‫מדינת ישראל‬ ‫סוג הבחינה‪:‬‬ ‫משרד החינוך‬ ‫מועד הבחינה‪:‬‬ ‫מספר השאלון‪:‬‬ ‫א‪ .‬בגרות לבתי ספר על־יסודיים‬ ‫ב‪ .‬בגרות לנבחנים אקסטרניים‬ ‫חורף תשע"ד‪2014 ,‬‬ ‫‪316 ,035806‬‬ ‫הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות‬ ‫מתמטיקה‬ ‫‪ 5‬יחידות לימוד – שאלון ראשון‬ ‫הוראות לנבחן‬ ‫א‪.‬‬ ‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות וחצי‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מבנה השאלון ומפתח ההערכה‪ :‬בשאלון זה שלושה פרקים‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫פרק ראשון‬ ‫— אלגברה והסתברות‬ ‫—‬ ‫‪16 3 #2‬‬ ‫פרק שני‬ ‫— גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬ ‫—‬ ‫‪16 3 #2‬‬ ‫פרק שלישי‬ ‫— חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫—‬ ‫‪16 3 #2‬‬ ‫—‬ ‫סה"כ‬ ‫—‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫—‬ ‫‪ 33 3‬נקודות‬ ‫—‬ ‫‪ 33 3‬נקודות‬ ‫‪ 33 3‬נקודות‬ ‫‪ 100‬נקודות‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫חומר עזר מותר בשימוש‪:‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫מחשבון לא גרפי‪ .‬אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות‪.‬‬ ‫שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫דפי נוסחאות (מצורפים)‪.‬‬ ‫הוראות מיוחדות‪:‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד‪.‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫התחל כל שאלה בעמוד חדש‪ .‬רשום במחברת את שלבי הפתרון‪ ,‬גם כאשר‬ ‫החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון‪.‬‬ ‫הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת‪.‬‬ ‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים‪.‬‬ ‫שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 3-1‬לכל שאלה — ‪ 16 23‬נקודות)‪.‬‬ ‫הראשונות שבמחברתך‪.‬פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות‪- 2 -‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫נמל ‪ A‬ונמל ‪ B‬נמצאים על אותה גדה של נהר‪ ,‬שכיוון הזרם שלו הוא מ־ ‪ A‬ל־ ‪. B‬‬ ‫רפסודה הפליגה בשעה ‪ 9:00‬בבוקר מנמל ‪ A‬אל נמל ‪ , B‬והיא נישאה על גבי הזרם של הנהר‬ ‫כך שמהירות הרפסודה היא מהירות הזרם‪.‬‬ ‫באותה שעה הפליגה סירה מנמל ‪( B‬נגד כיוון הזרם) לכיוון נמל ‪. A‬‬ ‫מהירות הסירה במים עומדים היא ‪ 15‬קמ"ש‪.‬‬ ‫הסירה הגיעה לנמל ‪ , A‬ומיד חזרה אל נמל ‪. B‬‬ ‫ידוע כי הרפסודה והסירה יגיעו לנמל ‪ B‬באותה שעה‪.‬‬ ‫נתון כי הרפסודה והסירה נפגשו לראשונה כעבור ‪ 5‬שעות מרגע הפלגתן‪.‬‬ ‫האם הסירה והרפסודה יגיעו לנמל ‪ B‬עד לשעה ‪ 9:00‬בערב באותו היום? נמק‪.‬‬ ‫מהירות הזרם ומהירות הסירה במים עומדים הן קבועות‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬בחישוביך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪1‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫דרך (ק"מ)‬ ‫מהירות (קמ"ש)‬ ‫זמן (שעות)‬ ‫‪v‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪S‬‬ ‫סירה נגד הזרם‬ ‫‪15 - v‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪15 - v‬‬ ‫‪S‬‬ ‫סירה עם הזרם‬ ‫‪15 + v‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪15 + v‬‬ ‫‪S‬‬ ‫רפסודה‬ ‫הרפסודה והסירה יגיעו ל־ ‪ B‬באותו הזמן‪ ,‬לכן‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪v 15 - v 15 + v‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪v2 + 30v - 152 = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 6.21‬קמ"ש ‪v .‬‬ ‫הדרך שהרפסודה עוברת עד הפגישה‪:‬‬ ‫הדרך שהסירה עוברת עד הפגישה‪:‬‬ ‫‪5$v‬‬ ‫)‪5 (15 - v‬‬ ‫‪ 75‬ק"מ = )‪S = 5v + 5 (15 - v‬‬ ‫לכן הדרך מ־ ‪ A‬ל־ ‪ B‬היא‪:‬‬ ‫הזמן שהרפסודה והסירה יגיעו ל־ ‪: B‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪ 12.08‬שעות = ‪v = 6.21‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 12‬שעות ‪ 12.082‬שעות‪ ,‬לכן לא יספיקו להגיע עד ‪ 9:00‬בערב‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫‪-3‬‬‫‪-3‬‬‫‪.2‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫‪ +‬נספח‬ ‫נתונה סדרה הנדסית אין־סופית יורדת‪:‬‬ ‫‪a1 , a2 , a3 , a 4 , ...‬‬ ‫סכום כל איברי הסדרה בלי האיבר הראשון הוא ‪. 6‬‬ ‫מחליפים את הסימנים של כל האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה‪,‬‬ ‫ומתקבלת סדרה הנדסית חדשה‪:‬‬ ‫‪a1 , - a2 , a3 , - a 4 , ...‬‬ ‫סכום כל איברי הסדרה החדשה בלי האיבר הראשון הוא ‪. - 3‬‬ ‫מהאיברים של הסדרה הנתונה בנו סדרה שלישית‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a2 , a3 , a 4 , ...‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הוכח כי הסדרה השלישית היא סדרה הנדסית‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נתון כי סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה השלישית הוא ‪. 273.25‬‬ ‫מצא את ‪. n‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫תושביםלשאלה ‪2‬‬ ‫תשובה‬ ‫המשתתפים‬ ‫בעיר מסוימת יש תושבים המשתתפים בחוג לריקודי עם‪ ,‬יש‬ ‫בחוג לתאטרון ויש תושבים המשתתפים בשני החוגים‪.‬‬ ‫א‪ .‬נסמן ב־ ‪ q‬את מנת הסדרה הנתונה‪.‬‬ ‫נמצא כי המאורע "תושב העיר משתתף בחוג לריקודי עם"‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫העיר‪n + 1‬‬ ‫הוא‪ :‬מאורעות בלתי‪= a q‬‬ ‫בחוגהשלישית‬ ‫בסדרה‬ ‫במקום‬ ‫האיבר‬ ‫לתאטרון" הם‬ ‫משתתף‬ ‫"תושב‬ ‫והמאורע‬ ‫תלויים‪a n + .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מספר התושבים שמשתתפים בחוג לריקודי עם גדול פי ‪ 2‬ממספר התושבים שמשתתפים‬ ‫‪0‬‬ ‫בחוג לתאטרון‪.‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=q‬‬ ‫לכן‪ ,‬מנת הסדרה השלישית היא‪:‬‬ ‫לריקודי‪a n +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫עם‪.‬‬ ‫מבין התושבים שמשתתפים בחוג לתאטרון‪ 60% ,‬משתתפים בחוג‬ ‫א‪.‬‬ ‫לתאטרון?‬ ‫מהו אחוז התושבים בעיר שמשתתפים בחוג לריקודי עם וגם בחוג ‪0‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫לריקודי עם‪ ,‬ורק הם‪.‬‬ ‫בחוג‬ ‫לכן‪:‬בו כל התושבים המשתתפים‬ ‫שהשתתפו‬ ‫נערך בעיר‬ ‫מנתאחד‬ ‫יום‬ ‫הנדסית‬ ‫הסדרה‬ ‫כנסקבועה‪,‬‬ ‫השלישית‬ ‫הסדרה‬ ‫עיתונאי ראיין ‪ 6‬משתתפים בכנס שנבחרו באקראי‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שלפחות ‪ 2‬מהם משתתפים בחוג לתאטרון?‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬ ‫‪-4‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.2‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫סכום כל איברי הסדרה הנתונה‪ ,‬בלי האיבר הראשון‪ ,‬מקיים‪:‬‬ ‫מנת הסדרה החדשה היא ‪, - q‬‬ ‫לכן סכום כל איברי הסדרה החדשה‪ ,‬בלי האיבר הראשון‪ ,‬מקיים‪:‬‬ ‫מ־ ‪ I‬ו־ ‪ II‬מקבלים‪:‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪1- q = 6‬‬ ‫‪I.‬‬ ‫‪- a2‬‬ ‫‪1+ q =- 3‬‬ ‫‪II.‬‬ ‫)‪3 (1 + q) = 6 (1 - q‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪q= 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מהצבת ‪ q = 3‬ב־ ‪ I‬או ב־ ‪ II‬מקבלים‪:‬‬ ‫‪a2 = 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪q‬‬ ‫מצאנו כי מנת הסדרה השלישית היא‪:‬‬ ‫לכן‪ ,‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים‬ ‫בסדרה השלישית מקיים‪:‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪4 (3 - 1) = 273.25‬‬ ‫‪3-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3 n = 2187‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪n=7‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הוכח כי הסדרה השלישית היא סדרה הנדסית‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נתון כי סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה השלישית הוא ‪. 273.25‬‬ ‫‪-5‬‬‫מצא את ‪. n‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫בעיר מסוימת יש תושבים המשתתפים בחוג לריקודי עם‪ ,‬יש תושבים המשתתפים‬ ‫בחוג לתאטרון ויש תושבים המשתתפים בשני החוגים‪.‬‬ ‫נמצא כי המאורע "תושב העיר משתתף בחוג לריקודי עם"‬ ‫והמאורע "תושב העיר משתתף בחוג לתאטרון" הם מאורעות בלתי תלויים‪.‬‬ ‫מספר התושבים שמשתתפים בחוג לריקודי עם גדול פי ‪ 2‬ממספר התושבים שמשתתפים‬ ‫בחוג לתאטרון‪.‬‬ ‫מבין התושבים שמשתתפים בחוג לתאטרון‪ 60% ,‬משתתפים בחוג לריקודי עם‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מהו אחוז התושבים בעיר שמשתתפים בחוג לריקודי עם וגם בחוג לתאטרון?‬ ‫ב‪.‬‬ ‫יום אחד נערך בעיר כנס שהשתתפו בו כל התושבים המשתתפים בחוג לריקודי עם‪ ,‬ורק הם‪.‬‬ ‫עיתונאי ראיין ‪ 6‬משתתפים בכנס שנבחרו באקראי‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שלפחות ‪ 2‬מהם משתתפים בחוג לתאטרון?‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪3‬‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫‪ — A‬קבוצת המשתתפים בחוג לריקודי עם‬ ‫‪ — B‬קבוצת המשתתפים בחוג לתאטרון‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪P (A / B) = 0.6‬‬ ‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫המאורעות )‪ P(A‬ו־ )‪ P(B‬הם בלתי תלויים‪ ,‬לכן‪:‬‬ ‫‪P (A/B) = P (A) = 0.6‬‬ ‫‪I.‬‬ ‫)‪P (A) = 2P (B‬‬ ‫‪II.‬‬ ‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫‪P (B) = 0.3‬‬ ‫מ־ ‪ I‬ו־ ‪ II‬מקבלים‪:‬‬ ‫‪P (A + B) = P (A) $ P (B) = 0.6 # 0.3 = 0.18‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אחוז התושבים המשתתפים‬ ‫בחוג לריקודי עם וגם בחוג לתאטרון הוא‪:‬‬ ‫‪18%‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/6‬‬ ‫‪-6-‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫המשך תשובה לשאלה ‪.3‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫המאורעות בלתי תלויים‪ ,‬לכן ההסתברות‬ ‫לבחור מבין המשתתפים בחוג לריקודי עם‬ ‫)‪P = P (B / A) = P (B‬‬ ‫משתתף בחוג לתאטרון היא‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪P = 0.3‬‬ ‫מהצבת התוצאה מסעיף א מקבלים‪:‬‬ ‫ההסתברות שלפחות ‪ 2‬משתתפים בחוג לתאטרון‪:‬‬ ‫לפחות ‪2‬‬ ‫)‪ m = 1 - P6 (1) - P6 (0‬בחוג לתאטרון ‪P c‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫לפחות ‪2‬‬ ‫‪ m = 1 - a 1 k $ 0.31 $ 0.75 - 0.76 = 0.5798‬בחוג לתאטרון ‪P c‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬ ‫פרק שני — גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬ ‫‪1‬‬ ‫( ‪ 33 3‬נקודות)‬ ‫‪2‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪-7‬‬‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 6-4‬לכל שאלה — ‪ 16 3‬נקודות)‪.‬‬ ‫הראשונות‪4‬שבמחברתך‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות שאלה‬ ‫‪.4‬‬ ‫משולש שווה־צלעות ‪ ABC‬חסום במעגל‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪L‬‬ ‫נקודות ‪ D‬ו־ ‪ L‬נמצאות על המעגל כך ש־ ‪. BD z LC‬‬ ‫המיתרים ‪ AL‬ו־ ‪ BD‬נחתכים בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הוכח כי המרובע ‪ LEDC‬הוא מקבילית‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫(‪ )1‬הוכח כי ‪ 3ADE‬הוא משולש שווה־צלעות‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫(‪ )2‬הוכח כי ‪. LC + LB = LA‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪4‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫במשולש ‪ ABC‬האנך האמצעי לצלע ‪ BA‬חותך‬ ‫‪, B CBA = 60o‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫את הצלעות ‪ BC‬ו־ ‪ BA‬בנקודות ‪ E‬ו־ ‪ D‬בהתאמה (ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪B CAB =B CDB , B CBA =B. B‬‬ ‫‪CLA‬‬ ‫נתון‪ABC = b , B BAC = a :‬‬ ‫‪B CAB = 60 o‬‬ ‫זוויות במשולש שווה־צלעות‬ ‫‪B‬‬ ‫זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת‬ ‫לכן‪ :‬הבע באמצעות ‪ a‬ו־ ‪ b‬את ‪B CDB =B CLA = 60 o . B EAC‬‬ ‫א‪)1( .‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫(‪ )2‬הבע באמצעות ‪ a‬ו־ ‪ b‬את היחס ‪. EB‬‬ ‫נתון גם‪ AE :‬חוצה־זווית ‪, BAC‬‬ ‫‪ 10‬ס"מ = ‪. b = 40o , AC‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪BD zELC‬‬ ‫לפי הנתון‬ ‫‪D‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪BDEL = 180 o -B CLA = 120 o‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B CDB +B DEL .=ABC‬‬ ‫חשב את הרדיוס של המעגל החסום במשולש‪180 o‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫סכום זוויות חד־צדדיות הוא ‪180 o‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪CD z LE‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אם סכום זוויות חד־צדדיות הוא‬ ‫אז הישרים מקבילים‬ ‫‪180 o‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬ ‫כי במרובע ‪ LECD‬כל שתי צלעות נגדיות‬ ‫‪ LEDC‬מקבילית‬ ‫מקבילות זו לזו‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/8‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪-8‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.4‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪B ACB = 60 o‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫‪BACB =B ADB = 60 o‬‬ ‫זווית במשולש שווה־צלעות‬ ‫זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת‬ ‫הוכחנו בסעיף א כי ‪CD z LE‬‬ ‫‪B DEA =B CDB = 60 o‬‬ ‫ו־ ‪ , BCDB = 60o‬לכן‪:‬‬ ‫זוויות מתחלפות שוות זו לזו‬ ‫ב־ ‪ 3ADE‬שתי זוויות שוות ל־ ‪, 60o‬‬ ‫‪ 3ADE‬שווה־צלעות‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫‪B LEB =B DEA = 60 o‬‬ ‫זוויות קדקודיות‬ ‫‪B ALB =B ACB = 60 o‬‬ ‫זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת‬ ‫ב־ ‪ 3LEB‬שתי זוויות שוות ל־ ‪, 60o‬‬ ‫‪ 3LEB‬שווה־צלעות‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫‪II. LE = LB‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪DE = AE‬‬ ‫‪I.‬‬ ‫‪III. DE = LC‬‬ ‫מ־ ‪ I‬ו־ ‪ III‬מקבלים‪:‬‬ ‫צלעות במשולשים שווי־צלעות‬ ‫צלעות נגדיות במקבילית‬ ‫‪IV. AE = LC‬‬ ‫‪LA = LE + AE‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מ־ ‪ II‬ו־ ‪ IV‬מקבלים‪:‬‬ ‫‪LA = LB + LC‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/9‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫(‪ )1‬הוכח כי ‪ 3ADE‬הוא משולש שווה־צלעות‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫(‪ )2‬הוכח כי ‪. LC + LB = LA‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪-9-‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫במשולש ‪ ABC‬האנך האמצעי לצלע ‪ BA‬חותך‬ ‫את הצלעות ‪ BC‬ו־ ‪ BA‬בנקודות ‪ E‬ו־ ‪ D‬בהתאמה (ראה ציור)‪.‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪. B ABC = b , B BAC = a‬‬ ‫א‪ )1( .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו־ ‪ b‬את ‪. B EAC‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪E‬‬ ‫(‪ )2‬הבע באמצעות ‪ a‬ו־ ‪ b‬את היחס ‪. EB‬‬ ‫‪D‬‬ ‫נתון גם‪ AE :‬חוצה־זווית ‪, BAC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 10‬ס"מ = ‪. b = 40o , AC‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫חשב את הרדיוס של המעגל החסום במשולש ‪. ABC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪5‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫במשולש ‪: BEA‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫על פי משפט הסינוסים‬ ‫‪ DE‬גובה ותיכון‬ ‫לפי הנתון‬ ‫‪0‬‬ ‫‪EB = EA‬‬ ‫אם במשולש גובה הוא תיכון‪ ,‬אז המשולש הוא שווה־שוקיים‬ ‫‪0‬‬ ‫‪B EBA =B EAB = b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪B EAC = a - b‬‬ ‫במשולש ‪ EAC‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪EA‬‬ ‫=‬ ‫))‪sin (a - b) sin (180 - (a + b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪CE sin (a - b‬‬ ‫)‪EA = sin (a + b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מצאנו כי ‪ , EA = EB‬לכן‪:‬‬ ‫)‪CE sin (a - b‬‬ ‫)‪EB = sin (a + b‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/10‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫ ‪- 10‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.5‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪b b‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ AE‬חוצה־זווית ‪BAC‬‬ ‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מרכז המעגל החסום ‪ O‬נמצא על ‪BBAE =BEAC = b , AE‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ CO‬חוצה־זווית ‪BCA‬‬ ‫)‪180 o - (2b + b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לפי הנתון ‪, b = 40o‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫‪= 30 o‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪B OCA‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪180 o - (80 o + 40 o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מרכז מעגל חסום במשולש הוא מפגש חוצי־זוויות‬ ‫= ‪BOCA‬‬ ‫לפי משפט הסינוסים‬ ‫במשולש ‪: AOC‬‬ ‫‪AO‬‬ ‫‪10‬‬ ‫=‬ ‫)‪sin 30 o sin (40 o + 30 o‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪AO = 5.32‬‬ ‫‪ F‬נקודת ההשקה של‬ ‫המעגל החסום לצלע ‪ , AC‬לכן‪:‬‬ ‫‪B AFO = 90 o‬‬ ‫‪0‬‬ ‫במשולש ישר־הזווית ‪AOF‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫רדיוס מאונך למשיק‬ ‫‪ 3.42‬ס"מ‬ ‫= ‪r = 5.32 # sin 40 o‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/11‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫ ‪- 11‬‬‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪ +‬נספח שאלה ‪6‬‬ ‫‪-5‬‬‫‪.6‬‬ ‫שני מעגלים‪ ,‬גדול וקטן‪ ,‬משיקים מבפנים בנקודה ‪. A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫נקודה ‪ F‬נמצאת על המעגל הגדול כך שקטע המרכזים‬ ‫של שני המעגלים נמצא על ‪. AF‬‬ ‫‪ AF‬חותך את המעגל הקטן בנקודה ‪. E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫דרך נקודה ‪ B‬שעל המעגל הקטן העבירו ישר המקביל‬ ‫‪C‬‬ ‫למשיק המשותף לשני המעגלים‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫המקביל חותך את המעגל הגדול בנקודה ‪( C‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫רדיוס המעגל הגדול הוא ‪ , R‬ורדיוס המעגל הקטן הוא ‪. r‬‬ ‫‪A‬‬ ‫נתון‪. B FAB = b , B BAC = a :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪ )1‬הבע באמצעות ‪ a‬ו־ ‪ b‬את ‪ . B BCA‬נמק‪.‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫(‪ )2‬הבע רק באמצעות ‪ a‬ו־ ‪ b‬את היחס ‪. AB‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪R‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ a‬ו־ ‪ b‬את היחס ‪. r‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪6‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪CK z AL‬‬ ‫‪B FAL = 90 o‬‬ ‫‪F‬‬ ‫כי הקוטר ‪FA‬‬ ‫בנקודה ‪A‬‬ ‫בעמוד ‪/6‬‬ ‫מאונך למשיק‪/‬המשך‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫‪B CKA = 90 o‬‬ ‫‪0‬‬ ‫במשולש ‪KCA‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫זוויות חד־צדדיות‬ ‫משלימות ל־ ‪180 o‬‬ ‫‪E‬‬ ‫)‪B KCA = 90 o - (b + a‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪b a‬‬ ‫‪L‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫לפי משפט הסינוסים במשולש ‪ ABC‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪o‬‬ ‫)‪sin 690 o - (b + a)@ sin (90 + b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪cos b‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫)‪AB = cos (a + b‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/12‬‬ ‫‪- 12 -‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫המשך תשובה לשאלה ‪.6‬‬ ‫‪B FCA = 90 o , B EBA = 90 o‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫לכן במשולש ‪ EBA‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪AB = 2r cos b‬‬ ‫ובמשולש ‪ FCA‬מתקיים‪:‬‬ ‫)‪AC = 2R cos (a + b‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫)‪AC R cos (a + b‬‬ ‫= ‪AB‬‬ ‫‪r cos b‬‬ ‫בסעיף א מצאנו‪:‬‬ ‫זוויות היקפיות הנשענות על קוטר‬ ‫‪cos b‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫)‪AB = cos (a + b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫)‪R cos (a + b‬‬ ‫‪cos b‬‬ ‫=‬ ‫‪r cos b‬‬ ‫)‪cos (a + b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪cos2 b‬‬ ‫‪R‬‬ ‫)‪r = cos2 (a + b‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 9-7‬לכל שאלה — ‪ 16 3‬נקודות)‪.‬‬ ‫הראשונות שבמחברתך‪.‬פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫התשובות ‪- 13‬‬ ‫‬‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי‬ ‫שאלה ‪7‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ a . f (x) = x2 + x - a‬הוא פרמטר גדול מ־ ‪. 1‬‬ ‫‪x -x+a‬‬ ‫הפונקציה )‪ f(x‬מוגדרת לכל ‪. x‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪ )1‬מצא את האסימפטוטות של )‪ f(x‬המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬ ‫(‪ )2‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של )‪ , f(x‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫(הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך‪).‬‬ ‫(‪ )3‬ידוע כי גרף הפונקציה )‪ f(x‬חותך את ציר ה־ ‪ x‬בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬ ‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫בתחום ‪ , x # 0‬השטח המוגבל על ידי הגרף של )‪ , f'(x‬על ידי הישר ‪x = - 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ועל ידי ציר ה־ ‪ , x‬שווה ל־ ‪. 2‬‬ ‫חשב את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם ציר ה־ ‪( x‬מצא ערכים מספריים)‪.‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪7‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬ ‫אין אסימפטוטות מקבילות לציר ה־ ‪ , y‬כי הפונקציה רציפה לכל ‪. x‬‬ ‫‪y =1‬‬ ‫אסימפטוטה מקבילה לציר ה־ ‪: x‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫)‪(2x + 1) (x2 - x + a) - (x2 + x - a) (2x - 1‬‬ ‫‪(x2 - x + a) 2‬‬ ‫= )‪f'(x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪- 2x2 + 4ax‬‬ ‫‪(x2 - x + a) 2‬‬ ‫‪x = 0 , x = 2a‬‬ ‫&‬ ‫‪x2 - 2ax = 0‬‬ ‫&‬ ‫נגזרת המונה של )‪ f'(x‬בנקודה שבה ‪ x = 0‬היא‪:‬‬ ‫נגזרת המונה של )‪ f'(x‬בנקודה שבה ‪ x = 2a‬היא‪:‬‬ ‫מכאן‪ ,‬המינימום של )‪ f(x‬הוא בנקודה‪:‬‬ ‫המקסימום של )‪ f(x‬הוא בנקודה‪:‬‬ ‫= )‪f'(x‬‬ ‫‪f'(x) = 0‬‬ ‫‪(a 2 0) 4a 2 0‬‬ ‫‪(a 2 0) - 4a 1 0‬‬ ‫)‪(0 , - 1‬‬ ‫‪4a + 1‬‬ ‫)‪(2a , 4a - 1‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/14‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫ ‪- 14‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.7‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫)‪ f(x‬יורדת בתחום ‪ , - 11 x # 0‬לכן בתחום זה‪:‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪f' (x)1 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 = - # f' (x) dx‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪2 = - 6f (x)@- 1 = - f (0) + f (- 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-a 1-1- a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 =- a + 1+1+ a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a=2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x2 + x - 2‬‬ ‫‪f (x) = 2‬‬ ‫‪x -x+2‬‬ ‫‪x2 + x - 2 = 0‬‬ ‫&‬ ‫‪f (x) = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נקודות החיתוך של )‪ f(x‬עם ציר ה־ ‪:x‬‬ ‫)‪(- 2 , 0) , (1 , 0‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/15‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫ ‪- 15‬‬‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪ +‬נספח שאלה ‪8‬‬ ‫‪-7-‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫במשולש שווה־שוקיים ‪ ) AB = AC ( ABC‬אורך השוק הוא ‪. b‬‬ ‫‪ BD‬הוא גובה לשוק ‪ DE . AC‬הוא אנך לבסיס ‪. BC‬‬ ‫סמן ‪ , B BAC = 2x‬ומצא מה צריך להיות הגודל של ‪, B BAC‬‬ ‫כדי שאורך האנך ‪ DE‬יהיה מקסימלי‪.‬‬ ‫בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫בטבלה שלפניך מוצגים ערכים מסוימים של הפונקציה )‪f(x‬‬ ‫בקטע ‪x 1 2‬‬ ‫‪.811‬‬ ‫על פי הנתונים מוצאים‪:‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪1.36‬‬ ‫‪1.43‬מתקיים‪:‬‬ ‫במשולש ישר־הזווית ‪DBE‬‬ ‫‪1.28‬‬ ‫‪1.19‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪BDBC = x‬‬ ‫‪DE‬‬ ‫‪BD = sin x‬‬ ‫‪BD‬‬ ‫מתקיים‪:‬ואין לה נקודות קיצון פנימיות בקטע )‬ ‫‪ABD‬‬ ‫ישר־הזווית‬ ‫במשולש‬ ‫בקטע הנתון‪,‬‬ ‫חיובית‬ ‫הפונקציה )‪f(x‬‬ ‫זה‪b = sin (2x.‬‬ ‫פונקציית‬ ‫נתון‬ ‫השנייה )‪ f''(x‬שלילית בקטע הנתון‪.‬‬ ‫הנגזרתהוא‪:‬‬ ‫הקטע ‪DE‬‬ ‫מכאןכיאורך‬ ‫א‪ .‬קבע מהו הסימן של )‪ . f '(1.2‬נמק‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪L (x) = b sin (2x) $ sin x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪'(1.3‬‬ ‫נמק‪L' (x) = b $ 2 cos (2x.‬‬ ‫נכונה‪) $ sin.‬‬ ‫‪x + b fsin‬‬ ‫‪(2x)1‬‬ ‫קבע אם הטענה )‪cosf 'x(1.2) 1 f '(1.1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נתונה הפונקציה )‪ g (x) = f (x‬בקטע ‪. 11 x 1 2‬‬ ‫)‪L' (x) = 2b sin x (cos (2x) + cos2 x) = 2b sin x (3 cos2 x - 1‬‬ ‫ג‪ .‬בקטע הנתון מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה )‪( g(x‬אם יש כאלה)‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫איןנקבל‪:‬‬ ‫במשולש‪,‬‬ ‫&‬ ‫פתרון ‪= 0‬‬ ‫! ‪sin x‬‬ ‫מאחר ש־ ‪0‬‬ ‫‪= f' x(x‬‬‫למשוואה‪) 1‬‬ ‫הראה כי‬ ‫ד‪.‬‬ ‫זווית‪1.1 #‬‬ ‫בתחוםכי‪x #1x.3‬‬ ‫‪. g' (x3)cos‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ , cos x !-‬כי ‪ x‬זווית‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫במשולש ישר־זווית ‪ , DBE‬לכן‪:‬‬ ‫‪BBAC = 109.46 o‬‬ ‫בדיקת מקסימום‪:‬‬ ‫‪L' (x) = 0‬‬ ‫&‬ ‫= ‪cos x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x = 54.73 o‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪o‬‬ ‫ישראל‪54.‬‬ ‫‪ 58‬שמורה למדינת ‪73 o‬‬ ‫זכות היוצרים‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬ ‫‪0.76b‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0.77b‬‬ ‫‪50 o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0.75b‬‬ ‫)‪L (x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/16‬‬ ‫סמן ‪ , B BAC = 2x‬ומצא מה צריך להיות הגודל של ‪, B BAC‬‬ ‫כדי שאורך האנך ‪ DE‬יהיה מקסימלי‪.‬‬ ‫בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪- 16 -‬‬ ‫שאלה ‪9‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫בטבלה שלפניך מוצגים ערכים מסוימים של הפונקציה )‪ f(x‬בקטע ‪. 11 x 1 2‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1.43‬‬ ‫‪1.36‬‬ ‫‪1.28‬‬ ‫‪1.19‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫הפונקציה )‪ f(x‬חיובית בקטע הנתון‪ ,‬ואין לה נקודות קיצון פנימיות בקטע זה‪.‬‬ ‫נתון כי פונקציית הנגזרת השנייה )‪ f''(x‬שלילית בקטע הנתון‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫קבע מהו הסימן של )‪ . f '(1.2‬נמק‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫קבע אם הטענה )‪ f '(1.3) 1 f '(1.2) 1 f '(1.1‬נכונה‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫נתונה הפונקציה )‪ g (x) = f (x‬בקטע ‪. 11 x 1 2‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫בקטע הנתון מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה )‪( g(x‬אם יש כאלה)‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫הראה כי בתחום ‪ 1.1# x #1.3‬אין פתרון למשוואה )‪. g' (x) = f' (x‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪9‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫על פי הנתונים‪ ,‬אין נקודות קיצון פנימיות‬ ‫ו־ )‪ , f (1.3) 2 f (1.2‬לכן‪:‬‬ ‫)‪ f(x‬עולה בקטע‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪0‬‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת‬ ‫ישראלהחינוך‪ f'(x)2 0‬בקטע‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד‬ ‫‪0‬‬ ‫‪f'(1.2) 2 0‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫‪ f''(x) 1 0‬בקטע‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪ f'(x‬יורדת בקטע‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪ f'(x‬קטנה כאשר ‪ x‬גדל‪ ,‬לכן מתקיים‪:‬‬ ‫)‪f' (1.3) 1 f' (1.2) 1 f' (1.1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הטענה נכונה‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/17‬‬ ‫‪- 17 -‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫המשך תשובה לשאלה ‪.9‬‬ ‫)‪g (x) = f (x‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫)‪f' (x‬‬ ‫)‪2 f (x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= )‪g' (x‬‬ ‫‪ f' (x) 2 0‬בקטע‬ ‫מצאנו‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ g' (x) 2 0‬בקטע‬ ‫מאחר ש־ ‪: f (x) 2 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪ g(x‬עולה בקטע‬ ‫ד‪.‬‬ ‫אם )‪ g' (x) = f' (x‬אז‪:‬‬ ‫)‪f' (x‬‬ ‫)‪2 f (x‬‬ ‫= )‪f' (x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ , f'(x) ! 0‬לכן‪:‬‬ ‫לפי הטבלה ‪1.19 # f (x) #1.36‬‬ ‫בתחום ‪ , 1.1# x #1.3‬לכן‪:‬‬ ‫דרך אחרת‬ ‫לפי הטבלה ‪, f (x) 21‬‬ ‫ומצאנו ‪, f' (x) 2 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x) = 4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אין פתרון למשוואה‬ ‫)‪f' (x‬‬ ‫= )‪g' (x‬‬ ‫)‪2 f (x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫לכן המנה )‪g'(x‬‬ ‫קטנה מהמונה )‪:f'(x‬‬ ‫)‪ g' (x) 1 f' (x‬לכל ‪ x‬בקטע‬ ‫‪0‬‬ ‫אין פתרון למשוואה‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬