INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE DES FLUIDES – CVG 2516 HYDROSTATIQUE (STATIQUE DES FLUIDES) Ioan NISTOR [email protected] 3.1 Pression Pour un fluide au repos, le seul effort existant c’est l’effort normal – la pression p Dans un cas général, l’effort sur un élément de fluide ou sur un point est un tenseur: τij = Pour un fluide au repos, τij = 0, i≠j, effort de cisaillement = 0 τii = -p = τxx = τyy = τzz (σxx = σyy = σzz) obs: la pression p est isotropique, ayant une seule valeur dans chaque point indépendamment de la direction – un scalaire 3.1 Pression Définition: Équilibre des forces en x et en z F = la force normale sur la surface A 3.1 Pression Transmission de la pression La loi de Pascal: dans un système fermé, le changement de pression produit dans un point du système sera transmis dans tout le système. Exemple:le cric hydraulique F=100 N; F2=? la force exercée sur le petit piston (A1): (AC)F - (BC)F1= 0 ⇒ F1=1100 N Blaise Pascal 1623-1662 2 ⇒ p1=F1/A1=6.22 106 N/m p1=p2 ⇒ F2=p1A2 ⇒ F2=12.22 kN A 3.1 Pression Pression absolue, pression mesurée, pression de vide (vacuum) La pression dans l’espace extraterrestre est zéro - pression de vide, zéro absolu Toutes les pressions mesurées par rapport à cette pression→ pressions absolues exemple: la pression atmosphérique patm=101 kPa dans la pratique de génie on trouve beaucoup d’instruments qui mesurent la pression par rapport à la pression atmosphérique → pression indiquée (gage pressure) 3.2 Variation de la pression avec l’altitude L’équation différentielle fondamentale Pour un fluide au repos, la pression varie avec l’altitude seulement a l’intérieur du fluide. L’équation d’équilibre: ΣFl=0; p∆A - (p+ ∆p)∆A – γ∆A∆l sinα = 0, ∆p/∆l = - γsinα ⇒ dp/dl = - γ dz/dl ⇒ dp/dz = - γ la variation de la pression dans un fluide au repos est inversement proportionnelle avec la profondeur (ou l’altitude). 3.2 Variation de la pression avec l’élévation Exemple: Comparez le taux de changement de la pression pour l’air et l’eau au niveau de la mer (p=101.3kPa, t=15.5oC) par rapport à une baisse de 4m d’élévation. (les poids spécifiques sont considérés constants) le calcul des poids spécifiques: ρair=p/(RT) = 101.3 103(N/m2)/[287(J/kgK) (15.5+273)(K)] ⇒ ρair=1.22kg/m3 ⇒ γair=gρair = 11.97 N/m3 γeau= 9799 N/m3 Alors (dp/dz)air = - 11.97 N/m3, (dp/dz)eau = - 9799 N/m3 ⇒ le changement total de la pression ∆pair= - 11.97 N/m3 x (-4m)=47.9Pa le changement total de la pression ∆peau= - 9799 N/m3 x (-4m)=39.2kPa 3.2 Variation de la pression avec l’élévation Fluides avec densité uniforme (incompressibles): l’intégration de l’équation fondamentale ⇒ la fonction de variation de la pression ρ = constant ∫dp= - ∫γdz ⇒ ∆p = - γ∆z l’équation de l’hydrostatique p + γz = pz = const. la pression piézométrique p/γ + z = const. la hauteur piézométrique p1/γ + z1= p2/γ + z2 ou (p1 – p2) = γ(z2 – z1) la pression varie linéairement avec l’élévation: z↑ ⇒ p↓ z↓ ⇒ p↑ 3.2 Variation de la pression avec l’élévation Exemple: dans un réservoir ouvert, au-dessus d’une couche d’eau on verse de l’huile. Quelle est la pression mesurée au fond du réservoir? propriétés des fluides: Shuile = 0.8, γeau= 9810 N/m3 7.06kPa calcul de la pression au fond de la couche d’huile ou z1=3m, z2=2.10m p2 = 7.06kPa, 27.7kPa calcul de la pression au fond du réservoir ou z3 = 0m p3 = 27.7kPa 3.2 Variation de la pression avec l’élévation Fluides avec densité non-uniforme (compressibles): L’équation d’état des gaz: p = ρRT ou ρ = p/RT (γ =pg/RT) p – la pression absolue [Pa] T – la température absolue [K] R – la constante universelle des gaz [J/kgK] dans la troposphère: T = To-α(z-zo) dp/dz = - pg/RT ⇒ p=po[T/To]g/ααR dans la stratosphère: T = const. ⇒p = poe-(z-z )g/RT o U.S.National Weather Service: 45oN latitude in July 3.3 Mesure de la pression La pression est une variable importante dans la mécanique des fluides et beaucoup d’instruments ont été conçus pour la mesurer. le manomètre différentiel Le tube Bourdon Traducteur de pression 3.3 Mesure de la pression pv~0 la pression des vapeurs de Hg à la température normale Instruments de mesure Le baromètre: pv+γHgh=patm ⇒ patm=γHgh, pv~0 ⇒ h~76cm, patm~101kPa obs: γHghHg= γH OhH O ⇒hH O=hHgγHg/γH O 2 2 2 2 ou hH O=hHgSHg ⇒hH O=13.6 x 0.76=10.34m 2 2 Le piézomètre (le manomètre simple) p = γh pression absolue? Le manomètre différentiel (le tube U) exemple: supposons ∆h=60cm, l=180cm calculez la pression au centre de la conduite. Piézomètre p1=0 (ouvert à l’atmosphère), donc p2=0+γm∆h ⇒ p2=79.8kPa ( mercure γm=133kN/m3) p2=p3 (même élévation), donc p4=p3+∆p3→4; ∆p3→4=-γl ⇒ ∆p3→4=-17.66kPa ⇒ p4=62.1kPa L’équation générale du manomètre: p2=p1+Σdownγihi-Σupγihi 3.3 Mesure de la pression Instruments de mesure Exemple: Trouvez la variation de la pression et de la hauteur piézométrique entre les deux raccords si le mercure a un dénivèlement de 2.54cm.(Teau=10oC) l’équation du manomètre: p2= p1+ γw(∆y+∆h) – γm∆h - γw(∆y+z2-z1) ⇒ p2 + γwz2 - (p1+ γwz1) = ∆h(γw - γm) ou pz2-pz1= ∆h(γw - γm); pz2-pz1= ? et h2-h1=(pz2-pz1)/γw=∆h(1- γm/γw); h2-h1=? Sommaire La pression d’un fluide au repos La transmission de la pression (la loi de Pascal) Pression absolue, pression mesurée, pression de vide (vacuum) La variation de la pression avec l’élévation - fluides incompressibles - fluides compressibles Instruments de mesure de la pression - le baromètre, le piézomètre, le manomètre différentiel, le tube Bourdon, les traducteurs de pression