Universidad Interamericana de Puerto Rico – Recinto de Bayamón Depto. Ciencias Naturales y Matemática Distribución Normal Prof. Evelyn Dávila Una variable aleatoria continua cuya distribución tiene una gráfica simétrica y en forma de campana, puede expresarse mediante la función 𝟏 𝒙−𝝁 𝟐 − ( ) 𝒆 𝟐 𝝈 𝒚= , decimos que tiene una distribución normal. Esta “fórmula” se 𝝈√𝟐𝝅 conoce como la función de densidad de la distribución normal. x -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 Gráfica de una distribución normal Características:  Simétrica en forma de campana. Los datos se agrupan alrededor de la media.  La moda, mediana y media coinciden.  Se utiliza para estimar valores de diversas distribuciones para valores grandes de n. ̅ y s es la desviación estándar.  Para la muestra la media es 𝒙  Para la población la media es dada por µ y la desviación estándar por σ. La probabilidad de que ocurra X en un intervalo [a,b], es dada por el área bajo la curva dada por la función 𝟏 𝒙−𝝁 𝟐 de probabilidad conocida también como función de densidad, 𝒚 = − ( ) 𝒆 𝟐 𝝈 𝝈√𝟐𝝅 probabilidad en el intervalo [a,b] se obtiene mediante un integral definido. 𝑏 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫ 𝑎 𝟏 𝒙−𝝁 𝒆− 𝟐 ( 𝝈 ) 𝝈√𝟐𝝅 𝟐 𝑑𝑥 . El área que corresponde a la Propiedades de la Distribución Normal Estándar 1. El área total bajo la curva es uno (1). 2. La curva es simétrica extendiéndose infinitamente en ambas direcciones y con el eje horizontal como asíntota horizontal. 3. La distribución tiene media cero y desviación estándar de uno. 4. A media divide el área total en dos partes de 0.50 en cada lado. 5. Casi toda el área se encuentra entre 𝒛 = −𝟑 𝒚 𝒛 = 𝟑. Propiedades de una Distribución Normal Estándar En una distribución normal los datos se reúnen alrededor de la media en la siguiente forma (Regla Empírica): el 68% de los datos se encontrarán alrededor de la media a una desviación estándar, el 95% se encuentra alrededor de las dos desviaciones estándar y el 99.7% alrededor de las tres desviaciones estándar. 99.7% 95% 68% 34% 34% x -2 -1 1 2 Muchas funciones de probabilidad, aún aquellas discretas, se pueden estimar utilizando la distribución normal. Esta regla se puede observar mejor para muestras de gran tamaño. Distribución de probabilidad normal La distribución de probabilidad normal es dada por la siguiente función 𝑦 = 1 𝑥−𝜇 2 − ( ) 𝑒 2 𝜎 𝜎√2𝜋 , también se conoce como curva de densidad. Esta curva representa la probabilidad de que ocurra un valor x en un intervalo dado dentro de esa distribución. En una curva de densidad la probabilidad de que ocurra x , corresponde al área bajo la curva dada por la región según se especifique en la tabla que se utilice. Ya que toda distribución normal tiene la misma forma y sus valores se distribuyen de forma equivalente alrededor de su media, (vea regla empírica), se ha simplificado representando así toda distribución normal en su forma estandarizada. La distribución normal estándar es una distribución de probabilidad normal en la que su media es dada por 𝜇 = 0 y su desviación estándar es dada por 𝜎 = 1. Vea figura A. Puntuación z (Valor z) Valor z, también conocido como valor estandarizado, consiste en convertir los valores de los datos en puntuaciones a una escala estandarizada en la distribución normal. Valor estandarizado para una muestra: 𝒛= 𝒙−𝝁 𝝈 ; donde 𝒙 es el valor de la variable aleatoria continua, 𝝁 es el valor esperado y 𝝈 es la desviación estándar. Los valores z negativos indican que son menores que la media y los valores z positivos indican que son mayores que la media. La puntuación z se utiliza para comparar valores de diferentes muestras o valores de una misma muestra. Figura A x -2s -1s Distribución normal ̅ 𝒙 1s 2s x -2 -1 0 1 2 Distribución normal estandarizada (valor z ) Si compara la escala utilizada para el valor z y la escala en la que se distribuye la curva de densidad normal observará que son equivalentes. El valor z , que se obtiene al estandarizar el valor dado se puede localizar en la curva de densidad normal. La probabilidad de que ocurra el valor z , es dada por lo que se conoce como 𝑃𝑧 , que es equivalente a la probabilidad de que 𝒙 sea menor o igual a z . Notación 𝑷(𝒙 ≤ 𝒛) . Para calcular esta probabilidad se utiliza una tabla de puntuaciones z para la distribución normal. Ya que la distribución normal se utiliza para representar variables continuas, definidas en intervalos, no es posible determinar la probabilidad de que ocurra exactamente un valor, es decir, la 𝑷(𝒙 = 𝒛) = 𝟎 Para calcular la probabilidad de que x sea un valor en un intervalo [a,b] se debe buscar la diferencia entre la región mayor y la región menor. Si la tabla que estamos utilizando provee la región a la izquierda de z. Regla 𝑷(𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃) = 𝑷(𝒙 ≤ 𝒃) − 𝑷(𝒙 ≤ 𝒂) x -2 -1 0 1 2 Ejemplo 1 z Utilizando una Tabla donde el área dada corresponde a la región a la izquierda de z. x -2 -1 1 2 Figura B Indica cuál es la probabilidad de que se obtenga un valor menor o igual a uno, es decir, z = 1 según la distribución normal. Decir que z = 1 , es considerar la región que se encuentra a la izquierda de 1. Ver figura B. Buscamos en la tabla de puntuaciones z . Los valores de z se pueden encontrar hasta dos lugares decimales. En la primera columna identificamos 1.0 y luego nos ubicamos en la columna .00, el valor para 𝑃1 es 0.8413 . La probabilidad de que el valor en la población sea menor o igual que uno es de un 84.13%. Ejemplo 2 ¿Cuál es la probabilidad de que el valor obtenido sea mayor o igual a -1 y menor o igual que 1, es decir −1 ≤ 𝑥 ≤ 1? Vea la figura C. x Para poder calcular la probabilidad para x en el intervalo −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, que se representa en la región sombreada en la Figura C, hace falta hacer el siguiente cómputo 𝑃1 − 𝑃−1. -2 -1 0 1 2 Figura C Utilizando la tabla de puntuaciones z , área a la izquierda de z, obtenemos los siguientes valores : 𝑃1 = 0.8413 𝑦 𝑃−1 = 0.1587 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑃1 − 𝑃−1 = 0.8413 − 0.1587 = 0.6826. La probabilidad de obtener en una muestra con distribución normal estandarizada un valor entre -1 y 1 es de 68.26%. Compara este valor con la regla empírica. Halla las siguientes probabilidades. Especifica la Tabla de probabilidades normales que estas utilizando. 1. 𝑃(𝑧 > 1.52) 2. 𝑃(𝑧 < 1.52) 3. 𝑃(−2.1 < 𝑧 < 0) 4. 𝑃(0 < 𝑧 < 2.1) 5. 𝑃(−2.1 < 𝑧 < 2.1) 6. 𝑃(0.7 < 𝑧 < 2.1) 7. 𝑃(−.8 < 𝑧 < 1.4) 8. 𝑃(𝑍 > 2) 9. 𝑃(𝑧 > 0) 10. 𝑃(𝑧 < 3) 11. 𝑃(−1 < 𝑧 < 1) Indica el valor z que corresponde a la probabiidad dada según la gráfica. 0.385 Aplicaciones Ejemplo 1 La estatura de Harold es de 5’6” . Para los varones de su edad la media es de 5’4” con una desviación estándar de 2”. ¿Podemos concluir que Harold es un varón alto? Primero debemos representar la estatura en una misma unidad. Utilizaremos la medida en pies por lo tanto 5’6” es equivalente a 5.5 pies y 5’4” es equivalente a 5.33 pies. La desviación estándar de 2” es equivalente a 0.17 pies. Para hacer una comparación de la estatura de Harold con respecto al grupo de varones de su edad calculamos el valor z correspondiente. 𝒛= ̅ 𝒙−𝒙 𝒔 = 𝟓.𝟓−𝟓.𝟑𝟑 𝟎.𝟏𝟕 =1 La puntuación de uno (1) queda en la región de valores comunes por lo tanto la estatura de Harold es una normal en su grupo. En el grupo de varones de la edad de Harold, ¿qué estatura se consideraría como alto y cuál como bajito? Ejemplo 2 El índice de inteligencia IQ, se distribuye normalmente con una media de 100 y una desviación estándar de 16. Con esta información contesta las siguientes preguntas. 1. Si seleccionamos una persona al azar , ¿Cuál es la probabilidad de que esa persona tenga un IQ entre 100 y 115? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un IQ mayor de 90? Ejemplo 3 En un curso se ofrece un examen en el que la media fue 72 con una desviación estándar de 13. Se le otorgará una A a las puntuaciones mayores del 10% del grupo. ¿Cuál es la puntuación mínima requerida para obtener A? Práctica En el curso de álgebra se ofrece un examen departamental de medio término a las 10 secciones del semestre. La puntuación promedio a base de un total de 100 puntos de cada grupo es dado en la siguiente tabla. Se quiere determinar si la puntuación obtenida por la sección 01 sugiere que ese grupo sobresalió en dicha evaluación. Grupo 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 Promedio 72 68 66 70 66 68 70 64 60 65 La empresa “Precision Scientific Instrument Company”, fabrica termómetros que se supone deben dar lecturas de 𝟎𝒐 𝑪 , al punto de congelación del agua. Una prueba llevada a cabo a una gran cantidad de estos instrumentos daban lecturas por debajo de 𝟎𝒐 𝑪 y otros por encima. Suponga que la temperatura media para esa muestra es 𝟎𝒐 𝑪 y que la desviación estándar es de 𝟏. 𝟎𝟎𝒐 𝑪 . Suponga que las temperaturas se distribuyen de manera normal. Con esa información contesta las siguientes preguntas: 1) Si se elige un termómetro de la muestra al azar calcule la probabilidad de que la lectura al punto de congelación sea menor de 1.25𝑜 𝐶 2) Si se elige un termómetro de la muestra al azar calcule la probabilidad de que la lectura al punto de congelación sea mayor de −0.75𝑜 𝐶 3) Si se elige un termómetro de la muestra al azar calcule la probabilidad de que la lectura al punto de congelación se encuentre entre - 1.25𝑜 𝐶 y - 1.10𝑜