‫תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה‬ ‫מועד חורף תשע"ב‪ ,‬מיום ‪23/1/2012‬‬ ‫שאלון‪316, 035806 :‬‬ ‫מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן‪.‬‬ ‫שאלה מספר ‪1‬‬ ‫נתון‪ .1 :‬משאית יצאה מעיר ‪ A‬לעיר ‪.B‬‬ ‫‪ .2‬בדיוק אותו רגע יצאה מכונית מעיר ‪ B‬לעיר ‪.A‬‬ ‫‪ .3‬כאשר הגיעה המכונית ל‪ A -‬היא חזרה מיד ל‪ ,B -‬וכאשר היא הגיעה ל‪ B -‬היא מיד שוב‬ ‫יצאה ל‪.A -‬‬ ‫‪ .4‬המכונית פגשה בדרכה את המשאית ‪ 3‬פעמים לפני שהמשאית הגיעה ל‪.B -‬‬ ‫‪ .5‬הפגישה הראשונה הייתה כעבור ‪ 2‬שעות מרגע היציאה של המכונית והמשאית לדרך‪.‬‬ ‫‪ .6‬הפגישה השנייה הייתה כעבור ‪ 4.5‬שעות מרגע היציאה‪.‬‬ ‫‪ .7‬הפגישה השלישית הייתה במרחק ‪ 44‬ק"מ מ‪.B -‬‬ ‫‪ .8‬המהירות של המשאית והמכונית אינן משתנות‪.‬‬ ‫צ"ל‪ :‬מצא את מהירות המשאית‪.‬‬ ‫נסמן‪ :‬א‪ – y .‬מהירות המשאית שיצאה מעיר ‪.A‬‬ ‫ב‪ – x .‬מהירות המכונית שיצאה מעיר ‪.B‬‬ ‫ג‪ – w .‬המרחק מעיר ‪ A‬לעיר ‪.B‬‬ ‫לפי נתון ‪ , 5‬עד המפגש הראשון‪:‬‬ ‫מהירות‬ ‫עד‬ ‫המפגש‬ ‫הראשון‬ ‫דרך‬ ‫זמן‬ ‫משאית‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2y‬‬ ‫מונית‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫לפי הטבלה וסימון ג נבנה את משוואה מספר ‪:I‬‬ ‫לפי נתון ‪ ,6‬עד המפגש השני‪:‬‬ ‫מהירות‬ ‫עד‬ ‫המפגש‬ ‫השני‬ ‫משאית‬ ‫‪y‬‬ ‫מונית‬ ‫‪x‬‬ ‫זמן‬ ‫דרך‬ ‫בניית משוואה מספר ‪:II‬‬ ‫המכונית עברה את כל הדרך מ‪ B -‬ל‪ A -‬ובדרך חזור מ‪ A -‬ל‪ B -‬היא פגשה את המשאית בפעם‬ ‫השנייה כעבור‬ ‫שעות מרגע היציאה‪ ,‬כעת שתיהן נוסעות באותו כיוון לכן‪:‬‬ ‫עד המפגש השלישי‪:‬‬ ‫מהירות‬ ‫עד‬ ‫המפגש‬ ‫השלישי‬ ‫משאית‬ ‫‪y‬‬ ‫מונית‬ ‫‪x‬‬ ‫זמן‬ ‫דרך‬ ‫לפי נתון ‪ 2‬המונית והמשאית יצאו באותו הזמן‪ ,‬לכן הזמנים שעברו המונית והמשאית עד‬ ‫למפגש השלישי שווים זה לזה‪.‬‬ ‫בניית משוואה מספר ‪:III‬‬ ‫תחילה‪ ,‬נבטא את מהירות המונית באמצעות ‪ x‬ו‪:y -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫כעת‪ ,‬נציב את ערך ה‪ x -‬שמצאנו במשוואה מספר ‪:III‬‬ ‫(‬ ‫מ מ)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫לבסוף‪ ,‬נמצא את מהירות המשאית ע"י הצבת‬ ‫ו‪-‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫במשוואה מספר ‪:I‬‬ ‫)‬ ‫מהירות המשאית היא ‪ 44‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫(‬ ‫שאלה מספר ‪2‬‬ ‫א‪ .‬סעיף א' בנושא אינדוקציה‪ ,‬ירד מחומר הלימוד‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪.1 :‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫צ"ל‪ :‬מצא את‬ ‫ב‪ .‬נציב‬ ‫‪.‬‬ ‫בנתון מספר ‪:1‬‬ ‫נציב את הביטוי שמצאנו בנתון ‪:2‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫לפי נתון‬ ‫‪4‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫(‬ ‫לפי נתון ‪2‬‬ ‫‪ ,‬זאת אומרת שכל האיברים במקומות הזוגיים שווים זה לזה‪ .‬וכל‬ ‫האיברים במקומות האי זוגיים שווים זה לזה‪.‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪3‬‬ ‫נתון‪ .1 :‬חברה מייצרת טלפונים ניידים חדשניים עם "מסך תלת ממד"‪.‬‬ ‫‪ .2‬כדי לבדוק את הביקוש לטלפונים אלה‪ ,‬ערכה החברה סקר טלפוני‪.‬‬ ‫‪ .3‬בסקר השתתפו צעירים ומבוגרים‪.‬‬ ‫‪ .4‬חלק מהמשתתפים בסקר הצהירו שלא יקנו את הטלפון החדשני והשאר הצהירו‬ ‫שיקנו אותו‪.‬‬ ‫‪ .5‬נמצא כי ‪ 54%‬מהמבוגרים הצהירו כי יקנו את הטלפון החדשני‪.‬‬ ‫‪ .6‬מבין אלו שהצהירו כי לא יקנו את הטלפון החדשני‪ ,‬היו צעירים‪.‬‬ ‫‪ .7‬מהמשתתפים בסקר היו צעירים שגם טענו כי לא יקנו את הטלפון החדשני‪.‬‬ ‫א‪ .‬עוד נתון‪ .8 :‬בסקר השתתפו ‪ 2,444‬איש‪.‬‬ ‫צ"ל‪ :‬כמה צעירים השתתפו בסקר?‬ ‫ב‪ .‬כמה צעירים‪ ,‬מבין הצעירים שהשתתפו בסקר‪ ,‬הצהירו שקינו את הטלפון החדשני?‬ ‫א‪ .‬נסמן‪ – x :‬מספר המבוגרים שהצהירו כי יקנו את הטלפון החדשני‪.‬‬ ‫‪ – y‬מספר המשתתפים שהצהירו כי לא יקנו את הטלפון החדשני‪.‬‬ ‫נבנה טבלה דו ממדית‪:‬‬ ‫̅(‬ ‫)̅‬ ‫‪ .1‬תא ‪ :5‬לפי נתון ‪7‬‬ ‫‪ .2‬תא ‪ :6‬לפי נתונים ‪ 6,7‬והסימון‪ :‬מספר הצעירים שהצהירו שלא יקנו את הטלפון הוא‬ ‫מספר המבוגרים שהצהירו שלא יקנו את הטלפון הוא‬ ‫‪ .‬לכן‪:‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪.‬‬ ‫)̅(‬ ‫זאת אומרת‪:‬‬ ‫)̅‬ ‫‪ .3‬תא מספר ‪:4‬‬ ‫̅(‬ ‫)̅(‬ ‫)‬ ‫̅(‬ ‫‪ .4‬תא מספר ‪ :1‬לפי נתון ‪ 5‬והסימון‪ :‬מספר המבוגרים שלא יקנו את הטלפון הוא ‪ 0.5x‬ולכן גם‬ ‫מספר המבוגרים שיקנו את הטלפון הוא ‪.0.5x‬‬ ‫)‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪ .7‬תא מספר ‪:2‬‬ ‫‪ .8‬תא מספר ‪:3‬‬ ‫)̅‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)̅‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫)̅‬ ‫̅(‬ ‫)̅ (‬ ‫)̅(‬ ‫)‬ ‫̅(‬ ‫) (‬ ‫‪6‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫מבוגר‬ ‫יקנה את הטלפון‬ ‫לא יקנה את הטלפון‬ ‫̅‬ ‫סה"כ‬ ‫(‬ ‫‪) .2‬‬ ‫צעיר‬ ‫̅‬ ‫̅(‬ ‫‪( ) .3‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪̅ ) .4‬‬ ‫(‬ ‫‪̅ ) .5‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫̅(‬ ‫‪( ̅ ) .6‬‬ ‫‪) .1‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫סה"כ‬ ‫‪0.7‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪( ̅ ) .8‬‬ ‫‪( ) .7‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫א‪ .‬בעזרת נתון ‪ ,8‬נחשב כמה תלמידים השתתפו בסקר‪:‬‬ ‫)̅ (‬ ‫‪ 1,644‬צעירים השתתפו בסקר‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נחשב כמה צעירים מבין הצעירים שהשתתפו בסקר‪ ,‬הצהירו שיקנו את הטלפון החדשני‪:‬‬ ‫תחילה נחשב את הסתברות זו‪:‬‬ ‫)̅‬ ‫)̅ (‬ ‫(‬ ‫)̅‬ ‫(‬ ‫כעת‪ ,‬נכפיל את מספר הצעירים המשתתפים בסקר בהסתברות שמצאנו‪:‬‬ ‫‪ 1,244‬צעירים שהשתתפו בסקר הצהירו שיקנו את הטלפון החדשני‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪4‬‬ ‫נתון‪.1 :‬‬ ‫הוכח‪ :‬א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫נימוק‬ ‫טענה‬ ‫‪1‬‬ ‫נתון ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הרחבה א' של משפט תאלס במשולש ‪ABN‬‬ ‫(טענה ‪.)1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הרחבה א' של משפט תאלס במשולש ‪ANC‬‬ ‫(טענה ‪.)1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫כלל המעבר (טענות ‪ 2‬ו‪.)3-‬‬ ‫מש"ל א'‬ ‫‪5‬‬ ‫הרחבה ב' של משפט תאלס (נתון ‪.)1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫הרחבה ב' של משפט תאלס (נתון ‪.)1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫כלל המעבר (טענות ‪ 5‬ו‪.)6-‬‬ ‫מש"ל ב'‬ ‫‪8‬‬ ‫כפל באלכסון (טענה ‪.)7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫כפל באלכסון (טענה ‪.)4‬‬ ‫‪14‬‬ ‫פעולת חילוק (טענות ‪ 8‬ו‪.)9-‬‬ ‫‪11‬‬ ‫כפל באלכסון (טענה ‪.)14‬‬ ‫√‬ ‫הצבה (לפי טענות ‪ 9‬ו‪)11-‬‬ ‫‪12‬‬ ‫צמצום‬ ‫טענות (‪ 11‬ו‪.)12-‬‬ ‫‪13‬‬ ‫מש"ל ג'‬ ‫‪8‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪5‬‬ ‫נתון‪ BA .1 :‬קוטר במעגל שמרכזו ‪.O‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ LF .3‬משיק למעגל בנקודה ‪.O‬‬ ‫צ"ל‪ :‬א‪.‬‬ ‫ב‪ .‬עוד נתון‪.4 :‬‬ ‫סמ‬ ‫‪.5‬‬ ‫סמ‬ ‫צ"ל‪ :‬מצא את אורך הקטע ‪.AF‬‬ ‫טענה‬ ‫‪1‬‬ ‫נימוק‬ ‫סימון‬ ‫∢‬ ‫‪2‬‬ ‫∢‬ ‫‪3‬‬ ‫זווית הכלואה בין משיק למיתר שווה‬ ‫לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה‬ ‫מצדו השני (נתון ‪.)3‬‬ ‫∢‬ ‫זווית היקפית הנשענת על קוטר ישרה‬ ‫(נתון ‪.)1‬‬ ‫∢‬ ‫‪4‬‬ ‫∢‬ ‫)‬ ‫∢(‬ ‫)‬ ‫∢‬ ‫∢‬ ‫(‬ ‫משלימה סכום זוויות במשולש ‪ABP‬‬ ‫ל‪( 481° -‬נתונים ‪ 1‬ו‪.)3-‬‬ ‫∢‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫(נתון ‪.)2‬‬ ‫∢‬ ‫)‬ ‫∢‬ ‫∢(‬ ‫)‬ ‫∢‬ ‫∢‬ ‫(‬ ‫משלימה סכום זוויות במשולש ‪MDO‬‬ ‫ל‪.481° -‬‬ ‫∢‬ ‫‪7‬‬ ‫∢‬ ‫∢‬ ‫זוויות קודקודיות שוות‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫∢‬ ‫∢‬ ‫כלל המעבר (טענות ‪ 1‬ו‪.)7-‬‬ ‫‪9‬‬ ‫משולש שווה שוקיים‬ ‫‪14‬‬ ‫‪11‬‬ ‫אם במשולש שתי זוויות שוות זו לזו‪ ,‬אז‬ ‫הוא משולש שווה שוקיים‪ ,‬והצלעות‬ ‫שמול הזוויות נקראות שוקיים (טענה ‪.)8‬‬ ‫במשולש שווה שוקיים‪ ,‬השוקיים שוות זו‬ ‫לזו (טענה ‪.)9‬‬ ‫∢‬ ‫∢‬ ‫∢‬ ‫זוויות צמודות משלימות ל‪-‬‬ ‫חישוב (טענה ‪.)3‬‬ ‫∢‬ ‫‪9‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫‪12‬‬ ‫∢‬ ‫∢‬ ‫הפרש זוויות (טענות ‪ 2‬ו‪.)4 -‬‬ ‫∢‬ ‫∢‬ ‫‪13‬‬ ‫∢‬ ‫)‬ ‫∢(‬ ‫)‬ ‫∢‬ ‫(‬ ‫סכום זוויות במשולש ‪ MDC‬הוא‬ ‫∢‬ ‫∢‬ ‫‪14‬‬ ‫∢‬ ‫‪15‬‬ ‫משולש שווה שוקיים‬ ‫כלל המעבר (טענות ‪ 12‬ו‪.)13-‬‬ ‫∢‬ ‫אם במשולש שתי זוויות שוות זו לזו‪ ,‬אז‬ ‫הוא משולש שווה שוקיים‪ ,‬והצלעות‬ ‫שמול הזוויות נקראות שוקיים (טענה ‪.)14‬‬ ‫‪16‬‬ ‫במשולש שווה שוקיים‪ ,‬השוקיים שוות זו‬ ‫לזו (טענה ‪.)15‬‬ ‫‪17‬‬ ‫כלל המעבר (טענה ‪.)14‬‬ ‫מש"ל א'‬ ‫‪18‬‬ ‫משולש ‪ BPA‬ישר זווית‬ ‫‪19‬‬ ‫סמ‬ ‫‪24‬‬ ‫אם במשולש זווית אחת בת‬ ‫המשולש שווה שוקיים (טענה ‪.)3‬‬ ‫אז‬ ‫קוטר במעגל שווה באורכו לשני רדיוסים‬ ‫(נתונים ‪ 1‬ו‪.)5-‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫משפט פיתגורס במשולש ‪( BPA‬טענות ‪18‬‬ ‫ו‪ 19 -‬ונתון ‪.)4‬‬ ‫(‬ ‫סמ‬ ‫‪21‬‬ ‫)‬ ‫פונקציית הקוסינוסים ב‪-‬‬ ‫‪ 19‬ו‪.)24-‬‬ ‫∢(‬ ‫(טענות‬ ‫∢‬ ‫‪22‬‬ ‫∢‬ ‫∢‬ ‫זוויות צמודות משלימות ל‪-‬‬ ‫(טענה ‪.)21‬‬ ‫∢‬ ‫‪ ,‬הצבה‬ ‫∢‬ ‫‪23‬‬ ‫)‬ ‫∢‬ ‫∢‬ ‫(‬ ‫זוויות צמודות משלימות ל‪-‬‬ ‫(טענה ‪.)21‬‬ ‫∢‬ ‫‪ ,‬הצבה‬ ‫∢‬ ‫‪24‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫∢‬ ‫∢‬ ‫∢(‬ ‫(‬ ‫∢‬ ‫זוויות צמודות משלימות ל‪-‬‬ ‫(טענות ‪ 23‬ו‪.)24-‬‬ ‫‪ ,‬הצבה‬ ‫‪10‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫∢‬ ‫‪25‬‬ ‫משפט הסינוסים במשולש ‪.PAF‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫∢(‬ ‫∢(‬ ‫הצבת הנתונים (טענות ‪ 24,23‬ו‪.)24-‬‬ ‫‪26‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫ס מ‬ ‫משל ב'‬ ‫‪11‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪6‬‬ ‫ישר זווית‪.‬‬ ‫נתון‪.1 :‬‬ ‫∢ ו‪-‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫∢‪.‬‬ ‫∢‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪ .4‬רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ AFC‬הוא ‪.R‬‬ ‫‪ .5‬רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ AKB‬הוא ‪.r‬‬ ‫צ"ל‪ :‬א‪ )1( .‬הבע באמצעות‬ ‫(‪ )2‬הבע באמצעות‬ ‫ו‪ β -‬את היחס‬ ‫‪.‬‬ ‫ו‪ β -‬את היחס ‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬ו‪ r -‬בלבד את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.AKF‬‬ ‫נימוק‬ ‫טענה‬ ‫∢‬ ‫‪1‬‬ ‫∢‬ ‫‪2‬‬ ‫∢‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‬ ‫חיבור זוויות (טענה ‪.)1‬‬ ‫פונקציית הקוסינוסים במשולש‬ ‫) ∢(‬ ‫)‬ ‫)‪ 1‬נתון(‬ ‫(‬ ‫‪.‬‬ ‫הצבה ‪ +‬חישוב (טענות ‪ 2‬ו‪.)3-‬‬ ‫(‬ ‫‪5‬‬ ‫)‬ ‫‪6‬‬ ‫∢(‬ ‫) (‬ ‫פונקציית הקוסינוסים במשולש ‪.AKD‬‬ ‫הצבה ‪ +‬חישוב (טענה ‪ ,5‬נתון ‪.)1‬‬ ‫) (‬ ‫‪7‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫חישוב יחסים (טענות ‪ 6‬ו‪.)4-‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫מש"ל א'‬ ‫‪12‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫‪8‬‬ ‫אם זווית היקפית הנשענת על מיתר בת ‪,49°‬‬ ‫אז המיתר עליו היא נשענת הוא קוטר‬ ‫(נתון ‪.)3‬‬ ‫‪ AC‬קוטר במעגל‬ ‫קוטר במעגל שווה באורכו לשני רדיוסים‬ ‫(טענה ‪.)9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪14‬‬ ‫פונקציית הקוסינוסים במשולש ‪.AFC‬‬ ‫) ∢(‬ ‫‪11‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫הצבת הנתונים ‪ +‬חישוב (טענות ‪ 2,8,9‬ו‪.)14-‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫‪ AB 12‬קוטר במעגל‬ ‫אם זווית היקפית הנשענת על מיתר בת ‪,49°‬‬ ‫אז המיתר עליו היא נשענת הוא קוטר‬ ‫(נתון ‪.)3‬‬ ‫‪13‬‬ ‫קוטר במעגל שווה באורכו לשני רדיוסים‬ ‫(טענה ‪.)12‬‬ ‫‪14‬‬ ‫פונקציית הקוסינוסים במשולש ‪.AKB‬‬ ‫‪15‬‬ ‫הצבת נתונים ‪ +‬חישוב (טענות ‪ 13‬ו‪.)14-‬‬ ‫‪16‬‬ ‫)‬ ‫פונקציית הקוסינוסים במשולש ‪.AKB‬‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫‪17‬‬ ‫)‬ ‫הצבה ‪ +‬חישוב (טענות ‪.)7,16‬‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫מש"ל ב'‬ ‫‪ 18‬רדיוס המעגל ‪ AFK‬שווה‬ ‫‪19‬‬ ‫(‬ ‫))‬ ‫)‬ ‫סימון‬ ‫∢‬ ‫(‬ ‫∢‬ ‫(‬ ‫‪24‬‬ ‫משלימה סכום זוויות במשולש ‪ AFD‬ל‪184° -‬‬ ‫(טענה ‪ ,2‬נתון ‪.)3‬‬ ‫משפט הסינוסים במשולש ‪.AFK‬‬ ‫))‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫‪13‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫∢(‬ ‫‪21‬‬ ‫‪22‬‬ ‫פונקציית הקוסינוסים במשולש ‪.AKB‬‬ ‫הצבת נתונים ‪ +‬חישוב (טענות ‪ 1,13‬ו‪.)21-‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫‪23‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪24‬‬ ‫הצבה (טענות ‪ 24‬ו‪.)22-‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫הורדת שורש לביטוי שמצאנו במש"ל ב'‬ ‫(טענה ‪)17‬‬ ‫√‬ ‫(‬ ‫הצבת הביטוי שבטענה ‪ 24‬בביטוי שבטענה ‪25‬‬ ‫(טענות ‪)24,25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√ √‬ ‫מש"ל ב'‬ ‫‪14‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪7‬‬ ‫) (‬ ‫√‬ ‫א‪ )1( .‬מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪:‬‬ ‫)(‬ ‫√‬ ‫)(‬ ‫תחום ההגדרה הוא‬ ‫וגם‬ ‫√‬ ‫‪.‬‬ ‫(‪ )2‬מציאת אסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪:‬‬ ‫אסימפטוטה אנכית‪:‬‬ ‫(כאשר מציבים‬ ‫במונה הוא אינו מתאפס)‪.‬‬ ‫אסימפטוטה אופקית‪ :‬אין אסימפטוטה אופקית מכיוון שהחזקה במונה גובה יותר מהחזקה‬ ‫במכנה ‪/‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫אסימפטוטה המקבילה לצירים‪:‬‬ ‫(‪ )3‬מציאת נקודות חיתוך עם הצירים‪:‬‬ ‫נקודת חיתוך עם ציר ה‪,x -‬‬ ‫‪:‬‬ ‫נקודת חיתוך עם ציר ה‪,y -‬‬ ‫‪:‬‬ ‫√‬ ‫ממ‬ ‫√‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫√‬ ‫)‬ ‫נקודת חיתוך עם הצירים‪) :‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫(‪.‬‬ ‫(‪ )4‬מציאת שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה‪:‬‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫)‬ ‫√(‬ ‫√(‬ ‫‪15‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫√(‬ ‫√(‬ ‫)‬ ‫√(‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫)‬ ‫√(‬ ‫)‬ ‫√(‬ ‫√(‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√(‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√(‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫)(‬ ‫√‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫√‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫( )‬ ‫‪0‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫'‪y‬‬ ‫‪min‬‬ ‫‪y‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫‪16‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‪)5‬‬ ‫ב‪ )1(.‬לפי השרטוט בתת סעיף א' (‪ )5‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ( בתחום‬ ‫) ( בתחום‬ ‫(‪ )2‬לפי הטבלה שהצגנו בתת סעיף א' (‪ )4‬מתקיים‪:‬‬ ‫) (‬ ‫בתחום‬ ‫) ( בתחום‬ ‫או‬ ‫נתבונן בטבלת היעזר הבאה המסכמת את (‪ )1‬ו‪:)2( -‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫נסכם על סמך הטבלה‪:‬‬ ‫) (‬ ‫בתחום‬ ‫ולכן )‪ g(x‬יורדת בתחום‬ ‫‪.‬‬ ‫‪17‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪8‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫√‬ ‫) ( ‪ ,‬תחום‪:‬‬ ‫צ"ל‪ :‬א‪)1( .‬‬ ‫) (‪.‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫) (‪.‬‬ ‫‪>.‬‬ ‫א‪ .‬נשים לב כי המכנה חיובי לכל ‪ ,x‬ולכן נבדוק מתי המכנה יהיה חיובי‪,‬‬ ‫כדי שהפונקציה תהיה חיובית‪:‬‬ ‫) (‬ ‫√‬ ‫)‬ ‫נבדוק מתי‬ ‫(‬ ‫‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫'‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫) (‬ ‫)‬ ‫(‪ )1‬תחום חיוביות‪:‬‬ ‫) ( כאשר‬ ‫(‪ )2‬תחום שליליות‪:‬‬ ‫) ( כאשר‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מציאת ערך האינטגרל‪:π‬‬ ‫)‬ ‫()‬ ‫(∫‬ ‫√‬ ‫∫‬ ‫) ( ∫‬ ‫‪18‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫נשים לב כי‬ ‫(‪:‬‬ ‫‪7π‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫√‬ ‫)‬ ‫]‬ ‫(‬ ‫[‬ ‫𝜋‬ ‫)‬ ‫ג‪ .‬נתון‪ :‬יח ר‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪/‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫)‬ ‫‪.‬‬ ‫(‬ ‫√‬ ‫השטח המוגבל בין הפונקציה לציר ה‪ x -‬ובתחום הנתון‪.‬‬ ‫צ"ל‪:‬‬ ‫הפונקציה חותכת את ציר ה‪ x -‬ומשנה סימן‪.‬‬ ‫בסעיף א' מצאנו כי כאשר‬ ‫הפונקציה מתחת לציר ה‪( x -‬שלילית) בתחום‬ ‫בתחום‬ ‫הפונקציה מעל‬ ‫ציר ה‪( x -‬חיובית)‪.‬‬ ‫נחלק את שטח הנתון ל‪:2 -‬‬ ‫‪π‬‬ ‫𝜋‬ ‫]‬ ‫√‬ ‫[‬ ‫)‬ ‫‪/‬‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫∫‬ ‫√‬ ‫‪.‬‬ ‫∫‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫(‬ ‫‪7π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫√‬ ‫‪0‬‬ ‫) ( ∫‬ ‫‪π‬‬ ‫)‬ ‫עפ"י הנתון יח ר‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫יח ר‬ ‫‪19‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫√‬ ‫(‬ ‫שאלה מספר ‪9‬‬ ‫נתון‪ CD .1 :‬היא קוטר במעגל שרדיוסו ‪.R‬‬ ‫‪ AB .2‬הוא מיתר במעגל המאונך לקוטר ‪.CD‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫צ"ל‪ :‬הבע באמצעות ‪ R‬את השטח המקסימלי של המשולש ‪.ABC‬‬ ‫טענה‬ ‫‪1‬‬ ‫נימוק‬ ‫סימון‪.‬‬ ‫נקודת מרכז המעגל‬ ‫‪2‬‬ ‫רדיוסים במעגל שווים זה לזה (טענה ‪ ,1‬נתון ‪.)1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(נתון ‪.)2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה אותו‬ ‫(טענה ‪.)3‬‬ ‫∢‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫∢‬ ‫סימון‪.‬‬ ‫∢‬ ‫אם מיתרים במעגל שווים זה לזה אז הזווית‬ ‫ההיקפיות הנשענות עליהם שוות זו לזו‬ ‫(טענות ‪ 2‬ו‪.)4-‬‬ ‫‪7‬‬ ‫קוטר במעגל שווה באורכו לשני רדיוסים‬ ‫(טענה ‪)2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫שימוש בפונקציית הקוסינוסים במשולש ‪ACD‬‬ ‫‪ +‬הצבה (טענות ‪ 6‬ו‪.)7-‬‬ ‫‪9‬‬ ‫שימוש בפונקציית הקוסינוסים במשולש ‪ACE‬‬ ‫‪+‬הצבה (טענות ‪ 6‬ו‪.)9-‬‬ ‫‪20‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫‪14‬‬ ‫פונקציית הסינוסים במשולש ‪ + ACE‬הצבה‬ ‫(טענות ‪ 6‬ו‪.)8-‬‬ ‫) (‬ ‫שימוש בזהות‪( ) :‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫סימון (טענה ‪.)4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫)‬ ‫‪12‬‬ ‫(‬ ‫הצבה ‪ +‬חישוב (טענות ‪ 14‬ו‪.)11-‬‬ ‫‪13‬‬ ‫חישוב שטח המשולש ‪( ABC‬טענות ‪ 9‬ו‪.)12-‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫פונקציית המטרה‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪)+‬‬ ‫*‬ ‫) (‬ ‫מכיוון ש‪ α -‬היא זווית חדה במשולש ישר הזווית ‪ ,ACE‬תחום ההגדרה של הפונקציה‬ ‫שבנינו הוא‬ ‫‪.‬‬ ‫נגזור את הפונקציה ע"י נגזרת המכפלה‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪,‬‬ ‫‬‫נשתמש בזהות‪:‬‬ ‫(‪( ) ,‬‬ ‫‬‫נשתמש בזהות‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‬‫√‬ ‫) (‬ ‫‪21‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫√‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫מציאת סוג נקודת הקיצון‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫'‪y‬‬ ‫‪max‬‬ ‫‪y‬‬ ‫))‬ ‫(‬ ‫()‬ ‫(‬ ‫‪22‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫‪. /‬‬ ‫))‬ ‫()‬ ‫(‬ ‫‪. /‬‬ ‫(‬ ‫מציאת השטח המקסימלי‪:‬‬ ‫נציב‬ ‫בפונקציה‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪23‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬