‫עיבוד אותות אקראיים ‪ – 89113‬אביב תשע"ב‬ ‫פתרון תרגיל בית ‪2‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫תהליך אקראי בזמן בדיד )‪ x(n‬מיוצר לפי המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫כאשר )‪ w(n‬הוא תהליך רעש לבן עם שונות‬ ‫)‪ v(n‬ל‪ x(n)-‬לפי‪:‬‬ ‫‪ .‬תהליך אקראי אחר )‪ z(n‬מיוצר ע"י הוספת רעש‬ ‫כאשר )‪ v(n‬הוא רעש לבן עם שונות‬ ‫וחסר קורלציה עם )‪.w(n‬‬ ‫א‪ .‬מצא את צפיפות ההספק הספקטרלית של )‪.x(n‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את צפיפות ההספק הספקטרלית של )‪.z(n‬‬ ‫פתרון‬ ‫עיבוד אותות אקראיים ‪ – 89113‬אביב תשע"ב‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫עיבוד אותות אקראיים ‪ – 89113‬אביב תשע"ב‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫עיבוד אותות אקראיים ‪ – 89113‬אביב תשע"ב‬ ‫שאלה ‪:8‬‬ ‫נתונה מערכת לינארית קבועה בזמן עם פונקציית התמסורת‬ ‫‪.‬‬ ‫למערכת מכניסים תהליך אקראי )‪ x(n‬עם תוחלת ‪ 0‬ופונקציית אוטוקורלציה אקספוננציאלית‪:‬‬ ‫‪ .‬נסמן את מוצא המערכת בתור )‪:y(n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את צפיפות ההספק הספקטרלית ) ‪ Py ( z‬של )‪( y(n‬במישור ‪.)z‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את פונקציית האוטוקורלציה ) ‪ ry (k‬של )‪.y(n‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את פונקציית הקרוסקורלצייה ‪ rxy (k )  E  x(n) y(n  k )‬של שתי התהליכים האקראיים‬ ‫בכניסה וביציאה של המערכת‪.‬‬ ‫ד‪ .‬מצא את צפיפות ההספק הספקטרלית ) ‪ , Pxy ( z‬שהיא התמרת ‪ z‬של פונקציית האוטוקורלציה‬ ‫) ‪. rxy (k‬‬ ‫רמז‪ :‬התמרת ‪ z‬של )‪ h(n‬היא ‪. H  z 1 ‬‬ ‫ – אביב תשע"ב‬89113 ‫עיבוד אותות אקראיים‬ :‫פתרון‬ :‫זאת על סמך הקשר‬  k k k  0 1 1 1 Px ( z )     z  k     z  k     z  k  1 k   2  k 0  2  k   2   k k  1 1 1  1     z 1     z   1   1  1 1 1  k 0  2  k 0  2 1 z 1 z 2 2  1 1   1  1  z  1  z  2  2  1 H z H z    .  1 1   1  1  z  1  z   3  3  3/ 4 .  1 1   1  1  z  1  z   2  2  ‫עיבוד אותות אקראיים ‪ – 89113‬אביב תשע"ב‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫שאלה ‪ :4‬שיערוך אופטימלי‬ ‫עיבוד אותות אקראיים ‪ – 89113‬אביב תשע"ב‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫כעת‪ ,‬אם המאורעות ‪ A‬ו‪ B-‬בלתי תלויים‪ ,‬כך גם ‪ Ac‬ו‪ . B -‬לכן המ"א ‪ B‬ו‪ W-‬הם בת"ס‪ .‬כעת נחשב את‬ ‫המשערך האופטימלי‪ .‬נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫נחשב את שגיאת השיערוך הריבועית הממוצעת‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫נחשב את תוחלת ‪:W‬‬ ‫עיבוד אותות אקראיים ‪ – 89113‬אביב תשע"ב‬ ‫‪.‬‬ ‫המשערך האופטימלי הוא לכן ‪ B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . Xˆ opt ‬נחשב את שגיאת השיערוך הריבועית הממוצעת‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫שאלה ‪ :5‬שיערוך אופטימלי‬ ‫עיבוד אותות אקראיים ‪ – 89113‬אביב תשע"ב‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫עיבוד אותות אקראיים ‪ – 89113‬אביב תשע"ב‬ ‫‪.‬‬ ‫שאלה ‪ :6‬שיערוך אופטימלי‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫א‪.‬‬ ‫עיבוד אותות אקראיים ‪ – 89113‬אביב תשע"ב‬ ‫ב‪ .‬המשערך האופטימלי נתון ע"י‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫השגיאה של המשערך היא‬ ‫ג‪ .‬נתבונן בתוחלת המותנית‬ ‫‪.‬‬ ‫ההסתברות המותנית בביטוי האחרון‪:‬‬ ‫עיבוד אותות אקראיים ‪ – 89113‬אביב תשע"ב‬ ‫‪.‬‬