‫מדינת ישראל‬ ‫משרד החינוך‬ ‫משימות והצעת תשובות‬ ‫קיץ תשע"ד‬ ‫מתמטיקה‬ ‫‪ 4‬יחידות לימוד — שאלון ראשון‬ ‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬ ‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫הסתברות‬ ‫פרק ראשון — אלגברה‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪- 2 - ,‬‬ ‫(‪ 40‬נקודות)‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫ענה על שתיים מן השאלות ‪( 3-1‬לכל שאלה — ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬ ‫בעיות מילוליות‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫משימה ‪1‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫בגינה ציבורית שצורתה מלבן ‪ ABCD‬שתלו פרחים ודשא‪.‬‬ ‫השטח שבו שתלו את הפרחים הוא בצורת המשולש ישר־הזווית ‪, ABK‬‬ ‫והשטח שבו שתלו את הדשא הוא בצורת המרובע ‪( BCDK‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪K‬‬ ‫נתון‪ 2 :‬מטר = ‪. AB = 6$ KD , AK‬‬ ‫נסמן‪ x :‬מטר = ‪. KD‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ x‬את השטח שבו שתלו את הפרחים‪ ,‬ואת השטח שבו שתלו את הדשא‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מחיר השתילה למ"ר של הדשא הוא ‪ 40‬שקל‪.‬‬ ‫מחיר השתילה למ"ר של הפרחים גדול ב־ ‪ 50%‬ממחיר השתילה למ"ר של הדשא‪.‬‬ ‫המחיר הכולל של שתילת הדשא בגינה היה גדול ב־ ‪ 14,400‬שקל מהמחיר הכולל של‬ ‫שתילת הפרחים‪.‬‬ ‫מצא את השטח שבו שתלו את הדשא‪ ,‬ואת השטח שבו שתלו את הפרחים‪.‬‬ ‫המשך בעמוד ‪3‬‬ ‫הצעת תשובה למשימה ‪1‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫שטח המשולש ישר הזווית ‪ ABK‬הוא‪:‬‬ ‫‪AB $ AK‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫‪AB = 6x , AK = 2‬‬ ‫מכאן השטח שבו שתלו את הפרחים הוא‪:‬‬ ‫דרך ‪ I‬למציאת שטח הדשא‪:‬‬ ‫המרובע ‪ BCDK‬הוא טרפז ששטחו‪:‬‬ ‫‪6x $ 2‬‬ ‫‪2 = 6x‬‬ ‫‪(KD + BC) $ CD‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪S3ABK‬‬ ‫= ‪S3ABK‬‬ ‫= ‪S:BCDK‬‬ ‫‪0‬‬ ‫השטח שבו שתלו את הדשא הוא‪:‬‬ ‫‪(x + x + 2) 6x‬‬ ‫‪= 6x2 + 6x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪S jBCDK‬‬ ‫דרך ‪ II‬למציאת שטח הדשא‪:‬‬ ‫באמצעות חיסור שטח המשולש ‪ABK‬‬ ‫משטח המלבן ‪: ABCD‬‬ ‫= ‪S jBCDK = S=ABCD - SiABK‬‬ ‫‪= 6x (2 + x) - 6x = 6x2 + 6x‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫‪-3‬‬‫המשך תשובה למשימה ‪.1‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫המחיר של מ"ר של הפרחים גדול ב־ ‪( 50%‬גדול פי ‪)1.5‬‬ ‫ממחיר מ"ר של הדשא‪,‬‬ ‫‪ 60‬שקלים = ‪1.5 $ 40‬‬ ‫לכן מחיר מ"ר של הפרחים הוא‪:‬‬ ‫ריכוז הנתונים בטבלה‪:‬‬ ‫מחיר למ"ר‬ ‫(ש"ח)‬ ‫שטח‬ ‫(מ"ר)‬ ‫סך הכול מחיר‬ ‫(ש"ח)‬ ‫דשא‬ ‫‪40‬‬ ‫‪6x2 + 6x‬‬ ‫)‪40 (6x2 + 6x‬‬ ‫פרחים‬ ‫‪60‬‬ ‫‪6x‬‬ ‫‪60 $ 6x‬‬ ‫המחיר הכולל של שתילת דשא גדול ב־ ‪ 14,400‬שקלים‬ ‫מהמחיר הכולל של שתילת פרחים‪ ,‬לכן מתקיים‪:‬‬ ‫)‪60 $ 6x + 14, 400 = 40 (6x2 + 6x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x = - 7.5 , x = 8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ , x 2 0‬לכן הפתרון הוא‪:‬‬ ‫השטח ששתלו בו את הדשא הוא‪:‬‬ ‫השטח ששתלו בו את הפרחים הוא‪:‬‬ ‫‪ 8‬מטר = ‪x‬‬ ‫‪ 432‬מ"ר = ‪S:BCDK = 6x2 + 6x = 6 $ 82 + 6 $ 8‬‬ ‫‪ 48‬מ"ר = ‪STABK = 6x = 6 $ 8‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬ ‫‪-4-‬‬ ‫‪-3‬‬‫‪.2‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫גאומטריה אנליטית‬ ‫מס'‪ + 314 , 0358042‬נספח‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬משימות‪,‬‬ ‫משימה‬ ‫נתון מעגל שהמשוואה שלו היא ‪. (x + 4) 2 + (y + 2) 2 = 40‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הנקודה ‪ A‬היא נקודת החיתוך של המעגל עם החלק החיובי‬ ‫של ציר ה־ ‪( x‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצא את השיעורים של הנקודה ‪. A‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫הנקודה )‪ B (- 6 , 4‬נמצאת על המעגל‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הוכח כי המיתר ‪ AB‬אינו קוטר במעגל‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪ BC‬הוא מיתר במעגל הנתון‪.‬‬ ‫נתון כי ‪ BC‬מאונך למיתר ‪. AB‬‬ ‫מצא את השיעורים של הנקודה ‪. C‬‬ ‫הצעת תשובה למשימה ‪2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫במשחק שבו מסובבים‬ ‫אפשר‬ ‫באחד הדוכנים בלונה פארק‬ ‫להשתתףמתקיים‪:‬‬ ‫הוא ‪ , 0‬לכן‬ ‫א‪ .‬שיעור ה־ ‪ y‬של הנקודה ‪A‬‬ ‫גלגל המחולק ל־ ‪ 20‬גזרות שוות‪ .‬כשהגלגל נעצר‪ ,‬מחוג מצביע על אחת הגזרות‪.‬‬ ‫‪(x + 4) 2 + (0 + 2) 2 = 40‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪(x + 4) 2 = 36‬‬ ‫בגלגל יש ‪ 10‬גזרות ירוקות‪ 2 ,‬גזרות לבנות ו־ ‪ 8‬גזרות אדומות‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אם המחוג מצביע על גזרה ירוקה‪ ,‬לא זוכים בנקודות‪.‬‬ ‫‪ x = 2‬או ‪x = - 10‬‬ ‫אם המחוג מצביע על גזרה לבנה‪ ,‬זוכים ב־ ‪ 15‬נקודות‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אם המחוג מצביע על גזרה אדומה‪ ,‬זוכים ב־ ‪ 30‬נקודות‪.‬‬ ‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על החלק החיובי של ציר ה־ ‪ , x‬לכן‪:‬‬ ‫א‪ .‬אורי מסובב את הגלגל פעמיים‪.‬‬ ‫)‪A (2 , 0‬‬ ‫(‪ )1‬מהי ההסתברות שאורי יזכה בדיוק ב־ ‪ 30‬נקודות?‬ ‫(‪ )2‬ידוע שאורי זכה בדיוק ב־ ‪ 30‬נקודות‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מצאנו‪:‬מהי ההסתברות שהמחוג הצביע פעמיים על אותו הצבע?‬ ‫ב‪.‬‬ ‫אילן מסובב את הגלגל שלוש פעמים‪.‬‬ ‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫מהי ההסתברות שאילן יזכה ב־ ‪ 90‬נקודות?‬ ‫דרך ‪:I‬‬ ‫אורך המיתר ‪ AB‬הוא‪:‬‬ ‫רדיוס המעגל הוא ‪ , 40‬לכן קוטר המעגל הוא‪:‬‬ ‫)‪A (2 , 0‬‬ ‫)‪B (- 6 , 4‬‬ ‫‪AB = (2 + 6) 2 + (0 - 4) 2 = 80‬‬ ‫המשך בעמוד ‪4‬‬ ‫‪2 40‬‬ ‫אבל ‪ , 80 ! 2 $ 40‬לכן ‪ AB‬אינו קוטר‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬ ‫‪-5-‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫המשך תשובה למשימה ‪.2‬‬ ‫דרך ‪:II‬‬ ‫השיעורים של נקודת האמצע של המיתר ‪ AB‬הם‪:‬‬ ‫‪2 + (- 6) 0 + 4‬‬ ‫‪, 2 l‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫כלומר נקודת האמצע של המיתר ‪ AB‬היא‪:‬‬ ‫על פי הנתון‪ ,‬מרכז המעגל נמצא בנקודה‪:‬‬ ‫‪^- 2 , 2h‬‬ ‫)‪(- 4 , - 2‬‬ ‫אמצע המיתר ‪ AB‬אינו מרכז המעגל‪ ,‬לכן ‪ AB‬אינו קוטר במעגל הנתון‬ ‫דרך ‪:III‬‬ ‫נמצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודות ‪ A‬ו־ ‪. B‬‬ ‫שיפוע הישר ‪ AB‬הוא‪:‬‬ ‫‪0-4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 - (- 6) = - 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫משוואת הישר ‪ AB‬היא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y =- 2 x +1‬‬ ‫נבדוק אם מרכז המעגל מונח על הישר ‪. AB‬‬ ‫נציב את השיעורים )‪ (- 4 , - 2‬של מרכז המעגל‪,‬‬ ‫במשוואת הישר ‪: AB‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪- 2 = - 2 $ (- 4) + 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-2 !3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מרכז המעגל לא נמצא על הישר ‪, AB‬‬ ‫לכן ‪ AB‬אינו קוטר במעגל הנתון‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/6‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫‪-6‬‬‫המשך תשובה למשימה ‪.2‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫דרך ‪: I‬‬ ‫)‪A (2 , 0) , B (- 6 , 4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0-4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 + 6 =- 2‬‬ ‫שיפוע המיתר ‪ AB‬הוא‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 =2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫שיפוע המיתר ‪ BC‬המאונך לישר ‪ AB‬הוא‪:‬‬ ‫משוואת ‪ BC‬לפי שיפוע ונקודה‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪y - 4 = 2 (x + 6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫משוואת ‪ BC‬היא‪:‬‬ ‫הנקודה ‪ C‬נמצאת על המעגל‬ ‫וגם על הישר ‪, BC‬‬ ‫לכן נציב ‪ y = 2x + 16‬במשוואת המעגל‪:‬‬ ‫‪y = 2x + 16‬‬ ‫‪(x + 4) 2 + (2x + 16 + 2) 2 = 40‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x = - 10 , x = - 6‬‬ ‫שיעור ה־ ‪ x‬של ‪ B‬הוא ‪ , x = - 6‬לכן‬ ‫שיעור ה־ ‪ x‬של ‪ C‬הוא‪:‬‬ ‫‪x C = - 10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y C = 2 (- 10) + 16 = - 4‬‬ ‫שיעורי הנקודה ‪ C‬הם‪:‬‬ ‫)‪C (- 10 , - 4‬‬ ‫דרך ‪: II‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪AB = BC‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ AC‬קוטר במעגל‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫)‪A (2 , 0‬‬ ‫נסמן את השיעורים של הנקודה ‪: C‬‬ ‫)‪C (x , y‬‬ ‫מרכז המעגל בנקודה )‪(- 4 , - 2‬‬ ‫הוא נקודת האמצע של ‪ , AC‬לכן מתקיים‪:‬‬ ‫(אם זווית היקפית במעגל היא בת‬ ‫אז היא נשענת על קוטר)‬ ‫‪90 o‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y+0‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪2 =- 4 , 2 =- 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪C (- 10 , - 4‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪ BC‬הוא מיתר במעגל הנתון‪.‬‬ ‫נתון כי ‪ BC‬מאונך למיתר ‪. AB‬‬ ‫‪-7-‬‬ ‫מצא את השיעורים של הנקודה ‪. C‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫הסתברות‬ ‫משימה ‪3‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫באחד הדוכנים בלונה פארק אפשר להשתתף במשחק שבו מסובבים‬ ‫גלגל המחולק ל־ ‪ 20‬גזרות שוות‪ .‬כשהגלגל נעצר‪ ,‬מחוג מצביע על אחת הגזרות‪.‬‬ ‫בגלגל יש ‪ 10‬גזרות ירוקות‪ 2 ,‬גזרות לבנות ו־ ‪ 8‬גזרות אדומות‪.‬‬ ‫אם המחוג מצביע על גזרה ירוקה‪ ,‬לא זוכים בנקודות‪.‬‬ ‫אם המחוג מצביע על גזרה לבנה‪ ,‬זוכים ב־ ‪ 15‬נקודות‪.‬‬ ‫אם המחוג מצביע על גזרה אדומה‪ ,‬זוכים ב־ ‪ 30‬נקודות‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫אורי מסובב את הגלגל פעמיים‪.‬‬ ‫(‪ )1‬מהי ההסתברות שאורי יזכה בדיוק ב־ ‪ 30‬נקודות?‬ ‫(‪ )2‬ידוע שאורי זכה בדיוק ב־ ‪ 30‬נקודות‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שהמחוג הצביע פעמיים על אותו הצבע?‬ ‫ב‪.‬‬ ‫אילן מסובב את הגלגל שלוש פעמים‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שאילן יזכה ב־ ‪ 90‬נקודות?‬ ‫הצעת תשובה למשימה ‪3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ההסתברות לא לזכות באף נקודה בסיבוב בודד‬ ‫(ההסתברות שהמחוג יצביע על גזרה ירוקה)‪:‬‬ ‫ההסתברות לזכות ב־ ‪ 15‬נקודות בסיבוב בודד‬ ‫‪10‬המשך בעמוד ‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20 = 2 = 0.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20 = 10 = 0.1‬‬ ‫(ההסתברות שהמחוג יצביע על גזרה לבנה)‪:‬‬ ‫ההסתברות לזכות ב־ ‪ 30‬נקודות בסיבוב בודד‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪20 = 5 = 0.4‬‬ ‫(ההסתברות שהמחוג יצביע על גזרה אדומה)‪:‬‬ ‫פריסת מרחב המדגם של שני סיבובים באמצעות דיאגרמת עץ‪:‬‬ ‫סיבוב ראשון‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ירוק (‪ 0‬נקודות)‬ ‫לבן (‪ 15‬נקודות)‬ ‫סיבוב שני‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ירוק‬ ‫(‪ 0‬נקודות)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫לבן‬ ‫(‪ 15‬נקודות)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫אדום (‪ 30‬נקודות)‬ ‫סיבוב שני‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫אדום‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ירוק‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫לבן‬ ‫(‪ 30‬נקודות) (‪ 15‬נקודות) (‪ 30‬נקודות)‬ ‫סיבוב שני‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫אדום‬ ‫(‪ 45‬נקודות)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ירוק‬ ‫(‪ 30‬נקודות)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫לבן‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(‪ 45‬נקודות)‬ ‫אדום‬ ‫(‪ 60‬נקודות)‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/8‬‬ ‫‪-8-‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫המשך תשובה למשימה ‪.3‬‬ ‫(‪ )1‬ההסתברות לזכות בדיוק ב־ ‪ 30‬נקודות‬ ‫כאשר מסובבים את הגלגל פעמיים היא‪:‬‬ ‫‪o‬ירוק‪ ,‬אדום‪ o + P e‬לבן‪ ,‬לבן ‪o + P e‬אדום‪ ,‬ירוק‪ m = P (0 , 30) + P (15 , 15) + P (30 , 0) = P e‬לזכות ב־ ‪ 30‬נקודות‬ ‫בשני סיבובים‬ ‫‪Pc‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪ m = 2 $ 5 + 10 $ 10 + 5 $ 2 = 100 = 0.41‬לזכות ב־ ‪ 30‬נקודות ‪P c‬‬ ‫בשני סיבובים‬ ‫(‪)2‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לזכות ב־ ‪30‬‬ ‫‪$‬‬ ‫) לבן‪ ,‬לבן ( ‪P‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪ o‬נקודות‬ ‫‪= 104110 = 41 = 0.0244‬‬ ‫בשני סיבובים‬ ‫‪ o‬לזכות ב־ ‪ 30‬נקודות ‪P e‬‬ ‫‪100‬‬ ‫בשני סיבובים‬ ‫ההסתברות לזכות ב־ ‪ 90‬נקודות‬ ‫כאשר מסובבים את הגלגל ‪ 3‬פעמים היא‪:‬‬ ‫‪/‬‬ ‫אותו הצבע ‪P e‬‬ ‫יופיע‬ ‫לזכות ב־ ‪ 90‬נקודות‬ ‫‪ o‬אדום‪ ,‬אדום‪ ,‬אדום ‪ m = P (30 , 30 , 30) = P e‬בשלושה סיבובים ‪P c‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫לזכות ב־ ‪ 90‬נקודות‬ ‫‪ m = b 5 l = 125 = 0.064‬בשלושה סיבובים ‪P c‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/9‬‬ ‫‪-4‬‬‫פרק שני — גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬ ‫‪-9-‬‬ ‫ענה על אחת מן השאלות ‪.5-4‬‬ ‫(‪ 20‬נקודות)‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫במישור‬ ‫גאומטריה‬ ‫שבמחברתך‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה‬ ‫משימה ‪4‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫במלבן ‪ ABCD‬העבירו אלכסון ‪. AC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הנקודה ‪ K‬נמצאת על הצלע ‪. AD‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ CK‬חוצה את ‪BACD‬‬ ‫‪K‬‬ ‫(ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫נתון‪ 5 :‬ס"מ = ‪ 4 , AK‬ס"מ = ‪. KD‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪D‬‬ ‫מצא את היחס ‪ . AC‬נמק‪.‬‬ ‫‪ M‬היא נקודת המפגש של אלכסוני המלבן‪.‬‬ ‫המשך ‪ KM‬חותך את הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪. P‬‬ ‫הוכח כי ‪. PC = AK‬‬ ‫הוכח כי ‪ AP‬חוצה את ‪. BBAC‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪O‬‬ ‫א‪(.‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫הקטע ‪ KC‬חוצה את הזווית ‪ACD‬‬ ‫נתון‪, BACB = 120o :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫למשימה ‪4‬‬ ‫הצעת תשובה‬ ‫‪C‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪120 o‬‬ ‫‪, AC DC‬‬ ‫‪KD‬מהצלע‬ ‫הצלע ‪ AB‬גדולה ב־‪ 4 4‬ס"מ‬ ‫על פי משפט חוצה זווית ‪O‬‬ ‫‪AC = AK = 5‬‬ ‫הצלע ‪ BC‬גדולה ב־ ‪ 2‬ס"מ מהצלע ‪. AC‬‬ ‫‪ DC = AB‬במלבן הצלעות הנגדיות שוות‬ ‫מצא את אורכי הצלעות של המשולש ‪. ABC‬‬ ‫‪ BK‬הוא קוטר במעגל‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מכאן‪:‬‬ ‫חשב את ‪. BCAK‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪AB 4‬‬ ‫‪AC = 5‬‬ ‫‪AM = MC‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫בעמוד ‪5‬‬ ‫המשך את זה‬ ‫במלבן האלכסונים חוצים זה‬ ‫‪AD z BC‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪BCAD =B ACB‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים‬ ‫‪BAMK =B PMC‬‬ ‫זוויות קדקודיות‬ ‫‪3AMK ,3CMP‬‬ ‫על פי ז‪.‬צ‪.‬ז‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪PC = AK‬‬ ‫צלעות מתאימות במשולשים חופפים‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/10‬‬ ‫‪- 10 -‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫המשך תשובה למשימה ‪.4‬‬ ‫‪ 9‬ס"מ = ‪AD = AK + KD = 5 + 4‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪ 9‬ס"מ = ‪BC = AD‬‬ ‫הוכחנו בסעיף ב‪:‬‬ ‫במלבן צלעות נגדיות שוות‬ ‫‪ 5‬ס"מ = ‪PC = AK‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 4‬ס"מ = ‪BP = BC - PC = 9 - 5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מכאן‬ ‫‪BP 4‬‬ ‫‪PC = 5‬‬ ‫הוכחנו בסעיף א‪:‬‬ ‫‪AB 4‬‬ ‫‪AC = 5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫‪AB BP 4‬‬ ‫‪AC = PC = 5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ AP‬חוצה זווית ‪ , BAC‬על פי המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/11‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪ M‬היא נקודת המפגש של אלכסוני המלבן‪.‬‬ ‫המשך ‪ KM‬חותך את הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪. P‬‬ ‫הוכח כי ‪. PC = AK‬‬ ‫הוכח כי ‪ AP‬חוצה את ‪. BBAC‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫‪- 11 -‬‬ ‫טריגונומטריה במישור‬ ‫משימה ‪5‬‬ ‫‪C‬‬ ‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪O‬‬ ‫(ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫נתון‪, BACB = 120o :‬‬ ‫הצלע ‪ AB‬גדולה ב־ ‪ 4‬ס"מ מהצלע ‪, AC‬‬ ‫‪120 o‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הצלע ‪ BC‬גדולה ב־ ‪ 2‬ס"מ מהצלע ‪. AC‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצא את אורכי הצלעות של המשולש ‪. ABC‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪ BK‬הוא קוטר במעגל‪.‬‬ ‫‪K‬‬ ‫חשב את ‪. BCAK‬‬ ‫בעמוד ‪5‬‬ ‫הצעת תשובההמשך‬ ‫למשימה ‪5‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫נסמן ב־ ‪ x‬את אורך הצלע ‪. AC‬‬ ‫לפי הנתון‪ ,‬אורכי הצלעות ‪ AB‬ו־ ‪ BC‬הם‪:‬‬ ‫על פי משפט הקוסינוסים במשולש ‪ ABC‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪AB = x + 4 , BC = x + 2‬‬ ‫‪AB2 = AC2 + BC2 - 2 $ AC $ BC $ cos 120 o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪(x + 4) 2 = x2 + (x + 2) 2 - 2 $ x (x + 2) $ (- 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ x = - 2‬או ‪x = 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ , x 2 0‬לכן אורך הצלע ‪ AC‬הוא‪:‬‬ ‫‪x= 3‬‬ ‫אורכי צלעות המשולש ‪ ABC‬הם‪:‬‬ ‫‪ 7‬ס"מ = ‪ 5 , AB‬ס"מ = ‪ 3 , BC‬ס"מ = ‪AC‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/12‬‬ ‫‪- 12 -‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫המשך תשובה למשימה ‪.5‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫חישוב זווית ‪: CAK‬‬ ‫‪BCAK =BCAB +BBAK‬‬ ‫‪BBAK = 90 o‬‬ ‫במשולש ‪ ABC‬על פי משפט הסינוסים‪:‬‬ ‫זווית היקפית במעגל הנשענת על קוטר היא בת ‪90 o‬‬ ‫‪CB‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪sin BCAB = sin 120 o‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪sin BCAB = sin 120 o‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪sin BCAB = 0.6185‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ BCAB = 38.21 o‬או ‪BCAB = 180 o - 38.21 o‬‬ ‫נתון משולש ‪ ABC‬קהה זווית לכן‪ ,‬שתי הזוויות האחרות הן חדות‬ ‫‪0‬‬ ‫‪BCAB = 38.21 o‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫‪BCAK = 90 o + 38.21 o = 128.21 o‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/13‬‬ ‫‪-5-‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬משימות‪ ,‬מס' ‪ + 314 , 035804‬נספח‬ ‫פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬ ‫ ‪- 13‬‬‫של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫(‪ 40‬נקודות)‬ ‫ענה על שתיים מן השאלות ‪( 8-6‬לכל שאלה — ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬ ‫חקירה של פונקציה רציונלית‬ ‫הראשונות ‪6‬שבמחברתך‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות משימה‬ ‫)‪4 (x + 1‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪+ 1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫= )‪. f (x‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f(x‬המקבילות לצירים‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נתונה הפונקציה )‪. g (x) = f (x‬‬ ‫מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה )‪. g(x‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫נתונה הפונקציה )‪ f(x‬בתחום ‪. x 2 0‬‬ ‫בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת )‪f'(x‬הצעת תשובה למשימה ‪6‬‬ ‫בתחום ‪. x 2 0‬‬ ‫א‪ .‬צריך להתקיים ‪ , x2 ! 0‬לכן תחום ההגדרה של )‪ f(x‬הוא‪:‬‬ ‫א‪ .‬היעזר בנתונים שבגרף של )‪, f'(x‬‬ ‫‪x!0‬‬ ‫ומצא את שיעור ה־ ‪ x‬של נקודת הקיצון‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫של הפונקציה )‪ , f(x‬וקבע את סוגה‪.‬‬ ‫האסימפטוטה האנכית של‪ 1‬הפונקציה )‪: f(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נתון‪. f (1) = 4 3 , f (3) = 12 3 :‬‬ ‫המוגבלהפונקציה )‪: f(x‬‬ ‫האופקית של‬ ‫האסימפטוטה‬ ‫את השטח‬ ‫(‪ )1‬מצא‬ ‫על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת )‪, f'(x‬‬ ‫על ידי ציר ה־ ‪ x‬ועל ידי הישר ‪x = 3‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫(השטח האפור בציור)‪.‬‬ ‫‪3a‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪f'(x‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫‪y =1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x!0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪ )2‬נתון גם‪ a , f'(x) = 3ax2 - 2 :‬הוא פרמטר‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫לגרף הפונקציה )‪ f(x‬אין נקודות חיתוך עם ציר ה־ ‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫היעזר בערך של האינטגרל ‪ , # (3ax2 - 2 ) dx‬שמצאת בתת־סעיף ב(‪,)1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x) = 0‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫הפונקציה עם ציר ה־ ‪x‬‬ ‫החיתוך של גרף‬ ‫בנקודת‬ ‫ומצא את‬ ‫הפרמטר ‪. a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫המשך‪0‬בעמוד ‪6‬‬ ‫)‪4 (x + 1‬‬ ‫‪+1= 0‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4x + 4 + x2 = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x =- 2‬‬ ‫נקודת החיתוך עם ציר ה־ ‪: x‬‬ ‫)‪(- 2 , 0‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/14‬‬ ‫ ‪- 14‬‬‫המשך תשובה למשימה ‪.6‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪- 4x2 - 8x‬‬ ‫הנגזרת של )‪ f(x‬היא‪:‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫= )‪f'(x‬‬ ‫‪f'(x) = 0‬‬ ‫‪- 4x2 - 8x = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x = 0 , x =- 2‬‬ ‫תחום ההגדרה ‪ , x ! 0‬לכן‬ ‫נקודה "חשודה" לקיצון היא‪:‬‬ ‫‪x =- 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫תחום העלייה של הפונקציה )‪ f(x‬הוא‪:‬‬ ‫‪-21x10‬‬ ‫תחום הירידה של הפונקציה )‪ f(x‬הוא‪:‬‬ ‫‪x 1- 2 , x 2 0‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫נקודת‬ ‫מינימום‬ ‫)‪f'(x‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y =1‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫הפונקציה‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪g (x) = f (x‬‬ ‫‪4 (x + 1) + x2 x2 + 4x + 4‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪x ! 0 ,g (x) = 2‬‬ ‫‪x + 4x + 4 (x + 2) 2‬‬ ‫האסימפטוטה האנכית של )‪ g(x‬היא‪:‬‬ ‫האסימפטוטה האופקית של )‪ g(x‬היא‪:‬‬ ‫‪x =- 2‬‬ ‫‪y =1‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/15‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫ ‪- 15‬‬‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫‪1‬‬ ‫חשבון= )‪. g (x‬‬ ‫דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות רציונליות‬ ‫נתונה הפונקציה )‪f (x‬‬ ‫מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה )‪g(x‬‬ ‫משימה ‪7.‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫נתונה הפונקציה )‪ f(x‬בתחום ‪. x 2 0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת )‪f'(x‬‬ ‫בתחום ‪. x 2 0‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫היעזר בנתונים שבגרף של )‪, f'(x‬‬ ‫)‪f'(x‬‬ ‫ומצא את שיעור ה־ ‪ x‬של נקודת הקיצון‬ ‫של הפונקציה )‪ , f(x‬וקבע את סוגה‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נתון‪. f (1) = 4 3 , f (3) = 12 3 :‬‬ ‫(‪ )1‬מצא את השטח המוגבל‬ ‫על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת )‪, f'(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫על ידי ציר ה־ ‪ x‬ועל ידי הישר ‪x = 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(השטח האפור בציור)‪.‬‬ ‫‪3a‬‬ ‫(‪ )2‬נתון גם‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ ‪ a , f'(x) = 3ax2‬הוא פרמטר‪.‬‬‫‪3‬‬ ‫היעזר בערך של האינטגרל‬ ‫ומצא את הפרמטר ‪. a‬‬ ‫‪# (3ax2 - 3xa2 ) dx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ,‬שמצאת בתת־סעיף ב(‪,)1‬‬ ‫המשך בעמוד ‪6‬‬ ‫הצעת תשובה למשימה ‪7‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הפונקציה )‪ f(x‬מוגדרת בתחום ‪. x 2 0‬‬ ‫פונקציית הנגזרת )‪ f'(x‬מתאפסת בנקודה ‪x = 1‬‬ ‫עבור ‪0 1 x 11‬‬ ‫‪ f (x) % f'(x) 1 0‬יורדת‬ ‫עבור ‪x 21‬‬ ‫‪ f (x) % f'(x) 2 0‬עולה‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ x = 1‬היא נקודת מינימום של )‪f(x‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/16‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫ ‪- 16‬‬‫המשך תשובה למשימה ‪.7‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (3) = 12 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (1) = 4 3‬‬ ‫(‪ )1‬השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת )‪, f'(x‬‬ ‫על ידי ציר ה־ ‪ x‬ועל ידי הישר ‪ x = 3‬הוא‪f' (x) dx = f (x) = f (3) - f (1) = 8 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪ )2‬נחשב את האינטגרל‪:‬‬ ‫‪3a 3‬‬ ‫‪3a 3‬‬ ‫; ‪+ x ;= ax3 + x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪# (3ax2 - 3xa2 ) dx = 3 $ ax3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3$ a‬‬ ‫‪3$ a‬‬ ‫‪(a $ 33 + 3 ) - (a $13 + 1 ) = 24a‬‬ ‫על פי סעיף ב (‪:)1‬‬ ‫‪24a = 8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a=3‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/17‬‬ ‫‪- 17 -‬‬ ‫‪-6‬‬‫‪.8‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫בעיות מינימום ‪ /‬מקסימום‬ ‫מס'‪ + 314 , 0358048‬נספח‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬משימות‪,‬‬ ‫משימה‬ ‫במשולש ישר־זווית ‪ ABC‬סכום הניצבים ‪ BA‬ו־ ‪ BC‬הוא ‪ 45‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ CD‬הוא תיכון לניצב ‪ BA‬במשולש ‪( ABC‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫נסמן‪. BD = x :‬‬ ‫מה צריך להיות אורך הקטע ‪, BD‬‬ ‫כדי שאורך התיכון ‪ CD‬יהיה מינימלי?‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫עבור הערך של ‪ x‬שמצאת בסעיף א‪,‬‬ ‫מצא את שטח המשולש ‪. ADC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הצעת תשובה למשימה ‪8‬‬ ‫א‪ .‬נסמן‪:‬‬ ‫‪BD = x‬‬ ‫‪ DC‬תיכון לניצב ‪BA‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬ ‫‪x‬‬ ‫‪AD = DB = x‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪ 45‬ס"מ= ‪AB + BC‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 45‬ס"מ= ‪2x + BC‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪BC = 45 - 2x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫על פי משפט פיתגורס במשולש ישר־זווית ‪: DBC‬‬ ‫‪45 - 2x‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪DC2 = DB2 + BC2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אורך התיכון ‪ DC‬הוא‪:‬‬ ‫‪DC = x2 + (45 - 2x) 2‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/18‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬משימות‪ 4 ,‬יח"ל‪ ,‬שאלון ראשון‬ ‫ ‪- 18‬‬‫המשך פתרון למשימה ‪.8‬‬ ‫‪ f (x) = x2 + (45 - 2x) 2‬בתחום ‪0 1 x 1 22.5‬‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫‪10x - 180‬‬ ‫הנגזרת היא‪:‬‬ ‫‪5x2 - 180x + 2025‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=)‪f'(x‬‬ ‫‪f'(x) = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x = 18‬‬ ‫‪0 1 x 1 22.5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪0 1 x 118‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫נקודת‬ ‫מינימום‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f'(x‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ x = 18‬היא נקודת המינימום של )‪. f(x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אורך הקטע ‪ BD‬הוא‪:‬‬ ‫ב‪ .‬עבור ‪: x = 18‬‬ ‫‪ BC‬הוא גובה לצלע ‪AD‬‬ ‫במשולש ‪ , ADC‬לכן‪:‬‬ ‫‪ 18‬ס"מ‬ ‫‪ 18‬ס"מ = ‪ AD‬ו־ ‪ 9‬ס"מ = ‪BC‬‬ ‫‪AD $ BC‬‬ ‫= ‪STADC‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪18 $ 9‬‬ ‫‪ 81‬סמ"ר = ‪2‬‬ ‫= ‪STADC‬‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬