces h : V k → R como
h(v1 , · · · , vk ) = e
h(v1 ∧ · · · ∧ vk )
y la multilinealidad alternada del producto exterior conjuntamente con la
X
linealidad de e
h muestran que h es una funci´on multilineal alternada. ♦
Observaciones
Por el lema 1.3.1(b) Λk (V ∗ ) ≈ [Λk (V )]∗ . Bajo esta identificaci´on, dado
un elemento
v ∗ = v 1 ∧ · · · ∧ v k ∈ Λk (V ∗ ),
´este se representa de manera u
´nica como un funcional lineal e
h(v ∗ ) ∈
∗
Λk (V ) que por (1.30) debe satisfacer, para todo u = u1 ∧ · · · ∧ uk ∈
Λk (V )
e
h(v ∗ )(u) = (v 1 ∧ · · · ∧ v k , u1 ∧ · · · ∧ uk ) = det v i (uj ) ,
(1.35)
∗
Por el Lema 1.3.2, tenemos que Λk (V ) ≈ Ak (V ) y por lo tanto el
funcional lineal e
h(v ∗ ) se identifica de manera u
´nica con una funci´on
multilineal alternada h(v ∗ ) de Ak (V ) que por 1.34 se satisface
h(v ∗ )(u1 , · · · , uk ) = e
h(v ∗ )(u1 ∧ · · · ∧ uk ).
(1.36)
Como v ∗ = v 1 ∧ · · · ∧ v k se identifica bajo isomorfismo con e
h(v ∗ ) y
∗
h(v ), adem´as comparando 1.35 con 1.36 se escribe
v 1 ∧ · · · ∧ v k (u1 , · · · , uk ) = det v i (uj ) ,
para todo uj ∈ V,
(1.37)
j = 1, · · · , k
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-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´
´
1.4. OPERACIONES CLASICAS
DEL ALGEBRA
TENSORIAL
35
Usando el isomorfismo dado en (1.31) y observando que el espacio dual
de una suma directa es can´onicamente isomorfa a la suma directa de
los espacios duales, se obtiene
∗
Λ(V ) =
∞
X
k=0
∗
Λk (V ) ≈
y de 1.33 se obtiene un isomorfismo
∗
∞
X
k=0
Λ(V ) ≈ A(V ) =
§ 1.4.
Λk (V )∗ ≈ Λ(V )∗
∞
X
Ak (V ).
(1.38)
(1.39)
k=0
Operaciones cl´
asicas del ´
algebra tensorial
Las opereciones cl´asicas del ´algebra tensorial son el producto interior y la
contracci´on. Estas se definen a continuaci´on:
(A) Producto interior. El producto interior de un vector v ∈ V (resp.
de β ∈ V ∗ ) con un tensor t ∈ Trs (V ; F ) es un tensor de tipo (s − 1, r)
F −valuado (resp. (s, r − 1)) definido por
(iv t)(β 1 , · · · , β r , v1 , · · · , vs−1 ) = t(β 1 , · · · , β r , v, v1 , · · · , vs−1 )
(iβ t)(β 1 , · · · , β r−1 , v1 , · · · , vs ) = t(β, β 1 , · · · , β r−1 , v1 , · · · , vs ).
Claramente,
s
iv : Trs (V ; F ) → Tr−1
(V ; F ),
iβ : Trs (V ; F ) → Trs−1 (V ; F )
son funciones lineales, como tambi´en lo son v → iv , β → iβ . Si F = R y
dim(V)=n estas operaciones toman la siguiente forma en componentes: si
ek (resp. ek ) denota el k−´esimo elemento base de V (resp. en V ∗ ), se tiene
entonces
iek ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs =δ j1 k ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej2 ⊗ · · · ⊗ ejs
iek ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs =δ k i1 ei2 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej2 ⊗ · · · ⊗ ejs ,
que se pueden extender a casos m´as generales usando la linealidad del
producto interior sobre elementos b´asicos.
(B) Contracci´
on. La contracci´on del indice k−´esimo contravariante con
el l−´esimo covariante, o m´as corto, el (k, l)−contracci´on, es una familia de
funciones lineales continuas
s−1
(V )
Ckl : Trs (V ) → Tr−1
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
36
definida para cualquier par de numeros naturales r, s ≥ 1 por
Ckl v1 ⊗ · · · ⊗ vr ⊗β 1 ⊗ · · · β s =
β l (vk )v1 ⊗ · · · ⊗ vbk ⊗ · · · vr ⊗ β 1 ⊗ · · · βbl ⊗ · · · β s
donde b significa que el s´ımbolo se ha omitido. Si dim(V ) = n y ei ∈
V, ej ∈ V ∗ donotan los elementos de una base y de su base dual, entonces
la expresi´on para la operaci´on contracci´on en componentes toma la forma
Ckl ti1 ···is j1 ···jr ei1 ⊗ · · · eis ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejr =
ti1 ···ik−1 pik+1 ···is j1 ···jk−1 pjk+1 ···jr ei1 ⊗ · · · ⊗ ebik ⊗ · · · ⊗ eis ⊗
ej1 ⊗ · · · ⊗ ebjl ⊗ · · · ⊗ ejr .
El delta de Kronecker es un tensor δ ∈ T11 (V ) definido por δ(α, e) = α(e).
Si V es de dimensi´on finita, δ corresponde a la identidad I ∈ L(V ; V ) bajo
el isomorfismo can´onico T11 (V ) ≈ L(V ; V ) donde se ha identificado V ∗∗ con
V. Relativo a cualquier base, las componentes de δ son los s´ımbolos usuales
de Kronecker δ i j , es decir δ = δ i j ei ⊗ ej .
Sup´ongase que V es un espacio vectorial real de dimensi´on finita, donde
se ha definido un producto interior, con una base {e1 , · · · , en } y su correspondiente base dual {e1 , · · · , en } para V ∗ . Si tal producto interior tiene
como matriz asociada (gij ), entonces se consigue el siguiente isomorfismo
♭
: V → V ∗ ; v → hv, ·i
y su inversa
♯
La matriz de ♭ es (gij ); esto es
: V ∗ → V.
(e♭ )i = gij ej
y de ♯ es (g ij ); esto es
(α♯ )i = g ij αj ,
donde ei y αj son las componentes de e y α, respectivamente. Se llama ♭ el
operador de indice bajo y ♯ el operador de indice alto.
Estos operadores se pueden usar para obtener otros tensores. Por ejemplo
si t es un (0, 2)−tensor, entonces se puede definir un (1, 1)−tensor asociado
con b
t por
b
t(v, α) = t(v, α♯ ).
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
1.5. PULL-BACK Y PUSH-FORWARD
37
Las componentes (como es usual, suma sobre k) son
b
t i j = g jk tik .
En la literatura cl´asica se escribe ti j por g jk tik , y es en verdad una notaci´on
conveniente en los calculos. Por lo tanto, contrario a la impresi´on se puede
conseguir de la teor´ıa cl´asica de tensores cartesianos, que t y b
t son tensores
diferentes.
§ 1.5.
Pull-back y push-forward
Primero se observar´a un efecto que tienen las transformaciones lineales
sobre espacios vectoriales duales, llamada traspuesta de una transformaci´on lineal y posteriormente el pull-back de tensores ser´a simplemente una
generalizaci´on del concepto de de traspuesta.
(A) Traspuesta de una transformaci´
on lineal. Si ϕ ∈ Hom(V, W )
la traspuesta de ϕ, denotada con ϕ∗ ∈ Hom(W ∗ , V ∗ ) se define por: para
todo β ∈ W ∗ , ϕ∗ (β) ∈ V ∗ y para v ∈ V
ϕ∗ (β)(v) = β(ϕ(v))
Se analizar´a entonces la matriz de ϕ y de ϕ∗ . Como es costumbre en ´algebra
lineal, los vectores en una base dada se representan por columnas cuyas
entradas son las componentes del vector. Sean ϕ ∈ Hom(V, W ) y
v = (v1 , · · · , vn ), w = (w1 , · · · , wm )
bases ordenadas de V y W respectivamente. Como existen escalares Aa i
tales que
ϕ(vi ) = Aa i wa
donde se colocan ´ındices diferentes en la sumatoria para no confundirse con
los ´ındices en W, entonces la matriz de ϕ es


A11 · · · A1n

.. 
A = Aa i
=  ...
. 
m×n
Am
···
1
Am
n
El ´ındice superior proporciona el ´ındice de las filas y el ´ındice inferior proporciona el ´ındice de las columnas.
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
38
Tambi´en obs´ervese que si x = xi vi ∈ V,
ϕ(x) = xi ϕ(vi ) = xi Aai wa ,
las componentes de ϕ(x)a = Aai xi . Luego pensando x y ϕ(x) como vectores
columnas, esta formula muestra que ϕ(x) se calcula multiplicando a x a la
´
izquierda por A, la matriz de ϕ, como en Algebra
Lineal Elemental, esto es,
ϕ(x) = A x.
Consecuentemente, ϕ(vi ) representa la i-´esima columna de la matriz de ϕ.
Ahora se estudia la matriz de ϕ∗ ∈ Hom(W ∗ , V ∗ ). En efecto, si
v ∗ = (v 1 , · · · , v n ) y w∗ = (w1 , · · · , wm )
son las bases duales ordenadas de v y w respectivamente, entonces
ϕ∗ (wa )(vi ) = wa (ϕ(vi )) = wa (Abi wb ) = Abi (wa wb ) = Abi δba = Aai
Por lo tanto, ϕ∗ (wa ) en la base v ∗ de V ∗ es
ϕ∗ (wa ) = Aai v i .
Luego la i-´esima componente de ϕ∗ (wa ) es Aai . Por lo tanto, ϕ∗ (wa ) es la
a−´esima fila de A. Lo que muestra que la matriz de ϕ∗ es la traspuesta de
la matriz de ϕ, esto es,
ϕ∗ (β) = At β.
(B) Pull-back y push-forward. Se puede trabajar el efecto anterior
que tienen las transformaciones lineales sobre tensores. Como Trs (V ) es isomorfo a Mrs (V ∗ ) y en particular, el espacio tensorial de tipo T0s (V ∗ ) es
isomorfo con M0s (V ), la definicion que sigue utiliza funciones multilineales
que tambi´en es valida para s−formas alternadas.
Definici´
on 1.5.1 Sea ϕ ∈ Hom(V, W ),
(a) se define el pull-back (o traspuesta) de ϕ :
ϕ∗ ∈ Hom(T0s (W ), T0s (V ))
por
ϕ∗ t(v1 , · · · , vs ) = t(ϕ(v1 ), · · · , ϕ(vs ))
donde t ∈ T0s (W ) y v1 , · · · , vs ∈ V.
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
1.5. PULL-BACK Y PUSH-FORWARD
39
(b) Si ϕ es un isomorfismo, se define el push-forward (empuje) de ϕ :
T0s ϕ = ϕ∗ ∈ Hom(T0s (V ), T0s (W ))
por
ϕ∗ t(w1 , · · · , ws ) = t(ϕ−1 (w1 ), · · · , ϕ−1 (ws ))
donde t ∈ T0s (V ) y w1 , · · · , ws ∈ W (ver, Figura 1.9).
ϕ∗ = pull back
Objetos sobre V
Objetos sobre W
ϕ∗ = push forward
V
ϕ
W
Figura 1.9
Estas figuras proporcionan la raz´on de los nombres de pull back (o traspuesta) y push forward.
El push-forward y el pull back de ϕ se pueden presentar para tensores
mixtos, en efecto, se empieza con el push-forward, si ϕ ∈ Hom(V, W ) es un
isomorfismo, entonces se define
Trs ϕ = ϕ∗ ∈ Hom(Trs (V ), Trs (W ))
(1.40)
se define por
ϕ∗ t (w1 , · · · , wr , w1 , · · · , ws ) = t (ϕ∗ (w1 ), · · · , ϕ∗ (wr ), ϕ−1 (w1 ), · · · , ϕ−1 (ws ))
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
40
´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
para todo t ∈ Trs (V ), y todo wi ∈ W ∗ , wj ∈ W. Tambi´en, Como la funci´on
(ϕ−1 )∗ actua enviando hacia “atr´as”, o traspone hacia atras, ´este es pullback de ϕ y se denota con ϕ∗ (recuerde que la traspuesta de ϕ coincide con
esta idea y este s´ımbolo). En tal caso y por definici´on se debe tener: para
ϕ ∈ Hom(V, W ) un isomorfismo ϕ∗ ∈ Hom(Trs (W ), Trs (V )) si y s´olo si
ϕ∗ t(v 1 , · · · , v r , v1 , · · · , vs ) = t(ϕ−1∗ (v 1 ), · · · , ϕ−1∗ (v r ), ϕ(v1 ), · · · , ϕ(vs ))
N´otese que T01 ϕ = (ϕ−1 )∗ . Adem´as, en lo sucesivo se identifica ϕ con T10 ϕ.
El Siguiente par de teorema aseguran que ϕ∗ y ϕ∗ son compatibles con la
composici´on y el producto tensorial. Su prueba es inmediata.
Teorema 1.5.1 Sean ϕ ∈ Hom(V, W ), ψ ∈ Hom(W, G). Entonces
(a) (ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗ .
(b) Si i : V → V es la identidad, entonces tambi´en lo es
i∗ ∈ Hom T0s (V ), T0s (V ) .
(c) Si ϕ es un isomorfismo, entonces tambi´en lo es ϕ∗ .
(d) Si t1 ∈ T0s1 (W ) y t2 ∈ T0s2 (W ), entonces ϕ∗ (t1 ⊗ t2 ) = ϕ∗ (t1 ) ⊗ ϕ∗ (t2 ).
Demostraci´
on. Se plantea la prueba para tensores de tipo Trs (V ); la forma
mas general es an´aloga. En efecto, se demuestra (a) y se deja como ejercicio
(b), (c) y (d), bajo hip´otesis
(ψ ◦ ϕ)∗ t(v1 , · · · , vs ) =t(ψ ◦ ϕ(v1 ), · · · , ψ ◦ ϕ(vs ))
=t(ψ(ϕ(v1 )), · · · , ψ(ϕ(vs )))
=ϕ∗ ◦ ψ ∗ t(v1 , · · · , vs )
X
♦
Lo que termina la prueba.
Teorema 1.5.2 Sean ϕ : V → W, ψ : W → G isomorfismos. Entonces
(a) (ψ ◦ ϕ)∗ = ψ∗ ◦ ϕ∗ .
(b) Si i : V → V es la identidad, entonces tambi´en lo es
i∗ : Trs (V ) → Trs (V ).
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
1.5. PULL-BACK Y PUSH-FORWARD
41
(c) ϕ∗ : Trs (V ) → Trs (V ) es un isomorfismo y (ϕ∗ )−1 = (ϕ−1 )∗ .
(d) si t1 ∈ Trs11 (V ) y t2 ∈ Trs22 (V ), entonces
ϕ∗ (t1 ⊗ t2 ) = ϕ∗ (t1 ) ⊗ ϕ∗ (t2 ).
Demostraci´
on. Para demostrar (a), primero se observa que es un ejercicio
´
de Algebra
Lineal B´asica verificar que la traspuesta de una composici´on de
transformaciones lineales satisface (ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗ . Luego
ψ∗ (ϕ∗ t)(f 1 , · · · , f r , g1 , · · · , gs ) =
= ϕ∗ t ψ ∗ (f 1 ), · · · , ψ ∗ (f r ), ψ −1 (g1 ), · · · , ψ −1 (gs )
= t ϕ∗ ψ ∗ (f 1 ), · · · , ϕ∗ ψ ∗ (f r ), ϕ−1 ψ −1 (g1 ), · · · , ϕ−1 ψ −1 (gs )
= t (ψ ◦ ϕ)∗ (f 1 ), · · · , (ψ ◦ ϕ)∗ (f r ), (ψ ◦ ϕ)−1 (g1 ), · · · , (ψ ◦ ϕ)−1 (gs ))
= (ψ ◦ ϕ)∗ t(f 1 , · · · , f r , g1 , · · · , gs ),
donde f 1 , · · · , f r ∈ G∗ , g1 , · · · , gs ∈ G y t ∈ Trs (V ).
La parte (b) es una consecuencia inmediata de la definici´on y el hecho que
i∗ = i e i−1 = i. Para (c) obs´ervese que por (a) y (b) se tiene ϕ∗ ◦(ϕ−1 )∗ = i∗ ,
la identidad en Trs (W ); similarmente, (ϕ−1 )∗ ◦ϕ∗ = i∗ la identidad en Trs (V ),
y as´ı (c) es verdadero. Finalmente (d) es una consecuencia de la definici´on.
X
♦
Observaciones
Sean V y W espacios vectoriales (de dimensi´on finita). Si ϕ : V → W es
una transformaci´on lineal con
{vi : i = 1, · · · , n},
{wj : j = 1, · · · , m}
bases para V y W respectivamente y sus bases duales
{v i : i = 1, · · · , n},
{wj : j = 1, · · · , m}
respectivamente. Entonces
(a) ϕ∗ (wj )(v) = wj (ϕ(v)), es decir, ϕ∗ actua sobre elementos b´asicos como
la traspuesta de ϕ.
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
42
(b) Si ϕ es un isomorfismo, entonces
ϕ∗ (v i ) = T01 (v i ) = (ϕ−1 )∗ (v i ),
ya que por definici´on
T01 (v i )(w) = v i (ϕ−1 (w)) = (ϕ−1 )∗ v i (w)
(c) ϕ∗ (vi ) = T10 ϕ(vi ) = ϕ(vi ). Ya que de nuevo por definici´on
T10 ϕ(vi )(w∗ ) = vi (ϕ∗ (w∗ )) = ϕ∗∗ (vi (w∗ )) = (ϕ(vi ))(w∗ )
(d) ϕ∗ (wj ) = ϕ−1 (wj ). Ya que
ϕ∗ (wj )(v) = T01 ϕ−1 (wj )(v) = wj ((ϕ−1 )∗ v) = (ϕ−1 wj )v.
Ejemplo 1.5.1 Sobre R2 se toma la base est´andar {e1 , e2 }. Si y t = e1 ∧ e2
y w = e1 ⊗ e2 . Calcular ϕ∗ t, ϕ∗ w cuando ϕ : R2 → R2 con
x
2 1
.
ϕ(x, y) =
y
1 1
Soluci´
on. Primero se observa que si
2 1
A=
1 1
entonces,
A=
con lo que
2 1
1 1
∗
1
y
2
ϕ (e ) =
Por lo tanto,
Y como
−1
=A
ϕ (e ) =
∗
t
y A
2 1
1 1
2 1
1 1
=
1
0
0
1
1 −1
−1 2
= (A−1 )t ,
= 2e1 + e2 ,
= e1 + e2 .
ϕ∗ t = ϕ∗ (e1 ) ∧ ϕ∗ (e2 ) = (2e1 + e2 ) ∧ (e1 + e2 ) = e1 ∧ e2 .
∗
−1
ϕ (e1 ) = ϕ (e1 ) =
entonces
1 −1
−1 2
1
0
= e1 − e2 ,
ϕ∗ w = (e1 − e2 ) ⊗ (e1 + 2e2 ) = e1 ⊗ e1 + e1 ⊗ e2 − e2 ⊗ e1 − e2 ⊗ e2 .
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-
´ DE CALDAS
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1.6. EJERCICIOS
§ 1.6.
43
Ejercicios
1. Sea e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, 0, · · · , 0) en = (0, · · · , 0, 1) la base
usual para Rn con base dual e1 , · · · , en para (Rn )∗ . Probar que
t = e1 ⊗ e1 + · · · + en ⊗ en
es un (0, 2)−tensor sobre Rn y que coincide con el producto interior
usual (o can´onico) de Rn . ¿Cu´al es su representaci´on matricial?.
2. Probar que todo producto interno sobre un espacio vectorial V es un
(0, 2)−tensor covariante sobre V.
3. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita n. Probar:
a) T01 (V ) = V ∗
c) T20 (V ) ≈ Hom(V, V )
b) T10 (V ) = V
d) T11 (V ∗ ) ≈ Hom(V, V )
´
Algebra
exterior
4. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita n. Si w ∈ Λk (V ),
ϕ ∈ Λs (V ) y θ ∈ Λr (V ), entonces demostrar que
a) (w ∧ ϕ) ∧ θ = w ∧ (ϕ ∧ θ),
b) w ∧ (ϕ + θ) = w ∧ ϕ + ϕ ∧ θ,
(si s = r),
d ) (w + ϕ) ∧ θ = w ∧ θ + ϕ ∧ θ,
(si k = s),
c) (cw) ∧ ϕ = c(w ∧ ϕ) = w ∧ (cϕ),
ks
e) w ∧ ϕ = (−1) ϕ ∧ w.
5. Sea e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, 0, · · · , 0) en = (0, · · · , 0, 1) la base
usual para Rn con base dual e1 , · · · , en para (Rn )∗ . Probar que
a) si v1 , ..., vn son elementos de Rn , entonces el volumen del paralelep´ıpedo formado por ´estos y el origen, es decir, el volumen
de
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
44
´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
p(0; v1 , ..., vn ) = {v ∈ Rn : v = t1 v1 + ... + tn vn , t ∈ [0, 1]}
es el valor absoluto del determinante la matriz cuyas columnas
son las componentes de los vectores v1 , ..., vn relativo a la base
usual de Rn .
Sugerencia: usar integraci´on multiple bajo el cambio de coordenadas que proporciona la transformaci´on lineal que satisface
T (ek ) = vk , para cada k = 1, · · · , n.
b) Si vol indica volumen, entonces
vol[p(0; v1 , ..., vn )] = e1 ∧ · · · ∧ en (v1 , · · · , vn )
6. m-volumen: Sean a1 , ..., am vectores linealmente independientes en
Rn , m ≤ n. Probar que el m−volumen del paralelep´ıpedo, sobre el
m−espacio vectorial, formado por los a1 , · · · , am y el origen satisface


ha1 , a1 i ...
ha1 , am i




2


..
..
vol(p(0; a1 , ..., am )) = det 

.
.




ham , a1 i ...
ham , am i
7. En el problema (6), se considera Rn con base can´onica
e = {e1 = (1, 0, · · · , 0), · · · en = (0, · · · , 0, 1)}
∗
con base dual e∗ = {e1 , · · · en } para Rn . Si Ω = a1 ∧ · · · ∧ am , donde
cada ai , i = 1, · · · , m es el vector correspondiente a ai en [Rn ]∗ bajo
el isomorfismo
ϕ : Rn → [Rn ]∗
dado por, si x = x1 e1 + · · · + xn en ∈ Rn , entonces
ϕ(x) = x1 e1 + · · · + xn en .
Probar entonces que
[vol(p(0; a1 , · · · , am ))]2 = Ω(a1 , · · · , am ),
donde Ω = a1 ∧· · ·∧am . Ω recibe el nombre de Elemento volumen.
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1.6. EJERCICIOS
45
8. Bajo las hipotesis del ejercicio 7, probar
a1 ∧ · · · ∧ am (a1 , · · · , am ) =
X
i1 <···<im


det 

···
ai m 1
ai1 m · · ·
aim m
ai 1 1
donde a1 = (a11 , · · · , a1n ), · · · am = (am1 , · · · , amn ) con m ≤ n.




Pull-back o traspuesta
9. Sean V, W y Q espacios vectoriales de dimensi´on finita. Si ϕ : V → W
y ψ : W → Q son transformaciones lineales, entonces probar
a) (ψ ◦ ϕ)∗ =ϕ∗ ◦ ψ ∗
b) Si t1 ∈ T0s1 (W ), t2 ∈ T0s2 (W ), entonces
ϕ∗ (t1 ⊗ t2 ) = (ϕ∗ t1 ) ⊗ (ϕ∗ t2 )
c) Sea
e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)
base usual de R3 y (e1 , e2 , e3 ) base dual para [R3 ]∗ . Si ϕ : R3 → R3
est´a dada por
 

x
1 1 1



y 
0 1 1
ϕ(x, y, z) =
z
0 0 1
Calcular:
(i) ϕ∗ (e1 ⊗ e2 )
(ii) ϕ∗ (e1 ⊗ e3 )
(iii) ϕ∗ (t) si t = e1 ∧ e2 + 2e1 ∧ e3
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
TENSORIAL Y EXTERIOR
46
10. Sean V y W espacios vectoriales con bases {ei : i = 1, · · · , n},
{wj : j = 1, · · · , m} con bases duales {ei : i = 1, · · · , n}, {wj :
j = 1, · · · , m} respectivamente para V ∗ y W ∗ .
a) Expresar en funci´on del producto tensorial la expresi´on e1 ∧ (e2 ∧
e3 ).
b) Sean T ∈ Λk (W ) y ϕ : V → W una transformaci´on lineal.
Demostrar
(i) ϕ∗ (T ∧ S) = (ϕ∗ T ) ∧ (ϕ∗ S), ∀S ∈ Λr (W )
(ii) Si ϕ : V → V (transformaci´on lineal, dim V = n), entonces para cada T ∈ ∧n (V ) se tiene que ϕ∗ T = (det ϕ)T , en
particular
ϕ∗ (e1 ∧ · · · ∧ en ) = (ϕ∗ e1 ) ∧ · · · ∧ (ϕ∗ en ) = (det ϕ)e1 ∧ · · · ∧ en
11. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita 2n. Sea
{e1 , · · · , en , f1 , · · · , fn }
una base para V, con base dual {e1 , · · · , en , f 1 , · · · , f n } para V ∗ . Si
ω = e1 ∧ f 1 + · · · + en ∧ f n
y
ω k = |ω ∧ ·{z
· · ∧ ω}
k−factores
Demostrar que
(k = 1, 2, · · · , ).
a) ei ∧ f i conmuta con ej ∧ f j , relativo al producto exterior.
b) ω n = n! e1 ∧ f 1 ∧ · · · ∧ en ∧ f n
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Cap´ıtulo 2
Variedades diferenciables
§ 2.1.
Introducci´
on
Una k−superficie regular es, intuitivamente, una reuni´on de abiertos de Rk ,
organizados de tal manera que cuando dos de tales abiertos se intersectan
la transici´on de uno para el otro se hace de manera diferenciable, de manera
m´as precisa:
Un subconjunto M ⊆ Rn es una superficie regular de dimensi´
on k o simplemente una k−superficie regular si para cada p ∈ M, existe un conjunto
abierto V de p en Rn y una funci´on
x : U ⊆ Rk → V ∩ M,
de un abierto U de Rk en V ∩ M tales que
(a) x es un homeomorfismo diferenciable;
(b) la diferencial, (dx)q : Rk → Rn , es inyectiva para todo q ∈ U.
La funci´on (U, x) recibe el nombre de parametrizaci´on de M en p, como
tambi´en x(U ) recibe el nombre de una vecindad coordenada alrededor de p.
Por Geometr´ıa de Superficie es bien conocido que la definici´on de k−superficie
regular proporciona, como una aplicaci´on del Teorema de la Funci´on Inversa, el siguiente
Teorema 2.1.1
(Cambio de par´
ametro). Sea p un punto de una
k−superficie regular M, y sean x : U ⊆ Rk → M, y : V ⊆ Rk → M dos
CAP´ITULO 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
48
parametrizaciones de M en p tal que p ∈ x(U ) ∩ y(V ) = W. Entonces el
cambio de coordenadas
h = y −1 ◦ x : x−1 (W ) → y −1 (W )
es un difeomorfismo (ver Figura 2.1). Esto es h es diferenciable y tiene
funci´on inversa h−1 diferenciable.
W
x(U )
y(V )
M
y
x
R
R
h = y −1 ◦ x
U
x−1 (W )
Rk−1
V
y −1 (W )
Rk−1
Figura 2.1
De esta forma x = y ◦ h e y = x ◦ h−1 .
Como consecuencia, tiene sentido, en una k−superficie regular, hablar de
funciones diferenciables y aplicar los m´etodos del C´alculo Diferencial.
El mayor defecto de la definici´on de las k−superficies regulares es su dependencia al ambiente Rn . La idea natural de k−superficie es la de un conjunto
que sea k−dimensional (en cierto sentido) de tal manera que se pueda aplicar el C´alculo diferencial de Rk ; la presencia de Rn es simplemente una
imposici´on no necesaria, en el caso bidimensional, la restricci´on se hace de
car´acter f´ısico.
Se hace necesario proporcionar una idea abstracta de superficie que no involucre un espacio ambiente; esta idea se observ´o desde Gauss pero fu´e necesario casi un siglo para que tomara la forma definitiva y por supuesto
se presenta en la pr´oxima secci´on. Toda la teor´ıa sobre variedades que se
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2.2. ESPACIOS LOCALMENTE EUCLIDEOS Y SISTEMA DE COORDENADAS
49
presenta en ´este escrito se puede hacer de manera particular, sin que nada
cambie en k−superficies inmersas en Rn . Como siempre y por comodidad sobre las estructuras algebraicas que se presenten, diferenciable significar´a de
clase C ∞ .
§ 2.2.
Espacios localmente euclideos y sistema de
coordenadas
Primero se precisan algunos t´erminos que se usar´an y son de gran importancia en este estudio.
Un espacio localmente euclideo M de dimensi´on n es un espacio topol´ogico
de Hausdorff M en donde cada punto tiene una vecindad homeomorfa a
un subconjunto abierto del espacio euclideo Rn . Si x es un homeomorfismo
de un conjunto abierto y conexo U ⊆ M sobre un conjunto abierto de Rn ,
entonces se dice que x es una funci´on de coordenadas. A cada punto p ∈ U
se le puede asignar coordenadas (x1 , · · · , xn ) mediante el uso de la funci´on
proyecci´on πi : Rn → R definida por πi (x1 , · · · , xn ) = xi , i = 1, · · · , n
con lo que las funciones xi = πi ◦ x, (i = 1, · · · , n) se les llama funciones
de coordenadas, el par (U, x), algunas veces denotado por (U, x1 , · · · , xn ),
recibe el nombre de sistema de coordenadas. En ocasiones es muy
adecuado trabajar con un sistema de coordenadas muy especial llamado
´ bicas que se presenta cuando x(U ) es un
sistema de coordenadas cu
n
cubo abierto en R . Si p ∈ U y x(p) = 0 entonces el sistema de coordenadas
se dice que est´a centrado en p.
Ejemplo 2.2.1 Sea M = M (m × n, R) el conjunto de todas las matrices
de tama˜
no m × n con entradas reales y sea la biyecci´on x : M → Rm×n
definida por
x([aij ]) = (a11 , · · · , a1n , a21 , · · · a2n , · · · , am1 , · · · , amn ).
Como M es enviada sobre Rmn , que es abierto, entonces (M, x) define un
sistema de coordenadas cuyo dominio es el conjunto entero M = M (m ×
n, R).
En la pr´actica, no siempre se puede encontrar uno o dos sistemas de coordenadas para cubrir un espacio localmente euclideo M dado, para la cual es
necesario introducir una colecci´on de sistemas de coordenadas cuya uni´on
de sus dominios cubran a M.
Como generalizaci´on del concepto de superficie que no involucra un espacio
ambiente se presenta a continuaci´on.
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
CAP´ITULO 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
50
§ 2.3.
El concepto de variedad diferenciable
Definici´
on 2.3.1 Una variedad diferenciable M de dimensi´
on n es
un espacio localmente euclideo,
segundo
contable
junto
con
una
familia
de
sistemas de coordenadas A = (Uα , xα ) α∈I sobre M, siendo I un conjunto
de ´ındices, tales que
(a)
S
α
Uα = M.
(b) Para todo par α, β ∈ I, con Uα ∩ Uβ = W 6= ∅, las funciones
xβ ◦ x−1
α : xα (W ) → xβ (W )
son diferenciables.
(c) La familia {(Uα , xα )} es m´axima relativo a las condiciones (a) y (b).
Cuando dos sistemas de coordenadas (Uα ,xα ), (Uβ ,xβ ) de M satisfacen (b)
se dicen compatibles. La familia A = (Uα , xα ) α∈I formada por sistemas de coordenadas sobre M que satisfacen (a), (b), (c) recibe el nombre
de estructura diferenciable sobre M. Tambi´en es conveniente acordar que los sistemas de coordenadas cuyo dominio no se intersectan, como
compatibles. El dominio de cada sistema de coordenadas en una estructura
diferenciable se llama vecindad coordenada en M.
La familia A = {(Uα , xα )} de la definici´on 2.3.1 tambi´en se conoce con el
nombre de atlas completo para M y (Uα , xα ) una carta sobre M. Adem´as,
si (Uα , xα ) es una carta sobre M con p ∈ Uα , se dice entonces que (Uα , xα )
es una carta alrededor de p.
La condici´on (c) realmente aparece por razones puramente t´ecnicas. Claro
que, dado un atlas para M (es decir, satisface por lo menos (a) y (b)) se
puede completar uno m´aximo, agregando todas las cartas que son compatibles con cada una de las cartas del atlas. Por lo tanto, con un cierto abuso
del lenguaje, se puede afirmar que una variedad diferenciable es un
espacio localmente euclideo, segundo contable, dotado de un atlas
(o bien de un sistema de coordenadas) que satisface por lo menos
(a) y (b). En general, una extensi´on a una estructura diferenciable m´axima
se admitir´a sin mayores comentarios.
La condici´on (b) se puede observar graficamente en la Figura 2.2.
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2.3. EL CONCEPTO DE VARIEDAD DIFERENCIABLE
51
W
Uβ
Uα
M
xβ
xα
R
R
xα (Uα )
xβ (Uβ )
h = xβ ◦ x−1
α
xα (W )
xβ (W )
Rn−1
Rn−1
Figura 2.2
Cuando se escriba una variedad diferenciable M m el ´ındice superior indicar´a la dimensi´on de M. Tambi´en, significar´a lo mismo cuando se escriba
M es una m−variedad diferenciable, esto es, una variedad diferenciable de
dimensi´on m.
2.3.1.
Ejemplos
(a) La estructura diferenciable est´andar sobre Rn se obtiene tomando la
familia m´axima (con respecto a (a) y (b) de la definici´on de variedad
diferenciable) que contiene a (Rn , i) donde i : Rn → Rn es la funci´on
identidad.
(b) Sea V un espacio vectorial real de dimensi´on n. Entonces V tiene una
estructura natural de variedad diferenciable. Esto es, si {ei } es una
base para V, entonces los elementos de la base dual {ei }, recuerde que
i
e (ej ) = δij =
1, i = j
0, i =
6 j
son las funciones coordenadas del sistema global de coordenadas para V. Este sistema global de coordenadas determina de manera u
´nica
una estructura diferenciable sobre V. La estructura diferenciable es
independiente de la escogencia de la base, ya que bases diferentes proporcionan sistemas de coordenadas que se intersectan de manera C ∞ .
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
52
CAP´ITULO 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
En efecto, la funci´on de cambio de coordenadas est´a dada simplemente
por una matriz constante inversible.
(c) Sea C el campo de los n´
umeros complejos.
Cn es un espacio vectorial complejo de dimensi´on n que por el
ejemplo (b) tiene una estructura de variedad diferenciable de
dimensi´on n.
Cn tambi´en se puede ver como un espacio vectorial real de dimensi´on 2n que por el ejemplo (b) tiene una estructura de variedad
diferenciable real de dimensi´on 2n. Si {ei } es la base compleja
can´onica en el que ei es la n−upla que consiste de ceros excepto
en la i−´esima entrada que vale 1, entonces
√
{e1 , · · · , en , ie1 , · · · , ien },
i = −1
es una base real para Cn , y su dual es el sistema de coordenadas
can´onico global sobre Cn .
(d) Un conjunto abierto G de una variedad diferenciable M, tambi´en es
una variedad diferenciable con dim G = dim M y estructura diferenciable
(Uα ∩ G; xα |Uα ∩G )
donde {(Uα , xα )} es una estructura diferenciable para M.
(e) El grupo lineal general Gl(n, R) es el conjunto de todas las matrices de
tama˜
no n × n invertibles es una variedad diferenciable de dimensi´on
n × n. Para ver esto, se identifica de manera natural los puntos de
2
Rn con las matrices reales de tama˜
no n × n. Como el determinante
2
es una funci´on continua sobre Rn , entonces Gl(n, R) es una variedad
2
diferenciable como subconjunto abierto de Rn ya que det−1 ((−∞, 0)∪
(0, ∞)) = Gl(n, R).
(f) k−superficies regulares. Al comparar la definici´on de una k−superfice
regular en Rn con la definici´on de variedad diferenciable se encuentra
que el punto importante fu´e destacar la propiedad fundamental del
cambio de par´ametro (que en el caso de las k−superficies en Rn es
un Teorema y luego colocarlo como axioma en la definici´on de variedades diferenciables). Como se ver´a en el transcurso de este escrito,
´esta es la condici´on que permitir´a transportar hacia las variedades diferenciables todas las nociones del C´alculo Diferencial de Rn . Por lo
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2.3. EL CONCEPTO DE VARIEDAD DIFERENCIABLE
53
tanto, queda m´as que claro, que toda k−superficie regular o superficie
regular de dimensi´on k es una variedad diferenciable con sistemas de
coordenadas que se obtienen al tomar las parametrizaciones inversas.
(g) Sean M = M m y N = N n variedades diferenciables con estructuras
diferenciables {(Uα , ϕα )} y {(Vβ , φβ )}, respectivamente. Entonces M ×
N se convierte en una variedad diferenciable de dimensi´on m + n, con
estructura diferenciable
{Uα × Vβ , ϕα × φβ }
donde ϕα × φβ : Uα × Vβ → Rm × Rn dada por ϕα × φβ (x, y) =
(ϕα (x), φβ (y)).
• Variedades Cocientes. Sea M un espacio topol´ogico y ∼ una relaci´on de equivalencia definida sobre M. Entonces el espacio cociente de
M por ∼ formado por las clases de equivalencia, notado por M/ ∼,
se puede convertir en un espacio topol´ogico en la siguiente forma: Si
π es la funci´on que envia cada punto p ∈ M en su clase de equivalencia π(p) = [p], entonces U es un conjunto abierto de M/ ∼ si y
s´olo si π −1 (U ) es abierto en M. M/ ∼ es ahora el espacio cociente
de M con respecto a ∼ 1 . La idea es ahora utilizar esta noci´on para construir atlas sobre algunos espacios cocientes y convertirlos en
variedades diferenciables.
(h) Siguiendo la idea que proporciona la construcci´on de un cilindro a
partir de un rect´angulo de papel y pegando dos lados paralelos, es
decir, identificando estos lados. Se puede, por ejemplo, dar una media
vuelta a uno de estos lados en el proceso para entonces obtener la
llamada Banda de M¨
obius.
Se puede definir la Banda de M¨obius como el cociente X/ ∼, donde
X es la banda
{(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 2, −1 < y < 1}
y ∼ la relaci´on definida por (x, y) ∼ (x + 2, −y), (Figura 2.3), esto es,
(x, y) ∼ (z, w) si y s´olo si z = x + 2 y w = −y;
1
[6] muestra caracterizaciones y ejemplos en la secci´on 22, p´ag. 137.
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
CAP´ITULO 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
54
π
ϕ1 = π −1
1
p·
0
−1
ϕ2 = π −1
1
·q 2
Figura 2.3
con lo que
(−1, −1) ∼ (1, 1),
(−1, 1) ∼ (1, −1),
p ∼ q.
Entonces X/ ∼ se puede cubrir con dos cartas (U1 , ϕ1 ) y (U2 , ϕ2 )
donde
U1 ={π(x, y) = [(x, y)] : −1 < x < 1, −1 < y < 1}
U2 ={π(x, y) = [(x, y)] : 0 < x < 2, −1 < y < 1},
la funcion ϕ1 es la inversa de
π1 : (−1, 1) × (−1, 1) → X/ ∼
definida por π1 (x, y) = π(x, y), (x, y) ∈ (−1, 1) × (−1, 1), de igual
manera, ϕ2 es la inversa de
π2 : (0, 2) × (−1, 1) → X/ ∼ .
definida por π2 (x, y) = π(x, y),
Se puede escribir U1 ∩ U2 como
π (−1, 1) × (−1, 1) ∪ π (1, 2) × (−1, 1)
que es uni´on de dos conjuntos abiertos disyuntos y por lo tanto, se
encuentra
2
ϕ1 ◦ ϕ−1
2 : (0, 1) ∪ (1, 2) × (−1, 1) → R
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2.3. EL CONCEPTO DE VARIEDAD DIFERENCIABLE
55
dada por
ϕ1 ◦
ϕ−1
2 (x, y)
=
(x, y)
(x − 2, −y)
si (x, y) ∈ (0, 1) × (−1, 1)
si (x, y) ∈ (1, 2) × (−1, 1)
claramente es una funci´on diferenciable.
(i) Imagen inversa de un valor regular. Una funci´on diferenciable
F : A ⊂ Rn → Rm
definida en un conjunto abierto A de Rn se dice que tiene en p ∈ A
un punto critico si dFp : Rn → Rm no es sobreyectiva. La imagen
F (p) ∈ Rm de un punto critico se llama valor critico. Un punto de Rm
se dice valor regular si no es un valor critico.
La terminolog´ıa se motiva desde el caso particular en que f : A ⊆ R →
R es una funci´on de valor real en una variable real. Un punto p ∈ A
es critico si f ′ (p) = 0, esto es, la diferencial dfp envia todo vector de R
en cero, lo que implica que la dfp no es sobreyectiva. Tambi´en n´otese
que cualquier a 6∈ f (A) es trivialmente un valor regular.
Si f : A ⊂ Rn → R es una funci´on diferenciable y p = (p1 , · · · , pn ), entonces la diferencial dfp aplicado al vector ei = (0, · · · , 0, xi , 0, · · · , 0)
se obtiene calculando el vector tangente en f (p) a la curva
xi → f (p1 , · · · , pi−1 , xi , pi+1 , · · · , pn )
y entonces
dfp (ei ) =
∂f
(p),
∂xi
Se concluye que la matriz asociada con dfp relativo a la base
e1 = (1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, · · · , 0, 1)
es dada por
∂f ,··· ,
dfp =
∂x1
∂xn p
N´otese, por lo menos en este caso, que la dfp no es sobreyectiva es
equivalente a que
∂f
∂f
∂f
(p) = · · · =
(p) = 0
∂x1
∂xn
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
56
CAP´ITULO 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
Por lo tanto, a ∈ f (A) es un valor regular de f : A ⊂ Rn → R si y
s´olo si
∂f
6= 0, para alg´
un i = 1, · · · , n
∂xi
en cada uno de los puntos de la imagen inversa
f −1 (a) = {(x1 , · · · , xn ) ∈ A : f (x1 , · · · , xn ) = a}.
De igual manera, si f = (f1 , · · · , fm ) : A ⊆ Rn → Rm y a ∈ A es un
valor regular de f (con lo que n ≥ m), p ∈ f −1 (a) e indicando con
q = (x1 , · · · , xk , y1 , · · · , ym ) ∈ Rn=m+k ,
entonces si a es un valor regular de f implica dfp es sobreyectia, con
lo que se puede suponer (haciendo una reordenaci´on de las variables
si es necesario) que
∂(f1 , · · · , fm )
(p) 6= 0,
∂(y1 , · · · , ym )
ya que el rango de de la diferencial de f en p es m. Se demostrar´a el
siguiente resultado:
Si f : A ⊂ Rn → Rm es una funci´
on diferenciable y
a ∈ f (A) es un valor regular de f, entonces f −1 (a) es
una superficie regular, de dimensi´
on k = n − m.
En efecto, sea p ∈ f −1 (A). Se hace la siguiente notaci´on
x = (x1 , · · · , xk ), y = (y1 , · · · , ym ),
(x, y) = (x1 , · · · , xk , y1 · · · , ym )
a = (a1 , · · · , am )
y f (x, y) = (f1 (x, y), · · · , fm (x, y)) denota a la funci´on f.
Como a es un valor regular de f. se asume, reordenando los ejes si es
necesario, que
∂(f1 , · · · , fm )
(p) 6= 0
∂(y1 , · · · , ym )
en p. Se define la funci´on F : A ⊂ Rn → Rn por
F (x, y) = x1 , · · · , xk , f1 (x, y), · · · , fm (x, y) ,
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2.3. EL CONCEPTO DE VARIEDAD DIFERENCIABLE
57
entonces
1
..
.
0
∂f
det(dFp ) = 1
∂x1
.
..
∂fm
∂x
1
···
0
..
.
···
1
∂f1
∂xk
..
.
∂fm
∂xk
···
···
0
..
.
···
0
···
∂f1
···
∂y1
..
.
∂fm
···
∂y1
0 ∂f1 ∂(f1 , · · · , fm )
(p) 6= 0
=
∂ym ∂(y1 , · · · , ym )
.. . ∂fm ∂ym 0
..
.
El teorema de la funci´on inversa garantiza la existencia de conjuntos
abiertos U de p y V de F (p) tal que F : U → V es un difeomorfismo.
Y sigue que F −1 : V → U tambi´en es un difeomorfismo y tiene la
forma
F −1 (x1 , · · · , xk , t1 , · · · , tm ) = (x1 , · · · , xk , g(x1 , · · · , xk , t1 , · · · , tm )).
Haciendo (x, t) = (x1 , · · · , xk , t1 , · · · , tm ) ∈ V,
g(x1 , · · · , xk , t1 , · · · , tm ) = (g1 (x, t), · · · , g(x, t)),
y se denota la funci´on proyeci´on de Rn sobre Rk por π, esto es
π(x, y) = x.
Ahora, cualquier punto (x, y) ∈ f −1 (a) ∩ U tiene la forma
(x, y) =F −1 ◦ F (x, y) = F −1 (x1 , · · · , xk , f (x, y))
=F −1 (x, a) = (x, g(x, a))
(2.1)
con x en el abierto π(U ) de Rk . Sea h(x) = g(x, a), entonces
f −1 (a) ∩ U = {(x, h(x)) : x ∈ π(U )} = gr´af h ∩ U
(2.2)
Lo que muestra que f −1 (a) ∩ U es una carta local de p, por ser la
gr´afica de una funci´on diferenciable y por lo tanto cualquier punto
p ∈ f −1 (a) se puede cubrir con una carta local; as´ı f −1 (a) es una
superficie regular.
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
58
CAP´ITULO 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
Como caso particular, se presenta una prueba relativamente simple
para ver que
S n = {(x1 , · · · , xn ) : x21 + · · · + x2n = 1} ⊂ Rn+1
es una variedad diferenciable: sea f : Rn+1 → R definida con
f (x1 , · · · , xn ) = x21 + · · · + x2n .
Como f −1 (1) = S n y como x = (x1 , · · · , xn+1 ) ∈ S n , entonces x 6= 0
y para alg´
un i = 1, · · · , n + 1
∂f
= 2xi 6= 0
∂xi
con lo que 1 es valor regular de f, por lo tanto S n es una superficie
regular y as´ı una variedad diferenciable.
(j) Espacios proyectivos reales. Se considera
Rm+1 = R
· · × R}
| × ·{z
m+1 f actores
con el origen eliminado, esto es, Rm+1 − {0} los puntos
x = (x1 , · · · , xm+1 ) e y = (y1 , · · · , ym+1 )
se dicen equivalentes (∼) si y s´olo si yi = λxi (i = 1, · · · , m + 1) para
alg´
un λ ∈ R − {0}. La clase de equivalencia [x] de x se puede ver
como una recta que pasa por el origen de Rm+1 con origen eliminado.
Entonces
RPm = Rm+1 − {0} / ∼ = [x] : x ∈ Rm+1 − {0}
se conoce con el nombre de Espacio proyectivo real de dimensi´on
m; x1 , · · · , xm+1 sus coordenadas homogeneas. La proyecci´on natural
es
π : Rm+1 − {0} → RPm
definida con π(x) = [x]. Se demostrar´a que RPm se puede cubrir con
m + 1 vecindades coordenadas proporcionando as´ı una estructura diferenciable sobre RPm .
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
2.3. EL CONCEPTO DE VARIEDAD DIFERENCIABLE
59
Sean Wi = {x ∈ Rm+1 −{0} : xi 6= 0} (i = 1, · · · , m+1) y Ui = π(Wi ).
Entonces Ui es un abierto en RPm . La funci´on ϕi : Ui → Rm se define,
escogiendo cualquier representaci´on x = (x1 , · · · , xm+1 ) ∈ [x] en Ui ,
por
1
ϕi ([x]) = (x1 , · · · , xi−1 , xi+1 , · · · , xm+1 )
xi
Esta definici´on es correcta ya que, y ∼ x si y s´olo si xi = λyi para
alg´
un λ 6= 0, y
1
ϕi ([x]) = (x1 , · · · , xi−1 , xi+1 , · · · , xm+1 )
xi
1
=
(λx1 , · · · , λxi−1 , λxi+1 , · · · , λxm+1 )
λxi
1
= (y1 , · · · , yi−1 , yi+1 , · · · , ym+1 ).
yi
=ϕi ([y])
m
As´ı, ϕi es biyectiva y continua. ϕ−1
i (x) (x ∈ R ) se puede tomar
como
ϕ−1
i (x1 , · · · , xm ) = πi (x1 , · · · , xi−1 , 1, xi , · · · , xm )
donde x ∈ Rm ,
πi (x) = π(x)
x = (x1 , · · · , xm ) y πi : Wi → RPm definida por
ϕi ◦ ϕ−1
i (x) =ϕi ([(x1 , · · · , xi−1 , 1, xi , · · · , xm )])
=(x1 , · · · , xi−1 , xi , · · · , xm ) = x.
An´alogamente, ϕ−1
on natural es una
i ◦ ϕi (w) = w. Como la proyecci´
m
m
funci´on continua, ϕ−1
es
continua
de
R
en
U
⊆
RP
. Las funciones
i
i
ϕi (i = 1, · · · , m + 1) son, por lo tanto, homeomorfismos.
Sobre la intersecci´on Ui ∩ Uj , sea x = (x1 , · · · , xm ), xi 6= 0, xj 6= 0 y
sup´ongase que i < j, entonces su funci´on cambio de coordenadas es:
ϕi ◦ ϕ−1
j (x) =ϕi (πj (x1 , · · · , xj−1 , 1, xj , · · · , xm ))
=ϕi ([(x1 , · · · , xj−1 , 1, xj , · · · , xm )])
1
= (x1 , · · · , xi−1 , xi+1 , · · · xj−1 , 1, xj · · · , xm ).
xi
As´ı, sobre Ui ∩ Uj , las coordenadas son
x1
xi−1
xi+1
xj−1
, yi =
, · · · , yj−2 =
,
y1 = , · · · , yi−1 =
xi
xi
xi
xi
1
xj
xm
yj−1 = , yj = , · · · , ym =
xi
xi
xi
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
CAP´ITULO 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
60
que son funciones diferenciables en variable real.
(k) Espacios proyectivos complejos.
• Cuando en la definici´on de variedad diferenciable se cambia Rn por
Cn , entonces al cambio de coordenadas se le pide que sean funciones
anal´ıticas y la estructura resultante es de una variedad diferenciable compleja o anal´ıtica.
Se considera
Cm+1 = C
· · × C}
| × ·{z
m+1 f actores
con el origen eliminado, esto es, Cm+1 − {0} los puntos
z = (z1 , · · · , zm+1 ) y w = (w1 , · · · , wm+1 )
se dicen equivalentes (∼) si y s´olo si wi = λzi (i = 1, · · · , m + 1) para
alg´
un λ ∈ C − {0}. La clase de equivalencia [z] de z se puede ver
como una recta que pasa por el origen de Cm+1 con origen eliminado.
Entonces
CPm = Cm+1 − {0} / ∼= [z] : z ∈ Cm+1 − {0}
recibe el nombre de Espacio proyectivo complejo de dimensi´on
m; z1 , · · · , zm+1 sus coordenadas homogeneas. La proyecci´on natural
es
π : Cm+1 − {0} → CPm
definida con π(z) = [z]. Se demostrar´a que CPm se puede cubrir con
m + 1 vecindades coordenadas proporcionando as´ı una estructura diferenciable compleja sobre CPm .
Sean Wi = {z ∈ Cm+1 −{0} : zi 6= 0} (i = 1, · · · , m+1) y Ui = π(Wi ).
Entonces Ui es un abierto en CPm . La funci´on ϕi : Ui → Cm se define,
escogiendo cualquier representaci´on z = (z1 , · · · , zm+1 ) ∈ [z] en Ui ,
por
1
ϕi ([z]) = (z1 , · · · , zi−1 , zi+1 , · · · , zm+1 )
zi
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
2.3. EL CONCEPTO DE VARIEDAD DIFERENCIABLE
61
Esta definici´on es correcta ya que, w ∼ z si y s´olo si zi = λwi para
alg´
un λ 6= 0, y
1
ϕi ([z]) = (z1 , · · · , zi−1 , zi+1 , · · · , zm+1 )
zi
1
=
(λz1 , · · · , λzi−1 , λzi+1 , · · · , λzm+1 )
λzi
1
= (w1 , · · · , wi−1 , wi+1 , · · · , wm+1 ).
wi
=ϕi ([w])
As´ı, ϕi es biyectiva y continua.
como
m
ϕ−1
i (z) (z ∈ C ) se puede tomar
ϕ−1
i ([z]) = πi (z1 , · · · , zi−1 , 1, zi , · · · , zm+1 ) = [(z1 , · · · , zi−1 , 1, zi , · · · , zm+1 )]
donde z ∈ Cm ,
π|Wi .
z = (z1 , · · · , zm ), πi : Wi → Ui definida por πi =
ϕi ◦ ϕ−1
i (z) =ϕi ([z1 , · · · , zi−1 , 1, zi , · · · , zm ])
=(z1 , · · · , zi−1 , zi , · · · , zm ) = z.
An´alogamente, ϕ−1
on natural es una
i ◦ ϕi (w) = w. Como la proyecci´
−1
m
funci´on continua, ϕi es continua de C en Ui ⊆ CPm . Las funciones
ϕi (i = 1, · · · , m + 1) son, por lo tanto, homeomorfismos.
Sobre la intersecci´on Ui ∩ Uj , sea z = (z1 , · · · , zm ), zi 6= 0, zj 6= 0 y
sup´ongase que i < j, entonces sus coordenadas son:
ϕi ◦ ϕ−1
j (z) =ϕi (π(z1 , · · · , zj−1 , 1, zj , · · · , zm ))
=ϕi ([(z1 , · · · , zj−1 , 1, zj , · · · , zm )])
1
= (z1 , · · · , zi−1 , zi+1 , · · · , zj−1 , 1, zj , · · · , zm ).
zi
As´ı, sobre Ui ∩ Uj , las coordenadas son
τ1 =
z1
zi−1
zi+1
zj−1
, · · · , τi−1 =
, τi =
, τj−2 =
,
zi
zi
zi
zi
zj
zm
1
τj−1 = , τj = , · · · , τm =
zi
zi
zi
que son funciones diferenciables en variable compleja.
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
CAP´ITULO 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
62
2.3.2.
Funciones diferenciables entre variedades
En esta secci´on se extiende la noci´on de funciones diferenciables a variedades diferenciables.
Definici´
on 2.3.2 Sea M n una variedad diferenciable. Una funci´
on f :
´ n diferenciable en p ∈ M si existe una
M → R se dice una funcio
carta (Ui , ϕi ) con p ∈ Ui tal que f ◦ ϕ−1
es una funci´on diferenciable sobre
i
el subconjunto ϕi (Ui ) ⊆ Rn (ver Figura 2.4) y as´ı f es diferenciable en M
si es diferenciable en cada punto de M.
M
Ui
p
·
f
ϕi
ϕi (Ui )
·
ϕ(p)
f ◦ ϕ−1
Rn
R
Figura 2.4
Por la estructura diferenciable de M, esta definici´on es buena ya que si
(Ui , ϕi ) y (Uj , ϕj ) son cartas de M tal que p ∈ Ui ∩ Uj 6= ∅ y f es una funci´on diferenciable con respecto al sistema de coordenadas definidas por ϕi ,
entonces f es diferenciable con respecto al sistema de coordenadas definidas
por ϕj . En efecto, como
−1
−1
f ◦ ϕ−1
j = (f ◦ ϕi ) ◦ (ϕi ◦ ϕj )
sobre ϕi (Ui ) ∩ ϕj (Uj ) y como ϕi ◦ ϕ−1
es diferenciable, entonces f ◦ ϕ−1
j
j
tambi´en es diferenciable.
Sea p ∈ Ui ⊆ M y ϕi (p) = (x1 , · · · , xn ). Entonces f ◦ ϕ−1
i (x1 , · · · , xn ) recibe
´
el nombre de expresion en coordenadas para f con respecto a la carta
(Ui , ϕi ) y se denota con F (x1 , · · · , xn ).
Ejemplo 2.3.1 Las funciones coordenadas xi (i = 1, · · · , n) definidas por
una carta sobre una variedad diferenciable M n , son funciones diferenciables.
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-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
2.3. EL CONCEPTO DE VARIEDAD DIFERENCIABLE
63
En efecto, Sea (U, ϕ) un sistema de coordenadas con p ∈ U y ϕ(p) =
(x1 , · · · , xn ), entonces xi se define por xi (p) = πi ◦ ϕ(p), donde πi : Rn → R
se define por πi (x1 , · · · , xn ) = xi , y su expresi´on en coordenadas, que se
denota con xˆi , es dada por
xˆi (x1 , · · · , xn ) =xi ◦ ϕ−1 (x1 , · · · , xn ) = (πi ◦ ϕ) ◦ ϕ−1 (x1 , · · · , xn )
=πi (x1 , · · · , xn ) = xi
as´ı, xˆi es diferenciable, por lo tanto la funci´on coordenada xi es diferenciable.
Por conveniencia, algunas veces se escribe xi cuando se deber´ıa escribir xˆi .
Definici´
on 2.3.3 Sean M m y N n variedades diferenciables. Entonces una
funci´on f : M → N se dice diferenciable en p ∈ M si dada una carta
(Uj , ϕj ) en f (p), existe una carta (Ui , ϕi ) en p tal que f (Ui ) ⊆ Uj y la
funci´on
ϕj ◦ f ◦ ϕ−1
(2.3)
i : ϕi (Ui ) → ϕj (Uj )
es una funci´on diferenciable (ver, Figura 2.5).
La funci´on ϕj ◦f ◦ϕ−1
on en coordenadas para
i recibe el nombre de la expresi´
f respecto a las cartas (Ui , ϕi ) y (Uj , ϕj ); su dominio es el conjunto ϕi (Ui ).
M
N
Ui
p
·
f
Uj
·
ϕj
ϕi
ϕi (Ui )
·
ϕi (p)
ϕj ◦ f ◦ ϕ−1
i
m
R
ϕj (Uj )
·
ϕj (f (p))
Rn
Figura 2.5
Esta definici´on est´a bien hecha ya que es independiente del sistema de coordenadas escogidas para p y f (p). En efecto, sean (Ui′ , ϕ′i ) y (Uj′ , ϕ′j ); otras
cartas con p ∈ Ui′ y f (Ui′ ) ⊆ Uj′ . Entonces
−1
′ −1
ϕ′j ◦ f ◦ ϕ′i −1 = (ϕ′j ◦ ϕ−1
)
j ) ◦ (ϕj ◦ f ◦ ϕi ) ◦ (ϕi ◦ ϕi
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
CAP´ITULO 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
64
es compuesta de funciones diferenciables. Por lo tanto, ϕ′j ◦ f ◦ ϕ′i −1 es
diferenciable.
Sean M y N variedades diferenciables de la misma dimensi´on. Entonces una
funci´on biyectiva f : M → N tal que f y f −1 son funciones diferenciables
se llama un difeomorfismo y dos variedades diferenciables se dicen difeomorfas si existe un difeomorfismo de una a la otra; las variedades son
necesariamente de la misma dimensi´on.
§ 2.4.
Noci´
on topol´
ogica y orientaci´
on
Es bien conocido que la idea de que toda variedad diferenciable satisfaga el axioma de Hausdorff es para garantizar la unicidad del l´ımite de
sucesiones. A continuaci´on se muestra un ejemplo de un espacio topol´ogico
que no es de Hausdorff pero se le puede asociar una familia de sistemas de
coordenadas que satisface (a), (b), (c) de la definici´on de variedad diferenciable, es decir, una estructura diferenciable, desde luego que, para nuestro
estudio este espacio topol´ogico con ese Atlas no es considerada una variedad
diferenciable.
Ejemplo 2.4.1 Se supone que
M = {(r, 0) : r ∈ R} ∪ {(0, 1)}.
Sean
U = {(r, 0) : r ∈ R}
y
U1 = {(r, 0) : 0 6= r ∈ R} ∪ {(0, 1)}.
Se definen las cartas x, x1 para M as´ı:
1. x : U → R dada por x(s, 0) = s.
2. x1 : U1 → R dada por x(s, 0) = s si s 6= 0 y x(0, 1) = 0.
El cambio de par´ametro x1 ◦ x−1 es la funci´on identidad en R − {0}. Estas
cartas forman un atlas de clase C ∞ y determinan sobre M una estructura
diferenciable.
Se demostrar´a que la Topolog´ıa asociada a esta estructura no es de Hausdorff
y por lo tanto no es la de una variedad diferenciable. En efecto, sean V
cualquier conjunto abierto que contiene a (0, 0) y W cualquier conjunto
abierto que contiene a (0, 1), entonces por definici´on
x(V ∩ U )
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
y
x1 (W ∩ U1 )
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´ TOPOLOGICA
´
´
2.4. NOCION
Y ORIENTACION
65
son ambos conjuntos abiertos de R que contienen a 0 y por lo tanto ambos
contienen a un punto a 6= 0, lo que demuestra que el punto (a, 0) ∈ V ∩ W.
Esto es M no es un espacio topol´ogico de Hausdorff.
El axioma de base enumerable es esencial para que las variedades que se usan
sean normales, metrizables y paracompactas. La paracompacidad implica la
existencia de particiones de la unidad, instrumento casi indispensable para
el estudio de ciertos conceptos sobre variedades diferenciables; tales como
el estudio de construcci´on de m´etricas sobre variedades e integraci´on, como
se ver´a m´as adelante. Por lo tanto, ser´a indiscutible que:
Todas las variedades diferenciables que se consideran satisfacen el axioma
de Hausdorff y el axioma segundo contable.
2.4.1.
Espacios topol´
ogicos paracompactos
Definici´
on 2.4.1 Sea X un espacio topol´ogico.
(a) Una colecci´on {Uα } de S
subconjuntos de X es un cubrimiento del conjunto W ⊆ X si W ⊆ Uα y si cada Uα es abierto se dice un cubrimiento abierto. Una subcolecci´on de los Uα que tambi´en cubre a W se
llama un subcubrimiento.
(b) Un refinamiento {Vβ } del cubrimiento {Uα } para W es un cubrimiento
tal que para cada β existe α tal que Vβ ⊂ Uα .
(c) Una colecci´on {Aα } de subconjuntos de X es localmente finito si para
cada x ∈ X, existe una vecindad Wx de x tal que Wx ∩ Aα 6= ∅
solamente para un n´
umero finito de valores de α.
(d) Un espacio topol´ogico se dice paracompacto si cualquier cubrimiento
abierto tiene un refinamiento por abiertos localmente finito.
Se puede demostrar con facilidad que variedades paracompactas son necesariamente Hausdorff.
2.4.2.
Particiones de la unidad
Sea X un espacio Topol´ogico y f : X → R una funci´on. Entonces el
soporte de f, denotado con sop f es la clausura del conjunto {p ∈ X :
f (p) 6= 0}.
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
CAP´ITULO 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
66
Una partici´
on de la unidad (diferenciable) sobre una variedad diferenciable M es una colecci´on de funciones diferenciables fi tales que
(a) fi ≥ 0 para cada i.
(b) La colecci´on de {sop fi } es localmente finito.
P
(c)
i fi (p) = 1 para todo p ∈ M
Por (b) la suma en (c) contiene solamente un n´
umero finito de sumandos
diferentes de cero para cada punto p. Una partici´on de la unidad se dice
subordinada al cubrimiento abierto {Ui } de M si para cada i, existe j tal
que sop fi ⊆ Uj .
Lema 2.4.1 Sea X un espacio Topol´ogico que es
(a) localmente compacto (es decir, cada punto tiene una vecindad compacta),
(b) Hausdorff y
(c) segundo contable.
Entonces X es paracompacto
El Lema concluye que cada cubrimiento abierto de X tiene un refinamiento
contable, localmente finito que consiste de conjuntos abiertos con clausura
compacta.
Demostraci´
on. Primero se demostrar´a que existe una sucesi´on {Gi : i =
1, 2, · · · } de conjuntos abiertos tales que
Gi
es compacto.
Gi ⊂ Gi+1 .
∞
[
X=
Gi .
(2.4)
i=1
Sea {Ui : i = 1,2, · · · } una base contable para la Topolog´ıa de X que consiste
de conjuntos abiertos con clausura compacta. Tal base se puede obtener
comenzando con cualquier base y seleccionando la subcolecci´on de todos
los conjuntos base con clausura compacta. El hecho que X es Hausdorff y
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´ TOPOLOGICA
´
´
2.4. NOCION
Y ORIENTACION
67
localmente compacto implica que esta subcolecci´on es una base. Ahora sea,
G1 = U1 y suponga que
Gk = U1 ∪ · · · ∪ UJk .
Entonces sea jk+1 el entero positivo m´as peque˜
no y m´as grande que Jk tal
que
jk+1
[
Gk ⊂
Ui .
i=1
y se define
jk+1
Gk+1 =
[
Ui .
i=1
Lo que define inductivamente (ver, Figura 2.6) una sucesi´on {Gk } que satisface 2.4
G1 G2
··· G
i−2
Gi−1
Gi
Gi+1
···
Figura 2.6
Sea {Uα : α ∈ A} un cubrimiento abierto. Entonces Gi − Gi−1 es compacto
y contenido en el conjunto abierto Gi+1 − Gi−2 .
Para cada i ≥ 3 se escoge un subcubrimiento finito del cubrimiento abierto
{Uα ∩ (Gi+1 − Gi−2 ) : α ∈ A}
del conjunto compacto Gi − Gi−1 y tambi´en se escoge un subcubrimiento
finito del cubrimiento abierto {Uα ∩ G3 : α ∈ A} del conjunto compacto
G2 . Esta colecci´on de conjuntos abiertos, as´ı obtenidos, es contable, un
refinamiento localmente finito del cubrimiento abierto {Uα } y consiste de
X
conjuntos abiertos con clausura compacta.
♦
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
CAP´ITULO 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
68
Como caso particular del Teorema anterior se tiene que Rn ( n = 1, 2, · · · )
es paracompacto y que todas las variedades diferenciables tambi´en son paracompactas.
Como toda variedad diferenciable M satisface el segundo axioma de enumerabilidad se tiene entonces que todo cubrimiento abierto {Uα }α∈I de M contiene un refinamiento contable {Ui : i = 1, 2, · · · } tal que dado i = 1, 2, · · · ,
existe αi ∈ I con Ui ⊆ Uαi . Adem´as la paracompacidad de las variedades
diferenciables permite escoger este refinamiento localmente finito.
El siguiente Teorema es un resultado de la Topolog´ıa General:
Teorema 2.4.1 (Existencia de particiones de la unidad) Sea M n una
variedad diferenciable. Entonces para cada atlas {(Ui , ϕi ) : i = 1, 2, · · · } de
M existe una partici´on diferenciable de la unidad sobre M subordinada a
{Ui }
Demostraci´
on. Se empieza encontrando una partici´on diferenciable de la
unidad sobre Rn y entonces se usan las funciones ϕi para encontrar una
partici´on diferenciable de la unidad sobre M subordinada a {Ui }.
La paracompacidad de Rn permite considerar un cubrimiento localmente
finito de Rn por bolas abiertas Bj de radio a > 0 y con centro en cada
punto de un conjunto enumerable de puntos {xj }.
Se definen las funciones ψj por
ψj =
donde
rj2
=
(
n
X
i=1
0
2
e1/(rj −a
2)
(xi − xji )2 ,
rj ≥ a
rj < a
rj ≥ 0.
2
2
Cada ψj es de clase C ∞ sobre Rn ya que e1/(rj −a ) y todas sus derivadas
tienden a cero cuando rj → a− . Tambi´en ψj ≥ 0 y sop ψj es compacto.
Ahora, se define fj : Rn → R de la siguiente forma, para p ∈ Rn
ψj (p)
fj (p) = P
ψk (p)
k
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´ TOPOLOGICA
´
´
2.4. NOCION
Y ORIENTACION
(La suma
P
69
ψk (p) contiene solamente un n´
umero finito de terminos diferen-
k
tes de cero). Por lo tanto, {fj : j = 1, 2, · · · } es una partici´on diferenciable
de la unidad sobre Rn .
Como la variedad diferenciable M es un espacio topol´ogico paracompacto,
entonces el atlas {(Ui , ϕi ) : i = 1, 2, · · · } admite un atlas de cartas que lo
refina y es localmente finito y se denotar´a con {(Vi , ϕi ) : i = 1, 2, · · · }. Sean
los subconjuntos Bij de M definidos por
Bij = ϕ−1
i (Bj )
y sea ψij = ψj ◦ ϕi . Entonces ψij ≥ 0 y ψij es de soporte compacto sobre
Bij . Para cualquier p ∈ M, sea
ψij (p)
.
fij (p) = P
ψrs (p)
r,s
Entonces, fij (p) ≥ 0, fij tiene soporte compacto, {sop fij } es localmente
finito y
X
fij (p) = 1
i,j
para cada p ∈ M. As´ı, {fij } es una partici´on diferenciable de la unidad
X
subordinada a {Vi } y por lo tanto, a {Ui }.
♦
Ejercicio 2.4.1 Sea G un conjunto abierto en M, y sea A un conjunto
cerrado en M, con A ⊂ G. Entonces existe una funci´on diferenciable ϕ :
M → R tales que
(a) 0 ≤ ϕ(p) ≤ 1 para todo p ∈ M.
(b) ϕ(p) = 1 si p ∈ A.
(c) sop ϕ ⊂ G.
Demostraci´
on. Existe una partici´on de la unidad {ϕ, ψ} subordinada al
cubrimienbto abierto {G, M − A} de M con sop ϕ ⊂ G y sop ψ ⊂ M − A.
X
Entonces ϕ es la funci´on buscada.
♦
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
CAP´ITULO 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
70
2.4.3.
Variedades orientables
Dos sistemas de coordenadas (U, x) y (V, y) con coordenadas (xi ), (yi )
respectivamente, para una variedad diferenciable M se dicen consistentemente orientadas si el Jacobiano del cambio de coordenadas h = y ◦ x−1 :
(xi ) → (yi ) es positivo en donde est´e definido, es decir,
∂(y1 , · · · , yn )
∂(x1 , · · · , xn )
es positivo en donde est´e definido.
1. En R2 los sistemas coordenados relacionados por
y1 = x1 cos θ + x2 sen θ,
y2 = −x1 sen θ + x2 cos θ,
es decir, relacionados por una rotaci´on, son consistentemente orientados.
2. En R2 el sistema de coordenadas relacionados por
y1 = x1 ,
y2 = −x2 ,
es decir, relacionados por una reflexi´on, no son consistentemente orientados.
Definici´
on 2.4.2 Una variedad diferenciable se dice orientable si posee
un atlas tal que para cualquier par de cartas (U, x), (V, y) con sistema de
coordenadas (xi ), (yi ) respectivamente y para el cual U ∩ V = W 6= ∅ los
sistemas (xi ), (yi ) son consistentemente orientados, es decir, si la funci´
on
de cambio de coordenadas
y ◦ x−1 : x(W ) → y(W )
tal que (x1 , · · · , xn ) → (y1 , · · · , yn ) se tiene que
det d(y ◦ x−1 ) =
∂(y1 , · · · , yn )
>0
∂(x1 , · · · , xn )
donde est´e definido.
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´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´ TOPOLOGICA
´
´
2.4. NOCION
Y ORIENTACION
71
Dos atlas tal que cualquier sistema de coordenadas del primer atlas se relaciona por un jacobiano negativo con cualquier sistema de coordenadas del
otro atlas para el cual el Jacobiano est´a definido se dice que tienen orientaci´on opuesta de la variedad. De un atlas consistentemente orientado, se
puede obtener un atlas opuestamente orientado cambiando el signo de una
coordenada en particular, por ejemplo, cambiando el signo en la primera
coordenada en cada sistema de coordenadas o tomando una permutaci´on
impar en cada sistema.
Para una variedad M con un atlas finito se puede obtener cualquiera de las
siguientes afirmaciones:
1. Construir un atlas consistentemente orientada, en tal caso M es orientable.
2. Establecer la no orientabilidad de M mediante un proceso recursivo.
Para tal efecto, se empieza por un sistema coordenado en particular, se
altera el signo si es necesario de una coordenada, sobre la superposici´on de
esta carta con otra, hasta obtener una relaci´on consistente. Si esos sistemas
son consistentemente orientados, entonces se aplica sucesivamente donde sea
posible el mismo procedimiento a cada uno de esos sistemas, produciendo
entonces una larga colecci´on de sistemas consistentemente orientados. Si M
es orientable, entonces el proceso se puede repetir hasta obtener un atlas
consistentemente orientado que cubre a M. Si M no es orientable, entonces
es imposible completar el procedimiento.
Cada una de las variedades: Rn , (n = 1, 2, · · · ), subconjuntos abiertos de Rn
y la imagen de una funci´on diferenciable f : U → Rm , U subconjunto abierto
de Rn , se pueden cubrir por una s´ola carta y por lo tanto son orientables.
Es importante notar que, si U1 y U2 son dominios coordenados sobre una
variedad diferenciable con coordenadas (xi ), (yi ), entonces
∂(y1 , · · · , yn )
∂(x1 , · · · , xn )
tiene signo constante sobre cada una de las componentes conexas de U1 ∩ U2
ya que los sistemas de coordenadas se relacionan difeomorficamente, y por
lo tanto, el Jacobiano es diferente de cero y por ser una funci´on continua,
debe tener el mismo signo sobre cada componente de U1 ∩ U2 .
El Teorema que sigue demuestra que sobre una variedad orientable, el
Jacobiano tiene el mismo signo sobre toda la intersecci´on U1 ∩ U2 .
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
CAP´ITULO 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
72
Teorema 2.4.2 Sea M n una variedad orientable tal que para cualquier par
de cartas (U1 , x) y (U2 , y) de M con funciones de coordenadas (xi ), (yi ),
respectivamente, U1 y U2 conexos, U1 ∩ U2 6= ∅, entonces
∂(y1 , · · · , yn )
∂(x1 , · · · , xn )
tiene el mismo signo sobre toda la intersecci´on U1 ∩ U2 .
Demostraci´
on. Como U1 y U2 heredan la orientaci´on de M, entonces existe
un atlas de cartas (Vi , ψi ) sobre U1 para el cual el Jacobiano es positivo sobre
la intersecci´on de cualquier par de cartas. Entonces seg´
un U1 , que es conexo,
es o no consistentemente orientado con el atlas {(Vi , ψi )} y
∂(x1 , · · · , xn )
∂(z1 , · · · , zn )
es mayor o menor que cero en cada punto de U1 y en particular, en cada
punto de U1 ∩ U2 , donde (zi ) son las funciones de coordenadas para la carta
(Vi , ψi ) apropiada a los puntos en asunto. De la misma forma,
∂(y1 , · · · , yn )
∂(z1 , · · · , zn )
es mayor o menor que cero en cada punto de U1 ∩U2 de acuerdo como (U2 , y)
sea consistente o de orientaci´on opuesta al atlas (Vi , ψi ). Como
∂(y1 , · · · , yn )
∂(y1 , · · · , yn ) ∂(x1 , · · · , xn )
=
÷
∂(x1 , · · · , xn )
∂(z1 , · · · , zn )
∂(z1 , · · · , zn )
entonces
∂(y1 , · · · , yn )
∂(x1 , · · · , xn )
es positivo sobre U1 ∩ U2 si (U1 , x) y (U2 , y) son ambos consistentemente
orientados o ambos opuestamente orientados a (Vi , ψi ); ser´a negativo sobre
todo U1 ∩ U2 si la orientaci´on (U1 , x) y (U2 , y) con respecto a (Vi , ψi ) son
X
diferentes.
♦
El teorema anterior es de gran utilidad para demostrar que algunas variedades no son orientables.
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2.5. EJERCICIOS
73
Ejemplo 2.4.2 Ahora se puede verificar facilmente que la Cinta de M¨obius
es una variedad no orientable, ya que por el ejemplo 2.3.1 (h) se tiene que
ϕ1 ◦
ϕ−1
2 (x, y)
=
y
det d ϕ1 ◦
ϕ−1
2
(x, y)
(x − 2, −y)
si (x, y) ∈ (0, 1) × (−1, 1)
si (x, y) ∈ (1, 2) × (−1, 1)
si (x, y) ∈ (0, 1) × (−1, 1)
si (x, y) ∈ (1, 2) × (−1, 1)
(x, y) =
1
−1
Teorema 2.4.3 Una variedad que admite un atlas de dos cartas (U1 , x),
(U2 , y) para la cual U1 ∩ U2 es conexo, es orientable.
Demostraci´
on. Se supone que las cartas (U1 , x), (U2 , y) tienen sistemas de
coordenadas (xi , ) (yi ) (i = 1, · · · , n). Entonces, como U1 ∩ U2 es conexo,
∂(y1 , · · · , yn )
∂(x1 , · · · , xn )
tiene signo constante sobre U1 ∩ U2 . Si el signo es positivo, entonces los
sistemas de coordenadas son consistentemente orientados y la variedad es
orientable. Si el signo es negativo, entonces los sistemas de coordenadas
(x1 , · · · , xn ) y (−y1 , · · · , yn ) son consistentemente orientados y de nuevo la
variedad diferenciable es orientable.
X
♦
Lo que demuestra el Teorema.
Ejemplo 2.4.3 Cada una de las esferas S n , n = 1, 2, 3, · · · es una variedad orientable, ya que mediante la proyecci´on esterogr´afica S n , para cada
n = 1, 2, 3, · · · admite un atlas con dos cartas y la intersecci´on de las dos
vecindades coordenadas es conexo.
§ 2.5.
Ejercicios
1. ¿Cu´ales de las siguientes superficies cu´adricas son variedades diferenciables de dimensi´on 2?, en caso afirmativo, proporcionar dos pruebas
diferentes:
a) z =
x2 y 2
+ 2,
a2
b
(a, b > 0).
( Paraboloide)
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
CAP´ITULO 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
74
y2
z2
x2
+
−
= 1,
a2
b2
c2
hoja )
(a, b, c > 0).
( Hiperboloide de una
z2
x2
y2
c) 2 − 2 − 2 = 1,
c
a
b
hojas )
(a, b, c > 0).
( Hiperboloide de dos
b)
d ) x 2 + y 2 = a2 z 2 ,
(a > 0).
( Cono circular )
2. Probar que cada conjunto abierto de una variedad diferenciable es una
variedad diferenciable.
3. Sea T : Rn → Rn una transformaci´on lineal invertible, probar entonces
que T envia variedades diferenciables en variedades diferenciables.
4. Sean M m y N n variedades diferenciables, entonces probar que
a) M × N es una variedad diferenciable de dimensi´on n + m.
b) T n = S 1 × S 1 × · · · × S 1 , llamado toro n−dimensional es una
variedad diferenciable.
c) S 2 × S 3 es una 5−superficie regular.
5. Demostrar que el espacio de todas las matrices de tama˜
no n × m es
una variedad diferenciable de dimensi´on n × m.
6. Sea Gl(n), el conjunto de todas las matrices invertibles con entradas
reales. Demostrar que Gl(n) es una variedad diferenciable.
7. Sea 0(n), el conjunto de todas las matrices ortogonales, esto es, el
conjunto de las matrices de tama˜
no n × n que satisfacen la ecuaci´on
t
A × A = I, donde I es la matriz identidad. Probar
a) 0(n) es una variedad diferenciable de dimensi´on
n(n − 1)
.
2
b) 0(n) ⊆ S n × · · · × S n , (n−factores de S n ).
8. Sea T : S n → S n definida por T (x) = −x (funci´on antipodal). Demostrar que T es un difeomorfismo de S n sobre S n .
9. El espacio proyectivo real RP2 . Se indica con RP2 al conjunto de
todas las rectas de R3 −{(0, 0, 0)} que pasan por el origen 0 = (0, 0, 0);
esto es, RP2 es el conjunto de todas las direcciones de R3 .
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2.5. EJERCICIOS
75
a) Introducir una estructura diferenciable para RP2 , repitiendo el
proceso dado en el ejemplo j para m = 2.
b) Seguir el proceso dado en a) para proporcionar una estructura diferenciable a RP3 y encontrar las funciones de cambio de
par´ametro.
10. Se entiende por k−plano que pasa por el origen de Rm a un subespacio
vectorial de Rm , que tiene dimensi´on k, k ≤ m. Probar que
a) todos los 2−planos que pasan por el origen de R3 forman una
variedad diferenciable de dimensi´on 2,
b) todos los k−panos de Rm forman una variedad diferenciable de
dimensi´on k(m − k).
Estas variedades reciben el nombre de variedades Grasmann.
11. Repetir el ejemplo anterior pero en Cm .
12. Probar que cada una de las superficies o variedades anteriormente
descritas son paracompactas.
13. Demostrar que RPm , es decir el conjunto de todas las rectas que pasan
por el origen de Rm+1 , es orientable si m es impar y no orientable si
n es par.
14. Demostrar que el toro T 2 de revoluci´on es orientable.
15. Probar que toda k−superficies que es difeomorfa a una superficie
orientable es orientable.
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
76
CAP´ITULO 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
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Cap´ıtulo 3
La diferencial, subvariedades y
campos vectoriales
En este cap´ıtulo se presentan los conceptos b´asicos de vectores tangentes,
espacio tangente, cotangente, la diferencial entre variedades, subvariedades
y luego se estudia campos vectoriales sobre variedades.
§ 3.1.
Vectores tangentes y espacio tangente
Sea α : (−ε, ε) → Rn una curva derivable en Rn con α(0) = p, entonces
α(t) = (α1 (t), · · · , αn (t)),
por lo tanto,
′
α (0) =
dα
dαn (0), · · · ,
(0) = (v1 , · · · , vn ) = v ∈ Rn ;
dt
dt
1
sea f una funci´on a valor real derivable en un conjunto abierto que contiene
a p, entonces se puede restringir f a la curva α y as´ı
n
n
X
X
d
∂f d
∂f (α(t)) vi
αi (t) =
f ◦α =
dt
∂xi
∂xi p
t=0
t=0 dt
t=0
i=1
i=1
esta u
´ltima expresi´on por C´alculo Elemental en Rn es la derivada direccional
de f en direcci´on del vector v en el punto p, que se denota con
f ′ (v, p),
o v(f )|p .
77
78
CAP´ITULO 3. LA DIFERENCIAL, SUBVARIEDADES Y CAMPOS VECTORIALES
Se observa que v actua como un operador sobre el espacio vectorial de las
funciones diferenciables. Especificamente, si f es una funci´on diferenciable
sobre un conjunto abierto de p en Rn , entonces v asigna a f el n´
umero real
v(f ) que es la derivada direccional de f en la direcci´on de v en el punto p.
Esto es,
∂f ∂f d
f ◦ α = v1
+ · · · + vn
(3.1)
v(f ) =
dt
∂x1 p
∂xn p
t=0
La operaci´on del vector v sobre funciones diferenciables satisface dos propiedades importantes
v(f + λg) = v(f ) + λv(g)
v(f g) = g(p)v(f ) + f (p)v(g),
(3.2)
donde f y g son funciones diferenciables alrededor de p. y λ es un n´
umero
real. La primera propiedad dice que v actua linealmente sobre funciones
diferenciables y la segunda dice que v que satisface la regla del producto
o regla de Leibniz. Lo que proporciona que cada vector tangenta, en subconjuntos abiertos no vacios de Rn , se puedan ver como una derivaci´on.
Estas observaciones motiva nuestra definici´on de vector tangente sobre una
variedad diferenciable; que ser´an derivadas direccionales o bien derivaciones
lineales sobre funciones diferenciables.
Sea M = M m una variedad diferenciable y U un conjunto abierto en M,
entonces el conjunto de todas las funciones de clase C ∞ definidas sobre U
es un ´algebra conmutativa sobre R con las opraciones de suma, producto
por escalares y producto entre funciones como en los cursos de C´alculo y se
denota por C ∞ (U ).
Un vector tangente v en p ∈ U ⊆ M, U un conjunto abierto en la variedad
M es una funci´on v : C ∞ (U ) → R tal que
v(f + λg) = v(f ) + λv(g)
v(f g) = g(p)v(f ) + f (p)v(g),
(Regla de Leibniz)
(3.3)
(3.4)
para todo f, g ∈ C ∞ (U ) y λ ∈ R.
Si v, w son vectores tangentes y λ ∈ R, se define
(v + w)(f ) = v(f ) + w(f )
(λv)(f ) = λ v(f ),
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3.1. VECTORES TANGENTES Y ESPACIO TANGENTE
79
entonces con estas operaciones, el conjunto de todos los vectores tangentes
en el punto p ∈ M se transforma en un espacio vectorial, llamado espacio
tangente a M en el punto p y se denota con Tp M.
Lema 3.1.1 Sea M m una variedad diferenciable (U, ϕ) un sistema de coordenadas alrededor de p ∈ M, si v ∈ Tp M entonces
(a) v(1) = 0 y por lo tanto v(c) = 0 para todo escalar c,
(b) v (xi (x) − xi (p))(xj (x) − xj (p))gij (x) = 0.
Demostraci´
on. Para probar (a) se toma f = g = 1 y por la segunda
propiedad de vector tangente se tiene
v(1) = v(1) + v(1)
con lo que v(1) = 0 y as´ı v(c) = cv(1) = c0 = 0. Lo que demuestra (a).
La parte (b) se obtiene aplicando reiteradamente la regla de Leibniz de la
X
definici´on de vector tangente.
♦
Teorema 3.1.1 El espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensi´
on n en un punto tiene dimensi´
on n.
Demostraci´
on. Sea (U, ϕ) una carta de M con p ∈ U y sea V un subconjunto abierto de U tal que ϕ(V ) = B sea una bola abierta de Rn de centro
ϕ(p) = (a1 , · · · , an ) = a, (ver Figura 4.1). Sea f una funci´on de clase C ∞
sobre U y se escribe ϕ(x) = (x1 , · · · , xn ) y
F (x1 , · · · , xn ) = f ◦ ϕ−1 ϕ(x) .
U
M
V
p x
· .
f
f (x)
f (p)
ϕ
ϕ(V )
· ϕ(x)
.
ϕ(p)
f ◦ ϕ−1 = F
Rn
Figura 4.1
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
R
80
CAP´ITULO 3. LA DIFERENCIAL, SUBVARIEDADES Y CAMPOS VECTORIALES
Entonces, la polinomio de Taylor alrededor de ϕ(p) = a = (a1 , · · · , an ) viene
dada por
n X
∂F
(xi − ai )
F (x1 , · · · , xn ) = F (a1 , · · · , an ) +
∂xi ϕ(p)
i=1
+
n
X
i,j=1
(xi − ai )(xj − aj )Gi,j (x)
donde Gij es una funci´on diferenciable sobre un conjunto abierto que contiene al punto ϕ(p) = a. Entonces se puede transferir esta relaci´on de Rn a
M, produciendo
n X
∂F
f (x) = F (a) +
(xi (x) − xi (a))
∂x
i
ϕ(p)
i=1
+
n
X
(xi (x) − xi (a))(xj (x) − xj (a))gi,j (x)
i,j=1
donde xi es la i−´esima funci´on coordenada y gij es la funci´on con coordenadas
Gij (x1 , · · · , xn ).
Entonces por las propiedades de vector tangente como operador lineal diferenciable y el lema anterior, se tiene
n X
∂F
v(f ) = 0 +
v(xi ) + 0
∂xi ϕ(p)
i=1
esto es,
v(f ) =
n X
∂F
∂xi
i=1
vi ,
(vi = v(xi )).
(3.5)
ϕ(p)
Ahora, sea la funci´on
∂
ei =
:f →
∂xi
∂F
∂xi
.
ϕ(p)
Esto es,
∂
(f ) =
∂xi
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-
∂(f ◦ ϕ−1 )
∂xi
(3.6)
ϕ(p)
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3.1. VECTORES TANGENTES Y ESPACIO TANGENTE
con lo que
v(f ) =
n
X
vi
∂
(f )
∂xi
vi
∂
.
∂xi
i=1
es decir,
v=
n
X
i=1
81
Todo vector tangente en p es combinaci´on lineal del conjunto
∂
∂
;
,··· ,
∂x1
∂xn
para ver que este conjunto de vectores es linealmente independiente basta
tomar una combinaci´on lineal igualarla a cero y hacerla actuar sobre cada
funci´on coordenada para obtener que los coeficientes de dicha combinaci´on
l´ıneal son todos ceros.
Es inmediato que la estructura lineal en Tp M as´ı definida no depende de la
X
carta (U, ϕ) que se tome alrededor de p.
♦
Nota Cuando M k es una superficie regular en Rn , la funci´on dada en (3.6)
dice, exactamente, que este vector tangente en el punto p actua como la
derivada direccional de f a lo largo de la curva (ver Figura 4.2)
xi → ϕ−1 (a1 , · · · , ai−1 , xi , ai+1 , · · · , ak ),
ϕ(p) = (a1 , · · · , ak )
en variable xi ∈ (ai − ε, ai + ε) para alg´
un ε > 0 y por lo tanto el vector
tangente ∂/∂xi es (mejor, se identifica):
∂
∂ϕ−1
=
∂xi
∂xi
xn
0
∂
∂xi
•
a
ϕ−1
xi
•
p
M
Figura 4.2
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
82
CAP´ITULO 3. LA DIFERENCIAL, SUBVARIEDADES Y CAMPOS VECTORIALES
3.1.1.
La diferencial
Sean M m y N n variedades diferenciables y sea ϕ : M → N una funci´on
diferenciable. La diferencial ϕ∗ (o dϕ) de ϕ en p ∈ M es la funci´on (ver
Figura 4.3)
ϕ∗ : Tp M → Tϕ(p) N
ϕ∗ u
u
M
p
ϕ(p)
ϕ
f ◦ϕ
N
f
R
Figura 4.3: Diferenciabilidad
definida de la siguiente forma: sean u ∈ Tp M y f ∈ C ∞ (N ), entonces
ϕ∗ (u)(f ) = u(f ◦ ϕ)
o
dϕ(u)(f ) = u(f ◦ ϕ).
Para que esta definici´on quede bien hecha se debe demostrar que ϕ∗ (u)
es un vector tangente de N en ϕ(p). Esto es, se debe demostrar que la
funci´on ϕ∗ (u) : C ∞ (N ) → R es lineal y satisface la regla del producto.
Sean u, v ∈ Tp M y λ, µ ∈ R. Entonces de la definici´on de suma de vectores
tangentes,
ϕ∗ (λu + µv)(f ) =(λu + µv)(f ◦ ϕ)
=λu(f ◦ ϕ) + µv(f ◦ ϕ)
=λϕ∗ u(f ) + µϕ∗ v(f )
lo que muestra la linealidad. Para mostrar que la definici´on de diferencial
satisface la regla del Leibniz para el producto, sean f, g ∈ C ∞ (N ), entonces
ϕ∗ (u)(f g) =u (f g) ◦ ϕ = u[(f ◦ ϕ) · (g ◦ ϕ)]
=g(ϕ(p))u(f ◦ ϕ) + f (ϕ(p))u(g ◦ ϕ)
=g(ϕ(p))ϕ∗ (u)(f ) + f (ϕ(p))ϕ∗ (u)(g).
Lo que t´ermina la demostraci´on.
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3.1. VECTORES TANGENTES Y ESPACIO TANGENTE
N =R
p
R
ϕ∗ u
u
M
83
ϕ
f
ϕ(p)
Figura 4.4: Diferencial, caso particular
El caso especial N = R, es importante y proporciona la justificaci´on
del uso del t´ermino Diferencial.
Si ϕ : M → R es diferenciable y f ∈ C ∞ (R), entonces se tiene por definici´on
de diferencial que (ver Figura 4.4):
[dϕ(u)](f ) = u(f ◦ ϕ).
Como la variedad diferenciable N = R tiene asociada la u
´nica carta (R, id)
donde id es la funci´on identidad con una s´ola componente. Adem´as Tϕ(p) N =
Tϕ(p) R es uni-dimensional, y por lo tanto dϕ(u) y ∂/∂x (en R) son linealmente dependientes y as´ı
u(f ◦ ϕ) = [dϕ(u)](f ) = k
∂
(f )
∂x
donde k ∈ R. Tomando f (x) = id(x) = x se tiene u(ϕ) = k, por lo tanto,
[dϕ(u)](f ) = u(ϕ)
∂
(f ),
∂x
es decir, la u
´nica componente del vector dϕ(u) es u(ϕ). Con lo que se puede
establecer entonces un isomorfismo natural entre Tϕ(p) N y R identificando
cada vector tangente con su u
´nica componente; entonces se escribe
dϕ(u) = u(ϕ).
3.1.2.
(3.7)
Espacio cotangente
De nuevo se considera una variedad M de dimensi´on n y una carta (U, x)
con coordenadas (x1 , · · · , xn ) de un punto p ∈ M con x(p) = 0, entonces
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
CAP´ITULO 3. LA DIFERENCIAL, SUBVARIEDADES Y CAMPOS VECTORIALES
84
una base para Tp M asociada a esta carta es
∂
∂
.
,··· ,
∂x1
∂xn
Cada vector ∂/∂xi es una derivaci´on de la forma
f→
∂(f ◦ x−1 )
,
∂xi
con
f ∈ C ∞ (M ).
Como
∂(f ◦ x−1 )
∂
∂ (f ) =
.
=
∂xi
∂xi
∂xi
entonces se puede tomar f como la funci´on coordenada xi = πi ◦ x, y por
lo tanto, su expresi´on en coordenadas, xi ◦ x−1 (x1 , · · · , xn ) = xi con lo que
df
∂ ∂xi
= δij ,
=
∂xj
∂xj
por lo tanto, la base dual de ∂x∂ 1 , · · · , ∂x∂n es dx1 , · · · , dxn en (Tp M )∗
que se denotar´a con Tp∗ M y para cada punto de U. El espacio Tp∗ M se conoce
como espacio cotangente en el punto p. As´ı, un vector cotangente tiene
la forma
n
X
p∈U
(3.8)
ω=
ai (p) dxi ,
dxi
p
i=1
o simplemente, cuando no existe confusi´on
ω=
n
X
ai dxi ,
i=1
se puede escribir
ω=
n
X
i=1
En particular,
ω
p∈U
∂ dxi .
∂xi
(3.9)
(3.10)
1. si f : M → R es una funci´on diferenciable, entonces
df =
n
X
i=1
n
n
∂ X
X
∂(f ◦ x−1 )
∂
(f ) dxi =
dxi .
dxi =
df
∂xi
∂xi
∂xi
i=1
i=1
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3.1. VECTORES TANGENTES Y ESPACIO TANGENTE
85
2. Si u = (u1 , · · · , un ) entonces
df (u) =
n
n
X
X
∂(f ◦ x−1 )
∂(f ◦ x−1 )
dxi (u) =
.
ui
∂x
∂x
i
i
i=1
i=1
3. Como Tp M y Tp∗ M son espacios vectoriales de dimensi´on finita y con
igual dimensi´on, son algebraicamente isomorfos.
Teorema 3.1.2 Sean M, N, P variedades diferenciables y ϕ : M → N,
ψ : N → P funciones diferenciables. Entonces para cualquier p ∈ M
ψ∗ ◦ ϕ∗ = (ψ ◦ ϕ)∗ .
Se recuerda que por notaci´on ϕ∗ = dϕ. Adem´as que ϕ∗ toma valor en p, ψ∗
en ϕ(p) y (ϕ ◦ ψ)∗ en p (ver Figura 4.5)
u
M
p
N
ϕ
ψ∗ (ϕ∗ (u))
P
ψ(ϕ(p))
ϕ∗ u
ϕ(p)
ψ
f
R
Figura 4.5: Compuesta de Diferenciales
Demostraci´
on. Sean p ∈ M, u ∈ Tp M y f ∈ C ∞ (P ), (Figura 3.5), entonces por definici´on de una funci´on diferenciable
ψ∗ (ϕ∗ (u))(f ) = ϕ∗ (u)(f ◦ ψ) = u(f ◦ ψ ◦ ϕ) = (ψ ◦ ϕ)∗ (u)(f ).
Luego
ψ∗ ◦ ϕ∗ = (ψ ◦ ϕ)∗
Lo que t´ermina la demostraci´on.
X
♦
Como ϕ∗ es una tranformaci´on lineal sobre Tp M, se sigue entonces de
la teor´ıa elemental de espacios vectoriales que ϕ∗ (Tp M ) y el nucleo {u :
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
CAP´ITULO 3. LA DIFERENCIAL, SUBVARIEDADES Y CAMPOS VECTORIALES
86
ϕ∗ (u) = 0} son subespacios vectoriales de Tϕ(p) N y Tp M, respectivamente
y que
dim(rango de ϕ∗ ) + dim(nucleo ϕ∗ ) = dim Tp M.
El rango de ϕ∗ es por definici´on dim (ϕ∗ (Tp M )). Se define el rango de una
funci´on diferenciable ϕ : M → N en p como el rango de ϕ∗ en p. El rango
de ϕ es la dimensi´on de M si y s´olo si dim(nucleo (ϕ)) = 0, es decir, ϕ∗ es
inyectiva. Para determinar el rango de ϕ∗ es de gran utilidad trabajar en
un sistema de coordenadas.
Sea entonces p en el dominio U de la carta (U ; ϕ1 ) de M con sistema de
coordenadas (xi ) (i = 1, · · · , m) y sea ϕ(p) ∈ V dominio de la carta (V, ϕ2 )
de N con el sistema de coordenadas (yi ) (i =, 1, · · · , n). Sea f ∈ C ∞ (M ),
g ∈ C ∞ (N ). Entonces por el argumento dado en la prueba del Teorema
3.1.1 se tiene que
∂
∂(f ◦ ϕ−1
1 )
:f →
∂xi
∂xi
(i = 1, · · · , m),
∂
∂(g ◦ ϕ−1
2 )
:g→
∂yj
∂yj
(j = 1, · · · , n)
forman bases para Tp M y Tϕ(p) N, respectivamente y
ϕ∗ (
∂
∂
∂
)(g) =
(g ◦ ϕ) =
(g ◦ ϕ ◦ ϕ−1
1 ),
∂xi
∂xi
∂xi
pero
−1
−1
g ◦ ϕ ◦ ϕ−1
1 (x1 , · · · , xm ) = (g ◦ ϕ2 ) ◦ ϕ2 ◦ ϕ(p) = (g ◦ ϕ2 )(y1 , · · · , yn ).
donde (y1 , · · · , yn ) = ϕ2 ◦ ϕ(p) y ϕ1 (p) = (x1 , · · · , xm ) y as´ı
ϕ∗ (
i
∂
∂ h
)(g) =
(g ◦ ϕ−1
)(y
,
·
·
·
,
y
)
1
n
2
∂xi
∂xi
n ∂y X
∂(g ◦ ϕ−1
j
2 )
=
∂yj
ϕ2 (ϕ(p)) ∂xi ϕ1 (p)
j=1
=
n X
∂yj j=1
Por lo tanto,
∂
(g).
∂xi ϕ1 (p) ∂yj
n ∂ X
∂
∂yj =
ϕ∗
∂xi
∂xi ϕ1 (p) ∂yj
j=1
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3.1. VECTORES TANGENTES Y ESPACIO TANGENTE
Sea u =
Pm
i=1
87
ui ∂x∂ i ∈ Tp M entonces
ϕ∗ (u) =
m
X
i=1
i ∂
X h X ∂yj ∂
ui ϕ ∗ (
)=
.
ui
∂xi
∂xi ϕ1 (p) ∂yj
j=1
i=1
n
m
Pm
P
∂
i ∂
Esto significa que ϕ∗ ( m
i=1 ui ∂xi por un simple
i=1 u ∂xi ) se obtiene de u =
cambio de variables de xi a yj .
La funci´on ϕ∗ : Tp M → Tϕ(p) N tiene como matriz jacobiana J = [∂yj /∂xi ]m,n
i,j=1 .
La dimensi´on de ϕ∗ (Tp M ) es el rango de la matriz J.
Ejemplo 3.1.1 Demostrar que la funci´on identidad i : S 2 → R3 tiene rango
2.
Se usa el atlas de S 2 que tiene las cartas con dominio definido por x > 0,
x < 0, y > 0, y < 0, z > 0, y z < 0. Entonces, sobre el dominio dado por
x > 0, i es la funci´on
p
(y, z) → ( 1 − y 2 − z 2 , y, z)
y


J =

−y

p
1 0

1 − y2 − z2

−z

p
0 1
2
2
1−y −z
J tiene rango 2. El resto de las cartas en el atlas se tratan similarmente,
con lo que se concluye que i tiene rango 2.
3.1.3.
Fibrado tangente y cotangente
Sean M n una variedad diferenciable y T M el conjunto
T M = (p, u) : p ∈ M y u ∈ Tp M ,
(3.11)
entonces T M recibe el nombre de fibrado tangente de M. De igual manera, el conjunto T ∗ M es
T ∗ M = (p, u) : p ∈ M y u ∈ Tp∗ M ,
(3.12)
entonces T ∗ M recibe el nombre de fibrado cotangente de M.
Se demostrar´a que T M y T ∗ M son variedades diferenciables de dimensi´on
2n.
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
88
CAP´ITULO 3. LA DIFERENCIAL, SUBVARIEDADES Y CAMPOS VECTORIALES
Teorema 3.1.3 T M y T ∗ M son variedades diferenciables de dimensi´
on
2n.
Demostraci´
on. Se demostrar´a con detalle que T M es una variedad diferenciable. En efecto, sea (p0 , u0 ) ∈ T M, entonces p0 ∈ M y u0 ∈ Tp M,
por lo tanto, existe una carta de M, (Ui , ϕi ), con p0 ∈ Ui y con sistema de
coordenadas (x1 , · · · , xn ). Se considera la proyecci´on π : T M → M definida
por π(p, u) = p, y tambi´en
π −1 (Ui ) = (p, u) : p ∈ Ui .
Sea (p, u) ∈ π −1 (Ui ), entonces p tiene coordenadas (x1 , · · · , xn ) es decir
ϕi (p) = (x1 , · · · , xn )
y u es de la forma
u=
n
X
i=1
ai
∂
.
∂xi
La funci´on βi : π −1 (Ui ) → ϕi (Ui ) × Rn ⊆ R2n definida por
βi (p, u) = (x1 , · · · , xn , a1 , · · · , an )
es una funci´on inyectiva del abierto π −1 (Ui ) sobre el subconjunto abierto
ϕi (Ui ) × Rn de R2n .
Se toman los conjuntos π −1 (Ui ) como las vecindades coordenadas sobre
T M y estos con las biyecciones apropiadas βi forman un atlas de cartas que
cubren a T M. Para demostrar esta afirmaci´on se debe probar que las cartas
son compatibles. En efecto, sean Ui , Uj vecindades coordenadas sobre M
tal que p ∈ Ui ∩ Uj y con sistema de coordenadas (xi ), (yi ) (i = 1, · · · , n),
respectivamente y por lo tanto, las (xi ) (y sus derivadas) se relacionan con
las (yi ) ( y sus derivadas) difeomorficamente. Entonces (p, u) ∈ π −1 (Ui ∩Uj ),
u=
n
X
i=1
n
X ∂
∂
ai
=
bj
∂xi
∂yj
j=1
y como ∂/∂xi se puede expresar en t´erminos de ∂/∂yi , esto es,
n
X ∂
∂
=
,
cj
∂xi
∂yj
j=1
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3.2. INMERSIONES, SUBMERSIONES Y SUBVARIEDADES
89
calculando esta expresi´on en yk (k = 1, · · · , n) se obtiene
n
X ∂yj ∂
∂
=
∂xi
∂xi ∂yj
j=1
de donde
bj =
n
X
i=1
ai
∂yj
∂xi
Como cada ∂yj /∂xi es una funci´on diferenciable de xi , entonces cada bj es
una funci´on diferenciable de (a1 , · · · , an , x1 , · · · , xn ) y puesto que los yi son
funciones diferenciables de las xi , se concluye que las coordenadas
(x1 , · · · , xn , a1 , · · · , an )
y
(y1 , · · · , yn , b1 , · · · , bn )
estan relacionadas difeomorficamente. Con lo que T M es una variedad diferenciable de dimensi´on 2n.
La demostraci´on de que T ∗ M es una variedad diferenciable es paso a paso
similar, por lo tanto se deja como ejercicio.
X
♦
§ 3.2.
3.2.1.
Inmersiones, submersiones y subvariedades
Inmersiones y submersiones
Sean M m y N n variedades diferenciables y f : M → N una funci´on
diferenciable. Entonces f es una
´ n si dfp : Tp M → Tf (p) N es inyectiva para todo p ∈ M.
1. inmersio
´ n si dfp : Tp M → Tf (p) N es sobreyectiva para todo p ∈ M.
2. Submersio
Si f : M m → N n es una funci´on diferenciable, si f es una inmersi´on entonces
m ≤ n. Tambi´en f es una submersi´on, n ≤ m.
Ejemplo 3.2.1 La funci´on f : R → R2 definida por f (t) = (t2 − 1, t3 − t)
es una inmersi´on, pero no es una inmersi´on inyectiva (Figura 4.6).
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
90
CAP´ITULO 3. LA DIFERENCIAL, SUBVARIEDADES Y CAMPOS VECTORIALES
f
R2
Figura 4.6
Ejemplo 3.2.2 La funci´on f : R → R2 definida por f (t) = (t2 , t3 ) no es
una inmersi´on (Figura 4.7).
f
R2
Figura 4.7
Ejemplo 3.2.3 f : (0, ∞) → R2 definida por f (t) = (t cos t, t sen t) es una
inmersi´on inyectiva (Figura 4.8).
R2
f
Figura 4.8
Ejemplo 3.2.4 La funci´on f : R2 → R dada por f (x, y) = x + y es una
submersi´on, ya que la matriz Jacobiana es
1 1
y tiene rango 1.
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3.2. INMERSIONES, SUBMERSIONES Y SUBVARIEDADES
91
Antes de dejar el concepto de inmersi´on, que es demasiado amplio, se menciona lo que es una subvariedad inmersa.
3.2.2.
Subvariedades
Una subvariedad inmersa es la imagen, ϕ(M ), bajo una inmersi´on
inyectiva ϕ : M → N. Tambi´en se dice que el par (M, ϕ) es una variedad
inmersa en N. Siendo esta funci´on uno a uno, transporta sobre ϕ(M ) la
Topolog´ıa y la estructura diferenciable de M : los conjuntos abiertos de ϕ(M )
se definen como la imagen de los subconjuntos abiertos de M, y las cartas
de ϕ(M ) son de la forma
U2 = ϕ(U1 ),
ϕ2 = ϕ1 ◦ ϕ−1
donde (U1 , ϕ1 ) es una carta de M. Generalmente esta topolog´ıa para ϕ(M )
no necesariamente es la topolog´ıa de subespacio, pora tal efecto, se presenta
el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.2.5 Probar que el disco
D2 = (u, v) : u2 + v 2 < 1
como subvariedad inmersa de R2 es difeomorfo a R2 .
Soluci´
on Sea f : D2 → R2 definida por
x=
Entonces
u=
u
,
1 − u2 − v 2
2x
p
,
1 + 1 + 4x2 + 4y 2
y=
v=
v
.
1 − u2 − v 2
2y
p
1 + 1 + 4x2 + 4y 2
Ahora se puede demostrar con facilidad que f es biyectiva y que f y f −1
son diferenciables en todo punto.
Ejemplo 3.2.6 La funci´on ϕ : R → R2 definida por

1


 t , sen πt , 1 ≤ t < ∞
ϕ(t) = (0, t + 1),
−∞ ≤ t < 0



f (t),
(0 ≤ t ≤ 1)
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92
CAP´ITULO 3. LA DIFERENCIAL, SUBVARIEDADES Y CAMPOS VECTORIALES
donde f es una funci´on diferenciable, sin auto-intersecci´on, que une diferenciablemente con los puntos (1, 0) y (0,1) sin hacer intersecci´on con las
otras partes de la funci´on ϕ como en la Figura 4.9 (f se representa de forma
punteada).
1
1
ϕ
−1
Figura 4.9
La definici´on de ϕ muestra que es una inmersi´on inyectiva. Adem´as, cualquier vecindad de R2 de cada punto sobre el segmento que une los puntos
(0, −1) y (0, 1) contiene una infinitud de segmentos cada uno de los cuales
es imagen de un intervalo de R. Esto indica que la Topolog´ıa inducida por
ϕ, es decir, la Topolog´ıa que resulta al tomar como conjuntos abiertos en
ϕ(R) los que son imagen (bajo ϕ) de conjuntos abiertos en R, es por lo
tanto diferente de la Topolog´ıa heredada por los subconjuntos de R2 .
Si (M, ϕ) es una subvariedad inmersa en N, entonces la Topolog´ıa inducida
por ϕ sobre ϕ(M ) puede ser m´as fina que la heredada por ϕ(M ) como un
subconjunto de N ya que la continuidad de ϕ implica que la imagen inversa
de un conjunto abierto en ϕ(M ), es decir, la imagen inversa de un conjunto
de la forma ϕ(M )∩V, donde V es un conjunto abierto en N, es abierto en M ;
por lo tanto, pueden existir muchos conjuntos abiertos en M cuya imagen
en ϕ(M ) no sean de la forma ϕ(M ) ∩ V, con V un conjunto abierto en N.
Cuando esto no sucede, es decir, cuando la Topolog´ıa inducida es tambi´en
la Topolog´ıa heredada de subconjunto se tiene entonces una inmersi´on que
adem´as es un homeomorfismo. Lo que se precisa en la siguiente definici´on.
Definici´
on 3.2.1 Sean M, N variedades diferenciables y ϕ : M → N una
inmersi´on inyectiva. Entonces ϕ es un encaje (regular) si ϕ es un homeomorfismo de M sobre ϕ(M ) ⊆ N, con la Topolog´ıa que ϕ(M ) hereda como
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3.2. INMERSIONES, SUBMERSIONES Y SUBVARIEDADES
93
subconjunto de N, y en tal caso (M, ϕ) se dice que es una subvariedad
encajada de N o simplemente subvariedad (diferenciable) de N.
El siguiente ejemplo muestra una forma de encajar R en R3 .
Ejemplo 3.2.7 Sea ϕ : R → R3 definida por ϕ(t) = (cos t, sen t, t), ver
Figura 4.10,
z
ϕ
y
x
Figura 4.10
es un encaje de R en ϕ(R) ⊆ R3 y as´ı (R, ϕ) es una subvariedad de R3 . No
es la u
´nica forma de ver a R como una subvariedad de R3 .
Sea M un subconjunto de una variedad diferenciable N de dimensi´on n.
Entonces se dice que M es una subvariedad regular de dimensi´
on m
(m ≤ n), m−subvariedad regular si tiene la siguiente propiedad, llamada
propiedad de subvariedad regular: para cada p ∈ M que pertenece
al dominio U de una carta (U, ϕ) de N con funciones de coordenadas xi (i =
1, 2, · · · , n) se satisface
1. ϕ(p) = (0, · · · , 0)
2. ϕ(U ) = Cεn (0) (un cubo de radio ε y centro cero)
3. ϕ(U ∩ M ) = x ∈ Cεn (0) : xm+1 = · · · = xn = 0 . Con esta propiedad
las coordenadas xi se denominan perfectas o adaptadas.
Se demostrar´a que, cuando M ⊆ N y tiene la propiedad de m−subvariedad,
entonces
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94
CAP´ITULO 3. LA DIFERENCIAL, SUBVARIEDADES Y CAMPOS VECTORIALES
(a) M con la Topolog´ıa relativa es una variedad topol´ogica de dimensi´on m y cada carta (U, ϕ) de N define una carta (V, ϕ) de M con
V = U ∩ M y ϕ = π ◦ ϕ|V , donde π : Rn → Rm (m ≤ n) toma
(x1 , · · · , xm , · · · , xn ) y los envia a (x1 , · · · , xm ),
(b) las cartas definidas en (a) sobre M determinan una estructura diferenciable sobre M,
(c) relativo a esta estructura, la funci´on inclusi´on i : M → N es un encaje.
En efecto,
(a) Como M se asume con la topolog´ıa relativa, se observa que V = U ∩M
es un conjunto abierto en M por lo cual, como ϕ es un homeomorfismo
de V sobre Cεm = π(Cεn ) en Rm , (V, ϕ) es una carta en M. Sea (U, ϕ),
(U ′ , ϕ′ ) dos de tales cartas para el que V ∩ V ′ 6= ∅, donde V = U ∩
M, V ′ = U ′ ∩ M. Entonces, como ϕ y ϕ′ son homeomorfismos, ϕ′ ◦
ϕ −1 y ϕ ◦ ϕ′ −1 son homeomorfismo, con lo que M es una variedad
topol´ogica.
(b) Se desea demostrar que ϕ′ ◦ ϕ−1 es una funci´on deiferenciable. Sea la
funci´on ϕ′ ◦ϕ−1 dada en t´erminos de coordenadas por yi = fi (x1 , · · · , xn )
(i = 1, 2, · · · , n); estas funciones son diferenciables ya que N es una
variedad diferenciable. De esto sigue entonces que ϕ′ ◦ ϕ−1 es dada en
t´erminos de coordenadas por
yi = fi (x1 , · · · , xm , 0 · · · , 0)
(i = 1, · · · , m)
y as´ı estas funciones son diferenciables. Por lo tanto, a M puede dotarsele de una estructura diferenciable.
(c) La funci´on inclusi´on i : M → N es dada en t´erminos de coordenadas
perfectas por
(x1 , · · · , xm ) → (x1 , · · · , xm , 0, · · · , 0)
y es naturalmente una inmersi´on. Como en M ha sido dada la Topolog´ıa relativa, tiene la Topolog´ıa relativa sigue entonces que i es un
encaje.
Sea N una variedad diferenciable. Entonces una subvariedad regular de
N es cualquier subconjunto M de N tales que
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3.2. INMERSIONES, SUBMERSIONES Y SUBVARIEDADES
95
(a) est´a dotada de la Topolog´ıa relativa,
(b) posee la propiedad de subvariedad y
(c) tiene la estructura diferenciable asociada con las coordenadas perfectas.
Se ha definido subvariedad inmersa, encajada y tambi´en subvariedad (regular) de una variedad diferenciable. Como la Topolog´ıa de las variedades
inmersas no necesariamente es la Topolog´ıa heredada (relativa a los subconjutos) pareciera que tuvieran menos inter´es que las otras, pero no es as´ı,
existe mucha literatura sobre este tema. Se ha visto que, cuando un subconjunto M de una variedad diferenciable N de dimensi´on n tiene la propiedad
de m−subvariedad, entonces la inclusi´on i : M → N es un encaje y por
lo tanto la Topolog´ıa de la subvariedad es la misma que la heredada como
subconjunto. Para continuar con este tema se enuncia un Teorema, muy
bien conocido, de C´alculo en Rn que se utilizar´a en la discusi´on.
Teorema 3.2.1 (Teeorema del rango). Sean A0 , B0 conjuntos abiertos
en Rm y Rn , respectivamente y f : A0 → B0 una funci´on diferenciable de
rango k sobre cada punto de A0 . Si a ∈ A0 , b = f (a) ∈ B0 , entonces existen
conjuntos abiertos A ⊆ A0 , B ⊆ B0 con a ∈ A, b ∈ B y difeomorfismos
g :A → U (abierto) ⊆ Rm
h :B → V (abierto) ⊆ Rn
(3.13)
tal que h ◦ f ◦ g −1 (U ) ⊆ V y tiene la forma
h ◦ f ◦ g −1 (x1 , · · · , xm ) = (x1 , · · · , xk , 0, · · · , 0)
las vecindades U y V se pueden escoger como bolas abiertas U = Bεm , V =
Bεn o como cubos abiertos U = Cεm , V = Cεn , en todos los casos, para alg´
un
ε > 0. (Boothby,47-50)
Corolario 3.2.1.1 Sean M m , N n variedades diferenciables y f : M → N
una funci´on diferenciable de rango k (k ≤ m) en cada punto de M. Entonces
si p ∈ M, existen cartas (U, ϕ), (V, ψ) con p ∈ U, f (p) ∈ V tal que ϕ(p) =
(0, · · · , 0) ψ(f (p)) = (0, · · · , 0) y
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 (x1 , · · · , xm ) = (x1 , · · · , xk , 0, · · · , 0)
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96
CAP´ITULO 3. LA DIFERENCIAL, SUBVARIEDADES Y CAMPOS VECTORIALES
Demostraci´
on. Si p ∈ M, q = f (p) ∈ N, existen entonces cartas (U1 , ϕ1 )
(V1 , ψ1 ) con p ∈ U1 q = f (p) ∈ V1 y el Corolario se establece cuando se
aplica el Teorema del rango a la funci´on diferenciable de rango k :
m
n
ψ1 ◦ f ◦ ϕ−1
1 : ϕ(U1 ) ⊆ R → ψ(V1 ) ⊆ R .
X
♦
Lo que t´ermina la demostraci´on.
El concepto de subvariedad inmersa es m´as d´ebil que subvariedad encajada.
Adem´as el siguiente Teorema muestra que el concepto de subvariedad encajada es el mismo que subvariedad regular y por lo tanto, permite usarlos de
una o de otra forma sin hacer diferencia alguna.
Teorema 3.2.2 Sea ϕ : N ′ → M un encaje de una variedad diferenciable
de dimensi´
on n en una variedad diferenciable M de dimensi´
on m. Entonces
N = ϕ(N ′ ) tiene la propiedad de subvariedad y por lo tanto, una subvariedad
regular.
De ahora en adelante se usar´a el nombre de subvariedad para indicar
subvariedad regular o encajada.
Demostraci´
on. Sea q = f (p) un punto en N, entonces existen, por el
corolario del Teorema del rango, vecindades coordenadas cubicas (U, ϕ) de
p, (V, ψ) de q = f (p) tal que
(a) ϕ(p) = (0, · · · , 0) ∈ Cεn (0) = ϕ(U ),
(b) ψ(q) = (0, · · · , 0) ∈ Cεm (0) = ψ(V )
(c) la funci´on f U est´a dada en coordenadas locales
F U = ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : (x1 , · · · , xn ) → (x1 , · · · , xn , 0, · · · , 0)
(3.14)
Si f (U ) = V ∩ N, entonces la vecindad coordenada debe ser perfecta
relativo a N. Para asegurar esta situaci´on se debe usar el hecho que
f es un encaje, este hecho implica que al menos f (U ) es un conjunto
abierto de N, es decir
f (U ) = W ∩ N
donde W es un conjunto abierto en M.
Como f (U ) ⊆ V, no se pierde generalidad si se supone que W ⊂ V.
As´ı que ψ(W ) es un subconjunto abierto de Cεm (0) que contiene al
origen y
ψ(W ) ⊆ ψ(f (U ))
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3.2. INMERSIONES, SUBMERSIONES Y SUBVARIEDADES
97
que es una porci´on S de Cεm (0) y
S = x ∈ Cεm (0) : xn+1 = · · · = xm = 0 .
Por lo tanto, se escoge un cubo abierto (lo m´as peque˜
no posible)
Cδm (0) ⊆ ψ(W ) y V ′ = ψ −1 (Cδm (0)), ψ ′ = ψ V .
Esto es una vecindad coordenada de q para la cual
f (U ) ∩ V ′ = (W ∩ N ) ∩ V ′ = V ′ ∩ N.
Adem´as, tomando
U ′ = ϕ−1 (Cδn ) = f −1 (V ′ )
se observa que (U ′ , ϕ′ ) y (V ′ , ψ ′ )) tienen las propiedades necesitadas,
esto es, (a),(b) y (c) de subvariedad regular y
f (U ′ ) = V ′ ∩ N.
Esto demuestra simultaneamente que N tiene la propiedad de n−subvariedad
regular y que f es un difeomorfismo. Lo u
´ltimo (difeomorfismo) es
′
verdadero ya que la inversa de f : N → N = f (N ′ ) se expresa en
coordenadas perfectas (V ′ , π ◦ ψ ′ ) y (U ′ , π ◦ ϕ′ ) por
[(π ◦ ψ ′ ) ◦ f ◦ (ϕ′ )−1 ]−1 (x1 , · · · , xn ) = (x1 , · · · , xn ).
que claramente es diferenciable.
Lo que demuestra el Teorema.
X
♦
Teorema 3.2.3 Si f : N → M es una inmersi´on inyectiva y N es compacto, entonces f es un encaje y N = f (N ) es una subvariedad de M.
Demostraci´
on. Como tiene una funci´on f continua, ambas variedades N
y N , con la Topolog´ıa de subespacio, son de Hausdorff, entonces se tiene
una funci´on continua e inyectiva de un espacio compacto a un espacio de
Hausdorff. Como un subconjunto cerrado K de N es compacto, entonces
f (K) es compacto y por lo tanto cerrado. As´ı f envia subconjuntos cerrados
de N a subconjuntos cerrados de N y siendo uno a uno y sobre envia
tambi´en subconjuntos abiertos en subconjuntos abiertos. Por lo tanto, f −1
es continua as´ı f : N → N es un homeomorfismo y por lo tanto, un encaje.
X
El resto del Teorema sigue del anterior.
♦
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
98
CAP´ITULO 3. LA DIFERENCIAL, SUBVARIEDADES Y CAMPOS VECTORIALES
Teorema 3.2.4 Sean M m , N n variedades diferenciables y f : M → N una
funci´on diferenciable de rango k (k ≤ m) en cada punto de M. Entonces
para cada punto q ∈ f (M ), f −1 (q) es una subvariedad regular cerrada en
M de dimensi´
on m − k.
Demostraci´
on. Sea A = f −1 (q) subconjunto de M es la imagen inversa del
conjunto cerrado {q} bajo una funci´on continua, por lo tanto, A es cerrado.
Sea p ∈ A. Como f tiene rango k, entonces el Corolario del Teorema del
rango proporcionan cartas (U, ϕ) (V, ψ) con p ∈ U, q ∈ V tal que
ϕ(p) = (0, · · · , 0),
ϕ(U ) = Bεm (0),
ψ(q) = (0, · · · , 0),
ψ(V ) = Bεn (0)
y que en t´erminos de las coordenadas locales, f est´a dada por
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 (x1 , · · · , xm ) = (x1 , · · · , xk , 0, · · · , 0)
En particular, si x = (x1 , · · · , xm ) ∈ ϕ(A ∩ U ), entonces
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 (x1 , · · · , xm ) = ψ(q) = (0, · · · , 0),
con lo que
n
o
ϕ(A ∩ U ) = (x1 , · · · , xm ) ∈ Bεm (0) : ψ ◦ f ◦ ϕ−1 (x1 , · · · , xm ) = (0, · · · , 0)
n
o
= (x1 , · · · , xm ) ∈ Bεm (0) : x1 = · · · = xk = 0 .
(3.15)
Por lo tanto, A = f −1 (q) tiene la propiedad de (m − k)−subvariedad y as´ı A
X
es una subvariedad regular de M de dimensi´on m − k.
♦
§ 3.3.
Campos vectoriales
Sea M n una variedad diferenciable y T M su fibrado tangente. Un campo vectorial X sobre M es una funci´on
X : M → TM :
p → X(p) = Xp ∈ Tp M.
El campo se dice diferenciable si la funci´on X : M → T M es diferenciable.
Al considerar una carta (U, x) de M, es posible escribir el campo X en esta
carta
n
X
∂
(3.16)
X(p) =
Xpi
i
∂x
i=i
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
3.3. CAMPOS VECTORIALES
99
donde cada X i : U → R donde p → X i (p) = Xpi es una funci´on en U y ∂x∂ i
es la base asociada con X, (i = 1, 2, · · · , n). Es claro que X es diferenciable
si y s´olo si las funciones X i son funciones diferenciables para alguna (por lo
tanto, para toda) carta.
Es conveniente utilizar la idea mostrada en 3.16 y pensar cada campo de
vectores como una derivaci´on X : D → F del conjunto D de las funciones
diferenciables en M en el conjunto F de las funciones en M, definidas por
(Xf )(p) = Xp (f ) =
n
X
i=1
Xpi
∂F ∂xi x(p)
(3.17)
donde F = f ◦ x−1 es la expresi´on de f en la carta (U, x). Es inmediato
verificar que, la funci´on Xf obtenida en 3.17 no depende de la escogencia
de la carta.
Se observa que si ϕ : M → M es un difeomorfimo y f : M → R una funci´on
diferenciable en una vecindad de ϕ(p), entonces
dϕ(v)(f )
= v(f ◦ ϕ)
o
dϕ(v)(f )
= v(f ◦ ϕ)(p) (3.18)
ϕ(p)
3.3.1.
p
ϕ(p)
Corchete de Lie
La interpretaci´on de un campo de vectores X sobre una variedad diferenciable como un operador diferenciable en C ∞ (M ) permite considerar
iteraciones de X. Por ejemplo, se X e Y son campos vectoriales sobre M
y f : M → R es una funci´on diferenciable, se puede considerar X(Y f ) y
Y (Xf ). En general, estas operaciones no conducen a campos vectoriales por
que contienen derivadas de orden dos, pero el siguiente Lema proporciona
una salida.
Lema 3.3.1 Sea X, Y campos vectoriales diferenciables sobre una variedad
diferenciable M. Entonces existe un u
´nico campo vectorial Z tal que, para
∞
todo f ∈ C (M ),
Zp f = Xp (Y f ) − Yp (Xf ).
para cada p en M.
Demostraci´
on.
Primero se demuestra la unicidad bajo el supuesto que existe. Por lo tanto,
sea p un punto de M n y (U, x) con coordenadas (x1 , · · · , xn ) una carta de
M con p ∈ U.
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
100
CAP´ITULO 3. LA DIFERENCIAL, SUBVARIEDADES Y CAMPOS VECTORIALES
(a) Unicidad. Si
X=
X
Xi
i
∂
,
∂xi
Y =
X
Yj
j
∂
∂xj
las expresiones de X e Y en esta carta. Entonces para todo f ∈
C ∞ (M ), y con expresi´on en estas coordenadas f ◦ x−1 , denotada con
la misma f, y omitiendo el punto p :
X
∂ 2f
∂f X ∂Yj ∂f
=
X
+
X
Y
i
i j
∂xj
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj
i,j
i,j
j
(3.19)
X ∂f X ∂X ∂f
X
∂ 2f
i
Y Xf =Y
Xi i =
Yj j i +
Xi Y j i j .
∂x
∂x ∂x
∂x ∂x
i
i,j
i,j
XY f =X
X
Yj
Por lo tanto, Z, en esta carta, est´a dada por
X ∂Yj ∂f
∂Xi ∂f Xi i j − Y j j i
∂x ∂x
∂x ∂x
i,j
X X ∂Yi
∂Xi ∂f
=
Xj j − Y j j
∂x
∂x ∂xi
i
j
Z(f ) =XY f − Y Xf =
Con lo que
X ∂Yi
∂Xi Zi =
Xj j − Yj j
∂x
∂x
j
(3.20)
(3.21)
(b) Existencia. Se define Zα en cada vecindad coordenada Uα de la estructura diferenciable (Ui , xi ) de M por la expresi´on anterior. Por la
unicidad, Zi = Zj en xi (Ui ) ∩ xj (UJ ) 6= ∅, lo que permite definir Z en
toda la variedad M.
X
♦
Definici´
on 3.3.1 (Corchete de Lie) Sea X, Y campos vectoriales diferenciables sobre una variedad diferenciable M, se define el campo vectorial
[X, Y ], llamado Corchete de Lie por
[X, Y ]p f = Xp (Y f ) − Yp (Xf ).
para cada p en M. Esto es [X, Y ] = XY − Y X.
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3.4. CURVA INTEGRAL DE UN CAMPO VECTORIAL
3.3.2.
101
Propiedades del corchete de Lie
La operaci´on corchete de Lie tiene las siguientes propiedades
Proposici´
on 3.3.1 Sean X, Y y Z campos vectoriales diferenciables sobre
M, a, b ∈ R y sean f, g : M → R funciones diferenciables, entonces
(a) Anticonmutatividad
[X, Y ] = −[Y, X].
(b) Linealidad
[aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z]
(c) Identidad de Jacobi
[[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0
(d) [f X, gY ] = f g[X, Y ] + f X(g)Y + −gY (f )X.
Demostraci´
on. Son inmediato (a) y (b). Para demostrar (c), se observa
que
[[X, Y ], Z] =[XY − Y X, Z] = XY Z − Y XZ − ZXY + ZY X
[[Y, Z], X] =[Y Z − ZY, X] = Y ZX − ZY X − XY Z + XZY
[[Z, X], Y ] =[ZX − XZ, Y ] = ZXY − XZY − Y ZX + Y XZ
al sumar estas igualdades miembro a miembro y usando (a) se concluye (c).
Finalmente, se demuestra (d)
[f X, gY ] =f X(gY ) − gY (f X) = f gXY + f X(g)Y − gf Y X − gY (f )X
=f g[Y, Y ] + f X(g)Y − gY (f )X
X
♦
§ 3.4.
Curva integral de un campo vectorial
Como una variedad diferenciable es localmente difeomorfa a un Rn , el
Teorema fundamental de existencia, unicidad y dependencia de las condiciones iniciales de las ecuaciones diferenciables ordinarias, que es un Teorema
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
102
CAP´ITULO 3. LA DIFERENCIAL, SUBVARIEDADES Y CAMPOS VECTORIALES
local, se extiende naturalmente a las variedades diferenciables. Es necesario
enunciarlo explicitamente para usarlo posteriormente.
Sea X un campo vetorial diferenciable en una variedad diferenciable M y
sea p ∈ M. Entonces existen una vecindad U ⊆ M de p, un intervalo (−δ, δ),
δ > 0 y una funci´on diferenciable ϕ : (−δ, δ) × U → M tales que la curva
t → ϕ(t, q)
t ∈ (−δ, δ),
q∈U
es la u
´nica curva que satisface

 ∂ϕ
= X(ϕ(t, q))
∂t
ϕ(0, q) = q.
(3.22)
Una curva α : (−δ, δ) → M que satisface la condici´on α′ (t) = X(α(t)) con
α(0) = q se llama curva integral o trayectoria del campo X que pasa por el
punto q cuando t = 0. Tambi´en se garantiza que por cada punto de cierta
vecindad pasa una u
´nica curva integral de X y que la funci´on as´ı obtenida
depende diferenciablemente t y de la condici´on inicial q. Tambi´en se utiliza
la notaci´on ϕt (q) = ϕ(t, q) y llamar ϕt : U → M el flujo local de X. Bajo
estas condiciones se tiene el siguiente Lema.
Lema 3.4.1 Existe δ > 0 tales que si |r| < δ, |s| < δ, |t| < δ, |s + t| < δ y
|r + s + t| < δ, entonces
(a) ϕs ◦ ϕt = ϕt ◦ ϕs = ϕs+t ,
(b) ϕr ◦ (ϕs ◦ ϕt ) = (ϕr ◦ ϕs ) ◦ ϕt = ϕr+s+t ,
(c) ϕ0 es la funci´on identidad,
(d) ϕ−1
t = ϕ−t .
La colecci´on de funciones ϕt recibe el nombre de subgrupo local 1-param´etico
Demostraci´
on. Para demostrar (a) basta ver que las funciones
F (t) = ϕ(s + t, q),
G(t) = ϕ(t, ϕ(s, q)) y
H(t) = ϕ(s, ϕ(t, q))
satisfacen 3.22 y por lo tanto iguales en una vacindad.
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X
♦
3.5. FLUJO DEL CORCHETE DE LIE
§ 3.5.
103
Flujo del corchete de Lie
El prop´osito es presentar de manera simple, una prueba de la interpretaci´on geom´etrica, muy bien conocida, del corchete de Lie en variedades
diferenciables.
Todas las funciones, curvas y campos de vectores son de clase C ∞ sobre una
variedad diferenciable M.
Primero se extiende el Teorema de Taylor de funciones de una variable real
a la composici´on f ◦ φ, donde φ es el flujo de X. En lo que sigue 0(n), para
es acotado para
n un entero positivo, denota una cantidad para la cual 0(n)
tn
t peque˜
no.
Lema 3.5.1 Teorema de Taylor para curvas integrales. Sea φ
una curva integral para un campo vectorial X y si f es una funci´
on diferenciable a valor real definida en un conjunto abierto de la imagen de φ,
entonces
dk
(a) k (f (φ(t))) = X k (f (φ(t)))
dt
(b) El Teorema de Taylor en una variable proporciona
n
X
tk k
f (φ(t)) − f (φ(0)) =
(X f )(φ(0)) + 0(n + 1)
k!
k=1
Demostraci´
on.
(a) Bajo hip´otesis
d
(f (φ(t))) = f ′ ◦ φ′ (t) = f ′ ◦ X ◦ φ(t).
dt
De igual manera
d
d2
(f
(φ(t)))
=
(X ◦ f (φ(t))) = (X ◦ f )′ ◦ φ′ (t)
dt2
dt
=(X ◦ f )′ ◦ X ◦ φ(t) = X 2 (f (φ(t)).
Y siguiendo por inducci´on
i
dk+1
d h dk
d
(f
◦
φ)(t)
=
(f
◦
φ)(t)
= [X k ◦ f ◦ φ(t)]
k+1
k
dt
dt dt
dt
k
′
=(X ◦ f ) ◦ X ◦ ϕ(t) = X k+1 (f (ϕ(t))).
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
104
CAP´ITULO 3. LA DIFERENCIAL, SUBVARIEDADES Y CAMPOS VECTORIALES
(b) Por el Teorema de Taylor en una variable se tiene
n
X
tk dk f
(φ(t))
+ 0(n + 1)
f (φ(t)) − f (φ(0)) =
t=0
k! dtk
k=1
Y por la parte (a) se tiene
f (φ(t)) − f (φ(0)) =
n
X
tk
k=1
k!
(X k f )(φ(0)) + 0(n + 1)
X
♦
Lo que prueba el Lema.
Ahora se consideran X e Y campos vectoriales diferenciables en una variedad diferenciable M = M n . Sean φ(t) y ψ(t) los flujos generados por X e
Y. Como [X, Y ] tambi´en es un campo vectorial diferenciable sobre M, ¿cu´al
es su flujo?. Se afirma que el flujo generado por el corchete de Lie [X, Y ] es
en el siguiente sentido de la comutaci´on de los dos flujos.
Teorema 3.5.1 Sea p ∈ M y σ la curva
σ(t) := ψ−t ◦ φ−t ◦ ψt ◦ φt p.
(3.23)
Entonces para cualquier funci´on diferenciable f
√
√
f [σ( t)] − f [σ( 0)]
[X, Y ](f ) = l´ım
t→0
t
(3.24)
Y
2 = ψ(t)1
•
• 3 = φ(−t)2
σ
4 = ψ(−t)3
X
•
•
p=0
X
Y
•
1 = φ(t)0
[X, Y ](p) es tangente a esta curva
Figura 4.11
Demostraci´
on. (Richard Faber): Como en el proceso de la Figura 4.11;
sean 0, 1, 2, 3, 4 los vertices de la curva integral rota de X e Y. Es decir,
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3.5. FLUJO DEL CORCHETE DE LIE
105
del v´ertice 0 al 1 se actua por el flujo de φ(t) del campo X; del v´ertice 1 al
2 se actua por el flujo de ψ(t) del campo Y ; del v´ertice 2 al 3 se actua por
el flujo de φ(−t) del campo X y por ultimo, del v´ertice 3 al 4 se actua por
el flujo de ψ(−t) del campo Y : Sea f una funci´on diferenciable. De
f (σ(t)) − f (0) = [f (4) − f (3)] + [f (3) − f (2)] + [f (2) − f (1)] + [f (1) − f (0)]
(3.25)
Aplicando el Teorema de Taylor a la funci´on g0 (t) = f (φ(t)), donde X0
denota X(0) = X(φ(0)), y as´ı sucesivamente, se tiene
2
t
X0 {X(f )} + 0(3)
(3.26)
f (1) − f (0) = tX0 (f ) +
2
0(3)
donde 2 → 0 cuando t → 0.
t
Tambi´en
t2 Y1 {Y (f )} + 0(3).
(3.27)
f (2) − f (1) = tY1 (f ) +
2
Sea g1 (t) = Yφt 0 Y (f (φ(t))) , entonces por la parte (b) del Lema se tiene
Y1 {Y (f )} = Y0 Y (f ) + tX0 [Yt Y (f ) ] + 0(2).
(3.28)
Por lo tanto, reemplazando (6) en (5)
2 n
o
t
Y0 Y (f ) + tX0 [Yt Y (f ) ] + 0(2) + 0(3)
f (2) − f (1) =tY1 (f ) +
2
2
t
Y0 Y (f ) + 0(3).
=tY1 (f ) +
2
(3.29)
Repitiendo el proceso anterior sobre ψ(−t) se tiene
2
t
f (3) − f (2) = −tX2 (f ) +
X2 (X(f )) + 0(3)
(3.30)
2
Sea g2 (t) = Xφt 1 X(f (φ(t))) , entonces aplicando la parte (b) del Lema a
esta funci´on se tiene
X2 (X(f )) = X0 X(f ) + tX0 [Xt X(f ) }] + 0(2).
(3.31)
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
106
CAP´ITULO 3. LA DIFERENCIAL, SUBVARIEDADES Y CAMPOS VECTORIALES
Reemplazando (9) en (8) se tiene
2 n
o
t
X0 X(f ) + tX0 [Xt X(f ) ] + 0(2) + 0(3)
f (3) − f (2) = − tX2 (f ) +
2
2
t
= − tX2 (f ) +
X0 X(f ) + 0(3).
2
(3.32)
Tomando g3 (t) = f (ψ(−t)) y por la parte (b) del lema,
2
t
Y3 Y (f ) + 0(3)
f (4) − f (3) = − tY3 +
2
2
t
= − tY3 (f ) +
Y0 Y (f ) + 0(3).
(por (6))
2
(3.33)
Reemplazando (4), (7), (10) y (11) en (3) se obtiene
f (4) − f (0) = t X0 (f ) + Y1 (f ) − X2 (f ) − Y3 (f ) + t2 [X0 {X(f )} + Y0 {Y (f )}] + 0(3)
= − t X2 (f ) − X0 (f ) + Y3 (f ) − Y1 (f ) + t2 [X0 {X(f )} + Y0 {Y (f )}] + 0(3)
(3.34)
Observe que
X2 (f ) − X0 (f ) = [X2 (f ) − X1 (f )] + [X1 (f ) − X0 (f )],
(3.35)
entonces usando la parte (b) del Lema cong4 (t) = Xψt 1 (f (ψ(t))) se tiene
X2 (f ) − X1 (f ) = tY1 (X(f )) + 0(2)
(3.36)
De manera an´aloga, pero usando la funci´on g5 (t) = Xφt 0 (f (φ(t))) se tiene
X1 (t) − X0 (f ) = tX0 (X(f )) + 0(2)
(3.37)
Reemplazando (14) y (15) en (13) se tiene
X2 (f ) − X0 (f ) =tX0 (X(f )) + tY1 (X(f )) + 0(2)
=tX0 (X(f )) + tY0 (X(f )) + 0(2)
por (6)
De Manera an´aloga
Y3 (f ) − Y1 (f ) = Y3 (f ) − Y2 (f ) + Y2 (f ) − Y1 (f )
= − tX2 (Y (f )) + tY1 (Y (f )) + 0(2)
= − t[X0 (Y (f )) + 0(2)] + t[Y0 (Y (f )) + 0(2)]
= − tX0 (Y (f )) + tY0 (Y (f )) + 0(2)
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
(3.38)
(por (16) y (6))
(3.39)
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3.6. EJERCICIOS
107
Reemplazando (16) y (17) en (12) se obtiene
f (4) − f (0) =t2 [X0 (Y (f )) − Y0 (X(f ))] + 0(3)
(3.40)
Con lo que
f (σ(t)) − f (σ(0))
= [X, Y ](f )
t→0
t2
l´ım
X
♦
§ 3.6.
Ejercicios
1. Calcular una base para el espacio tangente Tp M cuando
a) M = S 2 , p = ( 12 , 21 ,
√
2
)
2
b) M = {(x, y, x2 + y 2 ) : x, y ∈ R}, p = (2, 0, 4)
2. Sea M una k−variedad diferenciable, verificar entonces que Tp M y
Tp∗ M son k−variedades orientables
3. Sea M k una variedad diferenciable, verificar entonces que T M y T ∗ M
son variedades orientables.
4. Demostrar que si (U, ϕ) es una carta de una variedad diferenciable
M k , con funciones de coordenadas x1 , · · · , xk , entonces
h ∂
∂ i
,
=0
∂xi ∂xj
sobre U.
5. Un campo vectorial se dice completo si el dominio de cualquier curva integral se puede extender a todo R. Determinar si los campos
vectoriales
∂
∂
+ x1
,
∂x1
∂x2
∂
∂
b) X = −ex1
+
∂x1 ∂x2
∂
∂
c) X = (x1 − x2 )
+ x2
∂x1
∂x2
a) X = −x2
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
108
CAP´ITULO 3. LA DIFERENCIAL, SUBVARIEDADES Y CAMPOS VECTORIALES
d ) X = (x1 − x2 )
∂
∂
+ (x1 + x2 )
∂x1
∂x2
son completos sobre R2
6. Sea φ una curva integral de un campo vectorial X sobre una k−superficie
M y f ∈ C ∞ (M ), entonces probar que
a)
dj
(f (φ(t))) = X j (f (φ(t))),
dtj
Xj = X
· · ◦ X}
| ◦ ·{z
j−copias de X
b) El Teorema de Taylor para curvas integrales est´a dado por
f (φ(t)) − f (φ(0)) =
n
X
tj
j=1
j!
(X j f )(φ(0)) + 0(n + 1),
donde 0(n), con n un entero positivo, denota una cantidad para
O(n)
el que n est´a acotado para t suficientemente peque˜
no.
t
7. Sea f : Rn → R una funci´on diferenciable. Probar que si c ∈ Imf ⊆ R
es un valor regular de f, entonces la (n − 1)−superficie M = f −1 (c)
es orientable.
8. Usar el ejercicio anterior para demostrar que
o
n
x2 x2 x2
M = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : 21 + 22 + 23 = 1
a
b
c
con a > 0, b > 0 y c > 0 es orientable.
9. Usar campos vectoriales normales para dar otra demostraci´on de la
no orientabilidad Banda de M¨obius.
10. Si [f X, Y ] = f [X, Y ] para todos los campos vectoriales X, Y sobre
una variedad diferenciable M, ¿qu´e puede decir de f ?.
11. Sea f : R2 → R la funci´on dada por f (x, y) = x2 − y 2 , ¿es f −1 (0) una
subvariedad de R2 ?
12. Sean M y N variedades diferenciables y ϕ : M → N una funci´on
diferenciable. Dos campos diferenciables X sobre M y X1 sobre N se
dicen ϕ−relacionados, si dϕ ◦ X = X1 ◦ ϕ. Demostrar,
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
3.6. EJERCICIOS
109
a) si adem´as, Y est´a ϕ−relacionado con Y1 , entonces [X, Y ] est´a ϕ−relacionado
con [X1 , Y1 ];
b) los campos vectoriales diferenciables que son ϕ−relacionados (con
el corchete de Lie) son anticonmutativos y satisfacen la identidad
de Jacobi.
13. Probar que B n = {(x1 , · · · , xn ) : x21 + · · · + x2n < 1} como subvariedad
de Rn es difeomorfa a Rn .
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110
CAP´ITULO 3. LA DIFERENCIAL, SUBVARIEDADES Y CAMPOS VECTORIALES
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-
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Cap´ıtulo 4
Derivaci´
on en variedades
§ 4.1.
Introducci´
on
Sea M n una variedad diferenciable. Entonces, para cada punto p ∈ M,
existe un espacio Tp M de dimensi´on n y su espacio dual Tp∗ M tambi´en es
de dimensi´on n. Cada vez que se toma un elemento de Tp M (o en Tp∗ M )
en cada punto p ∈ M, se obtiene un campo vectorial (o covectorial) sobre M y tomando producto tensorial de estos de espacios se puede definir
un campo tensorial de caracter covariante, contravariante o mixto sobre
M. Este cap´ıtulo estudiar´a de manera introductoria estos tipos de campos
vectoriales, para construir nuevas variedades en donde se pueden llevar los
argumentos del C´alculo Diferencial.
§ 4.2.
Fibrados tensoriales
´
Se extender´an las ideas elementales del Algegra
Multilineal a variedades
diferenciables para usarlas en la construcci´on de nuvas variedades importantes en el desarrollo de la Geometr´ıa Diferencial, con este argumento,
entonces extender poseriormente los conceptos fundamentales del C´alculo
Diferencial en Rn o mejor del C´alculo Euclideo a este nuevo terreno.
Definici´
on 4.2.1 Sea M = M n una variedad diferenciable. Se define
111
´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
112
(a)
Trs (M ) =
[
Trs (Tp M )
(fibrado tensorial de tipo (r, s) sobre M )
[
Λk (Tp∗ M )
(k−fibrado exterior sobre M )
[
Λ(Tp∗ M )
´
(fibrado del Algebra
exterior sobre M )
p∈M
(b)
Λ∗k (M ) =
p∈M
(c)
Λ∗ (M ) =
p∈M
Cuando k = 0 y (r, s) = (0, 0), entonces la uni´on en (a) y (b) son uniones
disyuntas de copias de R (una copia por cada punto de M ).
Trs (M ), Λ∗k (M ) y Λ∗ (M ) tienenestructura natural de variedad diferenciable
de dimensi´on n + nr+s , n + nk , y n + 2n respectivamente y tales que, en
cada caso, la funci´on proyeccion can´onica sobre M es diferenciable.
Teorema 4.2.1 Sea M = M n una variedad diferenciable. Entonces Trs (M),
Λ∗k (M ) y Λ∗ (M ) son variedades diferenciables dedimensi´
on n+nr+s , n+ nk ,
y n + 2n respectivamente.
Demostraci´
on. Se demostrar´a con detalle que Λ∗k (M ) es una variedad diferenciable. En efecto, sea (p0 , u0 ) ∈ Λ∗k (M ), entonces p0 ∈ M y u0 ∈
Λk (Tp∗ M ) por lo tanto existe una carta (de M ) (Ui , ϕi ) con p0 ∈ Ui y con
coordenadas (x1 , · · · , xn ). Se considera la proyecci´on can´onica π : Λ∗k (M ) →
M definida por π(p, u) = p, y tambi´en
π −1 (Ui ) = (p, u) : p ∈ Ui .
es un conjunto abierto de Λ∗k (M ).
Sea (p, u) ∈ π −1 (Ui ), entonces p tiene coordenadas (x1 , · · · , xn ), es decir
ϕ(p) = (x,1 · · · , xn ) y u es de la forma (notaci´on Eistein):
u = ai1 ···ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
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-
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4.2. FIBRADOS TENSORIALES
La funci´on βi : π −1 (Ui ) → ϕi (Ui ) × Rn ⊆ RN donde N = n +
por
β(p, u) = (x1 , · · · , xn , a12···k , · · · , a(n−k)···n )
113
n
k
definida
es una funci´on inyectiva del abierto π −1 (Ui ) sobre el subconjunto abierto
ϕi (Ui ) × Rn de RN .
Se toman los conjuntos π −1 (Ui ) como las vecindades coordenadas sobre
Λ∗k (M ) y estos con las biyecciones apropiadas βi forman un atlas de cartas
que cubren a Λ∗k (M ). Para demostrar esta afirmaci´on se debe probar que las
cartas son compatibles. En efecto, sean Ui , Uj vecindades coordenadas sobre
M tal que p ∈ Ui ∩Uj y con sistema de coordenadas (xi ), (y i ) (i = 1, · · · , n),
respectivamente. Por ser M una variedad diferencible los (xi ) y los (y i ) se
relacionan diferenciablemente. Entonces (p, u) ∈ π −1 (Ui ∩ Uj ),
u = ai1 ···ik dxi1 · · · dxik = bj1 ···jk dy j1 · · · dy jk
y se debe demostrar que las (xi , ai1 ···ik ) y las (y i , bj1 ···jk ) se rlacionan diferenciablemente.
Como dxi1 ∧ · · · ∧ dxik se puede exprezar en t´erminos de dy j1 ∧ · · · ∧ dy jk ,
esto es,
dxi1 ∧ · · · ∧ dxik = cj1 ···jk dy j1 ∧ · · · ∧ dy jk ,
calculando esta expresi´on en ( ∂y∂jk , · · · , ∂y∂jk ) se obtiene
cj1 ···jk = det dxir (
de donde
∂ ) ,
∂y jr
dxi1 ∧ · · · ∧ dxik = det dxir (
con lo que
(1 ≤ ir , jr ≤ n)
∂ j1
) dy ∧ · · · ∧ dy jk ,
∂y jr
bj1 ···jk = ai1 ···ik det dxir (
Como cada
det dxir (
∂ )
∂y jr
∂ )
∂y jr
es una funci´on diferenciable de xi , entonces cada bj1 ···jk es una funci´on diferenciable de (x1 , · · · , xn , a1···k , · · · , a(n−k)···n ) y puesto que los y i son funciones diferenciables de las xi , se concluye que las coordenadas
(x1 , · · · , xn , a1···k , · · · , a(n−k)···n )
y
(y 1 , · · · , y n , b1···k , · · · , b(n−k)···n )
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
114
∗
son relacionadas difeomorficamente. Con
lo que Λk (M ) es una variedad
n
diferenciable de dimensi´on N = n + k .
Las otras pruebas del teorema son similares, por lo tanto, se dejan como
X
ejercicios.
♦
§ 4.3.
Campos tensoriales y formas
Definici´
on 4.3.1 Una funci´on de clase C ∞ de M en Λ∗k (M ), Trs (M ) o
∗
Λ (M ) cuya composici´on con la proyecci´on can´onica es la funci´
on identidad
recibe el nombre
de k−forma diferencial sobre M, campo tensorial
de tipo rs sobre M o forma diferencial sobre M respectivamente.
Como las formas diferenciales y campos tensoriales que se usar´an siempre
ser´an de clase C ∞ o suaves, entonces se puede omitir el adjetivo suave,
diferencial y diferenciable al menos que se necesite por enfasis.
Nota 1 Una funci´on α : M → Λ∗k (M ), llamada tambi´en un levantamiento, es
una k−forma diferencial si y s´olo si para cada sistema de coodenadas
(U, x1 , · · · , xn ) sobre M,
X
α|U =
αi1 ···ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
(4.1)
i1 <···<ik
donde los αi1 ···ik ∈ C ∞ (U ).
Nota 2 Una funci´on β : M → Tsr (M ), llamada tambi´
en un levantamiento, es
r
un campo tensorial diferenciable de tipo s si y s´olo si para cualquier
sistema de coordenadas (U, x1 , · · · , xn ) sobre M.
β|U =
X
βi1 ···ir j1 ···js
∂
∂
⊗ dxj1 ⊗ · · · ⊗ dxjs
⊗ ··· ⊗
∂xi1
∂xir
(4.2)
donde los βi1 ···ir j1 ···js ∈ C ∞ (U ).
En el caso de la notaci´on tensorial cl´asica se usan ´ındices bajos sobre
vectores tangentes, ´ındices superiores sobre funciones y diferenciales
y en forma rec´ıproca sobre coeficientes; por lo tanto, denotando el
anterior sistema de coordenanas por (U, x1 , · · · , xn ), los terminos individuales de 4.1 y 4.2 toman la forma
α|U = αi1 ···ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
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(4.3)
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4.3. CAMPOS TENSORIALES Y FORMAS
115
y
···ir
β|U = βji11 ···j
s
∂
∂
⊗ dxj1 ⊗ · · · ⊗ dxjs
⊗
·
·
·
⊗
∂xi1
∂xir
(4.4)
respectivamente
Definici´
on 4.3.2 Se denota con Ωk (M ) el espacio de todas las k−formas
de clase C ∞ ;
α : M → Λ∗k (M )
y Ω∗ (M ) al conjunto de todas las formas diferenciales. Tambi´en se hacen
las siguientes identificaciones
Ω0 (M ) ≡ C ∞ (M )
Ω1 (M ) ≡ X∗ (M )
Adem´
as, la variedad diferenciable Λ∗0 (M ) es simplemente M × R y los levantamientos de M en M × R son simplemente la gr´afica de funciones de
clase C ∞ sobre M.
Las formas se pueden sumar, multiplicar por escalares y tienen un producto
esterior (∧) que se realizan punto a punto, esto es, si ω, ϕ ∈ Ω∗ (M ), c ∈ R
y m ∈ M, entonces
(ω + ϕ)m = ωm + ϕm
(cω)m = cωm
(ω ∧ ϕ)m = ωm ∧ ϕm .
En el caso de que f sea una 0−forma y ω ∈ Ω∗ (M ) se escribe f ∧ ω simplemente como f ω. Ω∗ (M ) estructura de modulo sobre el anillo C ∞ (M ) y
es un algebra graduada sobre R con la multiplicaci´
on exterior (∧).
Definici´
on 4.3.3 Sea ω ∈ Ωk (M ). Entonces ωm ∈ Λk (Tm M ) y se puede considerar via isomorfismo como una funci´on multilineal alternada sonr
Tm M. Por lo tanto si X1 , · · · , Xk son campos vectoriales sobre M, ω(X1 , · · · , Xk )
tiene sentido - y es la funci´on cuyo valor en m es
ω(X1 , · · · , Xk )(m) = ωm (X1 (m), · · · , Xk (m))
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
(4.5)
116
´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
Por lo tanto, si X(M ) el modulo de de todos los campos vectoriales, de clase
C ∞ (M ) sobre M, entonces
ω : X(M ) × X(M ) × · · · × X(M ) → C ∞ (M )
{z
}
|
(4.6)
k−copias
y es una funci´on multilineal alternante del modulo X(M ) en C ∞ (M ).
Rec´ıprocamente, es muy importante observar que cualquier funci´on multilineal alternante de clase C ∞ (M ) define un forma; se afirma que si ω es una
funci´on, entonces ω(X1 , · · · , Xk )(m) s´olo depende de los valores de los campos vectoriales Xi en m. Se asume esto por un momento, se sigue entonces
que ω define una funci´on multilineal alternante ωm sobre Tm M y as´ı define
un elemento de Λk (Tm M ∗ ); esto es, dado (v1 , · · · , vk ) ∈ Tm M × · · · Tm M, se
escogen V1 , · · · , Vk ∈ X(M ) tal que Vi (m) = vi (i = 1, · · · , k), y se define
ωm (v1 , · · · , vk ) = ω(V1 , · · · , Vk )(m)
(4.7)
Por la afirmaci´on anterior, ωm (v1 , · · · , vk ) est´a bien definida, independiente
de la escojencia de las extenciones Vi . Con lo que ω proporciona una funci´on
m → ωm de M en Λ∗ (M ), y es facil ver la diferenciabilidad; por lo tanto ω
es una forma.
Por simplicidad de la notaci´on, se ilustra la afirmaci´on con el caso en que
ω es una funci´on lineal de X(M ) en C ∞ (M ). Sea X ∈ X(M ). Se desea
demostrar que ω(X)(m) depende s´olo de X(m). Es suficiente demostrar que
ω(X)(m) = 0 si X(m) = 0. Sea (U, x1 · · · , xn ) un sistema de coordenadas
al rededor de m. Entonces, sobre U, se tiene que
X=
n
X
i=1
ai
∂
∂xi
donde ai (m) = 0. Ahora, sea ϕ ∈ C ∞ (M ) una funci´on que toma el valor
1 sobre una vecindad V ⊂ U de m y cero sobre una vecindad de M − U
(Corolario - Partici´on de la unidad). Entonces el campo vectorial
ϕ · (∂/∂xi ) sobre U
Xi =
0
en otra parte
es un campo vectorial de clase C ∞ (M ); la funci´on
ϕ · ai sobre U
ai =
0
en otra parte
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4.3. CAMPOS TENSORIALES Y FORMAS
est´a en C ∞ (M ) y
X=
Por lo tanto,
ω(X)(m) =
X
X
ai Xi + (1 − ϕ2 )X.
ai (m)ω(Xi )(m) + (1 − ϕ2 )(m)(ω(X)(m)) = 0
117
(4.8)
(4.9)
Con lo que ϕ(X)(m) = 0 si X(m) = 0, como se deseaba demostrar.
Finalmente, los campos tensoriales se les puede dar una interpretaci´on
similar. Si T es un campo tensorial de tipo rs , entonces se puede considerar
T como una funci´on
T : Ω1 (M ) × · · · × Ω1 (M ) × X(M ) × · · · × X(M ) → C ∞ (M )
|
{z
} |
{z
}
r copias
(4.10)
s copias
el cual es una funci´on multilineal de clase C ∞ (M ) con respecto a los C ∞ (M )−modulos
Ω1 (M ) y X(M ).
Tambi´en se recuerda, que si ω1 , · · · , ωk ∈ Ω1 (M ) y X1 , · · · , Xk ∈ X(M ),
entonces
ω1 ∧ · · · ∧ ωk (X1 , · · · , Xk ) = det ωi (Xj ) .
Ejemplo: Formas diferenciales sobre Rn
Si M es un abierto de Rn y f : M → R con f diferenciable, entonces
Df (x) : Rn → R
es un funcional lineal (es decir, un 1-tensor alternado) sobre Rn . Por lo
tanto, la funci´on x → Df (x) es una 1-forma sobre M, que se denota con df.
La base
dx1 , · · · , dxn
de [Rn ]∗ dual de la base can´onica {e1 , · · · , en } de Rn , es tal que toda 1-forma
ω sobre Rn puede expresarse por:
ω = α1 dx1 + · · · + αn dxn ,
lo que implica que df tiene la forma df = α1 dx1 + · · · + αn dxn y como
αj = df (ej ) =
∂f
∂xj
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´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
118
entonces
∂f
∂f
∂f
dx1 +
dx2 + · · · +
dxn
∂x1
∂x2
∂xn
adem´as, si I es una sucesi´on estr´ıctamente creciente de ´ındices,
df =
I = (i1 , i2 , · · · , ik )
y denotando con dxI la k−forma sobre Rn dada por
dxI = dx1t ∧ · · · ∧ dxik
entonces, para cada espacio vectorial individual
Λp (Tx M ) = Λk (Rn ),
se tiene el siguiente resultado:
Cada k−forma sobre un abierto U de Rn (y tambi´en en una vecindad
coordenada de una variedad diferenciable M ) puede escribirse de manera
u
´nica como
X
fI dxI
I
donde I recorre las sucesiones crecientes de ´ındices
1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n,
y siendo, para cada I, fI una funci´on real definida en U.
4.3.1.
Revizando variedades orientables
Sea M una variedad diferenciable de dimensi´on n. Se sabe que
(I) M es orientable si existe un atlas de cartas sobre M tal que sobre
cualquier intersecci´on de dos dominios coordenados
∂(y1 , · · · , yn )
>0
∂(x1 , · · · , xn )
donde (xi ) y (yi ) son los sistemas de coordenadas.
Una definici´on alterna, en el caso de variedades paracompactas, es que
(II) M es orientable si existe una n−forma, no-cero, diferenciable Ω definida globalmente sobre M.
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4.3. CAMPOS TENSORIALES Y FORMAS
119
Ω de hecho tiene una s´ola componente. A continuaci´on se demostrar´a que
estas dos definiciones son equivalentes.
Primero, se demostrar´a que (II) implica (I). En efecto, sea Ω una n−forma,
no-cero, diferenciable definida globalmente sobre M y (Ui , ϕ), (Uj , ϕj ) cartas
con sistemas de coordenadas (xi ), (yi ), respectivamente para el cual Ui ∩Uj 6=
∅. Entonces, sobre Ui ∩ Uj
Ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxn = g dy1 ∧ · · · ∧ dyn
donde f y g son funciones no-cero diferenciables de x1 , · · · , xn y de y1 , · · · , yn ,
respectivamente. Se asume que las coordenadas se han escogido de tal forma
que f > 0 y g > 0. Si, por ejemplo f < 0, entonces el intercambio de x1 y
x2 , o reemplazando x1 por −x1 se puede conseguir una f > 0. Como
dy1 ∧ · · · ∧ dyn =
∂(y1 , · · · , yn )
dx1 ∧ · · · ∧ dxn ,
∂(x1 , · · · , xn )
se concluye que
f =g
y como f > 0 y g > 0, entonces
∂(y1 , · · · , yn )
∂(x1 , · · · , xn )
∂(y1 , · · · , yn )
> 0,
∂(x1 , · · · , xn )
Lo que demuestra que (II) implica (I).
Hasta el momento, la paracompacidad de M no ha sido requerida, es, por
lo tanto, necesaria para demostrar el resultado rec´ıproco, esto es que (I) implica (II). En efecto, Sea (Ui , ϕi ) un cubrimiento localmente finito de M por
vecindades coordenadas tal que el determinante Jacobiano de la trasformaci´on de coordenadas sobre cualquier intersecci´on no vac´ıa de dos dominios
coodenados es positivo. Denotando el sistema de coordenadas sobre Ui por
x1 , · · · , xn se introduce la forma diferencial
Ωi = ϕ∗ (dx1 ∧ · · · ∧ dxn )
donde ϕ∗ indica la funci´on pull-back correspondiente a ϕi . Como M es paracompacta, existe una partici´on diferenciable de la unidad {fi }, subordinada
a {Ui }, ahora se define la forma diferencial
X
X
∗
Ω(p) =
fi (p)Ωi (p) =
fi (p)ϕi (dx1 ∧ · · · ∧ dxn )
i
i
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
ϕi (p)
´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
120
donde p es un punto arbitrario de M y la suma se est´a tomando sobre
aquellos valores de i par la cual p ∈ sop fi ⊆ Ui . Sea i0 uno de estos valores.
Entonces, la relaci´on
dxi1 ∧ · · · ∧ dxin =
∂(xi1 , · · · , xin )
dxi10 ∧ · · · ∧ dxin0
∂(xi10 , · · · , xin0 )
proporciona
Ω(p) =
X
i
∂(xi1 , · · · , xin ) ∗
i0
i0
ϕ
(
dx
∧
·
·
·
∧
dx
)
fi (p)
.
1
i
n
∂(xi10 , · · · , xin0 ) 0
ϕi (p)
Como el determinante Jacobiano es positivo, cada fi (p) ≥ 0 y al menos uno
de ellos es positivo, se tiene entonces que la forma Ω es no nulo sobre todo
M, como se quer´ıa demostrar.
4.3.2.
Pull-back de una p−forma sobre M
Sea M una variedad diferenciable. Sea f : Rm → M una funci´on de clase
uno, y sea ω una k−forma sobre M. Ser va a definir, a partir de ellas, una
nueva k−forma sobre Rm .
Para tal efecto, observe que si es x = f (t), t ∈ Rm entonces sabe que
Df (t) ∈ L(Rm , Tx M ).
Como ω(x) es un k−tensor alternado sobre Tx M entonces se define
(f ∗ ω)(t) = [Df (t)]∗ ω(f (t)),
esto es, si v1 , · · · , vk ∈ Rm , entonces
(f ∗ ω)(t)(v1 , · · · , vk ) =[Df (t)]∗ ω(f (t))(v1 , · · · , vk )
=[ω(f (t))](Df (t)(v1 ), · · · , Df (t)(vk )),
(4.11)
es claro que, para cada t ∈ Rm , se trata de un k−tensor alternado sobre
Rm , espacio tangente a Rm en t, por lo cual f ∗ ω es una k−forma sobre Rm ,
llamada transpuesta (o pull-back) de ω bajo f sobre M.
Si ω es una 0−forma sobre M, entonces es por definici´on
f ∗ ω = ω ◦ f.
Las siguientes propiedades son de f´acil comprobaci´on:
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4.3. CAMPOS TENSORIALES Y FORMAS
121
(a) Si ω1 , ω2 son k−formas sobre M y α ∈ R, entonces
f ∗ (ω1 + ω2 ) = f ∗ ω1 + f ∗ ω2 .
(4.12)
(b) Si ω es una k−forma y θ es una s−forma, entonces
f ∗ (ω ∧ θ) = (f ∗ ω) ∧ (f ∗ θ).
(4.13)
(c) Si adem´as, h : Rp → Rm es diferenciable, entonces
(f ◦ h)∗ ω = h∗ f ∗ ω
(4.14)
Ahora, sea
f : Rm → Rn ,
con f ∈ C 1 (Rm ), t = (t1 , · · · , tm ) las coordenadas de Rm , (x1 , · · · , xn ) las de
Rn y f1 , · · · , fn las componentes de f, es decir, ser´an f y Df las siguientes:

 ∂f1

∂f1
· · · ∂t
x1 = f1 (t1 , · · · , tm ) 
∂t1

m

.. 
..
Df (t) =  ...
(4.15)
. 
.


∂fn
∂fn
xn = fn (t1 , · · · , tm )
· · · ∂tm t
∂t1
Con lo que comprueba que
f ∗ dxi = dfi .
En efecto, sean v = (v1 , · · · , vm ) ∈ Rm y t ∈ Rm , entonces
[(f ∗ dxi )(t)](v) = [dxi (f (t))][Df (t)(v)]
m
m
X
X
∂fn
∂f1
vi , · · · ,
vj )
= [dxi (f (t))](
∂tj
∂tj
j=1
j=1
=
m
X
∂fi
j=1
∂tj
vj
= dfi (v)
Lo que prueba el resultado buscado.
Conociendo el comportamiento de f ∗ respecto a las 0−formas y a las 1−formas, mediante las relaciones descritas anteriormente queda ya determinado
su comportamiento respecto de cualquier forma, pues, si se tiene una forma
ω sobre Rn y escribi´endola como
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´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
122
ω=
X
aI dxI
I
queda que
f ∗ω =
X
(f ∗ aI )dfI
I
donde dfI denota a dfi1 ∧ · · · ∧ dfip .
En Particular, si f : Rn → Rn es un difeomorfismo y
ω = dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn
(omitido los puntos de evaluaci´on), entonces
(f ∗ ω)(t) = [Df (t)]∗ dx1 ∧ · · · ∧ [Df (t)]∗ dxn = df1 ∧ · · · ∧ dfn ,
y si v1 , · · · , vn son vectores de Rn con vi = (vi1 , · · · , vin ), (i = 1, · · · , n),
entonces


df1 (v1 ) · · · df1 (vn )


..
..
df1 ∧ · · · ∧ dfn (v1 , · · · , vn ) = det 

.
.
dfn (v1 ) · · · dfn (vn )
Pn ∂f1
Pn ∂f1
v1i · · ·
vni
i=1
i=1

∂ti
∂ti

..
..
= det 
.
.

 Pn ∂fn
Pn ∂fn
v1i · · ·
vni
i=1
i=1
∂ti
∂ti

 
v11 · · ·
∂f1
∂f1
 ∂t1 · · · ∂tn  
 .
 .
.. 


= det 
. 
 ..
  ..
 ∂fn


∂fn
···
v1n · · ·
∂t1
∂tn

= [det(Df )] dt1 ∧ · · · ∧ dtn (v1 , · · · , vn ),






vn1



.. 

. 


vnn
por lo cual
f ∗ (dx1 ∧ · · · ∧ dxn ) = df1 ∧ · · · ∧ dfn = [det(Df )]dt1 ∧ · · · ∧ dtn
Esto muestra que el pull-back funciona como un cambio de coordenadas.
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´ EXTERIOR
4.4. DERIVACION
§ 4.4.
123
Derivaci´
on exterior
Ya se ha definido la funci´on d : Ω0 (M ) → Ω1 (M ) por f → df, df =
P ∂f
dxi , la diferencial de una funci´on diferenciable sobre M. se desea ex∂xi
tender esta noci´on a una funci´on
d : Ωk (M ) → Ωk+1 (M )
para cualquier k ∈ N. Este operador produce propiedades algebraicas maravillosas. Despues de desarrollarlas se demostrar´a como d est´a relacionada
con las operaciones b´asicas de div, grad, el laplaciano entre otras y seguido
se desarrollan f´ormulas para la derivada de Lie. Por lo tanto, primero se
presenta la derivada exterior d sobre variedades diferenciables en dimensi´on
finita.
Teorema 4.4.1 Sea M n una variedad diferenciable. Entonces existe una
u
´nica familia de funciones
dk (U ) : Ωk (U ) → Ωk+1 (U ),
(k = 1, 2, · · · , n)
y U un abierto sobre M, que se denotar´
a por d, llamada derivada exterior
sobre M, tal que
(a) d es una anti-derivaci´
on, esto es, d es R−lineal; para cada α ∈ Ωk (U )
l
y β ∈ Ω (U ),
d(α ∧ β) = (dα) ∧ β + (−1)k α ∧ dβ
(b) Si f ∈ C ∞ (U ), entonces df es la diferencial de la funci´on f presentada
entre variedades.
(c) d2 = d ◦ d = 0,
( dk+1 (U ) ◦ dk (U ) = 0 )
(d) d con respecto a restricciones. Si U ⊂ V ⊂ M son abiertos y α ∈
Ωk (M ), entonces d(α|U ) = (dα)|U , es decir, el siguiente diagrama
conmuta
|U
Ωk (V )
Ωk (U )
d
Ωk+1 (V )
d
|U
Ωk+1 (U )
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´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
124
Como es usual la propiedad (d) significa que d es un operador local.
Demostraci´
on. Primero se establece la unicidad bajo existencia. Sea (U, ϕ) una carta con ϕ(p) = (x1 , · · · , xn ) y α = αi1 ···ik dxi1 ∧· · ·∧dxik
(notaci´on Einstein) en Ωk (U ), i1 < · · · < ik . Cuando k = 0 se tiene
Ω0 (U ) = C ∞ (U ) entonces la parte (b) proporciona que
dα =
∂α ∂xi
dxi
y aplicada a las funciones coordenadas xi , (i = 1, 2, · · · , n) muestra que
la diferencial de xi es la 1−forma diferencial dxi .
De (c), se tiene que d(dxi ) = 0, que con (a) muestran
d(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ) = 0.
Tambi´en por (a),
dα = d(αi1 ···ik ) ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik + (−1)0 αi1 ···ik d(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik )
Por lo tanto, se debe satisfacer
∂αi1 ···ik i
dx ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
dα =
i
∂x
(4.16)
y as´ı d se determina de manera u
´nica sobre U por la propiedades (a), (b),
(c) y (d) sobre cualquier subconjunto abierto de M.
Existencia. Se define para cualquier carta (U, ϕ) el operador d por la
ecuaci´on 4.16. Entonces (b) se satisface de manera inmediata ya que 4.16
es R−lineal.
A continuaci´on se verifica (a). En efecto, si β = βj1 ···js dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs en
Ωs (U ), entonces
d(α ∧ β) =d(αi1 ···ik βj1 ···js dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs )
h ∂α
∂βj1 ···js i i
i1 ···ik
dx ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs
β
+
α
=
j1 ···js
j1 ···js
∂xi
∂xi
=(dα) ∧ β + (−1)k α ∧ dβ
lo que muestra que (a) se satisface.
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-
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´ EXTERIOR
4.4. DERIVACION
125
Para demostrar (c) se usar´a la simetr´ıa de las derivadas parciales, en efecto,
#
"
∂αi1 ···ik i
dx ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
d(dα) =d
i
∂x
=
∂ 2 αi1 ···ik j
dx ∧ dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
j
i
∂x ∂x
Como
∂ 2 αi1 ···ik
∂ 2 αi1 ···ik
=
y dxj ∧ dxi = −dxi ∧ dxj
∂xj ∂xi
∂xi ∂xi
se tiene entonces que
d2 (α) = d(dα) = 0.
Por lo tanto, en cualquier carta (U, ϕ), la ecuaci´on 4.16 define un operador
d que satisface (a), (b) y (c).
Resta demostrar que estos d ′ s locales definen un operador d sobre cualquier conjunto abierto, para que se satisfaga (d). Para continuar entonces
es suficiente demostrar que esta definici´on es independiente de las cartas.
En efecto, sea d′ el operador definido por la ecuaci´on 4.16 sobre la carta
(U ′ , ϕ′ ) donde U ∩ U ′ 6= ∅.
Como d′ satisface (a), (b) y (c) y adem´as tiene unicidad local (demostrada
en la primera parta de esta prueba), entonces
d′ α = dα sobre U ∩ U ′
y con esto, el Teorema queda demostrado.
X
♦
En la mayor´ıa de los casos una k−forma diferenciable sobre una variedad M
se puede expresar como restricci´on a M de una k−forma diferencial sobre
Rn , o sobre un abierto de Rn que contiene a M.
Teorema 4.4.2 Sean M N variedades diferenciables de dimensi´
on m y n
respectivamente, ϕ : M → N una funci´on diferenciable y w una k−forma
diferencial sobre N. Entonces
d(ϕ∗ w) = ϕ∗ (dw)
Demostraci´
on. La demostraci´on resulta por Inducci´on Matem´atica, Se
empieza con el caso k = 0. Sea x ∈ M, v ∈ Tx M y f ∈ C ∞ (N ). Entonces
∗
df ∈ Tϕ(x)
N, ϕ∗ df ∈ Tx∗ M y por definici´on de ϕ∗ , df y ϕ∗ ,
ϕ∗ df (v) = df (ϕ∗ v) = d(f ◦ ϕ)(v) = v(f ◦ ϕ) = v(ϕ∗ f ) = d(ϕ∗ f )(v).
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
126
Se asume ahora que la proposici´on es verdadera para formas de grado
k − 1 (k ≥ 1) y observese que es suficiente demostrar la proposici´on para una forma de grado k localmente y considerarla de forma monomial
w = a(x1 , · · · , xn )dxi1 ∧ · · · ∧ dxik , donde a es una funci´on diferenciable, por
lo tanto
d(ϕ∗ w) =d[ϕ∗ [(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 ) ∧ dxik ]]
=d[ϕ∗ (a dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 ) ∧ ϕ∗ dxik ]
=d[ϕ∗ (a dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 )] ∧ ϕ∗ dxik
+ (−1)k−1 ϕ∗ (a dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 ) ∧ d(ϕ∗ dxik )
=d[ϕ∗ (a dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 )] ∧ ϕ∗ dxik
por hip´otesis de inducci´on,
d(ϕ∗ w) = ϕ∗ [d(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 )] ∧ ϕ∗ dxik .
As´ı que
d(ϕ∗ w) =ϕ∗ [d(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 ) ∧ dxik ]
=ϕ∗ [d a ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 ∧ dxik ]
=ϕ∗ d w.
X
♦
Lo que muestra el teorema para k−forma.
Ejemplo 4.4.1 Se considera el caso particular de n = 3 y M un abierto G
de R3 y sean a, b, c y f funciones diferenciables de G en R. Sean
(a) ω0 = f,
(b) ω1 = adx + bdy + cdz;
(c) ω2 = ady ∧ dz + bdz ∧ dx + cdx ∧ dy;
(c) ω3 = adx ∧ dy ∧ dz,
Entonces sus respectivas diferenciales exteriores son:
∂f
dy
∂y
(a) dω0 =
∂f
dx
∂x
(b) dω1 =
∂c
∂y
−
∂b
∂z
(c) dω2 =
∂a
∂x
+
∂b
∂y
(d) dω3 = 0
+
+
∂f
dz.
∂z
∂c
dy ∧ dz + ∂a
dz ∧ dx +
− ∂x
∂z
∂c
dx ∧ dy ∧ dz
+ ∂z
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
∂b
∂x
−
∂a
∂y
dx ∧ dy.
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4.5. LA DERIVADA DE LIE PARA CAMPOS VECTORIALES Y TENSORIALES
§ 4.5.
127
La derivada de Lie para campos vectoriales y
tensoriales
Los campos tensoriales y formas diferenciales se pueden derivar con respecto a un campo vectorial. El resultado de la derivada se conoce como la
derivada de Lie y se define a continuaci´on. Se fija un campo vectorial
X sobre una variedad M. Se usar´a Xt para denotar el grupo local a un
par´ametro de transformaciones asociado con X. Sea Y otro campo vectorial
diferenciable sobre M. Se definir´a la derivada de Y con respecto a X en un
punto m ∈ M. Primero proseguimos con la curva integral de X al rededor
del punto m, Xt (m) y se evalua Y en este punto. Entonces trasladamos
YXt (m) hacia Tm M via la diferencial dX−t del difeomorfismo local X−t . En
Tm M se toma la diferencia de los vectores
dX−t (YXt (m) ) y Ym
se divide esta diferencia por t y entonces se toma l´ımite cuando t → 0. En
otras palabras se considera la funci´on con valores en Tm M tal que
t → dX−t (YXt (m) )
y se toma la derivada en t = 0 el resultado es un vector de Tm M que se
denominar´a dervada de lie de Y respecto a X en m y se denota por
(LX Y )m . Esto es, se define (ver Figura 6.1)
dX−t (YXt (m) ) − Ym
d
=
dX−t (YXt (m) ) t=0
t→0
t
dt
(LX Y )m = l´ım
YXt (m)
dX−t (YXt (m) )
X
Ym
Xm
Tm M
m
Figura 6.1
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
Xt (m)
(4.17)
128
´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
De manera similar se define la derivada de Lie de una forma diferencial con respecto a un campo vectorial X, excepto que en este caso se
evalua la forma diferencial w sobre Xt (m) y entonces via traspuesta (pullback) Xt∗ se lleva este valor a Λ(Tm∗ M ) donde se toma la diferencia con
w(m), se divide por t y se toma l´ımite cuando t → 0. De esta manera se
define
X ∗ (wXt (m) ) − wm
(4.18)
LX w m = l´ım t
t→0
t
equivalentemente
LX w
m
d ∗
=
Xt (wXt (m) )
dt
t=0
La diferenciabilidad de LX Y y LX w se asegura en uno de los teoremas
que siguen. La derivada de Lie LX se puede extender a campos tensoriales
arbitrarios de manera natural y obvia: si T es un campo tensorial de tipo
(r, s) entonces (LX T )m es la derivada en el punto t = 0 de la funci´on
Trs (Tm M )−valuada cuyo valor en t es
si
dX−t v1 ⊗ · · · ⊗ vr ⊗ Xt∗ u1 ⊗ · · · ⊗ us
T Xt (m) = v1 ⊗ · · · ⊗ vr ⊗ u1 ⊗ · · · ⊗ us .
El siguiente Teorema proporciona informaci´on de como se comporta la derivada de Lie.
Teorema 4.5.1 Sean S, T campos tensoriales diferenciables sobre una variedad diferenciable M y sea X ∈ X(M ). Entonces
(a) LX S tiene las mismas caracteristicas tensoriales que S.
(b) Si S y T son del mismo tipo y a, b ∈ R, entonces
LX (aS + bT ) = aLX S + bLX T
(c) LX (S ⊗ T ) = (LX S) ⊗ T + S ⊗ LX T
Demostraci´
on. (a) y (b) se obtienen directamente al aplicar la definici´on
de LX . Para ver (c), se supone por simplicidad que S y T son campos
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-
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4.5. LA DERIVADA DE LIE PARA CAMPOS VECTORIALES Y TENSORIALES
129
tensoriales covariantes, los otros casos se hacen de manera parecida paso a
paso. En efecto, se usar´a la formula Xt∗ (S ⊗ T ) = Xt∗ S ⊗ Xt∗ T,
1
LX (S ⊗ T )m = l´ım Xt∗ (S ⊗ T )Xt (m) − (S ⊗ T )m
t→0 t
1
= l´ım Xt∗ (S)m ⊗ Xt∗ (T )m − (S ⊗ T )m
t→0 t
1
= l´ım (S + (Xt∗ (S) − S)) ⊗ (T + (Xt∗ (T ) − T )) − (S ⊗ T ) m
t→0 t
=(LX S) ⊗ T + S ⊗ LX T m
Esto es, (LX S) ⊗ T + S ⊗ LX T.
X
♦
Corolario 4.5.1.1 Sea W una forma diferencial sobre una variedad diferenciable M. Entonces
LX (w ∧ σ) = (LX w) ∧ σ + w ∧ (LX σ)
para todo X ∈ X(M ), w, σ ∈ Ωp (M ).
Teorema 4.5.2 Sea X un campo vectorial diferenciable sobre M. Entonces
f ∈ C ∞ (M ).
(a) LX f = X(f ),
(b) LX Y = [X, Y ].
Demostraci´
on. La parte (a) es como sigue
1 ∗
Xt fXt (m) − fm
t→0 t
1
= l´ım fXt (m) − fm
t→0 t
d (fXt (m) ) =
dt
t=0
=df ◦ Xt′ (m)t=0
=df (Xm ) = X(f )m
(LX f )m = l´ım
Para demostrar (b) se necesita establecer
LX Y (f ) = [X, Y ](f )
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
130
para toda funci´on f ∈ C ∞ (M ). Sea m ∈ M, entonces
d X−t YXt (m) − Ym (f )
(LX Y )m (f ) = l´ım
t→0
t
d
d X−t YXt (m) (f )t=0
=
dt
d
=
YXt (m) (f ◦ X−t ) t=0
dt
(4.19)
Para calcular esta derivada, se define una funci´on diferenciable a valor real
H sobre una vecindad de (0, 0) en R2 de coordenadas (r1 , r2 ) tal que
H(t, u) = f X−t (Yu (X−t (m))) ,
(4.20)
con lo que
Entonces por (a)
∂H = d(f ◦ X−t (YXt (m) ),
∂r2 (t,0)
YXt (m) f ◦ X−t =LY (f ◦ X−t )Xt (m)
∂ ∗
=
Yu (f ◦ X−t )Xt (m)
∂r2
∂
(f ◦ X−t ) ◦ Yu (Xt (m))
=
∂r2 ∂H =
∂r2 (4.21)
(4.22)
(t,0)
y entonces 4.19 implica que
∂ 2 H LX Y m (f ) =
.
∂r1 ∂r2 (0,0)
(4.23)
Para evaluar esta derivada, se considera la funci´on diferenciable a valor real
K sobre una vecindada de (0, 0, 0) en R3 con coordenadas (r1 , r2 , r3 ) tal que
K(t, u, s) = f Xs (Yu (Xt (m))) .
(4.24)
Entonces H(t, u) = K(t, u, −t). As´ı la regla de la cadena implica
i
h ∂K
∂ 2 H ∂ =
(t,
0,
−t)
∂r1 ∂r2 (0,0) ∂r1 r1 =0 ∂r2
∂ 2 K ∂ 2 K =
−
∂r1 ∂r2 (0,0,0) ∂r3 ∂r2 (0,0,0)
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-
(4.25)
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4.5. LA DERIVADA DE LIE PARA CAMPOS VECTORIALES Y TENSORIALES
Como K(t, u, 0) = f (Yu (Xt (m))), entonces
∂ ∂K =
f (Yu (Xt (m)))
∂r2 (t,0,0) ∂r2 r2 =0
=df ◦ YYu (Xt (m)) 131
(4.26)
r2 =u=0
=df (YXt (m) )
y como la diferencial de una transformaci´on lineal es ella misma, entonces
∂ ∂ 2 K df (YXt (m) )
=
∂r1 ∂r2 (0,0,0) ∂r1 r1 =0
(4.27)
=[df (Y )] ◦ Xm = Xm (Y f ).
Tambi´en, K(0, u, s) = f (Xs (Yu (m))), entonces
∂K ∂ =
f (Xs (Yu (m)))
∂r3 (0,u,0) ∂r3 r3 =0
=df ◦ XXs (Yu (m)) (4.28)
r3 =s=0
=df ◦ XYu (m) ,
y as´ı
∂ 2 K =df (X) ◦ YYu (m) ∂r2 ∂r3 (0,0,0)
r2 =u=0
= df (X) ◦ Ym = Ym (Xf ).
(4.29)
Con lo que de (4.23), (4.25), (4.27) y (4.29) se obtiene
d X−t (YXt (m) ) − Ym
(f ) = [X, Y ]m (f ).
t→0
t
LX Y (f ) = l´ım
Lo que termina la demostraci´on.
X
♦
Teorema 4.5.3 La derivada exterior conmuta con LX , es decir
LX ◦ d = d ◦ LX
Demostraci´
on. La demostraci´on se efectua en dos pasos. Primero se demuestra el Teorema para el caso de 0−formas, esto es, para funciones
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´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
132
f ∈ C ∞ (M ). Sea Y un campo vectorial fijo, m ∈ M n y se debe demostrar la siguiente f´ormula, para cada m ∈ M
[LX (df )]m = d(LX f )m .
(4.30)
Como ambos lados de (4.30) son elementos de Tm∗ M, s´olo se necesita probar
que tienen el mismo efecto sobre elemtos arbitrarios Ym ∈ Tm M. En efecto
d(LX f )m (Ym ) =Ym (LX f )m
d =Ym
Xt∗ (fXt (m) )
dt t=0
d =Ym
(f ◦ Xt ) ,
dt t=0
tambi´en
LX (df )m
hd
i
∗
(Ym ) =
(X dfXt (m) ) (Ym )
dt t=0 t
i
d h ∗
= (Xt dfXt (m) )(Ym )
dt t=0
d df (dXt (Ym ))
= dt t=0
d = Ym (f ◦ Xt )
dt t=0
i
hd
=Ym
(f ◦ Xt )
dt t=0
(4.31)
(Y es ind. del tiempo)
Lo que demuestra 4.30 para 0−formas.
En segundo lugar, se continua la demostraci´on con p−formas diferenciales.
Por lo tanto, sea
w=
X
wI dxI =
X
wI dxi1 ∧ · · · ∧ dxip ,
wI = wi1 ···ip
una p−forma diferenciable entonces se debe demostrar que para cada m ∈
M
(4.32)
= d LX w ,
LX w
m
m
por simplicidad se omiten los puntos de localizaci´on y tomando I0 = I,
entonces conmutando LX con d en el sumando j = 0, es decir, utilizando el
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4.5. LA DERIVADA DE LIE PARA CAMPOS VECTORIALES Y TENSORIALES
133
hecho que LX (dwI0 ) = d(LX (wI0 ) se obtiene
X
dwI ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip
(LX ◦ d)(w) = LX
i
XhX
i1
ij
ip
=
dwI0 ∧ dx ∧ · · · ∧ (LX dx ) ∧ · · · ∧ dx
j=0
I
=d
XhX
j=0
I
=d ◦ LX
X
I
wI0 dxi1 ∧ · · · ∧ (LX dxij ) ∧ · · · ∧ dxip
i
wI0 dxi1 ∧ · · · ∧ dxij ∧ · · · ∧ dxip
=d ◦ LX (w)
Esto demuestra el Teorema.
X
♦
Ejercicio 4.5.1 Sea M n , una variedad diferenciable y (U, ϕ) una vecindad coordenada alrededor de p ∈ M con funci´on de coordenadas ϕ =
(x1 , · · · , xn ). Entonces (notaci´on Einstein) probar que
(a) Si X = X i ∂i , entonces LX dxi = dX i =
∂X i j
dx .
∂xj
(b) Si w = wi dxi , entonces
LX w =
∂wi
Xj j
∂x
∂X j
+ wj
∂xi
dxi
Demostraci´
on.
(a)
LX dxi = d LX xi = d[X(xi )] = dX i
(4.33)
o simplemente
i
LX dx =
n
X
∂X i
j=1
∂xj
dxj
(4.34)
(b) Es un ejercicio simple.
X
♦
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
134
§ 4.6.
Producto interior para formas exteriores
Sea w una p−forma y X un campo vectorial sobre una variedad difernciable M de dimensi´on n. Entonces el producto interior de X y w, denotado
con iX w o X⌋w, es (p − 1)−forma difinida por
iX w(X2 , · · · , Xp ) = w(X, X2 , · · · , Xp )
(4.35)
para todos los campos vectoriales X1 , ·, Xp sobre M, cuando p > 1. Si p = 1,
iX w = w(X) y si p = 0, es decir w = f, iX f = 0.
Claramente iX w es bilineal en X y w.
Lema 4.6.1 Sean M una variedad diferenciable de dimensi´
on n, X ∈
i
X(M ) y w , i = 1, · · · , p, 1−formas. Entonces
p
X
1
p
ci ∧ · · · wp
(−1)i−1 wi (X)wi ∧ · · · ∧ w
(4.36)
iX w ∧ · · · ∧ w =
i=1
X
♦
Demostraci´
on. Es un ejercicio simple usando determinantes,
Teorema 4.6.1 Sea w una p−forma, σ cualquier forma y X un campo
vectorial sobre uuna variedada diferenciable de dimensi´
on n. Entonces
iX (w ∧ σ) = (iX w) ∧ σ + (−1)p w ∧ (iX σ)
(4.37)
Demostraci´
on. Por la linealidad es suficiente considerar solamenta el caso
en el que w y σ se expresan como producto exteriores de 1−formas, esto es
w = w1 ∧ · · · ∧ wp
σ = σ1 ∧ · · · ∧ σq
(p > 1)
donde los wi y los σ j son 1−formas. Entonces por 4.36
p
X
1
p
ci · · · ∧ wp .
wi (X)w1 ∧ · · · w
iX (w ∧ · · · ∧ w ) =
i=1
Entonces
iX (w ∧ σ) =iX (w1 ∧ · · · ∧ wp ∧ σ 1 ∧ · · · ∧ σ q )
p
X
ci · · · ∧ wp ) ∧ (σ 1 ∧ · · · ∧ σ q )
(−1)i−1 wi (X)(w1 ∧ · · · w
=
i=1
+
q
X
j=1
(−1)p+j−1 σ j (X)w1 ∧ · · · ∧ wp ∧ (σ 1 ∧ · · · σbj ∧ σ q )
=[iX w] ∧ σ + (−1)p w ∧ [iX σ]
(4.38)
X
♦
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´ DE CALDAS
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´
4.7. OTRAS FORMULAS
QUE INVOLUCRAN LA DERIVADA DE LIE
§ 4.7.
135
Otras f´
ormulas que involucran la derivada de
Lie
Sea M n una variedad diferenciable y Ωp M el espacio de las p−formas
diferenciables sobre M. Este es un espacio vectorial de dimensi´on infinita ya
que sus componentes son funciones. Una transformaci´on lineal A : Ωp M →
Ωp+r M es
(a) una derivaci´on si r es par y
A(α ∧ β) = (Aα) ∧ β + α ∧ (Aβ)
(4.39)
(b) una antiderivaci´on si
A(α ∧ β) = (Aα) ∧ β + (−)p α ∧ (Aβ)
(4.40)
para todo α ∈ Ωp M, β ∈ Ωq M
Supongase que se conoce el valor de una derivaci´on o antiderivaci´on A sobre
cualquier funci´on y sobre df para cualquier f. Como una p−forma en general
es
X
α=
ai1 ···ip (x)dxi1 · · · dxip
entonces es natural y obvio que se conoce el valor de A sobre cualquier α.
lo anterior proporciona el siguiente
Lema 4.7.1 Si A y B son ambas derivaciones o ambas antiderivaciones,
entonces para demostrar que Aα = Bα para todo α ∈ Ωp (M ) s´
olo es necesario probar la identidad para α = f y α = df, para todo f ∈ C ∞ (M ).
En lo que sigue de esta secci´on M es una variedad diferenciable X, Y son
campos vectoriales diferenciables sobre M y d la derivada exterior para
p−formas diferenciables.
Teorema 4.7.1
(a) F´ormula de Cartan
LX = iX ◦ d + d ◦ iX
(b) Se tiene la siguiente f´ormula
LX ◦ iY − iY ◦ LX = i[X,Y ]
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
136
(c) Si w ∈ Ωp M, X, Y1 , · · · , Yp son campos vectoriales sobre M, entonces
LX (w(Y1 , · · · , Yp )) = (LX w)(Y1 , · · · , Yp )+
p
X
i=1
w(Y1 , · · · , LX Yi , · · · , Yp )
(d) Bajo lo supuesto en (d), (X = Y0 ), se tiene
p
X
(−1)i Yi w(Y0 · · · , Yb , · · · , Yp )
dw(Y0 , · · · , Y1 , · · · Yp ) =
i=0
+
X
i<j
Demostraci´
on.
(−1)i+j w([Yi , Yj ], Y0 , · · · , Ybi , · · · , Ybj , · · · , Yp )
(a) Se observa que LX e iX ◦ d + d ◦ iX son ambas derivaciones, por lo
tanto la f´ormula quedar´a demostrada cuando se pruebe para f y df
cualquiera sea la funci´on f. En efecto, sobre funciones, iX f = 0 y
adem´as
iX d f = df (X) = X(f ) = LX f
con lo que
LX = iX ◦ d + d ◦ iX .
Sobre diferenciales de funciones
iX ◦ d + d ◦ iX (df ) = d ◦ iX (df ) = d(iX (df ))
= d(LX f ) = LX (df )
(b) El procedimiento para demostrar la f´ormula es igual que en (a), lo
u
´nico es que ahora se trabaja con anti-derivaci´on. En efecto para funciones i[ X, Y ](f ) = 0
LX ◦ iY − iY ◦ LX (f ) =LX (iY (f )) − iY (LX (f ))
=LX (0) − iY (X(f ))
=0 − 0 = 0 = i[ x, y](f )
Sobre diferenciales de funciones
LX ◦ iY − iY ◦ LX (df ) =LX (df (Y )) − iY (LX (df ))
=LX (Y (f )) − iY (d LX (f ))
=X(Y (f )) − iY (d(X(f )))
=XY (f ) − d(X(f ))(Y )
=XY (f ) − Y X(f ) = [X, Y ](f )
=df [X, Y ] = i[X,Y ] df.
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UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´
4.7. OTRAS FORMULAS
QUE INVOLUCRAN LA DERIVADA DE LIE
137
Lo que demuestra la parte (b)
(c) Se procede por Inducci´on Matematica. Para 1−formas se tiene (se
toma X = Y0 Y = Y0 )
LX w (Y ) =iY LX w = LX ◦ iY − i[X,Y ] w (por (b))
=LX ◦ iY w − i[X,Y ] w
=LX ◦ iY w − i[X,Y ] w
=X(w(Y )) − w([X, Y ]).
Con lo que se tiene
LX (w(Y )) = (LX w)(Y ) + w(LX Y )
(4.41)
Ahora se supone por inducci´on que la proposici´on es verdadera para
(p − 1)−formas, por lo tanto,
LX w(Y1 , · · · , Yp ) = iY1 ◦ LX w(Y2 , · · · , Yp )
= LX ◦ iY1 w − i[X,Y1 ] w (Y2 , · · · , Yp )
p
X
w(Y2 , · · · , LX Yi , · · · , Yp )
= LX ◦ iY1 w (Y2 , · · · , Yp ) −
i=1
= LX w (Y1 , · · · , Yp ) −
p
X
i=1
− w([x, Y1 ], Y2 , · · · , Yp )
w(Y1 , · · · , LX Yi , · · · , YP )
Lo que demuestra (d)
(d) La prueba se presenta por inducci´on sobre p. En efecto, si w es una
1−forma, entonces (X = X0 , Y = Y1 )
dw(X, Y ) =iX dw(Y ) = (LX − d iX )w(Y )
=LX w(Y ) − d iX w(Y )
=iY LX w − Y ( iX w)
= LX iY − i[X,Y ] w − Y (w(X))
=LX w(Y ) − w([X, Y ]) − Y (w(X)).
Lo que demuestra que
d w(X, Y ) = X(w(Y )) − Y (w(X)) − w([X, Y ])
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
(4.42)
´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
138
y la formula queda demostrada para p = 1, se supone que la f´ormula
vale para p − 1 y se procede la prueba para una p−forma:
dw(Y0 , Y1 , · · · , Yp ) = iY0 d w(Y1 , · · · , Yp )
= LY0 − diY0 w(Y1 , · · · , Yp )
=LY0 w(Y1 , · · · , Yp ) − d iY0 w (Y1 , · · · , Yp )
p
X
=LY0 w(Y1 , · · · , Yp ) −
(−1)i Yi iY0 w(Y1 , · · · , Ybi , · · · , Yp )
−
X
i=1
(−1)
i+j
i<j
iY0 w([Yi , Yj ], Y1 , · · · , · · · , Ybi , · · · , Ybj , · · · , Yp )
=Y0 w(Y1 , · · · , Yp ) −
−
p
=
X
i<j
X
i=0
+
(−1)
i+j
p
X
i=1
(−1)i Yi w(Y0 , Y1 , · · · , Ybi , · · · , Yp )
w(Y0 , [Yi , Yj ], Y1 , · · · , · · · , Ybi , · · · , Ybj , · · · , Yp )
(−1)i Yi w(Y0 , Y1 , · · · , Ybi , · · · , Yp )
X
(−1)i+j w([Yi , Yj ], Y0 , Y1 , · · · , · · · , Ybi , · · · , Ybj , · · · , Yp )
i<j
Esto termina la demostraci´on de la parte (d) y tambi´en el Teorema.
§ 4.8.
X
♦
Conexi´
on af´ın y derivada covariante
La derivada exterior y la derivada de Lie LX T son formas de derivaci´on definidas que est´an limitadas puesto que la derivada exterior s´olo se aplica a
formas diferenciales y la derivada de Lie LX T, evaluada en p ∈ M depende
tanto de Xp como tambi´en del campo vectorial X en en una vecindad de
p. Para definir un operador que sea libre de tales limitaciones, se necesita
imponer estructuras adicionale sobre M. Lo que se presentar´a fu´e proporcionado por J. L. Koszul usando el transporte paralelo.
Una conexi´
on af´ın (o lineal) sobre una variedad diferenciable M es una
funci´on
∇ : X(M ) × X(M ) → X(M )
que satisface las siguientes identidades
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´ AF´IN Y DERIVADA COVARIANTE
4.8. CONEXION
139
(a) ∇f X+gY Z = f ∇X Y + g∇X Z,
(b) ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z,
(c) ∇X (f Y ) = f ∇X Y + X(f )Y ,
donde X, Y, Z ∈ X(M ) y f, g ∈ C ∞ (M ).
Observaciones
1. La diferencial de Frechet desarrollada en los cursos de C´alculo y An´alisis en Rn satisface esta definici´on.
2. Al escoger una vecindad coordenada sobre M con coordenadas (x1 , · · · , xn )
alrededor de p ∈ M y escribiendo
X=
n
X
i
X ∂i ,
Y =
i=1
donde ∂i =
∇X Y =
n
X
Y j ∂j ,
j=1
∂
, con lo que
∂xi
n
X
i=1
i
X ∇∂ i
n
X
j
Y ∂j =
j=1
n
X
i
i,j=1
Haciendo
∇∂ i ∂ j =
n
X
j
X Y ∇∂ i ∂ j +
n
X
X i ∂i (Y j )∂j .
i,j=1
Γkij ∂k ,
(4.43)
k=1
se concluye que las funciones Γkij son funciones diferenciables y que
∇X Y =
n
n X
X
k=1
i
XY
j
Γkij
k
+ X(Y ) ∂k .
i,j=1
(4.44)
Lo que demuestra que ∇X Y (p) s´olo depende X i (p), Y k (p) y de las
derivadas X(Y k )(p) de Y k seg´
un X.
La siguiente proposici´on aclara m´as la situaci´on de conexi´on afin.
Proposici´
on 4.8.1 Sea M una variedad diferenciable con una conexi´on
af´ın ∇ y c una curva diferenciable de I en M. Entonces existe una u
´nica
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
140
correspondencia que asocia a cada campo vectorial V sobre la curva c un
campo vectorial
DV
dt
sobre c, denominado derivada covariante de V en direcci´on de c, tal que,
para V, W ∈ X(M ) y f ∈ C ∞ (M )
(a)
D
DV
DW
(V + W ) =
+
,
dt
dt
dt
(b)
D
df
DV
(f V ) = V + f
,
dt
dt
dt
(c) Si existe Y ∈ X(M ) tal que V (t) = Y (c(t)), entonces
DV
= ∇dc/dt Y
dt
Demostraci´
on. Se supone inicialmente que existe una tal correspondencia
que satisface (a), (b) y (c). Sea ϕ : U ⊂ Rn → M una parametrizaci´on de
M con c(I) ⊂ x(U ) y sea (x1 (t), · · · , xn (t)) la expresi´on local de c(t), t ∈ I.
Entonces se puede expresar al campo V localmente como
V =
n
X
v i ∂j ,
j=1
donde v j = v j (t) y ∂j =
j = 1, · · · , n
∂
(c(t)). Por lo tanto, usando (a) y (b), se tiene
∂xj
n
n
X dv j
X D∂j
DV
=
∂j +
.
vj
dt
dt
dt
j=1
j=1
Por (c) y la definici´on de conexi´on af´ın proporcionan
n
X dxi
D∂j
= ∇dc/dt ∂j = ∇(P dxi ∂i ) ∂j =
∇∂ i ∂ j
dt
dt
dt
i=1
para i, j = 1, · · · , n. Por lo tanto,
n
n
X
X
dv j
dxi j
DV
=
∂j +
v ∇∂ i ∂ j
dt
dt
dt
j=1
i,j=1
(4.45)
La expresi´on (4.45) muestra que si existe tal correspondencia, entonces ´esta
es u
´nica.
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4.8. CONEXION
141
DV
en ϕ(U ) por 4.45. Es de caracdt
ter inmediato que 4.45 satisface las propiedades deseadas. Para ψ(W ) otra
DV
en ψ(W ) por
vecindad coordenada, con ψ(W ) ∩ ϕ(U ) 6= ∅ se define
dt
DV
4.45, las definiciones coinciden en ψ(W ) ∩ ϕ(U ), por la unicidad de
en
dt
ϕ(U ). Se obtiene entonces que la definici´on se puede extender a todo M, y
X
esto concluye la demostraci´on.
♦
Para demostrar la existencia, se define
La noci´on de paralelismo ahora surge con mayor naturalidad.
Definici´
on 4.8.1 Sea M una variedad diferenciable con una conexi´on af´ın
∇. Un campo vectorial V sobre una curva c : I → M se le llama paralelo
si
DV
= 0,
∀t ∈ I
dt
Proposici´
on 4.8.2 Sean M n una variedad diferenciable con una conexi´on
af´ın ∇, c : I → M una curva difernciable en M y V0 un vector tangente a
M en c(t0 ), t0 ∈ I. Entonces existe un campo vectorial paralelo V sobre c
tal que V (t0 ) = V0 ; V (t) recibe el nombre de transporte paralelo de V (t0 )
a lo larrgo de c.
Demostraci´
on. Se supone en primer lugar, que la Proposici´on fue demostrada para el caso en que c(I) est´a contenida en una s´ola vecindad coordenada local. Entonces para cada t1 ∈ I, c([t0 , t1 ]) ⊆ M y la compacidad de
c([t0 , t1 ]) muestra que existe un n´
umero finito de vecindades coordenadas
que lo cubre, donde por hip´otesis, V est´a definida. Por la unicidad, la definici´on coincide en donde la intersecci´on es no vac´ıa, proporcionando una
buena definici´on para V a lo largo de todo el intervalo [t0 , t1 ].
Por lo tanto, la Proposici´on s´olo se debe demostrar para cuando c(I) est´a contenida en el dominio de un sistema de coordenadas locales x : U ⊆ M → Rn
con coordenadas x1 , · · · , xn . Sea x(c(t)) = (x1 (t), · · · , xn (t)) la expresi´on de
c(t) en coordenadas locales y sea
V0 =
n
X
j=1
v0j ∂j ,
∂j =
∂
(c(t)).
∂xj
Se supone adem´as que existe un campo vectorialP
V sobre U que es paralelo
sobre c con V (t0 ) = V0 . Entonces, sobre c, V =
v j ∂j y utilizando (4.45)
se tiene
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
142
n
n
X
X
dv j
dxi j
DV
=
∂j +
v ∇∂ i ∂ j
dt
dt
dt
j=1
i,j=1
(4.46)
Usando (4.43) y remplazando j por k en la primera suma se tiene entonces
n n
X
DV
dv k X j dxi k
(4.47)
=
+
Γ ∂k .
v
dt
dt
dt ij
i,j=1
k=1
con lo que
n n
X
dv k X j dxi k
DV
=
+
Γij ∂k = 0.
v
dt
dt
dt
i,j=1
k=1
Por lo tanto, el sistema de n ecuaciones en v k = v k (t),
n
dv k (t) X j dxi k
+
Γ (c(t)) = 0,
v (t)
dt
dt ij
i,j=1
(k = 1, · · · , n)
(4.48)
posee una u
´nica soluci´on al satisfacer la condici´on inicial v k (t0 ) = v0k . Entonces se tiene que, si V existe es u
´nico. Adem´as, como el sistema es lineal,
cualquier soluci´on est´a definida para todo t ∈ I, lo que entonces demuestra la existencia (y unicidad) de V con las propiedades deseadas; el campo
vectorial V es entonces
Pn
j
Vt =
v
(t)∂
j
j=1
c(t)
(4.49)
V0 = V (t0 )
Nota. Transporte paralelo como isomorfismo.
X
♦
1. Se dice que el vector Vt ∈ Tc(t) M se obtiene del vector V0 por transporte paralelo sobre c, que por definici´on es constante sobre c.
2. Si τt : Tc(t0 ) M → Tc(t) M es el transporte paralelo tal que V) → Vt ,
entonces la ecuaci´on (4.48) implica que
(V + W )t = Vt + Wt
(λ V )t =
λVt
y por lo tanto el transporte paralelo es una transformaci´on lineal entre
espacios vectoriales tangentes.
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´ AF´IN Y DERIVADA COVARIANTE
4.8. CONEXION
143
3. Claramente,
es uno a uno.
τt : Tc(t0 ) M → Tc(t) M,
V0 → Vt
4. La funci´on τt−1 es el transporte paralelo a lo largo de la porci´on invertida de c desde t a t0 .
5. A lo largo de cuarquier curva c se obtiene un isomorfismo entre cualquier par de espacios tangentes Tc(t1 ) M y Tc(t2 ) M. Esto posibilita comparar o conectar espacios tangentes en puntos diferentes dados, proporcionando el uso adecuado del termino conexi´
on inventado por
Levi - Civita quien us´o la ecuaci´on (4.48) como definici´on.
6. El transporte paralelo τt est´a definido en terminos de ∇, pero tambi´en
el proceso se puede invertir.
Teorema 4.8.1 Sea M una variedad diferenciable de dimensi´
on n con una
conexi´on af´ın ∇ y c : I → M, I = (−ǫ, ǫ), ǫ > 0 una curva diferenciable
con c(0) = p y c′ (0) = Xp . Entonces
1 −1
(4.50)
∇Xp Y = l´ım
τh Yc(h) − Yp ,
(Y ∈ X(M ))
h→0 h
Demostraci´
on. Sean V1 , · · · , Vn campos vectoriales paralelos sobre c linealmente independientes en c(0) y as´ı en todo punto de c. Se toma
Y (c(t)) =
n
X
y i (t)V (t).
i=1
Entonces
#
" n
1 X i
1 −1
y (h)τh−1 Vi (h) − y i (0)Vi (0)
τh Yc(h) − Yp = l´ım
l´ım
h→0 h
h→0 h
" i=1
#
n
1 X i
= l´ım
y (h)Vi (0) − y i (0)Vi (0)
h→0 h
i=1
n
X
y i (h) − y i (0)
Vi (0)
h→0
h
i=1
n
n
X
dy i
D X i
=
(0)Vi (0) = y (t)Vi (t)
dt
dt
t=0
i=1
i=1
DY =
= ∇Xp Y.
dt t=0
=
l´ım
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
(4.51)
´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
144
X
♦
§ 4.9.
Derivaci´
on de campos tensoriales
En las secciones anteriores que han tratado la derivacion sobre variedades
se ha usado la derivaci´on covariante
D
dt
sobre variedadades con una conexi´on af´ın ∇ s´olo para derivar simples campos vectoriales en direcci´on a los vectores tangentes a una curva o en varias
direcciones Xp en un punto p de alguna variedad diferenciable M. Por lo
tanto, una vez se ha hecho este proceso, es relativamente simple extender dicho concepto a campos vectoriales tensoriales; la dificultad b´asica, es decir,
la carencia de un m´
etodo para comparar vectores, formas diferenciales, tensores y as´ı sucesivamente sobre espacios tangentes
alrededor de puntos q de un punto p ∈ M (que en general son distintos e isomorfos), ha sido de alguna manera superada, usando el grupo
local 1−param´etrico asociado al campo vectorial X para definir la derivada
de Lie LX . El transporte paralelo tambi´en permite comparar vectores de
Tp M con vectres de Tq M. Por lo tanto, se usar´a el transporte paralelo en
direcci´on a una curva desde el punto p al punto q para obtener derivaci´on
covariante para casos mas generales.
Primero, se diferenciar´a un campo tensorial en direcci´on de una curva diferenciable y entonces, mas tarde, se determina su derivada en varias direcciones Xp en el punto p de la variedad.
Para empezar, se considera entonces, un tensor covariante de orden s sobre
una variedad M con una conexi´on ∇, Φ ∈ T0s (M ) y se supone dada una
curva c(t), t ∈ I = (a, b), a 6= b, sobre M de clase C ∞ . Sea Φc(t) la restricci´on
de Φ a la curva c(t). Entonces,
Φc(t) ∈ T0s (Tc(t) M )
para cada t ∈ I, esto es, Φc(t) es un campo tensorial sobre c(t). Se denota
con τt el transporte paralelo a lo largo de c(t) desde un punto fijo c(t0 ) de
la curva.
τt : Tc(t0 ) M → Tc(t) M.
Esto es un isomorfismo de estos espacios tangentes y est´a determinado de
manera u
´nica por la curva c(t) y la conexi´on ∇. Y realmente es lo que
exactamente se necesita para definir la derivada de Φ en c(t0 ).
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´ DE CAMPOS TENSORIALES
4.9. DERIVACION
145
Definici´
on 4.9.1 Con la notaci´on inmediatamente anterior, la derivada
DΦ
dt
de un tensor Φ a lo largo de una curva c en el el punto c(t0 ) se define por
DΦ 1 ∗
= l´ım
τt Φc(t) − Φc(t0 ) .
(4.52)
dt t0 t→t0 t − t0
Esta definici´on proporciona que
DΦ dt
t0
es un tensor covariante de orden s sobre el espacio tangente Tc(t0 ) M. En
efecto, Dado un conjunto de s vectores Xt10 , · · · , Xts0 ∈ Tc(t0 ) M , entonces
DΦ/dt en c(t0 ) es el l´ımite cuando t → t0 de la expresi´on
1
τt∗ Φc(t) Xt10 , · · · , Xts0 − Φc(t0 ) Xt10 , · · · , Xts0
t − t0
que, para cada valor t cercano a t0 , es la multiplicaci´on de 1/(t − t0 ) por la
diferencia de dos tensores τt∗ Φc(t) y Φc(t0 ) sobre Tc(t0 ) M. Puesto que ambos
son tensores covariantes de orden s en el mismo espacio vectorial, se tiene
que el l´ımite tambi´en ser´a un tensor covariante de orden s, es decir, DΦ/dt
es un tensor covariante de orden s. Repitiendo este proceso en cada t0 del
DΦ
intervalo (a, b) se obtiene un campo tensorial covariante
a lo largo de
dt
c(t), con tal que se satisfaga la diferenciabilidad adecuada. Se desea decir
con esto, que para cualquier familia de campos vectoriales de clase C ∞ ,
i
Xti = Xc(t)
, i = 1, 2, · · · , s definidos sobre la curva diferenciable c(t), el
DΦ
valor de
sobre estos vectores
dt
DΦ 1
(Xt , · · · , Xts ),
dt
a < t < b.
debe ser una funci´on de clase C ∞ de variable t. En particular, esto debe ser
verdadero en la situaci´on mas frecuente: X 1 , · · · , X s sean campos vectoriales
de clase C ∞ sobre M y Xt1 , · · · , Xts son todos restringidos a la curva c(t).
Para ver que esto es de verdad una consecuencia de la definici´on y para
derivar computacionalmente f´ormulas, se demuestra el siguiente Lema.
Por conveniencia, se supone que Φ es de clse C ∞ (M ).
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´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
146
Lema 4.9.1 Sea Φ un campo tensorial covariante diferenciable de orden
s sobre M y sea c(t), a ≤ t ≤ b, una curva diferenciable sobre M. Si
Xt1 , · · · , Xts ∈ Tc(t) M , son campos vectoriales diferenciables sobre la curva
c(t), entonces para cada t0 ∈ (a, b) se tiene
d DΦ
1
s
1
s
Xt 0 , · · · , Xt 0 =
Φc(t) Xt , · · · , Xt
dt t0
dt
t=t0
!
n
i
X
DX
, · · · , Xts0
−
Φc(t0 ) Xt10 , · · · ,
dt
t=t0
i=1
Demostraci´
on. Por definici´on y por ser τt un isomorfismo lineal
DΦ
dt
t0
1
τt∗ Φc(t) Xt10 , · · · , Xts0 − Φc(t0 ) Xt10 , · · · , Xts0
t→t0 t − t0
1
= l´ım
Φc(t) τt Xt10 , · · · , τt Xts0 − Φc(t0 ) Xt10 , · · · , Xts0 ,
t→t0 t − t0
(4.53)
= l´ım
entonces restando y sumando
s
Φc(t) Xt1 , Xt2 · · · , Xti , τt Xti+1
,
·
·
·
,
τ
X
,
t
t
0
0
i = 1, · · · , s
en la ecuaci´on (4.53) y arreglando todos los t´erminos, junto con la linealidad
en c(t) y la continuidad del tensor Φ, se puede reescribir la ecuaci´on (4.53)
como
DΦ
dt
t0
!
i
i
−
X
τ
X
t
t
t0
=
, · · · , τt Xts0
Φc(t) Xt1 , · · · , Xti , l´ım
, τt Xti+1
0
t→t0
t
−
t
0
i=1
1
Φc(t) Xt1 , . . . , Xts − Φc(t0 ) Xt10 , . . . , Xts0 .
+ l´ım
t→t0 t − t0
(4.54)
n
X
Por otro lado, si X es un campo vectorial diferenciable sobre M, Xt es la
restricci´on a lo largo de ρ(t), entonces por ser τt un isomorfismo lineal
!
τt Xti0 − Xti
τ−t Xti − Xti0
l´ım
= − l´ım τt
t→t0
t→t0
t − t0
t − t0
(4.55)
DXt
DXt
= − τt 0
=−
dt t0
dt t0
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´ DE CAMPOS TENSORIALES
4.9. DERIVACION
147
Remplazando (4.55) en (4.54) y tomando el l´ımite se obtiene la f´ormula del
enunciado del Lema.
X
♦
Lo que t´ermina demostraci´on del Lema.
Observaciones.
Bajo el supuesto que M tiene asociada una conexi´on lineal ∇.
(a) Sea c(t), −ǫ < t < ǫ, una cuva diferenciable sobre M, tal que c(0) = p,
c′ (0) = Yp , Yp ∈ Tp M y X es un campo vectorial diferenciable sobre
M. Entonces la Proposici´on 4.8.1 permite escribir
DX
∇Yp X =
.
dt t=0
Recuerde que cada conexi´on lleva asociada una derivada covariante.
(b) Si se denota por ∇Yp Φ al tensor covariante de orden s el cual es obtenido por diferenciaci´on de Φ a lo largo de α(t) en t = 0, entonces la
f´ormula para DΦ/dt se convierte en
n
X
∇Yp Φ Xt1 , · · · , Xts = Yp Φ Xt1 , · · · , Xts −
Φ Xt1 , · · · , ∇Yp X i , · · · , Xts ,
i=1
(4.56)
donde X 1 , · · · , X s son campos vectoriales diferenciables sobre una
venciadad del punto p y u
´nicamente sus valores en p afectan el valor de ∇Yp Φ.
Todo lo anterior proporciona la siguiente definici´on.
Definici´
on 4.9.2 El tensor (0, s)−covariante sobre Tp M , ∇Yp Φ ∈ T0s (Tp(t) M )
se le llama la derivada covariante de Φ en p en la direcci´on de Yp .
Es claro que si una variedad diferenciable M tiene una conexi´on af´ın ∇ y
Y es un campo vectorial diferenciable sobre M en general se puede definir
∇Y Φ, basta observar que para cada p ∈ M, Xp ∈ Tp M,
∇ Y Φ p = ∇Yp Φ
de la definici´on anterior, esto es,
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´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
148
∇Y Φ
Xt1 , · · ·
, Xts
Xt1 , · · ·
=Y Φ
, Xts
n
X
−
Φ Xt1 , · · · , ∇Y X i , · · · , Xts ,
i=1
(4.57)
Observaciones
(a) Como caso particular, se tiene que si w es una 1-forma en Tp∗ (M ) y
X, Y ∈ Tp (M ), entonces de (4.56)
∇X w (Y ) = X(w(Y )) − w (∇X Y ) .
(b) Si f : M → R una funci´on diferenciable sobre M y df denota su diferencial, entonces df ser´a una 1-forma, aplicando la derivada covariante
para tensores tenemos
∇X df (Y ) = X(df (Y )) − df (∇X Y )
(4.58)
en donde X, Y son campos vectoriales diferenciables, adem´as es claro
que ∇X df (Y ) depende u
´nicamente de Xp , Yp .
La siguiente definici´on se presenta bajo las mismas condiciones iniciales de
la definici´on 4.9.1.
Definici´
on 4.9.3
(a) Si Φ es un tensor contravariante, es decir, Φ ∈ Tr0 (M ), entonces la
DΦ
a lo largo de una curva c en el el punto c(t0 ) se define
derivada
dt
por
DΦ 1 −1
= l´ım
τt Φc(t) − Φc(t0 ) .
(4.59)
dt t0 t→t0 t − t0
donde τt : Tc(t0 ) M → Tc(t) M es el transporte paralelo a lo largo de c(t)
desde un punto fijo c(t0 ) de la curva.
(b) Si Φ ∈ Trs (M ), que en forma de tensor expandible se puede escribir
como
Φ = v 1 ⊗ · · · ⊗ v r ⊗ u1 ⊗ · · · ⊗ us
donde vi ∈ X(M ) y uj ∈ X∗ (M ) entonces se define
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UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´ DE CAMPOS TENSORIALES
4.9. DERIVACION
DΦ dt
t0
149
τt−1 (v1 ⊗ · · · ⊗ vr )c(t) ⊗ τ ∗ (u1 ⊗ · · · ⊗ us )c(t) − Φc(t0 )
.
= l´ım
t→t0
t − t0
(4.60)
Lema 4.9.2 Sea Φ un campo tensorial diferenciable mixto de orden (r, s)
sobre M con r+s ≥ 2 y sea c(t), a ≤ t ≤ b, una curva diferenciable sobre M.
∗
Si ω 1 = ω 1 (t), · · · , ω r = ω r (t) ∈ Tc(t)
M y X1 = X1 (t), · · · , Xs = Xs (t) ∈
Tc(t) M , son campos vectoriales diferenciables sobre la curva c(t), entonces
para cada t0 ∈ (a, b) se tiene
DΦ
dt
t0
d 1
r
Φc(t) ω , · · · , ω , X1 , · · · , Xs
ω , · · · , ω , X1 , · · · , Xs t 0 =
dt
t=t0
n
i
X
Dω
, · · · , ω r , X1 , · · · , · · · , Xs
−
Φc(t0 ) ω 1 , · · · ,
dt
t=t0
i=1
n
X
DXi
−
Φc(t0 ) ω 1 , · · · , ω r , X1 , · · · ,
, · · · , Xs
dt
t=t0
i=1
1
r
Demostraci´
on. Usando el procedimiento del Lemma inmediatamente anX
terior, es un ejercicio simple.
♦
Observaciones.
Como en el caso de tensores covarariantes y bajo el supuesto que M es
variedad diferenciable se pude definir una conexi´on lineal ∇, como sigue
(a) Sea c(t), −ǫ < t < ǫ, una cuva diferenciable sobre M, tal que c(0) = p,
c′ (0) = Yp , Yp ∈ Tp M y Φ es un campo tensorial mixto de tipo (r, s)
diferenciable sobre M. Entonces se puede definir
DΦ
.
∇Yp Φ =
dt t=0
(b) Si se denota por ∇Yp Φ al tensor mixto de orden (r, s) el cual es obtenido por diferenciaci´on de Φ a lo largo de α(t) en t = 0, entonces la
f´ormula para DΦ/dt se se presenta de la siguiente manera
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
150
∇ΦYp Φ ω 1 , · · · , ω r , X1 , · · · , Xs = Yp Φ ω 1 , · · · , ω r , X1 , · · · , Xs
n
X
−
Φ ω 1 , · · · , ∇ Yp ω i , · · · , ω r , X1 , · · · , · · · , Xs
i=1
−
n
X
i=1
Φ ω 1 , · · · , ω r , X1 , · · · , ∇ Yp Xi , · · · , Xs
donde ω 1 , · · · , ω i ∈ X∗ (M ) y X1 , · · · , Xs ∈ X(M ) son diferenciables
sobre una venciadad del punto p y u
´nicamente sus valores en p afectan
el valor de ∇Yp Φ.
Lo anterior anterior proporciona la siguiente definici´on.
Definici´
on 4.9.4 Sea Φ un tensor mixto de tipo (r, s) sobre Tp M , entonces
∇Yp Φ ∈ T0s (Tp(t) M ) se le llama la derivada covariante de Φ en p en la
direcci´on de Yp .
Por esta definici´on, es claro que si M es una variedad diferenciable, Y es
un campo vectorial diferenciable sobre M y Φ es un campo tensorial mixto
diferenciable de tipo (r, s), en general se puede definir ∇Y Φ, basta observar
que para cada p ∈ M, Xp ∈ Tp M,
∇ Y Φ p = ∇Yp Φ
y adem´as
(∇ΦY Φ) ω 1 , · · · , ω r , X1 , · · · , Xs = Y Φ ω 1 , · · · , ω r , X1 , · · · , Xs
n
X
−
Φ ω 1 , · · · , ∇ Y ω i , · · · , ω r , X 1 , · · · , · · · , Xs
i=1
−
n
X
i=1
Φ ω 1 , · · · , ω r , X1 , · · · , (∇Y Xi ) , · · · , Xs
§ 4.10.
Ejercicios
Derivada de Lie
1. Sea M n una variedad diferenciable y (U, x1 , · · · , xn ) una vecindad
coordenada con p ∈ U ⊂ M. Si X ∈ X(M ), ω y σ son formas diferenciales, probar
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4.10. EJERCICIOS
151
a) LX (ω ∧ σ) = (LX ω) ∧ σ + ω ∧ LX σ
∂X i j
dx
j=1
∂xj
c) L∂xi ∂xj = 0, L∂xi (dxj ) = 0 para todo i, j.
b) LX dxi =
Pn
2. En R2 , se considera ω = dx ∧ dy y sea X(x, y) = (x, x + y) ∈ X(R2 ).
Calcular LX ω.
3. En R2 , sea t = x ∂y ⊗ dx ⊗ dy y X = ∂x + x∂y . Calcular LX t
4. Sea t = xy∂x ⊗ dy + y∂y ⊗ dx + ∂x ⊗ dy en T11 (R2 ) y si ϕ : R2 → R2
tal que ϕ(x, y) = (x + y, xy). Demostrar que
a) ϕ es un difeomorfismo
b) Calcular
L ϕ∗ X ϕ ∗ t
para X = y∂y + x2 ∂y
5. Sobre la esfera bi-dimensional S 2 se considera el sistema de coordenadas dado
β(θ, ϕ) = (cos θ cos ϕ, cos θ sen ϕ, sen θ)
y tiene como tensor asociado a la primera forma fundamental
α = dθ ⊗ dθ + cos2 θdφ ⊗ dφ.
Sea X = (ϕ, θ) ∈ X(S 2 ), calcular LX α.
6. Sea M n una variedad difernciable, si X, Y ∈ X(M ) y f ∈ C ∞ (M ).
Probar que
a) LX (f Y ) = f LX + (Xf )Y.
b) Lf X α = f LX α + df ∧ iX α, α ∈ Ωk (M )
c) LX LY Z + LY LZ X + LZ LX Y = 0
d ) LaX+bY T = aLX T + bLY T
e) Lf X Y = f LX Y − Y (f )X
(a, b ∈ R, T ∈ Trs (M )).
f ) LX (LY T ) − LY LX T = L[X,Y ]
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´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
152
7. En R2k con sistema de coordenadas (R2k , x1 , · · · , xk , y 1 , · · · , y k ) si
ω = dx1 ∧ dy 1 + · · · + dxk ∧ dy k .
Obtener una f´ormula para LX ω, donde X ∈ X(R2k )
8. En Rn , calcular LX g donde g es el producto interior usual en Rn y
X = (xn , · · · , x1 ) ∈ X(Rn )
9. Sobre ls esfera S 2 sea ω = θ dθ ∧ dϕ bajo el sistema de coordenadas
β(θ, ϕ) = (cos θ cos ϕ, cos θ sen ϕ, sen θ)
calcular LX β ∗ ω
10. Probar que si M n es una variedad diferenciable, X ∈ X(M ), ω i , i =
1, 2, · · · , p, son 1−formas, entonces
1
p
iX ω ∧ · · · ∧ ω =
p
X
i=1
(−1)i−1 ω i (X)ω 1 ∧ · · · ∧ ωbi ∧ · · · ∧ ω p
11. Sea M n una variedad diferenciable y ω la formula de volumen para
M. Si X ∈ X(M ), se define la divergencia del campo X, divX, como
el campo escalar de la siguiente f´ormula
LX ω = (div X)ω
a) Calcular div X, en R2 , si X(x, y) = (x, x + y).
b) Probar que si (U, x1 , · · · , xn ) es una vecindad coordenadade p ∈
M, entonces
n
1X ∂
div X =
(θX r )
θ r=1 ∂xr
donde ω = θ dx1 ∧ · · · ∧ dxn es la forma de volumen sobre M,
relativo a la vecindad coordenada dada.
P
12. Demostrar que si α = i ai dxi , entonces
LX α =
Xn
i
Xi
∂X j o i
∂ai
dx
+
a
j
∂xj
∂xi
Conexi´
on af´ın
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4.10. EJERCICIOS
153
13. Sea M una variedad diferenciablecon una conexi´on af´ın ∇. Sea (U, x1 , · · · , xn )
un sistema local de coordenadas en p ∈ M. Demostrar que
P
a) Si x = ni=1 X i ∂i ∈ X(M ), entonces
∇X d xi = −
b) Si ω =
Pn
i=1
n
X
X k Γikj d xj
k=1
ωi dxi , entonces
∇X ω = X k
∂ω
i
k
∂x
− Γjki ωj d xi
14. Sea M una variedad diferenciable con una conexi´on af´ın ∇. Probar
que
∇X (f X) = f ∇X Y + df (X) ⊗ Y
15. Sea ∇ una conexi´on af´ın sobre una variedad diferenciable M, ω una
1−forma sobre M, X, Y X(M ). Demostrar que ∇, definida por
∇X Y = ∇X Y + ω(X)Y + ω(Y )X,
es una conexi´on sobre M con la misma torsi´on que ∇, donde la torsi´on
asociada a ∇ se define como la funci´on
T : X(M ) × X(M ) → X(M )
tal que T (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ].
16. Si M es una variedad diferenciable con una conexi´on af´ın ∇ y X ∈
X(M ), probar que
a) ∇X preserva el caracter de tensor covariante
b) ∇X f = X(f ),
(f ∈ C ∞ (M ))
c) ∇X (S + T ) = ∇X S + ∇X T,
(S, T ∈ Tr0 (M ))
d ) ∇X (S ⊗ T ) = ∇X S ⊗ T + S ⊗ ∇X T,
(S, T ∈ Tr0 (M ))
17. Sea M una variedad diferenciable (recuerde la paracompacidad). Probar entonces que existe una conexi´on af´ın sobre M.
18. Verificar cada una de las siguientes propiedades para campos tensoriales sobre una variedad diferenciable M :
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
154
´ EN VARIEDADES
CAP´ITULO 4. DERIVACION
a) ∇X preserva el caracter de tensor mixto de tipo (r, s)
b) ∇X (S + T ) = ∇X S + ∇X T,
(S, T ∈ Trs (M ))
c) ∇X (S ⊗ T ) = ∇X S ⊗ T + S ⊗ ∇X T,
(S, T ∈ Trs (M ))
d ) ∇X conmuta con la operaci´on contracci´on.
19. Sea (U, x1 , · · · , xn ) una vecindad coordenada en una variedad diferenciable M n en p ∈ M. Calcular (∇∂1 dxi ⊗ ∂j )(x1 ∂1 , x1 dx1 )
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Cap´ıtulo 5
Integraci´
on de formas
diferenciales
§ 5.1.
Introducci´
on
Primero se presenta la integral de formas definidas sobre el dominio de
una s´ola carta, posteriormente cuando se encuentra sobre el dominio de
varias cartas y por ultimo se demuestra el Teorema de Stokes y algunas
consecuencias particulares.
§ 5.2.
Integraci´
on de formas
Para iniciar, sea M n una variedad diferenciable orientable. El soporte
sop f de una funci´on f definida de M en un espacio vectotial es la clausura
del conjunto de puntos p para el cual f (p) 6= 0 y cuando sop f es compacto
se dice que f es de soporte compacto. En lo que sigue se usa una relaci´on muy importante entre la orientaci´on de M y la existencia de alguna
n−forma diferenciable que no se anulan sobre M. Esto es, la orientaci´on de
M proporciona la existencia de una n−forma diferenciable θ que no se anula
sobre M y cualquier otra n−forma w se puede escribir como w = f θ. Se
toma f como una funci´on continua, acotada y de soporte compacto. Para
considerar la definici´on de
Z
w
M
se asume que w es de soporte compacto denotado con C y que est´a enteramente contenido en U ⊂ M donde (U, ϕ), es una carta de M, (ϕ(U ) ⊂ Rn )
155
156
´ DE FORMAS DIFERENCIALES
CAP´ITULO 5. INTEGRACION
con sistema de coordenadas (x1 , · · · , xn ), Sea ahora la expresi´on en coordenadas, (ϕ−1 )∗ (w), para w, es decir
(ϕ−1 )∗ (w) = f (x1 , · · · , xn )dx1 ∧ · · · ∧ dxn .
En este sentido, se define
(a) En el caso de M = Rn (w es una forma definida sobre un conjunto
abierto U ⊆ Rn ):
Z
Z
w=
f dx1 · · · dxn
(5.1)
U
U
donde el lado derecho es la integral multiple de Riemann en Rn .
(b) En general, sobre M
Z
Z
Z
w=
w=
M
U
−1 ∗
(ϕ ) w =
ϕ(U )
Z
ϕ(U )
f dx1 · · · dxn ,
(5.2)
la integral existe por las condiciones sobre f.
Ahora se debe demostrar que la integral as´ı definida es buena, es decir, es
independiente de la escogencia de la parametrizaci´on. En efecto, se toma
C = sop f contenido en el dominio de otra carta (V, ψ) con sistema de
cooredenadas (y1 , · · · , yn ); entonces colocando
(ψ −1 )∗ (w) = F (y1 , · · · , yn )dy1 ∧ · · · ∧ dyn
se tiene por definici´on que
Z
Z
Z
w=
w=
M
V
ψ(V )
F (y1 , · · · , yn )dy1 · · · dyn .
(5.3)
Se ver´a que (5.2) implica (5.3). Por la ley de transformaci´on para las componentes de una n−forma se tiene
f (x1 , · · · , xn ) = F (y1 , · · · , yn )
∂(y1 , · · · , yn )
∂(x1 , · · · , xn )
donde ∂(y1 , · · · , yn )/∂(x1 , · · · , xn ) es el determinante del difeomorfismo
ψ ◦ ϕ−1 : ϕ(W ) → ψ(W )
(x1 , · · · , xn ) → (y1 , · · · , yn )
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´ DE FORMAS
5.2. INTEGRACION
157
donde W = V ∩ V 6= ∅. Entonces por la regla para el cambio de variable en
una integral multiple se tiene
Z
Z
w=
f (x1 , · · · , xn )dx1 · · · dxn
M
ϕ(U )
Z
∂(y1 , · · · , yn ) ∂(x1 , · · · , xn ) =
F (y1 , · · · , yn )
dy1 · · · dyn
∂(x1 , · · · , xn ) ∂(y1 , · · · , yn )
ψ(V )
Como los determinantes Jacobianos tienen el mismo signo positivo ya que
a M se le ha asignado una orientaci´on, se tiene que
Z
Z
w=
F (y1 , · · · , yn )dy1 · · · dyn .
M
ψ(V )
lo que muestra que (5.2) y (5.3) tienen el mismo valor, es decir, la definici´on
de integral dada no depende del sistema de coordenadas escogido y porlo
tanto se tiene una buena definici´on.
5.2.1.
Integraci´
on de m−formas definidas sore varias
cartas
Ahora se considera el caso general cuando C, el soporte de w, no est´a contenido en el dominio de una carta de M. Se usar´a una partici´on de la unidad
sobre M, que existe(por el apendice A de este Cap´ıtulo), se expresa w como
la suma de formas diferenciales cada una con soporte enteramente contenido
en un dominio coordenado de M, y entonces se define
Z
w
M
como suma de integrales de tipo (5.2).
Sea {(Ui , ϕi )} una estructura diferenciable para M. Como M admite particiones de la unidad (por el Apendice A), se puede tomar {(gi )} una partici´on
de la unidad subordinada al cubrimiento abierto {Ui } de M, entonces cada
punto de C tiene una vecindad que intersecta a un n´
umero finito de soportes de los gi y estas vecindades cubren a C. Como C es compacto se puede
extraer un subrecubrimiento finito y por lo tanto existe k tal que
C ∩ sop gi = ∅
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´ DE FORMAS DIFERENCIALES
CAP´ITULO 5. INTEGRACION
158
para todo i > k, es decir, gi w = 0 para i > k; entonces
X
w=
gi w
(suma finita)
Como sop gi w ⊆ Ui para cada i, se puede usar (5.2) para definir la integral
de w sobre M por
Z
XZ
gi w
(suma finita).
(5.4)
w=
M
Ui
i
Por supuesto, que se debe verificar que esta definici´on no depende de la partici´on de la unidad escogida. Sea hj otra partici´on de la unidad subordinada
a otro cubrimiento abierto coordenado Vj de M con funci´on de coordenada
ψj : Vj → Rn . Entonces de (5.4)
X
XXZ
XZ
XZ
gi hj w
gi w
hj =
gi w =
i
Ui
Ui
i
j
i
Ui
j
como gi hj se anulan fuera de Ui ∩ Vj y las sumas son finitas, entonces
XZ
XXZ
XXZ
hj w.
gi hj w =
gi w =
i
j
Ui
j
i
Ui ∩Vj
j
Vj
Lo que demuestra que la definici´on dada por (5.4) es independiente de la
partici´on usada.
La siguiente definici´on se hace necesaria para continuar.
Sean M1n , M2n variedades diferenciables, U1 , U2 conjuntos abiertos de
M1 , M2 respectivamente y f : U1 → U2 un difeomorfismo. Entonces se dice
que f preserva orientaci´on si para cada n−forma w que pertenece a la clase
de orientaci´on M2 f ∗ w est´a en la clase de orientaci´on dada en M1 .
Teorema 5.2.1
(a) La integral
Z
w
M
cambia de signo cuando se cambia la orientaci´
on de M
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´ DE FORMAS
5.2. INTEGRACION
159
(b) Se tiene que
Z
(λ1 w1 + λ2 w2 ) = λ1
M
Z
w 1 + λ2
M
Z
w2
M
donde λ1 , λ2 ∈ R y w1 w2 ∈ Λn (M ).
(c) Sea f : M → N un difeomorfismo que preserva orientaci´
on entre
∗
variedades diferenciables orientadas N, M y sea w ∈ Λk (N ). Entonces
Z
∗
f w=
M
Z
w.
(5.5)
N
donde f ∗ es la traspuesta (pull-back) inducida por f, aplicada a formas.
Demostraci´
on. Por la definici´on de integral s´olo es necesario establecer
estas propiedades para formas cada una de las cuales con soporte compacto
en una s´ola vecindad coordenada. (a) es inmediato, (b) se obtiene de la correspondiente propiedad de integral sobre Rn . Entonces se demostrar´a (c).
En efecto, sea C = sop w ⊆ U, donde (U, ϕ) es una carta sobre N con sistema de coordenadas (x1 , · · · , xn ) y sea la expresi´on en coordenadas (ϕ−1 )∗ w
de w
F (x1 , · · · , xn )dx1 ∧ · · · ∧ dxn .
Entonces (f −1 (U ), ϕ ◦ f ) es una carta sobre M,
sop f ∗ w = f −1 (C) ⊆ f −1 (U )
y es compacto. Ahora sigue de la ley de transformacion de una n−forma
que f ∗ w y w tienen la misma expresi´on en coordenadas
F (x1 , · · · , xn )dx1 ∧ · · · ∧ dxn .
y as´ı
Z
w=
N
Z
∗
f w=
M
Z
f −1 (U )
F (x1 , · · · , xn )dx1 ∧ · · · ∧ dxn .
Lo que demuestra el Teorema.
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
X
♦
´ DE FORMAS DIFERENCIALES
CAP´ITULO 5. INTEGRACION
160
5.2.2.
Dominio regular y borde
El inter´es de esta secci´on son los dominios con frontera (o borde) tales como
las bolas unitarias en R3 cuya frontera es S 2 o M = S 1 × [0, 1] en R3 cuya
frontera son dos esferas S 1 . Un ejemplo b´asico es el semiplano Hn definido
por
H n = {(x1 , · · · , xn ) : xn ≥ 0}.
En la teor´ıa de los dominios con frontera, H n reemplaza a Rn , y el subespacio
dado por
{x ∈ H n : xn = 0}
recibe el nombre de frontera de H n . Naturalmente, H n tiene la topolog´ıa
inducida por Rn .
Sea M m una variedad diferenciable y D ⊂ M. Se dice que D es un dominio
regular en M si para cada p ∈ M se da alguna de las situaciones siguientes:
(a) Existe un conjunto abierto de p que est´a contenido en M − D.
(b) Existe un conjunto abierto de p que est´a contenido en D.
(c) Existe una carta (U, ψ) alrededor de p tal que ϕ(U ∩ D) = ϕ(U ) ∩ H m .
En el caso (a), p ∈ ext(D), en la topolog´ıa de M. La situaci´on (b), equivale
a que p ∈ int(D), en la topolog´ıa de M, y si se da (c), p ∈ ∂D, por lo que
los tres son excluyentes. Adem´as, cada punto de ∂D est´a en la situaci´on (c)
y para cada carta en esta situaci´on, los puntos t ∈ U, con tm = 0, tienen su
imagen en ∂D (ver, Gr´afica 1).
D
D
D
p•
ϕ
p
•
•p
Hm
U
•
Caso (b)
Caso (a)
ϕ(t)
Caso (c)
Gr´afica 1
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´ DE FORMAS
5.2. INTEGRACION
161
Una concecuencia de esta consideraci´on es que la estructura diferenciable
montada sobre M induce una estructura de diferenciable sobre ∂D de dimensi´on n − 1.
Sea (U, ϕ) una carta de M tal que U ∩ ∂D 6= ∅. Entonces U = U ∩ H n y
ϕ = ϕ|U define una carta sobre ∂D y el conjunto de estas cartas
A = {(U , ϕ) : (U, ϕ) es una parametrizaci´on de M }
proporciona una estructura diferenciable para ∂D. Lo que d´a un sistema
de coordenadas locales para ∂D que se puede usar para definir funciones
diferenciables, campos vectoriales tangentes y cotangentes, etc. sobre ∂D.
Teorema 5.2.2 Sea D un dominio regular con frontera en una n−variedad
orientada con ∂D 6= ∅. Entonces ∂D es variedad diferenciable orientable de
dimensi´
on n − 1.
Demostraci´
on. Sea p ∈ ∂D. Se consideran (U, ϕ) y (V, ψ) cartas (en M )
alrededor del punto p con sistemas de coordenadas (x1 , · · · , xn ), (y1 , · · · , yn )
respectivamente. Como p ∈ ∂D, xn = yn = 0 en p y xn > 0, yn > 0 en
puntos de D − ∂D. As´ı que en todos los puntos de U ∩ ∂D son tales que
(en el cambio de coordenadas),
yn (x1 , · · · , xn−1 , 0) = 0
y
∂yn
∂yn
∂yn
=
= ··· =
=0
∂x1
∂x2
∂xn−1
por lo tanto, la matriz jacobiana J de la transformaci´on de coordenadas
ψ ◦ ϕ−1 : (x1 , · · · , xn ) → (yn , · · · , yn )
es

∂y1 /∂x1
···
 ..

J = .
 ∂y1 /∂xn−1 · · ·
∂y1 /∂xn
···
∂yn−1 /∂x1
0
..
.
∂yn−1 /∂xn−1 0
∂yn−1 /∂xn
∂y n /∂xn





Como J es no singular, sigue entonces que ∂y n /∂xn 6= 0. En realidad,
∂y n /∂xn > 0 en ϕ(q), donde q ∈ U ∩ ∂D, ya que, si ϕ(q) = (q1 , · · · , qn−1 , 0),
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
´ DE FORMAS DIFERENCIALES
CAP´ITULO 5. INTEGRACION
162
entonces yn (q1 , · · · , qn−1 , t) > 0, donde t est´a en un intervalo suficientemente peque˜
no 0 < t < ε. Ahora sean (U, ϕ) y (V, φ) cartas consecuentemente
orientadas, entonces det J > 0 y como ∂yn /∂xn > 0, se concluye que


∂y1 /∂x1
· · · ∂yn−1 /∂x1


..
det  ...
>0
.
∂y1 /∂xn−1 · · · ∂yn−1 /∂xn−1
en ϕ(q). Como este es el determinante jacobiano para el cambio de coordenadas de (U , ϕ) a (V , ψ), donde U = U ∩ ∂D, V = V ∩ ∂D, ϕ = ϕ|U
y ψ = ψ|V sobre ∂D, se tiene entonces que las cartas (U , ϕ) y (V , ψ), son
X
consecuentemente orientadas. Por lo tanto ∂D es orientable.
♦
La orientaci´on inducida sobre ∂D se define como sigue: la base
(∂/∂x1 , · · · , ∂/∂xn−1 )
de Tx (∂D) se dice positivamente orientada si la base
(∂/∂xn , ∂/∂x1 , · · · , ∂/∂xn−1 )
es consecuentemente orientada en la orientaci´on de M. Esto implica que
cuando a H n se le ha dado la orientaci´on est´andar dx1 ∧ · · · ∧ dxn la
orientaci´on inducida de ∂H n es definida por la clase de equivalencia de
(−1)n dx1 ∧ · · · ∧ dxn−1 . El factor (−1)n ha sido introducido para eliminar
un signo desagradable que aparece en el desarrollo de la demostraci´on del
Teorema de Fundamental del C´alculo en variedades.
5.2.3.
Teorema Fundamental del C´
alculo
Teorema 5.2.3 Sea M n una variedad diferenciable orientada y D un dominio regular con frontera ∂D con orientaci´
on inducida. Si w es una (n−1)forma diferenciable de soporte compacto, entonces
Z
Z
ω=
dω
(5.6)
∂D
D
Demostraci´
on. En efecto, si m = 1, ω es de grado cero, quedando el Teorema Fundamental del C´alculo integral en una variable real.
Como ambos lados de la igualdad a establecer son lineales sobre w es suficiente, en vista de la definici´on de integral sobre variedades, considerar el
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´ DE FORMAS
5.2. INTEGRACION
163
caso en el que w tiene soporte compacto C contenido en el dominio U de la
de la carta (U, ϕ) con sistema de coordenada (x1 , · · · , xn ). M´as preciso, se
asume que C ⊂ C donde C es el hipercubo
C = {x = (x1 , · · · , xn ) : 0 ≤ xi ≤ a}.
Sea la expresi´on en coordenadas (ϕ−1 )∗ (w) para w
−1 ∗
(ϕ ) (ω) =
n
X
j=1
cj ∧ · · · ∧ .dxn
(−1)j−1 fj (x1 , · · · , xn )dx1 ∧ · · · ∧ dx
(5.7)
donde el s´ımbolo b indica que el t´ermino se ha omitido. Entonces por el
Teorema 4.4.2
n
X
∂fj
dx1 ∧ · · · ∧ dxn .
(ϕ ) (dω) = d[(ϕ ) (ω)] =
∂xj
j=1
−1 ∗
−1 ∗
(5.8)
Y por lo tanto
Z
Z X
Z a
n
n Z a
X
∂fj
∂fj dω =
dx1 ∧ · · · ∧ dxn =
···
dx1 · · · dxn .
∂xj
M
C
0 ∂xj
j=1
j=1 0
lo que proporciona (integrando respecto a xj )
Z
dω =
M
n Z
X
j=1
a
0
···
Z
a
0
h
fj (x1 , · · · , xj−1 , a, xj+1 , · · · , xn )−
i
(5.9)
cj · · · dxn .
fj (x1 , · · · , xj−1 , 0, xj+1 , · · · , xn ) dx1 · · · dx
Dos posibilidades se necesitan para estudiar (5.6):
(i) C ∩∂D = ∅,
(ii) C ∩∂D 6= ∅
En el caso (i), fj = 0 cuando xj = 0, o bien xj = a (j = 1, · · · , n) y as´ı cada
integral en la suma (5.9) vale cero. con lo que
Z
dw = 0,
D
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CAP´ITULO 5. INTEGRACION
164
tambi´en, como w = 0 sobre ∂M, entonces
Z
w = 0.
∂D
En el caso (ii) y como C ⊂ ϕ−1 (C) se tiene que todas las integrales del lado
derecho de 5.9 valen cero excepto la ultima y as´ı
Z a
Z
Z a
fn (x1 , · · · , xn−1 , 0)dx1 · · · dxn .
(5.10)
···
=−
D
0
0
Como xn = 0 en ∂H n entonces dxn = 0 sobre ∂H n y por lo tanto sobre
ϕ(∂D), esto implica que (5.7) se transforme (sobre ϕ(∂D)) en
(ϕ−1 )∗ (w) = (−1)n−1 fn (x1 , · · · , xn )dx1 · · · dxn−1
con lo que (usando el factor de orientaci´on y (5.10))
Z
Z
Z a
Z a
n
n−1
w = (−1) (−1)
fn (x1 , · · · , xn−1 , 0)dx1 · · · dxn−1 =
dw.
···
∂D
0
0
D
X
♦
Lo que demuestra el Teorema.
Corolario 5.2.3.1 Si M es una n−superficie compacta y w una (n−1)−forma
diferenciable sobre M , entonces
Z
dw = 0
M
5.2.4.
Formas cl´
asicas del teorema fundamental del
C´
alculo
F´
ormula de Green.
Sea M = R2 con la oririentaci´on usual. Sea D un un dominio regular compacto con borde en M, y ∂D con la orientaci´on borde. Sea
ω = αdx + βdy
una uno forma diferencal de clase uno sobre R2 . Entonces
Z
Z
Z Z ∂β ∂α −
dxdy
αdx + βdy =
hv, ti ds =
∂y
∂D
∂D
D ∂x
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5.2. INTEGRACION
165
donde v es el vector (α, β) y t es el vector unitario tangente y positivo a
∂D.
En efecto, por el Teorema de Stokes
Z
Z
ω=
dω
∂D
es decir,
D
Z
Z Z ∂β ∂α −
dxdy.
αdx + βdy =
∂y
∂D
D ∂x
Si t = (t1 , t2 ) es el vector unitario tangente y positivo a ∂D. entonces la
f´ormula del elemento volumen para curvas proporcionan que
t1 ds = dx
y
t2 ds = dy
donde ds es la forma diferencial elemento de longitud; con lo que
Z
Z
Z
αdx + βdy =
αt1 ds + βt2 ds =
hv, ti ds.
∂D
∂D
∂D
Lo que t´ermina la verificaci´on de la f´ormula de Green en el plano.
F´
ormula de Gauss-Ostrogradski o de la divergencia
Sea M = R3 con la orientaci´on usual y Sea D un dominio regular compacto
con borde em M y ∂D la superficie borde con la orientaci´on borde. Sea
n = (n1 , n2 , n3 ) el vector unitario normal exterior a ∂D. Sea v = (a, b, c)un
campo vectorial de clase uno en R3 . Entonces
Z
Z hv, ni dA =
div v dV
∂D
Z
D
Z ∂c ∂a ∂b
+
+
dx dy dz
hv, ni dA =
∂y ∂y
∂D
D ∂x
y si ω = a dy ∧ dz + b dz ∧ dx + c dx ∧ dy, entonces la f´ormula de Gauss toma
la forma
Z
Z
Z ∂a ∂b
∂c ω=
hv, ni dA =
+
+
dx dy dz.
∂y ∂y
∂D
∂D
D ∂x
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CAP´ITULO 5. INTEGRACION
166
En efecto, al definir en R3 , la 2−forma diferencial
ω = a dy ∧ dz + b dz ∧ dx + c dx ∧ dy,
entonces
∂b
∂c +
dx ∧ dy ∧ dz
∂x ∂y ∂y
por lo que el Teorema de Stokes afirma en este caso que
Z
Z ∂c ∂a ∂b
+
+
dx dy dz.
a dy ∧ dz + b dz ∧ dx + c dx ∧ dy =
∂y ∂y
∂D
D ∂x
dω =
∂a
+
Como en ∂D el elemento de volumen (en este caso ´area) es
dA = n1 dy ∧ dz + n2 dz ∧ dx + n3 dx ∧ dz
con
n1 dA = dy ∧ dz,
n2 dA = dz ∧ dx,
n3 dA = dx ∧ dy
Por lo tanto,
Z
Z
a dy ∧ dz + b dz ∧ dx + c dx ∧ dy =
an1 dA + bn2 dA + cn3 dA
∂D
∂D
Z
=
hv, ni dA
∂D
prob´andose el resultado deseado.
F´
ormula de Stokes o rotacional
Sean M una 2−superficie orientada contenida en R3 y D un dominio regular em M con D compacto. Sea ∂D con la orientaci´on borde. Sea n =
(n1 , n2 , n3 ) la normal exterior a M y t = (t1 , t2 , t3 ) el vector unitario tangente positivo a ∂D. Sea v = (a, b, c) un campo vectorial de clase uno en
R3 . Entonces
Z
Z
hv, ti ds =
hrot v, ni dA
∂D
D
y si ω = a dx + b dy + c dz, entonces
Z
ω=
∂D
Z ∂a ∂c ∂b ∂a ∂c
∂b −
−
−
dy ∧ dz +
dz ∧ dx +
dx ∧ dy
∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
D ∂y
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5.2. INTEGRACION
167
En efecto, se define en M la 1−forma diferencial
ω = a dx + b dy + c dz
de donde
∂c
∂a ∂c ∂b ∂a ∂b −
−
−
dω =
dy ∧ dz +
dz ∧ dx +
dx ∧ dy
∂y ∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
y el Teorema de Stokes dice, para este caso
Z
Z ∂a ∂c ∂b ∂a ∂b ∂c
−
−
−
dy ∧ dz +
dz ∧ dx +
dx ∧ dy
ω=
∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
∂D
D ∂y
Como en M la f´ormula de ´area satisface
dA = n1 dy ∧ dz + n2 dz ∧ dx + n3 dx ∧ dy
y
n dA = dy ∧ dz,
nn2 dA = dz ∧ dx,
y adem´as, en ∂D se satisface que
ds = t1 dx + t2 dy + t3 dz,
Por lo tanto,
Z
Z
a dx + b dy + c dz =
∂D
n3 dA = dx ∧ dy
t1 ds = dx, t2 ds = dy, t3 ds = dz.
a t1 ds + b t2 ds + c t3 ds =
∂D
Z
∂D
hv, ti ds
y tambi´en
Z
a dx + b dy + c dz =
∂D
Z ∂a ∂c ∂b ∂a ∂b ∂c
−
−
−
dy ∧ dz +
dz ∧ dx +
dx ∧ dy
=
∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
D ∂y
Z ∂a ∂c ∂b ∂a ∂c
∂b =
−
−
−
n1 dA +
n2 dA +
n3 dA
∂y ∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
ZD
=
hrot v, ni dA
D
con lo que
Z
a dx + b dy + c dz =
∂D
Z
∂D
hv, ti ds =
Z
D
que es el resultado buscado.
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA
hrot v, ni dA
168
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CAP´ITULO 5. INTEGRACION
§ 5.3.
Ejercicios
1. Sea ϕ : R2 → R2 la transformaci´on dada por Φ(r, θ) = (x, y), donde
x = r cos θ y y = r sen θ. Encontrar Φ∗ (dx ∧ dy).
2. Sea Φ : R3 → R3 la transformaci´on dada por Φ(r, θ, ϕ) = (x, y, z), en
donde
x = r sen θ cos ϕ,
y = r sen θ sen ϕ,
z = r cos θ.
Calcular Φ∗ (dx ∧ dy ∧ dz).
3. Sea M una 2−superficie orientada y (x, y, z) las coordenadas en R3 ,
en el entorno de cada punto de M se tiene una parametrizaci´on ϕ :
Ω ⊂ R2 → R3 , dada por
x = x(u, v),
y = y(u, v),
z = z(u, v),
con Ω conjunto abierto, ϕ diferenciable y con Dϕ(u, v) de rango dos
y tal que mantiene la orientaci´on. Probar
a) Si dA denota el elemento de ´area para M, entonces
dA = n1 dy ∧ dz + n2 dz ∧ dx + n3 dx ∧ dy,
donde n = (n1 , n2 , n3 ) es el vector unitario normal exterior a M.
b) dA satisface
n1 dA =dy ∧ dz,
n2 dA =dz ∧ dx,
n3 dA =dx ∧ dy.
c) ϕ∗ (dA) satisface
s
∂y
ϕ∗ (dAM ) = ∂u
∂z
∂u
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-
∂y 2
∂v ∂z ∂v
∂z
+ ∂u
∂x
∂u
∂z 2
∂v ∂x ∂v
∂x
+ ∂u
∂y
∂u
∂x 2
∂v ∂y ∂v
du ∧ dv.
(5.11)
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5.3. EJERCICIOS
169
d ) Si la parametrizaci´on ϕ es de la forma ϕ : G → R3 , con
ϕ(x, y) = (x, y, f (x, y)),
con G abierto de R2 , entonces,
ϕ∗ (dA) =
4. Calcular
q
1 + (fx )2 + (fy )2 dx ∧ dy.
Z
w,
M
orientando previamente M, en los casos siguientes
a) M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}
w = y 2 dy ∧ dz − xdz ∧ dx + ydx ∧ dy.
b) M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1},
w = y 2 dy ∧ dz − ydz ∧ dx + ydx ∧ dy.
c) M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0},
w = y 2 dy ∧ dz − ydz ∧ dx + ydx ∧ dy.
d ) M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 − z = 0},
w = xdy ∧ dz + ydz ∧ dx − ydx ∧ dy.
e) M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1, |z| ≤ 1},
w = 2xdy ∧ dz + 3ydz ∧ dx + z 2 dx ∧ dy.
5. Sea C la curva de intersecci´on de la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 y el plano
x + y + z = 0. Calcular,
Z
ydx + zdy + xdz.
C
√
R. πa2 3
6. Sea C La curva de intersecci´on del cilindro x2 + y 2 = 2y y el plano
y = z. Calcular
Z
(y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz
C
R. 0
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CAP´ITULO 5. INTEGRACION
170
7. Sea C la intersecci´on del hemisferio x2 + y 2 + z 2 = 2ax, z > 0 y el
cilindro x2 + y 2 = 2bx, donde 0 < b < a. Probar que
Z
(y 2 + z 2 )dx + (x2 + z 2 )dy + (x2 + y 2 )dz = 2πab2
C
8. Calcular el volumen de un elipsoide.
9. Una funci´on u se dice arm´onica en un subconjunto abierto G de R3 si
u ∈ C 2 (G) y en G
∆2 u = uxx + uyy + uzz = 0.
Demostrar que
a) la funci´on
v(x, y, z) =
[(x −
a)2
1
+ (y − b)2 + (z − c)2 ]1/2
es arm´onica sobre R3 − {(a, b, c)}.
b) Si u es arm´onica en un abierto Ω de (a, b, c) y Sr es la esfera de
centro (a, b, c) y radio r, de tal manera que Sr ⊆ Ω, entonces
Z
1
u(a, b, c) =
u dA.
4πr2 Sr
Es decir, el valor de u en el centro es igual al valor medio de los
valores de u en la superficie esferica
10. Sean g : R3 → R, f : R3 → R funciones diferenciables y M 3 ⊂ R3 un
dominio diferenciable compacto con frontera ∂M. Probar que (Primera
identidad de Green)
Z
Z
Z
2
hgrad f, grad gi v +
f∆ g v =
f hgrad g, N i σ
M
M
∂M
donde v y σ son, respectivamente, el elemento volumen de M y el
elemento de ´area de ∂M y N es el vector unitario normal de ∂M.
Sugerencia: Tomar v = f grad g en la F´ormula de la Divergencia.
11. Bajo las condiciones del ejercicio 10, probar la segunda identidad de
Green
Z
Z
2
2
(f ∆ g − g∆ f ) v =
(f hgrad g, N i − g hgrad f, N i)σ.
M
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∂M
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220
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CAP´ITULO 5. INTEGRACION
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Bibliograf´ıa
[1] Do Carmo, M., Differential Geometry of Curves and Superfaces.
Printece - Hall, New Jersy. 1976. Es un libro pr´
acticamente cl´
asico,
b´asico y presenta de manera adecuada los temas de geometr´ıa diferencial en superficies inmersas en R3 , hace un buen aprovechamiento de
la geometr´ıa intrinsica de las superficies bi-dimensional, adem´as deja
claro el problema local y global de las superficies; como temas importantes para entrar a estudiar, con bases s´
olidas, el ´
area de la Geometr´ıa
Diferencial. Este libro est´
a escrito en 503 p´aginas y consta de 5
cap´ıtulos b´asicos que, naturalmente, deberi´an ser estudiados en un primer curso introductorio.
[2] Do Carmo, M., Geometr´ıa Riemanniana. 2a Edi¸ce
ao.Rio de Janeiro.
Brasil. 1988. Este libro, de 299 p´aginas relativamente c´asico, presenta los temas introductorios y b´asicos de la Geometr´ıa Riemanniana, es
muy ameno en su lectura, pero de cuidado. La Geometr´ıa Riemanniana
es buena parte del nucleo b´asico para estudio de la Geometr´ıa diferencial, es comparable con el An´
alisis Funcional en el estudio del An´
alisis
Matem´atico Teorico y Aplicado.
[3] Fomenko, A. T., Symplectic Geometry. Moscuw. 1998. Es un libro
de 387 p´aginas empieza el estudio de la Geometr´ıa Simplectica desde
los espacios vectoriales reales de dimensi´
on par con productos interiores simplecticos y entra suavemente en el estudio de la Geometr´ıa
Simpl´ectica de Variedades Diferenciables tocando posteriormente los
sistemas Hamiltonianos y los m´etodos efectivos de construcci´on de sistemas completamente integrables entre otros. El autor hace agradable
221
BIBLIOGRAF´IA
222
el estudio de la Geometr´ıa Simpl´ectica y la muestra como una a´rea
importante de la Matem´atica.
[4] Frankel, T., The Geometry of Physics. Cambrige University. 2001.
Este libro de 666 p´aginas, muy interesante para profesionales que
desean usar los M´etodos de la Geometr´ıa Diferencial como herramienta para modelar los problemas de la F´ısica Te´orica, en particular, hace
un gran efuerzo para presentar, de manera adecuada, la combinaci´on
entre el An´
alisis Matem´atico, la Geometr´ıa y la F´ısica. Una lectura de
este libro ser´ıa muy provechosa si de antemano se estudia [1].
[5] Gallot-Hullin-Lafontaine, Riemannian Geometry. 2a ed., Springer. 1990. Este libro de 284 p´agina de un buen nivel introductorio b´asico
de la Geometr´ıa Riemanniana y An´
alisis Geom´etrico, tiene como base
previa el estudio de los Fundamentos de Variedades Diferenciables y
Grupos de Lie, por ejemplo [9].
[6] Munkres, J., Topology. Es un libro interesante de Topolog´ıa dividido
en dos partes, la primera trata de Topolog´ıa General y la segunda
es una introducci´on a la Topolog´ıa Algebraica que resulta excelente
para estudiantes interesados en el An´alisis Matem´atico y sobre todo
para aquellos que desean establecerse en los estudios de la Geometr´ıa,
´
especialmente Diferencial y Algebraica.
[7] O’Neill, B., Semi-Riemannianan Geometry: Aplication to Relativity.
University of California. Los Angeles California. Academic Press. 1983.
468 p´aginas. Excelente libro de Geometr´ıa Semi-Riemanniana con aplicaciones especiales a la Teor´ıa de la Relatividad y a la Cosmolog´ıa.
[8] Spivak, M., A comprehensive Introduction to Differential Geometry. Publish or Perish. 1990. Es una interesante recopilaci´on, 2.785
p´aginas en 5 volumenes, de estudios en Geometr´ıa Diferencial. Todo
estudiante de Geometr´ıa Diferencial ha consultado muchas veces estos
cinco volumenes.
[9] Warner F. W., Fundations of Differentiable Manifolds and Lie Grupos. Springer. 1983. Un excelente libro de 274 p´aginas, muy importante
en el ´
area de la Geometr´ıa Diferencial, contiene de manera muy adecuada y simplificada los temas de C´
alculo en Variedades necesarios para
estudiar y entender comodamente Geometr´ıa Diferencial y en particular
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
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BIBLIOGRAF´IA
223
para abordar las ´
areas de Geometr´ıa Semi-Riemanniana, Riemanniana, Sub-Riemanniana, An´
alisis Geom´etrico y Simpl´ectica entre otras
l´ıneas espec´ıfica de la Geometr´ıa Diferencial.
CARLOS ANTONIO JULIO-ARRIETA