‫מכללת אורט כפר‪-‬סבא‬ ‫מב‪‬י ‪‬תו‪‬ים ויעילות אלגוריתמים‬ ‫תרגיל מס' ‪20‬‬ ‫פתרו את השאלות הבאות‪ .‬יש לסיים את התרגיל עד יום ד' )‪.(18.2‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫א‪ .‬פתרו את שאלה ‪ 5‬מהבחי‪‬ה החיצו‪‬ית של ש‪‬ת תשס"ג )‪.(2003‬‬ ‫ב‪ .‬מדוע באלגוריתם המרה מדובר רק על קשתות עץ )‪ (tree edges‬וקשתות אחורה ) ‪back‬‬ ‫‪ ,(edges‬ולא על קשתות חוצות )‪ (cross edges‬וקשתות קדימה )‪?(forward edges‬‬ ‫ג‪ .‬הסבירו מדוע סיבוכיות זמן הריצה של האלגוריתם המתואר בסעיף ג' היא )|‪.Θ(|V| + |E‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫‪‬תון הגרף המכוון )‪ G = (V,E‬הבא‪:‬‬ ‫א‪ .‬מצא את רכיבי הקשירות בחוזקה‬ ‫)רק"חים( של הגרף‪ ,‬באמצעות‬ ‫האלגוריתם ש‪‬למד בכיתה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬לאחר חישוב הרק"חים‪ ,‬תארו את גרף‬ ‫הרכיבים )‪ .GSCC = (VSCC,ESCC‬גרף‬ ‫כזה מכו‪‬ה גם 'גרף העל'‪.‬‬ ‫)תשובה‪(http://math.eitan.ac.il/graph_theory/040_Strong/040_Strong_intro.htm :‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫בתוך מב‪‬ה ‪‬תו‪‬ים מסוים מאוחס‪‬ים ‪ n‬איברים ולהם מפתחות שו‪‬ים )כל מפתח הוא מספר שלם‬ ‫וחיובי(‪ ,‬ומעו‪‬יי‪‬ים לממש את הפעולה )‪ ,Select(k‬אשר מחזירה את האיבר בעל המפתח ה‪-k-‬י‬ ‫בגודלו )לדוגמא‪ :‬הפעולה )‪ Select(1‬תחזיר את האיבר בעל המפתח הקטן ביותר‪Select(n) ,‬‬ ‫תחזיר את האיבר בעל המפתח הגדול ביותר‪ ,‬וכו'(‪.‬‬ ‫עבור כל אחד ממב‪‬י ה‪‬תו‪‬ים הבאים‪ ,‬הסבירו בקצרה כיצד ‪‬יתן לממש את הפעולה ביעילות‪,‬‬ ‫ו‪‬תחו את סיבוכיות זמן הריצה של הפעולה ‪ Select‬לפי ‪) n‬מספר האיברים במב‪‬ה( ו‪) k-‬הפרמטר‬ ‫של הפעולה ‪.(Select‬‬ ‫א‪ .‬מערך ממוין‬ ‫ב‪ .‬רשימה מקושרת ממוי‪‬ת‬ ‫ג‪ .‬ערימת מי‪‬ימום‬ ‫ד‪ .‬טבלת עירבול )‪(Hash Table‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫‪‬תון גרף מכוון )‪ G = (V,E‬המיוצג על‪-‬ידי רשימת הסמיכויות הבאה‪:‬‬ ‫א‪ .‬שרטט את הגרף‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הפעל את האלגוריתם חיפוש לעומק )‪ (DFS‬על הגרף ה‪‬תון‪ ,‬החל מהקודקוד ‪ .a‬בהפעלת‬ ‫האלגוריתם חשב את ]‪ d[u‬ואת ]‪ ,f[u‬בעבור כל קודקוד ‪ ,u‬כאשר ]‪ d[u‬מציין את מועד‬ ‫הגילוי של הקודקוד ‪ u‬בעת הסריקה‪ ,‬ו‪ f[u]-‬מציין את מועד סיום הטיפול בקודקוד ‪.u‬‬ ‫כעת שרטט את עץ העומק )עץ ‪ (DFS‬שמתקבל לאחר הרצת האלגוריתם‪ ,‬ומלא את‬ ‫הטבלה הבאה‪:‬‬ ‫ג‪ .‬יהי )‪ GT = (V,ET‬הגרף המוחלף של הגרף המכוון ‪ G‬ה‪‬תון לעיל‪ .‬שים לב כי קשת מכוו‪‬ת‬ ‫)‪ (a,b‬בגרף ‪ ,G‬הופכת להיות קשת מכוו‪‬ת )‪ (b,a‬בגרף ‪ .GT‬שרטט את הגרף ‪.GT‬‬ ‫ד‪ .‬הפעל את האלגוריתם חיפוש לעומק )‪ (DFS‬על הגרף ‪ ,GT‬כאשר הלולאה הראשית‬ ‫סורקת את קודקודי הגרף בסדר הבא‪ :‬הסדר ‪‬קבע לפי מועדי הסיום )]‪ (f[u‬בסדר יורד‪,‬‬ ‫כאשר מועדי הסיום )]‪ (f[u‬חושבו בסעיף ב' עבור הגרף ‪ .G‬כלומר‪ ,‬בהתחלה האלגוריתם‬ ‫מופעל על הגרף ‪ GT‬החל מהקודקוד בעל מועד הסיום הגדול ביותר‪ ,‬שחושב על‪-‬ידי ‪DFS‬‬ ‫עבור הגרף ‪ G‬בסעיף ב'‪.‬‬ ‫שרטט את יער העומק )יער ‪ (DFS‬המתקבל לאחר הפעלת האלגוריתם על הגרף ‪.GT‬‬ ‫כזכור‪ ,‬יער עומק הוא אוסף של עצי עומק‪.‬‬ ‫ה‪ .‬כמה רכיבי קשירות בחוזקה )רק"ח( ‪ Strongly Connected Components (SCC) -‬יש‬ ‫בגרף המוחלף ‪?GT‬‬ ‫ו‪ .‬הסק‪ :‬האם ל‪ G-‬ול‪ GT-‬יש בדיוק אותם רכיבי קשירות חזקה? מהו הקשר בין יער‬ ‫העומק ש‪‬ב‪‬ה בסעיף ד'‪ ,‬לבין רכיבי הקשירות בחוזקה של הגרף ‪?G‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שאלה ‪) 5‬ממבחן של משרד החי‪‬וך(‬ ‫‪3‬‬ ‫שאלה ‪) 6‬ממבחן של משרד החי‪‬וך(‬ ‫‪4‬‬ ‫שאלה ‪7‬‬ ‫בשאלה ‪ 9‬בתרגיל ‪ 16‬ראי‪‬ו כיצד ‪‬יתן לכתוב אלגוריתם שזמן ריצתו )‪ (n‬המקבל ש‪‬י עצי ‪AVL‬‬ ‫המכילים ‪ n‬איברים כל‪-‬אחד‪ ,‬ובו‪‬ה עץ ‪ AVL‬המכיל את איברי ש‪‬י העצים‪.‬‬ ‫א‪ .‬האם ‪‬יתן לב‪‬ות אלגוריתם שזמן ריצתו )‪ , (n‬המקבל ‪ 3‬עצי ‪ ,AVL‬שבכל אחד מהם יש‬ ‫‪ n‬איברים‪ ,‬ובו‪‬ה עץ ‪ AVL‬המכיל את איברי כל העצים? אם כן – תארו את האלגוריתם‪,‬‬ ‫ואם לא – הסבירו מדוע אלגוריתם כזה לא ייתכן‪.‬‬ ‫ב‪ .‬האם ‪‬יתן לב‪‬ות אלגוריתם שזמן ריצתו )‪ , (n‬המקבל ‪ k‬עצי ‪) AVL‬כאשר ‪ k‬הוא מספר‬ ‫טבעי וקבוע‪ ,‬אשר אי‪‬ו תלוי ב‪ ,(n-‬שבכל אחד מהם יש ‪ n‬איברים‪ ,‬ובו‪‬ה עץ ‪ AVL‬המכיל‬ ‫את איברי כל העצים? אם כן – תארו את האלגוריתם‪ ,‬ואם לא – הסבירו מדוע אלגוריתם‬ ‫כזה לא ייתכן‪.‬‬ ‫ג‪ .‬האם ‪‬יתן לב‪‬ות אלגוריתם שזמן ריצתו )‪ , (n‬המקבל ‪ n‬עצי ‪ ,AVL‬שבכל אחד מהם יש‬ ‫‪ n‬איברים‪ ,‬ובו‪‬ה עץ ‪ AVL‬המכיל את איברי כל העצים? אם כן – תארו את האלגוריתם‪,‬‬ ‫ואם לא – הסבירו מדוע אלגוריתם כזה לא ייתכן‪.‬‬ ‫שאלה ‪8‬‬ ‫פתרו את ‪‬וסחאות ה‪‬סיגה הלי‪‬אריות האי‪-‬הומוג‪‬יות הבאות‪ ,‬עם ת‪‬אי התחלה כרצו‪‬כם‪ ,‬בעזרת‬ ‫שיטת ההפרשים‪:‬‬ ‫א‪f(n) = f(n-1) + n .‬‬ ‫ב‪f(n) = 2f(n-1) + n – 4 .‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪f(n) = 2f(n-1) + 3f(n-2) +3n‬‬ ‫‪5‬‬ ‫שאלה ‪9‬‬ ‫א‪ .‬מספר האיברים המקסימלי בעץ בי‪‬ארי כמעט שלם שגובהו ‪ h‬הוא‪...‬‬ ‫‪log2(h) .1‬‬ ‫‪2h-1+1 .2‬‬ ‫‪2h .3‬‬ ‫‪2h+1-1 .4‬‬ ‫ב‪ .‬האם תשובתכם לסעיף א' הייתה משת‪‬ה אם היי‪‬ו משמיטים את הדרישה שהעץ‬ ‫הבי‪‬ארי יהיה כמעט שלם? ‪‬מקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מספר האיברים המי‪‬ימלי בעץ בי‪‬ארי כמעט שלם שגובהו ‪ h‬הוא‪...‬‬ ‫‪log2(h-1)+1 .1‬‬ ‫‪2h-2+1 .2‬‬ ‫‪2h-1 .3‬‬ ‫‪2h .4‬‬ ‫ד‪ .‬האם תשובתכם לסעיף ג' הייתה משת‪‬ה אם היי‪‬ו משמיטים את הדרישה שהעץ הבי‪‬ארי‬ ‫יהיה כמעט שלם? ‪‬מקו את תשובתכם‪.‬‬ ‫ה‪ .‬הגובה )‪ (height‬של ערימה בי‪‬ארית )‪ (binary heap‬בת ‪ n‬איברים הוא‪...‬‬ ‫‪log 2 (n - 1)  1 .1‬‬ ‫‪log 2 (n) .2‬‬ ‫‪log 2 (n)  1 .3‬‬ ‫‪ .4‬אף אחת מהתשובות אי‪‬ה ‪‬כו‪‬ה‪.‬‬ ‫‪6‬‬