תשובה לשאלה 2

‫מדינת ישראל‬
‫סוג הבחינה‪:‬‬
‫משרד החינוך‬
‫מועד הבחינה‪:‬‬
‫מספר השאלון‪:‬‬
‫א‪ .‬בגרות לבתי ספר על־יסודיים‬
‫ב‪ .‬בגרות לנבחנים אקסטרניים‬
‫חורף תשע"ד‪2014 ,‬‬
‫‪316 ,035806‬‬
‫הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות‬
‫מתמטיקה‬
‫‪ 5‬יחידות לימוד – שאלון ראשון‬
‫הוראות לנבחן‬
‫א‪.‬‬
‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות וחצי‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מבנה השאלון ומפתח ההערכה‪ :‬בשאלון זה שלושה פרקים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫פרק ראשון‬
‫— אלגברה והסתברות‬
‫—‬
‫‪16 3 #2‬‬
‫פרק שני‬
‫— גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫—‬
‫‪16 3 #2‬‬
‫פרק שלישי‬
‫— חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫—‬
‫‪16 3 #2‬‬
‫—‬
‫סה"כ‬
‫—‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫—‬
‫‪ 33 3‬נקודות‬
‫—‬
‫‪ 33 3‬נקודות‬
‫‪ 33 3‬נקודות‬
‫‪ 100‬נקודות‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש‪:‬‬
‫(‪)1‬‬
‫מחשבון לא גרפי‪ .‬אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות‪.‬‬
‫שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫(‪)2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫דפי נוסחאות (מצורפים)‪.‬‬
‫הוראות מיוחדות‪:‬‬
‫(‪)1‬‬
‫אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד‪.‬‬
‫(‪)2‬‬
‫התחל כל שאלה בעמוד חדש‪ .‬רשום במחברת את שלבי הפתרון‪ ,‬גם כאשר‬
‫החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון‪.‬‬
‫הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫(‪)3‬‬
‫לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים‪.‬‬
‫שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬
‫‪3‬‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 3-1‬לכל שאלה — ‪ 16 23‬נקודות)‪.‬‬
‫הראשונות שבמחברתך‪.‬פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות‪- 2 -‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫‪.1‬‬
‫נמל ‪ A‬ונמל ‪ B‬נמצאים על אותה גדה של נהר‪ ,‬שכיוון הזרם שלו הוא מ־ ‪ A‬ל־ ‪. B‬‬
‫רפסודה הפליגה בשעה ‪ 9:00‬בבוקר מנמל ‪ A‬אל נמל ‪ , B‬והיא נישאה על גבי הזרם של הנהר‬
‫כך שמהירות הרפסודה היא מהירות הזרם‪.‬‬
‫באותה שעה הפליגה סירה מנמל ‪( B‬נגד כיוון הזרם) לכיוון נמל ‪. A‬‬
‫מהירות הסירה במים עומדים היא ‪ 15‬קמ"ש‪.‬‬
‫הסירה הגיעה לנמל ‪ , A‬ומיד חזרה אל נמל ‪. B‬‬
‫ידוע כי הרפסודה והסירה יגיעו לנמל ‪ B‬באותה שעה‪.‬‬
‫נתון כי הרפסודה והסירה נפגשו לראשונה כעבור ‪ 5‬שעות מרגע הפלגתן‪.‬‬
‫האם הסירה והרפסודה יגיעו לנמל ‪ B‬עד לשעה ‪ 9:00‬בערב באותו היום? נמק‪.‬‬
‫מהירות הזרם ומהירות הסירה במים עומדים הן קבועות‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בחישוביך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫תשובה לשאלה ‪1‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬
‫דרך (ק"מ)‬
‫מהירות (קמ"ש)‬
‫זמן (שעות)‬
‫‪v‬‬
‫‪S‬‬
‫‪v‬‬
‫‪S‬‬
‫סירה נגד הזרם‬
‫‪15 - v‬‬
‫‪S‬‬
‫‪15 - v‬‬
‫‪S‬‬
‫סירה עם הזרם‬
‫‪15 + v‬‬
‫‪S‬‬
‫‪15 + v‬‬
‫‪S‬‬
‫רפסודה‬
‫הרפסודה והסירה יגיעו ל־ ‪ B‬באותו הזמן‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪v 15 - v 15 + v‬‬
‫‪0‬‬
‫‪v2 + 30v - 152 = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 6.21‬קמ"ש ‪v .‬‬
‫הדרך שהרפסודה עוברת עד הפגישה‪:‬‬
‫הדרך שהסירה עוברת עד הפגישה‪:‬‬
‫‪5$v‬‬
‫)‪5 (15 - v‬‬
‫‪ 75‬ק"מ = )‪S = 5v + 5 (15 - v‬‬
‫לכן הדרך מ־ ‪ A‬ל־ ‪ B‬היא‪:‬‬
‫הזמן שהרפסודה והסירה יגיעו ל־ ‪: B‬‬
‫‪S‬‬
‫‪75‬‬
‫‪ 12.08‬שעות = ‪v = 6.21‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 12‬שעות ‪ 12.082‬שעות‪ ,‬לכן לא יספיקו להגיע עד ‪ 9:00‬בערב‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬
‫‪-3‬‬‫‪-3‬‬‫‪.2‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫‪ +‬נספח‬
‫נתונה סדרה הנדסית אין־סופית יורדת‪:‬‬
‫‪a1 , a2 , a3 , a 4 , ...‬‬
‫סכום כל איברי הסדרה בלי האיבר הראשון הוא ‪. 6‬‬
‫מחליפים את הסימנים של כל האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה‪,‬‬
‫ומתקבלת סדרה הנדסית חדשה‪:‬‬
‫‪a1 , - a2 , a3 , - a 4 , ...‬‬
‫סכום כל איברי הסדרה החדשה בלי האיבר הראשון הוא ‪. - 3‬‬
‫מהאיברים של הסדרה הנתונה בנו סדרה שלישית‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a2 , a3 , a 4 , ...‬‬
‫א‪.‬‬
‫הוכח כי הסדרה השלישית היא סדרה הנדסית‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נתון כי סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה השלישית הוא ‪. 273.25‬‬
‫מצא את ‪. n‬‬
‫‪.3‬‬
‫תושביםלשאלה ‪2‬‬
‫תשובה‬
‫המשתתפים‬
‫בעיר מסוימת יש תושבים המשתתפים בחוג לריקודי עם‪ ,‬יש‬
‫בחוג לתאטרון ויש תושבים המשתתפים בשני החוגים‪.‬‬
‫א‪ .‬נסמן ב־ ‪ q‬את מנת הסדרה הנתונה‪.‬‬
‫נמצא כי המאורע "תושב העיר משתתף בחוג לריקודי עם"‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫העיר‪n + 1‬‬
‫הוא‪ :‬מאורעות בלתי‪= a q‬‬
‫בחוגהשלישית‬
‫בסדרה‬
‫במקום‬
‫האיבר‬
‫לתאטרון" הם‬
‫משתתף‬
‫"תושב‬
‫והמאורע‬
‫תלויים‪a n + .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫מספר התושבים שמשתתפים בחוג לריקודי עם גדול פי ‪ 2‬ממספר התושבים שמשתתפים‬
‫‪0‬‬
‫בחוג לתאטרון‪.‬‬
‫‪an‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=q‬‬
‫לכן‪ ,‬מנת הסדרה השלישית היא‪:‬‬
‫לריקודי‪a n +‬‬
‫‪1‬‬
‫עם‪.‬‬
‫מבין התושבים שמשתתפים בחוג לתאטרון‪ 60% ,‬משתתפים בחוג‬
‫א‪.‬‬
‫לתאטרון?‬
‫מהו אחוז התושבים בעיר שמשתתפים בחוג לריקודי עם וגם בחוג ‪0‬‬
‫ב‪.‬‬
‫לריקודי עם‪ ,‬ורק הם‪.‬‬
‫בחוג‬
‫לכן‪:‬בו כל התושבים המשתתפים‬
‫שהשתתפו‬
‫נערך בעיר‬
‫מנתאחד‬
‫יום‬
‫הנדסית‬
‫הסדרה‬
‫כנסקבועה‪,‬‬
‫השלישית‬
‫הסדרה‬
‫עיתונאי ראיין ‪ 6‬משתתפים בכנס שנבחרו באקראי‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שלפחות ‪ 2‬מהם משתתפים בחוג לתאטרון?‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬
‫‪-4‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫סכום כל איברי הסדרה הנתונה‪ ,‬בלי האיבר הראשון‪ ,‬מקיים‪:‬‬
‫מנת הסדרה החדשה היא ‪, - q‬‬
‫לכן סכום כל איברי הסדרה החדשה‪ ,‬בלי האיבר הראשון‪ ,‬מקיים‪:‬‬
‫מ־ ‪ I‬ו־ ‪ II‬מקבלים‪:‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪1- q = 6‬‬
‫‪I.‬‬
‫‪- a2‬‬
‫‪1+ q =- 3‬‬
‫‪II.‬‬
‫)‪3 (1 + q) = 6 (1 - q‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q= 3‬‬
‫‪1‬‬
‫מהצבת ‪ q = 3‬ב־ ‪ I‬או ב־ ‪ II‬מקבלים‪:‬‬
‫‪a2 = 4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q‬‬
‫מצאנו כי מנת הסדרה השלישית היא‪:‬‬
‫לכן‪ ,‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים‬
‫בסדרה השלישית מקיים‪:‬‬
‫‪1 n‬‬
‫‪4 (3 - 1) = 273.25‬‬
‫‪3-1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3 n = 2187‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n=7‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬
‫א‪.‬‬
‫הוכח כי הסדרה השלישית היא סדרה הנדסית‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נתון כי סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה השלישית הוא ‪. 273.25‬‬
‫‪-5‬‬‫מצא את ‪. n‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫‪.3‬‬
‫בעיר מסוימת יש תושבים המשתתפים בחוג לריקודי עם‪ ,‬יש תושבים המשתתפים‬
‫בחוג לתאטרון ויש תושבים המשתתפים בשני החוגים‪.‬‬
‫נמצא כי המאורע "תושב העיר משתתף בחוג לריקודי עם"‬
‫והמאורע "תושב העיר משתתף בחוג לתאטרון" הם מאורעות בלתי תלויים‪.‬‬
‫מספר התושבים שמשתתפים בחוג לריקודי עם גדול פי ‪ 2‬ממספר התושבים שמשתתפים‬
‫בחוג לתאטרון‪.‬‬
‫מבין התושבים שמשתתפים בחוג לתאטרון‪ 60% ,‬משתתפים בחוג לריקודי עם‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהו אחוז התושבים בעיר שמשתתפים בחוג לריקודי עם וגם בחוג לתאטרון?‬
‫ב‪.‬‬
‫יום אחד נערך בעיר כנס שהשתתפו בו כל התושבים המשתתפים בחוג לריקודי עם‪ ,‬ורק הם‪.‬‬
‫עיתונאי ראיין ‪ 6‬משתתפים בכנס שנבחרו באקראי‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שלפחות ‪ 2‬מהם משתתפים בחוג לתאטרון?‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬
‫תשובה לשאלה ‪3‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪ — A‬קבוצת המשתתפים בחוג לריקודי עם‬
‫‪ — B‬קבוצת המשתתפים בחוג לתאטרון‬
‫א‪.‬‬
‫‪P (A / B) = 0.6‬‬
‫לפי הנתון‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫המאורעות )‪ P(A‬ו־ )‪ P(B‬הם בלתי תלויים‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫‪P (A/B) = P (A) = 0.6‬‬
‫‪I.‬‬
‫)‪P (A) = 2P (B‬‬
‫‪II.‬‬
‫לפי הנתון‪:‬‬
‫‪P (B) = 0.3‬‬
‫מ־ ‪ I‬ו־ ‪ II‬מקבלים‪:‬‬
‫‪P (A + B) = P (A) $ P (B) = 0.6 # 0.3 = 0.18‬‬
‫‪0‬‬
‫אחוז התושבים המשתתפים‬
‫בחוג לריקודי עם וגם בחוג לתאטרון הוא‪:‬‬
‫‪18%‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/6‬‬
‫‪-6-‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫המשך תשובה לשאלה ‪.3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫המאורעות בלתי תלויים‪ ,‬לכן ההסתברות‬
‫לבחור מבין המשתתפים בחוג לריקודי עם‬
‫)‪P = P (B / A) = P (B‬‬
‫משתתף בחוג לתאטרון היא‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪P = 0.3‬‬
‫מהצבת התוצאה מסעיף א מקבלים‪:‬‬
‫ההסתברות שלפחות ‪ 2‬משתתפים בחוג לתאטרון‪:‬‬
‫לפחות ‪2‬‬
‫)‪ m = 1 - P6 (1) - P6 (0‬בחוג לתאטרון ‪P c‬‬
‫‪0‬‬
‫‪6‬‬
‫לפחות ‪2‬‬
‫‪ m = 1 - a 1 k $ 0.31 $ 0.75 - 0.76 = 0.5798‬בחוג לתאטרון ‪P c‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬
‫פרק שני — גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫‪1‬‬
‫( ‪ 33 3‬נקודות)‬
‫‪2‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪-7‬‬‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 6-4‬לכל שאלה — ‪ 16 3‬נקודות)‪.‬‬
‫הראשונות‪4‬שבמחברתך‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות שאלה‬
‫‪.4‬‬
‫משולש שווה־צלעות ‪ ABC‬חסום במעגל‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪L‬‬
‫נקודות ‪ D‬ו־ ‪ L‬נמצאות על המעגל כך ש־ ‪. BD z LC‬‬
‫המיתרים ‪ AL‬ו־ ‪ BD‬נחתכים בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫הוכח כי המרובע ‪ LEDC‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫(‪ )1‬הוכח כי ‪ 3ADE‬הוא משולש שווה־צלעות‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫(‪ )2‬הוכח כי ‪. LC + LB = LA‬‬
‫תשובה לשאלה ‪4‬‬
‫‪.5‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬האנך האמצעי לצלע ‪ BA‬חותך‬
‫‪, B CBA = 60o‬‬
‫א‪.‬‬
‫את הצלעות ‪ BC‬ו־ ‪ BA‬בנקודות ‪ E‬ו־ ‪ D‬בהתאמה (ראה ציור)‪.‬‬
‫‪B CAB =B CDB , B CBA =B. B‬‬
‫‪CLA‬‬
‫נתון‪ABC = b , B BAC = a :‬‬
‫‪B CAB = 60 o‬‬
‫זוויות במשולש שווה־צלעות‬
‫‪B‬‬
‫זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת‬
‫לכן‪ :‬הבע באמצעות ‪ a‬ו־ ‪ b‬את ‪B CDB =B CLA = 60 o . B EAC‬‬
‫א‪)1( .‬‬
‫‪CE‬‬
‫(‪ )2‬הבע באמצעות ‪ a‬ו־ ‪ b‬את היחס ‪. EB‬‬
‫נתון גם‪ AE :‬חוצה־זווית ‪, BAC‬‬
‫‪ 10‬ס"מ = ‪. b = 40o , AC‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪BD zELC‬‬
‫לפי הנתון‬
‫‪D‬‬
‫‪0‬‬
‫‪BDEL = 180 o -B CLA = 120 o‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B CDB +B DEL .=ABC‬‬
‫חשב את הרדיוס של המעגל החסום במשולש‪180 o‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫סכום זוויות חד־צדדיות הוא ‪180 o‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0‬‬
‫‪CD z LE‬‬
‫‪0‬‬
‫אם סכום זוויות חד־צדדיות הוא‬
‫אז הישרים מקבילים‬
‫‪180 o‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬
‫כי במרובע ‪ LECD‬כל שתי צלעות נגדיות‬
‫‪ LEDC‬מקבילית‬
‫מקבילות זו לזו‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/8‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪-8‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.4‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪B ACB = 60 o‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪BACB =B ADB = 60 o‬‬
‫זווית במשולש שווה־צלעות‬
‫זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת‬
‫הוכחנו בסעיף א כי ‪CD z LE‬‬
‫‪B DEA =B CDB = 60 o‬‬
‫ו־ ‪ , BCDB = 60o‬לכן‪:‬‬
‫זוויות מתחלפות שוות זו לזו‬
‫ב־ ‪ 3ADE‬שתי זוויות שוות ל־ ‪, 60o‬‬
‫‪ 3ADE‬שווה־צלעות‬
‫לכן‪:‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪B LEB =B DEA = 60 o‬‬
‫זוויות קדקודיות‬
‫‪B ALB =B ACB = 60 o‬‬
‫זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת‬
‫ב־ ‪ 3LEB‬שתי זוויות שוות ל־ ‪, 60o‬‬
‫‪ 3LEB‬שווה־צלעות‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪II. LE = LB‬‬
‫‪,‬‬
‫‪DE = AE‬‬
‫‪I.‬‬
‫‪III. DE = LC‬‬
‫מ־ ‪ I‬ו־ ‪ III‬מקבלים‪:‬‬
‫צלעות במשולשים שווי־צלעות‬
‫צלעות נגדיות במקבילית‬
‫‪IV. AE = LC‬‬
‫‪LA = LE + AE‬‬
‫‪0‬‬
‫מ־ ‪ II‬ו־ ‪ IV‬מקבלים‪:‬‬
‫‪LA = LB + LC‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/9‬‬
‫ב‪.‬‬
‫(‪ )1‬הוכח כי ‪ 3ADE‬הוא משולש שווה־צלעות‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫(‪ )2‬הוכח כי ‪. LC + LB = LA‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪-9-‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫‪.5‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬האנך האמצעי לצלע ‪ BA‬חותך‬
‫את הצלעות ‪ BC‬ו־ ‪ BA‬בנקודות ‪ E‬ו־ ‪ D‬בהתאמה (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. B ABC = b , B BAC = a‬‬
‫א‪ )1( .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו־ ‪ b‬את ‪. B EAC‬‬
‫‪CE‬‬
‫‪E‬‬
‫(‪ )2‬הבע באמצעות ‪ a‬ו־ ‪ b‬את היחס ‪. EB‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון גם‪ AE :‬חוצה־זווית ‪, BAC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 10‬ס"מ = ‪. b = 40o , AC‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את הרדיוס של המעגל החסום במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫תשובה לשאלה ‪5‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬
‫א‪.‬‬
‫(‪)1‬‬
‫במשולש ‪: BEA‬‬
‫(‪)2‬‬
‫על פי משפט הסינוסים‬
‫‪ DE‬גובה ותיכון‬
‫לפי הנתון‬
‫‪0‬‬
‫‪EB = EA‬‬
‫אם במשולש גובה הוא תיכון‪ ,‬אז המשולש הוא שווה־שוקיים‬
‫‪0‬‬
‫‪B EBA =B EAB = b‬‬
‫‪0‬‬
‫‪B EAC = a - b‬‬
‫במשולש ‪ EAC‬מתקיים‪:‬‬
‫‪CE‬‬
‫‪EA‬‬
‫=‬
‫))‪sin (a - b) sin (180 - (a + b‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪CE sin (a - b‬‬
‫)‪EA = sin (a + b‬‬
‫‪0‬‬
‫מצאנו כי ‪ , EA = EB‬לכן‪:‬‬
‫)‪CE sin (a - b‬‬
‫)‪EB = sin (a + b‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/10‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫ ‪- 10‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.5‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪r‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b b‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AE‬חוצה־זווית ‪BAC‬‬
‫לפי הנתון‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫מרכז המעגל החסום ‪ O‬נמצא על ‪BBAE =BEAC = b , AE‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ CO‬חוצה־זווית ‪BCA‬‬
‫)‪180 o - (2b + b‬‬
‫‪2‬‬
‫לפי הנתון ‪, b = 40o‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪= 30 o‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪B OCA‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪180 o - (80 o + 40 o‬‬
‫‪2‬‬
‫מרכז מעגל חסום במשולש הוא מפגש חוצי־זוויות‬
‫= ‪BOCA‬‬
‫לפי משפט הסינוסים‬
‫במשולש ‪: AOC‬‬
‫‪AO‬‬
‫‪10‬‬
‫=‬
‫)‪sin 30 o sin (40 o + 30 o‬‬
‫‪0‬‬
‫‪AO = 5.32‬‬
‫‪ F‬נקודת ההשקה של‬
‫המעגל החסום לצלע ‪ , AC‬לכן‪:‬‬
‫‪B AFO = 90 o‬‬
‫‪0‬‬
‫במשולש ישר־הזווית ‪AOF‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫רדיוס מאונך למשיק‬
‫‪ 3.42‬ס"מ‬
‫= ‪r = 5.32 # sin 40 o‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/11‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫ ‪- 11‬‬‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪ +‬נספח שאלה ‪6‬‬
‫‪-5‬‬‫‪.6‬‬
‫שני מעגלים‪ ,‬גדול וקטן‪ ,‬משיקים מבפנים בנקודה ‪. A‬‬
‫‪F‬‬
‫נקודה ‪ F‬נמצאת על המעגל הגדול כך שקטע המרכזים‬
‫של שני המעגלים נמצא על ‪. AF‬‬
‫‪ AF‬חותך את המעגל הקטן בנקודה ‪. E‬‬
‫‪E‬‬
‫דרך נקודה ‪ B‬שעל המעגל הקטן העבירו ישר המקביל‬
‫‪C‬‬
‫למשיק המשותף לשני המעגלים‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫המקביל חותך את המעגל הגדול בנקודה ‪( C‬ראה ציור)‪.‬‬
‫רדיוס המעגל הגדול הוא ‪ , R‬ורדיוס המעגל הקטן הוא ‪. r‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון‪. B FAB = b , B BAC = a :‬‬
‫א‪.‬‬
‫(‪ )1‬הבע באמצעות ‪ a‬ו־ ‪ b‬את ‪ . B BCA‬נמק‪.‬‬
‫‪AC‬‬
‫(‪ )2‬הבע רק באמצעות ‪ a‬ו־ ‪ b‬את היחס ‪. AB‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬ו־ ‪ b‬את היחס ‪. r‬‬
‫תשובה לשאלה ‪6‬‬
‫א‪.‬‬
‫(‪)1‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪CK z AL‬‬
‫‪B FAL = 90 o‬‬
‫‪F‬‬
‫כי הקוטר ‪FA‬‬
‫בנקודה ‪A‬‬
‫בעמוד ‪/6‬‬
‫מאונך למשיק‪/‬המשך‬
‫מכאן‪:‬‬
‫‪B CKA = 90 o‬‬
‫‪0‬‬
‫במשולש ‪KCA‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫זוויות חד־צדדיות‬
‫משלימות ל־ ‪180 o‬‬
‫‪E‬‬
‫)‪B KCA = 90 o - (b + a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪K‬‬
‫‪b a‬‬
‫‪L‬‬
‫(‪)2‬‬
‫לפי משפט הסינוסים במשולש ‪ ABC‬מתקיים‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪AC‬‬
‫=‬
‫‪o‬‬
‫)‪sin 690 o - (b + a)@ sin (90 + b‬‬
‫‪0‬‬
‫‪cos b‬‬
‫‪AC‬‬
‫)‪AB = cos (a + b‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/12‬‬
‫‪- 12 -‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫המשך תשובה לשאלה ‪.6‬‬
‫‪B FCA = 90 o , B EBA = 90 o‬‬
‫ב‪.‬‬
‫לכן במשולש ‪ EBA‬מתקיים‪:‬‬
‫‪AB = 2r cos b‬‬
‫ובמשולש ‪ FCA‬מתקיים‪:‬‬
‫)‪AC = 2R cos (a + b‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫)‪AC R cos (a + b‬‬
‫= ‪AB‬‬
‫‪r cos b‬‬
‫בסעיף א מצאנו‪:‬‬
‫זוויות היקפיות הנשענות על קוטר‬
‫‪cos b‬‬
‫‪AC‬‬
‫)‪AB = cos (a + b‬‬
‫‪0‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫)‪R cos (a + b‬‬
‫‪cos b‬‬
‫=‬
‫‪r cos b‬‬
‫)‪cos (a + b‬‬
‫‪0‬‬
‫‪cos2 b‬‬
‫‪R‬‬
‫)‪r = cos2 (a + b‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/13‬‬
‫‪2‬‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 9-7‬לכל שאלה — ‪ 16 3‬נקודות)‪.‬‬
‫הראשונות שבמחברתך‪.‬פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫התשובות ‪- 13‬‬
‫‬‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי‬
‫שאלה ‪7‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫‪ a . f (x) = x2 + x - a‬הוא פרמטר גדול מ־ ‪. 1‬‬
‫‪x -x+a‬‬
‫הפונקציה )‪ f(x‬מוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫א‪.‬‬
‫(‪ )1‬מצא את האסימפטוטות של )‪ f(x‬המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )2‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של )‪ , f(x‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫(הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך‪).‬‬
‫(‪ )3‬ידוע כי גרף הפונקציה )‪ f(x‬חותך את ציר ה־ ‪ x‬בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫בתחום ‪ , x # 0‬השטח המוגבל על ידי הגרף של )‪ , f'(x‬על ידי הישר ‪x = - 1‬‬
‫‪1‬‬
‫ועל ידי ציר ה־ ‪ , x‬שווה ל־ ‪. 2‬‬
‫חשב את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם ציר ה־ ‪( x‬מצא ערכים מספריים)‪.‬‬
‫תשובה לשאלה ‪7‬‬
‫א‪.‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬
‫אין אסימפטוטות מקבילות לציר ה־ ‪ , y‬כי הפונקציה רציפה לכל ‪. x‬‬
‫‪y =1‬‬
‫אסימפטוטה מקבילה לציר ה־ ‪: x‬‬
‫(‪)2‬‬
‫)‪(2x + 1) (x2 - x + a) - (x2 + x - a) (2x - 1‬‬
‫‪(x2 - x + a) 2‬‬
‫= )‪f'(x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪- 2x2 + 4ax‬‬
‫‪(x2 - x + a) 2‬‬
‫‪x = 0 , x = 2a‬‬
‫&‬
‫‪x2 - 2ax = 0‬‬
‫&‬
‫נגזרת המונה של )‪ f'(x‬בנקודה שבה ‪ x = 0‬היא‪:‬‬
‫נגזרת המונה של )‪ f'(x‬בנקודה שבה ‪ x = 2a‬היא‪:‬‬
‫מכאן‪ ,‬המינימום של )‪ f(x‬הוא בנקודה‪:‬‬
‫המקסימום של )‪ f(x‬הוא בנקודה‪:‬‬
‫= )‪f'(x‬‬
‫‪f'(x) = 0‬‬
‫‪(a 2 0) 4a 2 0‬‬
‫‪(a 2 0) - 4a 1 0‬‬
‫)‪(0 , - 1‬‬
‫‪4a + 1‬‬
‫)‪(2a , 4a - 1‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/14‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫ ‪- 14‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.7‬‬
‫א‪.‬‬
‫(‪)3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪ f(x‬יורדת בתחום ‪ , - 11 x # 0‬לכן בתחום זה‪:‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪f' (x)1 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 = - # f' (x) dx‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪2 = - 6f (x)@- 1 = - f (0) + f (- 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-a 1-1- a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 =- a + 1+1+ a‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a=2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x2 + x - 2‬‬
‫‪f (x) = 2‬‬
‫‪x -x+2‬‬
‫‪x2 + x - 2 = 0‬‬
‫&‬
‫‪f (x) = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫נקודות החיתוך של )‪ f(x‬עם ציר ה־ ‪:x‬‬
‫)‪(- 2 , 0) , (1 , 0‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/15‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫ ‪- 15‬‬‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪ +‬נספח שאלה ‪8‬‬
‫‪-7-‬‬
‫‪.8‬‬
‫במשולש שווה־שוקיים ‪ ) AB = AC ( ABC‬אורך השוק הוא ‪. b‬‬
‫‪ BD‬הוא גובה לשוק ‪ DE . AC‬הוא אנך לבסיס ‪. BC‬‬
‫סמן ‪ , B BAC = 2x‬ומצא מה צריך להיות הגודל של ‪, B BAC‬‬
‫כדי שאורך האנך ‪ DE‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫לשאלה‬
‫תשובה‬
‫בטבלה שלפניך מוצגים ערכים מסוימים של הפונקציה )‪f(x‬‬
‫בקטע ‪x 1 2‬‬
‫‪.811‬‬
‫על פי הנתונים מוצאים‪:‬‬
‫‪1.3‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪1.36‬‬
‫‪1.43‬מתקיים‪:‬‬
‫במשולש ישר־הזווית ‪DBE‬‬
‫‪1.28‬‬
‫‪1.19‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪BDBC = x‬‬
‫‪DE‬‬
‫‪BD = sin x‬‬
‫‪BD‬‬
‫מתקיים‪:‬ואין לה נקודות קיצון פנימיות בקטע )‬
‫‪ABD‬‬
‫ישר־הזווית‬
‫במשולש‬
‫בקטע הנתון‪,‬‬
‫חיובית‬
‫הפונקציה )‪f(x‬‬
‫זה‪b = sin (2x.‬‬
‫פונקציית‬
‫נתון‬
‫השנייה )‪ f''(x‬שלילית בקטע הנתון‪.‬‬
‫הנגזרתהוא‪:‬‬
‫הקטע ‪DE‬‬
‫מכאןכיאורך‬
‫א‪ .‬קבע מהו הסימן של )‪ . f '(1.2‬נמק‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪L (x) = b sin (2x) $ sin x‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪'(1.3‬‬
‫נמק‪L' (x) = b $ 2 cos (2x.‬‬
‫נכונה‪) $ sin.‬‬
‫‪x + b fsin‬‬
‫‪(2x)1‬‬
‫קבע אם הטענה )‪cosf 'x(1.2) 1 f '(1.1‬‬
‫‪0‬‬
‫נתונה הפונקציה )‪ g (x) = f (x‬בקטע ‪. 11 x 1 2‬‬
‫)‪L' (x) = 2b sin x (cos (2x) + cos2 x) = 2b sin x (3 cos2 x - 1‬‬
‫ג‪ .‬בקטע הנתון מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה )‪( g(x‬אם יש כאלה)‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫איןנקבל‪:‬‬
‫במשולש‪,‬‬
‫&‬
‫פתרון ‪= 0‬‬
‫! ‪sin x‬‬
‫מאחר ש־ ‪0‬‬
‫‪= f' x(x‬‬‫למשוואה‪) 1‬‬
‫הראה כי‬
‫ד‪.‬‬
‫זווית‪1.1 #‬‬
‫בתחוםכי‪x #1x.3‬‬
‫‪. g' (x3)cos‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ , cos x !-‬כי ‪ x‬זווית‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫במשולש ישר־זווית ‪ , DBE‬לכן‪:‬‬
‫‪BBAC = 109.46 o‬‬
‫בדיקת מקסימום‪:‬‬
‫‪L' (x) = 0‬‬
‫&‬
‫= ‪cos x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x = 54.73 o‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪o‬‬
‫ישראל‪54.‬‬
‫‪ 58‬שמורה למדינת ‪73 o‬‬
‫זכות היוצרים‬
‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬
‫‪0.76b‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0.77b‬‬
‫‪50 o‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0.75b‬‬
‫)‪L (x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/16‬‬
‫סמן ‪ , B BAC = 2x‬ומצא מה צריך להיות הגודל של ‪, B BAC‬‬
‫כדי שאורך האנך ‪ DE‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪- 16 -‬‬
‫שאלה ‪9‬‬
‫‪.9‬‬
‫בטבלה שלפניך מוצגים ערכים מסוימים של הפונקציה )‪ f(x‬בקטע ‪. 11 x 1 2‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪1.3‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1.43‬‬
‫‪1.36‬‬
‫‪1.28‬‬
‫‪1.19‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫הפונקציה )‪ f(x‬חיובית בקטע הנתון‪ ,‬ואין לה נקודות קיצון פנימיות בקטע זה‪.‬‬
‫נתון כי פונקציית הנגזרת השנייה )‪ f''(x‬שלילית בקטע הנתון‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫קבע מהו הסימן של )‪ . f '(1.2‬נמק‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫קבע אם הטענה )‪ f '(1.3) 1 f '(1.2) 1 f '(1.1‬נכונה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫נתונה הפונקציה )‪ g (x) = f (x‬בקטע ‪. 11 x 1 2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫בקטע הנתון מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה )‪( g(x‬אם יש כאלה)‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הראה כי בתחום ‪ 1.1# x #1.3‬אין פתרון למשוואה )‪. g' (x) = f' (x‬‬
‫תשובה לשאלה ‪9‬‬
‫א‪.‬‬
‫על פי הנתונים‪ ,‬אין נקודות קיצון פנימיות‬
‫ו־ )‪ , f (1.3) 2 f (1.2‬לכן‪:‬‬
‫)‪ f(x‬עולה בקטע‬
‫בהצלחה!‬
‫‪0‬‬
‫זכות היוצרים שמורה למדינת‬
‫ישראלהחינוך‪ f'(x)2 0‬בקטע‬
‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד‬
‫‪0‬‬
‫‪f'(1.2) 2 0‬‬
‫ב‪.‬‬
‫לפי הנתון‪:‬‬
‫‪ f''(x) 1 0‬בקטע‬
‫‪0‬‬
‫)‪ f'(x‬יורדת בקטע‬
‫‪0‬‬
‫)‪ f'(x‬קטנה כאשר ‪ x‬גדל‪ ,‬לכן מתקיים‪:‬‬
‫)‪f' (1.3) 1 f' (1.2) 1 f' (1.1‬‬
‫‪0‬‬
‫הטענה נכונה‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/17‬‬
‫‪- 17 -‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫המשך תשובה לשאלה ‪.9‬‬
‫)‪g (x) = f (x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫)‪f' (x‬‬
‫)‪2 f (x‬‬
‫‪0‬‬
‫= )‪g' (x‬‬
‫‪ f' (x) 2 0‬בקטע‬
‫מצאנו‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ g' (x) 2 0‬בקטע‬
‫מאחר ש־ ‪: f (x) 2 0‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪ g(x‬עולה בקטע‬
‫ד‪.‬‬
‫אם )‪ g' (x) = f' (x‬אז‪:‬‬
‫)‪f' (x‬‬
‫)‪2 f (x‬‬
‫= )‪f' (x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ , f'(x) ! 0‬לכן‪:‬‬
‫לפי הטבלה ‪1.19 # f (x) #1.36‬‬
‫בתחום ‪ , 1.1# x #1.3‬לכן‪:‬‬
‫דרך אחרת‬
‫לפי הטבלה ‪, f (x) 21‬‬
‫ומצאנו ‪, f' (x) 2 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (x) = 4‬‬
‫‪0‬‬
‫אין פתרון למשוואה‬
‫)‪f' (x‬‬
‫= )‪g' (x‬‬
‫)‪2 f (x‬‬
‫‪0‬‬
‫לכן המנה )‪g'(x‬‬
‫קטנה מהמונה )‪:f'(x‬‬
‫)‪ g' (x) 1 f' (x‬לכל ‪ x‬בקטע‬
‫‪0‬‬
‫אין פתרון למשוואה‬
‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬
‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬