Proposition de correction de l’épreuve écrite de
Mathématiques
CRPE 2015
Mercredi 29 avril 2015 - Groupement 2
Maison fondée il y a 30 ans
PREMIERE PARTIE
On considère le pavé droit suivant :
A. Réalisation d’un patron de la pyramide.
1. a) Calcul des longueurs DE et DG.
ABCDEFGH étant un pavé droit, ses faces sont rectangulaires. Ainsi, les triangles EDH est rectangle en H.
D’après le Théorème de Pythagore dans ce triangle il vient :
DE2
=
DH2+HE2
=
122+92
=
144+81
=
225
D’où
DE
225
=
=
15
En conclusion, la longueur DE mesure 15 cm.
Par un raisonnement analogue dans le triangle DGH, on montrerait que la longueur DG mesure 15 cm
également.
1. b) Nature des triangles DGF et DEF.
Les triangles DGF et DEF sont respectivement rectangles en G et E.
Preuve : (non demandée aux candidats)
ABCDEFGH étant un parallélépipède rectangle, l’arête [GF] est perpendiculaire à la face (DHGC). Ainsi la
droite (GF) est orthogonale à toute droite de ce plan soit en particulier (GD). Ces droites étant sécantes en G,
elles sont perpendiculaires. Par suite, le triangle DGF est rectangle en G.
Par un raisonnement analogue on montrerait que DEF est rectangle en E.
2. Patron de la pyramide EFGHD
Notons qu’il n’y a pas unicité du patron de cette pyramide.
Si une construction argumentée avait été demandée, les traits de construction au compas auraient dû être
bien visibles.
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On considère à présent la pyramide DJKLM, réduction de la pyramide DEFGH.
B. Étude du cas particulier JH=2cm
Nature du quadrilatère JKLM :
ABCDEFGH étant un pavé droit, sa face EFGH est donc rectangulaire. De plus, le rectangle EFGH ayant ses
côtés [HE] et [EF] de même longueur d’après l’énoncé, il en résulte que c’est un carré.
Enfin, JKLM et EFGH étant homothétiques (réduction admise dans la consigne), ces quadrilatères ont la
même nature par propriétés des homothéties.
En conclusion, JKLM est un carré.
Calcul des longueurs JK et JM :
On considère la réduction qui transforme la pyramide DEFGH en la pyramide DKLMJ.
Lors d’une réduction de coefficient k, les longueurs sont multipliées par k.
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Or
k=
DJ DH − JH 12 − 2 10 5
=
=
= =
DH
DH
12
12 6
Ainsi,
JK = HEx
5
5 15
= 9 x = = 7,5cm
6
6 2
Et comme JKLM est un carré, on a immédiatement JM=JK=7,5cm.
Déterminons le volume B de sable blanc et le volume R de sable rouge :
D’après la formule de calcul de volume rappelée dans l’énoncé on a
V (Pyramide DEFGH)
1
x Aire (Base) x hauteur
3
1
= x Aire (Carré EFGH) x HD
3
1
= x 92x12
3
=
= 324 cm3
Or, lors d’une réduction de coefficient k, les volumes sont multipliés par k3.
On en déduit que :
B
=
=
=
=
5
324x  
6
125
324x
216
375
2
3
187,5 cm3
Et enfin par décomposition de volumes on peut écrire :
=
V (Pyramide DEFGH) – B
=
324-187,5
=
136,5 cm3
C. Étude du cas général
R
On note JH = x, B(x) et R(x) les volumes de sable blanc et de sable rouge contenus dans la pyramide, exprimés
en fonction de la hauteur x.
1. Valeurs possibles de x :
x est nécessairement compris entre 0 et 12 cm. intervalle réel [0 ;12]
Les interprétations aux valeurs extrêmes sont les suivantes :
- Si x=0, tout le sable est de couleur blanche
- Si x=12, tout le sable est rouge
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2. Voici les représentations graphiques des fonctions B et R.
Notons que ce graphique corrobore les interprétations qui ont été faites dans la question précédente.
a) Si la hauteur de sable rouge est de 5cm, il suffit de tracer la droite verticale d’équation x=5 puis de
procéder à des projections orthogonales sur l’axe des ordonnées à partir des points d’intersection avec les 2
courbes.
On lit ainsi que le volume de sable blanc est d’environ 65 cm3 et celui de sable rouge d’environ 260 cm3.
b) Si la hauteur de sable blanc est de 5 cm, il s’ensuit que la hauteur x de sable rouge est de 12-5 soit 7 cm.
Et de la même manière que précédemment, on interprèterait que le volume de sable blanc est d’environ 23
cm3 et celui de sable rouge d’environ 300 cm3.
c) Par lecture des coordonnées du point d’intersection des deux courbes, on en déduit que les volumes des
sables rouge et blanc sont égaux lorsque la hauteur x de sable rouge vaut 2,5 cm environ.
On a donc l’encadrement au cm près demandé :
2<x<3
3.
a) Montrons que B(x)=0,1875(12-x)3.
Déterminons pour cela le coefficient de réduction k, cette fois dans le cadre général.
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On a :
k=
DJ DH − JH 12 − x
=
=
DH
DH
12
Et par le même raisonnement qu’à la question B il vient :
B (x)
=
 12 − x 
V (Pyramide DEFGH) x 

 12 
=
324x
=
0,1875(12-x)3
3
(12 − x) 3
12 3
b) Ainsi, lorsque x vaut 5 cm on a :
B(5)
=
0,1875(12-5)3
=
64,3125 cm3
Et par différence,
R(5)
=
324 – B(5)
=
259,6875 cm3
Lorsque la hauteur vaut 5 cm, le volume de sable rouge vaut exactement 259,6875 cm3 et celui de sable
blanc vaut 64,3125 cm3.
DEUXIEME PARTIE
EXERCICE 1
Carole a laissé le robinet du lavabo de la salle de bain ouvert.
Le débit de ce robinet étant de 3 L/min, on en déduit qu’en 10 jours l’eau perdue s’élève à 3x60x24x10 soit
43200 L. Ainsi, après conversion en utilisant la correspondance 1000 L ↔ 1 m3, il en résulte que la perte
s’élève à 43,2 m3 d’eau.
Enfin, compte tenu du prix unitaire, la négligence de Carole aura coûté 3,5x43,2 soit 151,20 euros.
EXERCICE 2
En lançant 2 dés à 6 faces usuels, il y a 6x6 soit 36 combinaisons possibles. Le tableau suivant répertorie alors
toutes les sommes obtenues :
On constate alors que 4 tirages permettent d’obtenir la somme de 5 alors que 6 permettent d’obtenir la
somme de 7. En conclusion, ces tirages ne sont pas équiprobables.
L’affirmation de Simon est donc fausse.
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EXERCICE 3
Compte tenu de leur salaire moyen, les femmes capitalisent à elles trois 3x1700 soit 5100 euros. Les hommes
quant à eux capitalisent à eux quatre 1250+1400+1600+3200 soit 7450 euros.
Après l’embauche de la 4ème femme, pour que le salaire moyen soit identique quel que soit le sexe, il faut
que les totaux soit les mêmes.
Ainsi, le patron devra payer 7450-5100 soit 2350 euros de salaire à sa nouvelle recrue.
Remarque : cet exercice mobilise une compétence transversale particulière qui consiste à sélectionner les
données pertinentes d’une consigne afin de répondre à une question. En effet, des données « non utiles »
peuvent ici induire en erreur (salaire médian et étendue des salaires des femmes). Souvent à l’école primaire,
les enfants pensent à tort que TOUTES les données doivent être utilisées pour résoudre un problème.
EXERCICE 4
Soit n le nombre de bouquets que peut réaliser le fleuriste avec ses 12 tulipes et ses 18 roses
Comme il souhaite composer des bouquets identiques et ne pas jeter de fleurs, n doit être un diviseur de 12
et également de 18.
Par conséquent, n doit être un diviseur du PGCD de 12 et 18.
Et comme PGCD (12 ; 18)=6 on obtient les 4 valeurs possibles de n :
1ère possibilité n=6 : 6 bouquets composés chacun de 2 tulipes et 3 roses
2ème possibilité n=3 : 3 bouquets composés chacun de 4 tulipes et 6 roses
3ème possibilité n=2 : 2 bouquets composés chacun de 6 tulipes et 9 roses
4ème possibilité n=1 : 1 gros bouquet composé de 12 tulipes et 18 roses, solution triviale peu probable.
TROISIEME PARTIE
SITUATION 1
Question 1 :
Dans cet exercice, les fractions apparaissent comme des opérateurs qui vont être traduits par une action
physique de la part des enfants ; en effet, lors de la mise en pratique de la consigne, ils devront découper le
rectangle demandé. Un changement d’échelle sera probablement inévitable.
Pour déterminer l’endroit correspondant aux trois quarts par exemple, il est nécessaire de subdiviser la
longueur de 60cm (ou sa représentation à une autre échelle) en 4 parties égales (par pliage ou par usage du
double décimètre par exemple) et en « choisir » 3 pour obtenir la longueur attendue.
Question 2.a :
Pour chaque élève, citons 2 compétences qui semblent être acquises dans le domaine « Grandeur et
Mesure ».
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Pour Eva, l’exercice est correctement exécuté et les résultats
sont justes. Elle utilise une procédure de résolution
calculatoire et réinvestit ses connaissances et compétences
en numération et relatives aux opérations.
En ce qui concerne le volet « Grandeur et Mesure », elle est
capable de :
- calculer le périmètre d’un rectangle à partir de sa longueur
et de sa largeur,
- calculer l’aire d’un rectangle à partir des ses dimensions.
Jeanne quant à elle réalise une schématisation de la situation en reproduisant le rectangle à priori à l’échelle
1/10ème. Sa procédure est correctement réalisée puis elle compte tous les petits rectangles pour définir l’aire
totale ainsi que toutes les longueurs et largeurs
pour déterminer le périmètre. Ses résultats sont
erronés car elle est confrontée à des problèmes
d’étalonnage. Cependant, elle :
- comprend que le périmètre d’une figure
correspond à son contour
- est consciente que l’aire d’une figure représente le
nombre d’unités nécessaires au recouvrement total
et sans chevauchement de cette figure.
Enfin, pour Maxime, même si ses résultats sont faux à
cause d’une mauvaise interprétation des écritures
fractionnaires puisqu’il considère ces fractions comme
les dimensions du rectangle attendu, les deux mêmes
compétences que Léa sont bien acquises.
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Question 2.b :
Il est clair que les égalités
3
3
= 45 et
= 30 produites par Léa sont fausses. En revanche, on peut penser
4
5
que l’erreur provient de la traduction mathématique de sa pensée. En effet, les trois quarts de 60 sont bien
égaux à 45. De plus, sa décomposition additive 60=15+15+15+15 corrobore la justesse de son raisonnement
lors du partage de 60 en 4 parts égales. Il semble que le calcul des 3 parts soit réalisé mentalement puisque
nous n’avons aucune trace écrite sur la production. La notion de fraction est bien comprise.
Question 2.c :
Maxime quant à lui ne maîtrise pas du tout la notion de fraction. Il transforme à tort les fractions données en
écriture à virgule. La notion de fraction et le lien qu’il peut exister avec les nombres décimaux ne sont
clairement pas acquis.
n
≠ n, p
p
Question 3 :
Les dimensions 50cm x 60cm retenues par l’enseignant permettent facilement le calcul des 3/5 de la
largeur et des 3/4 de la longueur ; en revanche, ces dimensions sont suffisamment grandes pour décourager
les enfants à dessiner le rectangle en grandeur réelle. Il est donc raisonnable de penser que l’enseignant a
voulu par ce choix favoriser le travail sur la notion même des « fractions » par des procédures davantage
calculatoires que manipulatoires.
Les dimensions 10cm x 16cm qui avaient été envisagées par l’enseignant auraient également permis le
calcul aisé des fractions mais il est fort probable que les enfants auraient dessiné la plaque rectangulaire
initiale (les dimensions s’y prêtent bien) surtout s’ils ont à leur disposition du papier quadrillé à petits
carreaux. Des procédures peu expertes auraient pu alors « parasiter » le travail sur la notion de fraction.
Nous pourrions cependant proposer ces dimensions en remédiation pour les élèves qui rencontrent des
difficultés avec la consigne retenue.
Enfin, les dimensions 10cm x 14cm écartées par l’enseignant auraient sérieusement compliqué la tâche
puisque le calcul des fractions mène à des valeurs non entières. Les calculs de périmètre et d’aire auraient
également été bien plus difficiles puisque faisant intervenir des décimaux.
SITUATION 2
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1.
La résolution de cet exercice nécessite les 2 pré-requis suivants :
- Être conscient que la boîte possède 6 faces.
- Connaissance des propriétés des pavés droits : faces opposées superposables et arêtes latérales
de même longueur.
2. a)
La première opération de l’élève est la soustraction en ligne 120-28=92. Avec ce calcul, l’élève détermine la
longueur de la ficèle qui entoure la boîte (hors nœud). Ensuite, ses 2 multiplications en lignes 2x18=36 et
2x10=20 puis l’addition 36+20=56 traduisent bien que cet élève maîtrise les 2 pré-requis évoqués en 1,
puisque qu’il calcule correctement les longueurs de ruban qui entourent la face supérieure et la face
inférieure de la boîte.
Jusqu’ici, procédure et résultats sont correctement menés.
Enfin, à sa dernière ligne, sa soustraction 92-56 permet d’obtenir la longueur de ficelle correspondant aux 4
faces latérales. Restait à diviser par 4 pour obtenir la longueur d’une arête latérale, c'est-à-dire la hauteur de
la boîte, seule donnée manquante nécessaire à la détermination du volume demandé.
2. b)
Erreur au niveau du sens :
L’élève divise à tort par 2 au lieu de 4, afin de déterminer la hauteur de la boîte. Les faces latérales cachées
n’ont pas été prises en compte, précipitation ? Il trouve alors 18cm au lieu de 9cm.
Erreur syntaxique :
En traduisant mathématiquement de manière séquentielle son raisonnement, l’élève écrit une double égalité
qui est bien sûr fausse. Ce type de traduction est classique à l’école primaire.
Oubli :
Après de laborieux calculs, l’élève semble avoir oublié la consigne puisqu’il était demandé le volume de la
boîte et qu’il s’arrête à la détermination de la hauteur.
SITUATION 3
1.
La principale notion du programme sur laquelle cet exercice permet de revenir est la proportionnalité.
2.
Utilisation de la propriété de linéarité multiplicative :
Si 5 crêpes coûtent 7 €, 15 crêpes coûtent 3 fois plus soit 3x7€ ou encore 21€.
On a la représentation suivante :
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Utilisation de la propriété de linéarité additive :
Le prix de 15 crêpes, c’est le prix de 10 crêpes et de 5 crêpes.
Donc 15 crêpes coûtent 7+14 soit 21 euros.
Passage à l’unité ou règle de trois :
Étant donné que 10 crêpes coûtent 14€, une crêpe coûte 10 fois moins soit 1,40€.
15 crêpes coûtent alors 15 fois plus qu’une crêpe soit 15x1,40 ou encore 21€.
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