‫תרגילים — משיק למעגל )פתרונות(‬ ‫‪ .1‬הוכיחו שהישר ‪ 3y + x = 10‬משיק למעגל ‪ x 2 + y 2 = 10‬ומצאו את נקודת ההשקה ‬ ‫פתרון ‬ ‫נראה שיש רק נקודת חיתוך אחת ולכן משיק‪ :‬‬ ‫‪(10 − 3y )2 + y 2 = 10‬‬ ‫‪100 − 60y + 9y 2 + y 2 = 10‬‬ ‫‪10y 2 − 60y + 90 = 0‬‬ ‫ ‬ ‫)‪y 2 − 6y + 9 = 0 → ( y − 3) = 0 → y = 3, x = 1 → A (1,3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .2‬נתון המעגל ‪ x + y = 13‬והנקודה )‪ A ( 2, 3‬שעליו‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצאו את משוואת הישר העובר דרך מרכז המעגל והנקודה ‪. A‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו את משוואת הישר המשיק למעגל בנקודה ‪ . A‬‬ ‫פתרון‬ ‫א‪ .‬מרכז המעגל ) ‪ M ( 0,0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪m = ; M ( 0,0 ) → y = x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪ .‬המשוואה שמצאנו ב‪-‬א היא משוואת הרדיוס העובר ב‪ .A-‬לכן שיפוע המשיק הופכי נגדי לו‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪( x − 2) → y = − x +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ m = − ; A ( 2,3) → y − 3 = −‬‬ ‫‪ .3‬מצאו את משוואת המשיק למעגל ‪ x 2 + y 2 + 4x − 10y + 4 = 0‬בנקודה ) ‪ ( 2,2‬‬ ‫פתרון ‬ ‫משוואת המעגל המסודרת‪ :‬‬ ‫‪( x + 2 )2 − 4 + ( y − 5 )2 − 25 + 4 = 0‬‬ ‫ ‬ ‫‪( x + 2 )2 + ( y − 5 )2 = 25‬‬ ‫נמצא כעת את משוואת הרדיוס לנק׳ ההשקה )יוצא מהמרכז וחותך את המעגל ב‪ :( ( 2,2 ) -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2−5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫= ‪ mR‬ולכן שיפוע המשיק הוא‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2+2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( x − 2) → y = x −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪ y−2‬‬ ‫= ‪ : m‬‬ ‫‪ .4‬מצאו את משוואת המשיק למעגל ‪ x 2 + y 2 = 50‬אם המשיק‬ ‫א‪ .‬מקביל לישר ‪y + x = 3‬‬ ‫ב‪ .‬מאונך לישר ‪ 7x + y = 2‬‬ ‫פתרון‬ ‫א‪ .‬נמצא תחילה את נקודת ההשקה‪ .‬אנו יודעים ששיפוע המשיק הוא ‪ m = −1‬כי המשיק מקביל‬ ‫לישר הנתון‪ .‬ניתן למצוא את משוואת הרדיוס המאונך למשיק זה ואז למצוא חיתוך של הרדיוס‬ ‫עם המעגל — אלו הן נקודות ההשקה‪ .‬שיפוע הרדיוס ‪ mR = 1‬והנקודה ) ‪ M ( 0,0‬המשוואה היא‬ ‫לכן‪ y = x :‬‬ ‫חיתוך עם המעגל‪ :‬‬ ‫‪x 2 + y 2 = 50‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ y = x → x + x = 50 → x = 25 → x = ±5‬‬ ‫) ‪( 5,5 ); ( −5,−5‬‬ ‫‪ y − 5 = − ( x − 5 ) → y = −x + 10‬‬ ‫או ‬ ‫‪y + 5 = − ( x + 5 ) → y = −x − 10‬‬ ‫ב‪ .‬במקרה זה שיפוע הרדיוס הוא כמו שיפוע הישר הנתון‪ mR = −7 :‬‬ ‫משוואת הרדיוס‪:‬‬ ‫‪y = −7x → x 2 + ( −7x ) = 50 → x 2 + 49x 2 = 50 → 50x 2 = 50 → x 2 = 1 → x = ±1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪(1,−7 ); ( −1,7‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ y + 7 = 7 ( x − 1) → y = 7 x − 7‬‬ ‫או ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪( x + 1) → y = x +‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫= ‪y−7‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .5‬הישר ‪x + 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ y = −‬משיק למעגל שמרכזו על ציר ה‪ x -‬בנקודה ) ‪ . ( 4,4‬מצאו את משוואת המעגל‪ .‬‬ ‫פתרון ‬ ‫‪4−0‬‬ ‫‪→4−a=2→a=2‬‬ ‫‪4−a‬‬ ‫= ‪ mR = 2‬‬ ‫‪ ( x − 2 ) + y2 = R2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נציב את הנקודה ) ‪ : ( 4,4‬‬ ‫‪( 4 − 2 )2 + 4 2 = R 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ R = 20‬‬ ‫‪( x − 2 )2 + y 2 = 20‬‬ ‫‪ .6‬משוואת אחת מצלעות ריבוע היא ‪ y = −2x − 5‬ומשוואת אחד האלכסונים היא ‪. y = 3x − 10‬‬ ‫האלכסונים נפגשים בנקודה )‪. ( 3,−1‬‬ ‫א‪ .‬מצאו את קודקודי הריבוע‪ .‬‬ ‫קודקוד ‪ :A‬‬ ‫‪iC‬‬ ‫‪iB‬‬ ‫‪−2x − 5 = 3x − 10‬‬ ‫‪ 5x = 5 → x = 1, y = −7‬‬ ‫) ‪A (1,−7‬‬ ‫‪iA‬‬ ‫קודקוד ‪) :C‬קצה של האלכסון ‪ (AC‬‬ ‫‪1+ xc‬‬ ‫‪→ xc = 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−7 + yc‬‬ ‫‪→ yc = 5‬‬ ‫= ‪ −1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪C ( 5,5‬‬ ‫=‪3‬‬ ‫נמצא את משוואת ‪) CB‬שיפוע הופכי נגדי ל‪ AB-‬הנתונה( ונקודה ‪ : C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪( x − 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y= x+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪y−5‬‬ ‫את קודקוד ‪ B‬נמצא מחיתוך ‪ BC‬עם ‪ :AB‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x + = −2x − 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪−4x − 10‬‬ ‫ ‬ ‫‪5x = −15‬‬ ‫)‪x = −3, y = 1 → B ( −3,1‬‬ ‫את קודקוד ‪ D‬נמצא לפי קצה אלכסון‪ :‬‬ ‫‪−3 + x D‬‬ ‫‪→ xD = 9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1+ yD‬‬ ‫‪→ yD = −3‬‬ ‫= ‪ −1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪D ( 9,−3‬‬ ‫=‪3‬‬ ‫ ‬ ‫ב‪ .‬מצאו את משוואת המעגל החוסם את הריבוע‪ .‬‬ ‫המרכז של מעגל החוסם ריבוע הוא בנקודת מפגש האלכסונים ורדיוסו הוא חצי אלכסון‪ :‬‬ ‫‪ ( x − 3) + ( y + 1) = R 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נציב נקודה שעל המעגל )אחד הקודקודים(‪ :‬‬ ‫‪ (1− 3) + ( −7 + 1) = 4 + 36 = 40‬‬ ‫‪2‬‬ ‫המשוואה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( x − 3)2 + ( y + 1)2 = 40‬‬ ‫)‪ 40‬שווה לחצי אלכסון בריבוע(‬ ‫ג‪ .‬מצאו את משוואת המעגל החסום בריבוע‪ .‬‬ ‫המעגל החסום הוא בעל אותו המרכז כמו החוסם‪ .‬אורך הרדיוס הוא חצי צלע‪ .‬‬ ‫חצי הצלע שווה לחצי האלכסון חלקי ‪2‬‬ ‫ולכן חצי הצלע בריבוע שווה לחצי האלכסון בריבוע‬ ‫חלקי ‪ :2‬‬ ‫‪( x − 3)2 + ( y + 1)2 = 20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .7‬מצאו את אורך המשיק היוצא מהנקודה ) ‪ ( −1,2‬למעגל ‪) x − 22x + y − 14y = −145‬רמז‪ :‬השתמשו‬ ‫במשפט פיתגורס‪ ,‬אין צורך למצוא נקודת השקה(‪ .‬‬ ‫‪( x − 11)2 − 121+ ( y − 7 )2 − 49 = −145‬‬ ‫ ‬ ‫‪( x − 11)2 + ( y − 7 )2 = 25‬‬ ‫נמצא את המרחק בין הנקודה ממנה יוצא המשיק לנקודת מרכז המעגל — זה היתר במשולש ישר‬ ‫זווית‪= 144 + 25 = 13 :‬‬ ‫‪( −1− 11)2 + ( 2 − 7 )2‬‬ ‫=‪ c‬‬ ‫הרדיוס הוא אחד הניצבים‪ a = 5 :‬‬ ‫ולכן אורך המשיק‪ :‬‬ ‫‪b 2 = c 2 − a 2 = 169 − 25 = 144‬‬ ‫‪b = 12‬‬ ‫ ‬ ‫‪ .8‬מצאו את משוואת המעגל המשיק לציר ה‪ x -‬בנקודה ) ‪ ( 4 ,0‬והעובר בנקודה )‪ . ( 7,1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫משוואת המעגל המשיק לציר ה‪ . ( x − a ) + ( y − b ) = b : x -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫במקרה הזה ברור ששיעור ה‪ x -‬של המרכז הוא ‪) a = 4‬זה בגלל שציר ה‪ x -‬הוא המשיק ולכן מאונך‬ ‫‪2‬‬ ‫לרדיוס(‪ .‬המשוואה כעת‪ ( x − 4 ) + ( y − b ) = b :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נשתמש בנקודה )‪ ( 7,1‬למציאת ‪ : b‬‬ ‫‪( 7 − 4 )2 + (1− b )2 = b 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 9 + 1− 2b + b = b‬‬ ‫‪2b = 10‬‬ ‫‪b=5‬‬ ‫ולכן המעגל‪ ( x − 4 ) + ( y − 5 ) = 25 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫* אפשר גם להציב את הנקודה ) ‪ ( 4,0‬במשוואה ‪ ( x − a ) + ( y − b ) = b 2‬ולקבל ש‪ : a = 4 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ( 4 − a) + (0 − b) = b → ( 4 − a) = 0 → a = 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מצאו את משוואת המעגל המשיק לציר ה‪ y -‬והעובר בנקודות ) ‪ (1,−4‬ו‪ . (1,6 ) -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫המעגל‪ ( x − a ) + ( y − b ) = a :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נציב את הנקודות‪ :‬‬ ‫‪2‬‬ ⎧⎪(1− a )2 + ( −4 − b )2 = a 2 2 2 → ( 4 + b) = (6 − b) ⎨ 2 2 2 ⎪⎩(1− a ) + ( 6 − b ) = a 16 + 8b + b 2 = 36 − 12b + b 2 20b = 20 b = 1 → (1− a ) + ( −4 − 1) = a 2 2 1− 2a + a 2 + 25 = a 2 2a = 26 a = 13 ( x − 13)2 + ( y − 1)2 = 169 2