Samedi 18 Avril 2015 Dur´ ee : 4 heures ´ MATHEMATIQUES ´ N˚9 DEVOIR SURVEILLE Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre. L’usage de calculatrice est interdit AVERTISSEMENT La pr´ esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´ edaction, la clart´ e et la pr´ ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´ eciation des copies. En particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte. Tournez la page S.V.P. ´ N˚9 DEVOIR SURVEILLE EXERCICE 1 - QUESTIONS DE COURS Les questions de cet exercice sont toutes ind´ependantes. 1. D´efinition du rang d’une application lin´eaire f . 2. Soit f un endomorphisme d’un K-e.v. E de dimension finie, donner 5 conditions ´equivalentes ` a: « f est bijective ». 3. D´efinir la sym´etrie s par rapport ` a F parall`element `a G, d´efinir alors F et G sous forme d’un noyau. 4. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’un application s soit une sym´etrie de E. 5. Soit p un projecteur de E, donner deux s.e.v. de E qui sont alors en somme directe. ` ´ ´ ´ PROBLEME 1 - RESOLUTION D’EQUATION DIFFERENTIELLE ` ´ AVEC DE L’ALGEBRE LINEAIRE L’objet de ce probl`eme est l’´etude de l’´equation diff´erentielle : (Ep ) (1 − x2 )y 0 + xy = P (x) (o` u P d´esigne une application polynˆ omiale ` a coefficient r´eels) . f . ´ Etant donn´e un intervalle I de R, on appelle « solution de (EP ) sur l’intervalle I » toute fonction : I → R d´erivable et telle que, pour tout x ∈ I, (1 − x2 )f 0 (x) + xf (x) = P (x). « R´ esoudre (EP ) sur l’intervalle I », c’est trouver toutes les solutions de (EP ) sur I. ´ ` ´ Partie A - EQUATION HOMOGENE ET ETUDE D’UN CAS PARTICULIER On consid`ere, dans cette partie l’´equation (E0 ) homog`ene associ´ee `a toute ´equation (EP ). 1. R´esoudre l’´equation (E0 ) sur l’intervalle ] − 1, 1[. 2. Dans cette question on consid`ere la fonction polynˆomiale P1 d´efinie par P1 (x) = 1 − x2 . (a) D´eterminer l’ensemble des solutions de (EP1 ) sur ] − 1, 1[. On exprimera ces solutions ` a l’aide de fonctions usuelles. (b) Montrer que (EP1 ) admet une unique solution f1 sur ] − 1, 1[ telle que f1 (0) = 0. . . . Dans la suite du probl`eme : R[X] d´esigne le R-espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients r´eels. ´ Etant donn´e un entier naturel n, l’ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n est not´e Rn [X]. On consid`ere l’application ϕ de R[X] vers R[X] d´efinie pour tout A ∈ R[X] par : ϕ(A) = (1 − X 2 )A0 + XA Les parties B,C et D de ce probl` eme sont ind´ ependantes de la partie A. Partie B - UN PREMIER APERCU ¸ DE L’APPLICATION ϕ 3. D´eterminer, pour tout n ∈ N\{0, 1} le degr´e et le coefficient dominant de ϕ(X n ). 4. Montrer que ϕ est une application lin´eaire. PCSI 2014-2015 2 Lyc´ee de L’essouriau - Les Ulis ´ N˚9 DEVOIR SURVEILLE 5. On veut montrer ici que ϕ est une application injective. Pour cela, on raisonne par l’absurde, en supposant qu’il existe un polynˆome A non nul appartenant au noyau de ϕ. (a) Montrer que 1 est racine de A. On note k l’ordre de multiplicit´e de 1 en tant que racine de A, et on ´ecrit A = (X − 1)k B, o` u B ∈ R[X]. (b) 1 est-il racine de B ? On justifiera rigoureusement la r´eponse. (c) Exprimer A0 en fonction de B et B 0 , puis montrer que (1 − X 2 )B 0 − (k + (k − 1)X)B = 0. (d) Montrer que 1 est racine de B. (e) Conclure. 6. Soit n ∈ N\{0, 1}. On note ϕn la restriction de ϕ ` a Rn [X]. (a) Justifier que ϕn est ` a valeurs de Rn+1 [X]. (b) Calculer le rang de ϕn . (c) ϕn : Rn [X] → Rn+1 [X] est-elle surjective ? ˆ ´ AU PLUS 1 Partie C - AVEC DES POLYNOMES DE DEGRE On note ϕ1 la restriction de l’application ϕ `a l’espace vectoriel R1 [X]. 7. Montrer que ϕ1 peut-ˆetre vu comme un endomorphisme de R1 [X]. 8. Montrer que ϕ1 est un automorphisme de R1 [X]. ´ 9. (a) Etant donn´e un polynˆ ome Q = aX + b ∈ R1 [X] (o` u (a, b) ∈ R2 ), calculer ϕ21 (Q). (b) Expliciter l’application r´eciproque de ϕ1 . (c) Soit (a, b) ∈ R2 . On note g la fonction d´efinie par g(x) = ax + b. D´eduire de ce qui pr´ec`ede une solution particuli`ere sur R de l’´equation diff´erentielle : (Eg ) (1 − x2 )y 0 + xy = g(x) ´ 10. (a) Etant donn´e un polynˆ ome Q = aX + b ∈ R1 [X] (o` u (a, b) ∈ R2 ), donner une condition n´ecessaire et suffisante sur a et b pour que ϕ1 (Q) = Q. (b) D´eterminer une base et la dimension des espaces E1 = Ker(ϕ1 −IdR1 [X] ) et E2 = Ker(ϕ1 +IdR1 [X] ). (c) Justifier que E1 et E2 sont suppl´ementaires dans R1 [X]. ˆ ´ AU PLUS 2 Partie D - AVEC DES POLYNOMES DE DEGRE On note ϕ2 la restriction de ϕ ` a R2 [X], et `a valeurs dans R3 [X]. 11. Montrer que (ϕ2 (1), ϕ2 (X), ϕ(X 2 )) est une base de Im(ϕ2 ). 12. Justifier que Im(ϕ2 ) = Vect(1, X, X 3 ). 13. Soit P = a0 + a1 X + a3 X 3 ∈ R3 [X]. D´eterminer l’unique ant´ec´edent de P par ϕ2 . ` L’EQUATION ´ Partie E - RETOUR A (Ep ) 14. Soit (a, b, c, d) ∈ R4 . D´eterminer une solution particuli`ere d´efinie sur ] − 1, 1[ de l’´equation diff´erentielle : (1 − x2 )y 0 + xy = ax3 + bx2 + cx + d. On pourra utiliser les r´esultats des parties A et D. PCSI 2014-2015 3 Lyc´ee de L’essouriau - Les Ulis ´ N˚9 DEVOIR SURVEILLE ` ´ PROBLEME 2 - ETUDE D’ENDOMORPHISMES SOLUTIONS ´ D’UNE EQUATION Soit E un R-espace vectoriel, l’objet de ce probl`eme est l’´etude des endomorphismes f de E v´erifiant : f 2 = f + 2IdE (∗) o` u IdE d´esigne la fonction identit´e de E et f 2 d´esigne bien entendu la compos´ee f ◦ f . Pr´ eliminaires 1. Existe-t-il des projecteurs p ou des sym´etries s solutions de (∗) ? 2. D´eterminer les homoth´eties h de E solutions de (∗). ´ Partie A - ETUDE D’UN CAS PARTICULIER Dans cette partie uniquement on se place dans E = R4 . Soit ϕ l’application d´efinie sur R4 par : R4 → R4 ϕ: (x, y, z, t) 7→ (2x − z + t, −2x + z − t, −y + t, −2x − y + z) 3. 4. 5. 6. Montrer que ϕ est un endomorphisme de R4 . D´eterminer Ker(ϕ), ainsi qu’une base de Im(ϕ). Exprimer ϕ2 de fonction de ϕ. Que peut-on en d´eduire pour ϕ ? On pose F = 3ϕ − IdE . Montrer que F v´erifie (∗). ´ ´ ERAL ´ Partie B - ETUDE DU CAS GEN E est `a nouveau un R-espace vectoriel quelconque. Soit f ∈ L(E) v´erifiant f 2 = f + 2IdE . On d´efinit alors les applications g = f − 2IdE et h = f + IdE . 7. 8. 9. 10. 11. Justifier que g et h sont des endomorphismes de E. Soient u et v deux endomorphismes de E tels que u ◦ v = 0, montrer que Im(v) ⊂ Ker(u). Calculer g ◦ h et h ◦ g : que peut-on en d´eduire ? Montrer que Ker(g) et Ker(h) sont en somme directe. Dans cette question seulement on suppose de plus que E est de dimension finie n. (a) A l’aide du 9. Prouver que dim(Ker g) + dim(Ker h) > n. (b) En d´eduire que E = Ker(g) ⊕ Ker(h). 12. A partir de maintenant et jusqu’` a la fin de l’exercice, E n’est plus n´ecessairement de dimension finie. (a) Montrer que IdE ∈ Vect(g, h). (i.e. que IdE est une combinaison lin´eaire de g et h) (b) En d´eduire que E = Ker(g) ⊕ Ker(h). 13. Soit p la projection sur Ker(g) parall`element `a Ker(h). Soit q la projection sur Ker(h) parall`element `a Ker(g). (a) Montrer que p + q = IdE , en d´eduire p ◦ q et q ◦ p. (b) Montrer que h = 3p et g = −3q. (c) En d´eduire l’expression de f en tant que combinaison lin´eaire de p et q. 14. Montrer que pour tout entier n ∈ N on a : f n = 2n p + (−1)n q (R). 15. A l’aide de la relation (∗), prouver que f est un automorphisme de E et pr´eciser f −1 . 16. La relation (R) est-elle encore valable pour n = −1 ? 17. Application : ∀n ∈ N∗ , d´eterminer F n o` u F est la fonction d´efinie `a la partie A en fonction de n, de ϕ et de IdR4 . PCSI 2014-2015 4 Lyc´ee de L’essouriau - Les Ulis ´ N˚9 DEVOIR SURVEILLE EXERCICE 2 N’abordez cet exercice que si toutes les autres questions ont ´ et´ e trait´ ees. Soit un entier naturel n ∈ N fix´e, et E = C ∞ (R, R), l’espace vectoriel des fonctions num´eriques d´efinies et infiniment d´erivables sur R. A toute fonction f ∈ E, on associ´e la fonction R(f ) d´efinie par : ∀x ∈ R, T (f )(x) = n X f (k) (0) k=0 k! xk 1. (a) Montrer que T est un endomorphisme de E. (b) Prouver correctement l’´egalit´e Im(T ) = Rn [X]. (c) Montrer que T est un projecteur de E (d) Donner une description du noyau de T . 2. A toute fonction f ∈ E, on associ´e la fonction R(f ) d´efinie par : Z x (x − t)n (n+1) ∀x ∈ R, R(f )(x) = f (t) dt n! 0 (a) Montrer que l’application R : f 7→ R(f ) est un projecteur de E. (b) Pr´eciser son noyau et son image. 3. Une application : D´eterminer les fonctions f de classe C ∞ sur R et solutions du probl`eme : Z x (x − t)n (n+1) ∀x ∈ R, f (t) dt = 2f (x) n! 0 PCSI 2014-2015 5 Lyc´ee de L’essouriau - Les Ulis
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