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A. Guillerand – BCPST 1 A
Correction des exercices
Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015
Correction du TD P7 – Thermodynamique – Description des différents états de
la matière
2. Distance intermoléculaire
Exercices d’applications
1.
= 1 , ainsi :
1=%
Distances intermoléculaires –
Interprétation des forces d’interactions
1
∗
Dans un modèle cubique
∗ ,!/
1GP = 3,4.10 $ m = 3,4nm
∗
1ℓ = 3,1.10
Calcul pour l’air :
!7
m = 0,31nm
3. Comparaison avec la dimension d’une molécule
En considérant le modèle des gaz parfaits :
=
La distance entre deux molécules en phase liquide est du
même ordre de grandeur que la taille des molécules.
Le volume d’une mole vaut donc :
La distance entre deux molécules en phase gaz est 10 fois
supérieure que celle entre deux molécules en phase liquide.
=
Ainsi les forces intermoléculaires (à courte portée) sont
Pour calculer le volume moléculaire ∗ il faut diviser le beaucoup plus intenses dans l’état liquide que dans l’état
volume molaire par le nombre d’Avogadro :
gazeux.
∗
=
2
Application numérique :
∗
=
8,31 × 273,15
1.10 × 6,02.10
∗
= 3,77.10
= 3,8.10
m
m
Volume molaire d’un gaz parfait
Rappel : système international d’unités : pressions en
pascals, volume en mètres cubes, température en kelvins,
quantités de matière en moles. Dans ces conditions, la
constante des gaz parfaits est R = 8,314 J.K–1.mol–1.
1. Conditions normales
m
Calcul pour l’eau liquide :
Le volume massique de l’eau dans les conditions normales
vaut : (1 litre correspond à 1 kg)
= 1.10 m . kg
m
!
=
×"
m
2.
Pour calculer le volume moléculaire ∗ il faut diviser le
volume molaire par le nombre d’Avogadro :
∗
=
=
"
1.10 × 18.10
=
6,02.10
m
∗
= 3,0.10
∗ %liquide,
≈
= 2,99.10
$
m
$
m
!
8,314 × %273,15 + 20,
= 2,4060. 10 m
1,013. 10
= 24,1L. mol
!
Autre condition (T = 373 K, p = 1,00 bar)
Application numérique :
∗
= 22,4L. mol
m
Conditions usuelles
m
3.
=
8,314 × 273,15
= 2,2418. 10
1,013. 10
Par analyse dimensionnelle le volume molaire vaut :
=
=
m
=
8,314 × 373
= 3,1011. 10
1,00. 10
m
= 31,0L. mol
m
!
∗ %gaz,/10
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Application numérique :
Refroidissement d’un gaz supposé parfait
K=
On considère de l’hélium contenu dans un récipient à la
pression atmosphérique 1035hPa.
1.10 × 5.10 × 29.10
8,31 × 273,15
K = 6,4mg
1. Baisse de température : influence sur <
En diminuant la température de manière à se rapprocher du
zéro absolu, à volume et quantité de matière constante, dans
le modèle des gaz parfait, la pression va diminuer car :
=
5
Pression partielle
D’après la loi des gaz parfaits appliquée à chaque gaz du
mélange :
×
2. Baise de température : influence sur <
D’après l’équation d’état des gaz parfait on a :
=
avec la température absolue. Quand = = −273,15°C, la
température absolue vaut = 0K, donc
tend vers 0.
3. Interprétation
Mathématiquement
≠ 0.
= 0 si
= 0 et
≠ 0 ou
= 0 et
=
He
NL
=
NL
He
+
NL
=
tot
Ainsi :
NL
Au niveau microscopique à = 0K l’agitation thermique
est nulle : c’est-à-dire que les molécules sont immobiles.
Ainsi il n’y a pas de choc entre les molécules et les parois
délimitant le système, donc la pression est nulle.
Remarque : évidemment avant d’atteindre 0K l’hélium se
liquéfiera ( fus %He, = −272,2K.
He
NL
21
1
78
"%N , +
"%O , +
"%Ar,
100
100
100
"%air, = 29g. mol
!
= 0°C,
En utilisant le modèle des gaz parfait :
=
=
−
NL
He
=
0,12 × 8,31 × %273 + 25,
= 1,49.10 Pa
2.10
He
= 2.10 − 1,49.10 = 0,51.10 Pa
He
=
0,51.10 × 2.10
= 0,042mol
8,31 × %273 + 25,
6
= 1bar
Autre modélisation d’un gaz réel
Le dihydrogène gazeux peut être modélisé en gaz de Joule
d’équation d’état % − N, =
, avec N constante
positive égale à 2,7.10 en unités SI.
1. O
K
=
"
Par analyse dimensionnelle dim% N, = dim% ,, N est donc
homogène à un volume molaire, en m . mol !.
Ainsi :
K=
tot
!
2. Masse d’air
On appelle conditions normales :
=
NL
Application numérique :
1. Masse molaire de l’air
"%air, = 28,959g. mol
=
He
Masse d’air
"%air, =
He
De plus, d’après la loi de Dalton :
Physiquement
ne peut pas être égal à zéro : cela
signifierait qu’il n’y aurait pas de matière. On a donc = 0.
4
= 6,388.10 g
"
Quand la pression tend vers +∞ le terme − N tend vers
zéro. Ainsi
tend vers N. Or si la pression tend vers
l’infini le volume doit tendre vers le volume qu’occuperait
les molécules si elles étaient toute en contact. étant le
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nombre de moles, N correspond au volume d’une mole de 4. Limite du modèle
molécules au contact.
Ce modèle ne tient pas compte d’interaction entre
molécules. A 20 bar la pression est tellement importante
2. Isotherme en coordonnées d’Amagat
que les interactions ne sont plus négligeables.
Exprimons
en fonction de :
=
+
N
Exercices d’entraînement
On a donc une équation de droite de coefficient
directeur N > 0 et d’ordonnée à l’origine
.
7
Pression des pneus
Quelque soit la pression et la température, tant qu’on
n’ouvre pas la valve des pneus, la quantité de matière des
pneus est constante. Leur volume V ne varie que peu, sauf si
la pression dans le pneu est égale à la pression
atmosphérique. On a donc, en notant ′ la pression des
pneus revenus à température ambiante :
Le produit
du gaz réel est supérieur à celui que
l’on aurait si le gaz était parfait (
, à pression et
température égales. Ainsi le volume du gaz est plus
grand que celui du gaz parfait à pression et
température égales : il est moins compressible.
3. Volume molaire
Isolons
= /
% − N, =
=
+
=
+ N
′
= Cste =
N
=
m
m
On a donc :
′=
m
m
Application numérique :
=
+N
S
Application numérique :
=
8,31 × 300
+ 2,7.10
10
= 24,96.10 m . mol
!
= 25L. mol
Par analyse dimensionnelle :
=
273 + 20
= 1,909bar
273 + 80
< 2,0 bar donc l’automobiliste doit regonfler ses pneus.
S
!
8
= 2,7 ×
Pression des pneus
Un pneu de voiture est gonflé à la température de 20,0°C
sous la pression de 2,10 bar. Son volume intérieur, supposé
constant est de 30L.
1. Quantité d’air
En modélisant le gaz par un gaz parfait :
"%H ,
= 12,5L. g
=
!
=
Application numérique :
=
2,10.10 × 30.10
= 2,586mol
8,31 × %273,15 + 20,0,
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Application numérique :
= 2,6mol
W! = 192
2. Après avoir roulé
Si la pression augmente cela peut s’expliquer par une 2. Pression après k coups
augmentation de ou de ou une diminution du volume.
Après k coups seulement :
La quantité de matière ne peut pas augmenter et nous
UX V = U7 V + WU7 7
pouvons supposer que le volume du pneu reste constant.
Donc :
La pression a donc augmentée car la température à
augmenter.
7
UX = U7 Y1 + W Z
Calculons la nouvelle température :
V
=
=
3. Masse d’air à l’état final
2,3.10 × 30.10
8,31 × 2,586
= 321K
= 48°C
9
La masse m1 se déduit de l’équation d’état :
K!
U! V =
7
"
Sachant que l’on donne la masse volumique dans les
conditions 7 , U7 :
[7 =
Gonflage d’une roue
On assimile l’air à un gaz parfait. Soit n0 est la quantité
d’air initiale dans la chambre, n1 la quantité finale et na la
quantité prélevée à l’atmosphère à chaque coup de pompe.
1. Nombre total de coups
"U7
K! = [7
7
U!
U7
V
Application numérique :
Schéma de la situation :
K! = 39g
10
Un peu de chimie : coefficient de
dissociation
1. Calcul de V1
En appliquant la loi des gaz parfaits,
!
Par conservation de la matière :
n 1 = n 0 + k 1n a
!
soit, en injectant la loi des gaz parfaits appliqué à chaque
système :
U!
V
7
=
U7
V
7
+ W!
U7
7
7
On en déduit le nombre de coups de pompe nécessaire :
W! =
%U! − U7 ,
U7 7
V
=
=
!
K !
2"%Br,
Application numérique :
!
=
1,00 × 8,314 × %600 + 273,15,
= 4,5371. 10 ] m
2 × 80,0 × 1,00. 10
!
= 0,454L
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2. Calcul de V2
1,00 × 8,314 × %1600 + 273,15,
=
2 × 80,0 × 1,00. 10
= 9,7334. 10 ] m
= 0,973L
A l’équilibre, les quantités de matière en dibrome et en
brome sont respectivement %Br , = 7 − ^éq et %Br, =
2^éq (avec 7 = K/2"%Br, =
/
,. La quantité
totale de matière gazeuse est donc
= 7 + ^éq . En
appliquant la loi des gaz parfaits :
7
+ ^éq =
,`ab
=
7 7
!7
Application numérique :
1×7
= 3,5L
2
La pression a été multiplié par 2, ainsi le volume est divisé
par 2.
!7
3. Coefficient de dissociation
=
!7
=
2. Plongée bouteille
Ce même plongeur, plonge à 10 m à l’aide d’une bouteille
contenant de l’air comprimé. L’air que le plongeur respire
sort de la bouteille avec une pression égale à la pression du
milieu environnant.
2.1. Crise de panique
Analyse qualitative :
D’où :
^éq =
c
,`ab
−
d
Application numérique :
^éq =
1,00. 10
8,314 × %1600 + 273,15,
× %1,195. 10 − 0,97334. 10 ,
^éq = 1,42mmol
Le plongeur en profondeur respire un volume !7 d’air à la
pression !7 . En modélisant l’air par un gaz parfait, en
supposant la température constante, on a
= cste.
En remontant la pression diminue et par compensation le
volume va augmenter.
Analyse quantitative :
A 10m de profondeur, l’air respiré est à la pression de 2
bar (car l’air sort de la bouteille avec une pression égale à
celle du milieu environnant). En supposant les poumons
remplis à 10 m, le volume d’air est de 7L.
D’autre part, l’avancement maximal est ^max = En remontant ce volume d’air sera multiplié par 2, soit
K/2"%Br, = 6,250 mmol. Le coefficient de dissociation 14L.
du dibrome est donc :
Conclusion :
^éq
^éq
−
1,4234
,`ab
On comprend vite que si le plongeur n’expire pas l’air au
f=
=
=
=
= 0,22774
^max
6,2500
7
fur et à mesure de sa remontée ses poumons, n’étant pas
extensibles, risqueraient de se déchirer, ce qui entraînerait
α = 0,228 soit 22,8 %
une hémorragie pulmonaire.
2.2. Donner de l’air à un apnéiste
Un apnéiste a pris un volume d’air en surface, ce volume se
contracte lors de la descente et se dilate pour reprendre sa
taille originale (en négligeant la quantité de dioxygène
1. Apnée
consommé). Ainsi lors de la remontée l’apnéiste ne risque
En modélisant l’air comme un gaz parfait, on a l’équation pas d’hémorragie pulmonaire, il n’a donc pas à expirer l’air
au fur et à mesure de la remontée.
suivante :
Si un plongeur bouteille donne de l’air à un apnéiste en
=
profondeur, le volume d’air donné en remontant va
En supposant la température constante au cours de la augmenter et dans ce cas l’apnéiste qui n’a pas l’habitude
plongée, on aura :
= cste. En notant 7 et 7 la pression d’expirer en remontant risquera une hémorragie
et le volume des poumons à la surface et !7 et !7 ces pulmonaire.
mêmes grandeurs à 10m, on a :
11
Plongée sous-marine
7 7
=
!7 !7
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On peut donc déterminer
Autonomie en plongée sous-marine
consommé
consommé
=
i,j i
:
−
i,k i
]7m
Analyser : décomposer le problème en des problèmes plus
Par définition peut écrire :
simples
consommé
Pour calculer h on doit connaître la durée que va mettre le
1=
h
plongeur pour consommer l’air de la bouteille de manière à
l’amener de = 210bar à la pression f = 70bar
Le débit d’air, étant constant, est égal au volume d’air
!
1. On connait la consommation en air, en L. min , du consommé divisé par la durée de la consommation.
plongeur, consommation qui à priori ne dépend pas de Ainsi :
la pression à laquelle il respire l’air. Pour déterminer h
on doit donc déterminer quel volume en litre le
i,j i − i,k i
h=
plongeur va consommer pour amener la bouteille de
]7m × 1
210 à 70 bar, sachant qu’il respire l’air à la profondeur
de 40m, c’est-à-dire à la pression de 5 bar.
Application numérique :
2. Connaissant la pression et le volume dans la bouteille à
210 × 15 − 70 × 15
h=
= 16,8min
l’état initial et à l’état final on va pouvoir en déduire le
5 × 25
volume d’air consommé par le plongeur à la pression
de 5 bar. Pour cela on aura besoin d’utiliser le principe
h = 16,8min
de conservation de la matière et d’une équation
d’état du gaz : on prendra le modèle du gaz parfait.
Valider :
S’approprier : faire un schéma modèle, identifier les Vérifions que la valeur obtenue est cohérente :
grandeurs pertinentes, leur attribuer un symbole
Comparons la durée qu’il faudrait mettre pour consommer
Analyser : formuler une hypothèse
la même quantité d’air mais à la surface :
hS =
− i,k
atm × 1
i,j i
i
= 84min
La pression étant 5 fois plus importante en profondeur, à
volume égal (et température égale) la quantité de matière
est consommé est 5 fois plus importante ( = / ), il
faut donc 5 fois moins de temps pour consommer la même
quantité d’air.
N’oublions pas de préciser quelles hypothèses nous avons
On étudiera les gaz dans le modèle des gaz parfaits, et faîtes :
on négligera les variations de température ( = cste = Le raisonnement est valable si la température reste
constante : si la pression initiale de 210bar a été vérifiée
7)
une fois arrivé à 40 m et non avant la descente, l’hypothèse
Réaliser :
semble correcte. Le plongeur reste à 40 m et nous pouvons
supposer que la température reste la même.
Par conservation de la matière :
=
+
De plus la température de l’air consommé par le plongeur
doit sûrement s’égaliser à celle du corps humain mais
D’après l’équation d’état des gaz parfaits appliqué à
l’équilibre thermique est généralement lent à se mettre en
chaque système :
place, donc quand l’air entre dans les poumons du plongeur
il a bien la température 7 , l’évolution de la température par
=
i,j i
initial
la suite dans les poumons n’a que peu d’importance.
i,k i = restant
Enfin, l’hypothèse des gaz parfaits est peut-être celle qui est
]7m consommé = consommée
le plus discutable pour des pressions aussi importantes
(70bar et 210bar).
Ainsi :
initial
i,j i
7
=
restant
i,k i
7
+
consommée
]7m consommé
7
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