יום
נספח למיקודית 005 קיץ תשס"ה בנושאים: הסתברות חשיבה הסתברותית בחיי יום יום שירה כהן ארד טלמון ארז כהן ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 97 בנספח זה עידכנו את חלק ב' של שאלון .005 בחלק זה יתכנו שני מצבים בצורת השאלון: א .שאלה אחת בגיאומטריה 2שאלות בהסתברות קלאסית 2שאלות בחשיבה הסתברותית בחיי יום-יום ב 2 .שאלות בגיאומטריה שאלה אחת בהסתברות קלאסית שאלה אחת בתשובה הסתברותית בחיי יום-יום השלמנו את השאלות החסרות לפי המצב הקיים בספר עצמו. לכן ,הוספנו בכל מבחן שבו יש שתי שאלות בגיאומטריה שאלה אחת בהסתברות או בהסתברות בחיי יום-יום ,ובכל מבחן שבו יש שאלה אחת בגיאומטריה הוספנו שאלה בהסתברות קלאסית וגם שאלה בחשיבה הסתברותית בחיי יום-יום. בכל מצב על הנבחן לענות רק על שתי שאלות ,ובתנאי ששתי השאלות לא יהיו משני הנושאים הסתברות קלאסית וגם חשיבה הסתברותית בחיי יום-יום. טבלת עזר לכל אפשרויות הבחירה בהתאם לצורת השאלון אפשרויות בחירה צורת שאלות גיאומטריה קלאסית חיי יום-יום 1 2 2 2 1 1 גיאומטריה קלאסית חיי יום-יום 1 1 - 1 - 1 - 2 - - - 2 1 1 - 1 - 1 2 - - בהצלחה בבחינות!!! מבחן ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 98 מס' 1 עדכון לפרק ב' חשיבה הסתברותית בחיי יום יום 30%מתלמידי כיתה מסוימת מצהירים שהם סובלים מפחד גבהים .בחורף נערך טיול לחרמון. 70%מאלה שלא הצהירו על פחד גבהים נסעו ברכבל ואילו רק 20%מבין הסובלים מפחד גבהים , נסעו ברכבל. א .מהי פרופורציית התלמידים שאינם סובלים מפחד גבהים מבין אלה שנסעו ברכבל? ב .מהי פרופורציית התלמידים ,שאינם סובלים מפחד גבהים מבין אלה שלא נסעו ברכבל? ג .מהי פרופורציית התלמידים הסובלים מפחד גבהים מבין אלה שנסעו ברכבל? ד .מהי פרופורציית התלמידים בכיתה שאינם נסעו ברכבל? פתרון מלא נגדיר אירועים: - Aסובל מפחד גבהים p ( A ) = 0.3 - Aלא סובל מפחד גבהים p A = 1 − 0.3 = 0.7 ) ( - Bנסע ברכבל - Bלא נסע ברכבל ) ) ( ) ) ( ( ( ⎪⎫ p B / A = 1 − p B / A = 0.3 ← p B / A = 0.7 נתון⎬ : ⎪ p B / A = 1 − p ( B / A ) = 0.8 ← P ( B / A ) = 0.2 ⎭ ) ( )p (B / A) ⋅ p (A = לפי חוק בייס : יש לחשב p A / B )p ( B ) ( p A/B א .נחשב את ) p ( Bבעזרת נוסחת ההסתברות השלמה: ) ( ) ( p ( B) = p ( B / A ) ⋅ p ( A ) + p B / A ⋅ p A p ( B ) = 0.2 ⋅ 0.3 + 0.7 ⋅ 0.7 = 0.55 0.7 ⋅ 0.7 לכן= 0.8909 : 0.55 ) ( = p A/B ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 99 ( ) ב .יש לחשב את p A / B : לפי חוק בייס: ) ( ) = (1 − p ( B / A )) ⋅ p ( A ) = (1 − 0.7 ) ⋅ 0.7 = 0.4667 )1 − P ( B 1 − 0.55 )p ( B ( p B/ A ⋅p A ) ( = p A/B ג .יש לחשבp ( A / B ) : לפי חוק בייס: ( 0.2 )( 0.3) = 0.109 0.55 = )p (B / A) ⋅ p (A )p ( B = )p ( A / B ד .יש לחשב את ) . p ( B ) p ( Bכבר חושב בסעיף א' ולכן . p ( B ) = 0.55 ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 100 מבחן מס' 2 עדכון לפרק ב' הסתברות בבי"ס תיכון 30% ,מן התלמידים לומדים במגמת דרמה 20% ,במגמת מתמטיקה 35% , במגמה לצרפתית ,והיתר במגמות אחרות 4% .מכלל תלמידי ביה"ס לומדים בכל שלוש המגמות , 3%לומדים מתמטיקה וצרפתית ,אך לא דרמה 10% .לומדים צרפתית ,אך לא לומדים דרמה ומתמטיקה. א .אם בוחרים באקראי תלמיד מבי"ס ,מה ההסתברות שילמד גם צרפתית וגם דרמה ,אבל לא מתמטיקה? ב .מה ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי ילמד מתמטיקה או דרמה? ג .מה ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי ,ילמד רק מתמטיקה מבין שלוש המגמות הנ"ל? חשיבה הסתברותית בחיי יום יום מחקר שפורסם בדק את ההשערה שגלישה באינטרנט מגיל צעיר משפרת את יכולת הריכוז בלימודים בבי"ס יסודי .המחקר הכיל 2000תלמידים מבי"ס היסודי שחולקו לשתי קבוצות – בעיות בריכוז או חוסר בעיות בריכוז בלימודים ,ע"פ הערכת המורה. נמצא ש 65% -מהתלמידים שאין להם בעיות ריכוז גולשים באינטרנט מגיל חמש 80% , מהתלמידים עם בעיות ריכוז ,לא גלשו באינטרנט מגיל חמש .מסה"כ התלמידים שנבדקו 40% , גולשים באינטרנט. א .מהי פרופורציית התלמידים שאין להם בעיות ריכוז מבין הגולשים באינטרנט? ב .מהי פרופורציית התלמידים הגולשים באינטרנט מבין אלה עם בעיות הריכוז? פתרון מלא הסתברות נגדיר אירועים - A :דרמה p ( A ) = 0.3 - Bמתמטיקה p ( B ) = 0.2 - Cצרפתית p ( C ) = 0.35 - Dאחר p ( D ) = 1 − p ( A ) − p ( B ) − p ( C ) = 0.15 ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 101 נבטא את שאר הנתונים בעזרת שלושה מעגלים: דרמה = A מתמטיקה = B 0.08 0.04 0.18 0.03 0.1 צרפתית = C א .האיזור במעגל המסומן ב -הוא האיזור המבוקש .איזור זה מבטא את ההסתברות ללמוד צרפתית וגם דרמה ,אך לא מתמטיקה .כלומר ההסתברות המבוקשת: − 0.1 − 0.03 − 0.04 = 0.18 ( ) = p A ∩B∩C 0.35 N ההסתברות ללמוד צרפתית ב .כדי שתלמיד ילמד מתמטיקה או דרמה ,יש לאחד את שני האירועים הללו ,כלומר: = )p ( A ∪ B) = p ( A ) + p ( B) − p ( A ∩ B 0.3 + 0.2 − ( 0.08 + 0.04 ) = 0.38 מתוך המעגלים למעלה ג .כדי שהתלמיד ילמד רק מתמטיקה ,יש לחשב את ההסתברות: ( ) p A ∩ B ∩ C = 0.2 − 0.08 − 0.04 − 0.03 = 0.05 חשיבה הסתברותית בחיי יום יום נגדיר אירועים: p ( A ) = 0.4 - Aגולש באינטרנט ) ( p A = 0.6 - Aלא גולש באינטרנט - Bאין בעיות ריכוז - Bיש בעיות ריכוז ) ) ( ( ⎪⎫p A / B = 1 − p ( A / B ) = 0.35 ← p ( A / B ) = 0.65 נתון⎬ : ⎪ p A / B = 1 − p A / B = 0.2 ← P A / B = 0.8 ⎭ ) ( ) ( א .יש לחשבp ( B / A ) : לפי חוק בייס: )p ( A / B) ⋅ p ( B )p (A = )p (B / A ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 102 יש לחשב לשם כך את ) . p ( Bניעזר בנוסחת ההסתברות השלמה: ) ( ) ( p ( A ) = p ( A / B) ⋅ p ( B) + p A / B ⋅ P B ) ) 0.4 = 0.65 ⋅ p ( B ) + 0.2 (1 − p ( B 0.4 = 0.45p ( B ) + 0.2 4 9 4 לכן 9 = 13 0.4 18 ⋅ 0.65 ) = p ( B ) = 0.444 = )p (B / A ( ב .יש לחשבp A / B : ) ( כבר מצאנו שאם נתון p A / B = 0.8 :אזי 1 5 ) ( ) ( = p A / B = 1 − p A / B = 1 − 0.8 = 0.2 ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 103 מבחן מס' 3 עדכון לפרק ב' הסתברות 85%מהתלמידים המסיימים תיכון בבי"ס דתי מתנדבים לשירות לאומי 70% .מכלל המסיימים תיכון ,זכאים לתעודת בגרות 68% ,מהבוגרים מתנדבים לשירות לאומי וגם זכאים לתעודת בגרות. מהו אחוז הבוגרים שאינם מתנדבים לשירות לאומי ואינם זכאים לתעודת בגרות? פתרון מלא: נבנה דיאגרמת עץ לתיאור הנתונים: מסיימים תיכון 0.85 0.15 מתנדב לא מתנדב 1− p p ) 0.85 (1 − p לא זכאי 0.85p זכאי p1 1 − p1 0.15p1 זכאי ) 0.15 (1 − p1 לא זכאי נתון 70% :מהמסיימים זכאים לבגרות: 0.85p + 0.15p1 = 0.7 . I 68%מתנדבים וגם זכאים לבגרות: 0.85p = 0.68 ⇒ p = 0.8 . II נציב את pב: I - 0.85 ( 0.8 ) + 0.15p1 = 0.7 p1 = 0.133 מכאן שאחוז הבוגרים שאינם מתנדבים ואינם זכאים לבגרות: 0.15 (1 − p1 ) = 0.15 (1 − 0.133) = 0.13 = 13% ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 104 מבחן מס' 4 עדכון לפרק ב' הסתברות 60תלמידי שכבת י"א מעוניינים להשתתף בטקס סיום השנה 35 .תלמידים יודעים לנגן ו 30 -תלמידים יודעים לרקוד 25 .תלמידים יודעים לנגן אך אינם יודעים לרקוד. א .מהו מספר התלמידים שיודעים לרקוד ,אך לא לנגן? ב .מהו אחוז התלמידים היודעים לפחות אחד משני התפקידים ) לרקוד או לנגן (? חשיבה הסתברותית בחיי יום יום בסקר שנערך בקרב תלמידי י"ב השתתפו 500איש. 3 350מתוכם הם "צברים" 100 .הצברים רצו לשרת בחיל הצנחנים" .הצברים" מהווים 4 מהרוצים לשרת בצנחנים. נסמן - A -קבוצת הצברים - Bקבוצת הרוצים לשרת בחיל הצנחנים. א .מה ההסתברות של תלמיד שהשתתף בסקר ,לרצות לשרת בחיל הצנחנים אם ידוע שהוא לא "צבר"? ב .מה ההסתברות של תלמיד שהשתתף בסקר לשרת בחיל הצנחנים אם ידוע שהוא "צבר"? פתרון מלא הסתברות נבטא את הנתונים במעגלים: יודע לנגן יודע לרקוד 20 10 25 מתוך הנתונים 25 :יודעים לנגן ,אך לא לרקוד. סה"כ 35יודעים לנגן ,ולכן 10יודעים גם לרקוד וגם לנגן. מכיוון שבסה"כ 30יודעים לרקוד ,מתקבל ש 20 -יודעים לרקוד אך לא לנגן .לכן: ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 105 א 20 .תלמידים יודעים לרקוד ,אך לא לנגן. ב .ההסתברות המבוקשת שווה ל- ⎞ לדעת לרקוד ⎛ ⎜ ) + pלדעת לנגן ( ) + pלדעת לרקוד ( p =⎟ ולנגן ⎝ ⎠ 20 25 10 + + = 0.9167 = 91.67% 60 60 60 חשיבה הסתברותית בחיי יום יום נגדיר אירועים: " - Aצבר" 350 7 = 500 10 - Aלא "צבר" 7 3 = 10 10 = )p (A ) ( p A = 1− - Bרוצה לשרת בצנחנים - Bלא רוצה לשרת בצנחנים ⎫2 ⎪⎪ 7 נתון⎬ : ⎪ ⎭⎪ ) ( ) ( 5 100 = )← p (B / A = 7 350 1 3 = )p A / B = 1 − p ( A / B) = ← P ( A / B 4 4 = )p B / A = 1− p (B / A ) ( א .יש לחשבp B / A : לפי חוק בייס: ( ) )p A / B ⋅ p ( B ) ( p A ( ) = p B/ A ניעזר בנוסחת ההסתברות השלמה לחישוב ) : p ( B ) ( ) ( p ( B) = p ( B / A ) ⋅ p ( A ) + p B / A ⋅ P A ( ) 2 7 3 ⋅ ⋅ + P B/A 7 10 10 1 3 ⋅ p ( B) = + p B / A 5 10 נציב כרגע את הידוע בחוק בייס הנ"ל ) = )p ( B ( ונקבל : ) ( 1 ⎡1 ⎤3 1 3 ⎥ ⋅ ⋅⎢ + P B/ A ⋅ + P B/A 4 5 10 ⎦ 20 40 ⎣ = p B/A = 3 3 10 10 ) ( ) ( ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 106 ) ) ( ( ) ( 3 1 3 = p B/ A + p B/ A 10 20 40 9 1 = p B/ A 40 20 2 = p B/A 9 ) ( ב .יש לחשב ) p ( B / A נתון ש 100 -מתוך הדברים ) יש בסה"כ 350צברים( רצו לשרת בחיל הצנחנים ולכן , 100 2 = 350 7 = )p (B / A ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 107 מבחן מס' 5 עדכון לפרק ב' הסתברות 500תלמידים נגשו לבחינת בגרות באנגלית ,גם למועד א' וגם למועד ב' ) הציון הגבוה קובע(. במועד א' עברו 250תלמידים ואילו במועד ב' עברו 410תלמידים 200 .תלמידים הצליחו בשני המועדים. מצא את מספר התלמידים שנכשלו גם במועד א' וגם במועד ב'. חשיבה הסתברותית בחיי יום – יום על מנת לטוס עם משלחת בי"ס לארה"ב יש לשלוט בשפה האנגלית .לשם כך נערכו מבחנים באנגלית 1 בביה"ס .לבחינה נגשו 100תלמידים 25 ,מתוכם דוברי אנגלית , 3 מהדוברים עברו את הבחינה. 80מהנרשמים לנסיעה עברו את הבחינה. נגדיר - A :מועמד דובר אנגלית - Bמועמד שעבר את הבחינה באנגלית א .רשום את הנתונים בעזרת פרופורציות מתאימות. ב .ערן עבר את הבחינה ,מה ההסתברות שהוא דובר אנגלית? ג .ההסתברות לעבור את הבחינה באנגלית גדולה יותר כאשר המועמד אינו דובר אנגלית .כיצד ניתן להסביר זאת ,נמק בעזרת חישובים מתאימים. פתרון מלא: הסתברות נבנה דאגרמת עץ עבור נתוני השאלה: 500 250 250 עבר מועד א x עבר מועד ב לא עבר מועד א 250 − x לא עבר מועד ב y עבר מועד ב 250 − y לא עבר מועד ב ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 108 נתון :במועד ב' עברו 410תלמידיםx + y = 410 : כמו כן 200 ,תלמידים עברו גם מועד א' וגם מועד ב' ,כלומרx = 200 : נציב במשווה הקודמת: 200 + y = 410 y = 210 מספר הנכשלים גם במועד א' וגם במועד ב' הוא . 250 − y נציב y = 210ונקבל ש 40 -תלמידים נכשלו בשני המועדים. חשיבה הסתברותית בחיי יום – יום א. - Aמועמד דובר אנגלית 25 1 = 100 4 - Aמועמד לא דובר אנגלית 1 3 = 4 4 - Bמועמד עבר בחינה 80 = 0.8 100 - Bמועמד לא עבר בחינה p B = 1 − 0.8 = 0.2 = )p (A ) ( p A = 1− = )p ( B ) ( ( ) 1 2 1 נתון גם p ( B/A ) = :לכן p B / A = 1 − P ( B / A ) = 1 − = , 3 3 3 ב .יש לחשב את ) : p ( A / B 1 1 ⋅ 5 ==3 4 לפי חוק בייס: 0.8 48 )p (B / A) ⋅ P (A )P ( B ) = )p ( A / B ( ג .צריך להראות שp B / A > P ( B / A ) : 1 נתון ש: 3 = )p (B / A ⎞ 5 ⎛ ⎜1 − ⎟ ⋅ 0.8 43 ⎠ 48 ⎝= = לפי חוק בייס= 0.955 : 3 45 4 ) ( )P A / B ⋅ p ( B ) ( p A ) ( = p B/A 1 כלומר= 0.33 : 3 ולכן הטענה נכונה!!! > 0.955 ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 109 מבחן מס' 6 עדכון לפרק ב' הסתברות מתוך 240תלמידי שכבת י"ב 150 ,אוהבים מוסיקת רוק 100 .מתלמידי השכבה אוהבים מוסיקת פופ .רבע מהתלמידים שאוהבים פופ אוהבים גם רוק. א .מהו אחוז תלמידי השכבה האוהבים רוק או אוהבים פופ. ב .מהו אחוז התלמידים שאינם אוהבים מוסיקת רוק ואינם אוהבים מוסיקת פתרון מלא: נבטא את הנתונים דרך דיאגרמת עץ: 150 240 אוהבים רוק p אוהבים פופ 15 ⋅p 24 1− p לא אוהבים פופ 15 ) ⋅ (1 − p 24 240 − 150 90 = 240 240 לא אוהבים רוק p1 אוהבים פופ 9 ⋅ p1 24 1 − p1 לא אוהבים פופ 9 ) ⋅ (1 − p1 24 נתון 100 :מתלמידי השכבה ) = ( 240אוהבים מוסיקת פופ. 100 15 9 = p + p1 . I 240 24 24 ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 110 נתון גם שרבע מהתלמידים האוהבים פופ ,אוהבים גם רוק ,ולכן: הסתברות לאהוב 15 p גם רוק וגם פופ 1 24 = = 15 9 4 ההסתברות p + p1 24 24 לאהוב פופ ⇓ 15p 1 = . II 15p + 9p1 4 ⎞ לאהוב רוק ⎛ 9 ⎜p א ) = 1 − (1 − p1 ) .לא לאהוב רוק ולא פופ ( ⎟ = 1 − p 24 ⎠ או פופ ⎝ נציב את משוואה Iב: II - 15 p 24 = 1 → p = 1 100 4 6 240 נציב ערך זה במשוואה : I 100 15 1 9 5 = = ⋅ + p1 → p1 240 24 6 24 6 נציב את p1עבור סעיף א' ⎞ לאהוב רוק ⎛ 9 ⎛ 5 ⎞ 15 ⎜p = 93.75% = ⎟ ⎟ = 1 − ⎜1 − 24 ⎝ 6 ⎠ 16 ⎠ או פופ ⎝ ⎞ 9לא לאהוב רוק ⎛ 9 5 1 ⎜p ב(1 − p1 ) = ⎛⎜1 − ⎞⎟ = = 6.25% . =⎟ 24 ⎝ 6 ⎠ 16 ולא פופ ⎝ ⎠ 24 ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 111 מבחן מס' 7 עדכון לפרק ב' חשיבה הסתברותית בחיי יום – יום ועד עובדים החליט להעניק מענקים לעובדים חרוצים בחברה כלשהי .בחברה יש פי 2נשים מגברים. 55%מכלל העובדים מקבלים מענקים 40% .מהנשים מקבלות מענקים. נגדיר - S :מקבל מענק - Kאישה א .מהי פרופורציית הנשים בחברה? ב .מהי פרופורציית הגברים מבין העובדים שלא מקבלים מענק? ג .למי יש סיכוי יותר לקבל מענק ,לגבר או לאישה? הסבר בעזרת חישובים. פתרון מלא: - Sמקבל מענק - Sלא מקבל מענק p ( S) = 0.55 )( p S = 0.45 - Kאישה - Kגבר ) ( נתוןp S / K = 1 − p ( S / K ) = 1 − 0.4 = 0.6 ⇐ p ( S / K ) = 0.4 : ) ( בחברה יש פי 2נשים מגברים ,לכן אם נניח שההסתברות להיות גבר , p K = xאז ההסתברות לאישה היא p ( K ) = 2xומכיוון שאלו הם אירועים משלימים אז סכומם שווה ל, 1 - ) ( p (K) + p K = 1 כלומר 1 : 3 = 2x + x = 1 ⇒ x 1 כלומר :ההסתברות לגבר בחברה: 3 ) ( = p K 2 ההסתברות לאישה בחברה : 3 = )p (K 1 מכאן שפרופורציית הנשים בחברה היא 3 . ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 112 ( ) ב .יש לחשבp K / S : ( ) ( ) לפי חוק בייס: )p ( S כדי לחשב את ) p ( Sנשתמש בנוסחת ההסתברות השלמה: ) p (S) = p (S / K ) ⋅ p ( K ) + p (S / K ) ⋅ p ( K 2 1 0.45 = 0.6 ⋅ + p ( S / K ) ⋅ → p ( S / K ) = 0.15 3 3 p S/ K ⋅p K ( ) = p K /S 1 3 = 0.111 = 1 = p K /S לכן: 0.45 9 ⋅ 0.15 ) ( ג .לאישה ,הסיכוי לקבל מענק = ) p ( S / K 2 לפי הנתון= 0.4 : 5 = ) p (S / K ( ) לפי נוסחת ההסתברות השלמה ) p ( S) = p ( S / K ) ⋅ p ( K ) + p ( S / K ) ⋅ p ( K 2 1 17 = ) 0.55 = 0.4 ⋅ + p ( S / K ) ⋅ → p ( S / K 3 3 20 לגבר ,הסיכוי לקבל מענק = p S / K 17 20 לכן ,לגבר יש סיכוי גדול יותר לקבל מענק!!! ) ( = p ( S / K ) = 0.4 < p S / K ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 113 מבחן מס' 8 עדכון לפרק ב' הסתברות קלע יורה 3יריות למטרה .ההסתברות שיפגע בירייה הראשונה היא . 0.6ההסתברות שיפגע בירייה השנייה היא 0.3אם פגע בירייה הראשונה ו 0.5 -אם לא פגע בירייה הראשונה .ההסתברות שיפגע בירייה שלישית היא ) 0.2בלי קשר ליריות הקודמות (. א .מהי ההסתברות שיפגע פעם אחת בלבד? ב .מהי ההסתברות שיפגע לפחות פעם אחת? ג .מהי ההסתברות שיפגע לכל היותר פעם אחת? חשיבה הסתברותית בחיי יום – יום בשכבת י"ב בבי"ס תיכון 80% ,מהתלמידים יוצאים לטיול השנתי 25% .מתלמידי השכבה הינם עולים חדשים 10% .מתלמידי השכבה הם עולים חדשים שיוצאים לטיול השנתי .חשב: א .את פרופורציית התלמידים בשכבה שאינם עולים חדשים וגם אינם יוצאים לטיול השנתי. ב .פרופורציית התלמידים שאינם יוצאים לטיול השנתי מבין העולים החדשים. ג .מהי פרופורציית התלמידים בשכבה שהם עולים חדשים או כאלה שאינם יוצאים לטיול השנתי או שניהם. פתרון מלא: הסתברות נשרטט את הנתונים בדיאגרמת עץ: 0.4 0.6 יחטיא יפגע 0.3 יפגע 0.2 0.7 0.5 יחטיא יפגע 0.2 0.8 יפגע יחטיא יפגע 0.2 0.8 0.5 יחטיא 0.2 0.8 יחטיא יפגע יחטיא יפגע 0.8 יחטיא הסבר לדיאגרמה :הירייה השנייה תלויה בתוצאות הירייה הראשונה ,ולכן ההסתברויות משתנות .הירייה השלישית אינה תלויה בירייה שלפניה ,ולכן ההסתברויות לא משתנות. ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 114 א .כדי שהקלע יפגע פעם אחת בלבד ,עליו להחטיא פעמיים ,ולכן יש שלוש אפשרויות: ) = 0.6 ⋅ 0.7 ⋅ 0.8 = 0.336יפגע רק בירייה הראשונה ( p ) = 0.4 ⋅ 0.5 ⋅ 0.8 = 0.16יפגע רק בירייה השנייה ( p ) = 0.4 ⋅ 0.5 ⋅ 0.2 = 0.04יפגע רק בירייה השלישית ( p כעת נחבר את שלוש האפשרויות: 0.336 + 0.16 + 0.04 ⇒ p = 0.536 =) יפגע פעם אחת בלבד ( p ב .נשתמש במאורע משלים: ) = 0.4 ⋅ 0.5 ⋅ 0.8 = 0.16יחטיא את כל יריותיו ( p ההסתברות שיפגע לפחות פעם אחת תהיה: p = 1 − 0.16 ⇒ p = 0.84 ג .מסעיף א' ) = 0.536 :יפגע פעם אחת בלבד ( p מסעיף ב' ) = 0.16 :יחטיא את כל יריותיו ( p ולכן ) = 0.536 + 0.16 ⇒ p = 0.696 ,יפגע לכל היותר פעם אחת ( p חשיבה הסתברותית בחיי יום – יום נגדיר אירועים: - Aתלמיד יוצא לטיול השנתי p ( A ) = 0.8 - Aתלמיד לא יוצא לטיול השנתי. p A = 1 − 0.8 = 0.2 - Bתלמיד עולה חדש p ( B ) = 0.25 - Bתלמיד לא עולה חדש p B = 1 − 0.25 = 0.75 ) ( ) ( נבנה עץ אירועים: ) ( p ( A ) = 0.8 p A = 0.2 לא יוצא לטיול השנתי ) ( p B/ A עולה חדש ) יוצא לטיול השנתי ( p(B / A) p B / A לא עולה חדש עולה חדש ) ( p B/ A לא עולה חדש ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 115 נתוןp ( B ) = 0.25 : ( ) ( ) p ( B ) = 0.25 = p ( B / A ) ⋅ p ( A ) + p B / A ⋅ p A ע"פ נוסחת ההסתברות השלמה: נתון גם שp ( A ∩ B ) = 0.1 = p ( B / A ) ⋅ p ( A ) : לפי חוק בייס ⇓ כלומר: p ( A ∩ B ) = 0.1 = p ( B / A ) ⋅ 0.8 p ( B / A ) = 0.125 ( ) p B / A = 1 − p ( B / A ) = 1 − 0.125 = 0.875 כאמור: ( ) ( ) p ( B ) = 0.25 = p ( B / A ) ⋅ p ( A ) + p B / A ⋅ p A ( ) 0.25 = 0.125 ⋅ 0.8 + p B / A ⋅ 0.2 ) ( p B / A = 0.75 ) ⇓ ) ( ( p B / A = 1 − p B / A = 1 − 0.75 = 0.25 ) ( א .יש לחשב את : p A ∩ B ( לפי חוק בייס ) ( ) ( ) : 1 = p ( A ∩ B ) = 0.25 ⋅ 0.2 = 0.05 20 p A ∩B = p B/ A ⋅p A ) ( )p (B / A) ⋅ P (A = ב .יש לחשב את : p A / B לפי חוק בייס : )p ( B 0.75 ⋅ 0.2 3 = = 0.6 0.25 5 ) ( ) ( p A/B = p A/B ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 116 ג .ההסתברות המשלימה להסתברות המבוקשת ,לא עולה חדש וכן יוצא לטיול השנתי כלומר ) ( ההסתברות המשלימה שווה ל. 1 − p A ∩ B - ( ) ( ) 3 = 1 − p ( A ∩ B ) = 1 − 0.7 = 0.3 10 לפי חוק בייסp A ∩ B = P B / A ⋅ p ( A ) = 0.875 ⋅ 0.8 = 0.7 : ולכן ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 117 מבחן מס' 9 עדכון לפרק ב' חשיבה הסתברותית בחיי יום – יום ע"פ סקר שפורסם בעיתון 72% ,מהציבור תומך במאבק הסטודנטים בשכר הלימוד .ע"פ אותו סקר 60% ,מהציבור חושד שלפחות שליש ממקבלי המלגות ,מקבלים אותן שלא כדין. 45%מבין אלה שחושדים במקבלי המלגות ,אינם תומכים במאבק הסטודנטים. א .מהי פרופורציית התומכים במאבק הסטודנטים ,מבין אלה החושדים במקבלי המלגות? ב .מהי הפרופורצייה של אלה שלא תומכים במאבק הסטודנטים מבין אלה שלא חושדים במקבלי המלגות? ג .מהי פרופורציית הציבור שלא תומך במאבק הסטודנטים ואינו חושד שזכאי המלגות מקבלים אותן שלא כדין? פתרון מלא: נגדיר אירועים: - Aתומך במאבק p ( A ) = 0.72 - Aלא תומך במאבק. p A = 1 − 0.72 = 0.28 - Bחושד p ( B ) = 0.6 - Bלא חושד p B = 1 − 0.6 = 0.4 ) ) ( ) ( ( נתון גםp A / B = 0.45 : 11 א .יש לחשב את← p ( A / B ) : 20 ) ) ( = p ( A / B ) = 1 − p A / B = 1 − 0.45 = 0.55 ( ב .יש לחשב את : p A / B ) ( ) ( ) ( ) ( לפי נוסחת ההסתברות השלמהp A = p A / B ⋅ p ( B ) + p A / B ⋅ p B : ) ( 0.28 = 0.45 ⋅ 0.6 + p A / B ⋅ 0.4 כלומר: ) ( 1 = p A / B = 0.025 40 ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 118 ) ( ג .יש לחשב את p A ∩ B : ( ) ( ) ( ) 1 = p ( A ∩ B ) = ( 0.025 ) ⋅ ( 0.4 ) = 0.01 100 לפי חוק בייס p A ∩ B = p A / B p B : ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 119 מבחן מס' 10 עדכון לפרק ב' חשיבה הסתברותית בחיי יום – יום בסקר "משאל המרצה" באוניברסיטה כלשהי ,התבקשו הסטודנטים לסווג את המרצים שלהם כ"מעניינים" או כ"לא מעניינים" .לפי הסקר 58% :מהמרצים באוניברסיטה הם "מעניינים".חלק מהמרצים באוניברסיטה אוהבים מוסיקה קלאסית ,התברר ש 65% -מהמרצים שאוהבים מוסיקה קלאסית סווגו כ"מעניינים" 65% .מאלה שלא אוהבים מוסיקה קלאסית סווגו כ" -לא מעניינים".מצא: א .פרופורציית המרצים באוניברסיטה שאוהבים מוסיקה קלאסית ו"מעניינים". ב .פרופורציית האוהבים מוסיקה קלאסית מבין המרצים המעניינים. ג .פרופורציית המרצים שאינם אוהבים מוסיקה קלאסית מבין המרצים ה"-לא מעניינים". פתרון מלא: נגדיר אירועים: - Aמרצה מעניין p ( A ) = 0.58 - Aמרצה לא מעניין. p A = 1 − 0.58 = 0.42 ) ( - Bאוהב מוסיקה קלאסית - Bלא אוהב מוסיקה קלאסית ) ) ( ( ⎪⎫ p ( A / B ) =0.65לכןp A / B = 1 − p ( A / B ) = 1 − 0.65 = 0.35 : נתון⎬ : ⎪ p A / B =0.65לכןp A / B = 1 − p A / B = 1 − 0.65 = 0.35 : ⎭ ) ) ( ( א .יש לחשבp ( A ∩ B ) : לפי חוק בייסp ( A ∩ B ) = p ( A / B ) ⋅ p ( B ) : לפי נוסחת ההסתברות השלמה : ) ( ) ( p ( A ) = p ( A / B) ⋅ p ( B) + p A / B ⋅ p B 0.58 = 0.65 ⋅ p ( B ) + 0.35 (1 − p ( B ) ) = 0.3p ( B ) + 0.35 23 = 0.766 30 23 299 לכן: = 30 600 = ) 0.3p ( B ) = 0.23 → p ( B ⋅ p ( A ∩ B ) = 0.65 ב .יש לחשבp ( B / A ) : ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 120 23 לפי חוק ביס30 = 299 : 0.58 348 ⋅ )( 0.65 ) = )p ( A / B) ⋅ p ( B )p (A = )p (B / A ( ג .יש לחשב p B / A : 481 לפי חוק בייס: 504 = ⎞ 23 ⎟ ⎠ 60 ( 0.65) ⋅ ⎛⎜1 − ⎝ 0.42 =) ( ) )p (A ( p A / B ⋅p B ) ( = p B/A ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 121 מבחן מס' 11 עדכון לפרק ב' הסתברות בעיר מסוימת חלק מהתושבים ,צעירים ומבוגרים תומכים בבניית גורדי שחקים והשאר מתנגדים לבנייתם .אם בוחרים באקראי תושב מהעיר ,ההסתברות שהוא מתנגד לבנייה היא 20% . 0.6 מבין התומכים בבנייה הם צעירים. ההסתברות לבחור באקראי תומך בבנייה שהוא גם מבוגר גדולה פי 4מההסתברות לבחור באקראי מתנגד לבנייה שהוא גם צעיר. א.מהי ההסתברות לבחור באקראי תושב צעיר מבין תושבי העיר? ב.בוחרים באקראי תושב מבין הצעירים בעיר .מהי ההסתברות שהוא תומך בבנייה? ג.בוחרים באקראי תושב מהעיר .מהי ההסתברות שהוא תושב מבוגר או תושב ) מבוגר או צעיר ( המתנגד לבנייה? פתרון סופי: א0.16 . ב0.5 . ג0.92 . ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 122 מבחן מס' 12 עדכון לפרק ב' חשיבה הסתברותית בחיי יום – יום באחד מבתי הספר נערך משאל בעניין "שעת האפס". מחצית מכלל העונים לשאלון היו מורים ,ומחצית מכלל העונים לשאלון היו תלמידים. 60%מכלל עונים לשאלון תמכו בהנהגת " שעת האפס " בבית הספר ו 20% -מהתלמידים שענו לשאלון תמכו בהנהגת " שעת האפס ". נסמן - A :קבוצת התומכים ב"שעת האפס" שענו לשאלון. - Bקבוצת התלמידים שענו לשאלון. א.מבין התומכים ב"שעת האפס" ,מהי פרופורציית התלמידים? ב.בעיתון בית הספר הופיעה הכותרת :במשאל נמצא כי כל המורים שענו לשאלון תומכים בהנהגת "שעת האפס" בבית הספר .הראה בעזרת חישובים שהכותרת נכונה. פתרון סופי: 1 א. 6 ב .הוכחה ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 123 מבחן מס' 13 עדכון לפרק ב' הסתברות בקופסה 10כדורים ,חלקם שחורים והשאר לבנים. מוציאים באקראי כדור אחד .אם הכדור לבן ,משאירים אותו מחוץ לקופסה .אם הוא שחור, מחזירים אותו לקופסה .לאחר מכן מוציאים באקראי כדור שני. א .כמה כדורים שחורים וכמה כדורים לבנים היו בקופסה בתחילה ,אם ההסתברות ששני הכדורים 1 שמוציאים הם לבנים היא 3 ב .מהי ההסתברות שמבין שני הכדורים שמוציאים לפחות כדור אחד הוא לבן? ? חשיבה הסתברותית בחיי יום – יום בבאסטה יש אבטיחים ומלונים. מספר הפירות הבשלים גדול פי 4ממספר הפירות הלא בשלים. מספר האבטיחים הבשלים גדול ב 20% -ממספר המלונים הבשלים 75% .מבין המלונים הם בשלים. א .בנה טבלה דו ממדית לתיאור הנתונים באחוזים. ב .בוחרים פרי באקראי .מה ההסתברות שהוא אבטיח בשל? ג .האם יש קשר סטטיסטי בין סוג הפרי לבין מידת היותו בשל? פתרון סופי: הסתברות א 6 .לבנים 4 ,שחורים ב0.84 . חשיבה הסתברותית בחיי יום – יום א. בשל לא בשל סה"כ 50% 10% 60% מלון 30% 10% 40% סה"כ 80% 20% 100% מידת בשלות סוג פרי אבטיח ב0.5 . ג .כן ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 124 מבחן מס' 14 עדכון לפרק ב' הסתברות בכד יש nכדורים 3 .כדורים הם אדומים ,כדור אחד הוא שחור ,וכל שאר הכדורים הם צהובים. אם מוציאים באקראי מהכד כדור אדום ,זוכים ב 100 -שקל. אם מוציאים באקראי מהכד כדור צהוב ,זוכים ב 50-שקל. אם מוציאים באקראי מהכד את הכדור השחור ,לא זוכים בכלל. א .מוציאים באקראי כדור אחד מהכד .הבע באמצעות nאת ההסתברות לזכות ב 50-שקל בדיוק. ב .כאשר מוציאים באקראי כדור אחד מהכד ,מחזירים אותו לכד ושוב מוציאים באקראי כדור אחד ,ההסתברות לזכות ב 50-שקל בדיוק היא . 0.12 חשב את . n פתרון סופי: n−4 א. n = pבn = 10 . ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 125 מבחן מס' 15 עדכון לפרק ב' הסתברות בעיר מסוימת יש שני בתי ספר ,בית ספר א' ובית ספר ב'. 55%מהתלמידים בשכבת י"ב בעיר למדו בשנת תשס"ג בבית ספר א'. 75%מהתלמידים בשכבת י"ב בעיר היו זכאים לתעודת בגרות בשנה זו. 12%מהתלמידים בשכבת י"ב בעיר גם לא היו זכאים לתעודת בגרות בשנה זו וגם למדו בבית ספר א'. א.בוחרים באקראי תלמיד מבין תלמידי שכבת י"ב בבית ספר א'. מהי ההסתברות שהוא זכאי לתעודת בגרות? ב .בוחרים באקראי תלמיד מבין שכבת י"ב בעיר שאינם זכאים לתעודת בגרות. מהי ההסתברות שהוא לומד בבית ספר ב'? פתרון סופי: א0.782 . ב0.52 . ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 126 מבחן מס' 16 עדכון לפרק ב' הסתברות נתונים שני כדים .בכד יש 6כדורים כחולים ו 4-לבנים. בכד השני יש 8כדורים כחולים ו 6-לבנים. בוחרים כד אחד באקראי ומוציאים ממנו כדור אחד. ידוע כי הוצא כדור כחול. מהי ההסתברות שהכד הנבחר היה כד ב'? חשיבה הסתברותית בחיי יום – יום בבית ספר מסוים נערך מבחן מסכם בחשיבה הסתברותית לשכבת תלמידי י"א. בשכבה יש 200תלמידים ,ומהם 144תלמידים הצליחו במבחן. 3 10 מבין התלמידים שלא למדו למבחן ,הצליחו בו. 75%מבין התלמידים שלא הצליחו במבחן ,לא למדו למבחן. נסמן - A :קבוצת התלמידים שלמדו למבחן. - Bקבוצת התלמידים שהצליחו במבחן. א (1 .מבין התלמידים שלא למדו למבחן ,מהי פרופורציית התלמידים שלא הצליחו בו? (2מבין תלמידי השכבה ,מהי פרופורציית התלמידים שלא למדו למבחן? ב .מבין התלמידים שהצליחו במבחן ,מהי פרופורציית התלמידים שלמדו למבחן? פתרון סופי: הסתברות 20 41 חשיבה הסתברותית בחיי יום – יום א0.7 (1 . 0.3 (2 ב0.875 . ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 127 מבחן מס' 17 עדכון לפרק ב' חשיבה הסתברותית בחיי יום – יום באוניברסיטה מסוימת נערך סקר ע"י מפעל לייצור מחברות. בסקר השתתפו 4000סטודנטים ,מהם 1200נשים ,והשאר גברים. 2500מהסטודנטים העדיפו מחברת שורות ,והשאר העדיפו מחברת משבצות. התברר שלא קיים קשר סטטיסטי בין מין הסטודנט לבין העדפת המחברות. נסמן - A :מין הסטודנט הוא אישה. - Bהעדפת הסטודנט היא מחברת שורות. א .הצג את הנתונים בטבלת פרופורציות דו ממדית. ב .חשב את ) p ( A ∩ B p ( A ∪ B) , ג .חשב את ) p ( B / A ∪ B פתרון סופי: א. מין A A סה"כ B 750 1750 2500 B סה"כ 450 1050 1500 1200 2800 4000 העדפת מחברת בp ( A ∩ B ) = 0.1875 . p ( A ∪ B ) = 0.7375 גp ( B / A ∪ B ) = 0.8474 . ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 128 מבחן מס' 18 עדכון לפרק ב' הסתברות שחקן זורק כדור לסל .ההסתברות שהשחקן יקלע לסל היא: 0.7אם קלע בזריקה הקודמת , ו 0.6 -אם לא קלע בזריקה הקודמת. השחקן זורק כדור לסל 3פעמים. מהי ההסתברות שהשחקן יקלע בזריקה השלישית ,אם קלע בזריקה הראשונה? פתרון סופי: 0.67 ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 129 מבחן מס' 19 עדכון לפרק ב' חשיבה הסתברותית בחיי יום – יום באחד מבתי הספר נערך משאל בעניין תלבושת אחידה בבית הספר. לפניך תוצאות המשאל: 1 2 מהתלמידים ) בנות +בנים ( תומכים בתלבושת אחידה. 1 4 מתנגדים לתלבושת אחידה. 1 5 מהתלמידים הם בנים. נגדיר - A :קבוצת בנים. - Bקבוצת התלמידים ) בנות +בנים ( התומכים בתלבושת אחידה. א .מהי פרופורציית הבנים מבין התלמידים ) בנים +בנות ( המתנגדים לתלבושת אחידה? ב .מהי פרופורציית התומכות בתלבושת אחידה ,מבין הבנות בבית הספר? פתרון סופי: א0.1 . 7 ב. 16 ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 130 מבחן מס' 20 עדכון לפרק ב' הסתברות אם בוחרים באקראי תושב מעיר מסוימת ,ההסתברות שעיניו כחולות היא . 0.3 אם בוחרים באקראי תושב מבין בעלי העינים הכחולות באותה עיר ,ההסתברות ששערו שחור היא . 0.6ידוע כי ל 0.65 -מתושבי העיר יש לפחות אחת משתי תכונות אלה. א .בוחרים באקראי תושב מהעיר (1מהי ההסתברות שעיניו כחולות וגם שערו שחור? (2מהי ההסתברות ששערו שחור? ב.בוחרים באקראי תושב מבין בעלי השיער השחור בעיר. מהי ההסתברות שעיניו אינן כחולות? חשיבה הסתברותית בחיי יום – יום בסקר שנערך השתתפו 800אנשים ,מתוכם 500נשים 100 .נשים 1 תמכו ביום לימודים ארוך. 3 א .אם בוחרים באקראי אחד מהמשתתפים בסקר ומתברר שזה גבר ,מה ההסתברות שהוא תומך ביום לימודים ארוך? ב .אם בוחרים באקראי אחד מהמשתתפים בסקר ומתברר שהוא בעד יום לימודים ארוך , מה ההסתברות שזה גבר? מהתומכים היו נשים. פתרון סופי: הסתברות א0.18 (1 . 0.53 (2 2 ב. 3 חשיבה הסתברותית בחיי יום – יום 2 א. 3 2 ב. 3 ©כל הזכויות שמורות – לשירה כהן ,ארד טלמון ,ארז כהן )הוצאת אנקורי( – אין לצלם או להעתיק 131
© Copyright 2024