‫תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה‬ ‫מועד קיץ תשע"א‪ ,‬מיום ‪03/5/0611‬‬ ‫שאלון‪635860 :‬‬ ‫מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן‪.‬‬ ‫שאלה מספר ‪1‬‬ ‫נתון‪ .1 :‬גרף הפונקציה ‪y = −x 2 4x − 4‬‬ ‫צ"ל‪ :‬א‪ .‬מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה יורדת?‬ ‫ג‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית?‬ ‫ד‪ .‬מהו הערך המקסימלי שהפונקציה מקבלת‪ ,‬ובאיזו נקודה‬ ‫מתקבל ערך זה?‬ ‫א‪ .‬נקודות חיתוך עם הצירים‪:‬‬ ‫עם ציר ה – ‪:y = 0 ,x‬‬ ‫‪0 = x 2 + 4x − 4‬‬ ‫‪−4 ± √0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−4 ± 0‬‬ ‫= ‪x1,2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫= ‪x1,2‬‬ ‫)‪(2,0‬‬ ‫עם ציר ה – ‪:x = 0 ,y‬‬ ‫‪y = −02 + 4 • 0 − 4 = −4‬‬ ‫)‪(0, −4‬‬ ‫שיעורי הנקודות חיתוך עם הצירים‪.(2,0) , (0, −4) :‬‬ ‫ב‪ .‬לפי השרטוט ניתן לראות שהפונקציה יורדת כאשר ‪.x > 2‬‬ ‫ג‪ .‬לפי השרטוט ניתן לראות שהפונקציה שלילית כאשר ‪.x≠2‬‬ ‫ד‪ .‬לפי השרטוט ניתן לראות ש – ‪ 0‬הוא הערך המקסימלי שהפונקציה מקבלת‬ ‫וזה קורה בנקודה )‪.(2,0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪0‬‬ ‫נתון‪ .1 :‬מחיר כרטיס טיסה תלוי במקום הישיבה‪.‬‬ ‫‪ .2‬כרטיס טיסה בשורה הראשונה של המטוס‪ ,‬שהיא היקרה ביותר‪,‬‬ ‫עולה ‪ 2,200‬ש"ח‪.‬‬ ‫‪ .3‬מחיר הכרטיס יורד ב ‪ 30-‬ש"ח לשורה‪.‬‬ ‫צ"ל‪ :‬א‪ .‬חשב את המחיר למושב בשורה השישית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬עוד נתון‪ .4 :‬משה שילם ‪ 1,600‬ש"ח‪.‬‬ ‫צ"ל‪ :‬באיזה שורה הוא יושב? פרט את חישובייך‪.‬‬ ‫‪ .5‬עוד נתון‪ .5 :‬במטוס יש ‪ 41‬שורות‪.‬‬ ‫צ"ל‪ :‬מהו מחיר הכרטיס הזול ביותר? פרט את חישובייך‪.‬‬ ‫א‪ .‬לפי נתונים ‪ 1 – 3‬נובע כי הכרטיסים למושב מהווים סדרה חשבונית שבה מתקיים‪:‬‬ ‫‪a1 = 2,200 , d = −30 , n = 6‬‬ ‫נמצא את ‪ a6‬לפי הנוסחה לחישוב איבר כללי ‪:an = a1 + (n − 1)d‬‬ ‫‪a6 = 2,200 + (6 − 1) • −30‬‬ ‫‪a6 = 2,200 + (5) • −30‬‬ ‫‪a6 = 2050‬‬ ‫מחיר כרטיס למושב בשורה השישית הוא ‪.2,050‬‬ ‫ב‪ .‬לפי נתון ‪ 4‬משה שילם ‪ 1,600‬ש"ח‪.‬‬ ‫נמצא את השורה שבה משה ישב ע"י הנוסחה לאיבר כללי‪:‬‬ ‫‪an = 1,600 , a1 = 2,200 , d = −30‬‬ ‫‪1,600 = 2,200 + (n − 1) • −30‬‬ ‫‪1,600 = 2,200 − 30n + 30‬‬ ‫‪−630 = −30n /÷ −30n‬‬ ‫‪n = 21‬‬ ‫משה ישב בשורה ה – ‪.21‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫ג‪ .‬לפי נתון ‪ 5‬יש במטוס ‪ 41‬מושבים לכן מושב מספר ‪ 41‬הוא הזול ביותר‪.‬‬ ‫נמצא את המחיר של מושב ‪ 41‬בעזרת הנוסחה לאיבר כללי‪:‬‬ ‫‪n = 41 , a1 = 2,200, d = −30‬‬ ‫‪an = 2,200 + (41 − 1) • −30‬‬ ‫‪an = 2,200 − 1000‬‬ ‫‪an = 1,000‬‬ ‫מחיר הכרטיס הזול ביותר הוא ‪ 1,000‬ש"ח‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪3‬‬ ‫נתון‪ .1 :‬מספר התושבים בעיר מסוימת גדל באחוז קבוע של ‪ 3.1%‬בשנה‪.‬‬ ‫‪ .2‬כיום יש בעיר ‪ 505,361‬תושבים‪.‬‬ ‫צ"ל‪ :‬א‪ .‬איזה משפט הוא הנכון מבין המשפטים )‪ ,(1) – (3‬נמק את תשובתך‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא בעוד כמה שנים יהיו בעיר ‪ 501,600 -‬תושבים?‬ ‫ג‪ .‬מצא מה יהיה גודל האוכלוסייה בעוד ‪ 8‬שנים מהיום‪ .‬בתשובתך עגל למספר שלם‪.‬‬ ‫א‪ .‬לפי נתון ‪ 1‬נובע שמספר התושבים בשנה גדל ב – ‪ 3.1%‬לשנה‪ .‬לכן מספר התושבים כיום‬ ‫הוא פחות ממספר התושבים שיהיו בעיר בעוד שנה ‪ ,‬ולכן תשובה )‪ (2‬היא התשובה‬ ‫הנכונה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬לפי נתון )‪ (1‬מספר התושבים גדל ב – ‪:3.1%‬‬ ‫‪100 + 3.1 103.1‬‬ ‫=‬ ‫‪= 1.031‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫=‪q‬‬ ‫נמצא תוך כמה שנים מספר התושבים בעיר יהיה ‪ ,571,000‬לפי נתונים ‪ 1‬ו ‪ 2-‬ולפי‬ ‫הנוסחה ‪Mt = mo • qt‬‬ ‫‪Mt = 571,000 , MO = 505,361 , q = 1.031‬‬ ‫‪571,000 = 505,361 • 1.031t‬‬ ‫‪571,000‬‬ ‫‪= 1.031t‬‬ ‫‪505,361‬‬ ‫‪1.031t = 1.1298‬‬ ‫‪ln 1.1298‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪ln 1.031‬‬ ‫=‪t‬‬ ‫תוך ‪ 4‬שנים מספר התושבים יהיה ‪.571,000‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪t = 8 , MO = 505,361 , q = 1.031‬‬ ‫‪Mt = 505,361 • 1.0318‬‬ ‫‪Mt = 645,165‬‬ ‫מספר התושבים בעיר בעוד ‪ 8‬שנים יהיה ‪.645,165‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪0‬‬ ‫נתון‪ .1 :‬במשולש ישר זווית ‪.(∢F = 90°) EFG‬‬ ‫‪ 4 .2‬ס"מ = ‪.ED‬‬ ‫‪ 10 .3‬ס"מ = ‪.DF‬‬ ‫‪.∢GDF = 40° .4‬‬ ‫צ"ל‪ :‬א‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.GDF‬‬ ‫ב‪ .‬פי כמה גדול שטח המשולש ‪ GDF‬משטח המשולש ‪?GDE‬‬ ‫ג‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪.∢GED‬‬ ‫א‪ .‬לפי נתונים ‪ 3 , 1‬ו – ‪ 4‬ובאמצעות משפט טנגנס נמצא את הצלע ‪ GF‬במשולש ‪:DFG‬‬ ‫‪GF‬‬ ‫‪FD‬‬ ‫‪GF‬‬ ‫= ‪tan 40°‬‬ ‫‪10‬‬ ‫= ‪tan ∢GDF‬‬ ‫‪tan 40° • 10 = GF‬‬ ‫‪ 8.391‬ס"מ = ‪GF‬‬ ‫שטח המשולש ‪ DFG‬שווה ל ‪-‬‬ ‫ניצב•ניצב‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪DF • FG‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10 • 8.391‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪S∆DFG‬‬ ‫‪S∆DFG‬‬ ‫‪ 41.955‬סמ"ר = ‪S∆DFG‬‬ ‫ב‪ .‬נמצא את שטח המשולש ‪:GDE‬‬ ‫לפי נתון ‪ 4 :2‬ס"מ = ‪ ED‬וגובה המשולש הוא ‪ 8.391‬ס"מ = ‪ ,GF‬לכן‪:‬‬ ‫‪ED • GF‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 • 8.391‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪S∆EDG‬‬ ‫‪S∆EDG‬‬ ‫‪ 16.782‬סמ"ר = ‪S∆EDG‬‬ ‫‪5‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪ 14‬ס"מ = ‪EF = ED + DF = 10 + 4‬‬ ‫נמצא את זווית ‪ GEF‬במשולש ‪ EFG‬בעזרת משפט טנגנס‪:‬‬ ‫‪GF‬‬ ‫‪EF‬‬ ‫‪8.391‬‬ ‫= ‪tan ∢GED‬‬ ‫‪14‬‬ ‫= ‪tan ∢GED‬‬ ‫‪∢GED = 30.94°‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪5‬‬ ‫נתון‪ .1 :‬בבחינת סיום בהיסטוריה בכיתה מסוימת הציונים התפלגו כך‪:‬‬ ‫א‪ .‬עוד נתון‪ .2 :‬ממוצע הציונים בכיתה זו היה ‪.02.5‬‬ ‫צ"ל‪ :‬חשב את ‪.x‬‬ ‫ב‪ .‬בוחרים תלמיד באקראי‪ .‬מהי ההסתברות שהציון שלו גובה מהממוצע?‪:‬‬ ‫ג‪ .‬מהו חציון הציונים? נמק את תשובתך‪.‬‬ ‫א‪ .‬מציאת ‪ x‬ע"י בניית המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫‪1 • 90 + 11 • 80 + x • 70 + 7 • 60‬‬ ‫‪= 72.5‬‬ ‫‪1 + 11 + x + 7‬‬ ‫‪90 + 880 + 70x + 420‬‬ ‫‪= 72.5‬‬ ‫‪x + 19‬‬ ‫)‪1,390 + 70x = 72.5(x + 19‬‬ ‫‪1,390 + 70x = 72.5x + 1,377.5‬‬ ‫‪12.5 = 2.5x /÷ 2.5‬‬ ‫‪x=5‬‬ ‫ב‪ .‬בכיתה יש ‪ 24‬תלמידים‪ 12 ,‬מהם קיבלו מעל הממוצע ולכן ההסתברות היא‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪2‬‬ ‫השווה ‪.‬‬ ‫ג‪ .‬להלן שיטת החישוב‪:‬‬ ‫‪80,80,80,80,80,80,80,80,80,80,80,80,00,00,00,00,00,60,60,60,60,60,60,60‬‬ ‫ציונים אמצעיים‬ ‫‪80 + 70‬‬ ‫‪= 75‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= החציון‬ ‫‪0‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬ ‫שאלה מספר ‪0‬‬ ‫א‪ .‬מהנתונים ומגרף ההתפלגות הנורמלית נובע כי‪:‬‬ ‫‪x̅ + S = 6.5‬‬ ‫‪5 + S = 6.5‬‬ ‫‪S = 1.5‬‬ ‫ב‪ .‬קבוצה (‪.50% – )I‬‬ ‫קבוצה (‪.16% – )II‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪8.05 8.5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪5.05 6.5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2.05 3.5 4.25‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.5 1.25‬‬ ‫‪( 48%‬ראה שטח מקווקו בשרטוט)‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫אבירם פלדמן‪ -‬בגרות ופסיכומטרי ‪www.aviramfeldman.co.il // 600-0-06-06-06 //‬‬ ‫שיעורים פרטיים ליחידים וקבוצות ‪ //‬קורסים לבחינות הבגרות ולבחינה הפסיכומטרית‬