1. No category

‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫יחסים (בינאריים) – תרגול מס' ‪5‬‬
‫‪ .1‬תהי ‪ A  ‬ויהי ‪ R‬יחס מעליה‪ .‬הוכיחו כי‪:‬‬
‫א‪ .‬אם ‪ R‬יחס רפלקסיבי‪ ,‬אז ‪. R  R 2‬‬
‫הוכחת א'‪ :‬יהי ‪ R‬יחס רפלקסיבי מעל ‪ R .A‬יחס רפלקסיבי‪ ,‬ולכן עפ"י‬
‫הגדרת רפלקסיביות מתקיים‪. IA  R :‬‬
‫□‬
‫מכאן‪. IA  R  IA  R  R  R  R  R 2 :‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ , a, b,c  A : aRb  bRc  aRc‬אז ‪. R 2  R‬‬
‫ג‪ .‬אם ‪ R‬יחס רפלקסיבי וטרנזיטיבי‪ ,‬אז ‪. R 3  R 2‬‬
‫‪ .2‬יהיו ‪ R‬ו‪ S -‬יחסים סמטריים מעל קבוצה ‪ . A  ‬הוכיחו כי ‪ RS‬הוא יחס‬
‫סמטרי אם"ם ‪.RS=SR‬‬
‫‪ .3‬יהיו ‪ R‬ו‪ S -‬יחסים מעל קבוצה ‪ . A  ‬הוכיחו‪/‬הפריכו כי‪:‬‬
‫א‪ .‬אם ‪ R‬יחס רפלקסיבי‪ ,‬אז ‪ R 1‬יחס רפלקסיבי‪.‬‬
‫הוכחת א'‪ :‬נתון כי ‪ R‬רפלקסיבי‪ ,‬וצ"ל כי ‪ R 1‬רפלקסיבי‪ .‬אכן‪:‬‬
‫‪R reflexive  IA  R R SR 1 S1 IA 1  R 1 I 1 I IA  R 1  R 1 reflexive‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫□‬
‫ב‪ .‬אם ‪ R‬ו‪ S -‬יחסים אנטי‪-‬סמטריים‪ ,‬אז ‪ R  S‬יחס אנטי‪-‬סמטרי‪.‬‬
‫ג‪ .‬אם ‪ R‬ו‪ S -‬יחסים טרנזיטיביים‪ ,‬אז ‪ R  S‬יחס טרנזיטיבי‪.‬‬
‫הוכחת ג'‪ :‬נתון כי ‪ R‬ו‪ S -‬יחסים טרנזיטיביים‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪ .  a, b,c  A : aRb  bRc  aRc   a, b,c  A : aSb  bSc  aSc ‬צ"ל כי‬
‫‪ R  S‬יחס טרנזיטבי‪ ,‬כלומר – צ"ל כי‪:‬‬
‫‪ . a, b,c  A : aR  Sb  bR  Sc  aR  Sc‬יהיו ‪ a, b,c  A‬כלשהם‪ .‬אכן‪:‬‬
‫‪aR  Sb  bR  Sc   aRb  aSb    bRc  bSc    aRb  bRc    aSb  bSc  ‬‬
‫‪R,S transitive aRc  aSc  aR  Sc‬‬
‫□‬
‫‪ .4‬סווגו את היחסים הבאים (רפלקסיבי‪/‬אנטי‪-‬רפלקסיבי‪/‬סמטרי‪/‬אנטי‪-‬‬
‫סמטרי‪/‬טרנזיטיבי)‪ ,‬והוכיחו את קביעותיכם‪.‬‬
‫א‪a, b  : aRb  a  b  1 .‬‬
‫פתרון‪ :‬רפלקסיביות מתקיימת ‪ , a  : aRa -‬שכן‪. a  : a  a  1 :‬‬
‫אנטי‪-‬רפלקסיביות אינה מתקיימת‪ ,‬שכן ‪ ‬‬
‫המשפט בראש עמוד ‪ 145‬לעיל)‪.‬‬
‫סמטריות מתקיימת ‪ , a, b  : aRb  bRa -‬שכן‪:‬‬
‫‪. a, b  : a  b  1 a,b : a b  ba b  a  1‬‬
‫ו‪ R -‬רפלקסיבי (עפ"י‬
‫‪1‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫‪1‬‬
‫אנטי‪-‬סמטריות אינה מתקיימת‪ ,‬שכן עבור‪, b  1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. a  b  1 b  a  1 a  b‬‬
‫‪ , a ‬למשל‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫טרנזיטיביות אינה מתקיימת‪ ,‬שכן עבור‪, b  1 , c  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מתקיים‪. a  b  1  b  c  1  a  c  1 :‬‬
‫‪ , a ‬למשל‪,‬‬
‫ב‪a, b  : aRb  a | b .‬‬
‫ג‪a, b  : aRb  k  :a  b  2k 1 .‬‬
‫ד‪ .‬תהי ‪ C  ‬כלשהי; ‪A, B  P  C :ARB  A  B  ‬‬
‫פתרון‪ :‬נדגים תחילה את היחס על הקבוצה‪ . C  1, 2 :‬היחס ‪ R‬הנ"ל מוגדר‬
‫מעל‪ . P  C   , 1 , 2 , 1, 2 :‬ניתן לרשום אותו באופן המפורש הבא‪:‬‬
‫‪     11221, 2 ‬‬
‫‪( R  ‬בדקו)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪  121, 2  2  1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫רפלקסיביות אינה מתקיימת‪ ,‬שכן עפ"י הדוגמא הנ"ל‪ , 1 R 1 :‬למשל‪.‬‬
‫אנטי‪-‬רפלקסיביות אינה מתקיימת‪ ,‬שכן עפ"י הדוגמא הנ"ל‪. R :‬‬
‫סמטריות מתקיימת‪ ,‬לאור חילופיות פעולת החיתוך בין קבוצות‪ .‬כלומר‪ ,‬לכל‬
‫‪ A, B  P  C ‬מתקיים‪. ARB  A  B    B  A    BRA :‬‬
‫אנטי‪-‬סמטריות אינה מתקיימת‪ ,‬שכן עפ"י הדוגמא הנ"ל‪:‬‬
‫‪. R 1  1 R    1‬‬
‫טרנזיטיביות אינה מתקיימת‪ ,‬שכן עפ"י הדוגמא הנ"ל‪:‬‬
‫‪. 1 R 2  2 R 1  1 R 1‬‬
‫‪2‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫יחסים (בינאריים) ‪ -‬תרגיל בית מס' ‪5‬‬
‫‪ .1‬תהי ‪ A  1,2,3,4,5‬ויהיו ‪ R‬ו‪ S -‬שני יחסים המוגדרים מעליה‪ ,‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪1245 ‬‬
‫‪11224 ‬‬
‫‪ . S  ‬כתבו באופן מפורש את היחסים הבאים ויצגו‬
‫‪ , R ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1212 ‬‬
‫‪ 23344 ‬‬
‫אותם באמצעות גרף מכוון ובאמצעות מטריצת סמיכויות בינארית‪.‬‬
‫ב‪RS .‬‬
‫א‪R 1  S1 .‬‬
‫ג‪R 2S2 .‬‬
‫‪ .2‬יהיו ‪ S ,R‬ו‪ T -‬יחסים מעל קבוצה ‪ . A  ‬הוכיחו כי‪:‬‬
‫א‪R  S1  R 1  S1 .‬‬
‫ב‪R  S  RT  ST .‬‬
‫‪ .3‬יהיו ‪ R‬ו‪ S -‬יחסים מעל קבוצה ‪ . A  ‬הוכיחו‪/‬הפריכו כי‪:‬‬
‫א‪ .‬אם ‪ R‬ו‪ S -‬יחסים רפלקסיביים‪ ,‬אז ‪ R  S‬יחס רפלקסיבי‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ R‬ו‪ S -‬יחסים רפלקסיביים‪ ,‬אז ‪ RS‬יחס רפלקסיבי‪.‬‬
‫ג‪ .‬אם ‪ R‬ו‪ S -‬יחסים סמטריים‪ ,‬אז ‪ R  S‬יחס סמטרי‪.‬‬
‫ד‪ .‬אם ‪ R‬ו‪ S -‬יחסים אנטי‪-‬סמטריים‪ ,‬אז ‪ R  S‬יחס אנטי‪-‬סמטרי‪.‬‬
‫ה‪ .‬אם ‪ R‬ו‪ S -‬יחסים טרנזיטיביים‪ ,‬אז ‪ R  S‬יחס טרנזיטיבי‪.‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬כמה יחסים ניתן להגדיר מהקבוצה‪ ,1,  :‬לקבוצה‪? , moshe :‬‬
‫נמקו‪.‬‬
‫ב‪ .‬כמה יחסים ניתן להגדיר מעל הקבוצה‪ ? 1, a,3, b :‬נמקו‪.‬‬
‫‪ .5‬סווגו את היחסים הבאים (רפלקסיבי‪/‬אנטי‪-‬רפלקסיבי‪/‬סמטרי‪/‬אנטי‪-‬‬
‫סמטרי‪/‬טרנזיטיבי)‪ ,‬והוכיחו את קביעותיכם‪.‬‬
‫א‪a, b  : aRb  0  a  b  1 .‬‬
‫ב‪a, b  : aRb  k  :a  b  2k .‬‬
‫ג‪a, b  : aRb  k  :a  b  2k 1 .‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪3‬‬