‫תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה‬ ‫מועד ב'‪ ,‬קיץ תשס"ט ‪ ,‬מיום ‪14/7/2009‬‬ ‫שאלון‪035803 :‬‬ ‫מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן‪.‬‬ ‫שאלה מספר ‪1‬‬ ‫נתון‪ .1 :‬הנקודות ‪ A‬ו – ‪ M‬מונחות על הישר‬ ‫ברביע הרביעי‪.‬‬ ‫‪ .2‬שיעור ה – ‪ x‬של הנקודה ‪ A‬הוא ‪.11‬‬ ‫צ"ל‪ :‬א‪ (1) .‬מצא את שיעור ה – ‪ y‬של הנקודה ‪.A‬‬ ‫)‪ (2‬מצא את מרחק הנקודה ‪ A‬מראשית הצירים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬עוד נתון‪ .3 :‬מרחק הנקודה ‪ M‬מראשית הצירים הוא‬ ‫√‪.‬‬ ‫צ"ל‪ :‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.M‬‬ ‫ג‪ .‬עוד נתון‪ .4 :‬מעגל שמרכזו ‪ M‬משיק לציר ה – ‪ x‬ולציר ה – ‪.y‬‬ ‫צ"ל‪ (1) :‬מצא את רדיוס המעגל שמרכזו ‪.M‬‬ ‫)‪ (2‬רשום את משוואת המעגל שמרכזו ‪.M‬‬ ‫ד‪ .‬מצא את מרחק הנקודה ‪ A‬מהמרכז ‪.M‬‬ ‫א‪ (1) .‬לפי נתונים ‪ 1‬ו – ‪:2‬‬ ‫על מנת למצוא את שיעור ה – ‪ y‬של הנקודה ‪ A‬נציב‬ ‫במשוואה‬ ‫)‪ (2‬נקודת ראשית הצירים היא )‪.(0,0‬‬ ‫נמצא את המרחק של הנקודה ‪ A‬מראשית הצירים בעזרת הנקודות‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪ ,‬ובעזרת הנוסחה למציאת מרחק‪:‬‬ ‫√‬ ‫המרחק בין הנקודה ‪ A‬לראשית הצירים הוא‬ ‫√‬ ‫√ יח'‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫‪:‬‬ ‫והמרחק מהנקודה ‪ M‬לראשית הצירים הוא‬ ‫ב‪ .‬נתון ששיעורי הנקודה‬ ‫√‪,‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫הנקודה ‪ M‬נמצאת‬ ‫ברביע הרביעי‬ ‫שיעורי הנקודה‬ ‫√‬ ‫‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ג‪ (1) .‬המעגל משיק לציר ה – ‪ x‬בנקודה ‪.B‬‬ ‫רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה ולכן ערכי הנקודה ‪B‬‬ ‫הם )‪ ,(0,-5‬מכך נובע כי אורך הקטע ‪ BM‬שהוא רדיוס‬ ‫המעגל שווה ‪.5‬‬ ‫)‪ (2‬מצאנו ששיעורי נקודת מרכז המעגל ‪ M‬הם )‪(5,-5‬‬ ‫ורדיוס המעגל הוא ‪ ,5‬לכן משוואת המעגל היא‪:‬‬ ‫ד‪ .‬נמצא את המרחק ‪ AM‬בעזרת הנקודות‬ ‫‪,‬‬ ‫ו–‬ ‫ובעזרת הנוסחה למציאת מרחק‪:‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫המרחק מהנקודה ‪ A‬למרכז המעגל‪ ,‬הנקודה ‪ M‬הוא‬ ‫√ יח'‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נתון‪.1 :‬‬ ‫‪ .2‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע הקטע ‪.AB‬‬ ‫צ"ל‪ :‬א‪ (1) .‬מצא את השיעורים של הנקודה ‪.E‬‬ ‫)‪ (2‬מצא את משוואת האנך ל – ‪ AB‬העובר דרך‬ ‫הנקודה ‪.E‬‬ ‫ב‪ .‬עוד נתון‪ .3 :‬הישר ‪ y=8‬חותך את האנך בנקודה ‪.C‬‬ ‫צ"ל‪ :‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬ ‫ג‪ .‬הראה כי‬ ‫∢‪.‬‬ ‫א‪ (1) .‬לפי נתון ‪:1‬‬ ‫נמצא את שיעורי הנקודה ‪ E‬בעזרת הנקודות‬ ‫‪ ,‬ובעזרת‬ ‫ו‪-‬‬ ‫הנוסחה לאמצע קטע‪:‬‬ ‫)‪ (2‬נמצא תחילה את שיפוע הישר ‪ AB‬בעזרת הנקודות‬ ‫‪,‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫ובעזרת הנוסחה למציאת שיפוע‪:‬‬ ‫נתון שהישר ‪ CE‬אנך לישר ‪ AB‬לכן השיפועים של ישרים אלו הופכים ונגדיים זה‬ ‫לזה‪ ,‬זאת אומרת‬ ‫)‬ ‫‪.‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫נמצא את משוואת האנך ‪ CE‬בעזרת השיפוע‬ ‫חותך את האנך ‪ CE‬בנקודה ‪,C‬לכן נשווה בין משוואת האנך ‪CE‬‬ ‫ב‪ .‬לפי נתון ‪ 3‬הישר‬ ‫לבין הישר‬ ‫והנקודה‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ג‪ .‬נמצא את שיפוע הישר ‪ AC‬בעזרת הנקודות‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪ ,‬ובעזרת‬ ‫הנוסחה למציאת שיפוע‪:‬‬ ‫נמצא את שיפוע הישר ‪ CB‬בעזרת הנקודות‬ ‫ובעזרת הנוסחה‬ ‫ו‪-‬‬ ‫למציאת שיפוע‪:‬‬ ‫ניתן לראות שהשיפועים‬ ‫תנאי הניצבות ולכן‬ ‫)‬ ‫הופכיים ונגדיים זה לזה‪ ,‬לכן הם מקיימים את‬ ‫ו‪-‬‬ ‫∢‪.‬‬ ‫(‬ ‫‪4‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪3‬‬ ‫נתון‪ .1 :‬שמעון קנה שקיות במבה ושילם בסה"כ ‪ 61‬שקלים‪.‬‬ ‫‪ .2‬ראובן קנה ‪ 6‬שקיות במבה יותר משקנה שמעון‪.‬‬ ‫‪ .3‬ראובן קיבל הנחה של ‪ 5%‬על כל שקית במבה‪.‬‬ ‫‪.4‬ראובן שילם בסך הכול ‪ 74.1‬שקלים‪.‬‬ ‫צ"ל‪ :‬א‪ .‬כמה שקיות במבה קנה שמעון?‬ ‫ב‪ .‬מהו מחיר כל שקית במבה (לפני ההנחה)?‬ ‫א‪ .‬נסמן‪x :‬‬ ‫מספר שקיות הבמבה שקנה שמעון‪.‬‬ ‫לפי נתון ‪x+6 :2‬‬ ‫מספר שקיות הבמבה שקנה ראובן‪.‬‬ ‫לפי נתון ‪ 4‬ראובן שילם סה"כ ‪ 74.1‬שקלים‪.‬‬ ‫נחשב את מחיר השקיות שקנו ראובן ושמעון ע"י פעולת חילוק‪ :‬מחיר‬ ‫כמות (שקיות)‬ ‫סה"כ‬ ‫מחיר (שקית במבה)‬ ‫שמעון‬ ‫‪x‬‬ ‫‪60‬‬ ‫ראובן‬ ‫‪x+6‬‬ ‫‪74.1‬‬ ‫לפי נתון ‪ 3‬ראובן קיבל הנחה של ‪ 5%‬על כל שקית במבה‪:‬‬ ‫סה כ‬ ‫כמות‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫כל שקית שראובן קנה היא ‪ 0.95‬ממחיר כל שקית ששמעון קנה‪ ,‬לכן‪:‬‬ ‫שמעון קנה ‪ 21‬שקיות במבה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מחיר שקית במבה הוא‪:‬‬ ‫שקלים‬ ‫‪5‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נתון‪ .1 :‬נתונה הפרבולה שמשוואתה‬ ‫‪ .2‬הישר ‪ y=6‬חותך את הפרבולות בנקודות ‪ A‬ו – ‪.B‬‬ ‫צ"ל‪ :‬א‪ .‬מצא את שיעורי ה – ‪ x‬של הנקודות ‪ A‬ו – ‪.B‬‬ ‫ב‪ .‬עוד נתון‪ .3 :‬העבירו ישר שמשוואתו ‪.y=x‬‬ ‫‪ .4‬דרך הנקודות ‪ A‬ו – ‪ B‬העבירו ישרים‬ ‫המקבילים לציר ה – ‪.y‬‬ ‫צ"ל‪ :‬מצא את השטח המוגבל ע"י הפרבולה‪ ,‬על ידי הישר ‪, y=x‬‬ ‫על ידי המקבילים לציר ה – ‪ y‬ועל ידי ציר ה – ‪x‬‬ ‫(השטח המקווקו בציור)‪.‬‬ ‫א‪ .‬לפי נתונים ‪ 1‬ו – ‪:2‬‬ ‫נשווה בין הפרבולה לישר ‪ y=6‬על מנת למצוא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו – ‪:B‬‬ ‫√‬ ‫ב‪ .‬נחלק את ‪ S‬השטח המבוקש ל – ‪ 2‬שטחים כאשר ציר ה – ‪ y‬מפריד בניהם‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה וע"י הישר‬ ‫‪+‬‬ ‫יח ר‬ ‫*‬ ‫)‬ ‫∫‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה וע"י ציר ה ‪:x -‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪+‬‬ ‫*‬ ‫∫‬ ‫יח ר‬ ‫יח ר‬ ‫‪6‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪5‬‬ ‫א‪ .‬מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה – ‪:x‬‬ ‫על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה – ‪ x‬נציב ‪:y=0‬‬ ‫ב‪ (1) .‬הוכחה כי המשיקים מקבילים זה לזה‪:‬‬ ‫נמצא את שיפוע המשיקים בנקודות‬ ‫‪:‬‬ ‫על מנת למצוא את השיפוע נגזור את הפונקציה‪:‬‬ ‫נמצא את משוואת הישרים‪:‬‬ ‫והנקודה‬ ‫והנקודה‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ניתן לראות שהמשיקים מקבילים זה לזה מכיוון שהשיפועים שלהן שווים זה לזה‪,‬‬ ‫וניתן גם לראות שאלו שתי משיקים נפרדים מכיוון שהמשוואות שונות זו מזו‪.‬‬ ‫)‪ (2‬לפי סעיף ב' )‪ (1‬ניתן לראות שמשוואות המשיקים הם‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪6‬‬ ‫א‪ .‬מציאת שני המספרים שסכום הריבועים שלהם יהיה מינימלי‪.‬‬ ‫נסמן‪x :‬‬ ‫המספר הראשון‪.‬‬ ‫המספר השני‪.‬‬ ‫נבנה את פונקציית המטרה‪:‬‬ ‫}‬ ‫{‬ ‫נמצא את המספר השני‪:‬‬ ‫נבדוק את סוג הקיצון ע"י נגזרת שנייה‪:‬‬ ‫שני המספרים שסכום הריבועים שלהם הוא מינימלי הם‪.5,5 :‬‬ ‫ב‪ .‬סכום הריבועים המינימלי של שני המספרים הוא‪:‬‬ ‫הסכום הריבועי המינימלי של המספרים הוא ‪.51‬‬ ‫‪8‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 077-4-20-40-60 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬