‫מכללת אורט כפר‪-‬סבא‬ ‫מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים‬ ‫תרגיל מס' ‪4‬‬ ‫פתרו את השאלות הבאות‪ .‬יש לסיים את התרגיל עד יום א' )‪.(19.10‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫א‪ .‬ממשו את הפונקציה שכותרתה‪:‬‬ ‫)‪void swap (int *a, int *b‬‬ ‫הפונקציה תקבל מצביעים לשני משתנים מטיפוס שלם‪ ,‬ותבצע החלפה ביניהם‪.‬‬ ‫ב‪ .‬ממשו את הפונקציה שכותרתה‪:‬‬ ‫)‪void bubble_sort (int a[], int n‬‬ ‫הפונקציה ממיינת בסדר עולה מערך ‪ a‬המכיל ‪ n‬מספרים שלמים‪ ,‬בעזרת האלגוריתם‬ ‫למיון בועות )‪ .(Bubble Sort‬היעזרו בפונקציה שכתבתם בסעיף א'‪.‬‬ ‫ג‪ .‬איזה שינוי עליכם לעשות בפונקציה המממשת את האלגוריתם למיון בועות‪ ,‬אותה‬ ‫כתבתם בסעיף ב'‪ ,‬על מנת שהיא תמיין את המערך בסדר יורד‪ ,‬במקום בסדר עולה?‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫בשיעור ראינו כי הן מיון בועות והן מיון בחירה‪ ,‬הם שניהם מסיבוכיות זמן ריצה ) ‪ Θ(n 2‬במקרה‬ ‫הגרוע ביותר‪ .‬בשאלה זו ננסה להעריך את סיבוכיות זמן הריצה של שני אלגוריתמים אלו במקרה‬ ‫הטוב ביותר‪ .‬כזכור‪ ,‬בשיעור ראינו כי באלגוריתם למיון בועות ניתן להכניס שיפור‪ ,‬בדמות הדגל‬ ‫הבוליאני ‪ .sorted‬הניחו שזו הגרסה של מיון בועות בה אנו משתמשים‪.‬‬ ‫א‪ .‬כמה פעולות יבצע האלגוריתם למיון בועות )המשופר( אם הוא מקבל בתור קלט מערך‬ ‫שהוא כבר ממוין? בטאו את תשובתכם בעזרת הסימן האסימפטוטי ‪. Θ‬‬ ‫ב‪ .‬האם קיים קלט אחר מזה שתואר בסעיף א'‪ ,‬שעבורו האלגוריתם למיון בועות יבצע פחות‬ ‫פעולות?‬ ‫ג‪ .‬בהסתמך על סעיפים א' ו‪-‬ב'‪ ,‬קבעו מהי סיבוכיות זמן הריצה של האלגוריתם למיון‬ ‫בועות‪ ,‬במקרה הטוב ביותר‪.‬‬ ‫ד‪ .‬כעת‪ ,‬קבעו מהי סיבוכיות זמן הריצה של האלגוריתם למיון בחירה‪ ,‬במקרה הטוב ביותר‪.‬‬ ‫לשם כך‪ ,‬יהיה עליכם קודם לקבוע מה יהיה הקלט הטוב ביותר עבור האלגוריתם‪.‬‬ ‫ה‪ .‬נניח שברשותכם מערך שהוא כמעט ממוין )כלומר‪ :‬הרוב הגדול של איבריו ממוינים‪ ,‬פרט‬ ‫למספר קטן של איברים שלא נמצאים במקומם(‪ .‬באיזה מבין שני האלגוריתמים למיון‬ ‫שהכרנו – מיון בחירה ומיון בועות – תעדיפו להשתמש?‬ ‫‪1‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫א‪ .‬מעוניינים לכתוב אלגוריתם המקבל כפרמטר מערך ממוין ‪ a‬המכיל ‪ n‬מספרים שלמים שונים‬ ‫מאפס )אך לאו דווקא שונים זה מזה( המורכב מסדרת מס' שליליים ולאחריה סדרת מס' אי‪-‬‬ ‫שליליים‪ .‬האלגוריתם יחזיר את האינדקס של האיבר החיובי הקטן ביותר‪ .‬פתחו אלגוריתם‬ ‫יעיל הפותר את הבעיה‪ ,‬וחשבו את סיבוכיות זמן הריצה שלו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬משנים את הגדרת הבעיה מסעיף א'‪ ,‬וכעת המטרה היא לכתוב אלגוריתם המוצא את האיבר‬ ‫הקטן ביותר במערך )לאו דווקא חיובי(‪ .‬פתחו אלגוריתם יעיל הפותר את הבעיה‪ ,‬וחשבו את‬ ‫סיבוכיות זמן הריצה שלו‪.‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫סטודנט פיתח אלגוריתם הנקרא חיפוש טרינרי )‪ (ternary search‬לחיפוש איבר במערך ממוין‪.‬‬ ‫האלגוריתם דומה לחיפוש בינארי‪ ,‬אך במקום לחצות את המערך לשניים בכל שלב‪ ,‬הוא מחלק‬ ‫את המערך לשלושה חלקים שווים ככל האפשר‪ ,‬ומבצע שתי השוואות‪ :‬עבור האיבר במקום ה‪n/3-‬‬ ‫ועבור האיבר במקום ה‪ .2n/3-‬לפי השוואות אלו‪ ,‬האלגוריתם יודע באיזה שליש של המערך יש‬ ‫להמשיך את החיפוש‪.‬‬ ‫א‪ .‬עבור מערך בגודל ‪ n‬תאים‪ ,‬חשבו כמה צעדים יבצע האלגוריתם לחיפוש בינארי‪ ,‬וכמה‬ ‫צעדים יבצע האלגוריתם לחיפוש טרינרי‪ .‬הציגו בפירוט את חישוביכם‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מי מבין שני האלגוריתמים יעיל יותר? הסבירו את תשובתכם‪.‬‬ ‫ג‪ .‬האם השיפור ביעילות הוא שיפור בקבוע )‪ (improvement by factor‬או שיפור בסדר גודל‬ ‫)‪ ?(order-of-magnitude improvement‬הסבירו את תשובתכם‪.‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫נתונה הפונקציה הרקורסיבית הבאה‪:‬‬ ‫)‪float secret (int x, int y‬‬ ‫‪ */‬טענת כניסה‪ x :‬ו‪ y-‬מס' שלמים ‪/* y >= x ,‬‬ ‫‪ */‬טענת יציאה‪/* ???????????????????????? :‬‬ ‫{‬ ‫;‪if (x == y) return x‬‬ ‫;‪if (y-x == 1) return x+0.5‬‬ ‫;)‪return secret(x+1,y-1‬‬ ‫}‬ ‫א‪ .‬השלימו את טענת היציאה של הפונקציה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בצעו שינויים בפונקציה כך שתבצע את מטרתה עבור כל זוג מספרים ‪ ,x,y‬ולא רק עבור אלו‬ ‫שמקיימים ‪. y >= x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫כידוע משיעורי חשבון‪ ,‬ניתן להציג מכפלה של שני מספרים טבעיים על ידי פעולת חיבור בלבד‪.‬‬ ‫לדוגמה‪.3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 :‬‬ ‫ניתן להשתמש בעקרון זה‪ ,‬על מנת לחשב את המכפלה ‪ P * Q‬באופן רקורסיבי‪:‬‬ ‫תנאי עצירה‪:‬‬ ‫‪P*1=P‬‬ ‫צעד רקורסיבי‪) P * Q = P*(Q-1) + P :‬כאשר ‪.(Q > 1‬‬ ‫א‪ .‬הסבירו כיצד אפשר להשתמש בכלל רקורסיבי זה על מנת לחשב את ‪.3*4‬‬ ‫ב‪ .‬לפניכם פונקציה רקורסיבית )(‪ multiply‬הממומשת באופן חלקי‪ ,‬וחסרים בה שלושה ביטויים‬ ‫הממוספרים )‪ .(1)-(3‬השלימו את הביטויים החסרים‪.‬‬ ‫)‪int multiply (int p, int q‬‬ ‫*‪/‬‬ ‫‪ */‬טענת כניסה‪ P :‬ו‪ Q-‬הם שלמים‪ ,‬ו‪0 < Q-‬‬ ‫‪ */‬טענת יציאה‪ :‬הפונקציה מחזירה את מכפלתם של ‪ P‬ו‪/* Q-‬‬ ‫{‬ ‫)‬ ‫)‪(1‬‬ ‫;‬ ‫)‪(2‬‬ ‫;‬ ‫)‪(3‬‬ ‫( ‪if‬‬ ‫‪else‬‬ ‫}‬ ‫שאלה ‪7‬‬ ‫לפניכם פונקציה רקורסיבית‪:‬‬ ‫)‪int f(int a, int b‬‬ ‫‪ */‬טענת כניסה‪ a :‬ו‪ b-‬מס' שלמים *‪/‬‬ ‫‪ */‬טענת יציאה‪/* ??????????????? :‬‬ ‫{‬ ‫;)‪if (b > a) return 1 + f(a+1, b‬‬ ‫;‪else if (a > b) return f(a-1, b) + 1‬‬ ‫;‪else return 0‬‬ ‫}‬ ‫א‪ .‬מה מחזירה הפונקציה עבור )‪?f(-3,1) ?f(6,4) ?f(4,7‬‬ ‫ב‪ .‬השלימו את טענת היציאה של הפונקציה‪.‬‬ ‫שאלה ‪8‬‬ ‫לפניכם פונקציה רקורסיבית‪:‬‬ ‫)‪int f(unsigned int x‬‬ ‫‪ */‬טענת כניסה‪ x :‬מס' שלם חיובי )טבעי( *‪/‬‬ ‫‪ */‬טענת יציאה‪/* ?????????????????????? :‬‬ ‫{‬ ‫;‪if (x == 0) return 0‬‬ ‫;))‪return (f(x/2) + (x%2‬‬ ‫}‬ ‫א‪ .‬מה מחזירה הפונקציה עבור )‪?f(8) ?f(7) ?f(6) ?f(5) ?f(4‬‬ ‫ב‪ .‬השלימו את טענת היציאה של הפונקציה‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫שאלה ‪9‬‬ ‫בכמה דרכים שונות יכולה דבורה לעוף לתא מסוים‪ ,‬אם היא מתחילה משמאל לימין )החל‬ ‫מתאים ‪ 1‬או ‪ ?(2‬נתון שהדבורה מתקדמת מתא אל תא סמוך‪ ,‬כך שתמיד היא עפה מתא אל תא‬ ‫אחר שמספרו גדול ממנו )לדוגמה דבורה יכול לעוף מתא ‪ 2‬לתא ‪ 3‬אך לא להיפך(‪.‬‬ ‫לדבורה יש רק דרך אחת להגיע לתא מס' ‪.1‬‬ ‫לדבורה יש שתי דרכים להגיע לתא מס' ‪ :2‬דרך התאים ‪ ,12‬או דרך תא מס' ‪.2‬‬ ‫לדבורה יש שלוש דרכים להגיע לתא מס' ‪ :3‬דרך ‪ ,13‬או ‪ ,23‬או ‪.123‬‬ ‫בכמה דרכים יכולה הדבורה לעוף כדי להגיע לתא מס' ‪ ?4‬מס' ‪ ?7‬מס' ‪?8‬‬ ‫כתבו פונקציה המקבלת כפרמטר מספר טבעי ‪ ,n‬ומחזירה את מספר הדרכים השונות בהן הדבורה‬ ‫יכולה לעוף כדי להגיע לתא מספר ‪.n‬‬ ‫שאלה ‪10‬‬ ‫קבוצת תלמידים המכילה בנים‬ ‫ובנות‬ ‫משתתפים באירוע בבית ספר‪ .‬המארגנים רוצים‬ ‫להושיב חלק מהמשתתפים על שורה של כסאות כך ששני בנים לא ישבו בסמוך זה לזה‪ .‬השאלה‬ ‫היא בכמה אפשרויות ניתן לסדר ב‪ n-‬כסאות קבוצה של בנים ובנות בשורה כך ששני בנים לא ישבו‬ ‫בסמוך זה לזה‪.‬‬ ‫לדוגמה‪:‬‬ ‫בכסא אחד ניתן להושיב בן‬ ‫או בת‬ ‫כלומר ‪ 2‬אפשרויות‬ ‫או בת ובן‬ ‫בשני כסאות יש ‪ 3‬אפשרויות‪ :‬בן ובת‬ ‫בשלוש כסאות יש ‪ 5‬אפשרויות‪:‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫או שתי בנות‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪.‬‬ ‫א‪ .‬בכמה אפשרויות ניתן לסדר בנים ובנות על ‪ 4‬כסאות‪ ,‬כך ששני בנים לא ישבו זה ליד זה ?‬ ‫ב‪ .‬בכמה אפשרויות ניתן לסדר בנים ובנות על ‪ 5‬כסאות‪ ,‬כך ששני בנים לא ישבו זה ליד זה ?‬ ‫ג‪ .‬כתבו פונקציה המקבלת כקלט מס' טבעי ‪ ,n‬ומחזירה את מס' האפשרויות לסדר בנים‬ ‫ובנות על ‪ n‬כסאות‪ ,‬כך ששני בנים לא ישבו זה ליד זה‪.‬‬ ‫הדרכה‪ :‬בנו נוסחה רקורסיבית )‪ f(n‬בדומה למה שעשינו בשיעור בבעיית בניית קו‬ ‫הקרשים‪ .‬עיינו במצגת השיעור האחרון‪.‬‬ ‫ד‪) .‬סעיף רשות( כתבו פונקציה המקבלת כקלט מס' טבעי ‪ ,n‬ומחזירה את מס' האפשרויות לסדר‬ ‫בנים ובנות על ‪ n‬כסאות‪ ,‬כך ששלושה בנים לא ישבו זה ליד זה )אך שניים כן יוכלו לשבת!(‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫שאלה ‪11‬‬ ‫בתרגיל קודם נתקלנו במושג של סדרה הנדסית )שאלה ‪ 10‬מתוך תרגיל מס' ‪ 1‬בתכנות מערכות‬ ‫בשפת ‪ .(C‬כזכור‪ ,‬מדובר בסדרה שבה קיים יחס קבוע ‪ q‬בין כל שני איברים סמוכים‪:‬‬ ‫… ‪a, aq, aq2, aq3, aq4, aq5,‬‬ ‫עליכם לכתוב פונקציה רקורסיבית שכותרתה‪:‬‬ ‫)‪int geometric_sequence (int a, int q, int n‬‬ ‫המקבלת כפרמטר שלושה מספר טבעיים ‪ ,a,q,n‬ומחזירה את האיבר ה‪-n-‬י של הסדרה ההנדסית‬ ‫שאיברה הראשון הוא ‪ a‬והמנה הקבועה שלה היא ‪.q‬‬ ‫הדרכה‪ :‬חשבו ‪ -‬מה יהיה תנאי העצירה? חשבו גם על הצעד הרקורסיבי ‪ -‬כיצד ניתן לבטא איבר‬ ‫בסדרה הנדסית על‪-‬ידי האיבר הקודם לו?‬ ‫שאלה ‪12‬‬ ‫כתבו תכנית מחשב בשפת ‪ C‬המיישמת את האלגוריתם הבא‪:‬‬ ‫קלוט מספר טבעי לתוך ‪X‬‬ ‫כל עוד ‪ X‬איננו פלינדרום‪ ,‬בצע‪:‬‬ ‫הַ שֵ ם ב‪ Y-‬את המספר ההפוך בסדר ספרותיו ל‪X-‬‬ ‫הַ שֵ ם ב‪ X-‬את ‪X + Y‬‬ ‫הצג כפלט את ערכו של ‪X‬‬ ‫לדוגמא‪ ,‬אם נפעיל את האלגוריתם על ‪ ,X = 87‬אז נקבל‪:‬‬ ‫‪87 + 78 = 165‬‬ ‫‪165 + 561 = 726‬‬ ‫‪726 + 627 = 1353‬‬ ‫‪ ,1353 + 3531 = 4884‬ונסיים‪.‬‬ ‫אם נפעיל את האלגוריתם על ‪ ,X = 64‬אז נקבל‪:‬‬ ‫‪64 + 46 = 110‬‬ ‫‪ ,110 + 011 = 121‬ונסיים‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫אם נפעיל את האלגוריתם על ‪ ,X = 13‬אז נקבל‪:‬‬ ‫‪ ,13 + 31 = 44‬ונסיים‪.‬‬ ‫האם תמיד מובטח שהאלגוריתם יעצור? כלומר – האם נגיע בהכרח בשלב מסוים לפלינדרום?‬ ‫מסתבר שמדובר בבעיה פתוחה‪ ,‬שהתשובה עליה לא ידועה‪ .‬קראו‪ ,‬למשל‪ ,‬את סיפורו )העגום?( של‬ ‫מתכנת שהריץ תכנית זו במחשב במשך שלוש שנים‪ ,‬מבלי שהתכנית תיעצר‪:‬‬ ‫‪http://www.fourmilab.ch/documents/threeyears/threeyears.html‬‬ ‫רמז‪ :‬האם כתבנו באחד התרגילים בתכנות מערכות בשפת ‪ C‬פונקציה שעשויה להיות שימושית‬ ‫בשאלה זו?‬ ‫ולשם שעשוע‪ :‬הקומיקאי האמריקאי ‪ Weird Al Yankovic‬הקליט שיר בשם '‪ ,'Bob‬שהוא‬ ‫פארודיה על סגנון השירה של הזמר בוב דילן‪ ,‬אך מה שמיוחד בשיר הוא שכל שורה בו היא‬ ‫פלינדרום‪https://www.youtube.com/watch?v=UnJdxUwF1Wg :‬‬ ‫שאלה ‪13‬‬ ‫מעוניינים לכתוב פונקציה רקורסיבית שכותרתה ‪-‬‬ ‫)‪void find_min_max (int a[], int *min, int *max, int n‬‬ ‫הפונקציה מקבלת מערך ‪ a‬של מס' שלמים שגודלו ‪ ,n‬ומחזירה )דרך הפרמטרים ‪ min‬ו‪,max-‬‬ ‫המועברים לפי כתובת( את האיבר המינימלי והאיבר המקסימלי במערך‪.‬‬ ‫למשל‪ ,‬נניח ש‪ a-‬הוא המערך הבא‪ ,‬שגודלו ‪ 8‬תאים‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪11‬‬ ‫אם נזמן את הפונקציה על‪-‬ידי )‪ ,find_min_max(a,&x,&y,8‬כאשר ‪ x‬ו‪ y-‬הם משתנים‬ ‫מטיפוס שלם‪ ,‬אזי הם יקבלו את הערכים ‪. x = -8, y = 44‬‬ ‫להלן מימוש חלקי של הפונקציה‪ ,‬אשר חסרים בו עשרה ביטויים הממוספרים )‪:(1) - (10‬‬ ‫‪6‬‬ void find_min_max (int a[], int *min, int *max, int n) { int temp_min, temp_max; if ( ) (1) { (2) ; (3) ; } else { find_min_max(a, if ( (4) , (5) , (6) ); ) (7) *min = temp_min; else (8) if ( (9) ; ) *max = temp_max; else (10) ; } } .‫ שראינו בשיעור האחרון‬max_array ‫ עבדו לפי עיקרון הדומה לזה של הפונקציה‬:‫הדרכה‬ 7