‫פרק ‪ .7‬תהודה ומקד האיכות של מערכת תהודה‬
‫מטרת הניסוי‪:‬‬
‫חקירת התנודות המאולצות של מתנד הרמוני ע ריסו ‪ ,‬תופעת תהודה ומדידת מקד האיכות‬
‫של מערכת תהודה‪.‬‬
‫מכשור‪:‬‬
‫מסלול אוויר‪ ,‬עגלות‪ ,‬קפיצי ‪ ,‬מגנטי לריסו ‪ ,‬גלאי קרוזה‪ ,‬מנוע ע ספק למהירות משתנה‪.‬‬
‫רקע תיאורטי‪:‬‬
‫בניסוי נחקור את תופעת התהודה במקרה הראלי יותר בו אי אפשר להזניח את הריסו ‪ .‬בגלל‬
‫הריסו התנודות בתדירות העצמית של המערכת דועכות תו כמה מחזורי ולכ בא לידי ביטוי‬
‫רק החלק היציב של משוואות התנועה המיוצג ע"י המחובר הראשו במשוואה )‪ (6‬של הניסוי‬
‫הקוד ‪.‬‬
‫לש הנוחות נחזור ונכתוב את המשוואות המייצגות את התנועה במקרה זה‪ .‬נזכיר שהמשוואות‬
‫מייצגות מתנד הרמוני שהתדירות העצמית שלו ‪ ω0‬והוא מאול ע"י כוח הרמוני בתדירות ‪ω‬‬
‫כאשר גודל הכוח נתו על ידי ‪ .F0‬משוואת התנועה היא‪:‬‬
‫)‪Xst(t) = xcos(ωt+φ‬‬
‫)‪(1‬‬
‫כאשר‬
‫‪F0 / m‬‬
‫) ‪) + (ω τ‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−ω 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪(ω‬‬
‫=‪x‬‬
‫ו ‪ φ‬הפרש הפזה בי הכוח המאל והמתנד ההרמוני‪.‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪‬‬
‫‪φ = tan −1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ τ (ω 0 − ω ) ‬‬
‫משוואה )‪ (2‬מראה‪ ,‬שהתגובה היא פונקציה של התדירות‪ .‬הפזה ‪ φ‬משתנה בי ‪ 0°‬כאשר התדירות‬
‫‪ ω‬קטנה מהתדירות העצמית ‪ ω0‬לבי ‪ φ=180°‬כאשר ‪ ω‬גדולה בהרבה מהתדירות ‪ ,ω0‬דר הער‬
‫‪ φ=90°‬כאשר ‪) .ω=ω0‬שימו לב שבמחשב יש רק ענ אחד של ‪ arc tan‬ולכ כאשר ‪ ω>ω0‬יש‬
‫להוסי ‪ .(π‬כאשר תדירות הכוח המאל ‪ ω=ωm‬מתקבל שיא המשרעת של המתנד‪ .‬לתופעה‬
‫קוראי תהודה ולתדירות בה מתקבל השיא קוראי תדירות התהודה‪ .‬תופעה זו חשובה ביותר‬
‫פרק ‪ .7‬תהודה ומקד האיכות של מערכת תהודה‬
‫‪77‬‬
‫ומאפשרת להעביר כמות גדולה של אנרגיה ממערכת אחת לשניה‪ .‬העקומה שמראה את התגובה‬
‫לכוח החיצוני כפונקציה של התדירות )כלומר )‪ x(ω‬לעומת ‪ ω‬עבור ‪ F0‬קבוע( נקראת עקומת‬
‫התהודה‪ .‬ככל שהכוח המרס קט יותר‪ ,‬השיא של עקומת התהודה גבוה וצר יותר‪ .‬מנוסחה ‪2‬‬
‫אפשר להוכיח כי תדירות השיא‪:‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ω = w − 1 /(2τ ) ≈ ω‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪m‬‬
‫)‪x(ω0) = F0τ/(mωm‬‬
‫גובה השיא‪:‬‬
‫‪∆ω = 1/τ‬‬
‫רוחב העקומה‪:‬‬
‫רוחב העקומה ‪ ∆ω‬הוא ההפרש בי שתי התדירויות ‪ ω1 , ω2‬המוגדרות כ ‪ ,‬שבתדירויות אלה‬
‫המשרעת ‪ x‬יורדת ל ‪ 1/√2‬מערכה במקסימו ‪ .‬את ‪ F0‬במשוואה )‪ (2‬אפשר לכתוב לפי ההגדרה‬
‫בניסוי )‪ (6‬כ ‪ F0 = -k1X‬כאשר ‪ X‬המשרעת של הכוח המאל לכ את )‪ (2‬אפשר לכתוב בצורה‪:‬‬
‫‪x k1‬‬
‫=‬
‫‪X m‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(5‬‬
‫) ‪) + (ω τ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−ω 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪(ω‬‬
‫ביטוי )‪ (5‬מצביע על כ שבתהודה אפשר לקבל הגדלה של משרעת המתנד לעומת משרעת הכוח‬
‫המאל ‪.‬‬
‫מ )‪ (5‬בהצבת ‪: ω=ω0‬‬
‫‪k1‬‬
‫‪x k1 τ‬‬
‫)‪(6‬‬
‫=‬
‫‪=Q‬‬
‫‪k1 + k 2‬‬
‫‪X m ω0‬‬
‫כאשר השתמשנו בהגדרה למקד האיכות ‪ Q=ω0τ ,Q‬שניתנה בניסוי ‪.5‬‬
‫מנוסחה )‪ (6‬נובע שהגדלת המשרעת תלויה במקד האיכות ‪ Q‬של המערכת‪.‬‬
‫מקד האיכות ‪Q‬‬
‫מהאמור כא נראה שמערכת תהודה מאופיינת ע"י שני פרמטרי ‪ ω0 :‬התדירות האופיינית שלה‬
‫ומקד האיכות‪ .‬על מנת להעמיק את ההבנה הפיזיקלית של מקד האיכות נגדיר אותו הגדרה‬
‫נוספת‪:‬‬
‫‪Q = 2π E/P‬‬
‫)‪(7‬‬
‫כאשר ‪ E‬האנרגיה האצורה במערכת ו ‪ P‬האנרגיה המתבזבזת במחזור אחד‪ .‬האנרגיה האצורה‬
‫היא סכו האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪dx/dt) +‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪1+k2)x‬‬
‫א מציבי‬
‫)‪ ,x(t) = xcos (ωt+φ‬ו ‪) ω=ω0‬תהודה(‪ ,‬מקבלי ‪:‬‬
‫‪E = ½ m ω02 x2‬‬
‫)‪(9‬‬
‫האנרגיה המתבזבזת היא העבודה הנעשית ע"י חיכו ‪ .‬א‬
‫האנרגיה המתבזבזת ‪ P‬בזמ מחזור אחד היא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪ T = 2π/ω0‬הוא זמ מחזור אחד‪ ,‬אזי‬
‫‪T‬‬
‫‪m dx‬‬
‫‪m  dx ‬‬
‫‪1m 2 2‬‬
‫∫=‪P‬‬
‫= ‪dx = ∫   dt‬‬
‫‪ω xT‬‬
‫‪2τ‬‬
‫‪τ dt‬‬
‫‪τ  dt ‬‬
‫‪0‬‬
‫כאשר ‪ m/τ‬מקד החיכו ‪.‬‬
‫‪78‬‬
‫פרק ‪ .7‬תהודה ומקד האיכות של מערכת תהודה‬
‫כעת בהצבת )‪ (9‬ו )‪ (10‬ב )‪ (7‬מקבלי‬
‫)‪Q = 2π (τ/T‬‬
‫)‪(11‬‬
‫נזכור כי ‪ 2π/T=ω0‬לכ ‪:‬‬
‫‪Q = ω0τ‬‬
‫)‪(12‬‬
‫וקיבלנו זהות להגדרה הקודמת‪.‬‬
‫אפשר למדוד את האיכות ‪ Q‬ע"י מדידת רוחב עקומת התהודה ‪) 1/τ‬ראה נוסחה ‪.(4‬‬
‫‪Q = ω0/∆ω‬‬
‫)‪(13‬‬
‫שיטה אחרת למדוד את ‪ Q‬היא מ הדעיכה של התנודות החופשיות כפי שבצענו זאת בניסוי ‪ .5‬כדי‬
‫להבהיר את החשיבות של מקד האיכות במערכת תהודה נביא שתי דוגמאות למערכות תהודה‬
‫בה מנסי להשיג גדלי שוני של מקד איכות‪ .‬הראשונה הינה מערכת הגברת קול‪ .‬מערכת זו‬
‫מורכבת ממספר רמקולי ותיבת תהודה‪ ,‬לכל רמקול בתיבת התהודה יש תדירות תהודה ומקד‬
‫איכות שונה‪ .‬על מנת לקבל היענות שטוחה ככל האפשר לתדרי השוני מנסי להגיע למצב בו‬
‫מקד האיכות יהיה נמו אחרת נקבל שהענות התדר של מערכת הגברת הקול תהיה חזקה מאוד‬
‫בתדירויות התהודה וחלשה יחסית בתדירויות אחרות‪.‬‬
‫לעומת מערכת תהודה זו בה מנסי להנמי את מקד האיכות של המערכת‪ ,‬עומדת מערכת‬
‫תהודה נוספת המורכבת מקבל ומשר המחוברי במקביל‪ .‬במערכת זו בדר כלל מנסי להשיג‬
‫שבמשר תהיה לשדה המגנטי משרעת מכסימלית‪ .‬ככל שעקומת התהודה תהיה צרה יותר הינו‬
‫מקד איכות גבוה יותר‪ ,‬נקבל שמשרעת השדה המגנטי בתו המשר תהיה גבוהה‪ .‬במעבדות‬
‫מתקדמות יותר תדונו במערכות אלה בפרוט רב‪ ,‬אול הגורמי הבסיסיי המשפיעי על‬
‫מערכות תהודה דומי בכל המערכות השונות‪ .‬בניסוי הנוכחי נמצא את עקומת התהודה ותלות‬
‫הפזה בתדירות הכוח המאל ונמדוד את מקד האיכות בעזרת נוסחה ‪.13‬‬
‫שאלות הכנה‬
‫‪ .1‬הוכח את הביטויי‬
‫העקומה‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫המתקבלי‬
‫במשוואה )‪ ,(4‬עבור תדירות השיא‪ ,‬גובה השיא ורוחב‬
‫הראה כי הביטוי עבור המשרעת נית לכתיבה ב‪:‬‬
‫)‪(F0Q/mω0ω‬‬
‫הוכח כי‬
‫‪2 -1/2‬‬
‫‪2‬‬
‫) )‪x = (1+Q (ω/ω0-ω0/ω‬‬
‫‪Q = ω0/∆ω‬‬
‫‪ .4‬חשב עבור ‪ ω=ω0 ,ω<ω0‬ו ‪ ω>ω0‬את הערכי של ‪ x‬ושל ‪ .Q‬עבור ‪ F0‬נתו בהצבת ערכי ‪τ‬‬
‫ו ‪ m‬שקיבלת בניסוי ‪.5‬‬
‫‪.5‬‬
‫ציירו אכותית את )‪ x(ω‬ואת )‪.φ(ω‬‬
‫פרק ‪ .7‬תהודה ומקד האיכות של מערכת תהודה‬
‫‪79‬‬
‫ניסוי ‪7.1‬‬
‫עקומת התהודה ותלות הפזה בתדירות הכוח המאל‬
‫המער הניסיוני בניסוי זה דומה למער הניסיוני בניסוי ‪ 6‬בהבדל אחד‪ ,‬הפע נגדיל את כוח‬
‫החיכו על ידי הוספת מגנטי לעגלה המהווה את המתנד ההרמוני‪ .‬השוואת התנודות של העגלה‬
‫המאלצת והמתנד תאפשר למדוד ישירות את יחסי המשרעות ואת הפרשי הפזה בי התנודות‪.‬‬
‫א‪ .‬הכרת המכשיר הניסוי איכותי‬
‫‪ .1‬שקלו את העגלה בה תשתמשו בניסוי‪.‬‬
‫‪ .2‬הכינו את מסלול האוויר לניסוי‪.‬‬
‫‪ .3‬הרכיבו את מער הניסוי המתואר בציור ‪ 1‬של הניסוי הקוד ‪.‬‬
‫‪ .4‬העלו את התוכנה של קרוזה‪ ,‬אפסו את הגלאי כפי שביצעת בניסוי הקוד ‪ .‬בדקו את‬
‫התדירות העצמית של המערכת ובדקו א המנוע מאפשר לשנות את תדירויות הכוח המאל‬
‫משני צדי תדירות התהודה‪ .‬במידה והמשרעת המתקבלת בתהודה מוציאה את העגלה‬
‫מתחומי הגלאי הקטינו את משרעת הכוח המאל ‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ניסוי כמותי‬
‫‪ .1‬מדידות מקדמות‪.‬‬
‫במידה ולא ידוע לכ המקד האלסטי ‪ k1‬עליכ למדוד אותו שנית‪ .‬כמו כ עליכ למדוד את‬
‫התדירות העצמית ‪ ω0‬של המערכת ואת הזמ האופייני כפי שביצעת בניסוי ‪.5‬‬
‫‪ .2‬חישוב הער התיאורטי של עקומת התהודה ותלות הפזה בתדירות‪ .‬מאחר וכל מדידה של‬
‫יחסי המשרעת והפזה בי העגלה המאלצת והמתנד דורשת עבודה מרובה בעוד שלא ברור‬
‫מראש שהתדירות בה בחרת לבצע את המדידה באמת תית תוצאות משמעותיות‪ ,‬נבחר‬
‫דר שונה במקצת לבצוע הניסוי‪ .‬נתחיל בחישוב עקומת התהודה ותלות הפזה בתדירות‪,‬‬
‫לאחר שנקבל את העקומה התיאורטית נוכל לבחור את תחומי התדירות בה יהיה שינוי‬
‫משמעותי של יחסי המשרעת והפזות‪ .‬כדי לבצע את החישוב העלו את הגיליו האלקטרוני‬
‫בעל הש ‪ .EXP7M‬הכניסו את הערכי שקבלת עבור ‪) m , k1‬מסת העגלה(‪ ω0 ,‬ו ‪τ‬‬
‫במקומות המתאימי בגיליו ‪ .‬בעמודה ‪ A‬הכניסו את ערכי התדירות‪ .‬בעמודה ‪ B‬חשבו ‪x/X‬‬
‫לפי נוסחה )‪ (5‬ואת ‪ φ‬בעמודה ‪ C‬לפי נוסחה )‪ .(3‬את הגרפי שקיבלת תוכלו לראות על ידי‬
‫לחיצה על הלשונית ‪ Amplitude Responce‬עבור עקומת התהודה וע"י לחיצה על הלשונית‬
‫‪ Phase Response‬עבור תלות הפזה בתדירות‪ .‬הדפיסו את התוצאות‪ ,‬מתו התוצאות תוכלו‬
‫לבחור את תחומי התדירות בה יש שינוי משמעותי ביחס המשרעות והפזות‪.‬‬
‫‪ .3‬מדידת יחסי המשרעות והשינוי בפזה כתלות בתדירות הכוח המאל ‪ .‬העלו את התוכנה של‬
‫קרוזה‪ .‬אפסו את הגלאי ובחרו תדירות מתו התחו שמצאת ב – ‪ .2‬צפו בתנודות‬
‫המתקבלות על המס מספר פעמי עד שתבחינו שהמשרעת של המתנד אינה משתנה ע‬
‫הזמ ‪ .‬שנו את קצב המדידה ואת הסקלה של ציר ‪ y‬עד לקבלת גר המכיל כ – ‪ 3‬תנודות‬
‫לער ‪ ,‬במשרעת הנוחה להתבוננות‪ .‬שמרו את הניסויי בתקליטו וחזרו על המדידה עבור‬
‫ערכי שוני של התדירות משני צדי תדירות התהודה‪.‬‬
‫‪80‬‬
‫פרק ‪ .7‬תהודה ומקד האיכות של מערכת תהודה‬
‫עיבוד הנתוני‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫העלאת הגיליו האלקטרוני‪ :‬הקישו על הסמל ‪ EXP7M‬והביאו את הקוב שיצרת עבור‬
‫המדידה הראשונה ע"י לחיצה על ‪ .CTRL+i‬זכרו לשמור את הקוב בשמו המקורי‬
‫‪ . template7m.xls‬תוכלו לראות את הגר של התוצאות על ידי בחירת הלשונית & ‪Driver‬‬
‫‪oscillator‬‬
‫בצעו העתקה בזמ ‪ ,‬במידה ולא הצלחת לאפס את הגלאי כראוי כ שהתנודה תהיה‬
‫סימטרית ביחס לציר הזמ ‪ .‬בצעו זאת בעמודות ‪ L‬ו ‪. K‬‬
‫חשבו את הזמ בשניות בעמודה ‪ .J‬על ידי התבוננות בערכי המספריי שקבלת חשבו את‬
‫תדירות הכוח המאל והכניסו את התוצאות בעמודה ‪ .N‬בעמודה ‪ O‬הכניסו את משרעת‬
‫הכוח המאל ובעמודה ‪ P‬את משרעת המתנד‪ .‬חשבו את היחס בי משרעת הכוח המאל‬
‫למשרעת המתנד והכניסו את התוצאה בעמודה ‪ .Q‬את הפרש הפזה בי התנודות הכניסו‬
‫בעמודה ‪ .R‬קל למצוא את הפרש הפזה בעזרת ההבדל בזמני בי הזמ בו המשרעת של‬
‫העגלה המאולצת מתאפסת לבי הזמ בו המשרעת של המתנד מתאפסת‪ .‬תוכלו לראות את‬
‫הנקודה הניסיונית שקבלת על הגרפי ‪ Amplitude Response‬ו ‪Phase Response‬‬
‫ולבדוק שאכ הנקודה נופלת על הגר התאורטי‪.‬‬
‫חזרו על החישובי עבור כל ערכי התדירות עבור בצעת את המדידות‪ .‬נית להביא‬
‫מחדש את המדידות לאותו מקו ע"י לחיצה על ‪ .CTRL+i‬הדפיסו את הגרפי ושמרו‬
‫במחברת‪ .‬חשבו את מקד האיכות מרוחב עקומת התהודה והשוו לער המחושב ‪.ω0τ‬‬
‫פרק ‪ .7‬תהודה ומקד האיכות של מערכת תהודה‬
‫‪81‬‬