‫כלכלת אי ודאות – פתרון מבחן מועד א'‬ ‫סמסטר ב' תשע"א‬ ‫‪ 20‬ביוני ‪2011‬‬ ‫שאלה ‪ 10) 1‬נק'(‪:‬‬ ‫‪ .1.1‬יחס ההעדפה של הצרכן מקיים ] ‪ . ( x1 , x2 ) ; ( y1 , y2 ) ⇔ [ x2 + y1 ≥ y2‬מכאן‪,‬‬ ‫‬ ‫א‪ .‬יחס ההעדפה מקיים רפלקסיביות‪ ,‬מקיים שלמות‪ ,‬ומקיים טרנזיטיביות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬יחס ההעדפה מקיים רפלקסיביות‪ ,‬לא מקיים שלמות‪ ,‬ולא מקיים טרנזיטיביות‪.‬‬ ‫ג‪ .‬יחס ההעדפה לא מקיים רפלקסיביות‪ ,‬מקיים שלמות‪ ,‬ולא מקיים טרנזיטיביות‪.‬‬ ‫ד‪ .‬אין תשובה נכונה או שיותר מתשובה אחת מהנ"ל נכונה‪.‬‬ ‫הסבר‪ :‬מתקיימות רפלקסיביות ושלמות אבל לא טרנזיטיביות כי למשל ) ‪ ( 5, 2 ) ; ( 30,31) ; ( 4,10‬אבל לא מתקיים‬ ‫‬ ‫‬ ‫) ‪. ( 5, 2 ) ; ( 4,10‬‬ ‫‬ ‫‪ .1.2‬יחס ההעדפה של הצרכן מקיים ] ‪ . ( x1 , x2 ) ; ( y1 , y2 ) ⇔ [ x2 ≥ y2‬מכאן‪,‬‬ ‫‬ ‫א‪ .‬יחס ההעדפה מקיים רפלקסיביות‪ ,‬מקיים שלמות‪ ,‬מקיים טרנזיטיביות ומקיים מונוטוניות חלשה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬יחס ההעדפה מקיים רפלקסיביות‪ ,‬מקיים שלמות‪ ,‬לא מקיים טרנזיטיביות ולא מקיים מונוטוניות חלשה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬יחס ההעדפה לא מקיים רפלקסיביות‪ ,‬מקיים שלמות‪ ,‬מקיים טרנזיטיביות ומקיים מונוטוניות חלשה‪.‬‬ ‫ד‪ .‬אין תשובה נכונה או שיותר מתשובה אחת מהנ"ל נכונה‪.‬‬ ‫הסבר‪ :‬מתקיימות רפלקסיביות ושלמות וטרנזיטיביות ומונוטוניות חלשה שנובעת מתכונות אלו בסדר המספרים הממשיים‪.‬‬ ‫שאלה ‪ 15) 2‬נק'(‪:‬‬ ‫צרכן צורך שני סוגי מצרכים‪ .‬פונקציית התועלת של הצרכן הינה ) ‪u ( x1 , x2 ) = min ( x1 , 2 x2 + 100‬‬ ‫א‪ .‬הנח כי ‪ . P1 = 1, P2 = 3‬האם קיימת רמת הכנסה בה הנקודה ) ‪ ( x1 , x2 ) = ( 200,50‬תיבחר על ידי הצרכן?‬ ‫ב‪ .‬הנח כי ‪ . I = 120, P2 = 5‬האם קיימת רמת מחיר של מוצר ‪ 1‬בה נבחרת הנקודה ) ‪? ( x1 , x2 ) = ( 50, 0‬‬ ‫ג‪ .‬הנח כי במצב המוצא ‪ , I = 120, P1 = 3, P2 = 9‬ולאחר השינוי ‪ . P1 = 6, P2 = 12‬מהו הפיצוי המינימלי שישיב את‬ ‫הצרכן לתועלתו הראשונית?‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫א‪ .‬כמובן – כשלצרכן ‪.₪ 350‬‬ ‫ב‪ .‬כמובן – כשמחיר מצרך ‪ 1‬הוא ‪.2.4‬‬ ‫ג‪ .‬במצב המוצא יצרוך ) ‪ ( x1 , x2 ) = ( 40, 0‬ותועלתו תהיה ‪ .40‬במצב החדש צריך תקציב של ‪ ₪ 240‬כדי להגיע לתועלת‬ ‫הקודמת‪ ,‬כך שהפיצוי ‪.120‬‬ ‫שאלה ‪ 15) 3‬נק'(‪:‬‬ ‫פירמה מייצרת באמצעות שני גורמי הייצור ‪. a, b‬‬ ‫נתונה פונקציית הייצור הבאה‪:‬‬ ‫‪f ( a, b ) = a + 2b‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫א‪ .‬הנח כי וקטור המחירים הוא‪, ) :‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫היצרן‪.‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫ב‪ .‬הנח כי וקטור המחירים הוא‪, ) :‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫ג‪ .‬הנח כי וקטור המחירים הוא‪, ) :‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫תקציב של ‪.₪ 200‬‬ ‫‪ . ( px , pa , pb ) = (1,‬חשבו את הרווח‪ ,‬התפוקה והרכב גו"י האופטימאליים של‬ ‫‪ . ( px , pa , pb ) = (1,‬חשבו את דרך הייצור הזולה ביותר להפיק ‪ 100‬יח' מוצר‪.‬‬ ‫‪ . ( px , pa , pb ) = (1,‬חשבו את התפוקה המירבית שיוכל היצרן ליצור כשלרשותו‬ ‫הסבר‪ :‬במצב המחירים הנתון‪ ,‬כדאי להשתמש רק ב‪ .b-‬למעשה הפונקציה באופן אפקטיבי הינה ‪f ( a, b ) = 2b‬‬ ‫א‪ .‬מהשוואת ‪ VMPb = Pb‬נקבל ) ‪ , ( a, b ) = ( 0,8‬לכן ‪ , f ( a, b ) = f ( 0,8 ) = 4‬והרווח יהיה ‪. Π = 4 ⋅1 − 0 ⋅ 0.25 − 8 ⋅ 0.25 = 2‬‬ ‫ב‪ .‬מהשוואת ‪ f ( a, b ) = 2b = 100‬נקבל ) ‪ , ( a, b ) = ( 0,5000‬לכן העלות תהיה‪. 0 ⋅ 0.25 − 5000 ⋅ 0.25 = 1250 ,‬‬ ‫ג‪ .‬מניצול התקציב נקבל ) ‪ , ( a, b ) = ( 0,800‬לכן ‪. f ( a, b ) = f ( 0,800 ) = 40‬‬ ‫שאלה ‪ 25) 4‬נק'(‪:‬‬ ‫לצרכן ‪ A‬פונקצית תועלת ‪ , u ( c ) = c1 2‬כאשר ‪ c‬מתאר את ההון של הצרכן‪ .‬לצרכן הון התחלתי של ‪ .₪ 8100‬הנתונים הנוספים‬ ‫בכל סעיף מתייחסים רק לאותו סעיף‪.‬‬ ‫‪ 4.1‬נתונה ההגרלה הבאה‪:‬‬ ‫) ‪L1 = ( −400,1000;0.6, 0.4‬‬ ‫א‪ .‬הסכום המירבי שצרכן ‪ A‬מוכן לשלם על ההגרלה ‪ L1‬גבוה מ‪.₪ 100-‬‬ ‫ב‪ .‬הסכום המירבי שצרכן ‪ A‬מוכן לשלם על ההגרלה ‪ L1‬נמוך מ‪.₪ 80-‬‬ ‫ג‪ .‬כל צרכן אוהב סיכון מוכן להשתתף בהגרלה כזו אם עלותה היא ‪.₪ 150‬‬ ‫ד‪ .‬אין תשובה נכונה או שיותר מתשובה אחת מהנ"ל נכונה‪.‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫אם ‪ A‬ישלם ‪ 100‬נקבל את ההגרלה ) ‪ L3 = ( 7600,9000;0.6, 0.4‬ותוחלת התועלת ממנה תהיה ‪ .90.25‬לכן ‪ A‬מוכן לשלם יותר‬ ‫מ‪ .100-‬לגבי צרכן אוהב סיכון נבחן את תוחלת הפרסים בהגרלה ‪ L1‬ונקבל ‪ ,160‬כך שכל צרכן אוהב סיכון מוכן לשלם מעל ‪.160‬‬ ‫‪ 4.2‬נתונה ההגרלה הבאה‪:‬‬ ‫) ‪L2 = ( 400,1000;0.6, 0.4‬‬ ‫א‪ .‬הסכום המירבי שצרכן ‪ A‬מוכן לשלם על ההגרלה ‪ L2‬גבוה מ‪.₪ 400-‬‬ ‫ב‪ .‬הסכום המירבי שצרכן ‪ A‬מוכן לשלם על ההגרלה ‪ L2‬נמוך מ‪.₪ 450-‬‬ ‫ג‪ .‬כל צרכן אוהב סיכון מוכן להשתתף בהגרלה כזו אם עלותה היא ‪.₪ 650‬‬ ‫ד‪ .‬אין תשובה נכונה או שיותר מתשובה אחת מהנ"ל נכונה‪.‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫אם ‪ A‬ישלם ‪ 450‬נקבל את ההגרלה ) ‪ L3 = ( 8050,8650;0.6, 0.4‬ותוחלת התועלת ממנה תהיה ‪ .91.03‬לכן ‪ A‬מוכן לשלם יותר‬ ‫מ‪ .450-‬לגבי צרכן אוהב סיכון נבחן את תוחלת הפרסים בהגרלה ‪ L2‬ונקבל ‪ ,640‬כך שכל צרכן אוהב סיכון מוכן לשלם מעל ‪640‬‬ ‫ולא בהכרח מעל ‪.650‬‬ ‫‪ 4.3‬לצרכן ‪ A‬עלולה לקרות תאונה )בהסתברות ‪ (0.25‬בה יאבד ‪ .₪ 1700‬חברת ביטוח מציעה לצרכן לרכוש יחידות ביטוחיות‬ ‫בפרמיה יחסית של ‪ ,0.3‬בלי הגבלה על סך הביטוח‪.‬‬ ‫א‪ .‬הצרכן ירכוש ביטוח כך שבמצב שינזק ישאר עם הון גבוה מ‪.₪ 7000-‬‬ ‫ב‪ .‬הצרכן ירכוש ביטוח בסכום חיובי‪ ,‬כך שבמצב שלא ינזק ישאר עם הון גבוה מ‪.₪ 7500-‬‬ ‫ג‪ .‬הצרכן לא ירכוש ביטוח‪.‬‬ ‫ד‪ .‬אין תשובה נכונה או שיותר מתשובה אחת מהנ"ל נכונה‪.‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫‪0.7 1 − α‬‬ ‫מפתרון המשוואות‬ ‫=‬ ‫‪α‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫=‬ ‫‪0.75 C2‬‬ ‫‪0.25 C1‬‬ ‫= ‪ , MRS‬ומשוואת התקציב ‪ 0.7C1 + 0.3C2 = 7590‬נקבל‬ ‫‪ , C1 = 8610 C2 = 5208‬וזו כמובן לא תוצאה תקינה‪ ,‬לכן הצרכן לא ירכוש כלל ביטוח‪.‬‬ ‫‪ 4.4‬הצרכן ‪ A‬שוקל לבטח ידיד שלו )כלומר לפעול כחברת ביטוח(‪ .‬לידיד עלול לקרות נזק של ‪ ₪ 4000‬בהסתברות ‪ .0.25‬הצרכן‬ ‫‪ A‬מציע לידידו לרכוש ממנו יחידות ביטוחיות בפרמיה יחסית של ‪.0.35‬‬ ‫א‪ .‬אם הידיד יבטח ‪ 100%‬מהנזק‪ ,‬צרכן ‪ A‬מוכן לתת הנחה של ‪ 15%‬על דמי הביטוח שיגבה מידידו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם הידיד יבטח ‪ 50%‬מהנזק‪ ,‬צרכן ‪ A‬מוכן לתת הנחה של ‪ 20%‬על דמי הביטוח שיגבה מידידו‪.‬‬ ‫ג‪ .‬אם הידיד יבטח ‪ 25%‬מהנזק‪ ,‬צרכן ‪ A‬מוכן לתת הנחה של ‪ 25%‬על דמי הביטוח שיגבה מידידו‪.‬‬ ‫ד‪ .‬אין תשובה נכונה או שיותר מתשובה אחת מהנ"ל נכונה‪.‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫א‪ .‬במקרה זה נקבל את ההגרלה ) ‪ L5 = ( 9290,5290;0.75, 0.25‬ותוחלת התועלת ממנה תהיה ‪ .90.47‬לכן ‪ A‬מוכן לכך‪.‬‬ ‫ב‪ .‬במקרה זה נקבל את ההגרלה ) ‪ L6 = ( 8660, 6660;0.75, 0.25‬ותוחלת התועלת ממנה תהיה ‪ .90.19‬לכן ‪ A‬מוכן לכך‪.‬‬ ‫ג‪ .‬במקרה זה נקבל את ההגרלה ) ‪ L7 = ( 8362.5, 7362.5;0.75, 0.25‬ותוחלת התועלת ממנה תהיה ‪ .90.03‬לכן ‪ A‬מוכן לכך‪.‬‬ ‫‪ 4.5‬לצרכן ‪ A‬עלולה לקרות תאונה )בהסתברות ‪ (0.3‬בה יאבד ‪ .₪ 3000‬חברת ביטוח מציעה לצרכן לרכוש ביטוח בו יפוצה‬ ‫באופן מלא במקרה של תאונה‪.‬‬ ‫א‪ .‬הסכום המירבי שצרכן ‪ A‬מוכן לשלם על הביטוח גבוה מ‪.₪ 1100-‬‬ ‫ב‪ .‬הסכום המירבי שצרכן ‪ A‬מוכן לשלם על הביטוח גבוה מ‪.₪ 1300-‬‬ ‫ג‪ .‬הסכום המירבי שצרכן ‪ A‬מוכן לשלם על הביטוח נמוך מ‪.₪ 1000-‬‬ ‫ד‪ .‬אין תשובה נכונה או שיותר מתשובה אחת מהנ"ל נכונה‪.‬‬ ‫במקרה זה הצרכן יוצא מתוך ההגרלה )‪ L8 = ( 8100,5100;0.7, 0.3‬שתוחלת התועלת ממנה הינה ‪ .84.42‬הערך הודאי השקול‬ ‫לה הינו ‪ .7127.46‬לכן הצרכן מוכן לשלם ‪.₪ 982.54‬‬ ‫שאלה ‪ 20) 5‬נק'(‪:‬‬ ‫פירמה מייצרת באמצעות שני גורמי הייצור ‪. a, b‬‬ ‫א‪ .‬הנח כי פונקציית הייצור הינה ‪ f ( a, b ) = 2a + 3 b‬והיצרן מוגבל בייצור של עד ‪ 100‬יחידות מוצר‪ .‬הנח כי וקטור‬ ‫המחירים הוא‪:‬‬ ‫)‪ ( px , pa , pb ) = (1, 3, 4‬בהסתברות ‪ 0.6‬או )‪ ( px , pa , pb ) = (2, 3, 4‬בהסתברות ‪ .0.4‬חשבו את‬ ‫תוחלת הרווח‪ ,‬ותוחלת התפוקה האופטימאליים של היצרן‪ ,‬בהנחה שהיצרן מתעניין בתוחלת הרווח המירבית ויודע‬ ‫את המחירים בעת קניית גורמי הייצור‪.‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫כאשר )‪ , ( px , pa , pb ) = (1, 3, 4‬מהשוואת ‪ VMPa = 2 ⋅1 < 3‬ומהשוואת ‪ VMPb = 3 ⋅1 < 4‬נקבל *‪ , a* = 0 = b‬ולכן‬ ‫‪ , X * = 0‬ולכן ‪. Π = 0‬‬ ‫כאשר )‪ , ( px , pa , pb ) = (2, 3, 4‬מהשוואת ‪ VMPa = 2 ⋅ 2 > 3‬ומהשוואת ‪ VMPb = 3 ⋅ 2 > 4 = pb‬נקבל‬ ‫‪100‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪ , a* = 0 b* = 100 / 3‬ולכן ‪ , X * = 100‬ולכן‬ ‫= ‪⋅4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪. Π = 100 ⋅ 2 − 0 ⋅ 3 −‬‬ ‫‪200 80‬‬ ‫=‬ ‫מכאן‪ ,‬תוחלת התפוקה ‪ , E ( X * ) = 0.6 ⋅ 0 + 0.4 ⋅100 = 40‬ותוחלת הרווח‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⋅ ‪. E ( Π ) = 0.6 ⋅ 0 + 0.4‬‬ ‫ב‪ .‬הנח כי פונקציית הייצור אינה ודאית‪ ,‬ובהסתברות ‪ 0.4‬תהיה ) ‪ f ( a, b ) = min ( a,3 b‬או בהסתברות ‪ 0.6‬תהיה‬ ‫) ‪ . f ( a, b ) = min ( 3a, b‬הנח כי היצרן מוגבל בייצור של עד ‪ 300‬יחידות מוצר בכל מקרה‪ .‬הנח כי וקטור המחירים‬ ‫הוא‪ . ( px , pa , pb ) = (6, 6, 1) :‬חשבו את תוחלת הרווח‪ ,‬ותוחלת התפוקה האופטימאליים של היצרן‪ ,‬בהנחה שהיצרן‬ ‫מתעניין בתוחלת הרווח המירבית ויודע את פונקציית הייצור בעת קניית גורמי הייצור‪.‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫כאשר פונקציית הייצור ) ‪ , f ( a, b ) = min ( a,3 b‬מהשוואת ‪ a = 3 b‬נקבל כי הדרך האפקטיבית לייצר כל יחידת‬ ‫מוצר היא שילוב של יחידת ‪ a‬עם שליש יחידת ‪ ,b‬ועלות היצור של יחידה הינה ‪ .6.33‬מכאן הייצור לא כדאי‪.‬‬ ‫כאשר פונקציית הייצור ) ‪ , f ( a, b ) = min ( 3a, b‬מהשוואת ‪ 3a = b‬נקבל כי הדרך האפקטיבית לייצר כל יחידת מוצר‬ ‫היא שילוב של שליש יחידת ‪ a‬עם יחידת ‪ ,b‬ועלות היצור של יחידה הינה ‪ .3‬מכאן הייצור כדאי‪ .‬נקבל‬ ‫‪ , a* = 100 b* = 300‬ולכן ‪ , X * = 300‬ולכן ‪. Π = 300 ⋅ 6 − 100 ⋅ 6 − 300 ⋅1 = 900‬‬ ‫מכאן‪ ,‬תוחלת התפוקה ‪ , E ( X * ) = 0.4 ⋅ 0 + 0.6 ⋅ 300 = 180‬ותוחלת הרווח ‪. E ( Π ) = 0.4 ⋅ 0 + 0.6 ⋅ 900 = 540‬‬ ‫שאלה ‪ 15) 6‬נק'(‪:‬‬ ‫הנח כי קבוצת מצבי הטבע הינה }‪. Ω = {a, b, c, d , e, f , g , h‬‬ ‫נתונים שלושה פרטים עם מבני האינפורמציה )חלוקות( הבאים‪:‬‬ ‫}‪P1 = {a, c} , {d , f , g} , {b, e, h‬‬ ‫}‪P2 = {a, b, c, d } , {e, f , g , h‬‬ ‫}‪P3 = {a, b} , {d , e} , { g} , {c, f , h‬‬ ‫‪ .6.1‬נתון המאורע } ‪ . E = {a, b, c, d , f‬מכאן‪,‬‬ ‫א‪ .‬במצב טבע ‪ a‬פרט ‪ 1‬יודע שפרט ‪ 2‬יודע ש‪ E-‬קרה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬במצב טבע ‪ b‬פרט ‪ 3‬יודע שפרט ‪ 2‬יודע ש‪ E-‬קרה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬במצב טבע ‪ d‬פרט ‪ 2‬יודע שפרט ‪ 3‬יודע ש‪ E-‬קרה‪.‬‬ ‫ד‪ .‬אין תשובה נכונה או שיותר מתשובה אחת מהנ"ל נכונה‪.‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫נבנה את קבוצת המצבים בהם כל פרט יודע כי ‪ E‬קרה‪:‬‬ ‫}‪K1 ( E ) = {a, c‬‬ ‫} ‪K 2 ( E ) = {a, b, c, d‬‬ ‫}‪K 3 ( E ) = {a, b‬‬ ‫נבנה את קבוצת המצבים בהם כל פרט יודע כי פרט אחר יודע כי ‪ E‬קרה‪:‬‬ ‫}‪K1 ( K 2 ( E ) ) = K1 ({a, b, c, d } ) = {a, c‬‬ ‫‪K 2 ( K 3 ( E ) ) = K 2 ({a, b} ) = Φ‬‬ ‫}‪K 3 ( K 2 ( E ) ) = K 3 ({a, b, c, d } ) = {a, b‬‬ ‫‪ .6.2‬נתון המאורע }‪ . E = {a, c, d , e, f , g‬מכאן‪,‬‬ ‫א‪ .‬במצב טבע ‪ a‬פרט ‪ 1‬יודע שפרט ‪ 3‬יודע ש‪ E-‬קרה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬במצב טבע ‪ d‬פרט ‪ 3‬יודע שפרט ‪ 1‬יודע ש‪ E-‬קרה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬במצב טבע ‪ c‬פרט ‪ 2‬יודע שפרט ‪ 3‬יודע ש‪ E-‬קרה‪.‬‬ ‫ד‪ .‬אין תשובה נכונה או שיותר מתשובה אחת מהנ"ל נכונה‪.‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫נבנה את קבוצת המצבים בהם כל פרט יודע כי ‪ E‬קרה‪:‬‬ ‫}‪K1 ( E ) = {a, c, d , f , g‬‬ ‫‪K2 ( E ) = Φ‬‬ ‫}‪K 3 ( E ) = {d , e, g‬‬ ‫נבנה את קבוצת המצבים בהם כל פרט יודע כי פרט אחר יודע כי ‪ E‬קרה‪:‬‬ ‫‪K1 ( K 3 ( E ) ) = K1 ({d , e, g} ) = Φ‬‬ ‫‪K 2 ( K 3 ( E ) ) = K 2 ({d , e, g} ) = Φ‬‬ ‫}‪K 3 ( K1 ( E ) ) = K 3 ({a, c, d , f , g} ) = { g‬‬ ‫‪.6.3‬‬ ‫א‪ .‬קיים מאורע לא ריק שונה מ‪ Ω -‬המהווה ידיעה משותפת במצב טבע מסוים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ E‬מאורע שבנוי מקבוצת ידיעה אחת של פרט ‪ ,1‬פרט ‪ 3‬לא ידע בשום מצב טבע שפרט ‪ 1‬יודע ש‪ E-‬קרה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬אם ‪ E‬מאורע שבנוי מקבוצת ידיעה אחת של פרט ‪ ,2‬פרט ‪ 3‬לא ידע בשום מצב טבע שפרט ‪ 2‬יודע ש‪ E-‬קרה‪.‬‬ ‫ד‪ .‬אין תשובה נכונה או שיותר מתשובה אחת מהנ"ל נכונה‪.‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫א‪ .‬לא נכון כי כל מאורע לא ריק שונה מ‪ Ω -‬נחתך עם קבוצת ידיעה של אחד הפרטים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬לא נכון – אם ניקח את המאורע }‪ , {d , f , g‬אז במצב ‪ g‬ידע פרט ‪ 3‬שפרט ‪ 1‬יודע ש‪ E-‬קרה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬לא נכון – אם ניקח את המאורע } ‪ , {a, b, c, d‬אז במצב ‪ b‬ידע פרט ‪ 3‬שפרט ‪ 2‬יודע ש‪ E-‬קרה‪.‬‬ ‫}‪P1 = {a, c} , {d , f , g} , {b, e, h‬‬ ‫}‪P2 = {a, b, c, d } , {e, f , g , h‬‬ ‫}‪P3 = {a, b} , {d , e} , { g} , {c, f , h‬‬