‫המרת אנרגיה‬ ‫מרצה‪ :‬ד"ר ראובן ינקוסנקו‪.‬‬ ‫מייל‪[email protected] :‬‬ ‫נייד‪.052-8241928 :‬‬ ‫סילבוס‪:‬‬ ‫בקורס נלמד על התקנים להעברת אנרגיה המבוססים על אנרגיה מגנטית אגּורה‪.‬‬ ‫השיטה נקראת מגנטו‪-‬קווזיסטטיקה‪( .‬השם מעיד על המשמעות‪.)..‬‬ ‫הנושאים שנלמד הם‪:‬‬ ‫‪ .1‬תלת פאזי (היכרות עם הנושא)‪.‬‬ ‫‪ .2‬מעגלים מגנטיים‪.‬‬ ‫‪ .3‬שנאים (חד פאזי ותלת פאזי)‪ .‬השנאים ממירים אנרגיה חשמלית לאנרגיה חשמלית‪.‬‬ ‫‪ .4‬מכונות חשמל‪ .‬המכונה ממירה אנרגיה חשמלית למכאנית‪ .‬במקרה זה היא נקראת מנוע ובמקרה ההפוך היא נקראת גנרטור‪.‬‬ ‫יש לנו שני סוגי מכונות‪ ,‬האחת היא סינכרונית והשנייה היא אסינכרונית‪ .‬ההבדל בין השניים הוא כזה שבסינכרונית המכונה‬ ‫תתעקש לשמור על הקצב שלה ומכונה אסינכרונית תתאים את עצמה לקצבים שונים‪ .‬קרוב לוודאי שלא נגיע ללמוד על מכונה‬ ‫אסינכרונית בקורס עקב מגבלות תקציב‪.‬‬ ‫‪|1‬‬ ‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪ .1‬רשתות תלת‪-‬פאזיות‬ ‫חיבור משולש‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫להלן מתוארים שלושה מקורות מתח המהווים רשת תלת‪-‬פאזית המחוברים באופן הבא‪:‬‬ ‫לענייננו‪ ,‬בין שלושת הספקים יש הפרש של ‪ 1 2 0 ‬אחד מהשני‪.‬‬ ‫המתח הנמדד בין כל זוג יציאות נקרא מתח הקו ויסומן‪. V line  V l :‬‬ ‫חיבור זה נקרא חיבור משולש ומסומן בהמשך ב‪.  -‬‬ ‫(הסימנים מעידים על כיווני הפאזה שכן שני מקורות מתח חילופין‬ ‫עם סימנים הפוכים נבדלים זה מזה ב‪.) 1 8 0  -‬‬ ‫‪V ph 120 ‬‬ ‫‪Vl‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪Vl‬‬ ‫נתבונן בגרף הבא ונסיק באופן מיידי‪:‬‬ ‫‪. V a  V b  V c  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ V ph 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ c‬‬ ‫‪Vl‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הקשר שבין מתח הקו ‪ V l‬למתח הפאזה ‪ V p h‬בחיבור משולש‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪V ph 240 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫איור ‪ – 1‬תיאור כללי של מודל רשת תלת‬ ‫פאזית בחיבור משולש‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫איור ‪ – 2‬תיאור ווקטורי של המתחים‪.‬‬ ‫‪c‬‬ ‫הקשר בין ‪ I ph‬ל‪: I l -‬‬ ‫אם הרשת מאוזנת כל מקור מועמס באותו עומס בדיוק (גודל וזווית) ולכן גם זרמי הפאזה יהיו שווים בגודלם ובהפרש של‬ ‫אחת לעומת השני‪.‬‬ ‫‪I phb‬‬ ‫נצייר את זרמי הפאזה‪:‬‬ ‫לפי המודל שלנו ניתן לראות כי כל זרם קו‬ ‫הינו הפרש פאזורי בין שני זרמי פאזה (הירוק)‪.‬‬ ‫‪I pha‬‬ ‫‪I phc‬‬ ‫נבצע את ההפרש הפאזורי ונקבל‪:‬‬ ‫‪3  I ph 120 ‬‬ ‫‪120‬‬ ‫איור ‪ – 3‬תיאור ווקטורי של הזרמים‪.‬‬ ‫הווקטור המסומן בירוק הוא הפרש הזרמים הנדרש‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪I l  I pha  I phb  I ph  j  I ph  30   I ph  j  I ph  cos   30   j  sin   30    I ph  ‬‬ ‫‪ j ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫היות ואנו מעוניינים רק בגודל נוכל לרשום בפשטות עבור חיבור מסוג זה‪:‬‬ ‫‪3  I ph‬‬ ‫‪Il ‬‬ ‫‪. :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫חיבור כוכב‪:‬‬ ‫באיור הבא מתואר מודל חיבור כוכב‪:‬‬ ‫הקשר בין הזרמים הוא פשוט‪. I p h  I l :‬‬ ‫‪3  V‬‬ ‫‪ V‬‬ ‫‪ V‬‬ ‫הקשר בין המתחים ‪ V ph‬ו‪ V l -‬הוא‪:‬‬ ‫(החישוב זהה למה שביצענו קודם עם הפרש הזרמים בחיבור משולש)‪.‬‬ ‫‪ 30 ‬‬ ‫‪ph‬‬ ‫חיבור כוכב מקובל לסמן ב‪ .Y-‬המסקנה היא‪:‬‬ ‫‪ ... ‬‬ ‫‪3  V ph‬‬ ‫‪phb‬‬ ‫‪Vl ‬‬ ‫‪.Y :‬‬ ‫‪pha‬‬ ‫‪. V A B‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪V ph 0 ‬‬ ‫‪Vl‬‬ ‫‪Vl‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ V ph 120 ‬‬ ‫‪V ph 240 ‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪c b ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Vl C‬‬ ‫איור ‪ – 4‬תיאור כללי של מודל רשת תלת פאזית בחיבור כוכב‪.‬‬ ‫הערה‪:‬‬ ‫בתרגילים תהייה נתונה רשת (מאוזנת) ואין לנו שום מושג האם היא נוצרה ע"י חיבור כוכב‬ ‫או משולש וע"י כמה גנראטורים היא נוצרה‪ .‬כמוכן לא ידוע לנו באיזה צד של הרשת נמצאים‬ ‫הצרכנים ובאיזה צד הגנראטורים‪ .‬מה שמעניין אותנו הוא הפאזה שבקצה‪.‬‬ ‫‪|2‬‬ ‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫נתונה רשת תלת פאזית שאליה מחובר הצרכן הבא‪Z ph   4  3  j    5  36.9  :‬‬ ‫מתח הקו הוא‪ . V l  208 v :‬חשב‪:‬‬ ‫א‪ .‬גודל זרם הקו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬גורם ההספק‪.‬‬ ‫ג‪( . S , Q , P .‬תזכורת‪-S :‬הספק מדומה‪-P ,‬הספק אפקטיבי‪ -Q ,‬הספק ריאקטיבי)‪.‬‬ ‫‪Z ph‬‬ ‫‪Z ph‬‬ ‫‪Vl  208 v‬‬ ‫‪Z ph‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬ברגע שאנו יודעים את מתח הקו נוכל למצוא את מתח הפאזה ואז את זרם הקו‪:‬‬ ‫‪ 120 v‬‬ ‫‪208‬‬ ‫‪Vl‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 24 A‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪V ph‬‬ ‫‪Z ph‬‬ ‫‪V ph ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪I l  I ph ‬‬ ‫ב‪ .‬נזכיר את ההגדרה של גורם ההספק‪:‬‬ ‫המשמעות של הזווית ‪ ‬היא‪ :‬בכמה מעלות מקדים המתח את הזרם‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫בעומס אומי המתח הוא באותו מּופע עם הזרם‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫והזרם‬ ‫המתח‬ ‫בין‬ ‫בעומס השארתי ‪ Z‬כלשהו קיים הפרש מּופע‬ ‫‪P‬‬ ‫גורם ההספק הוא‪. cos  :‬‬ ‫חובה לציין גם את סימן הזווית‪ ,‬זווית שלילית מעידה כי המתח מקדים את הזרם וזווית חיובית מעידה כי המתח מפגר אחרי‬ ‫הזרם‪ .‬במקרה שלנו נקבל בפשטות‪ cos  36.9    0.8 :‬וקל לראות כי המתח מפגר אחרי הזרם‪.‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫ג‪ .‬הספק מדומה (‪ )S‬משמעותו היא לכפול את המתח בזרם ללא התייחסות לזווית‪. S ph  V ph  I ph  120  24 :‬‬ ‫ההספק המדומה על כל המערכת הוא ‪ 3‬פעמים ‪ S ph‬ולכן‪. S  3  S ph  3  V ph  I ph  3  120  24  8640V A :‬‬ ‫ההספק האקטיבי הוא‪. P  S cos   8640  0.8  6912W :‬‬ ‫ההספק הריאקטיבי הוא‪. Q  S sin   8640  0.6  5184VAR :‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫נתונה אותה הרשת מהדוגמא הקודמת‪ .‬כעת מחברים עומס הגדול פי ‪ 3‬מהקודם‪ . Z ph  15  36.9  :‬הסעיפים זהים‪:‬‬ ‫א‪ .‬המתח מתקבל ישירות מצורת החיבור‪. V ph  V l  208 v :‬‬ ‫הזרם הוא‪ 13.86 A :‬‬ ‫‪208‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪V ph‬‬ ‫‪Z ph‬‬ ‫‪ I ph ‬ולכן‪3  13.86  24 A :‬‬ ‫‪3  I ph ‬‬ ‫‪Il ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫והזווית‪( .  V ph   I ph  36.9  :‬נשים לב כי התקבלו זרמים זהים)‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אותו דבר כמו מקודם‪.‬‬ ‫ג‪ .‬ההספק המדומה‪. S  3  S ph  3  V ph  I ph  3  208  13.86  8640V A :‬‬ ‫ההספקים האחרים שווים כמו מקודם‪.‬‬ ‫‪|3‬‬ ‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪Z ph‬‬ ‫‪Z ph‬‬ ‫‪V ph  208 v‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪Z ph‬‬ ‫‪C‬‬ ‫מסקנות‪:‬‬ ‫‪ .1‬המרת עומס מכוכב למשולש‪. Z   3 Z Y :‬‬ ‫‪ .2‬ראינו כי תמיד נכון לומר‪. S  3  S ph  3  V ph  I ph :‬‬ ‫במשולש כשנפתח נקבל‪3  V l  I l :‬‬ ‫בכוכב כשנפתח נקבל‪3  V l  I l :‬‬ ‫‪Il‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S  3  S ph  3  V ph  I ph  3  V l ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ Il ‬‬ ‫‪Vl‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪S  3  S ph  3  V ph  I ph  3 ‬‬ ‫לכן תמיד‪. S  3  S ph  3  V ph  I ph  3  Vl  I l :‬‬ ‫עד כאן הרצאה ‪ .1‬תאריך‪1.11.11 :‬‬ ‫‪ .2‬מעגלים מגנטיים‪:‬‬ ‫ˆ‪z‬‬ ‫מעגל מגנטי מורכב מסליל מעשי‪ ,‬בחישובים של מעגלים מגנטיים נתבסס על סולונואיד כמתואר באיור ‪:5‬‬ ‫נתייחס אליו כאל אינסופי‪ ,‬בהמשך נכניס לתוך הסולונואיד חומר (ולא יהיה שם רק רִיק)‪.‬‬ ‫נלפף חוט סביב הסליל כמתואר ונקבל כי השדה המגנטי ‪ B‬שבתוך הסליל הוא בכיוון ˆ‪z‬‬ ‫ואינו תלוי במרחק מציר ה‪ . zˆ -‬כמו כן ניתן להוכיח גם כי השדה המגנטי בחוץ מתאפס‪.‬‬ ‫(ראינו את זה עד כה לפחות ב‪ 3-‬קורסים שונים‪)..‬‬ ‫עבור סליל עם ‪ N‬ליפופים באורך ‪ l‬שזורם בו זרם ‪ I‬נקבל מחוק אמפר‪:‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪.H ‬‬ ‫ראינו בעבר כי‪( B   H :‬או במקרה של רִיק ‪ ) B   0 H‬אך הקשר הנ"ל אינו ליניארי לכל‬ ‫ערך של ‪ . H‬באיור ‪ 6‬ניתן לראות תיאור גרפי של התלות‪: B  f ( H ) :‬‬ ‫מהגרף ניתן לראות כי קיים איזור קטן – לא ליניארי – ובו ‪. B   0  r H :‬‬ ‫כאשר הספינים של האלקטרונים שבאטום מגיעים לרוויה‬ ‫מתקיים‪  0 :‬‬ ‫‪N‬‬ ‫איור ‪ -5‬תיאור סולונואיד כללי‪.‬‬ ‫‪dB‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪dH‬‬ ‫אז מקבלים את הקשר הכללי הידוע‪. B   0 H :‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪‬‬ ‫נזכור כי הקשר הכללי של ‪ B‬ו‪ H -‬תלוי גם בווקטור המגנטיזציה ‪: M‬‬ ‫‪. B  0  H  M‬‬ ‫איור ‪ -6‬גרף‪.‬‬ ‫באיזור הליניארי (הרוויה) ‪ M‬יחסי ל‪ H -‬ומקובל לרשום‪. M   m H :‬‬ ‫לכן‪ B   0  H  M    0 1   m  H :‬ומסמנים‪. 1   m   r :‬‬ ‫נחזור לעניינינו ההתחלתי והוא חישוב עוצמת השדה המגנטי בתוך סליל‪:‬‬ ‫השטף המגנטי (כאשר חתך השטח הוא ‪ )A‬מוגדר‪:‬‬ ‫מגדירים את ההשראות המגנטית‪:‬‬ ‫‪0r A‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪0r NI‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ N ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪0r NI‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪. B  0r H ‬‬ ‫‪.  B  A ‬‬ ‫‪.L ‬‬ ‫כדי למצוא את האנרגיה האגורה בסליל יש להיעזר במשפט הפוינטינג והוא שווקטור הפוינטינג נותן של ההספק ליח' שטח‬ ‫ולכן סכימה (אינטגרל) של ווקטור הפוינטינג לאורך כל שטח המעטפת תניב את האנרגיה האגורה‪.‬‬ ‫ראינו כי וקטור הפוינטינג הוא‪. S  E  H :‬‬ ‫‪. Pin   ‬‬ ‫ההספק הכלוא בתוך גוף כלשהו הוא‪ S  d a   E  J dv   E   t Ddv   H   t Bdv :‬‬ ‫‪|4‬‬ ‫‪B‬‬ ‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫‪ -‬ההספק שהולך לחימום התנגדותי‪.‬‬ ‫‪ E  J dv‬‬ ‫‪ -  E   Ddv‬שינוי האנרגיה החשמלית ליח' זמן‪.‬‬ ‫‪-  H   Bdv‬שינוי האנרגיה המגנטית ליח' זמן‪.‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫נניח בסולונואיד ש‪ B-‬ו‪ H-‬לא תלויים במיקום והם לכיוון ציר‬ ‫‪‬‬ ‫‪ NI‬‬ ‫‪t‬‬ ‫מגדירים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪t‬‬ ‫ˆ‪z‬‬ ‫וננתח את הביטוי האחרון בסכימה‪:‬‬ ‫‪H t B  l  A  H ‬‬ ‫‪ V ‬המתח המושרה על הלולאה (חוק פראדיי)‪ .‬ולכן מקבלים‪. H   t B  I  V :‬‬ ‫הביטוי ‪ H   t B‬הוא הספק מגנטי ליח' נפח‪ .‬כאשר נכפיל ב‪ d t -‬נקבל את תוספת האנרגיה ליח' נפח‪.‬‬ ‫מהגרף הקודם ניתן לראות כי השטח המצוין בסמוך הוא למעשה תוספת האנרגיה ליח' נפח‪.‬‬ ‫לכן באיזור הרוויה (התחום הליניארי שבגרף) אם עולים מ‪ 0-‬לנקודה מסוימת אז מקבלים‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪20r‬‬ ‫קיבלנו אלמנט נפח של האנרגיה האגורה‪ ,‬ז"א‪:‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0r H‬‬ ‫‪ u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪BH ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪dB‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪uH ‬‬ ‫‪. EH ‬‬ ‫במקרה שבו לא כל הסולונואיד מלופף נקבל בריחה של שטף מגנטי אל מחוץ לסולונואיד‪.‬‬ ‫לכן‪ H outside  0 :‬ואז גם‪ . B outside   0 H outside  0 :‬יחד עם זאת הוא קטן מאוד ביחס ל‪. B inside   0  r H inside -‬‬ ‫יש להתייחס למקרה זה מכיוון שאין לנו באמת סולונואיד אינסופי ולכן תמיד תהיה בריחה כלשהי‪.‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫נתון סולונואיד מעוגל ועליו שני ליפופים שונים ‪ N A‬ו‪ N B -‬עם זרמים‪ I A :‬ו‪. I B -‬‬ ‫שטחי החתך של הסולונואיד נחלקים לשניים‪ A1 :‬ו‪. A2 -‬‬ ‫מסמנים ב‪ l1 , l 2 -‬את האורכים הממוצעים של כל חלק מהמעגל‪.‬‬ ‫נניח כי ‪ B‬ו‪ H-‬בכיוון המעגל ואחידים ולכל חלק יש ‪  r 1‬ו‪.  r 2 -‬‬ ‫אנו רוצים להראות את האנלוג המגנטי למעגל חשמלי ‪DC‬‬ ‫(ז"א הדמיון שבין שני סוגי המעגלים)‪.‬‬ ‫‪ r1‬‬ ‫‪l1‬‬ ‫רדיוס ממוצע‬ ‫‪l2‬‬ ‫‪IA‬‬ ‫‪A1‬‬ ‫‪A2‬‬ ‫‪IB‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫מחוק אמפר מקבלים בפשטות‪.  H  dl  H 1l1  H 2 l 2  N A I A  N B I B :‬‬ ‫נבטא את ‪ H‬במונחי ‪:B‬‬ ‫‪B 2 l2‬‬ ‫‪0r2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B1l1‬‬ ‫‪ 0  r1‬‬ ‫‪. H 1l1  H 2 l 2 ‬‬ ‫נסמן‪ - N i I i  Fi :‬מקור מגנו‪-‬מניע ‪ -‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪ F1  F2‬‬ ‫‪B 2l2‬‬ ‫‪0r2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B1l1‬‬ ‫‪ 0  r1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫השטף בשני החלקים שווה‪   A1 B1  A2 B 2 :‬ולכן ניתן לכתוב‪  F1  F2 :‬‬ ‫‪ A1  1 A2  2 ‬‬ ‫‪l‬‬ ‫נסמן‪ - R i  i :‬התנגדות מגנטית של קטע באורך ‪ l i‬עם שטח חתך ‪ Ai‬ופרמביליות ‪.  i‬‬ ‫‪Ai  i‬‬ ‫‪l2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪l1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬כאשר‪.  0  r 1   1 :‬‬ ‫נשים לב כי באנלוגיה ‪ F1  F2‬הם מקורות ולכן ‪ H 1l1  H 2 l 2‬הם מפלי מתח באזורים ‪ 1‬ו‪ 2-‬בהתאמה‪.‬‬ ‫‪|5‬‬ ‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫טבלה‪ :‬אנלוג חשמלי למעגל מגנטי‪:‬‬ ‫מגנטי‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪A‬‬ ‫חשמלי‬ ‫‪‬‬ ‫‪ At    A ‬‬ ‫‪ W b ‬‬ ‫‪H / m‬‬ ‫‪A / m‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ R ‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪ A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪W b / m 2  T ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪A / m2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪J ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1 /  ‬‬ ‫‪v / m ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫נתון סליל עגול בעל רדיוס ממוצע‪ . a  6 cm :‬רדיוס החתך הוא‪. r  1cm :‬‬ ‫נתונים גם‪ . N  1000 ,  r  2000 :‬יש למצוא את הזרם הדרוש לשטף‪W b :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.   2  10‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כעת המעגל פשוט‪ ,‬יש לנו רק חלק אחד‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 4.77  10 H‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ואז‪ F     2  10  4  4.77  10 5  95.5 A  N I :‬ולכן‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2   6  10‬‬ ‫‪ 2000     10‬‬ ‫‪ 9 5 .5 m A‬‬ ‫‪9 5 .5‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4   10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0  r  r‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪.I ‬‬ ‫עד כאן הרצאה ‪ .2‬תאריך‪8.11.11 :‬‬ ‫חזרה מהרצאה קודמת‪:‬‬ ‫לקחנו סולונואיד המחולק לשני חלקים‪( .‬הזרמים הם לאותו הכיוון)‪.‬‬ ‫ראינו כי השדה החשמלי אחיד בכל קטע אך אין הדבר אומר כי השדה שווה בשני החלקים‪.‬‬ ‫לכן פיצלנו את חוק אמפר לשני חלקים‪.  H  dl  H 1l1  H 2 l 2  N A I A  N B I B :‬‬ ‫לכל אחד מהביטויים‪ N i I i :‬קראנו כח‪-‬אלקטרו‪-‬מניע ולביטויים‪ Fi  H i li :‬קראנו מפל מתח על קטע ‪.i‬‬ ‫נצייר אנלוג חשמלי למעגל המגנטי הנ"ל‪:‬‬ ‫ניתן לראות כי ה"זרם" במקרה זה הוא השטף ‪. ‬‬ ‫מתקיים‪. F A  FB  F1  F2 :‬‬ ‫אם יש קשר ליניארי בין ‪ H‬ל‪( B -‬והוא‪ )  :‬אז אנו מסוגלים חשב את‬ ‫ז"א בכל קטע ‪ i‬מתקיים‪.  i   o  ri :‬‬ ‫‪|6‬‬ ‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪FB‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪FA‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B1l1 B 2 l 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫לפי זה נקבל‪ F1  F2 :‬‬ ‫‪ .‬בשל השטף המשותף נקבל‪  F1  F2 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A2  2 ‬‬ ‫‪l‬‬ ‫וראינו בסוף ההרצאה את הסימון להתנגדות המגנטית‪ . R i  i :‬עד כאן חזרה!‬ ‫‪Ai  i‬‬ ‫‪l2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪l1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪ A1  1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫כעת נראה דוגמא לא‪-‬ליניארית‪ .‬במקרה זה הקשר יורד לאחר חלק ליניארי כלשהו‪.‬‬ ‫מן הראוי לציין כי כאשר משנים באופן מהיר את הזרם נקבל כי ירידה של ‪ H‬לאפס עדיין תשאיר ‪ B‬מסוים‪.‬‬ ‫התופעה הזאת נקראת היסטרזיס – עליה נדון בהמשך‪.‬‬ ‫‪H‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫נתונות הנקודות הבאות מהגרף‪  50, 0.35  , 150, 0.9  ,  500,1.25  :‬כאשר‪.  B   T ,  H   A / m :‬‬ ‫נתונה ליבה מגנטית כמתואר באיור הבא‪:‬‬ ‫נתון שטח חתך ממוצע אחיד‪. A  2 cm  2 cm :‬‬ ‫נתון כי‪ l  l 2  18 cm :‬וכן‪( l1  6 cm :‬אורכים ממוצעים)‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נצייר מעגל אנלוג חשמלי (למרות שאיננו יודעים את ההתנגדויות כי התלות לא ליניארית)‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫נתון ‪  1‬ושטח החתך לכן ניתן למצוא את ‪: B1‬‬ ‫‪ 0.9 T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l1‬‬ ‫‪l2‬‬ ‫צריך לחשב את הזרם ‪ I‬לקיום התנאי‪. 1  3 .6  1 0  4 W b :‬‬ ‫‪3.6  10‬‬ ‫‪ 0.02 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. B1 ‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪F  NI‬‬ ‫‪b‬‬ ‫מהגרף ניתן לראות כי‪. B1  0.9T  H 1  150 A / m :‬‬ ‫נמצא את מפל המתח (הכח האלקטרו מניע) בחלק של ‪ . Fab  H 1l1  150  0.06  9 A : l1‬אבל מתקיים גם‪Fab  H 2 l 2  9 A :‬‬ ‫(לפי חוק אמפר – מפל המתח על שני הקטעים שווה‪:‬‬ ‫לכן מקבלים‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 50‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪Fab‬‬ ‫‪l2‬‬ ‫‪ H 2 l 2  0  H 1l1   H 2 l 2‬‬ ‫‪ H  dl  H l‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫כי אין שם זרם)‪.‬‬ ‫‪ . H 2 ‬מכאן גם נמצא‪ B 2  0.35T :‬לפי הנתונים מהגרף‪.‬‬ ‫השטף בחלק השני הוא‪.  2  B 2  A  1.4  10  4 W b :‬‬ ‫כדי למצוא את השטף הכללי נתייחס כמו ב‪ KCL-‬רק שהפעם מבצעים אינטגרל על הנפח שממנו יוצאים שלושת‬ ‫השטפים (נצייר חיצים היוצאים מחוץ למסגרת העוטפת את החלק המהווה את הצומת)‪.  B  da  0 :‬‬ ‫נקבל‪ B A  B1 A  B 2 A  0     1   2  0 :‬ולכן‪.   5  10  4 W b :‬‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫‪ 1 .2 5 T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ B ‬ואז מהגרף ‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ H  5 0 0‬והזרם‪. FR  H l  500  0.18  90 A :‬‬ ‫נקבל בסוף‪ F  FR  Fab  99 A :‬והזרם הוא‪:‬‬ ‫‪ 0 .3 3 A‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ . F  IN  I ‬מש"ל‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬במצב זה (‪ )DC‬יש אנרגיה קבועה אגורה בליבה‪ ,‬לכן הפסדי ברזל‪.  PFE  0 :‬‬ ‫האנרגיה לא מתבזבזת היות והיא לא יוצאת אלא ע"י שינוי הזרם וב‪ DC-‬אין לנו דבר כזה‪.‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬ראינו כי השטח הכלוא בגרף של עקומת ה‪ B-H-‬בין העקומה‪ ,‬ציר ה‪ B-‬וישר אופקי‬ ‫המשמש כחסם עליון מתאר את האנרגיה ליח' נפח‪ .‬ניתן להוכיח כי השטח שבין כל שתי נקודות‬ ‫מהנקודות הנתונות זהה‪.‬‬ ‫‪|7‬‬ ‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫מעגלים מגנטיים ב‪:AC-‬‬ ‫במצב זה נוצר מתח מושרה‪.‬‬ ‫נזרים זרם סינוסואידאלי (כמובן‪ )..‬וכתוצאה מכך נקבל שטף המשתנה בזמן ולפי חוק פראדיי‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪.  E  d l    t  B  d a  ‬‬ ‫ניצור לולאה סגורה ע"י כך שנלך על החוט לאורך הקפה אחת ובסיום ההקפה "נסגור" את הלולאה באוויר מהחוט הנוכחי כלפי זה‬ ‫שמתחתיו‪ .‬מכיוון הזרם ניתן לראות את כיוון השדה החשמלי‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫למטה‬ ‫מלמעלה‬ ‫כאשר נתייחס לכל החוט נקבל כי השדה החשמלי הוא‬ ‫‪dt‬‬ ‫לכן השטף יתקדם בכיוון החץ המתואר‪.‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪‬‬ ‫מסקנה‪ :‬קוטביות המתח היא כזו כפי שסומן אם מעלים אנרגיה והפוך אם מורידים אנרגיה‪.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫המתח המושרה על הלולאות הוא‪:‬‬ ‫הקשר בין השטף לזרם הוא‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.V  N‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪. F    N I‬‬ ‫עבור מצב ליניארי‬ ‫‪‬‬ ‫אינו תלוי בשטף‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נציב ונקבל‪:‬‬ ‫‪d  N I  N dI‬‬ ‫‪dI‬‬ ‫‪ L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dt   ‬‬ ‫‪ dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪ V  N‬כאשר‪ - L :‬ההשראות‪.‬‬ ‫‪r‬‬ ‫נצייר את מעגל התמורה (זה הוא לא אנלוג אלא מעגל תמורה אמיתי!)‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר‪ - r :‬התנגדות ליפופים‪ L ,‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ L‬‬ ‫‪ -‬השראות‪.‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪‬‬ ‫עד כאן הרצאה ‪ .3‬תאריך‪15.11.11 :‬‬ ‫מעגל תמורה של מעגל מגנטי המוזן ע"י הזנה בודדת‪:‬‬ ‫נתבונן במעגל התמורה המגנטי הבא המתקבל מליפוף של חוט בליבה‪:‬‬ ‫(זה הוא מעגל תמורה חלקי כי הוא לא מביא בחשבון דברים אחרים)‪.‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪X    L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪N‬‬ ‫נזכור כי‪ L :‬‬ ‫‪‬‬ ‫ראינו כי‪ F  NI    :‬כאשר‪ -  :‬התנגדות מגנטית שקולה‪ -  ,‬שטף מגנטי דרך ענף מגנטי מוזן‪.‬‬ ‫מתח ההדקים הוא‪:‬‬ ‫הוא השראות הליבה ו‪ r -‬הוא התנגדות הליפופים‪.‬‬ ‫‪dI‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪ L‬‬ ‫‪dI‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ dt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪.V  N‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫נדבר רק על עירור הרמוני‪ ,‬לכן‪ ,  t  j :‬מבחינת גודל‪ ,  t   :‬אז נרשום‪ V  N   :‬הנכון עבור הערך המוחלט‪.‬‬ ‫נציב שנית ונקבל‪ . V  L   I  X  I :‬נזכור להוסיף ‪ 9 0 ‬בין המתח והזרם ומשוואה זו נכונה תמיד‪.‬‬ ‫(בעבודה בתדר הרגיל – ‪ 5 0 H z‬מתקיים‪ r   X  :‬ולכן ניתן להזניח אותו בפיתוח)‪.‬‬ ‫הפסדי ברזל‪:‬‬ ‫ישנם ‪ 2‬סוגי הפסדי ברזל‪ :‬הפסדי היסטרזיס והפסדי מערבולת‪.‬‬ ‫‪|8‬‬ ‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪E‬‬ ‫הפסדי היסטרזיס‪:‬‬ ‫נזכור כי‪ H  I :‬ו‪ , B  V -‬לכן מקבלים את הפיתוח הבא‪:‬‬ ‫כאשר‪ H  0 :‬יש לנו שיפוע שהוא‪(  1 :‬ראינו בעבר) וככל שנעלה נגיע לרוויה בגרף‬ ‫(כפי שראינו בעמ' ‪ )4‬בנקודה ‪ A‬ושם יש שיפוע ‪  2‬לפי הנדרש בייצור‪.‬‬ ‫לאחר שנגיע לרוויה‪ ,‬כאשר נוריד את הזרם נקבל כי קיימת עוצמה מגנטית כלשהי (הנקודה ‪.)B‬‬ ‫אם נוריד את הזרם אף יותר (לתחום השלילי) נגיע למצב של איפוס ‪ B‬וכן חלילה‪.‬‬ ‫נבדוק מה קורה מבחינת האנרגיה‪:‬‬ ‫תוספת האנרגיה לליבה בכל תזוזה היא‪ . H d B :‬כאשר‪ H d B  0 :‬הליבה מקבלת אנרגיה וכאשר‪ H d B  0 :‬היא מחזירה אנרגיה‪.‬‬ ‫השטח שכלוא בין ישר אופקי הנמתח מהרוויה (הנקודה ‪ )A‬לציר האנכי‪ ,‬והעקומה הכתומה (תחילת התהליך) הוא חיובי כי ‪ H‬חיובי‬ ‫וגם ‪( d B‬כי עולים איתו ככל שמגדילים את ‪ .) H‬לכן האנרגיה בשלב זה היא‪ H d B  0 :‬והליבה מקבלת אנרגיה‪.‬‬ ‫כאשר נעים מהנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ B‬מקבלים שטח שלילי כי ‪ dB  0‬אבל השטח הכולל קטן מהשטח ההתחלתי ולכן עדיין יש יותר‬ ‫אנרגיה בליבה מאשר מה שהיא נתנה‪ .‬כשחוזרים על התהליך מקבלים כי השטח הכלוא בין הנקודות ‪ B‬ו‪ C-‬והצירים שוב חיובי ולכן‬ ‫הליבה מקבלת עוד אנרגיה‪ .‬כאשר מחשבים את השטח בין ‪ C‬ו‪ D-‬וישר אופקי המחבר את ‪ D‬עם הציר האנכי נקבל עוד שטח חיובי‬ ‫המתווסף לאנרגיה שהליבה מקבלת‪ .‬בסוף‪ ,‬כשנחשב את השטח הכלוא בין ‪ D‬ו‪ E-‬ואותו הישר נקבל שטח שלילי ולכן הליבה מחזירה‬ ‫אנרגיה‪ .‬כאשר נסיים את התהליך עד למחזור שלם (ז"א בין הנקודות ‪ E‬ל‪ F-‬ובין ‪ F‬ל‪ )A-‬נקבל כי הסכום לא התאפס והסכום שהליבה‬ ‫קיבלה גדול יותר מהסכום שהיא החזירה‪ .‬לכן לא יכול להתקיים היסטרזיס הפוך למשל כי אז המשמעות תהיה שאנו מקבלים יותר‬ ‫‪1‬‬ ‫אנרגיה מאשר אנו משקיעים וזה לא ייתכן‪ .‬סך השטח שקיבלנו מייצג את האנרגיה ליח' נפח במשך מחזור‪:‬‬ ‫‪.T ‬‬ ‫‪f‬‬ ‫לכן מסיקים כי ההספק פרופורציוני לתדר‪.  Ph ys  f :‬‬ ‫באופן טיפוסי השטח הכלוא בהיסטרזיס קטן בהרבה משטח העבודה הדינאמית (המלבן בגבולות‪.)  B m in , B m ax    H m in , H m ax  :‬‬ ‫לפי זה נוכל להגדיר את האחוז המנוצל‪:‬‬ ‫‪ H dB‬‬ ‫‪2 B m ax  2 H m ax‬‬ ‫‪  hys ‬כאשר‪ -  H dB :‬השטח הכלוא‪.‬‬ ‫‪ hys 2 B m ax  2 H m ax  Vvolum e‬‬ ‫כעת נוכל לקבל הספק‪ f   hys  4 B m ax H m ax  A  l :‬‬ ‫‪T‬‬ ‫מכיוון ש‪ B m ax  A   m ax , H m ax  l  I m N :‬נקבל‪ f   hys  4 m ax  I m ax N :‬‬ ‫היות ו‪-‬‬ ‫‪N d  m ax‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪ I m ax N  L ‬נקבל‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪.  Phys ‬‬ ‫‪.  Phys‬‬ ‫‪.  Phys  f   hys  4 N 2 m2 ax‬‬ ‫המלבן הירוק הוא שטח העבודה הדינאמי‪.‬‬ ‫שטח זה קטן יותר מהשטח הכלוא בהיסטרזיס‪.‬‬ ‫‪2V  hys‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הקשר בין מתח ההדקים לשטף הוא‪ , V m ax  N   m ax :‬נציב ונקבל (לאחר צמצום)‪:‬‬ ‫(עברנו ממתח מקסימלי לאפקטיבי)‪ .‬נשתמש גם ב‪ X   L    2  fL  -‬ונקבל‪:‬‬ ‫זו היא ההתנגדות של הפסדי הברזל!‬ ‫ההתנהגות‪ N   m ax  L   I m ax :‬‬ ‫‪ fL ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ X‬‬ ‫‪4  hys‬‬ ‫‪  Phys ‬כאשר‪. V m ax  V 2 :‬‬ ‫‪ fL ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 hys‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Phys‬‬ ‫‪ V m ax‬היא מדויקת אם אין הפסדי ברזל‪ ,‬הנחנו שזה עדיין נכון אם הפסדי ההיסטרזיס קטנים‪.‬‬ ‫כעת נוכל לצייר את מעגל התמורה‪ ,‬עם התחשבות בהפסדי ההיסטרזיס‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נשים לב כי ההספק תלוי ליניארית בתדר‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪D ependency‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪r hys‬‬ ‫‪.  Phys ‬‬ ‫זה נכון אם אמפליטודת השטף היא קבועה‪ ,‬ז"א הגבול ‪  H m in , H m ax ‬לא משתנה‪.‬‬ ‫‪|9‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪. r hys ‬‬ ‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪r‬‬ ‫‪X    L‬‬ ‫‪r h ys‬‬ ‫הפסדי מערבולת‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫נסתכל על קטע מהליבה‪ .‬כפי שראינו‪ ,‬יש לנו שטף שמשתנה בזמן העובר דרכו‪.‬‬ ‫לכן‪ -  E  dl  0 :‬יש לנו שדה לא משמר עבור מסלול שמחוץ לליבה‪ ,‬אבל זה נכון‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪r‬‬ ‫גם אם נבחר מסלול בתוך הליבה (המסלול הכחול באיור הסמוך)‪.‬‬ ‫לברזל יש ‪ ‬ולכן‪ J    E :‬וראינו כי הפסדי האנרגיה ליח' נפח הם‪ J  E :‬או‪.   E :‬‬ ‫‪Edl‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫גם כאן במקום לסבך נניח הנחה קווזי סטטית (ז"א נניח הנחות סטטיות למרות שמצב אינו בדיוק כך וזאת מכיוון שהשינויים קטנים)‪.‬‬ ‫בהתאם לכך נוכל עדיין להניח כי‪ . V  N   :‬מחוק גאוס נקבל‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נמצא את הספק המערבולת ליח' נפח‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪reddy‬‬ ‫‪8N ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ lV‬‬ ‫‪8N ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪ a ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ r dr ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4N‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪ a ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 a‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ .   E 2 ‬ננטגרל על כל הנפח ונקבל את ההספק הכללי‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 l‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ E  2 r   ‬ולכן‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ E rdr ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4N‬‬ ‫‪   E dv  2 l ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.  Peddy ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בסוף‪:‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪ . reddy ‬נקבל כי בפרמטרים "רגילים" מתקבל מבחינת סדרי גודל מקבלים‪. red d y   X  :‬‬ ‫עד כאן הרצאה ‪ .4‬תאריך‪22.11.11 :‬‬ ‫‪| 10‬‬ ‫‪.E ‬‬ ‫המרת אנרגיה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬