ודית יק מ 806 שאלון ל"חי 5 מתמטיקה
מתמטיקה 5יח"ל שאלון 806מיקודית 1 תוכן העניינים: בחינה מספר 3 ................................... ................................ ................................ 1 בחינה מספר 7 ................................... ................................ ................................ 2 בחינה מספר 10 ................................. ................................ ................................ 3 בחינה מספר 13 ................................. ................................ ................................ 4 בחינה מספר 17 ................................. ................................ ................................ 5 תשובות סופיות21 .............................. ................................ ................................ : בחינה 21 ..................................... ................................ ................................ :1 בחינה 21 ..................................... ................................ ................................ :2 בחינה 22 ..................................... ................................ ................................ :3 בחינה 22 ..................................... ................................ ................................ :4 בחינה 23 ..................................... ................................ ................................ :5 2 בחינה מספר 1 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה והסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מהשאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. )1רוכב אופניים יצא ממקום Aלמקום Bוהגיע לאחר 8שעות. נהג אופנוע יצא לאחר זמן מסוים ממקום Aלכיוון מקום Bוהגיע 3.5שעות לפני רוכב האופניים .ידוע כי השניים נפגשו לאחר פרק זמן השווה להפרש בין זמני היציאה של רוכב האופניים ונהג האופנוע מ.A- א .מצא כמה זמן אחרי רגע היציאה של רוכב האופניים יצא נהג האופנוע. ב .נהג האופנוע התעכב שעה בנקודה Bוחזר מיד לכיוון .A ידוע כי הוא נסע באותה המהירות כפי שנסע מ A-כלפי .B לאחר כמה זמן יפגוש (אם בכלל) את רוכב האופניים? במידה והם ייפגשו ,מצא את זמן הפגישה מרגע יציאת רוכב האופניים. במידה והם לא ייפגשו ,נמק מדוע. )2לפניך שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית. 2 x 23 , x 16 , x 5 : א .1 .מצא את . x .2מצא את הפרש הסדרה. ב .ידוע כי . a12 0 :מצא את . a1 ג .האיבר האחרון בסדרה הוא. an 308 : מצא את סכום כל האיברים החיוביים העומדים במקומות האי-זוגיים. )3במדינה מסוימת 19/60מהאזרחים הם גברים ו 41/60-הן נשים 30% .מבין מרכיבי המשקפיים במדינה זו הם גברים ו 40%-מבין אלו שלא מרכיבים משקפיים הם גברים. א .מה ההסתברות למצוא אישה במדינה זו שלא מרכיבה משקפיים? ב .בוחרים 4אנשים .מה ההסתברות שבדיוק שניים מהם הם נשים שלא מרכיבות משקפיים? ג .בוחרים אזרח .ידוע כי הוא גבר .מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים? 3 פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על אחת מהשאלות .4-5 שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך. AB )4ו CD-הם קטרים במעגל שמרכזו .O מעבירים מיתר החותך את ABבנקודה Mכך שמתקיים2AM BM : ואת CDבנקודה Fכך שמתקיים . FM CD :ידוע כי זווית BMFהיא . 30 מעבירים את המיתרים ACו AD-כך שנוצר המשולש .ACD א .הוכח. CAB BMF : ב .1 .הוכח כי המשולשים ADCו FOM-דומים. .2פי כמה קטן הקטע FOמרדיוס המעגל? ג .מעבירים מהקדקוד Dשל המשולש ACDקטע העובר דרך הנקודה Mוחותך את המיתר AC בנקודה .Gחשב פי כמה גדול שטח המשולש DGCמשטח המשולש .MOF )5המשולש ABCהוא שווה שוקיים AB AC בעל זווית ראש 36החסום במעגל שקוטרו 16ס"מ .מעבירים תיכון BDלשוק .AC א .מצא את אורך הבסיס BCבמשולש .ABC ב .חשב את אורך התיכון .BD ג .מסמנים: - r1רדיוס המעגל החוסם את המשולש .ABD - r2רדיוס המעגל החוסם את המשולש .BCD r1 הוכח את היחס הבא 2cos 36 : r2 4 . פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש ,של פונקציות רציונאליות ושל פונקציות טריגונומטריות ( 40נקודות) ענה על שתיים מהשאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. )6באיור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציות f x ושל : f ' x ידוע כי גרף Iעובר בראשית הצירים וכי נקודת המקסימום של גרף IIנמצאת על ציר ה. y - א .קבע מי מבין הפונקציות f ' x , f x היא זוגית ומי היא אי-זוגית. ב .1 .כמה נקודות פיתול יש לפונקציה ? f x .2סרטט באותה מערכת צירים את הגרפים של הפונקציות הנ"ל והוסף עליהם את הגרף של . f '' x t ג .נסמן ב . S t f ' x dx -ידוע כי ל S t -יש נקודת מקסימום. S 1 4 : 0 .1מצא את שיעורי נקודת המקסימום של . f x .2היעזר בסעיף א' ומצא את נקודת המינימום של הפונקציה . f x )7משולש חסום בקטע הפרבולה , k 0 , y kx 2 שבין הנקודות a, ka 2 ו b, kb2 -כמתואר באיור. הראה שלמשולש השטח הגדול ביותר ab x ומצא את שטח זה. הוא כאשר 2 5 )8נתונה הפונקציה. f x 3 cos2 x : א .1 .הוכח כי נגזרת הפונקציה היא. f ' x sin 2 x : .2הסבר מדוע גם f x וגם f ' x מוגדרות לכל . x ב .מגדירים את הפונקציהf ' x : . g x .1האם הפונקציה g x מוגדרת לכל ? xנמק. .2השטח הכלוא בין g x וציר ה x -בתחום 2 0 x מסתובב סביב ציר ה. x - חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר. בהצלחה! 6 בחינה מספר 2 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה והסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מהשאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. )1אבי ושמוליק השיפוצניקים מבצעים עבודת שיפוץ מסוימת במשך 14שעות כאשר הם עובדים יחדיו מתחילתה ועד סופה .אם שמוליק יבצע רבע מהשיפוץ לבדו ,ואבי יבצע את שארית השיפוץ לאחר ששמוליק יסיים את חלקו ,העבודה עצמה תתבצע במשך 28שעות. א .הראה כי אבי ושמוליק יעילים באותה המידה אם ידוע כי כל פועל מבצע לבדו את עבודת השיפוץ ביותר מ 20-שעות. ב .כמה זמן ייקח לכל אחד מהם לבצע את כל השיפוץ לבדו? )2נתונה הסדרה הבאה . 4 , 12 , 36 ,...., an :מוסיפים לכל איבר בסדרה זו שישית מהאיבר הבא אחריו ויוצרים סדרה חדשה bnבאופן הבא: a a a2 a , b2 a2 3 , b3 a3 4 , ...... , bn an n1 6 6 6 6 א .הוכח כי הסדרה bnהיא סדרה הנדסית ומצא את מנתה. . b1 a1 ב .הראה כי היחס בין סכום nהאיברים הראשונים של הסדרה anובין 2 סכום nהאיברים הראשונים של הסדרה bnהוא 3 . 2 ג .מצא שני איברים סמוכים בסדרה bnשסכומם מהווה 9 מ. a8 - )3במפעל גדול ההסתברות שמתוך 4עובדים לפחות אחד ירכיב משקפיים היא .0.5904 א .מה ההסתברות לבחור עובד שלא מרכיב משקפיים? ידוע כי 40%מהפועלים שמרכיבים משקפיים הם מעשנים ו 20%-מבין העובדים המעשנים הם מרכיבים משקפיים. ב .מה ההסתברות לבחור עובד שמרכיב משקפיים בלבד או מעשן בלבד? ג .בוחרים באקראי 5עובדים .מה ההסתברות שרוב העובדים שנבחרו הם מעשנים? 7 פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על אחת מהשאלות .4-5 שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך. )4על הצלעות של המשולש ABCהקצו את הנקודות Dו E-כך שהמרובע AEDBהוא בר חסימה .הנקודה Dמחלקת את הצלע BCכך שהקטע BDגדול פי 3מהקטע .DC א .הוכח. ABC DEC : ב .נתון גם כי. AC CE 36 : חשב את אורך הקטע .DC ג .מעבירים מהקדקוד Aאת הקטע AFהמקביל לקטע .DEנתון כי 9 :ס"מ = .AC DF . חשב את היחס: BC )5נתון משולש .ABCהקדקודים Bו C-של המשולש ABCנמצאים על מעגל שמרכזו .Oמרכז המעגל Oמונח על הצלע .AC אורך הצלע ABהוא 12ס"מ ואורך הקטע AOהוא 4.5ס"מ. הזווית BACהיא . 60 א .חשב את רדיוס המעגל. ב .מעבירים את הקוטר BDואת הקטע AD כך שנוצר המשולש .ADB חשב את זווית .ADB 8 פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש ,של פונקציות רציונאליות ושל פונקציות טריגונומטריות ( 40נקודות) ענה על שתיים מהשאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. )6בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקצית הנגזרת . f ' x האסימפטוטה היחידה המקבילה לצירים של הפונקציה f x היא . x 0 א .רק על פי נתוני השאלה סרטט סקיצה של הפונקציה . f x נמק. ב .פונקצית הנגזרת f ' x היא: b x2 כמו כן נתונים: .1לגרף הנגזרת יש אסימפטוטה אופקית והיא .-3 a, b , f ' x a פרמטרים שונים מ.0- 2 .2הנגזרת מקיימת. f ' x dx 1.5 : 1 מצא את ערכי הפרמטרים aו. b - )7נתונה הפונקציה a , f x a x :פרמטר. באיור שלפניך מופיע גרף הנגזרת . f ' x ידוע כי לגרף הנגזרת יש אסימפטוטה . x 0 א .קבע על סמך גרף הנגזרת האם aהוא חיובי או שלילי .נמק. ב .מגדירים פונקציה. h x f x f ' x : .1הראה כי: 1 4 x . h x .2השטח הכלוא בין גרף הפונקציה h x וציר ה x -בתחום4 x t : הוא 2יח"ר .מצא את . t )8מחלקים חוט שאורכו Lלשני חלקים .מחלק אחד של החוט יוצרים חצי עיגול ומהאחר יוצרים משולש שווה צלעות .מהו סכום השטחים המינימלי של שתי הצורות? בהצלחה! 9 בחינה מספר 3 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה והסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מהשאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. )1בנהר מסוים עורכים תחרות בין סירות מרוץ. בשעה ,10:00מוזנקת סירת מרוץ מנקודה Aשבנהר ,ושטה כלפי נקודה Bנגד כיוון הזרם. באותו הזמן משוחררת תיבת גופר בנקודה Bאשר שטה עם כיוון הזרם של הנהר כלפי הנקודה .Aמהירות סירת המרוץ במים עומדים היא 24קמ"ש .במסגרת התחרות, הסירה צריכה להגיע לנקודה Bומיד לחזור לנקודה .A ידוע כי הסירה פגשה את תיבת הגופר בנהר לאחר שעה וכי שתיהן הגיעו לנקודה Aיחדיו. המקצה (שייט מנקודה Aלנקודה Bוחזרה לנקודה ?)A באיזו שעה תסיים את הסירה את ִ )2נתונה סדרה הנדסית אינסופית a1 , a2 , a3 , .....שמנתה היא . 0 q 1 , q נגדיר את הסכומים הבאים: T a1 a2 a5 a6 a9 a10 , ... V a3 a7 a11 ... נתון כי. T 6V : א .מצא את מנת הסדרה . q ב .פי כמה קטן Vמסכום כל האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים בסדרה? ג .מצא את האיבר הראשון אם ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות 1 האי-זוגיים הוא . 1365 3 )3בחדר יש פי 4נשים מגברים .משחקים את המשחק הבא :בוחרים באקראי אדם מהחדר. אם נבחר גבר אז הוא יוצא מהחדר ואם נבחרה אישה אז היא נשארת. לאחר מכן בוחרים אדם נוסף. א .מצא כמה גברים יש בחדר אם ידוע כי ההסתברות שייבחרו 236 . שני אנשים שונים היא: 725 ב .ידוע כי בפעם השנייה נבחר גבר ,מה ההסתברות שגם בפעם הראשונה יבחר גבר? ג .משחקים את המשחק 4פעמים .ידוע כי בכל ארבעת הפעמים נבחר גבר בפעם השנייה. מה ההסתברות שברוב המקרים יצא גבר גם בפעם הראשונה? 10 פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על אחת מהשאלות .4-5 שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך. )4המשולש ABCחסום במעגל. Aגובה לצלע BCו AE-קוטר במעגל. א .הוכח. BAD EAC : ב .נתון גם כי 8 :ס"מ = 6 ,CDס"מ = AD ו 21 -ס"מ = .CE חשב את רדיוס המעגל. )5מהנקודה Aמעבירים את הקטעים ABו.AC- הנקודה Dהיא אמצע ACוממנה מעבירים את DEהמקביל ל.AB- הנקודות E , Cו F-נמצאות על אותו הישר. ידוע כי המשולשים DEF , ABDו DCE-הם שווי שוקיים. AB BD , DC CE , EF DE : נתון כי 8 :ס"מ = .AD א .חשב את אורך הקטע .BF ב .מחברים את הנקודות Bו.C - חשב את אורך הצלע .BC 11 פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש ,של פונקציות רציונאליות ושל פונקציות טריגונומטריות ( 40נקודות) ענה על שתיים מהשאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. cos x )6נתונה הפונקציה הבאה: 2 2cos x 1 א .הוכח כי הפונקציה היא זוגית וכי נגזרתּה אי-זוגית. f ' x . g x ב .מגדירים את הפונקציה הבאה: f x f x בתחום: x 2 . .1האם g x היא פונקציה זוגית ,אי-זוגית או שאינה זוגית ואינה אי-זוגית? היעזר בסעיף הקודם ,אין צורך לבצע חישוב מחדש. tan x . g x .2הראה כי: 2cos x 1 ג .היעזר ב g x -וקבע באילו תחומים בתוך התחום הנתון הפונקציה f x היא בעלת סימן שונה משל הנגזרת . f ' x x )7נתונה הפונקציה: x 1 א .ענה על הסעיפים הבאים: .1מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה? .2הראה כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. ב .לפי ממציאך מהסעיף הקודם ,קבע מה ניתן להסיק לגבי תחום ההגדרה ותחומי העלייה והירידה של הפונקציה ? f x 1נמק. . f x ג .חשב את ערך האינטגרל הבאdx : 3 x3 2 x 2 1 . )8מגדלור Aנמצא 0.5ק"מ דרומה מנקודה Bעל חוף הים ,המשתרע ממזרח למערב. 3ק"מ מערבה מנקודה Bנמצאת נקודה ,Cהמונחת גם היא על חוף הים. אדם הנמצא במגדלור ומעוניין להגיע לנקודה Cעוזב את המגדלור בסירה במהירות 3קמ"ש ושט מ A-בקו ישר לנקודה Pשבין Bו C-על החוף. את המרחק מ P-ל C-עובר האדם בהליכה במהירות של 3.25קמ"ש. באיזה מרחק מ B-חייב האדם לנחות על מנת להגיע בזמן המינימלי מ A-ל?C- בהצלחה! 12 בחינה מספר 4 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה והסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מהשאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. )1הולך רגל יצא מ A-ובאותה השעה יצא רוכב אופניים מ.B- הם התקדמו זה לקראת זה ונפגשו בדרך .הולך הרגל הגיע ל B-כעבור 5שעות מרגע הפגישה ורוכב האופניים הגיע ל A-כעבור 12דקות מרגע הפגישה. הנח כי מהירויות הולך הרגל ורוכב האופניים קבועות. א .מצא את היחס בין המהירות של הולך הרגל למהירות של רוכב האופניים. ב .נתון כי המרחק בין Aל B-קטן מ 12-ק"מ .מצא באיזה תחום מספרים נמצאת המהירות של הולך הרגל ושל רוכב האופניים אם ידוע כי הולך הרגל הלך במהירות הגדולה מ 1-קמ"ש. 3an )2סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה הבא: 2an 3 4 7an מגדירים סדרה חדשה לפי: an . a1 2 , an 1 . bn א .הוכח כי הסדרה bnהיא חשבונית ומצא את הפרשּה. ב .חשב את הסכום הבא. b2 b4 b6 ..... b22 : )3בכד יש 12כדורים חלקם אדומים וחלקם שחורים. מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד. א .מצא את מספר הכדורים האדומים שבכד אם ידוע כי ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו הם שחורים היא .4/9 ב .חלק מהכדורים עשויים מעץ והשאר עשויים מפלסטיק. ידוע כי 25%מהכדורים האדומים עשויים מעץ וכי 50%מהכדורים העשויים מעץ הם אדומים .מצא את ההסתברות לבחור כדור שחור העשוי מפלסטיק. ג .מוציאים מהכד 5כדורים בזה אחר זה עם החזרה. מה ההסתברות להוציא 4כדורים אדומים העשויים מפלסטיק? ד .מוציאים מהכד 5כדורים בזה אחר זה עם החזרה. ידוע כי כולם עשויים מפלסטיק ,מה ההסתברות ש 3-מהם בצבע אדום? 13 פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על אחת מהשאלות .4-5 שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך. )4נתונים שני מעגלים בעלי רדיוס זהה Mו.N- מעבירים שני משיקים למעגלים ABו CD-הנחתכים בנקודה .K מעבירים את הרדיוסים ANו DN-במעגל השמאלי ו BM-ו CM-במעגל הימני. א .הוכח. KN KM : ב .הוכח כי המרובע ACMNהוא טרפז שווה שוקיים. ג .רדיוס המעגלים הוא Rוידוע כי המשולש BKCהוא שווה צלעות. הבע באמצעות Rאת היקף הטרפז .ACMN )5מהנקודה Oמעבירים את הקטעים OC , OB , OAו.OD- ידוע כי זווית AOBשווה לזווית CODוהיא מסומנת ב. - המשולש CODהוא ישר זווית . CDO 90 נתונים האורכים. AO 8 , BO 9 , DO 10 : מסמנים. BC 1.4m , CD 1.5m : א .הבע באמצעות mאת . sin ב .נתון גם כי. AB m : מצא את mאם ידוע כי רדיוס המעגל החוסם 2 את המשולש AOBהוא . 8 3 ג .חשב את זווית .BOC 14 פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש ,של פונקציות רציונאליות ושל פונקציות טריגונומטריות ( 40נקודות) ענה על שתיים מהשאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. )6נתונה הפונקציה b , f x x 2 6 x b :פרמטר. ידוע כי ערך הפונקציה f x וערך הנגזרת f ' x שווים כאשר . x 2 א .מצא את ערך הפרמטר . b 1 ב .מגדירים את הפונקציה: f x . g x .1האם ל g x -יש אסימפטוטות המקבילות לצירים? אם כן מהן? אם לא נמק. .2הראה כי אין ל g x -נקודות קיצון. ג .מגדירים בנוסף. h x g x 3 : .1האם ל h x -אותן אסימפטוטות כמו ל ? g x -נמק. .2האם גם ל h x -אין נקודות קיצון? נמק. 3 a cos x f x בתחום: )7גרף הנגזרת של הפונקציה: 2 b sin x 2 מופיע באיור הבא ( a, bפרמטרים): א .היעזר בסקיצה וקבע האם הפרמטר bיכול להיות: . b 1 .1 . b 4 .2 ב .נתון כי: 1 f ' x dx 2 .מצא את . a /2 ג .מגדירים את הפונקציה. g x f x : cos x .1הראה כי: b sin x 2 . g x 2 .g .2מצא את bאם נתון כי: 3 6 15 0 x )8במעגל שרדיוסו Rעובר מיתר במרחק 2ס"מ מהמרכז .במקטע שנוצר חסום מלבן. א .סמן ב x -את רוחב המלבן ורשום את שטח המלבן באמצעות Rו. x - ב .הנח כי 12 :ס"מ , R ומצא את השטח המקסימלי של המלבן. בהצלחה! 16 בחינה מספר 5 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה והסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מהשאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. )1משאבת לחץ הוציאה 18מ"ק שמן ממיכל תעשייתי בקצב קבוע. לאחר הפסקה של 40דקות הגבירו את קצב השאיבה ב 4-מ"ק לשעה. בקצב המוגבר ,שאבה המשאבה עוד 42מ"ק שמן מהמיכל. הזמן שהמשאבה שאבה את השמן ,כולל ההפסקה זהה לזמן שבו הייתה עובדת בקצב הרגיל בכדי לשאוב 60מ"ק שמן מהמיכל. א .מצא את קצב השאיבה הרגיל של משאבת הלחץ. 1 ב .נתון בנוסף כי כאשר מפעילים את המשאבה בקצב הרגיל ,היא מרוקנת ממיכל 4 מסוים במשך 10שעות .מפעילים שתי משאבות זהות באותו הקצב. ידוע כי קצב השאיבה שלהן גדול מקצב השאיבה הרגיל של המשאבה הראשונה אך קטן מהקצב המוגבר .באיזה תחום שעות יהיה הזמן שבו תרוקנה שתי המשאבות את המיכל? )2 א .הראה כי בסדרה הנדסית שבה 2nאיברים היחס בין סכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים לבין סכום כל איברי הסדרה תלוי במנת בסדרה. בסדרה הנדסית שבה מספר זוגי של איברים ידוע כי סכום כי האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים קטן פי 4מסכום כל איברי הסדרה .האיבר הראשון בסדרה זו קטן ב 2-ממנת הסדרה. ב .כתוב נוסחה לאיבר כללי של סדרה זו. ג .מצא שני איברים סמוכים בסדרה שסכומם הוא .324 )3בבית ספר בעיר מסוימת נערכו שני מבחנים 80% .מהתלמידים עברו את המבחן הראשון. 1/4מבין התלמידים שעברו את המבחן הראשון עברו גם את השני ו 1/2-מהתלמידים שנכשלו במבחן הראשון נכשלו גם בשני. א .בוחרים באקראי תלמיד .מה ההסתברות שהוא עבר את אחד המבחנים בלבד? ב .בוחרים באקראי 4תלמידים .מה ההסתברות שבדיוק אחד מהם עבר את אחד המבחנים בלבד? ג .איזה חלק מבין התלמידים שנכשלו במבחן השני מהווה קבוצת התלמידים שנכשלו גם במבחן הראשון? 17 פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על אחת מהשאלות .4-5 שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך. )4בין המשיקים המקבילים mו n -מעבירים מעגל כך ש AB-הוא הקוטר היוצא משתי נקודות ההשקה שלהם .הנקודות Dו C-נמצאות על המשכי המשיקים כך שהמרובע ABCDהוא טרפז .אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה Eשנמצאת על היקף המעגל .ידוע כי. SABC 3 SDAB : שטח המשולש ADEיסומן ב. S - בטא באמצעות Sאת שטח הטרפז .ABCD )5במשולש ABCהזווית Aהיא בת . 60 מעבירים את הקטע ADכך שנוצרת זווית. ADB 60 : ידוע כי 28ס"מ = ABוכי הצלע ADבמשולש ABDגדולה פי 1.5מהצלע .BD א .מצא את אורך הצלע .BD ב .היקף המשולש ABCהוא 5 7 7 :ס"מ = .P .1סמן DC t :והבע באמצעות tאת אורך הצלע .AC .2מצא את . t ג .חשב את שטח המשולש .ABC 18 פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש ,של פונקציות רציונאליות ושל פונקציות טריגונומטריות ( 40נקודות) ענה על שתיים מהשאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. ax 12 )6נתונה הפונקציה: x ax 9 2 a , f x פרמטר. באיור שלפניך מופיע גרף הפונקציה . f x א .מצא את aואת האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. ב .מגדירים את הפונקציה הבאה. g x f x 2 : .1כתוב במפורש את . g x .2הראה כי g x עוברת בראשית הצירים. .3כתוב את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה . g x )7במשולש שווה שוקיים AB AC ,ABCאורך הבסיס הוא 2a מעבירים גובה מהקדקוד Bלשוק ,ACאשר חותך אותה בנקודה .D מנקודה Dמעבירים אנך לשוק ,ABהחותך אותה בנקודה .E סמן את זווית הבסיס של המשולש ABCב. x - מה צריכה להיות זווית הבסיס על מנת שאורך הקטע BEיהיה מקסימלי? בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית. 19 )8באיור שלפניך מתואר גרף הנגזרת של הפונקציה a , f x a x :פרמטר. א .קבע על סמך גרף הנגזרת האם aהוא חיובי או שלילי .נמק. ב .סרטט באותה מערכת צירים את גרף הפונקציה f x ואת גרף הנגזרת . f ' x נמק את בחירתך. 25 ג .נתון . f ' x dx 1 :מצא את . a 4 בהצלחה! 20 תשובות סופיות: בחינה :1 )1א .חצי שעה. )2אx 50 .2 d 11 .1 . ב 6 .שעות ו 20-דקות. בa1 121 . )3אP 0.1 . 15 ג. בP 0.0486 . 19 ג .שטח המשולש DGCגדול פי 18משטח המשולש .MOF ב 10.1 .ס"מ. ג. S 2156 . . )4ב .2 .קטן פי 6 )5א 9.4 .ס"מ )6א .גרף Iהוא של f x וגרף IIהוא של . f ' x ב .1 .לפונקציה f x יש 3נקודות פיתול. ב .2 .סקיצה בצד ,באדום גרף הנגזרת השנייה. ג. min 1, 4 .2 . ג. max 1, 4 .1 . k a b . Smax )7השטח הגדול ביותר הוא: 8 )8א .1 .חישוב. א .2 .שתי הפונקציות מורכבות מסינוסים וקוסינוסים אשר מוגדרים לכל . x ב .1 .לא ,הפונקציה אינה מוגדרת לתחומים שבהם . f ' x sin 2 x 0 ב .2 .יח"ק. 3 בחינה :2 1 )1א. 28 )2אq 3 . - x y קצב העבודה של כל אחד מהם. )3אP 0.8 . )4ב 3 .ס"מ )5 )6 )7 )8 א 10.5 .ס"מ = . R א .סקיצה בצד. א. a 0 . . Smin 0.0265L2 ב 28 .שעות. ג. b5 , b6 . בP 0.44 . BF 7 . ג. BC 16 ב. 24.32 . ב. a 3 , b 3 . ב. t 36 .2 . 21 ג. P 0.31744 . בחינה :3 )1בשעה .12:24 1 )2אq . 2 ב .פי 5 )3א 6 .גברים ו 24-נשים ג. a1 1024 . 25 ב .הסתברות לגבר בפעם הראשונה: 2 141 P 1 ג. 0.0193 . )4ב 5.5 .ס"מ. )5א 4.94 .ס"מ ב 17.19 .ס"מ. )6ב .1 .אי-זוגית .ג. 0 x . 2 )7אx 1 .1 . ב .הפונקציה f x 1היא הזזה של f x צעד אחד שמאלה. לכן תחום הגדרתה הוא x 2 :וגם היא תעלה לכל xבת.ה. ג.3 . 1.2 )8ק"מ. בחינה :4 )1 )2 )3 )4 )5 )6 )7 x 1 א . y 5 ב( 1 x 2 , 5 y 10 .הגדלים ביחידת של קמ"ש). 2 ב. S11 p 267 . 3 15 7 ג 0.0146 . ד.0.1323 . ב. א 4 .כדורים 1024 12 ג. 9R . 1.5m sin ג. 56.89 . א. בm 16 . 100 2.25m2 ב .1 .כןx 3 , y 0 : אb 9 . ג .2.כן. ג .1 .לא .כי כעת( x 3 , y 3 :האופקית שונה) א .1 .עבור זה נקבל כי לגרף הפונקציה אין אסימפטוטות אנכיות ולכן הוא יכול להיות. א .2 .עבור ערך זה נקבל אסימפטוטות אנכיות ולכן הוא לא יכול להיות כי מגרף הנגזרת מקבלים כי עבור x 0.5יש ערך סופי. ג. b 0.5 .2 . בa 1 . ,כאשר- x :מהירות הולך הרגל ו- y -מהירות רוכב האופניים. )8אS x R 2 0.25x 2 2 x . ב 42 7 .סמ"ר. 22 בחינה :5 1 5 ב .בין 15שעות ( 15שעות ו 33 -דקות) בקצב המירבי ,ל20- )1א 14 .מ"ק לשעה. 9 3 5 שעות בקצב האיטי .אם נסמן את הזמן הכולל של שניהם ב t -אז. 15 t 20 : 9 ) Sn ( o 1 ג. a5 , a6 . )2א. בan 3n1 . S2 n q 1 189 ב. 2500 )3אP 0.7 . )4 1 ג. 7 P . .16S )5א4 . ב1.5 28 3 t .1 . ג. S 18.18 . ב3 .2 . 6x g x ב. x 1 , y 0 .2. )6אx 3 , y 0 , a 6 . ב.1 . . x 54.73 )7 )8א a 0 .ות.ה .הוא. x a : ג. a 1 . ב .להלן סקיצה: 2 23 2 x 1
© Copyright 2024