1. No category

Geometría Analítica pg 215
Sistemas de referencia y
coordenadas
Sistema de referencia cartesiano.
Eje de abscisas (horizontal)
x
Eje de ordenadas (vertical)
y
Coordenadas de un punto (x,y)
y
4 Q(1,4)
-4
P
0 1
3 R
-3 S
Coordenadas de P(-4,-3) Q(1,4)
R(3,0) S(0.-3)
x
OBSERVAR: A(x,y) es un punto.
*La 1ª coordenada es la del eje de
abscisas.
*La 2ª es del eje de ordenadas.
* Los puntos como R que están sobre
el eje de abscisas tienen
la ordenada 0.
*Los puntos como S que están sobre
el eje de ordenadas tienen
la abscisa 0.
Ejercicios
3.1 Cualquier punto que se
encuentra sobre el eje de abscisas
tiene
a) primera coordenada 0
b) segunda coordenada 0
c) primera coordenada distinta de 0
Solución b)
Cuadrantes
Los ejes cartesianos dividen el plano
en 4 cuadrantes.
II
y
I
0
III
x
IV
¿Cómo es el signo de las
coordenadas de un punto según el
cuadrante dónde está?
3.2 Si un punto de coordenadas (x,y)
verifica x·y<0, no puede pertenecer
a) al primer cuadrante
b) al segundo cuadrante
c) al cuarto cuadrante
¡Cuidado con el no!
En el primer cuadrante son las dos
coordenadas positivas, su producto
no puede ser negativo.
Solución a)
Distancia entre dos puntos
Resultado P(x,y) Q(x’,y’)
d(P,Q)=



2
x'-x   y' y 
2
Otra forma es dibujar un triángulo
rectángulo cuya hipotenusa sea el
lado que une P con Q y aplicar el
Teorema de Pitágoras. Pg 207
P
Q
3.. La distancia entre los puntos
(-1/2 , 1) y (1/2 , -1) es:
a) 1
b) 2
c) 5
Dos maneras de hacerlo:
1)Dibujamos los puntos.
2) Aplicamos la fórmula
d(P,Q)=



2
x'-x   y' y 
2
x = -1/2 x’= 1/2 y= 1 y’=-1
x’-x=1/2-(-1/2) = 1/2+1/2=1
y’-y=-1-1=-2
(x’-x)2=12= 1
d= 1 4  5
Solución c)
(y’-y)2=(-2)2= 4
Rectas en el plano
Una recta es un conjunto infinito de
puntos alineados, las coordenadas
(x,y) de todos esos puntos cumplen
una ecuación de la forma:
1)y= ax + b (Explícita) donde
a es la pendiente.
b es la ordenada en el origen.
y=3x+2 pendiente 3, es creciente
Si x=0 y= 3·0+2=2 La recta pasa
(0,2) por eso 2 es la ordenada en el
origen (es el valor de y cuando x vale
0).
Si en la recta y=3x+2 lo pasamos
todo al primer miembro tenemos
-3x+y-2=0 que es en la otra forma en
que podemos encontrar la ecuación
de la recta
2)Ax+By+C=0
Para dibujar una recta hay que
calcular 2 puntos como mínimo.
3) x= k Recta paralela al eje de
ordenadas(vertical). Ejemplo:
x=1 puntos (1,0),(1,-2),(1,4)…
y
0
1
2
x
3…
Entre las ecuaciones siguientes ¿cuál
representa una recta?
a)2x=1+x b)xy=-1
c)x2=2
Si observamos las ecuaciones de una
recta los términos en x e y están
elevados a 1 y no están
multiplicando ni dividiendo.
b) y c) no son y a) pasando al primer
miembro queda x=1 que es una recta
vertical donde todos los puntos
tienen la abscisa 1 y variando el valor
de y salen los infinitos puntos.
Es la tipo 3)
Solución a)
3… 2x=-1 despejando x
queda x=-1/2 que es del mismo tipo
3) recta vertical, paralela al eje de
ordenadas.
4) y= k (k es cualquier nº real)
Recta paralela al eje de
abscisas(Horizontal)
Tienen pendiente 0.
Ejemplo y= 3 los infinitos puntos
tienen todos y=3, la x va variando
(-1,3), (0,3), (2,3)….
y
3
0
x
3… El punto (4,-1) pertenece a la
recta:
a) x+3y-8=0
b) y+3x+4=0
c) –x+3y+7=0
Un punto está o pertenece a una
recta si sus coordenadas cumplen la
ecuación.
Basta sustituir x por 4 e y por -1 y ver
si la cumplen.
En a) 4+3·(-1)-8=4-3-8=4-11=-7
no es 0
No está en esta recta
En c) -4 +3·(-1)+7=-4-3+7=-7+7=0 Si
Solución c)
3… La ecuación explícita de la recta
que tiene como ecuación 4x+2y-6=0
es:
a) y=2x-3
b) y=-2x-3 c) y=-2x+3
La ecuación explícita es la del tipo 1)
Hay que despejar y
2y=-4x+6;
pasamos el 2 dividiendo
Y dividimos cada término por 2
porque son divisibles.
y=-2x +3
Solución c)
Ecuación de la recta que pasa por
dos puntos
P(x1,y1) Q(x2,y2)
Fórmula
y=
y y
1  x  x   y

1
1 

x x
2
1
2
Ejemplo:
3… La ecuación de la recta que pasa
por los puntos (2,1) y (1,2) es:
a) y = -x +3 b) y = x – 3 c) y=-x+2
Una forma rápida es comprobar cuál
de ellas pasa por los dos puntos
a)¿(2,1) y (1,2)están en esta recta?
¿1=-2+3? Si ¿2=-1+3? Si. Esta es la
solución.
b) veamos que estos puntos no están
en esta resta
y=x-3
(2,1) y (1,2)
¿1=2-3? No, este punto no está.
Igual pasa con la recta c).
Aplicando la fórmula P(2,1) Q(1,2)
2 1( x  2) 1
1 (x  2) 1
y=
y=
1 2
1
y = -1(x-2)+1
y=-x+2+1 y=-x+3
ésta es la del apartado a)
Solución a)
3… La recta que pasa por los puntos
(-1,2) y (2,3) tiene pendiente igual a:
a)1/3
b)1 c)7/3
Aplicando la fórmula la pendiente es
el nº que multiplica a x : (3-2)/(2-(-1))
1/3 es la solución a) Otra forma:
Dibujando los dos puntos y
formando un triángulo rectángulo, la
razón entre el cateto vertical y el
horizontal es la pendiente. P, Q
y
Q
P
1
0
3
x
3… La recta que pasa por los puntos
(2,-3) y (-2,0) tiene ordenada en el
origen igual a:
a)-3/4
b)-3/2
c)-1
Vamos a calcular la ecuación de la
recta y=ax+b de forma distinta
donde b es la ordenada en el origen.
Imponemos que pasa por los dos
puntos -3 = a·2 +b 0=a(-2) +b
-3=2a+b
0=-2a+b
Si resolvemos el sistema






2a  b  3
 2a  b  0
Por reducción
2b=-3 despejando b=-3/2 esta es la
ordenada en el origen. Solución b)
Si en el sistema calculamos el valor
de a, por ejemplo multiplicando la
segunda ecuación por -1 queda
2a  b  3
2a  b  0





sumando miembro a
miembro queda 4a = -3; a=-3/4
La ecuación de la recta que pasa por
los dos puntos es y=(-3/4)x -3/2
donde
-3/4 es la pendiente y -3/2 es la
ordenada en el origen.
Conclusión:
Para calcular la ecuación de la recta
que pasa por dos puntos basta
resolver el sistema que deben
cumplir los dos puntos y=ax+b.
Condición de alineación de tres
puntos
P(x1,y1) Q(x2,y2) R(x3,y3)
Estos puntos están alineados si están
en línea recta al dibujarlos.
y3  y1 y2  y1
Fórmula: x3  x1  x2  x1
3… ¿Cuál de los siguientes puntos
está alineado con los puntos de
coordenadas (0,2) y (-3,1)?
a)(-2,-1) b)(6,4) c)(-4,0)
Si los dibujamos tenemos:
P(0,2) Q(-3,1) y el punto b) está
alineados, en la misma recta.
y
4
Q
b)
P
0
6
Con la fórmula:
P(0,2)=(x1,y1) Q(-3,1)=(x2,y2)
a)(-2,-1)=(x3,y3)
(-1-2)/(-2-0)=-3/-2=3/2
(1-2)/(-3-0)=-1/-3 No es igual.
a)no es solución.
x
b) (6,4) =(x3,y3)
(4-2)/(6-0) = 2/6
(1-2)/(-3-0)=-1/-3 =-1/-3=1/3 que
simplificando 1/3 es lo mismo que
2/6.
Solución b)
Los ejercicios se pueden hacer
dibujándolos o con la fórmula.
Posición relativa de dos rectas
Dos rectas en el plano pueden
cortarse en un punto, pueden ser
paralelas o ser la misma
recta(coincidentes).
y=2x +3
y=2x-1 como tienen la
misma pendiente son paralelas pero
no son la misma recta.
Conclusión:
1)Si están en forma explícita
y=ax+b y = a´x + b´ son paralelas si
a(pendiente) es igual a a´. Si no se
cortan en un punto.
Si están en forma general:
2)r:Ax+By+c=0
S:A’x+B’y+c’=0
1)A/A’ = B/B’ ≠C/C’ paralelas y
distintas.
2)A/A’=B/B’=C/C’ coincidentes.
3) A/A’≠B/B’ se cortan en un punto.
3…. Las rectas de ecuaciones
x+2y =1
y
2x +4y =2 son.
a)coincidentes
b)Paralelas y distintas.
c) Tienen un único punto de
intersección.
Pasamos las dos rectas a la forma
Ax+By+C=0
r:X+2y-1=0
s: 2x+4y-2=0
A/A’=1/2
B/B’=2/4 =1/2
C/C’=-1/-2=1/2
Coincidentes, se cumple el apartado
2)
Solución a)
3… Las rectas de ecuaciones x+y=2 y
x+2y=2 se cortan en un punto de:
a)abscisa igual a 0.
b)abscisa igual a 2.
c)ordenada igual a 2.
Pasamos las dos rectas a la forma
Ax+By+C=0; r:x+y-2=0
A/A’=1/1=1
s: x+2y-2=0
B/B’=1/2 =1/2
Son distintos. Se cortan. ¿en qué
punto?
Hay varias formas de resolverlo:
1)Podemos resolver el sistema





x y 2
x 2y  2
x será la abscisa e y la ordenada
Restando –y=0
y=0 la ordenada
no es 2. c) no es solución.
Sustituyendo y=0 en la primera
ecuación sale x=2
la abscisa es 2.
Solución b)
2)Si la solución fuese a) x=0
sustituyendo en la primera ecuación
y=2.
En la 2ª ecuación si x=0 debe ser y=2
Veamos x+2y=2 ¿0+2·2=2? No
En b) Si x=2 sustituyendo en x+y=2
sale y=0.
En la segunda ecuación ¿2+2·0=2? Si.
Esta es la solución.
Solución b)
Rectas paralelas y perpendiculares.
y=ax+b
y=a’x+b’
Paralelas a=a’
igual pendiente.
Perpendiculares a’=-1/a
3… ¿Cuál de las siguientes rectas no
es paralela a las otras dos?
a)y=4/3x-6/5
b)3x-4y+2=0
c)8x-6y-3=0
Las que tengan la misma pendiente
son paralelas.
y=ax+b a es la pendiente
En a) la pendiente es 4/3
En b) despejamos y
-4y=-3x-2 y=3/4x+2/4 pte=3/4
En c) -6y=-8x+3 y=8/6x-3/6
y=4/3x-1/2 pte=4/3
a)y c) tienen las misma pendiente
luego son paralelas. b)no tiene la
misma pte que éstas.
Solución b)
3… ¿Cuál de las siguientes rectas es
perpendicular a la recta y=-2x?
a)y=2x
b)x+2y=0
c) y=1/2x
y=-2x tiene pte a=-2.
Una perpendicular a ella tiene que
tener pte a’=-1/a =-1/-2=1/2
a)tiene pte 2. No es solución.
b)despejamos y 2y=-x y=-1/2x
la pte es -1/2. No es solución.
c)tiene pte=1/2
Solución c)