‫פרק ‪ . 6‬מתנד הרמוני ע כוח מאל ללא ריסו‬ ‫מטרת הניסוי‪:‬‬ ‫חקירת התנודות המאולצות של מתנד הרמוני נטול חיכו ותופעת התהודה‪.‬‬ ‫מכשור‪:‬‬ ‫מסלול אוויר‪ ,‬עגלות קפיצי ‪ ,‬ספק מתח למנוע ע מהירות משתנה וגלאי קרוזה‪.‬‬ ‫רקע תיאורטי‪:‬‬ ‫בניסוי הקוד בחנו מתנד חופשי ע כוח מרס ‪ .‬בשני הניסויי הבאי נבח את תנועתו של מתנד הרמוני‬ ‫שעליו מופעל כוח הרמוני מאל ‪ .‬המערכת מתוארת בציור ‪.1‬‬ ‫את קצה אחד הקפיצי )הקפי הר ‪ (k1‬מחברי לעגלה נוספת‪ .‬עגלה זו מחוברת למוט הנמצא על גלגל‬ ‫המונע ע"י מנוע חשמלי‪ ,‬כפי שנית לראות המוט איננו במרכז הגלגל‪ .‬מקומו של המוט על הגלגל נית‬ ‫פרק ‪ .6‬מתנד הרמוני ע כוח מאל ללא ריסו‬ ‫‪71‬‬ ‫לשינוי‪ ,‬כ שאפשר לשנות את גודל הכוח המאל ולהתאימו לתנאי הרצויי בניסוי‪ .‬מהירות סיבוב הגלגל‬ ‫ניתנת לשינוי‪ .‬תנועת העגלה הנוספת מעתיקה את הקצה השני של הקפי מנקודת שיווי המשקל בשיעור ‪X‬‬ ‫העתקה הגורמת לשינוי נוס כאור הקפי ולכ להפעלת כוח נוס על המתנד שגודלו ‪ ,–k1X‬גלאי קרוזה‬ ‫המחובר לעגלה זו יאפשר מדידת ‪ X‬ותדירות הכוח המאל ‪.‬‬ ‫בהנחה שבשיווי המשקל המוט המניע את העגלה נמצא על קו אנכי העובר דר המרכז‪ .‬השינוי במקו‬ ‫העגלה נתו ע"י )‪ Xcos(ωt‬והכוח המאל נתו ע"י )‪ .–k1Xcos(ωt) ≡ F0cos(ωt‬משוואות התנועה של‬ ‫המתנד תהיינה‪:‬‬ ‫)‪F = md2x/dt2 = -(k1+k2)x-(m/τ)dx/dt+F0 cos(ωt‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫או‬ ‫)‪d2x/dt2+(1/τ)dx/dt+ω02x = (F0/m)cos(ωt‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫כאשר מפעילי כוח הרמוני בתדירות ‪ ω‬על מתנד הרמוני‪ ,‬המתנד ינוע באותה תדירות ‪ ω‬של הכוח המאל ‪.‬‬ ‫הפתרו של משוואה זאת שתדירותו ‪ ω‬הוא‪:‬‬ ‫)‪x-st(t) = xcos(ωt+φ‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫כאשר‬ ‫)‪(4‬‬ ‫‪F0 / m‬‬ ‫)‬ ‫) ‪− ω 2 + (ω τ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪(ω‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫ו ‪ φ‬הפרש הפזה בי הכוח המאל והאוסצילטור ההרמוני‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−ω‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪φ = tan −1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫(‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫)‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫אפשר לראות שמשוואות )‪ (4) ,(3‬ו )‪ (5‬מקיימות את המשוואה )‪ (2‬ע"י הצבה במשוואה זו‪ .‬משוואה )‪(3‬‬ ‫מראה‪ ,‬שהתגובה פונקציה של התדירות‪ .‬כאשר החיכו זניח‪ 1/τ ,‬שוא לאפס והמשרעת )‪ x(ω‬שואפת‬ ‫לאינסו עבור ‪ .ω=ω0‬לתדירות בה מתקבל שיא המשרעת קוראי תדירות התהודה ובמקרה של חיכו‬ ‫זניח תדירות התהודה היא ‪ .ω0‬את המקרה בו החיכו אינו זניח נלמד בניסוי הבא‪ .‬הפתרו המובא‬ ‫‪333‬במשוואה )‪ (3‬הוא פתרו פרטי‪ ,‬מאחר שאי בו פרמטרי שאפשר להתאימ לתנאי התחלה שוני ‪.‬‬ ‫פתרו זה מתאר את התנועה לאחר זמ ארו ‪ ,‬בו רק התנועה המאולצת באה לידי ביטוי‪ .‬פתרו כללי יכלול‬ ‫ג את התנודות החופשיות הדועכות ע הזמ וג תנועה מאולצת‪ ,‬לכ הפתרו הכללי הוא סופר פוזיציה‬ ‫של שתי התנועות ומשואת התנועה נתונה ע"י סכו הפתרונות הפרטיי של משואה )‪ (3‬ומשוואה )‪ (3‬של‬ ‫הפרק הקוד ‪.‬‬ ‫)‪X(t) = x-st(t)+x1(t‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫‪ φ1‬ו ‪ x1‬הנתוני במשוואה )‪ (3‬של הפרק הקוד ניתני לבחירה‪ ,‬כ שאפשר להתאי את משוואה )‪(6‬‬ ‫לתנאי שפה שוני ‪ .‬במיוחד נתאי את המשוואות למקרה בו הכוח המרס קט יחסית ‪ .1/τ→0‬כדי‬ ‫להתאי את המשוואות לתנאי אלה‪ ,‬נכתוב את משוואה )‪ (6‬בצורה מפורשת‪.‬‬ ‫)‪X(t) = xcos(ωt+φ)+x1e-t/2τcos(ω1t+φ1‬‬ ‫‪72‬‬ ‫פרק ‪ .6‬מתנד הרמוני ע כוח מאל ללא ריסו‬ ‫משוואה זו היא משוואת התנועה הכללית לתנועה הרמונית מאולצת‪ .‬צרי להתאי משוואה זו להנחה‪,‬‬ ‫שהחיכו זניח ולתנאי השפה המיוחדי בה נבצע את הניסוי‪.‬‬ ‫בהנחה שהריסו זניח ‪.1/τ→0‬‬ ‫ממשוואה )‪ (4‬מתקבל‬ ‫))‪lim x = F0/(m(ω02-ω2‬‬ ‫‪1/τ→0‬‬ ‫‪lim tan-1φ = 0‬‬ ‫‪1/τ→0‬‬ ‫ממשוואה )‪ (5‬מתקבל‬ ‫לכ ‪:‬‬ ‫‪lim φ = 0‬‬ ‫‪1/τ→0‬‬ ‫‪lim ω1 = ω0‬‬ ‫‪1/τ→0‬‬ ‫וממשוואה )‪ (3‬של הפרק הקוד מתקבל‬ ‫ע"י הצבה ב )‪ (6‬נקבל‬ ‫)‪(7‬‬ ‫)‪x(t) = (F0/(m(ω20-ω2))cosωt+x1cos(ω0t+φ1‬‬ ‫נבצע את הניסוי כ ‪ ,‬שבתחילת הניסוי העגלה תמצא במנוחה בנקודת שיווי המשקל )זכור!! במקרה זה‬ ‫תנאי השפה במקרה זה ה‬ ‫המוט המניע את העגלה חייב להיות על קו מאונ העובר דר המרכז(‪.‬‬ ‫‪ x(0) = 0‬ו ‪ dx/dt(0) = 0‬הינו ההעתק והמהירות ההתחלתיי המתאפסי ‪ .‬נציב תנאי אלה במשוואת‬ ‫התנועה ‪ 7‬ובנגזרת לפי הזמ ונקבל‪:‬‬ ‫)‪(8‬‬ ‫‪x(0)=F0/(m(ω02-ω2))+x1cosφ1=0‬‬ ‫)‪(9‬‬ ‫‪dx/dt(0)=-x1ω0sinφ1=0‬‬ ‫‪φ1 = 0‬‬ ‫ממשוואה )‪ (9‬נובע‪:‬‬ ‫))‪x1 = -F0/(m(ω20-ω2‬‬ ‫וממשוואה – )‪(8‬‬ ‫הצבת ‪ x1‬ו ‪ φ1‬ב – )‪ (7‬תית את המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫)‪(10‬‬ ‫)‪x(t) = (F0/(m(ω20-ω2)))(cosωt-cosω0t‬‬ ‫התקבלה משוואת התנועה המתארת צרו של שתי תנועות הרמוניות במשרעת זהה‪ ,‬בתדירות ‪ ω0‬ו ‪.ω‬‬ ‫המשוואה מתארת תופעה המכונה פעימות‪.‬‬ ‫נוח לתאר תופעה זו כתנועה הרמונית בתדירות ממוצעת ‪ ωav = (ω0+ω)/2‬ע משרעת המשתנה לאט בזמ ‪,‬‬ ‫המכונה מעטפת‪ .‬המעטפת משתנת בזמ ‪ ,‬בתדירות ‪) ωmod = (ω0-ω)/2‬השינוי בזמ של המעטפת מכונה‬ ‫אפנו (‪.‬‬ ‫)‪x(t) = xmod(t)sin(ωavt‬‬ ‫נכתוב את )‪ (10‬בצורה שונה‪:‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪xmod(t) = (2F0/(m(ω02-ω2)))sin½(ω0-ω)t‬‬ ‫קל להוכיח שמשוואה זו זהה ל – )‪.(10‬‬ ‫פרק ‪ .6‬מתנד הרמוני ע כוח מאל ללא ריסו‬ ‫‪73‬‬ ‫בתהודה ‪ ω0 = ω‬כ שהמונה והמכנה מתאפסי ‪ ,‬אול מאחר שבזויות קטנות אפשר להחלי את סינוס‬ ‫]‪lim x(t) = lim (2F0/(m(ω20-ω2)))sin[½(ω0-ω)t‬‬ ‫הזווית בזווית עצמה‪ ,‬מתקיי ‪:‬‬ ‫‪ω →ω0‬‬ ‫‪ω →ω0‬‬ ‫כ שבגבול‪:‬‬ ‫‪x(t) = (F0t/(2mω0))sinω0t‬‬ ‫)‪(11‬‬ ‫בהזנחת הכוח המרס קיבלנו‪ ,‬שמשרעת המתנד גדלה ממצב מנוחה בצורה המתכונתית לזמ ‪ .‬מוב‬ ‫שבפועל‪ ,‬גידול המשרעת ייעצר ברגע שמשרעת התנועה תתקרב לקצות המסלול‪ ,‬מאחר שהקפיצי לא יהיו‬ ‫אלסטיי יותר ולכ ההנחה של כוח הרמוני מחזיר – אינה תקפה‪ .‬כמו כ ‪ ,‬כשהמשרעת גדלה – גדלה ג‬ ‫מהירות התנועה וגדל ג הכוח המרס והוא אינו זניח יותר‪.‬‬ ‫משוואה )‪ (11‬מדגישה‪ ,‬את התגובה החזקה של מערכת לתדירות התהודה שלה‪ .‬ניסוי זה דומה לדוגמא‬ ‫הידועה של מחלקת חיילי הצועדת על גשר‪ ,‬כשתדירות הפסיעה שלה קרובה לתדירות התהודה של‬ ‫הגשר‪ .‬הגשר יתחיל ממצב מנוחה והמשרעת של תנועתו תגדל מתכונתית בזמ ‪ ,‬עד שהגשר יתפרק‪.‬‬ ‫שאלות הכנה‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫הוכח שמשוואה )‪ (3‬פתרו של משוואה )‪ ,(2‬כאשר קיו של משוואות )‪ (4‬ו )‪ (5‬תנאי הכרחי לכ ‪.‬‬ ‫הראה שמשוואה )‪ (6‬הינה פתרו של משוואה )‪.(2‬‬ ‫הראה שאת משוואה )‪ (10‬אפשר לכתוב כתנועה הרמונית במשרעת המשתנה בזמ ‪.‬‬ ‫ניסוי ‪6.1‬‬ ‫תנודות הרמוניות מאולצות‪ ,‬פעימות‪.‬‬ ‫בניסוי זה נחקור את התנועה של מתנד מאול ‪ ,‬כאשר תדירות הכוח המאל שונה מתדירות התהודה‬ ‫ונמצא את שינוי המשרעת בזמ ‪ .‬תנועת המתנד מתוארת במשוואה )‪ .(10‬המתנד מתחיל ממצב מנוחה‪.‬‬ ‫הכוח המאל מניע אותו בתדירות השונה מהתדירות העצמית ולכ מתקבלות פעימות‪.‬‬ ‫את התוצאות שנקבל נשווה ישירות לתיאוריה וכ נאמת את התיאוריה של תנועה הרמונית מאולצת‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫הכרת המכשור וניסוי איכותי‪.‬‬ ‫שקלו את העגלה בה תשתמשו בניסוי‪.‬‬ ‫הכינו את מסלול האוויר לניסוי‪.‬‬ ‫הרכיבו את מער הניסוי המתואר בציור ‪.1‬‬ ‫העגלה המאלצת מחוברת בחוט למוט המונע ע"י מנוע שמהירותו ניתנת לשינוי‪ .‬העגלה המאלצת מחוברת‬ ‫לעגלה נוספת באמצעות קפי שהקבוע האלסטי שלו ‪) k1‬במידה שלא שמרת את הקפי מהמעבדה‬ ‫הקודמת‪ ,‬עליכ להתחיל במדידת הקבוע האלסטי של הקפי ‪ ,‬כפי שביצעת זאת בניסוי ‪ .(5.1‬הקצה השני‬ ‫‪74‬‬ ‫פרק ‪ .6‬מתנד הרמוני ע כוח מאל ללא ריסו‬ ‫של העגלה המאולצת‪ ,‬מחובר למסלול בעזרת קפי ע קבוע ‪ .k2‬עליכ לבחור קפי זה כ שהתדירות‬ ‫העצמית של המערכת תהיה בתו תחו התדירויות המתקבל משינוי המהירות של המנוע המאל ‪ .‬הדר‬ ‫הנוחה ביותר להביא את המוט לנקודת שיווי המשקל היא להפחית את מהירות המנוע ולעצרו במקו‬ ‫המתאי ‪ ,‬כ שקו אנכי יעבור דרכו ודר המרכז‪ .‬סמנו את נקודות שיווי המשקל של העגלות על המסלול‬ ‫ע"י הדבקת פיסות נייר דבק על המסלול‪ .‬נסו לא להזיז את המערכת בזמ הניסוי‪ .‬כאשר המערכת בשיווי‬ ‫משקל‪ ,‬קבעו את גלאי קרוזה הראשו במרכז העגלה המאלצת ואת הגלאי השני למרכז העגלה המאולצת‪.‬‬ ‫השוואת התנודות של שתי העגלות מאפשרת מציאת הפזה בי הכוח המאל והתנודה של המתנד‪.‬‬ ‫הפעילו את המנוע ומצאו מהירות שתביא לקבלת מספר פעימות בדקה‪ .‬הדליקו את המחשב והעלו את‬ ‫התוכנה של קרוזה‪ .‬בחרו באפשרות למדידה של שני הגלאי ‪ ,‬אפסו את הגלאי כאשר העגלות נמצאות‬ ‫בנקודות שיווי המשקל‪ .‬הגדילו את מהירות המנוע למהירות אותה בחרת קוד ‪ .‬לחצו על ‪ f4‬כאשר את‬ ‫מחזיקי את העגלה המאולצת בנקודת שיווי המשקל‪ .‬שחררו אותה וצפו בפעימות המתקבלות על מס‬ ‫המחשב‪ .‬שנו את קצב המדידה ואת הסקלה של ציר ‪ y‬עד שתקבלו כשתי פעימות על המס ‪ .‬במידה והעגלה‬ ‫חורגת מהגלאי אפשר להקטי את משרעת התנודות ע"י הקטנת משרעת הכוח המאל ‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ניסוי כמותי‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫מדדו את התדירות העצמית ‪ ω0‬של המתנד‪ ,‬כפי שעשית בניסוי ‪ 5.2‬ורשמו את‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫התוצאה‪.‬‬ ‫אפוס הגלאי בניסוי זה חשוב מאוד‪ .‬בדקו שוב את אפוס הגלאי ‪.‬‬ ‫חזרו למהירות שבחרת ובצעו שני ניסויי ‪ .‬שמרו את התוצאות התקליטו ‪.‬‬ ‫ניסוי ‪6.2‬‬ ‫תהודה ללא כוח מרס‬ ‫בניסוי זה הכוח המאל מניע את המתנד בתדירות העצמית של המערכת‪ .‬המתנד מתחיל ממצב מנוחה‬ ‫והמשרעת של התנודה גדלה מתכונתית בזמ ‪ .‬התנועה מתוארת ע"י משוואה )‪.(11‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ניסוי איכותי‪:‬‬ ‫הניסוי יבוצע באותה מערכת כמו בניסוי הקוד ‪ .‬שנו את מהירות המנוע ומצאו את מהירות בה תדירות‬ ‫התנודה של המתנד זהה לתדירות העצמית של המערכת שמדדת בניסוי ‪ .6.1‬כאשר תגיעו לתדירות‬ ‫התהודה‪ ,‬עצרו את העגלה שחררו אותה ובמקביל לחצו על ‪ .F4‬התבוננו במס המחשב‪ ,‬לאופ בו בונות‬ ‫התנודות את עצמ ‪ .‬התאימו את מהירות הדגימה וציר ה ‪ y‬כ שתקבלו על המס את הבניה של התנודות‪,‬‬ ‫מבלי שהעגלה תחרוג מתחומי הגלאי‪.‬‬ ‫פרק ‪ .6‬מתנד הרמוני ע כוח מאל ללא ריסו‬ ‫‪75‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ניסוי כמותי‪:‬‬ ‫בצעו מספר פעמי‬ ‫בתקליטו ‪.‬‬ ‫את הניסוי‪ ,‬כאשר העגלה מתחילה ממנוחה‪ .‬שמרו את התוצאות של שני ניסויי‬ ‫עבוד נתוני‬ ‫‪ .1‬העלאת הגיליו האלקטרוני‪ :‬העלו את הגיליו האלקטרוני בעל הש ‪ .EXP6M‬הביאו לתוכו את קוב‬ ‫המדידות של ניסוי ‪) 6.1‬ניסוי הפעימות( ע"י לחיצה על ‪ .CTRL+i‬זכרו לשמור את הקוב בשמו המקורי‬ ‫‪ . template6m.xls‬תוכלו לראות גר של התוצאות בגליו בעל הלשונית ‪.Beats - exp‬‬ ‫‪ .2‬הכנסת הנתוני הניסויי ‪ :‬הכניסו את הערכי של קבועי הקפיצי ‪ ω0 ,‬התדירות העצמית של המערכת‬ ‫ואת מסת העגלה במקומות המתאימי בגיליו ‪ .‬כעת בחנו את התוצאות שקיבלת ‪ .‬במידה שה אינ‬ ‫סימטריות ביחס לציר הזמ ‪ ,‬תוכלו להתיק את מערכת הצירי ולהכניס את התוצאות ולאחר ההתקה תו‬ ‫שימוש בעמודה ‪ .D‬חשבו בעמודות ‪ G,F‬ו ‪ H‬את הזמ בשניות וההעתק של המתנד במטר‪.‬‬ ‫‪ .3‬חשוב התדירות‪ :‬חשבו ע"י מציאת נקודת החיתו של ההעתק ע ציר הזמ )נקודת ההתאפסות של‬ ‫המשרעת( את המחזור של המתנד ושל הכוח המאל ‪ .‬הכניסו לעמודות ‪ J‬ו ‪ ,K‬את זמני התאפסות‬ ‫המשרעת עבור העגלה המאלצת והמתנד בהתאמה‪ .‬בעמודות ‪ L‬ו ‪ ,M‬חשבו את הערכי של זמ המחזור‪.‬‬ ‫חשבו את זמ המחזור הממוצע ואת תדירות התנודות )נית לבצע זאת בתאי ‪ .(K7-K10‬רשמו את‬ ‫האמפליטודה של הכח המאל בתא ‪ .K11‬השתמשו בער שמצאת ל ‪ ω0‬ובתדירות של הכוח המאל‬ ‫על מנת לחשב את התדירות התיאורטית של תנודות המתנד‪ ,‬המתקבלת בנוסחה ‪ .10‬השוו לתוצאות‬ ‫שקיבלת בניסוי‪ .‬הא התוצאות מתאימות בתחו חשוב השגיאה?‬ ‫‪ .4‬חשוב המעטפת‪ :‬חשבו את המעטפת לפי ‪ Xmod‬בנוסחה ‪ .10‬הכניסו את התוצאות לעמודה ‪ .O‬זכרו‬ ‫שהמעטפת יכולה לקבל ערכי חיוביי ושליליי ‪ ,‬בהתא לסימ של הסינוס‪ .‬לכ הכניסו את הערכי‬ ‫השליליי ‪ Xmod‬בעמודה ‪ .P‬השוו לתוצאות הניסיוניות בעזרת הגר הנמצא בגליו בעל הלשונית‬ ‫‪ .Beats-envelope‬הדפיסו גר זה והכניסו אותו למחברת‪.‬‬ ‫‪ .5‬עיבוד ניסוי התהודה‪ :‬הביאו את הקוב שיצרת בניסוי לבנייה של התנודות ע"י לחיצה על ‪.CTRL+j‬‬ ‫תוכלו לראות את הגר של התוצאות בגיליו בעל הלשונית ‪. Resonance - exp.‬‬ ‫‪ .6‬מעבר יחידות‪ :‬בצעו בעמודה ‪ W‬תרגו של הזמ לשניות ע העתקה מתאימה של ראשית הצירי )‪(T0‬‬ ‫ובעמודות ‪ X‬ו ‪ Y‬תרגמו את המשרעת למטרי ‪.‬‬ ‫‪ .7‬חשוב הבנייה של המשרעת‪ :‬חשבו לפי נוסחה ‪ 11‬את המעטפת והכניסו לעמודה ‪ .AA‬את הערכי‬ ‫השליליי של המעטפת‪ ,‬הכניסו לעמודה ‪ .AB‬צפו בערכי המחושבי של המעטפת והערכי הניסיוניי‬ ‫גר המופיע בגיליו בעל הלשונית ‪ .Resonance - envelope‬הדפיסו את הגר ושמרו את התוצאות‬ ‫במחברת‪.‬‬ ‫‪76‬‬ ‫פרק ‪ .6‬מתנד הרמוני ע כוח מאל ללא ריסו‬