פרק 7. תהודה ומקד האיכות של מערכת תהודה
פרק .7תהודה ומקד האיכות של מערכת תהודה מטרת הניסוי: חקירת התנודות המאולצות של מתנד הרמוני ע ריסו ,תופעת תהודה ומדידת מקד האיכות של מערכת תהודה. מכשור: מסלול אוויר ,עגלות ,קפיצי ,מגנטי לריסו ,גלאי קרוזה ,מנוע ע ספק למהירות משתנה. רקע תיאורטי: בניסוי נחקור את תופעת התהודה במקרה הראלי יותר בו אי אפשר להזניח את הריסו .בגלל הריסו התנודות בתדירות העצמית של המערכת דועכות תו כמה מחזורי ולכ בא לידי ביטוי רק החלק היציב של משוואות התנועה המיוצג ע"י המחובר הראשו במשוואה ) (6של הניסוי הקוד . לש הנוחות נחזור ונכתוב את המשוואות המייצגות את התנועה במקרה זה .נזכיר שהמשוואות מייצגות מתנד הרמוני שהתדירות העצמית שלו ω0והוא מאול ע"י כוח הרמוני בתדירות ω כאשר גודל הכוח נתו על ידי .F0משוואת התנועה היא: )Xst(t) = xcos(ωt+φ )(1 כאשר F0 / m ) ) + (ω τ )(2 2 2 −ω 2 2 0 (ω =x ו φהפרש הפזה בי הכוח המאל והמתנד ההרמוני. )(3 ω φ = tan −1 2 2 τ (ω 0 − ω ) משוואה ) (2מראה ,שהתגובה היא פונקציה של התדירות .הפזה φמשתנה בי 0°כאשר התדירות ωקטנה מהתדירות העצמית ω0לבי φ=180°כאשר ωגדולה בהרבה מהתדירות ,ω0דר הער φ=90°כאשר ) .ω=ω0שימו לב שבמחשב יש רק ענ אחד של arc tanולכ כאשר ω>ω0יש להוסי .(πכאשר תדירות הכוח המאל ω=ωmמתקבל שיא המשרעת של המתנד .לתופעה קוראי תהודה ולתדירות בה מתקבל השיא קוראי תדירות התהודה .תופעה זו חשובה ביותר פרק .7תהודה ומקד האיכות של מערכת תהודה 77 ומאפשרת להעביר כמות גדולה של אנרגיה ממערכת אחת לשניה .העקומה שמראה את התגובה לכוח החיצוני כפונקציה של התדירות )כלומר ) x(ωלעומת ωעבור F0קבוע( נקראת עקומת התהודה .ככל שהכוח המרס קט יותר ,השיא של עקומת התהודה גבוה וצר יותר .מנוסחה 2 אפשר להוכיח כי תדירות השיא: )(4 2 2 ω = w − 1 /(2τ ) ≈ ω 0 0 m )x(ω0) = F0τ/(mωm גובה השיא: ∆ω = 1/τ רוחב העקומה: רוחב העקומה ∆ωהוא ההפרש בי שתי התדירויות ω1 , ω2המוגדרות כ ,שבתדירויות אלה המשרעת xיורדת ל 1/√2מערכה במקסימו .את F0במשוואה ) (2אפשר לכתוב לפי ההגדרה בניסוי ) (6כ F0 = -k1Xכאשר Xהמשרעת של הכוח המאל לכ את ) (2אפשר לכתוב בצורה: x k1 = X m 1 )(5 ) ) + (ω τ 2 2 −ω 2 2 0 (ω ביטוי ) (5מצביע על כ שבתהודה אפשר לקבל הגדלה של משרעת המתנד לעומת משרעת הכוח המאל . מ ) (5בהצבת : ω=ω0 k1 x k1 τ )(6 = =Q k1 + k 2 X m ω0 כאשר השתמשנו בהגדרה למקד האיכות Q=ω0τ ,Qשניתנה בניסוי .5 מנוסחה ) (6נובע שהגדלת המשרעת תלויה במקד האיכות Qשל המערכת. מקד האיכות Q מהאמור כא נראה שמערכת תהודה מאופיינת ע"י שני פרמטרי ω0 :התדירות האופיינית שלה ומקד האיכות .על מנת להעמיק את ההבנה הפיזיקלית של מקד האיכות נגדיר אותו הגדרה נוספת: Q = 2π E/P )(7 כאשר Eהאנרגיה האצורה במערכת ו Pהאנרגיה המתבזבזת במחזור אחד .האנרגיה האצורה היא סכו האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית: 2 2 =E dx/dt) + )(8 1+k2)x א מציבי ) ,x(t) = xcos (ωt+φו ) ω=ω0תהודה( ,מקבלי : E = ½ m ω02 x2 )(9 האנרגיה המתבזבזת היא העבודה הנעשית ע"י חיכו .א האנרגיה המתבזבזת Pבזמ מחזור אחד היא: 2 )(10 T = 2π/ω0הוא זמ מחזור אחד ,אזי T m dx m dx 1m 2 2 ∫=P = dx = ∫ dt ω xT 2τ τ dt τ dt 0 כאשר m/τמקד החיכו . 78 פרק .7תהודה ומקד האיכות של מערכת תהודה כעת בהצבת ) (9ו ) (10ב ) (7מקבלי )Q = 2π (τ/T )(11 נזכור כי 2π/T=ω0לכ : Q = ω0τ )(12 וקיבלנו זהות להגדרה הקודמת. אפשר למדוד את האיכות Qע"י מדידת רוחב עקומת התהודה ) 1/τראה נוסחה .(4 Q = ω0/∆ω )(13 שיטה אחרת למדוד את Qהיא מ הדעיכה של התנודות החופשיות כפי שבצענו זאת בניסוי .5כדי להבהיר את החשיבות של מקד האיכות במערכת תהודה נביא שתי דוגמאות למערכות תהודה בה מנסי להשיג גדלי שוני של מקד איכות .הראשונה הינה מערכת הגברת קול .מערכת זו מורכבת ממספר רמקולי ותיבת תהודה ,לכל רמקול בתיבת התהודה יש תדירות תהודה ומקד איכות שונה .על מנת לקבל היענות שטוחה ככל האפשר לתדרי השוני מנסי להגיע למצב בו מקד האיכות יהיה נמו אחרת נקבל שהענות התדר של מערכת הגברת הקול תהיה חזקה מאוד בתדירויות התהודה וחלשה יחסית בתדירויות אחרות. לעומת מערכת תהודה זו בה מנסי להנמי את מקד האיכות של המערכת ,עומדת מערכת תהודה נוספת המורכבת מקבל ומשר המחוברי במקביל .במערכת זו בדר כלל מנסי להשיג שבמשר תהיה לשדה המגנטי משרעת מכסימלית .ככל שעקומת התהודה תהיה צרה יותר הינו מקד איכות גבוה יותר ,נקבל שמשרעת השדה המגנטי בתו המשר תהיה גבוהה .במעבדות מתקדמות יותר תדונו במערכות אלה בפרוט רב ,אול הגורמי הבסיסיי המשפיעי על מערכות תהודה דומי בכל המערכות השונות .בניסוי הנוכחי נמצא את עקומת התהודה ותלות הפזה בתדירות הכוח המאל ונמדוד את מקד האיכות בעזרת נוסחה .13 שאלות הכנה .1הוכח את הביטויי העקומה. .2 .3 המתקבלי במשוואה ) ,(4עבור תדירות השיא ,גובה השיא ורוחב הראה כי הביטוי עבור המשרעת נית לכתיבה ב: )(F0Q/mω0ω הוכח כי 2 -1/2 2 ) )x = (1+Q (ω/ω0-ω0/ω Q = ω0/∆ω .4חשב עבור ω=ω0 ,ω<ω0ו ω>ω0את הערכי של xושל .Qעבור F0נתו בהצבת ערכי τ ו mשקיבלת בניסוי .5 .5 ציירו אכותית את ) x(ωואת ).φ(ω פרק .7תהודה ומקד האיכות של מערכת תהודה 79 ניסוי 7.1 עקומת התהודה ותלות הפזה בתדירות הכוח המאל המער הניסיוני בניסוי זה דומה למער הניסיוני בניסוי 6בהבדל אחד ,הפע נגדיל את כוח החיכו על ידי הוספת מגנטי לעגלה המהווה את המתנד ההרמוני .השוואת התנודות של העגלה המאלצת והמתנד תאפשר למדוד ישירות את יחסי המשרעות ואת הפרשי הפזה בי התנודות. א .הכרת המכשיר הניסוי איכותי .1שקלו את העגלה בה תשתמשו בניסוי. .2הכינו את מסלול האוויר לניסוי. .3הרכיבו את מער הניסוי המתואר בציור 1של הניסוי הקוד . .4העלו את התוכנה של קרוזה ,אפסו את הגלאי כפי שביצעת בניסוי הקוד .בדקו את התדירות העצמית של המערכת ובדקו א המנוע מאפשר לשנות את תדירויות הכוח המאל משני צדי תדירות התהודה .במידה והמשרעת המתקבלת בתהודה מוציאה את העגלה מתחומי הגלאי הקטינו את משרעת הכוח המאל . א. ניסוי כמותי .1מדידות מקדמות. במידה ולא ידוע לכ המקד האלסטי k1עליכ למדוד אותו שנית .כמו כ עליכ למדוד את התדירות העצמית ω0של המערכת ואת הזמ האופייני כפי שביצעת בניסוי .5 .2חישוב הער התיאורטי של עקומת התהודה ותלות הפזה בתדירות .מאחר וכל מדידה של יחסי המשרעת והפזה בי העגלה המאלצת והמתנד דורשת עבודה מרובה בעוד שלא ברור מראש שהתדירות בה בחרת לבצע את המדידה באמת תית תוצאות משמעותיות ,נבחר דר שונה במקצת לבצוע הניסוי .נתחיל בחישוב עקומת התהודה ותלות הפזה בתדירות, לאחר שנקבל את העקומה התיאורטית נוכל לבחור את תחומי התדירות בה יהיה שינוי משמעותי של יחסי המשרעת והפזות .כדי לבצע את החישוב העלו את הגיליו האלקטרוני בעל הש .EXP7Mהכניסו את הערכי שקבלת עבור ) m , k1מסת העגלה( ω0 ,ו τ במקומות המתאימי בגיליו .בעמודה Aהכניסו את ערכי התדירות .בעמודה Bחשבו x/X לפי נוסחה ) (5ואת φבעמודה Cלפי נוסחה ) .(3את הגרפי שקיבלת תוכלו לראות על ידי לחיצה על הלשונית Amplitude Responceעבור עקומת התהודה וע"י לחיצה על הלשונית Phase Responseעבור תלות הפזה בתדירות .הדפיסו את התוצאות ,מתו התוצאות תוכלו לבחור את תחומי התדירות בה יש שינוי משמעותי ביחס המשרעות והפזות. .3מדידת יחסי המשרעות והשינוי בפזה כתלות בתדירות הכוח המאל .העלו את התוכנה של קרוזה .אפסו את הגלאי ובחרו תדירות מתו התחו שמצאת ב – .2צפו בתנודות המתקבלות על המס מספר פעמי עד שתבחינו שהמשרעת של המתנד אינה משתנה ע הזמ .שנו את קצב המדידה ואת הסקלה של ציר yעד לקבלת גר המכיל כ – 3תנודות לער ,במשרעת הנוחה להתבוננות .שמרו את הניסויי בתקליטו וחזרו על המדידה עבור ערכי שוני של התדירות משני צדי תדירות התהודה. 80 פרק .7תהודה ומקד האיכות של מערכת תהודה עיבוד הנתוני .1 .2 .3 .4 העלאת הגיליו האלקטרוני :הקישו על הסמל EXP7Mוהביאו את הקוב שיצרת עבור המדידה הראשונה ע"י לחיצה על .CTRL+iזכרו לשמור את הקוב בשמו המקורי . template7m.xlsתוכלו לראות את הגר של התוצאות על ידי בחירת הלשונית & Driver oscillator בצעו העתקה בזמ ,במידה ולא הצלחת לאפס את הגלאי כראוי כ שהתנודה תהיה סימטרית ביחס לציר הזמ .בצעו זאת בעמודות Lו . K חשבו את הזמ בשניות בעמודה .Jעל ידי התבוננות בערכי המספריי שקבלת חשבו את תדירות הכוח המאל והכניסו את התוצאות בעמודה .Nבעמודה Oהכניסו את משרעת הכוח המאל ובעמודה Pאת משרעת המתנד .חשבו את היחס בי משרעת הכוח המאל למשרעת המתנד והכניסו את התוצאה בעמודה .Qאת הפרש הפזה בי התנודות הכניסו בעמודה .Rקל למצוא את הפרש הפזה בעזרת ההבדל בזמני בי הזמ בו המשרעת של העגלה המאולצת מתאפסת לבי הזמ בו המשרעת של המתנד מתאפסת .תוכלו לראות את הנקודה הניסיונית שקבלת על הגרפי Amplitude Responseו Phase Response ולבדוק שאכ הנקודה נופלת על הגר התאורטי. חזרו על החישובי עבור כל ערכי התדירות עבור בצעת את המדידות .נית להביא מחדש את המדידות לאותו מקו ע"י לחיצה על .CTRL+iהדפיסו את הגרפי ושמרו במחברת .חשבו את מקד האיכות מרוחב עקומת התהודה והשוו לער המחושב .ω0τ פרק .7תהודה ומקד האיכות של מערכת תהודה 81
© Copyright 2024