805-פתרונות מלאים - אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי

‫תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה‬
‫מועד קיץ תשע"א‪ ,‬מיום ‪23/5/2011‬‬
‫שאלון‪635865 :‬‬
‫מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן‪.‬‬
‫שאלה מספר ‪1‬‬
‫נתון‪ .1 :‬הסכום של סדרה הנדסית אין סופית יורדת גדול פי ‪ 4‬מסכום איברי הסדרה‬
‫הנמצאים במקומות הזוגיים‪.‬‬
‫צ"ל‪ :‬א‪ .‬מצא את מנת הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא פי כמה גדול הסכום של הסדרה הנתונה מסכום איברי הסדרה הנמצאים‬
‫במקומות האי זוגיים‪.‬‬
‫א‪ .‬מנתון ‪ 1‬נובע כי‪:‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a1 2‬‬
‫•‪=4‬‬
‫‪1−q‬‬
‫‪1 − q2‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a1 q‬‬
‫•‪=4‬‬
‫‪/÷ a1‬‬
‫‪1−q‬‬
‫‪1 − q2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4q‬‬
‫=‬
‫מ"מ)‪/(1 − q)(1 + q‬‬
‫)‪1 − q (1 − q)(1 + q‬‬
‫‪1(1 + q) = 4q‬‬
‫‪1 + q = 4q‬‬
‫‪3q = 1 /÷ 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪q‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a1 (1 − q)(1 + q) 1 + q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−a‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪=1+ =1‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a1‬‬
‫)‪a1 (1 − q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(1 − q)(1 + q‬‬
‫) ‪(1 − q2‬‬
‫‪S‬‬
‫אי זוגיים‪S‬‬
‫‪1‬‬
‫פי ‪1 3‬‬
‫‪1‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬
‫שאלה מספר ‪0‬‬
‫נתון‪.1 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2x−a‬‬
‫= )‪.f(x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.x ≠ .2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .3‬העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪.x = 1‬‬
‫‪ .4‬העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪.x = 0‬‬
‫‪ .5‬המשיקים מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫צ"ל‪ :‬א‪ .‬מצא את הערך של ‪.a‬‬
‫ב‪ .‬הצב את הערך של ‪ a‬שמצאת‪ .‬וחשב את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה )‪,f(x‬‬
‫על ידי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ ,x = 1‬על ידי ציר ה – ‪x‬‬
‫ועל ידי הישר ‪.x = 3‬‬
‫א‪ .‬מנתונים ‪ 3-5‬נובע כי שיפועי שני המשיקים שווים זה לזה‪ ,‬ולכן )‪:f′(1) = f′(0‬‬
‫נגזור את הפונקציה )‪:f(x‬‬
‫‪0 • (2x − a) − 1 • 2‬‬
‫‪(2x − a)2‬‬
‫= )‪f ′ (x‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪(2x − a)2‬‬
‫= )‪f ′ (x‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(2 • 0 − a‬‬
‫‪a‬‬
‫= )‪f ′ (0‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−2‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫)‪(2 • 1 − a‬‬
‫‪(2 − a)2‬‬
‫= )‪f ( 1‬‬
‫מכיוון ש ‪ f′(1) = f′(0) -‬נשווה ביניהם‪:‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−2‬‬
‫=‬
‫מ"מ ‪/a2 (2 − a)2‬‬
‫‪(2 − a)2‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪−2a2 = −2(2 − a)2 /÷ −2‬‬
‫‪a2 = 4 − 4a + a2‬‬
‫‪0 = 4 − 4a‬‬
‫‪4a = 4 /÷ 4‬‬
‫‪a=1‬‬
‫‪0‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2x−1‬‬
‫= )‪f(x‬‬
‫נחלק את ‪ S‬השטח המבוקש ל – ‪ 2‬שטחים כך שהאנך לציר ה – ‪ x‬היוצא מנקודת‬
‫החיתוך של המשיק עם ציר ה – ‪ x‬מחלק את ‪ 2‬שטחים אלו‪.‬‬
‫נמצא את משוואת המשיק בנקודה ‪:x = 1‬‬
‫נמצא את שיפוע המשיק‪:‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪= −2‬‬
‫‪(2 − 1)2‬‬
‫= )‪f ′ (1‬‬
‫נמצא את שיעור ה – ‪ y‬של נקודת ההשקה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪2•1−1‬‬
‫= )‪f ( 1‬‬
‫נקודת ההשקה היא‪.(1,1) :‬‬
‫נמצא את משוואת המשיק בעזרת הנקודה )‪ (1,1‬והשיפוע ‪:−2‬‬
‫)‪y − 1 = −2(x − 1‬‬
‫‪y = −2x + 3‬‬
‫נמצא את שיעורי נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה – ‪ ,x‬נציב ‪:y = 0‬‬
‫‪0 = −2x + 3‬‬
‫‪2x = 3 /÷ 2‬‬
‫‪x = 1.5‬‬
‫‪3‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬
‫‪ ← S1‬השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה והמשיק ‪:y = −2x + 3‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫∫ = ‪) − (−2x + 3) dx‬‬
‫( ∫ = ‪S1‬‬
‫= ‪+ 2x − 3 dx‬‬
‫‪2x − 1‬‬
‫‪2x − 1‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪ln|2x − 1| 2x 2‬‬
‫[‬
‫‪+‬‬
‫= ‪− 3x] 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ln|2 • 1.5 − 1| 2 • (1.5)2‬‬
‫‪ln|2 • 1 − 1| 2 • (1)2‬‬
‫(‬
‫‪+‬‬
‫( ‪− 3 • 1.5) −‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪− 3 • 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0.096‬יח"ר = ‪S1‬‬
‫‪ ← S2‬השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה וציר ה – ‪:x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ln|2x − 1| 3‬‬
‫|‪ln|2 • 3 − 1‬‬
‫|‪ln|2 • 3 − 1‬‬
‫( ∫ = ‪S2‬‬
‫[ = ‪) − 0 dx‬‬
‫( = ‪] 0‬‬
‫(‪)−‬‬
‫)‬
‫‪2x − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪ 0.458‬יח"ר = ‪S2‬‬
‫‪ 0.554‬יח"ר = ‪𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 = 0.096 + 0.458‬‬
‫‪0‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬
‫שאלה מספר ‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f(x) = ex + e−x‬‬
‫א‪ .‬מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪:‬‬
‫כל ‪.x‬‬
‫ב‪ .‬מציאת השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקביעת סוגן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ′ (x) = 2xex − 2xe−x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0 = 2xex − 2xe−x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪0 = 2x(ex − e−x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ex − e−x = 0‬‬
‫‪2x = 0‬‬
‫‪ex = e−x‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪x 2 = −x 2‬‬
‫‪2x 2 = 0 /÷ 2‬‬
‫‪x=0‬‬
‫קביעת סוג הקיצון‪:‬‬
‫‪<x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪<x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪f ′ (x‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪min‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ′ (−1) = 2 • (−1)e(−1) − 2 • (−1)e−(−1) = −< 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ′ (1) = 2 • (1)e(1) − 2 • (1)e−(1) = +> 0‬‬
‫נמצא את שיעור ה – ‪ y‬של נקודת הקיצון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f(0) = e0 + e−0 = 2‬‬
‫נקודת הקיצון היא‪.min(0,2) :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬
‫ד‪ .‬נתון‪ :‬ישר שמשוואתו ‪ y = 2.5‬חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות שונות‪.‬‬
‫צריך למצוא מבין שתי הנקודות האלה את השיעורים של הנקודה שבה הפונקציה יורדת‪.‬‬
‫נמצא את שיעורי נקודת החיתוך של הישר ‪ y = 2.5‬עם הפונקציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מ"מ ‪/ex‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.5 = ex − e−x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.5 = ex +‬‬
‫‪− 2.5 = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ex +‬‬
‫‪2‬‬
‫נסמן‪.ex = t :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪− 2.5 = 0 /• t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t+‬‬
‫‪t 2 − 2.5t + 1 = 0‬‬
‫‪2.5 ± √(2.5)2 − 4 • 1 • 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.5 ± 1.5‬‬
‫= ‪t1,2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.5 − 1.5‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪t1‬‬
‫אין פתרון → ‪= 0.5 → ex = 0.5 → x 2 = ln0.5 /√0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.5 + 1.5‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪t2‬‬
‫‪= 2 → ex = 2 → x 2 = ln2 /√0 → x = 0.833 , x = −0.833‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪t1,2‬‬
‫צריך למצוא את השיעורים שבה‬
‫הפונקציה יורדת ← ‪𝑥 < 0‬‬
‫הנקודה היא‪.(−0.833,2.5) :‬‬
‫‪0‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬
‫‪0‬‬
‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬
‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬