פתרון שאלון 803 חורף תשע"ה 2015

‫‪1‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35803‬‬
‫‪100  20‬‬
‫א‪ .‬נסמן ב‪) x -‬שקל( מחיר של בקבוק מיץ מנגו‪ ,‬ולכן ‪ x  0.8 x‬‬
‫‪100‬‬
‫מחיר של בקבוק מיץ תפוזים‪,‬‬
‫שזול ב‪ 20% -‬ממחיר בקבוק מיץ מנגו‪.‬‬
‫נסמן ב‪ y -‬את מספר בקבוקי מיץ המנגו שקנה דני‪ ,‬ולכן ‪ y  3‬מספר בקבוקי מיץ התפוזים שקנה דני‪,‬‬
‫הגדול ב‪ 3 -‬ממספר בקבוקי מיץ המנגו שקנה‪.‬‬
‫דני שילם עבור בקבוקי מיץ המנגו ‪ 135‬שקל‪ ,‬והמשוואה המתאימה‪. xy  135 :‬‬
‫דני שילם עבור בקבוקי מיץ התפוזים ‪ 129.6‬שקל‪ ,‬והמשוואה המתאימה‪. 0.8 x( y  3)  129.6 :‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪135‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xy  135  y  x‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.8 x(135  3)  129.6‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪108  2.4 x  129.6 / 108‬‬
‫‪2.4 x  21.6 / : 2.4‬‬
‫‪x9‬‬
‫תשובה‪ :‬מחיר בקבוק מיץ מנגו ‪ 9‬שקלים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מחיר בקבוק מיץ תפוזים ‪ 7.2‬שקל ‪. 0.8  9 ‬‬
‫מחיר בקבוק מיץ מנגו גדול ב‪ 1.8 -‬שקלים ‪. 9  7.2 ‬‬
‫תשובה‪ :‬מחיר בקבוק מיץ מנגו גדול ב‪ 1.8 -‬שקלים מן המחיר של בקבוק מיץ תפוזים‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪2‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35803‬‬
‫א‪ .‬נמצא את שיעורי נקודת מפגש האלכסונים‪.‬‬
‫האלכסונים במעוין חוצים זה את זה‪ ,‬ולכן הנקודה ‪ M‬היא אמצע האלכסון ‪. AC‬‬
‫‪xC  xA 2  6 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ M(2, 3‬‬
‫‪yC  yA 1  5 6‬‬
‫‪yM ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xM ‬‬
‫תשובה‪. M(2, 3) :‬‬
‫‪5 1‬‬
‫‪4 1‬‬
‫ב‪ .‬האלכסונים במעוין מאונכים זה לזה‪  .‬‬
‫‪6  (2) 8 2‬‬
‫‪. mAC ‬‬
‫‪1‬‬
‫השיפוע של האלכסון ‪ BD‬הופכי לנגדי‪ mBD  1  mBD  2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. mAC  mBD  1 ‬‬
‫נמצא את משוואת האלכסון ‪ , BD‬לפי‪. M(2, 3) , mBD  2 :‬‬
‫)‪y  3  2( x  2‬‬
‫‪y  3  2 x  4‬‬
‫‪y  2 x  7‬‬
‫תשובה‪ :‬משוואת האלכסון ‪ BD‬היא ‪. y  2 x  7‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי הצלע ‪ AB‬מקבילה לציר ה‪ , x -‬כלומר שיעורי ה‪ y -‬שעליה שווים זה לזה‪.‬‬
‫)‪. yB  yA  5 (1‬‬
‫תשובה‪. yB  5 :‬‬
‫)‪ (2‬נציב ‪ yB  5‬במשוואת האלכסון ‪. BD‬‬
‫‪5  2 x  7‬‬
‫‪2x  2 / : 2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫תשובה‪. xB  1 :‬‬
‫)‪ (3‬נמצא את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ h‬גובה חיצוני להמשך הצלע ‪. AB‬‬
‫‪AB  6  1  5‬‬
‫‪h  5 1  4‬‬
‫‪AC  BM‬‬
‫‪AB  h 5  4‬‬
‫‪) S ABC ‬ניתן גם על ידי‬
‫‪‬‬
‫‪ 10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.( S ABC ‬‬
‫תשובה‪ :‬שטח המשולש ‪ ABC‬הוא ‪ 10‬יח"ר‪.‬‬
‫)‪ (4‬שטח המעוין הוא ‪) . S ABCD  AB  h  5  4  20‬ניתן גם לכפול את שטח משולש ‪ ABC‬פי שניים‪(.‬‬
‫תשובה‪ :‬שטח המעוין הוא ‪ 20‬יח"ר‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪3‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35803‬‬
‫א‪ .‬נתונה משוואת המעגל ‪) ( x  4) 2  ( y  2) 2  R 2‬שמרכזו )‪ M(4,  2‬ורדיוסו ‪.( R‬‬
‫נציב את שיעורי הנקודה )‪ , B(2,  6‬שנמצאת על המעגל‪ ,‬במשוואת המעגל‪.‬‬
‫‪(2  4) 2  (6  2) 2  R 2‬‬
‫‪4  16  R 2‬‬
‫‪R 2  20‬‬
‫תשובה‪ , R 2  20 :‬משוואת המעגל היא ‪. ( x  4) 2  ( y  2) 2  20‬‬
‫‪6  (2) 4‬‬
‫‪. mBM ‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬שיפוע הישר ‪ BM‬הוא ‪ 2‬‬
‫‪24‬‬
‫‪2‬‬
‫נמצא את משוואת הישר ‪ , BM‬לפי‪. M(4, 2) , mBM  2 :‬‬
‫)‪y  (2)  2( x  4‬‬
‫‪y  2  2 x  8 / 2‬‬
‫‪y  2 x  10‬‬
‫תשובה‪ :‬משוואות הישר ‪ BM‬היא ‪. y  2 x  10‬‬
‫ג‪ AB .‬הוא קוטר במעגל ולכן מרכז המעגל )‪ M(4, 2‬הוא אמצע הקוטר ‪. AB‬‬
‫‪2  xA‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 8  2  xA  6  xA‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ A(6, 2‬‬
‫‪6  yA‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ 4   6  y A  2  y A ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫תשובה‪. A(6, 2) :‬‬
‫ד‪ AD (1) .‬מקביל לציר ה‪ , y -‬לכן ‪. xD  xA  6‬‬
‫נציב ‪ x  6‬במשוואת המעגל‪.‬‬
‫‪(6  4) 2  ( y  2) 2  20  4  ( y  2)( y  2)  20‬‬
‫‪4  y 2  2 y  2 y  4  20  y 2  4 y  12  0‬‬
‫)‪4  42  4 1 (12‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪4  8‬‬
‫‪y1,2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4  8 4‬‬
‫‪y1 ‬‬
‫‪  2  yA‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4  8 12‬‬
‫‪y2 ‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ 6  D(6,  6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y1,2 ‬‬
‫תשובה‪. D(6,  6) :‬‬
‫)‪. AD  yA  yD  2  (6)  8 (2‬‬
‫תשובה‪. AD  8 :‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪4‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35803‬‬
‫‪4‬‬
‫א‪ .‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪f ( x)   x ‬‬
‫)‪ (1‬תחום ההגדרה של הפונקציה ‪. x  0‬‬
‫)‪ (2‬עבור ‪ x  0‬המכנה מתאפס‪ ,‬לכן הישר ‪ x  0‬הוא אסימפטוטה אנכית‪.‬‬
‫תשובה‪. x  0 :‬‬
‫ב‪ .‬נמצא את נקודות הקיצון‪ ,‬כאשר את סוגן נקבע על פי הגרף‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪f '( x)  1 ‬‬
‫‪ x2  4‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪f '( x) ‬‬
‫‪ x2  4‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪0   x2  4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x 2  4  x  2‬‬
‫)‪ (2,  4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y  4‬‬
‫‪ y  2 ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪ y  4  (2, 4‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובה‪ (2,  4) :‬מקסימום ‪ (2, 4) ,‬מינימום‪.‬‬
‫‪x  2  y  (2) ‬‬
‫ג‪ (1) .‬העבירו משיק לגרף הפונקציה בנקודה ‪ A‬שבה ‪. x  1‬‬
‫‪4‬‬
‫שיפוע המשיק בנקודה זו הוא ‪ 1  4  3‬‬
‫‪(1) 2‬‬
‫‪m  f '(1)  1 ‬‬
‫תשובה‪ :‬שיפוע המשיק הוא ‪. 3‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪ (2‬נמצא את נקודת השקה‪ 1  4  5 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ , y  (1) ‬ולכן נקודת ההשקה היא )‪. A( 1, 5‬‬
‫נמצא את משוואת המשיק‪ ,‬לפי )‪: m  3 , A(1, 5‬‬
‫))‪y  5  3( x  (1‬‬
‫)‪y  5  3( x  1‬‬
‫‪y  5  3x  3‬‬
‫‪y  3x  8‬‬
‫תשובה‪ :‬משוואת המשיק היא ‪. y  3 x  8‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪5‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35803‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬נמצא את שיעורי הנקודה ‪ , P‬בה הישר ‪ y   x  2.5‬משיק לפרבולה ‪. f ( x)   x 2  2‬‬
‫‪2‬‬
‫בנקודת ההשקה שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת‪.‬‬
‫שיפוע המשיק ‪ y   x  2.5‬הוא ‪. 1‬‬
‫‪ , f '( x)   x‬ולכן ‪ 1   x‬ו‪ x  1 -‬הוא שיעור ה‪ x -‬בנקודת ההשקה ‪. P‬‬
‫‪ , yP  1  2.5  1.5‬ומתקבל שנקודת ההשקה היא )‪. P(1, 1.5‬‬
‫תשובה‪. P(1, 1.5) :‬‬
‫ב‪ .‬הפרבולה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪ C‬בה מתקיים ‪. y  0‬‬
‫‪1/‬‬
‫‪1 2 2/‬‬
‫‪x  2 / 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0   x2  4‬‬
‫‪ xB  0‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪x 2  4  x  2  B(2, 0‬‬
‫המשיק חותך את ציר ה‪ , x -‬בחלקו החיובי‪ ,‬בנקודה ‪ B‬בה מתקיים ‪. y  0‬‬
‫)‪0   x  2.5  x  2.5  C(2.5, 0‬‬
‫תשובה‪. C(2.5, 0) , B(2, 0) :‬‬
‫ג‪ (1) .‬נחשב את השטח המקווקו‬
‫‪1 2‬‬
‫‪x  2  0) dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S   (‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 x3‬‬
‫] ‪S     2x‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1 13‬‬
‫)‪S  (    2  2)  (    2 1‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪8 11‬‬
‫) (‪S ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪S‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫תשובה‪ :‬גודל השטח המקווקו הוא‬
‫‪6‬‬
‫יח"ר ‪.‬‬
‫‪AC  AP (2.5  1)  (1.5  0) 1.5 1.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ 1.125 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובה‪ :‬שטח המשולש ‪ PAC‬הוא ‪ 1.125‬יח"ר‪.‬‬
‫‪5 7‬‬
‫ג‪ .‬השטח המנוקד יתקבל על ידי הפרש שטחים‪:‬‬
‫‪1.125  ‬‬
‫‪6 24‬‬
‫‪7‬‬
‫יח"ר‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬השטח המנוקד ‪ PAC‬הוא‬
‫‪24‬‬
‫‪S PAC ‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪6‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35803‬‬
‫א‪ .‬שיעורי הנקודה ‪ M‬הנמצאת על גרף הפונקציה ‪ f ( x)  x‬הם ) ‪. M( x, x‬‬
‫נמצא את ריבוע האורך של הקטע ‪ , MA‬כלומר את ‪. (MA) 2‬‬
‫נמצא את ‪ (MA) 2‬באמצעות נוסחת המרחק בין שתי נקודות שבנוסחאון‪:‬‬
‫‪MA  ( x  3.5) 2  ( x  0) 2‬‬
‫‪(MA) 2  ( x  3.5) 2  ( x ) 2‬‬
‫‪(MA) 2  ( x  3.5)( x  3.5)  x‬‬
‫‪(MA) 2  x 2  3.5 x  3.5 x  12.25  x‬‬
‫‪(MA) 2  x 2  6 x  12.25‬‬
‫תשובה‪. (MA) 2  x 2  6 x  12.25 :‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה שיש להביא למינימום היא ‪. (MA) 2  x 2  6 x  12.25‬‬
‫נמצא את נקודת הקיצון‪:‬‬
‫‪((MA) 2 ) '  2 x  6‬‬
‫‪0  2x  6‬‬
‫)‪2 x  6 / : (2‬‬
‫‪x3‬‬
‫נבנה טבלה לזיהוי סוג הקיצון ‪:‬‬
‫‪((MA) 2 ) '(2)  2  2  6  0, ((MA) 2 ) '(4)  2  4  6  0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫' ) ‪((MA) 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-‬‬
‫מסקנה‬
‫‪0‬‬
‫‪Min‬‬
‫תשובה‪ :‬עבור ‪ (MA) 2 x  3‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬