‫תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה‬ ‫מועד קיץ תשע"א‪ ,‬מיום ‪23/5/2011‬‬ ‫שאלון‪635865 :‬‬ ‫מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן‪.‬‬ ‫שאלה מספר ‪1‬‬ ‫נתון‪ .1 :‬הסכום של סדרה הנדסית אין סופית יורדת גדול פי ‪ 4‬מסכום איברי הסדרה‬ ‫הנמצאים במקומות הזוגיים‪.‬‬ ‫צ"ל‪ :‬א‪ .‬מצא את מנת הסדרה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא פי כמה גדול הסכום של הסדרה הנתונה מסכום איברי הסדרה הנמצאים‬ ‫במקומות האי זוגיים‪.‬‬ ‫א‪ .‬מנתון ‪ 1‬נובע כי‪:‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪a1 2‬‬ ‫•‪=4‬‬ ‫‪1−q‬‬ ‫‪1 − q2‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪a1 q‬‬ ‫•‪=4‬‬ ‫‪/÷ a1‬‬ ‫‪1−q‬‬ ‫‪1 − q2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4q‬‬ ‫=‬ ‫מ"מ)‪/(1 − q)(1 + q‬‬ ‫)‪1 − q (1 − q)(1 + q‬‬ ‫‪1(1 + q) = 4q‬‬ ‫‪1 + q = 4q‬‬ ‫‪3q = 1 /÷ 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪q‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪a1 (1 − q)(1 + q) 1 + q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−a‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=1+ =1‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫)‪a1 (1 − q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(1 − q)(1 + q‬‬ ‫) ‪(1 − q2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫אי זוגיים‪S‬‬ ‫‪1‬‬ ‫פי ‪1 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪0‬‬ ‫נתון‪.1 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x−a‬‬ ‫= )‪.f(x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪.x ≠ .2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .3‬העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪.x = 1‬‬ ‫‪ .4‬העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪.x = 0‬‬ ‫‪ .5‬המשיקים מקבילים זה לזה‪.‬‬ ‫צ"ל‪ :‬א‪ .‬מצא את הערך של ‪.a‬‬ ‫ב‪ .‬הצב את הערך של ‪ a‬שמצאת‪ .‬וחשב את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה )‪,f(x‬‬ ‫על ידי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ ,x = 1‬על ידי ציר ה – ‪x‬‬ ‫ועל ידי הישר ‪.x = 3‬‬ ‫א‪ .‬מנתונים ‪ 3-5‬נובע כי שיפועי שני המשיקים שווים זה לזה‪ ,‬ולכן )‪:f′(1) = f′(0‬‬ ‫נגזור את הפונקציה )‪:f(x‬‬ ‫‪0 • (2x − a) − 1 • 2‬‬ ‫‪(2x − a)2‬‬ ‫= )‪f ′ (x‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪(2x − a)2‬‬ ‫= )‪f ′ (x‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(2 • 0 − a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫= )‪f ′ (0‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(2 • 1 − a‬‬ ‫‪(2 − a)2‬‬ ‫= )‪f ( 1‬‬ ‫מכיוון ש ‪ f′(1) = f′(0) -‬נשווה ביניהם‪:‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫=‬ ‫מ"מ ‪/a2 (2 − a)2‬‬ ‫‪(2 − a)2‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪−2a2 = −2(2 − a)2 /÷ −2‬‬ ‫‪a2 = 4 − 4a + a2‬‬ ‫‪0 = 4 − 4a‬‬ ‫‪4a = 4 /÷ 4‬‬ ‫‪a=1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x−1‬‬ ‫= )‪f(x‬‬ ‫נחלק את ‪ S‬השטח המבוקש ל – ‪ 2‬שטחים כך שהאנך לציר ה – ‪ x‬היוצא מנקודת‬ ‫החיתוך של המשיק עם ציר ה – ‪ x‬מחלק את ‪ 2‬שטחים אלו‪.‬‬ ‫נמצא את משוואת המשיק בנקודה ‪:x = 1‬‬ ‫נמצא את שיפוע המשיק‪:‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪= −2‬‬ ‫‪(2 − 1)2‬‬ ‫= )‪f ′ (1‬‬ ‫נמצא את שיעור ה – ‪ y‬של נקודת ההשקה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪2•1−1‬‬ ‫= )‪f ( 1‬‬ ‫נקודת ההשקה היא‪.(1,1) :‬‬ ‫נמצא את משוואת המשיק בעזרת הנקודה )‪ (1,1‬והשיפוע ‪:−2‬‬ ‫)‪y − 1 = −2(x − 1‬‬ ‫‪y = −2x + 3‬‬ ‫נמצא את שיעורי נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה – ‪ ,x‬נציב ‪:y = 0‬‬ ‫‪0 = −2x + 3‬‬ ‫‪2x = 3 /÷ 2‬‬ ‫‪x = 1.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫‪ ← S1‬השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה והמשיק ‪:y = −2x + 3‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∫ = ‪) − (−2x + 3) dx‬‬ ‫( ∫ = ‪S1‬‬ ‫= ‪+ 2x − 3 dx‬‬ ‫‪2x − 1‬‬ ‫‪2x − 1‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪ln|2x − 1| 2x 2‬‬ ‫[‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪− 3x] 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln|2 • 1.5 − 1| 2 • (1.5)2‬‬ ‫‪ln|2 • 1 − 1| 2 • (1)2‬‬ ‫(‬ ‫‪+‬‬ ‫( ‪− 3 • 1.5) −‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪− 3 • 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0.096‬יח"ר = ‪S1‬‬ ‫‪ ← S2‬השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה וציר ה – ‪:x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln|2x − 1| 3‬‬ ‫|‪ln|2 • 3 − 1‬‬ ‫|‪ln|2 • 3 − 1‬‬ ‫( ∫ = ‪S2‬‬ ‫[ = ‪) − 0 dx‬‬ ‫( = ‪] 0‬‬ ‫(‪)−‬‬ ‫)‬ ‫‪2x − 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪ 0.458‬יח"ר = ‪S2‬‬ ‫‪ 0.554‬יח"ר = ‪𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 = 0.096 + 0.458‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f(x) = ex + e−x‬‬ ‫א‪ .‬מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪:‬‬ ‫כל ‪.x‬‬ ‫ב‪ .‬מציאת השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקביעת סוגן‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f ′ (x) = 2xex − 2xe−x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0 = 2xex − 2xe−x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪0 = 2x(ex − e−x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ex − e−x = 0‬‬ ‫‪2x = 0‬‬ ‫‪ex = e−x‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫‪x 2 = −x 2‬‬ ‫‪2x 2 = 0 /÷ 2‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫קביעת סוג הקיצון‪:‬‬ ‫‪<x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪<x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪f ′ (x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪min‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f ′ (−1) = 2 • (−1)e(−1) − 2 • (−1)e−(−1) = −< 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f ′ (1) = 2 • (1)e(1) − 2 • (1)e−(1) = +> 0‬‬ ‫נמצא את שיעור ה – ‪ y‬של נקודת הקיצון‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f(0) = e0 + e−0 = 2‬‬ ‫נקודת הקיצון היא‪.min(0,2) :‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫ד‪ .‬נתון‪ :‬ישר שמשוואתו ‪ y = 2.5‬חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות שונות‪.‬‬ ‫צריך למצוא מבין שתי הנקודות האלה את השיעורים של הנקודה שבה הפונקציה יורדת‪.‬‬ ‫נמצא את שיעורי נקודת החיתוך של הישר ‪ y = 2.5‬עם הפונקציה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מ"מ ‪/ex‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2.5 = ex − e−x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2.5 = ex +‬‬ ‫‪− 2.5 = 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ex +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נסמן‪.ex = t :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪− 2.5 = 0 /• t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t+‬‬ ‫‪t 2 − 2.5t + 1 = 0‬‬ ‫‪2.5 ± √(2.5)2 − 4 • 1 • 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2.5 ± 1.5‬‬ ‫= ‪t1,2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2.5 − 1.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪t1‬‬ ‫אין פתרון → ‪= 0.5 → ex = 0.5 → x 2 = ln0.5 /√0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2.5 + 1.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪t2‬‬ ‫‪= 2 → ex = 2 → x 2 = ln2 /√0 → x = 0.833 , x = −0.833‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪t1,2‬‬ ‫צריך למצוא את השיעורים שבה‬ ‫הפונקציה יורדת ← ‪𝑥 < 0‬‬ ‫הנקודה היא‪.(−0.833,2.5) :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫‪0‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬