סיכום: אינפי 2 - Notes

‫סיכום‪ :‬אינפי ‪2‬‬
‫סשה גולדשטיין‪sashag@cs ,‬‬
‫‪ 20‬ביוני ‪2010‬‬
‫תקציר‬
‫מסמך זה הוא סיכום ההרצאות של מר איתמר צביק ושיעורי התרגול של מר אורי‬
‫פרזנצ'בסקי‪ .‬זהו לא מסמך רשמי של סגל הקורס‪ ,‬והשימוש בו הוא על אחריותכם‬
‫בלבד‪ .‬עם זאת‪ ,‬אשמח לקבל הערות‪ ,‬תיקונים והרחבות על מנת לייצג נאמנה את חומר‬
‫הלימוד‪ ,‬לכתובת ‪.sashag@cs‬‬
‫שימו לב‪ :‬המקור הרשמי היחיד למסמך זה הוא האתר של דינה זיל‪ ,‬שם גם יפורסמו‬
‫עדכונים ותיקונים במידת הצורך‪.‬‬
‫‪Errors are the portals of discovery.‬‬
‫‪James Joyce‬‬
‫‪1‬‬
‫קירובים פולינומיאליים‬
‫הפונקציות שעסקנו בהן‪ ,‬כגון האקספוננט ‪ ,ex‬הפונקציות הטריגונומטריות הן מורכבות‬
‫יחסית‪ .‬קירובים פולינומיאליים נועדו להקל מעט את החישובים עם פונקציות כאלה‪ .‬בדרך‬
‫נרצה גם לדעת מה הטעות של הקירוב שקיבלנו‪.‬‬
‫ראינו בסמסטר הקודם קירוב ליניארי )דיפרנציאביליות(‪ ,‬שם הייתה לנו משוואת המשיק‪:‬‬
‫)‪l(x) = f (a) + f 0 (a)(x − a‬‬
‫הקירוב מסדר ראשון הטוב ביותר של הפונקציה בנקודה ‪ .a‬ראינו שמבין כל הישרים‬
‫העוברים דרך ))‪ ,(a, f (a‬הישר המקיים‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪f (x) − mx − n‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪x−a‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→a‬‬
‫הוא רק המשיק לפונקציה בנקודה‪ ,‬כלומר לא זו בלבד שמתקיים ‪f (x) − mx − n → 0‬‬
‫אלא אפילו כאשר מחלקים ביטוי זה ב־ ‪ x − a‬הוא עדיין שואף ל־ ‪ .0‬באופן דומה אפשר‬
‫לחפש את הפרבולה הקרובה ביותר לפונקציה בסביבת הנקודה‪ ,‬את הפונקציה ממעלה‬
‫שלישית וכד'‪ .‬ניתן להכליל את )‪ (1‬לפולינום כלשהו‪ ,‬ולדרוש שאם )‪ p(x‬פולינום ממעלה ‪n‬‬
‫המקרב את הפונקציה‪ ,‬אז יתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪f (x) − p(x‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪(x − a)n‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→a‬‬
‫כיצד ניתן לבנות פולינום כזה? ובכן‪ ,‬אם ‪ f‬בעצמה היא פולינום‪ ,‬אפשר לעשות את זה‬
‫בקלות באמצעות נגזרות‪ .‬למשל‪ ,‬נניח‪:‬‬
‫‪2 · x2 + ln 5 · x3‬‬
‫√‬
‫‪p(x) = π + e · x −‬‬
‫נשתמש בנגזרות של ‪ p‬כדי לחשב את המקדמים שלו‪:‬‬
‫‪2 · 2x + ln(5) · 3x2‬‬
‫√‬
‫‪p(0) = π‬‬
‫‪p0 (x) = e −‬‬
‫‪0‬‬
‫‪p (0) = e‬‬
‫√‬
‫‪p00 (x) = − 2 · 2 · 1 + ln(5) · 3 · 2x‬‬
‫√‬
‫‪p00 (0) = − 2 · 2 · 1‬‬
‫‪p000 (x) = ln(5) · 3 · 2 · 1‬‬
‫‪p000 (0) = ln(5) · 3 · 2 · 1‬‬
‫אפשר לשחזר את הפולינום לפי המקדמים האלה באמצעות הנוסחא הבאה‪ ,‬שניתן להוכיח‬
‫באינדוקציה‪:‬‬
‫)‪deg(p‬‬
‫)‪X p(k) (0‬‬
‫‪xk‬‬
‫!‪k‬‬
‫= )‪p(x‬‬
‫‪k=0‬‬
‫אפשר גם לעשות אותו הדבר בנקודה אחרת שאינה ‪ ,0‬על ידי‪:‬‬
‫)‪deg(p‬‬
‫)‪X p(k) (a‬‬
‫‪(x − a)k‬‬
‫!‪k‬‬
‫= )‪p(x‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪1.1‬‬
‫פולינום טיילור‬
‫הגדרה ‪ 1.1‬תהי ‪ f‬פונקציה בעלת נגזרות מסדר ‪) n‬כאשר }‪ (n ∈ N∪{0‬בנקודה ‪ .a‬הפולינום‬
‫)‪f (a) f 0 (a‬‬
‫)‪f (n) (a‬‬
‫‪+‬‬
‫‪(x − a) + · · · +‬‬
‫‪(x − a)n‬‬
‫!‪0‬‬
‫!‪1‬‬
‫!‪n‬‬
‫נקרא פולינום טיילור מסדר ‪ n‬של הפונקציה ‪ f‬בנקודה ‪.a‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪Tn (x‬‬
‫הערה ‪ .1 1.2‬קיום )‪ f (n) (a‬מניח ש־ )‪ f (n−1) (a‬מוגדרת בסביבה של ‪ .a‬לעומת זאת‪ ,‬כמובן‪,‬‬
‫)‪ f (n) (a‬יכולה להיות קיימת רק ב־ ‪.a‬‬
‫)‪(n‬‬
‫‪ .2‬הפולינום ‪ Tn‬אינו בהכרח ממעלה ‪ .n‬למעשה‪ .deg Tn ≤ n ,‬למשל‪ ,‬אם ‪f (a) = 0‬‬
‫אז ‪.deg Tn = deg Tn−1‬‬
‫‪ .3‬אם ניקח את פולינום טיילור מסדר ‪ n‬של ‪ ,f‬נסמנו )‪ (Tn f )(x‬ונגזור אותו‪ ,‬אז נקבל‬
‫את הזהות‪:‬‬
‫‪(Tn f )0 = Tn−1 f 0‬‬
‫למעשה‪ ,‬באופן כללי יותר מתקיים‪:‬‬
‫)‪Tn−j f (j) = (Tn f )(j‬‬
‫ואפשר להוכיח את זה ישירות מהגדרת פולינום טיילור ע"י גזירה שלו‪ .‬זה אומר שבניית‬
‫פולינום טיילור עבור הפונקציה בסביבת הנקודה תאפשר לנו גם בניית פולינום טיילור עבור‬
‫הנגזרות של הפונקציה בסביבת הנקודה‪.‬‬
‫כעת נראה כמה דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬ניקח ‪ f (x) = ex‬ב־ ‪ .a = 0‬זה כמובן קל מאוד‪ ,‬שהרי הנגזרת היא הפונקציה עצמה‪,‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪1 · x2‬‬
‫‪1 · xn‬‬
‫‪+ ··· +‬‬
‫!‪2‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪Tn (x) = 1 + 1 · x +‬‬
‫‪ .2‬נסמן ‪ f (x) = cos x‬ב־ ‪ .a = 0‬כאן הנגזרת היא מחזורית‪ ,‬וחוזרת להיות ‪ cos x‬מדי‬
‫ארבע פעולות גזירה‪ .‬לכן הפולינומים המתקבלים יהיו‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫!‪2‬‬
‫‪T3 (x) = 1 −‬‬
‫‪x2‬‬
‫!‪2‬‬
‫‪T0 (x) = 1 T1 (x) = 1 + 0 · x = 1 T2 (x) = 1 −‬‬
‫הגדרה ‪ 1.3‬נסמן את השארית המייצגת את שגיאת הקירוב‪:‬‬
‫)‪Rn (x) := f (x) − Tn (x‬‬
‫משפט ‪) 1.4‬משפט טיילור( תהי ‪ f‬פונקציה גזירה ‪ n‬פעמים )כאשר }‪ (n ∈ N ∪ {0‬ב־ ‪ ,a‬אז‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫)‪f (x) − Tn (x‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪(x − a)n‬‬
‫‪3‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→a‬‬
‫הוכחה‪ :‬בעצם עלינו להוכיח שמתקיים‪:‬‬
‫)‪Rn (x‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪(x − a)n‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→a‬‬
‫נפעל באינדוקציה על ‪ .n‬ראשית נבדוק את המקרה ‪ .n = 0‬במקרה כזה‪ ,‬נתון ש־‬
‫)‪ f (0) (a‬קיימת‪ .‬זה אומר )וזו הגדרה שלנו( ש־ ‪ f‬מוגדרת בסביבה של ‪ a‬ורציפה ב־ ‪a‬‬
‫)זה לא נובע כמובן מ"הגדרת" )‪ f (0‬בשום צורה(‪ .‬במקרה זה הפולינום הוא )‪T0 (x) = f (a‬‬
‫וכמובן הוא מקיים‪:‬‬
‫)‪f (x) − f (a‬‬
‫‪= lim f (x) − f (a) = 0‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪(x − a)0‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→a‬‬
‫בגלל רציפות ‪ f‬ב־ ‪ .a‬נבדוק גם את המקרה ‪ n = 1‬לשם בהירות‪ .‬כאן מניחים ש־ ‪f‬‬
‫גזירה ב־ ‪ ,a‬כלומר היא מוגדרת בסביבה של ‪ a‬ורציפה ב־ ‪ .a‬כאן הפולינום הוא‬
‫)‪T1 (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a‬‬
‫ונחשב‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫))‪f (x) − (f (a) + f 0 (a)(x − a‬‬
‫)‪f (x) − f (a‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫‪−‬‬
‫‪f‬‬
‫)‪(a‬‬
‫‪= f 0 (a)−f 0 (a) = 0‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪(x − a)1‬‬
‫‪x−a‬‬
‫‪lim‬‬
‫כאשר המעבר לפני האחרון מתבסס כמובן על ההנחה ש־ ‪ f‬גזירה ב־ ‪.a‬‬
‫כעת נניח שהמשפט נכון לגבי פולינום טיילור עד סדר ‪ k‬של פונקציה כלשהי‪ ,‬ונוכיח‬
‫שהוא נכון עד סדר ‪ k + 1‬של הפונקציה‪ .‬נכתוב‪:‬‬
‫‪k+1‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪f (i) (a‬‬
‫‪(x − a)i‬‬
‫!‪i‬‬
‫= )‪Tk+1 (x‬‬
‫‪i=0‬‬
‫ואז כמובן עלינו לחשב את‪:‬‬
‫)‪Rk+1 (x‬‬
‫‪(x − a)k+1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→a‬‬
‫נרצה להפעיל את כלל לופיטל‪ ,‬וכדי לעשות את זה צריך להראות שהמונה והמכנה שניהם‬
‫שואפים ל־ ‪ .0‬ברור שהמכנה שואף ל־ ‪ ,0‬נראה שכך גם המונה‪:‬‬
‫!‬
‫=‬
‫!‬
‫‪=0‬‬
‫)‪f (i) (a‬‬
‫‪(x − a)i‬‬
‫!‪i‬‬
‫‪k+1‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪f (i) (a‬‬
‫‪(x − a)i‬‬
‫!‪i‬‬
‫‪0‬‬
‫‪k+1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪f (x) −‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪f (x) − f (a) − f (a)(x − a) −‬‬
‫‪i=2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪lim Rk+1 (x) = lim‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫המעבר האחרון נכון כי כמובן ‪ (x − a) → 0‬כאשר ‪ x → a‬ובגלל הרציפות גם‬
‫)‪ f (x) → f (a‬בתנאי זה‪ .‬לכן אפשר להפעיל את כלל לופיטל‪ .‬לפי הכלל‪ ,‬נרצה לחשב את‪:‬‬
‫)‪Pk+1 (i) (a‬‬
‫‪0‬‬
‫!)‪f 0 (x) − i=1 f(i−1‬‬
‫‪(x − a)i−1‬‬
‫‪Rk+1‬‬
‫)‪(x‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a (k + 1)(x − a)k‬‬
‫‪(k + 1)(x − a)k‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ Rk+1‬ולכן לפי הנחת האינדוקציה )שהרי יש לנו פולינום‬
‫זה כמובן פשוט‪ ,‬כי ‪f = Rk f 0‬‬
‫טיילור מסדר ‪ k‬של הפונקציה ‪ ,(f 0‬הגבול הזה הוא ‪ .0‬לכן גם )‪ (2‬הוא ‪ 0‬לפי כלל לופיטל‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.5‬נאמר ש־ )‪ f ∈ C k (I‬אם ‪ f‬בעלת ‪ k‬נגזרות רציפות ב־ ‪) .I‬עבור ‪k = 0‬‬
‫המשמעות היא ש־ ‪ f‬רציפה ב־ ‪(.I‬‬
‫‪1.2‬‬
‫שארית לגרנז'‬
‫לפי משפט לגרנז' בקטע ]‪ [x, a‬אפשר לקבל הערכה על ערך השגיאה של הקירוב מסדר ‪0‬‬
‫שבנינו קודם‪ ,‬אם ידוע בנוסף שהנגזרת חסומה‪ .‬דהיינו‪ ,‬אם ‪ f 0‬חסומה בערך מוחלט ע"י‬
‫איזה ‪ M‬אז נוכל לומר‪:‬‬
‫)‪f (a) − M (x − a) ≤ f (x) ≤ f (a) + M (x − a‬‬
‫אם יודעים משהו גם על חסימות הנגזרת השנייה‪ ,‬נוכל לחזור על אותו התהליך עבור‬
‫פולינום טיילור מסדר ראשון‪:‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪(x − a)2 ≤ f (x) ≤ f (a) + f 0 (a)(x − a) +‬‬
‫‪(x − a)2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (a) + f 0 (a)(x − a) +‬‬
‫כאשר ההנחה היא ש־ ‪ f 00‬חסומה בערך מוחלט ע"י איזה ‪ .M‬באופן כללי נוכל לומר‪:‬‬
‫משפט ‪ 1.6‬תהי )‪ f ∈ C n+1 (I‬בקטע פתוח‪ ,‬ויהיו ‪ .a, x ∈ I‬אז קיים ‪ ξ‬בין ‪ x‬לבין ‪ a‬המקיים‪:‬‬
‫)‪f (n+1) (ξ‬‬
‫‪(x − a)n+1‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫= )‪f (x) − Tn (x‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪ .n‬נתחיל עם ‪ .n = 0‬במקרה זה ידוע רק שהפונקציה גזירה‬
‫ברציפות בקטע‪ ,‬ומתקיים‪:‬‬
‫)‪f (x) − T0 (x) = f (x) − f (a‬‬
‫לפי משפט לגרנז'‪ ,‬קיימת נקודה ‪ ξ‬כנ"ל כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪f 0 (a‬‬
‫‪(x − a)1‬‬
‫!‪1‬‬
‫= )‪f (x) − f (a‬‬
‫כפי שרצינו‪ .‬כעת נניח את נכונות המשפט עבור ‪ ,n ≥ 1‬כלומר עבור פונקציות ב־ )‪.C n+1 (I‬‬
‫נבנה את הפונקציות החדשות‪:‬‬
‫‪k(x) = (x − a)n+1‬‬
‫)‪h(x) = f (x) − Tn (x‬‬
‫נרצה להשתמש במשפט קושי‪ ,‬ונשים לב שהפונקציה )‪ k(x‬לא מתאפסת בין ‪ x‬לבין ‪ ,a‬וגזירה‬
‫כמה פעמים שרוצים בתור פולינום‪ ,‬ואילו הפונקציה )‪ h(x‬גזירה כי ‪ n ≥ 1‬בתור סכום של‬
‫פונקציות גזירות‪ .‬לכן אנחנו עומדים בתנאי משפט קושי ולפיו‪:‬‬
‫)‪f 0 (γ) − Tn0 (γ‬‬
‫)‪f (x) − Tn (x‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪(x − a)n+1‬‬
‫‪(n + 1)(γ − a)n‬‬
‫כעת הפונקציה ‪ f 0‬עומדת בתנאי הנחת האינדוקציה ולכן קיים ‪ ξ‬בקטע בין ‪ a‬לבין ‪η‬‬
‫המקיים‪:‬‬
‫)‪f (n+1) (ξ‬‬
‫‪(γ‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪− a)n‬‬
‫)‪f (n+1) (ξ‬‬
‫=‬
‫‪n‬‬
‫)‪(n + 1)(γ − a‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫=‬
‫וכעת אם מעבירים אגפים מהביטוי ההתחלתי מקבלים בדיוק‪:‬‬
‫)‪f (n+1) (ξ‬‬
‫‪(x − a)n+1‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫= )‪f (x) − Tn (x‬‬
‫כפי שרצינו‪ ,‬ולכן השלמנו את האינדוקציה‪.‬‬
‫מספר שימושים‪:‬‬
‫√‬
‫‪ .1‬נמצא קירוב ל־ ‪ . 1.1‬נגזור את הפונקציה ‪x‬‬
‫מסדר ‪ ,0‬כאשר ‪ 1 < ξ < 1.1‬נוכל לקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪1 = √ (1.1 − 1‬‬
‫‪2 ξ‬‬
‫√‬
‫√‬
‫= )‪ f (x‬ונבחר ‪ .a = 1‬ע"פ הקירוב‬
‫‪1.1 −‬‬
‫√‬
‫לפי ההערכה על ‪ ,ξ‬נקבל‪:‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪| 1.1 − 1| ≤ 0.05‬‬
‫‪ .2‬באופן דומה‪ ,‬נחשב קירוב ל־ )‪ .sin(0.1‬נגדיר את הפונקציה כמו קודם סביב אותה‬
‫נקודה‪ ,‬וכעת נקבל‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫)‪sin00 (ξ‬‬
‫‪(0.1 − 0)2‬‬
‫!‪2‬‬
‫= ‪sin(0.1) − 0.1‬‬
‫זאת משום ש־ ‪ x‬הוא פולינום טיילור מסדר ‪ 1‬של ‪ sin x‬סביב ‪ .0‬כעת מהערכת השגיאה‬
‫על ‪ ξ‬נוכל לקבל‪:‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪2 100‬‬
‫≤ |‪| sin(0.1) − 0.1‬‬
‫נשים לב ש־ ‪ x‬הוא לא רק )‪ T1 (x‬אלא גם )‪ T2 (x‬במקרה של ‪ ,sin x‬ולכן אנחנו אפילו‬
‫יודעים משהו יותר חזק‪ ,‬דהיינו‪:‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪6 1000‬‬
‫≤ |‪| sin(0.1) − 0.1‬‬
‫שזה קירוב הרבה יותר מדויק‪.‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫)‪g(x‬‬
‫‪ limx→a‬כאשר ‪ a‬יכול‬
‫הגדרה ‪) 1.7‬לנדאו( אומרים ש־ ))‪ f (x) = o(g(x‬אם ‪= 0‬‬
‫להיות ממשי או ∞‪.±‬‬
‫כמו כן אומרים ש־ ))‪ f (x) = O(g(x‬אם קיים קבוע ‪ 0 < K‬כך ש־ |)‪|f (x)| ≤ K|g(x‬‬
‫בסביבה מסוימת של נקודה כלשהי‪ ,‬בקרן כלשהי‪ ,‬או בכל הישר‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫הערה ‪ 1.8‬ראינו ש־ ‪ f (x)−Tn (x) = o (x−a)n‬וגם ש־ ‪f (x)−Tn (x) = O (x−a)n+1‬‬
‫)המשפט הקודם‪ ,‬תחת ההנחה שהנגזרת חסומה(‪ .‬התנאי השני גורר את התנאי הראשון‪.‬‬
‫משפט ‪ 1.9‬יהיו )‪ P (x), Q(x‬פולינומים ממעלה ≥ ‪ ,n‬ומתקיים ‪= 0‬‬
‫‪=0‬‬
‫)‪f (x)−Q(x‬‬
‫‪(x−a)n‬‬
‫)‪f (x)−P (x‬‬
‫‪(x−a)n‬‬
‫‪ limx→a‬וגם‬
‫‪ .limx→a‬אז )‪) P (x) ≡ Q(x‬כלומר הם אותו הפולינום(‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬כיוון שהגבולות הנ"ל קיימים‪ ,‬נוכל לומר‪:‬‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫)‪f (x) − Q(x) f (x) − P (x‬‬
‫)‪P (x) − Q(x‬‬
‫‪0 = lim‬‬
‫‪−‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪(x − a)n‬‬
‫‪(x − a)n‬‬
‫‪(x − a)n‬‬
‫כעת נסמן )‪ .R(x) = P (x) − Q(x‬גם כאן ‪ deg R ≤ n‬ולכן נותר להראות שאם‬
‫)‪R(x‬‬
‫)‪ limx→a (x−a‬אז ‪ .R(x) ≡ 0‬את זה אפשר להראות באינדוקציה על ‪ .n‬נניח‬
‫‪n = 0‬‬
‫‪ .R(x) = b0 + b1 (x − a) + . . . + bn (x − a)n‬נשים לב שעבור ‪ j = 0, 1, . . . , n‬מתקיים‬
‫)‪R(x‬‬
‫)‪ limx→a (x − a)j (x−a‬בגלל אריתמטיקה של גבולות‪.‬‬
‫גם ‪n = 0‬‬
‫אם ניקח ‪ j = n‬אז יש לנו )‪ 0 = limx→a R(x‬וכיוון שהפולינום הוא פונקציה רציפה‪,‬‬
‫מכאן ‪ .0 = R(a) = b0‬כלומר הראינו ש־ ‪ .b0 = 0‬עכשיו קיבלנו שהפולינום הוא בעצם מן‬
‫הצורה הבאה‪ ,‬לאחר הוצאת גורם משותף‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫‬
‫‬
‫‪R(x) = b1 (x − a) + . . . + bn (x − a)n = (x − a) b1 + b2 (x − a) + . . . + bn (x − a)n−1‬‬
‫לכן אנחנו מקבלים‪:‬‬
‫)‪R(x‬‬
‫‪b1 + . . . + bn (x − a)n−1‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→a (x − a)n‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪(x − a)n−1‬‬
‫‪lim‬‬
‫עכשיו אפשר להפעיל את אותו השיקול כמו קודם עם ‪ j = n − 1‬ונקבל ש־ ‪ .b1 = 0‬כך‬
‫נמשיך עד שנראה שכל המקדמים של )‪ R(x‬חייבים להיות ‪ 0‬ולכן כמובן ‪ R(x) ≡ 0‬ולכן‬
‫)‪ P (x) ≡ Q(x‬כנדרש‪.‬‬
‫טיילור הוא יחיד‪ .‬כלומר‪ ,‬אם נמצא פולינום מדרגה מתאימה כך‬
‫מסקנה ‪ 1.10‬פולינום ‬
‫שהשארית מתנהגת כמו ‪ o (x − a)n‬אז הפולינום הזה הוא פולינום טיילור של הפונקציה‪.‬‬
‫נראה מספר שימושים‪ .‬ידוע הטור הגיאומטרי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫‪1 − xn+1‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪1−x 1−x‬‬
‫= ‪1 + x + x2 + . . . + xn‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f (x) = 1−x‬אז הרי יש לנו את פולינום טיילור מסדר ‪ n‬של ‪f‬‬
‫רואים מכאן שאם ניקח‬
‫סביב ‪ 0‬ואת השארית שלו‪ .‬כדי לטעון שאכן מדובר בפולינום טיילור‪ ,‬די להראות שהשארית‬
‫היא אכן ) ‪ o(xn‬וזה מתקיים במקרה שלנו‪ ,‬שהרי‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫‪lim 1−x‬‬
‫‪x→0 xn‬‬
‫מכאן אפשר לקבל כמה מסקנות‪ .‬אם נכתוב ‪ −x‬במקום ‪ x‬אפשר לקבל‪:‬‬
‫‪(−1)n+1 xn+1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ) ‪− (1 − x + x2 − x3 + . . . + (−1)n xn‬‬
‫‪1+x‬‬
‫‪1+x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . 1+x‬הפונקציה הזאת היא‬
‫ושוב רואים שמדובר בפולינום טיילור‪ ,‬הפעם של הפונקציה‬
‫בעצם הנגזרת של )‪ ln(1 + x‬ולכן מהחישובים שלנו קיבלנו את פולינום טיילור שלה סביב ‪,0‬‬
‫שהרי אם נסמן )‪ g(x) = ln(1 + x‬יש לנו‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(1 + x)3‬‬
‫= )‪g 000 (x‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪(1 + x)2‬‬
‫ורואים כבר‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫= )‪g 00 (x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1+x‬‬
‫= )‪g 0 (x‬‬
‫!)‪(−1)n+1 (n − 1‬‬
‫‪(1 + x)n‬‬
‫= )‪g (n) (x‬‬
‫מכאן אפשר לפתח את פולינום טיילור מסדר ‪ n‬של ‪ .g‬כיוון שאת פולינומי טיילור של‬
‫הנגזרת שלה כבר חישבנו‪ ,‬אנחנו מכירים את כל פולינומי טיילור של הנגזרות של ‪ g‬ולכן‬
‫‪1‬‬
‫אפשר לעשות אינטגרל של פולינום טיילור של‬
‫‪ 1+x‬ולקבל את פולינום טיילור של )‪.ln(1 + x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1+x‬שהיא הנגזרת של ‪ ,arctan x‬ולהמשיך לקבל‬
‫באופן דומה אפשר להסתכל על ‪2‬‬
‫משפחה שמחה של פונקציות נוספות‪.‬‬
‫טענה ‪) 1.11‬ללא הוכחה( אם )‪ f, g ∈ C n+1 (I‬ונתון‪:‬‬
‫)‪f (x) = Tn f (x) + Rn f (x) g(x) = Tn g(x) + Rn g(x‬‬
‫אז מתקיים‪:‬‬
‫))‪(Tn f (x) + Tn g(x)) + (Rn f (x) + Rn g(x‬‬
‫=‬
‫)‪(f + g)(x‬‬
‫)‪= a · Tn f (x) + a · Rn f (x‬‬
‫)‪(a · f )(x‬‬
‫‪= Tn f (x) · Tn g(x) + . . .‬‬
‫)‪(f · g)(x‬‬
‫כאשר בכל המקרים )סכום פונקציות‪ ,‬מכפלת פונקציה בקבוע‪ ,‬מכפלת פונקציות( פולינום‬
‫טיילור של התוצאה המורכבת הוא הפעלת הפעולה על פולינומי טיילור של הפונקציות‬
‫המקוריות‪.‬‬
‫משפט ‪ 1.12‬תהי ‪ f‬גזירה ‪ n‬פעמים ב־ ‪ a‬ומקיימת‪:‬‬
‫‪f (n) (a) 6= 0‬‬
‫‪f 0 (a) = f 00 (a) = . . . = f (n−1) (a) = 0‬‬
‫אז אם ‪ n‬זוגי‪ ,‬ל־ ‪ f‬נקודת קיצון ב־ ‪ ,a‬כאשר אם ‪ f (n) (a) > 0‬זו נקודת מינימום‬
‫ואחרת זו נקודת מקסימום; ואם ‪ n‬אי־זוגי‪ ,‬אז ל־ ‪ f‬אין נקודת קיצון ב־ ‪.a‬‬
‫הוכחה‪ :‬נכתוב את פולינום טיילור מסדר ‪ n‬של הפונקציה ב־ ‪) :a‬נזכור שרוב המקדמים‬
‫בפולינום הם ‪(0‬‬
‫)‪f (n) (a‬‬
‫‪(x − a)n‬‬
‫!‪n‬‬
‫ידוע לנו שמתקיים ‪= 0‬‬
‫)‪f (x)−Tn f (x‬‬
‫‪(x−a)n‬‬
‫‪Tn f (x) = f (a) +‬‬
‫‪ limx→a‬ומכאן נסיק‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪1 (n‬‬
‫)‪h f (x) − f (a‬‬
‫!‪f (x) − f (a) + n‬‬
‫‪f (a)(x − a)n‬‬
‫‪1 (n) i‬‬
‫‪0 = lim‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪f (a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪(x − a)n‬‬
‫‪(x − a)n‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪9‬‬
‫לכן מקבלים‪:‬‬
‫)‪f (x) − f (a‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪= f (n) (a‬‬
‫‪(x − a)n‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→a‬‬
‫כעת קיים ‪ δ > 0‬כך שאם ‪ 0 < |x − a| < δ‬אז הסימן של אגף שמאל שווה לסימן של אגף‬
‫ימין‪ .‬כעת אם ‪ n‬זוגי אז המכנה באגף שמאל חיובי‪ ,‬ולכן הסימן של אגף שמאל נקבע לפי‬
‫הסימן של )‪ .f (x) − f (a‬כלומר‪ ,‬אם הנגזרת )אגף ימין( חיובית אז )‪ f (x) > f (a‬ולהיפך‪,‬‬
‫מה שמשכנע אותנו שמדובר בנקודת מינימום )מקסימום(‪.‬‬
‫במקרה ש־ ‪ n‬אי־זוגי‪ ,‬מקבלים באופן דומה שהפונקציה עולה ב־ ‪ a‬או יורדת ב־ ‪ ,a‬ולכן‬
‫בוודאי שזו לא נקודת קיצון‪.‬‬
‫‪1.3‬‬
‫פולינום האינטרפולציה‬
‫בהינתן פונקציה ומידע על שתי נקודות על הגרף שלה‪ ,‬אפשר בקלות לבנות ישר העובר דרך‬
‫שתי הנקודות‪ .‬אם יש יותר נקודות‪ ,‬נרצה למצוא פולינום העובר דרך כל הנקודות שיקרב‬
‫את הפונקציה גם בין הנקודות האלה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.13‬יהיו ‪ x0 , . . . , xn , y0 , . . . yn‬מספרים ממשיים כך ש־ ‪.x0 < x1 < . . . < xn‬‬
‫פולינום האינטרפולציה )של לגרנז'( מסדר ‪ n‬הוא הפולינום הבא‪ ,‬המקבל בכל ‪ xi‬את הערך‬
‫‪:yi‬‬
‫) ‪− xj‬‬
‫‪j6=i (x‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪yi Q‬‬
‫) ‪j6=i (xi − xj‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪Ln (x‬‬
‫‪i=0‬‬
‫הערה ‪ 1.14‬אפשר לבנות את פולינום האינטרפולציה באופן אינדוקטיבי‪ .‬נתחיל מפולינום‬
‫כך ש־ ‪ ,q0 (x0 ) = y0‬כלומר ‪ .q0 (x) ≡ y0‬נניח שבנינו ‪ qk‬פולינום כך שלכל ‪0 ≤ i ≤ k‬‬
‫מתקיים ‪ .qk (xi ) = yi‬עכשיו בונים את ‪:qk+1‬‬
‫) ‪qk+1 (x) = qk (x) + c(x − x0 ) · · · (x − xk‬‬
‫צריך לבחור את ‪ c‬כך ש־ ‪ ,qk+1 (xk+1 ) = yk+1‬כלומר‪:‬‬
‫) ‪yk+1 − qk (xk+1‬‬
‫) ‪(xk+1 − x0 ) · · · (xk+1 − xk‬‬
‫=‪c‬‬
‫‪ {xi }n+1‬מספרים ממשיים‪ .‬אם הפולינומים ]‪ p(x), q(x) ∈ Rn [x‬וידוע ש־‬
‫טענה ‪ 1.15‬יהיו ‪i=0‬‬
‫) ‪ p(xi ) = q(xi‬לכל ‪ ,i‬אזי מתקיים )‪.p(x) ≡ q(x‬‬
‫‪10‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתבונן ב־ )‪ .f (x) = p(x) − q(x‬זהו פולינום ממעלה ‪ n‬המתאפס ב־ ‪ n + 1‬נקודות‬
‫שונות )כל ‪ .(xi‬נראה שזה לא ייתכן באמצעות משפט רול‪.‬‬
‫תחילה נראה שאם )‪ f ∈ C n (I‬מתאפסת ב־ ‪ n + 1‬נקודות שונות‪ ,‬אזי )‪ f (n‬מתאפסת‬
‫בקטע הפתוח הקטן ביותר המכיל את כל האפסים של ‪ .f‬נעשה את זה באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫עבור ‪ n = 1‬זהו משפט רול‪ .‬נניח עבור ‪ .n − 1‬כעת אם )‪ f ∈ C n (I‬ו־ ‪x0 < . . . < xn‬‬
‫השורשים השונים שלה בקטע‪ ,‬אז נפעיל את משפט רול לכל אחד מהקטעים ] ‪ [xi , xi+1‬ונקבל‬
‫שורשים ) ‪ ti ∈ (xi , xi+1‬של ‪ .f 0‬כעת נשים לב ש־ ‪ f 0‬מקיימת את הנחת האינדוקציה ולכן‬
‫)‪ f 0(n−1‬מתאפסת בקטע הפתוח כנ"ל‪ ,‬אבל הרי )‪ f 0(n−1) ≡ f (n‬ולכן קיבלנו את הדרוש‪.‬‬
‫כעת נראה שאם ]‪ p(x) ∈ Rn [x‬מתאפס ב־ ‪ n + 1‬נקודות שונות‪ ,‬אזי ‪ .p(x) ≡ 0‬שוב‬
‫נעשה את זה באינדוקציה‪ .‬עבור ‪ ,n = 0‬כמובן ‪ p(x) = a0‬ואם קיים ‪ x0‬שם ‪p(x0 ) = 0‬‬
‫אז ‪ .p(x) ≡ 0‬נניח עבור ‪ .n − 1‬כעת אם ]‪ p(x) ∈ Rn [x‬אז לפי ההוכחה הקודמת‪p0 (x) ,‬‬
‫מתאפס ב־ ‪ n‬נקודות שונות‪ ,‬כלומר לפי הנחת האינדוקציה ‪ .p0 (x) ≡ 0‬כיוון שכך‪p(x) ,‬‬
‫קבועה ולכן חזרנו למקרה ‪ n = 0‬שם ראינו כבר ש־ ‪.p(x) ≡ 0‬‬
‫משפט ‪ 1.16‬יהיו ‪ a < x0 < x1 < . . . < xn < b‬מספרים‪ ,‬ו־ )‪ f ∈ C n+1 (a, b‬פונקציה‪.‬‬
‫יהי )‪ Ln (t‬פולינום לגרנז' מסדר ‪ n‬המקיים לכל ‪ .Ln (xi ) = f (xi ) ,i‬אזי לכל ‪ x ∈ I‬קיים‬
‫‪ ξ ∈ I‬המקיים‪:‬‬
‫)‪f (n+1) (ξ‬‬
‫) ‪(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫‪f (x) = Ln (x) +‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתבונן בפונקציה הבאה‪:‬‬
‫) ‪ϕ(t) = f (t) − Ln (t) − c(t − x0 ) · · · (t − xn‬‬
‫כאשר עבור ‪ x ∈ I‬נתון וידוע מראש נבחר ‪ c ∈ R‬עם התכונה ‪ ,ϕ(x) = 0‬כאשר ‪ x‬שונה‬
‫מכל ‪ .xi‬נשים לב ש־ )‪ ϕ ∈ C n+1 (I‬שהרי הפולינומים שחיסרנו גזירים אינסוף פעמים‪.‬‬
‫כעת ‪ ϕ‬מתאפסת בכל הנקודות ‪ ,x, x0 , x1 , . . . , xn‬כלומר ב־ ‪ n + 2‬נקודות שונות‪ .‬לכן‬
‫לפי הוכחת הטענה הקודמת‪ ,‬קיים ‪ ξ ∈ I‬שם ‪ ,ϕ(n+1) (ξ) = 0‬כלומר‪:‬‬
‫‪ϕ(n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) − 0 − (n + 1)!c‬‬
‫מכאן מקבלים‪:‬‬
‫)‪f (n+1) (ξ‬‬
‫!)‪(n+1‬‬
‫= ‪ ,c‬כלומר‪:‬‬
‫)‪f (n+1) (ξ‬‬
‫) ‪(t − x0 ) · · · (t − xn‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫‪ϕ(t) = f (t) − Ln (t) −‬‬
‫עכשיו אם נציב את ‪ x‬במקום ‪ t‬נקבל בדיוק את מה שרצינו‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫משפט ‪ 1.17‬תהי )‪ .f ∈ C n+1 (I‬לכל ‪ a, b ∈ I‬קיים )‪ ξ ∈ (a, b‬המקיים‪:‬‬
‫)‪f (n) (a‬‬
‫)‪f (n+1) (ξ‬‬
‫‪(b − a)n +‬‬
‫‪(b − a)n+1‬‬
‫!‪n‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫‪f (b) = f (a) + f 0 (a)(b − a) + . . . +‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתבונן בביטוי הבא כתלות ב־ ‪:t‬‬
‫)‪f (n) (t‬‬
‫)‪(b − a)n + Rn (b, t‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪f (b) = f (t) + f 0 (t)(b − t) + . . . +‬‬
‫ונרצה לראות כיצד משתנה השארית בהתאמה‪ .‬נשים לב שכאשר ‪ ,t = b‬כמובן‬
‫‪ .Rn (b, b) = 0‬כש־ ‪ ,t = a‬מקבלים את )‪ Rn (b, a‬שהיא השארית שאנחנו מחפשים‪.‬‬
‫אם נגזור את שני האגפים של הביטוי הנ"ל‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫‪i h 2‬‬
‫‪i‬‬
‫)‪f 000 (t‬‬
‫‪(b − t)2 + · · · +‬‬
‫‪0 = f 0 (t) + −f 0 (t) + f 00 (t)(b − t) + − (b − t)f 00 (t) +‬‬
‫!‪2‬‬
‫!‪2‬‬
‫‪h n‬‬
‫‪i‬‬
‫)‪(n+1‬‬
‫‪f‬‬
‫)‪(t‬‬
‫‪+ − (b − t)n−1 f (n) (t) +‬‬
‫)‪(b − t)n + Rn0 (b, t‬‬
‫!‪n‬‬
‫!‪n‬‬
‫כלומר‪ ,‬קיבלנו ש‪:‬‬
‫)‪f (n+1) (t‬‬
‫‪(b − t)n‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪Rn0 (b, t) = −‬‬
‫עכשיו נפעיל את משפט קושי עבור הפונקציה )‪ h(t) = Rn (b, t‬במונה ו־ = )‪g(t‬‬
‫‪ (b − t)n+1‬במכנה‪ ,‬בקטע ]‪ .[a, b‬כמובן המונה גזיר כהפרש של פונקציות גזירות‪ ,‬והמכנה‬
‫לא מתאפס בקטע הפתוח כנדרש לפי המשפט‪:‬‬
‫)‪h(b) − h(a‬‬
‫)‪Rn (b, b) − Rn (b, a‬‬
‫‪−f (n+1) (ξ)(b − ξ)n 1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪n+1‬‬
‫)‪g(b) − g(a‬‬
‫)‪0 − (b − a‬‬
‫!‪−(n + 1)(b − ξ)n n‬‬
‫כאשר כאן )‪ .ξ ∈ (a, b‬אבל כעת לאחר צמצום והעברת אגפים מקבלים בדיוק‪:‬‬
‫)‪f (n+1) (ξ‬‬
‫‪(b − a)n+1‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫כפי שרצינו‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫= )‪Rn (b, a‬‬
‫‪1.4‬‬
‫שיטת ניוטון )ניוטון־רפסון(‬
‫המטרה שלנו כאן היא לקרב שורש של פונקציה ע"י העברת משיק בנקודה שרירותית‬
‫והסתכלות על הנקודה המקבילה על ציר ה־ ‪ .x‬שיטה זו מהירה משמעותית משיטת החצייה‬
‫שלמדנו בהוכחת משפט ערך הביניים באמצעות הלמה של קנטור‪ ,‬אולם מצד שני היא לא‬
‫תמיד תעבוד‪ .‬כלומר‪ ,‬לא בהכרח נקבל סדרת נקודות המתכנסת ולא בהכרח נקבל סדרת‬
‫נקודות המתכנסת לשורש של הפונקציה‪.‬‬
‫משפט ‪ 1.18‬תהי )‪ .f ∈ C 2 (I‬הנקודה ‪ r ∈ I‬מקיימת ‪ f (r) = 0‬ונניח גם ש־ ‪ f 0 > 0‬בקטע‪.‬‬
‫לכל ‪ x0 ∈ I‬נגדיר את הסדרה )לפי משוואת הישר המשיק( הבאה‪:‬‬
‫) ‪f (xn−1‬‬
‫) ‪f 0 (xn−1‬‬
‫‪xn = xn−1 −‬‬
‫במקרה זה קיים ‪ δ > 0‬כך שאם ‪ |x0 − r| < δ‬אז ‪ {xn } ⊂ (r − δ, r + δ) ⊂ I‬והסדרה‬
‫) ‪ (xn‬מתכנסת ל־ ‪.r‬‬
‫הוכחה‪ :‬לפי צורת השארית של לגרנז' עם פולינום טיילור מסדר ראשון של ‪ f‬סביב ‪ xn‬אפשר‬
‫לקבל‪:‬‬
‫) ‪f 00 (tn‬‬
‫‪(r − xn )2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0 = f (r) = f (xn ) + f 0 (xn )(r − xn ) +‬‬
‫כאשר כאן ‪ tn‬בין ‪ r‬לבין ‪ .xn‬לפי הבנייה‪,‬‬
‫) ‪f (xn‬‬
‫) ‪f 0 (xn‬‬
‫‪xn+1 − r = xn − r −‬‬
‫לפי צורת לגרנז' הנ"ל‪,‬‬
‫) ‪f (xn‬‬
‫) ‪1 f 00 (tn‬‬
‫‪+‬‬
‫‪(r − xn )2‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪f (xn ) 2 f 0 (xn‬‬
‫= ‪xn − r‬‬
‫משני הביטויים‪,‬‬
‫) ‪1 f 00 (tn‬‬
‫) ‪1 f 00 (tn‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(r‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫=‬
‫‪(xn − r)2‬‬
‫‪n‬‬
‫) ‪2 f 0 (xn‬‬
‫) ‪2 f 0 (xn‬‬
‫‪00‬‬
‫= ‪xn+1 − r‬‬
‫) ‪(tn‬‬
‫‪ .en+1 = 21 ff 0 (x‬כעת יהי ‪η > 0‬‬
‫אם נסמן ‪ en = xn − r‬אז הרי קיבלנו ש־ ‪en‬‬
‫)‪n‬‬
‫‪00‬‬
‫כך ש־ ‪ [r − η, r + η] ⊂ I‬ונקרא לקטע הזה ∗ ‪ .I‬כעת יהיו }| ‪ K = maxI ∗ {|f‬ו־‬
‫‪) k = minI ∗ {f 0 } > 0‬לפי ההנחה(‪ .‬מזה נקבל‪:‬‬
‫‪13‬‬
‫‪1K 2‬‬
‫‪1 |f 00 (tn )| 2‬‬
‫≤ ‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2 f 0 (xn ) n‬‬
‫‪2 k n‬‬
‫= | ‪|en+1‬‬
‫‪ . K‬יהי ‪ x0 ∈ I‬כך ש־ = | ‪|e0‬‬
‫לבסוף יהי ‪ δ > 0‬כך ש־ ‪ 0 < δ < η‬וגם ‪k δ < 1‬‬
‫‪ .|x0 − r| < δ‬כעת‪:‬‬
‫‪1K 2‬‬
‫‪1K‬‬
‫‪1‬‬
‫≤ ‪e0‬‬
‫‪δ|e0 | < e0‬‬
‫‪2 k‬‬
‫‪2 k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪· · · < |e1 | < e0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫≤‬
‫| ‪|e1‬‬
‫≤‬
‫| ‪|e2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫| ‪|e0‬‬
‫‪2n‬‬
‫< ···‬
‫≤‬
‫| ‪|en‬‬
‫והמסקנה היא ש־ ‪ en → 0‬כלומר ‪ xn → r‬כנדרש‪.‬‬
‫הערה ‪ 1.19‬המשפט נכון גם אם ‪ 0 > f 0‬בקטע‪ ,‬ואז כמובן יש להסתכל על }| ‪k = minI ∗ {|f 0‬‬
‫שם‪.‬‬
‫אינטגרציה‬
‫‪2‬‬
‫בהינתן תת־מישור ‪ R‬נרצה להגדיר פונקציית מידה )שטח( ‪ µ‬כך ש־ ‪ ,µ(R) ∈ R‬ונרצה‬
‫שיהיו לה התכונות‪:‬‬
‫‪ .1‬חיוביות ‪µ ≥ 0‬‬
‫‪ .2‬מונוטוניות )‪R ⊆ S =⇒ µ(R) ≤ µ(S‬‬
‫‪ .3‬אדיטיביות )‪ µ(R) + µ(S) = µ(R ∪ S‬בהנחה ש־ ‪ R, S‬זרים‬
‫‪ .4‬עבור מלבן‪ ,‬פונקציית המידה צריכה להחזיר את אורך המלבן כפול רוחבו‬
‫היינו רוצים גם שהזזה וסיבוב ישמרו על המידה ‪.µ‬‬
‫‪2.1‬‬
‫האינטגרל של רימן‪ ,‬סכומי דרבו‬
‫הגדרה ‪ 2.1‬חלוקה של קטע ]‪ [a, b‬הינה קבוצה סופית סדורה של נקודות } ‪P = {x0 , x1 , . . . , xn‬‬
‫המקיימת‪:‬‬
‫‪a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b‬‬
‫‪14‬‬
‫החלוקה הגסה ביותר היא }‪ .P = {a, b‬נתייחס הרבה גם לחלוקה האוניפורמית )ההומוגנית(‬
‫עם ‪ n‬קטעים‪:‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪,a + 2‬‬
‫}‪, . . . , b‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P = {a, a +‬‬
‫הגדרה ‪ 2.2‬תהי ]‪ f ∈ B[a, b‬ו־ ‪ P‬חלוקה של הקטע‪ .‬אזי‪:‬‬
‫} ‪sup{f (t) : xi−1 ≤ t ≤ xi‬‬
‫=‬
‫‪Mi‬‬
‫} ‪inf{f (t) : xi−1 ≤ t ≤ xi‬‬
‫=‬
‫‪mi‬‬
‫) ‪= M1 (x1 − x0 ) + . . . + Mn (xn − xn−1‬‬
‫)‪U(P‬‬
‫) ‪= m1 (x1 − x0 ) + . . . + mn (xn − xn−1‬‬
‫)‪L(P‬‬
‫ולפעמים נסמן גם ‪.∆xi = xi − xi−1‬‬
‫הסכומים )‪ U(P), L(P‬נקראים סכום דרבו העליון והתחתון של הפונקציה ביחס לחלוקה‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.3‬ברור ש־ )‪ ,U(P) ≥ L(P‬ויתר על כן‪ ,‬אם ‪ m ≤ f ≤ M‬בקטע אזי‪:‬‬
‫)‪m(b − a) ≤ L(P) ≤ U(P) ≤ M (b − a‬‬
‫כמו כן‪ ,‬נשים לב שאם נגדיר‪:‬‬
‫}‪partition‬‬
‫‪{L(P) : P‬‬
‫=‬
‫) ‪L(f‬‬
‫}‪partition‬‬
‫‪{U(P) : P‬‬
‫=‬
‫) ‪U (f‬‬
‫אז ∅ =‪ L(f ) 6‬וגם ∅ =‪ U (f ) 6‬ומתקיים ) ‪ L(f ) ≤ U (f‬ולכן ) ‪.sup L(f ) ≤ inf U (f‬‬
‫כיוון שיהיה לנו דיון על קבוצות שיוצרות חתך‪ ,‬ניזכר בלמת החתכים מהסמסטר הראשון‪:‬‬
‫למה ‪) 2.4‬למת החתכים‪ ,‬ללא הוכחה( יהיו ‪ L ≤ U‬שתי קבוצות לא ריקות‪ .‬אז התנאים‬
‫הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪ .1‬קיים ‪ c‬יחיד כך שלכל ‪ u ∈ U, l ∈ L‬מתקיים ‪l ≤ c ≤ u‬‬
‫‪sup L = inf U .2‬‬
‫‪ .3‬לכל ‪ 0 < ε‬קיימים ‪ u ∈ U, l ∈ L‬כך ש־ ‪u − l < ε‬‬
‫הגדרה ‪ 2.5‬פונקציה ]‪ f ∈ B[a, b‬תיקרא אינטגרבילית ב־ ‪ I‬אם קיים מספר ‪ I ∈ R‬יחיד‬
‫המקיים )‪ L(P) ≤ I ≤ U(Q‬לכל ‪ P, Q‬חלוקות של הקטע‪.‬‬
‫תנאי שקול להגדרה זו )לפי למת החתכים מהסמסטר הקודם( הוא ש־ = ) ‪sup L(f‬‬
‫) ‪ .inf U (f‬ל־ ) ‪ sup L(f‬נוהגים לקרוא אינטגרל דרבו התחתון ול־ ) ‪ inf U (f‬נוהגים לקרוא‬
‫אינטגרל דרבו העליון‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫למה ‪ 2.6‬נניח שהחלוקה ‪ Q‬מתקבלת מהחלוקה ‪ P‬ע"י הוספת איבר אחד‪ .‬אזי מתקיים‪:‬‬
‫)‪L(P) ≤ L(Q) ≤ U(Q) ≤ U(P‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי } ‪ .P = {x0 , . . . , xn‬קיים אינדקס ‪ j‬יחיד כך ש־ ‪ xj−1 < y < xj‬ו־‬
‫}‪ .Q = P ∪ {y‬כעת נכתוב את הידוע לנו‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫‪i‬‬
‫)‪mi ∆xi +mj (y−xj−1 )+(xj −y‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪mi ∆xi +mj ∆xj‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i6=j‬‬
‫= ‪mi ∆xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪L(P‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i6=j‬‬
‫נסמן בתוך הקטע‪:‬‬
‫}‪sup{f (t) : xj−1 ≤ t ≤ y‬‬
‫=‬
‫‪M0‬‬
‫‪00‬‬
‫} ‪= sup{f (t) : y ≤ t ≤ xj‬‬
‫}‪= inf{f (t) : xj−1 ≤ t ≤ y‬‬
‫‪M‬‬
‫‪m0‬‬
‫=‬
‫‪m00‬‬
‫} ‪inf{f (t) : y ≤ t ≤ xj‬‬
‫אם נמשיך את הסכום שהיה לנו קודם‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫)‪mi ∆xi + m0 (y − xj−1 ) + m00 (xj − y‬‬
‫‪X‬‬
‫≤‬
‫‪i6=j‬‬
‫מה שקיבלנו זה הסכום התחתון של ‪ ,Q‬כלומר )‪ .L(Q‬כלומר‪ ,‬קיבלנו‪:‬‬
‫)‪L(P) ≤ L(Q) ≤ U(Q‬‬
‫הצד השני סימטרי באמצעות ‪.M 0 , M 00‬‬
‫מסקנה ‪ 2.7‬נאמר שהחלוקה ‪ Q‬עידון של החלוקה ‪ P‬אם ‪ .P ⊂ Q‬באינדוקציה‪ ,‬אם ‪Q‬‬
‫עידון של ‪ P‬מתקיים הא"ש של הלמה‪.‬‬
‫למה ‪ 2.8‬יהיו ‪ P, Q‬חלוקות של הקטע ]‪ .[a, b‬אזי )‪.L(P) ≤ U(Q‬‬
‫הוכחה‪ :‬אפשר לבנות את החלוקה ‪ P ∪ Q‬שהיא עידון של שתי החלוקות האלה‪ .‬לכן לפי‬
‫המסקנה הקודמת‪,‬‬
‫)‪L(P) ≤ L(P ∪ Q) ≤ U(P ∪ Q) ≤ U(Q‬‬
‫ומכאן הדרוש‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫משפט ‪) 2.9‬משפט רימן‪ ,‬תנאי רימן לאינטגרביליות( ]‪ f ∈ B[a, b‬אינטגרבילית ב־ ]‪[a, b‬‬
‫אםם לכל ‪ 0 < ε‬קיימת חלוקה ‪ P‬כך ש־ ‪.U(P) − L(P) < ε‬‬
‫הוכחה‪ (⇒) :‬ניקח ‪ Q = P‬ואז לפי למת החתכים‪ f ,‬אינטגרבילית‪.‬‬
‫)⇐( לפי הגדרת האינטגרביליות‪ ,‬קיימות חלוקות ‪ P 0 , P 00‬כך ש־ ‪,U(P 0 ) − L(P 00 ) < ε‬‬
‫לפי למת החתכים‪ .‬תהי כעת החלוקה ‪ P = P 0 ∪ P 00‬שהיא עידון של שתי החלוקות הנ"ל‪.‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫) ‪L(P 0 ) ≤ L(P) ≤ U(P) ≤ U(P 00‬‬
‫כמובן מכאן ‪ U(P) − L(P) < ε‬כנדרש‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.10‬אם ‪ f‬אינטגרבילית ב־ ]‪ [a, b‬אז נכתוב ]‪ f ∈ R[a, b‬ונסמן ‪f‬‬
‫היחיד מהגדרת האינטגרביליות‪.‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪a‬‬
‫את המספר‬
‫כמה דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬פונקציות קבועות ‪ f (x) = c‬הן אינטגרביליות בכל קטע ]‪ .[a, b‬תהי ‪ P‬חלוקה כלשהי‪,‬‬
‫אז הרי‪:‬‬
‫)‪cxi = c(b − a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪mi ∆xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪L(P‬‬
‫‪i=1‬‬
‫באופן דומה )‪ U(P) = c(b − a‬ולכן כמובן האינטגרל הוא בדיוק )‪ .c(b − a‬עבור ‪0 < ε‬‬
‫נוכל לבחור חלוקה שרירותית כלשהי והיא תעבוד‪.‬‬
‫‪ .2‬פונקציית דיריכלה )‪ D(x‬אינה אינטגרבילית‪ .‬תהי ‪ P‬חלוקה של קטע כלשהו‪ .‬אזי‬
‫‪ Mi = 1‬כי בכל קטע נמצא מספר רציונאלי‪ .‬באופן דומה‪ .mi = 0 ,‬משיקולים אלה‬
‫‪ U(P) − L(P) = (b − a) − 0 = b − a‬לכל חלוקה‪ ,‬ולכן הפונקציה אינה אינטגרבילית‪.‬‬
‫‪ .3‬תהי הפונקציה )‪ f (x‬מוגדרת ‪ f (x) = 0‬לכל }‪ x ∈ [a, b] \ {c‬ו־ ‪ f (c) = 1‬כאשר ‪c‬‬
‫נקודה פנימית‪ .‬כעת נשים לב שאם נבחר חלוקה }‪ P = {a, d, e, b‬כאשר ‪ d < c < e‬אזי‪:‬‬
‫‪0 + 1(e − d) + 0 = e − d‬‬
‫=‬
‫)‪U(P‬‬
‫‪0 + 0(e − d) + 0 = 0‬‬
‫=‬
‫)‪L(P‬‬
‫כלומר תמיד ‪ .U(P) − L(P) = e − d‬ובכן בהינתן ‪ 0 < ε‬ניקח ‪ e, d‬כך ש־ ‪e − d < ε‬‬
‫ודיינו‪ .‬האינטגרל המתקבל הוא כמובן ‪ 0‬שהרי ‪ sup{L(P)} = sup{0} = 0‬על החלוקות‬
‫שלנו‪ ,‬ולכן גם לכל החלוקות‪.‬‬
‫‪ .4‬תהי ‪ f (t) = t2‬בקטע ]‪ .[0, 1‬נגדיר את סדרת החלוקות האוניפורמיות ) ‪ (Pn‬של‬
‫הקטע‪ .‬כעת נחשב‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪22‬‬
‫‪(n − 1)2 i‬‬
‫‪1h‬‬
‫‪0 + 2 + 2 + ... +‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪+ 2 + ... + 2‬‬
‫‪n n2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪17‬‬
‫=‬
‫) ‪L(Pn‬‬
‫=‬
‫) ‪U(Pn‬‬
‫‪2‬‬
‫וכעת כמובן ‪ .U(Pn ) − L(Pn ) = n1 nn2 = n1‬ההפרשים שואפים ל־ ‪ 0‬ולכן הפונקציה‬
‫אינטגרבילית‪ .‬נותר רק לחשב את האינטגרל‪ .‬נשים לב‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪1 n(n + 1)(2n + 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 12 + 22 + . . . + n2‬‬
‫‪= lim‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪n→∞ n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫ˆ‬
‫‪t2 = lim U(Pn ) = lim‬‬
‫באופן דומה מאוד אפשר לחשב גם את ‪t‬‬
‫‪´1‬‬
‫‪0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫משפט ‪ 2.11‬כל פונקציה רציפה בקטע סגור היא אינטגרבילית בו‪ .‬כל פונקציה מונוטונית‬
‫בקטע סגור היא אינטגרבילית בו‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית נוכיח שאם ‪ f‬עולה ב־ ]‪ [a, b‬אז היא אינטגרבילית‪ .‬תהי ‪ P‬חלוקה‪ ,‬ונשים‬
‫לב שבסימונים המקובלים שלנו‪ ,‬מתקיים ) ‪ Mi = f (xi‬ו־ ) ‪ mi = f (xi−1‬בגלל המונוטוניות‪.‬‬
‫‪ ,∆xi = b−a‬ואז‪:‬‬
‫כעת נניח שהחלוקה היא אוניפורמית‪ ,‬אז ‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ b−a‬‬
‫‬
‫‪b−aX‬‬
‫= ) ‪f (xi )−f (xi−1‬‬
‫)‪f (b)−f (a‬‬
‫‪n i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪(Mi −mi )∆xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪U(P)−L(P‬‬
‫‪i=1‬‬
‫))‪(a‬‬
‫‪ (b−a)(f (b)−f‬ונקבל חלוקה‬
‫עכשיו בהינתן ‪ 0 < ε‬נבחר ‪ n ∈ N‬כך ש־ ‪< n‬‬
‫‪ε‬‬
‫אוניפורמית המקיימת את תנאי רימן לאינטגרבילית‪ .‬המקרה שהפונקציה יורדת סימטרי‪.‬‬
‫כעת נוכיח שאם ‪ f‬רציפה ב־ ]‪ [a, b‬אז היא אינטגרבילית‪ .‬נשים לב ש־ ‪Mi , mi‬‬
‫מתממשים בכל קטע בגלל משפט ויירשטראס השני )שהרי הפונקציה רציפה(‪ ,‬כלומר הם‬
‫מקסימום ומינימום ולא רק סופרמום ואינפימום‪ .‬כמו כן‪ ,‬הפונקציה רציפה במ"ש לפי משפט‬
‫קנטור‪ ,‬כך שבהינתן ‪ 0 < ε‬נוכל להפיק ‪ 0 < δ‬המקיימת את דרישות הרצבמ"ש‪ .‬תהי ‪P‬‬
‫חלוקה עם התכונה‪ .max{∆xi } < δ :‬במקרה זה‪,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪(Mi − mi )∆xi < ε‬‬
‫)‪∆xi = ε(b − a‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= )‪U(P) − L(P‬‬
‫‪i=1‬‬
‫כעת חסמנו את ההפרש ע"י )‪ ,ε(b − a‬אז לצורך אלגנטיות ניתן מלכתחילה לבחור ‪δ‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪ . b−a‬בזאת סיימנו‪.‬‬
‫המתאים ל־‬
‫משפט ‪ 2.12‬יהיו ]‪ .f, g ∈ B[a, b‬אזי‪:‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪ .1‬אם ]‪ 0 ≤ f ∈ R[a, b‬אזי ‪) 0 ≤ a f‬חיוביות(‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪ .2‬אם ]‪ f, g ∈ R[a, b‬ו־ ‪ f ≤ g‬אז ‪) a f ≤ a g‬מונוטוניות(‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪ .3‬אם ]‪ f, g ∈ R[a, b‬ו־ ‪ k ∈ R‬אזי ‪ a (f + g) = a f + a g‬וכן ‪(kf ) = k a f‬‬
‫‪a‬‬
‫)ליניאריות(‬
‫‪18‬‬
‫הוכחה‪ (1) :‬הוא מקרה פרטי של )‪ (2‬כאשר ‪ f ≡ 0‬ו־ ‪ g‬אינטגרבילית וחיובית‪.‬‬
‫)‪ (2‬תהי ‪ P‬חלוקה‪ mi (f ) ≤ Mi (g) ,‬מהנתון‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫)‪Mi (g)∆xi = U(g, P‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ ‪mi (f )∆xi‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪L(f, P‬‬
‫ולכן כמובן גם‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫= })‪f = sup{L(f, P)} ≤ inf {U(g, P‬‬
‫‪g‬‬
‫‪P‬‬
‫‪a‬‬
‫‪P‬‬
‫‪a‬‬
‫כפי שרצינו‪.‬‬
‫)‪ (3‬תהי ‪ P‬חלוקה‪ .‬נשים לב‪:‬‬
‫)‪Mi (f ) + Mi (g) ≥ Mi (f + g‬‬
‫בגלל תכונות של ‪ sup‬על קבוצות‪ ,‬שהרי }‪ {f + g} ⊂ {f } + {g‬אבל לאו דווקא יש‬
‫שוויון‪ .‬באופן דומה‪,‬‬
‫)‪mi (f ) + mi (g) ≤ mi (f + g‬‬
‫לכן אפשר לקבל‪:‬‬
‫)‪L(f, P) + L(g, P) ≤ L(f + g, P) ≤ U(f + g, P) ≤ U(f, P) + U(g, P‬‬
‫בהינתן ‪ 0 < ε‬תהי ‪ P‬חלוקה כך ש־ ‪ U(f, P)−L(f, P) < 2ε‬וגם < )‪U(g, P)−L(g, P‬‬
‫‪ 2ε‬בהסתמך על אינטגרביליות ‪ .f, g‬זה מתאפשר כי אם יש ‪ P1‬ו־ ‪ P2‬המתאימות ל־ ‪f, g‬‬
‫בהתאמה אז אפשר לקחת את ‪ .P = P1 ∪ P2‬כעת החלוקה מקיימת את תנאי רימן עבור‬
‫‪ f + g‬ולכן ‪ f + g‬אינטגרבילית רימן‪ .‬נותר רק להראות את השוויון בין האינטגרלים‪:‬‬
‫‪´b‬‬
‫לכל חלוקה ‪ ,P‬מתקיים )‪.L(f, P) ≤ a f ≤ U(f, P‬‬
‫‪´b‬‬
‫לכל חלוקה ‪ ,P‬מתקיים )‪.L(g, P) ≤ a g ≤ U(g, P‬‬
‫‪´b‬‬
‫לכל חלוקה ‪ ,P‬מתקיים )‪.L(f + g, P) ≤ a (f + g) ≤ U(f + g, P‬‬
‫לפי כל הא"ש הקודמים נוכל לקבל‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫≤ )‪L(f, P) + L(g, P) ≤ L(f + g, P‬‬
‫)‪(f + g) ≤ U(f + g, P) ≤ U(f, P) + U(g, P‬‬
‫‪a‬‬
‫‪19‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫)‪g ≤ U(f, P) + U(g, P‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫≤ )‪L(f, P) + L(g, P‬‬
‫‪f+‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫כיוון שיש מספר יחיד המקיים את התנאים הנ"ל לכל חלוקה‪ ,‬קיבלנו את השוויון המבוקש‪:‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪. a (f + g) = a f + a g‬‬
‫לבסוף נותר להוכיח את הליניאריות בכפל בסקלר‪ .‬אם ‪ k = 0‬הפונקציה היא ‪ 0‬וכך גם‬
‫האינטגרל‪ .‬אם ‪ 0 < k‬אז מתקיים ) ‪ Mi (kf ) = kMi (f‬ולכן )‪ U(kf, P) = kU(f, P‬וכנ"ל‬
‫)‪ .L(kf, P) = kL(f, P‬כעת לכל חלוקה ‪ P‬מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫)‪U(kf, P) − L(kf, P) = k U(f, P) − L(f, P‬‬
‫כעת בהינתן ‪ 0 < ε‬די לבחור חלוקה ‪ P‬עבור ‪ f‬עם ‪ , kε‬שהרי ‪ .0 < k‬במקרה ‪0 > k‬‬
‫צריך לבצע שיקוף של הפונקציה‪.‬‬
‫משפט ‪ 2.13‬תהי ]‪ .f ∈ B[a, b‬לכל ‪ a < c < b‬מתקיים‪ f ∈ R[a, b] :‬אםם ]‪ f ∈ R[a, c‬וגם‬
‫‪´b‬‬
‫‪´c‬‬
‫‪´b‬‬
‫]‪ ,f ∈ R[c, b‬ובמקרה זה גם ‪. a f = a f + c f‬‬
‫הוכחה‪ (⇐) :‬בהינתן ‪ 0 < ε‬תהי ‪ P‬חלוקה של ]‪ [a, b‬כך ש־ ‪ .U(P) − L(P) < ε‬בה"כ‬
‫ניתן להניח ש־ ‪ ,c ∈ P‬שהרי אפשר לעדן את החלוקה ועדיין לקבל חלוקה המקיימת את‬
‫תנאי רימן‪ .‬כעת יהיו ]‪ P1 = P ∩ [a, c‬ו־ ]‪ ,P2 = P ∩ [c, b‬ואז‪:‬‬
‫) ‪U(P1 ) + U(P2‬‬
‫=‬
‫)‪U(P‬‬
‫) ‪L(P1 ) + L(P2‬‬
‫=‬
‫)‪L(P‬‬
‫ולכן‬
‫‬
‫‬
‫‪U(P1 ) − L(P1 ) + U(P2 ) − L(P2 ) = U(P) − L(P) < ε‬‬
‫לכן גם כמובן כל אחד מהמחוברים בנפרד צריך להיות > ‪ ε‬שהרי סכומם > ‪ ,ε‬כלומר‬
‫הפונקציות ]‪ f |[c,b‬ו־ ]‪ f |[a,c‬מקיימות את תנאי רימן בקטעים החלקיים‪.‬‬
‫)⇒( בהינתן ‪ 0 < ε‬תהיינה חלוקות ‪ P1 , P2‬בהתאמה של שני הקטעים‪ ,‬כך ש־‬
‫‪ε‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪2‬‬
‫< ) ‪U(P1 ) − L(P1‬‬
‫< ) ‪U(P2 ) − L(P2‬‬
‫אז החלוקה ‪ P = P1 ∪ P2‬היא חלוקה של ]‪ [a, b‬ומתקיים‬
‫‪20‬‬
‫‬
‫‪ ε ε‬‬
‫‪U(P) − L(P) = U(P1 ) − L(P1 ) + U(P2 ) − L(P2 ) < + = ε‬‬
‫‪2 2‬‬
‫כלומר ‪ f‬אינטגרבילית ב־ ]‪.[a, b‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´c‬‬
‫‪´b‬‬
‫נותר רק להראות שאכן ‪ , a f = a f + c f‬ולאחר שהראינו ששני האגפים מוגדרים‬
‫היטב‪ ,‬נשתמש בסימונים כמו קודם‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫) ‪f ≤ U(P2‬‬
‫‪c‬‬
‫≤ ) ‪L(P2‬‬
‫ˆ‬
‫) ‪f ≤ U(P1‬‬
‫‪c‬‬
‫≤ ) ‪L(P1‬‬
‫‪a‬‬
‫ולכן‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪c‬‬
‫)‪f ≤ U(P1 ) + U(P2 ) = U(P‬‬
‫ˆ‬
‫≤ ) ‪L(P) = L(P1 ) + L(P2‬‬
‫‪f+‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫אבל גם‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫≤ )‪L(P‬‬
‫)‪f ≤ U(P‬‬
‫‪a‬‬
‫ובשני המקרים מדובר במספר אחד ויחיד המקיים את התנאי לגבי כל חלוקה‪ ,‬ולכן‬
‫‪´b‬‬
‫‪´c‬‬
‫‪´b‬‬
‫כמובן המספרים האלה שווים‪ ,‬כלומר ‪. a f = a f + c f‬‬
‫משפט ‪ 2.14‬תהי ]‪ f ∈ R[a, b‬וכן ‪ m ≤ f ≤ M‬בקטע זה‪ ,‬ותהי ‪ g : [m, M ] → R‬רציפה‪.‬‬
‫אזי ]‪.g ◦ f ∈ R[a, b‬‬
‫הוכחה‪ :‬בהינתן ‪ 0 < ε‬לפי תנאי רימן עלינו להציג חלוקה ‪ P‬של ]‪ [a, b‬כך שאם ‪h = g ◦ f‬‬
‫אז ‪ .U(h, P) − L(h, P) < ε‬מהיות ‪ g‬רציפה בקטע ] ‪ [m, M‬היא גם רצבמ"ש בקטע )משפט‬
‫קנטור(‪ .‬יהי ‪ 0 < δ‬כך שאם ] ‪ x, y ∈ [m, M‬ו־ ‪ |x − y| ≤ δ‬אז ‪.|g(x) − g(y)| < ε‬‬
‫לפי ההנחה‪ f ∈ R[a, b] ,‬ולכן קיימת חלוקה ‪ P‬של ]‪ [a, b‬כך ש־ < )‪U(f, P) − L(f, P‬‬
‫‪) δε‬הסיבה לבחירה תתבהר בהמשך(‪ .‬יהיו כעת‪:‬‬
‫})‪{f (t‬‬
‫‪sup‬‬
‫=‬
‫‪Mi‬‬
‫‪xi−1 ≤t≤xi‬‬
‫})‪{f (t‬‬
‫‪inf‬‬
‫})‪{h(t‬‬
‫‪sup‬‬
‫‪xi−1 ≤t≤xi‬‬
‫=‬
‫‪mi‬‬
‫=‬
‫‪Li‬‬
‫‪xi−1 ≤t≤xi‬‬
‫})‪{h(t‬‬
‫‪inf‬‬
‫‪xi−1 ≤t≤xi‬‬
‫‪21‬‬
‫=‬
‫‪li‬‬
‫ולבסוף ‪ L, l‬כך ש־ ‪) l ≤ h ≤ L‬קיימים כי ‪ h‬הרכבה של פונקציות חסומות(‪ .‬נכתוב‪:‬‬
‫‪(Li − li )∆xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪U(h, P) − L(h, P‬‬
‫‪i=1‬‬
‫נחלק את האינדקסים ‪ 1, . . . , n‬לשתי קבוצות‪ :‬האינדקסים ה"טובים"‪ ,G ,‬כך שאם‬
‫‪ i ∈ G‬אז ‪ ;Mi − mi ≤ δ‬והאינדקסים ה"רעים"‪ ,B ,‬כך שאם ‪ i ∈ B‬אז ‪.Mi − mi > δ‬‬
‫נמשיך את הסכום‪:‬‬
‫‪(Li − li )∆xi‬‬
‫‪X‬‬
‫‪(Li − li )∆xi +‬‬
‫‪i∈B‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪i∈G‬‬
‫נשים לב שאם ‪ i ∈ G‬אז ‪ Li − li < ε‬בגלל הרצבמ"ש‪ ,‬ולכן‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪(Li − li )∆xi < ε‬‬
‫‪∆xi ≤ ε‬‬
‫)‪∆xi = ε(b − a‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i∈G‬‬
‫‪i∈G‬‬
‫לעומת זאת‪ ,‬אם ‪ i ∈ B‬אז לפי הבחירה של ‪ P‬אנחנו יודעים ש־‬
‫‪(Mi − mi )∆xi < δε‬‬
‫‪X‬‬
‫< ‪∆xi‬‬
‫‪i∈B‬‬
‫‪X‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪i∈B‬‬
‫‪Pn‬‬
‫)שהרי ‪ δ < Mi − mi‬וגם בחרנו כך ש־‪( i=1 (Mi − mi )∆xi < δεP‬‬
‫כלומר קיבלנו לבסוף ש־ ‪ i∈B ∆xi < ε‬ולכן אם חוזרים אחורה מקבלים‪:‬‬
‫‪∆xi < (L − l)ε‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪(L − l)∆xi = (L − l‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ ‪(Li − li )∆xi‬‬
‫‪i∈B‬‬
‫‪i∈B‬‬
‫אם מאחדים את התוצאות עבור ה"טובים" וה"רעים"‪ ,‬מקבלים‪:‬‬
‫)‪U(h, P) − L(h, P) < ε(b − a) + ε(L − l‬‬
‫זוהי קבועה כפולה של ‪ ε‬ולכן השלמנו את הדרוש‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 2.15‬תהיינה ]‪ .f, g ∈ R[a, b‬אזי‪:‬‬
‫‪f 2 ∈ R[a, b] .1‬‬
‫‪f · g ∈ R[a, b] .2‬‬
‫‪22‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i∈B‬‬
‫‪|f | ∈ R[a, b] .3‬‬
‫‪ .4‬אם ‪) 0 < m ≤ g ≤ M‬חסומה מאפס( אז ]‪∈ R[a, b‬‬
‫‪ .5‬בתנאים של ‪ ,4‬גם ]‪∈ R[a, b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪g‬‬
‫‪f‬‬
‫‪g‬‬
‫הוכחה‪ (1) :‬מיידי כהרכבה של הפולינום הרציף ‪ u2‬על הפונקציה ‪ f‬לפי המשפט‪.‬‬
‫)‪ (2‬ראינו ש־ ‪ f + g‬אינטגרבילית ולכן לפי )‪ (1‬גם ‪ (f + g)2‬אינטגרבילית‪ ,‬ולבסוף גם‬
‫‪ (f + g)2 − f 2 − g 2‬אינטגרבילית אבל היא זהותית ‪ 2f · g‬וכמובן לכן גם ‪ f · g‬אינטגרבילית‪.‬‬
‫)‪ (3‬מיידי כהרכבה של | · | שהיא רציפה על הפונקציה ‪ f‬לפי המשפט‪.‬‬
‫)‪ (4‬מיידי כהרכבה של ‪ u1‬שהיא רציפה על הפונקציה ‪.g‬‬
‫)‪ (5‬שילוב של )‪ (2‬ו־ )‪.(4‬‬
‫טענה ‪ 2.16‬תהי ]‪ .f ∈ R[a, b‬אזי לכל ‪ c, d ∈ R‬הפונקציה )‪ g(x) := f (dx + c‬היא‬
‫‪b−c‬‬
‫‪ ,[ a−c‬ומתקיים‪:‬‬
‫אינטגרבילית על הקטע ] ‪d , d‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪b−c‬‬
‫‪d‬‬
‫ˆ‬
‫=‪g‬‬
‫‪a−c‬‬
‫‪d‬‬
‫‪´b‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן ‪ .I = a f‬לכל ‪ 0 < ε‬קיימת חלוקה ‪ P‬כך ש־ ‪ .U(f, P) − I < ε‬אם‬
‫הנקודות של החלוקה הן ‪ x0 , . . . , xn‬אז נגדיר את החלוקה } ‪ P˜ = { x0d−c , . . . , xnd−c‬ואז‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫ ‪xk − c o xk − c xk−1 − c‬‬
‫‪xk−1 − c‬‬
‫‪sup g(x) :‬‬
‫≤‪≤x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‬
‫‬
‫) ‪sup f (x) : xk−1 ≤ x ≤ xk (xk − xk−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪U(f, P‬‬
‫‪d‬‬
‫אז בהנתן ‪ 0 < ε‬ניקח ‪P‬כך ש־‬
‫האינטגרביליות עבור ‪.g‬‬
‫כדי לחשב את האינטגרל‪ ,‬נשים לב‪:‬‬
‫‪b−c‬‬
‫‪d‬‬
‫‪g‬‬
‫‪a−c‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪d‬‬
‫=‬
‫˜‬
‫)‪U(g, P‬‬
‫=‬
‫=‬
‫< )‪ U(f, P) − L(f, P‬ואז ˜‪ P‬עונה על הגדרת‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫})‪˜ = d sup{L(g, P‬‬
‫‪˜ =d‬‬
‫})‪f = sup{L(f, P[a,b] )} = sup{dL(g, P‬‬
‫‪a‬‬
‫למה ‪ 2.17‬תהי ]‪ f ∈ B[a, b‬ורציפה ב־ )‪ (a, b‬כלומר פרט אולי לנקודות הקצה‪.‬‬
‫]‪.f ∈ R[a, b‬‬
‫‪23‬‬
‫אזי‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ש־ ‪ .m ≤ f ≤ M‬בהינתן ‪ 0 < ε‬נבחר ‪ a < c < d < b‬המקיימים‪:‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪3‬‬
‫< )‪(M − m)(c − a‬‬
‫< )‪(M − m)(b − d‬‬
‫לאחר הבחירה הזאת נשים לב ש־ ‪ f‬רציפה בכל הקטע הסגור ]‪ [c, d‬ולכן אינטגרבילית‬
‫בו‪ .‬לפי קריטריון רימן‪ ,‬תהי ‪ Q‬חלוקה של ]‪ [c, d‬כך ש־ ‪ .U(Q) − L(Q) < 3ε‬כעת נגדיר‬
‫}‪ P = Q ∪ {a, b‬חלוקה של כל הקטע ]‪ [a, b‬וכעת‪:‬‬
‫‪U(P) − L(P) = (M − m)(c − a) + U(Q) − L(Q) + (M − m)(b − d) < ε‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.18‬השימוש שלנו ברציפות כאן היה רק לשם אינטגרבילית‪ .‬לכן אפשר להסתפק‬
‫בדרישה שהפונקציה אינטגרבילית בכל תת־קטע ממש של ]‪ [a, b‬ואז היא תהיה אינטגרבילית‬
‫במלוא הקטע‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 2.19‬אם ]‪ f ∈ B[a, b‬בעלת מספר סופי של נקודות אי־רציפות‪ ,‬אז ]‪.f ∈ R[a, b‬‬
‫)למעשה‪ ,‬מסקנה זו נכונה גם אם יש ל־ ‪ f‬מספר בן־מניה של נקודות אי־רציפות‪ ,‬כפי‬
‫שנראה בפרק ‪(.3.6‬‬
‫הוכחה‪ :‬ההוכחה באינדוקציה לפי הלמה הקודמת‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.20‬אם } ‪ P = {x0 , x1 , . . . , xn‬חלוקה של ]‪ [a, b‬אז } ‪λ(P) = max1≤i≤n {∆xi‬‬
‫ייקרא הפרמטר של החלוקה‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.21‬קיימות חלוקות של ]‪ [a, b‬עם פרמטר קטן כרצוננו‪ ,‬למשל באמצעות החלוקה‬
‫האוניפורמית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.22‬תהי ‪ f‬חסומה ו־ ‪ .A ⊆ Df‬התנודה של ‪ f‬ב־ ‪ A‬היא ‪ ω(f, A) = M −m‬כאשר‬
‫}‪ M = sup{f (t) : t ∈ A‬ו־ }‪ m = inf{f (t) : t ∈ A‬וכן מסמנים ) ‪.ω(f ) = ω(f, Df‬‬
‫כאשר הכוונה לפונקציה ברורה‪ ,‬נכתוב ‪ ω‬בלבד‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.23‬אם ]‪ f ∈ B[a, b‬ו־ ‪ P‬חלוקה של ]‪ [a, b‬אז‪:‬‬
‫‪ωi ∆xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪(Mi − mi )∆xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‬
‫כאשר ] ‪.ωi = ω f, [xi−1 , xi‬‬
‫‪24‬‬
‫= )‪U(P) − L(P‬‬
‫למה ‪ 2.24‬תהי ]‪ f ∈ B[a, b‬ו־ ‪ P‬חלוקה של ]‪ [a, b‬ונניח ש־ }‪ .P 0 = P ∪ {y‬אז מתקיים‪:‬‬
‫)‪U(P) − L(P) ≤ U(P 0 ) − L(P 0 ) + ωλ(P‬‬
‫הוכחה‪ :‬קיים אינדקס ‪ j‬יחיד כך ש־ ‪ .xj−1 < y < xj‬נסמן כעת‪:‬‬
‫) ‪(M 0 − m0 )(y − xj−1‬‬
‫=‬
‫‪w0‬‬
‫)‪(M 00 − m00 )(xj − y‬‬
‫=‬
‫‪00‬‬
‫) ‪(Mj − mj )(xj − xj−1‬‬
‫=‬
‫‪wj‬‬
‫‪w‬‬
‫כאשר ‪ M 0 , m0 , M 00 , m00‬מתאימים לסופרמום ולאינפימום בקטעי החלוקה סביב ‪.y‬‬
‫כעת‪:‬‬
‫)‪wj − (w0 + w00 ) ≤ (M − m)λ(P) = ωλ(P‬‬
‫ולכן‬
‫)‪U(P) − L(P) = U(P 0 ) − L(P 0 ) − (w0 + w00 ) + wj ≤ U(P 0 ) − L(P 0 ) + ωλ(P‬‬
‫כפי שרצינו‪.‬‬
‫משפט ‪ 2.25‬תהי ]‪ .f ∈ B[a, b‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ 0 < ε‬קיימת חלוקה ‪ P‬כך ש־ ‪U(P) − L(P) < ε‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ 0 < ε‬קיים ‪ 0 < δ‬כך שלכל חלוקה ‪ P‬עם ‪ λ(P) < δ‬מתקיים ‪U(P)−L(P) < ε‬‬
‫הוכחה‪ :(1 ⇐ 2) :‬ניקח את ‪ 0 < δ‬כנ"ל ונבחר את החלוקה היוניפורמית בעלת ‪λ(P) < δ‬‬
‫ודיינו‪.‬‬
‫)‪ :(2 ⇐ 1‬בהינתן ‪ 0 < ε‬תהי ‪ Q‬חלוקה עם הנקודות ‪ y0 , . . . , yl+1‬המקיימת לפי )‪ (1‬ש־‬
‫‪ .U(Q) − L(Q) < ε0 < ε‬נניח ש־ ‪ f‬אינה קבועה‪ ,‬כלומר ‪ ω(f ) 6= 0‬ונניח ש־ ‪ .1 ≤ l‬יהי‬
‫‪0‬‬
‫‪.0 < δ = ε−ε‬‬
‫‪lω‬‬
‫תהי אז ‪ P‬חלוקה עם ‪ λ(P) < δ‬ונתבונן ב־ ‪ .P ∪ Q‬נשים לב שהוספנו לכל היותר‬
‫‪ l‬נקודות ל־ ‪) P‬כי קצוות הקטע משותפים לשתי החלוקות(‪ .‬כיוון שהחלוקה החדשה היא‬
‫עידון של ‪ Q‬אנו יודעים‪:‬‬
‫)‪L(Q) ≤ L(P ∪ Q) ≤ U(P ∪ Q) ≤ U(Q‬‬
‫‪25‬‬
‫לכן כמובן ‪ .U(P ∪ Q) − L(P ∪ Q) < ε‬כעת ‪ P‬מתקבלת מ־ ‪ P ∪ Q‬ע"י השמטת ‪l‬‬
‫נקודות לכל היותר‪ ,‬ולכן לפי הלמה נקבל‪:‬‬
‫)‪U(P) − L(P) ≤ U(P ∪ Q) − L(P ∪ Q) + lωλ(P) < ε0 + lωλ(P‬‬
‫קודם דרשנו ש־‬
‫‪ε−ε0‬‬
‫‪lω‬‬
‫< ‪ λ(P) < δ‬ולכן‬
‫‪< ε0 + (ε − ε0 ) = ε‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫‪2.2‬‬
‫הגדרת האינטגרביליות באמצעות פונקציית מדרגות‬
‫נאמר ש־ ‪ s ≺ f‬אם ‪ s‬פונקציית מדרגות המקיימת‬
‫הגדרה ‪ 2.26‬תהי ]‪.f ∈ R[a, b‬‬
‫)‪ s(x) ≤ f (x‬בכל ]‪.x ∈ [a, b‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫טענה ‪ 2.27‬אם ]‪ f ∈ R[a, b‬אז } ‪ , a f = sup{ a s : s ≺ f‬כאשר ‪s‬‬
‫של שטח המלבנים של פונקציית המדרגות ולא האינטגרל הרגיל של דרבו‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫יכול להיות במובן‬
‫הוכחה‪ :‬כל סכום דרבו תחתון )‪ L(f, P‬הוא שטח של פונקציית מדרגות עם המדרגות‬
‫המתאימות לחלוקה‪ ,‬ולכן‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫{ ⊆ })‪{L(f, P‬‬
‫}‪s : s ≺ f‬‬
‫‪a‬‬
‫מהיחס בין הקבוצות מתקבל גם היחס בין החסמים העליונים‪:‬‬
‫ˆ‬
‫{‪f = sup{L(f, P)} ≤ sup‬‬
‫‪b‬‬
‫}‪s : s ≺ f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫כעת מהעובדה ש־ ‪ s ≺ f‬כמובן ‪f‬‬
‫בתור חסם עליון‪ ,‬גם‬
‫‪b‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪a‬‬
‫≤‪s‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪a‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫בגלל מונוטוניות האינטגרל לפי דרבו‪.‬‬
‫ˆ‬
‫≤ }‪s : s ≺ f‬‬
‫‪f‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪a‬‬
‫{‪sup‬‬
‫‪a‬‬
‫ולכן מקבלים שוויון כפי שרצינו‪.‬‬
‫‪26‬‬
‫הערה ‪ 2.28‬ניתן לחזק את הטענה כדי שתהיה שקולה לאינטגרביליות ע"י כך שנדרוש גם‬
‫את קיום החסם התחתון של פונקציות מדרגות החוסמות את הפונקציה מלעיל‪ ,‬והתלכדות‬
‫בין חסם תחתון זה לחסם העליון מן הטענה‪.‬‬
‫´‬
‫´‬
‫´‬
‫טענה ‪ 2.29‬נשתמש בטענה ‪ 2.27‬כדי להראות ש־ ‪. f + g = f + g‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ s1 ≺ f, s2 ≺ g‬אזי ‪) s1 + s2 ≺ f + g‬יש להראות שזו פונקציית מדרגות‬
‫ושאכן ‪ s1 + s2 ≤ f + g‬שזה ברור(‪ .‬כעת‪,‬‬
‫ˆ‬
‫{ =‬
‫}‪s1 + s2 : s1 ≺ f, s2 ≺ g‬‬
‫ˆ‬
‫}‪s3 : s3 ≺ f + g‬‬
‫{‬
‫⊆‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫}‪{ s1 + s2 : s1 ≺ f, s2 ≺ g‬‬
‫ˆ‬
‫}‪{ s1 + s2 : s1 ≺ f, s2 ≺ g‬‬
‫וכאשר ניקח שוב ‪ sup‬נקבל‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪g = sup{ s1 } + sup{ s2 } = sup{ s1 + s2 } ≤ f + g‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪f+‬‬
‫באופן סימטרי מראים את הא"ש ההפוך ע"י שימוש בפונקציית מדרגות החוסמת את‬
‫הפונקציה מלמעלה‪.‬‬
‫‪2.3‬‬
‫סכומי רימן‬
‫רימן לקח כקירובים לחישוב השטח את שטחי המלבנים המבוססים על דגימות בקטעים של‬
‫החלוקה‪ .‬השטחים הנ"ל נמצאים תמיד בין סכום דרבו העליון לבין סכום דרבו התחתון בכל‬
‫תת־קטע של החלוקה‪ ,‬וכמובן צריך להראות שהחישוב הנ"ל מתלכד עם החישוב לפי סכומי‬
‫דרבו‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.30‬תהי ]‪ f ∈ B[a, b‬ו־ ‪ P‬חלוקה עם הנקודות ‪ .x0 , . . . , xn‬יהיו גם } ‪ {ti‬מספרים‬
‫כך ש־ ‪ .xi−1 ≤ ti ≤ xi‬הביטוי הבא נקרא סכום רימן ‪ S‬של ‪ f‬עבור החלוקה ‪:P‬‬
‫) ‪f (ti )(xi − xi−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪i=1‬‬
‫הערה ‪ 2.31‬כל סכום רימן ‪ S‬עבור החלוקה ‪ P‬מקיים‪.L(P) ≤ S ≤ U(P) :‬‬
‫למה ‪ 2.32‬אם ]‪ f ∈ B[a, b‬ו־ ‪ P‬חלוקה‪ ,‬ו־ ‪ S‬קבוצת כל סכומי רימן ‪ S‬עבור החלוקה ‪,P‬‬
‫אז מתקיים‪:‬‬
‫)‪L(P) = inf S ≤ sup S = U(P‬‬
‫‪27‬‬
‫הוכחה‪ :‬צריך להראות שלכל ‪ η > 0‬קיימים ‪ S, S 0‬סכומי רימן )ב־ ‪ (S‬כך ש־‬
‫‪L(P) ≤ S < L(P) + η‬‬
‫)‪U(P) − η < S 0 ≤ U(P‬‬
‫כעת נגדיר‪:‬‬
‫} ‪Mi = sup{f (t) : xi−1 ≤ t ≤ xi‬‬
‫כמו תמיד‪ ,‬ונבחר ] ‪ ti ∈ [xi−1 , xi‬כך ש־‬
‫‪η‬‬
‫‪< f (ti ) ≤ Mi‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪Mi −‬‬
‫וזה אפשרי כי ‪ Mi‬הוא חסם עליון‪ .‬כעת‪:‬‬
‫ ‪η‬‬
‫‪∆xi‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Mi −‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪η X‬‬
‫‪∆xi‬‬
‫‪b − a i=1‬‬
‫‪Mi ∆xi −‬‬
‫‪η‬‬
‫‪(b − a) = U(P) − η‬‬
‫‪b−a‬‬
‫>‬
‫‪f (ti )∆xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪S‬‬
‫‪i=1‬‬
‫=‬
‫‪i=1‬‬
‫‪= U(P) −‬‬
‫ובאופן סימטרי מגדירים ‪ mi‬כחסם תחתון ומתקבלת התוצאה עבור )‪.L(P‬‬
‫משפט ‪ 2.33‬תהי ]‪ .f ∈ R[a, b‬אזי לכל סדרה ) ‪ (Pn‬של חלוקות עם סדרת פרמטרים‬
‫) ‪ λ(Pn‬השואפת ל־ ‪ ,0‬והסדרה ) ‪ (Sn‬של סכומי רימן של ‪ f‬עבור ‪ Pn‬בהתאם‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪) Sn → a f‬מתכנסת‪ ,‬ולאינטגרל הנ"ל(‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ 0 < ε‬ויהיו ‪ 0 < δ‬המקיים את התנאי השקול ממשפט ‪ .2.25‬נתון ש־‬
‫‪ λ(Pn ) → 0‬ולכן עבור ‪ δ‬זה קיים גם ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪ .λ(Pn ) < δ‬אם‬
‫כך‪ ,‬כאשר ‪ n > N‬מתקבל‪:‬‬
‫) ‪L(Pn ) ≤ Sn ≤ U(Pn‬‬
‫‪ˆ b‬‬
‫≤ ) ‪L(Pn‬‬
‫) ‪f ≤ U(Pn‬‬
‫‪a‬‬
‫‪U(Pn ) − L(Pn ) < ε‬‬
‫‪28‬‬
‫‪´b‬‬
‫כלומר‪ ,‬שני המספרים ‪ Sn , a f‬נמצאים בין הסכום העליון לסכום התחתון‪ ,‬שהמרחק‬
‫ביניהם קטן מ־ ‪ .ε‬כיוון שאנו יכולים להקטין את ‪ ε‬כרצוננו‪ ,‬משמעות הדבר היא ש־‬
‫‪´b‬‬
‫‪ Sn → a f‬כפי שרצינו‪.‬‬
‫משפט ‪ 2.34‬תהי ]‪ .f ∈ B[a, b‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪´b‬‬
‫)‪ f ∈ R[a, b] (1‬והאינטגרל הוא ‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪ (2‬קיים מספר אחד ויחיד ‪ J‬המקיים‪:‬‬
‫‪|SP − J| < ε‬‬
‫‪∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀P : λ(P) < δ‬‬
‫כאשר כאן ‪ SP‬מסמן סכום רימן של ‪ f‬עבור החלוקה ‪.P‬‬
‫‪´b‬‬
‫במקרה זה גם מתקיים ‪.J = a f‬‬
‫‪´b‬‬
‫הוכחה‪ (2 ⇐ 1) :‬יהי ‪ .J = a f‬לכל ‪ 0 < ε‬נבחר ‪ 0 < δ‬כך שלכל חלוקה ‪ P‬בעלת‬
‫‪ λ(P) < δ‬מתקיים ‪ .U(P) − L(P) < ε‬תהי ‪ P‬חלוקה אחת כזאת‪ ,‬ו־ ‪ S‬סכום רימן של ‪f‬‬
‫המתאים לה‪ .‬כעת‪,‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫≤ )‪L(P‬‬
‫)‪f ≤ U(P‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪L(P) ≤ S ≤ U(P‬‬
‫‪´b‬‬
‫וכיוון שההפרש בין הסכומים קטן מ־ ‪ ,ε‬גם ‪ |S − a f | < ε‬כפי שרצינו‪.‬‬
‫)‪ (1 ⇐ 2‬בהנתן ‪ 0 < ε‬יהי ‪ 0 < δ‬המקיים את התנאי של המשפט‪ .‬יהיו ‪ P‬חלוקה עם‬
‫‪ λ(P) < δ‬ו־ ‪ S‬סכום רימן כלשהו של ‪ f‬עבור חלוקה זו‪ .‬כעת כמובן ‪.J − ε < S < J + ε‬‬
‫לפי למה ‪ 2.32‬מתקיים‪:‬‬
‫‪J − ε ≤ L(P) ≤ S ≤ U(P) ≤ J + ε‬‬
‫שהרי ‪ J − ε‬חסם מלרע על כל סכומי רימן ו־ )‪ L(P‬החסם העליון שלהם‪ ,‬וכך גם מלעיל‪.‬‬
‫לכן‪,‬‬
‫‪U(P) − L(P) ≤ 2ε‬‬
‫וזה תנאי רימן לאינטגרביליות )ניתן לבחור מראש ‪ δ‬עבור ‪ 3ε‬כדי לקבל את ההגדרה‬
‫‪´b‬‬
‫במדויק(‪ .‬עדיין נותר להראות ש־ ‪ .J = a f‬ובכן‪ ,‬בהנתן ‪ 0 < ε‬ו־ ‪ 0 < δ‬בהתאם כמו‬
‫קודם עם חלוקה ‪ P‬כך ש־ ‪ ,λ(P) < δ‬נקבל‪:‬‬
‫‪29‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫≤ )‪J − ε ≤ L(P‬‬
‫‪f ≤ U(P) ≤ J + ε‬‬
‫‪a‬‬
‫ומותר לנו כמובן לכתוב ‪f‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪a‬‬
‫כי כבר גילינו ש־ ‪ f‬אינטגרבילית‪ .‬אבל כעת פשוט קיבלנו‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪f −J ≤ε‬‬
‫≤ ‪−ε‬‬
‫‪a‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫|‬
‫‪f − J| ≤ ε‬‬
‫‪a‬‬
‫וזה מתקיים לכל ‪ .0 < ε‬לכן ‪f‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪ J‬כנדרש‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.35‬לסיכום‪ ,‬ראינו חמישה תנאים שקולים לגבי פונקציה ]‪:f ∈ B[a, b‬‬
‫‪ .1‬קיים ‪ I ∈ R‬יחיד כך שלכל חלוקה ‪ ,P‬מתקיים )‪L(P) ≤ I ≤ U(P‬‬
‫‪ .2‬מתקיים })‪ sup{L(P)} = inf{U(Q‬כאשר ‪ P, Q‬חלוקות‬
‫‪ .3‬לכל ‪ 0 < ε‬קיימת חלוקה ‪ P‬כך ש־ ‪U(P) − L(P) < ε‬‬
‫‪ .4‬לכל ‪ 0 < ε‬קיים ‪ 0 < δ‬כך שאם ‪ P‬מקיימת ‪ λ(P) < δ‬אז ‪U(P) − L(P) < ε‬‬
‫‪ .5‬קיים ‪ J‬יחיד כך שלכל ‪ 0 < ε‬קיים ‪ 0 < δ‬כך שלכל סכום רימן ‪ S‬של חלוקה ‪ P‬עם‬
‫‪ λ(P) < δ‬מתקיים ‪|S − J| < ε‬‬
‫נתבונן בדוגמה הקלאסית של פונקציית רימן ‪ R : [0, 1] → R‬המוגדרת ע"י‬
‫‪x∈R\Q‬‬
‫‪x = pq ∈ Q (p, q) = 1‬‬
‫(‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q‬‬
‫= )‪R(x‬‬
‫נרצה להראות ש־ ]‪ .R ∈ R[0, 1‬לפני כן‪ ,‬אם נגדיר את הפונקציה ‪ ϕ : [0, 1] → R‬ע"י‬
‫(‬
‫‪0 x=0‬‬
‫= )‪ϕ(x‬‬
‫‪1 x>0‬‬
‫אז הפונקציה ‪ ϕ ◦ R‬היא בדיוק ‪ ,D‬פונקציית דיריכלה‪ ,‬שאינה אינטגרבילית‪ .‬כך קיבלנו‬
‫שהרכבה של שתי פונקציות אינטגרביליות לאו דווקא אינטגרבילית‪ ,‬וזו דוגמה נגדית חשובה‪.‬‬
‫על מנת להראות ש־ ‪ R‬אינטגרבילית‪ ,‬נראה ש־ ‪ .inf{U(P)} = 0‬כדי לעשות זאת‪ ,‬צריך‬
‫לכל ‪ 0 < ε‬למצוא חלוקה ‪ P‬כך ש־ ‪ .U(P) < ε‬יש לשים לב שבהנתן ‪ 0 < ε‬ישנו רק‬
‫מספר סופי של ‪ q‬טבעיים כך ש־ ‪ .0 < ε ≤ 1q‬עבור כל ‪ q‬כזה יש מספר סופי של נקודות‬
‫רציונאליות ‪ pq‬בקטע ]‪ [0, 1‬ורק בנקודות אלה ) ‪.ε ≤ R( pq‬‬
‫‪30‬‬
‫ובכן יהי ‪ 0 < ε‬ו־ ‪ .0 < ε0 < ε‬נניח ש־ ‪ c1 , . . . , cN‬הם כל המספרים הרציונאליים‬
‫בקטע ]‪ [0, 1‬עם ) ‪ .ε0 ≤ R(ci‬עבור מספרים אלה‪ ,‬נבחר ‪cj−1 < uj−1 < cj < uj < cj+1‬‬
‫‪0‬‬
‫עם התנאי ‪ .uj − uj−1 ≤ Nε+2‬כעת תהי‬
‫} ‪P = {0, u0 , u1 , . . . , uN , uN +1‬‬
‫חלוקה‪ ,‬ונתבונן ב־‬
‫‪1(uj − uj−1 ) < ε0 + ε0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Mi ∆xi +‬‬
‫‪B‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ )‪U(P‬‬
‫‪G‬‬
‫ולבסוף נקבל שאכן ‪ U(P) < ε‬ולכן האינטגרל הוא פשוט ‪.0‬‬
‫הגדרה ‪ 2.36‬תהי ]‪ .f ∈ R[a, b‬אזי‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪a‬‬
‫ˆ‬
‫‪f := −‬‬
‫‪f‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫)המטרה היא לשמור על אדיטיביות‪ ,‬כדי ש־ ‪f = 0‬‬
‫‪´a‬‬
‫‪a‬‬
‫תמיד(‬
‫הערה ‪ 2.37‬זה מאפשר להראות שלכל ‪) a, b, c‬והפונקציה אינטגרבילית בכל הקטעים ביניהם(‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪c‬‬
‫‪f‬‬
‫‪b‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪f+‬‬
‫‪c‬‬
‫ˆ‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫כמו כן‪ ,‬אם ‪ |f | ≤ M‬אז |‪|f | ≤ M |b − a‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪a‬‬
‫≤ |‪f‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪a‬‬
‫|‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.38‬תהי ‪ f‬מוגדרת בקטע ]‪ .[a, b‬נאמר ש־ ‪ f‬אינטגרבילית לפי סכומי רימן )או‬
‫אינטגרבילית רימן( אם קיים ‪ J ∈ R‬כך שלכל ‪ 0 < ε‬קיים ‪ 0 < δ‬כך שלכל ‪ S‬סכום רימן‬
‫של ‪ f‬עבור החלוקה ‪ P‬עם ‪ ,λ(P) < δ‬מתקיים ‪.|S − J| < ε‬‬
‫הערה ‪ 2.39‬יש לשים לב שאין כאן צורך להניח שהפונקציה חסומה‪ .‬ראינו כבר שההגדרה‬
‫שקולה לאינטגרבילית אם הפונקציה חסומה‪ ,‬אז עכשיו נרצה להראות שהחסימות נובעת‬
‫מההגדרה‪.‬‬
‫כמו כן יש להוכיח )תרגיל( שאם ההגדרה מתקיימת‪ J ,‬הזה הוא יחיד‪.‬‬
‫למה ‪ 2.40‬תחת תנאי ההגדרה‪ f ,‬חסומה ב־ ]‪.[a, b‬‬
‫‪31‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ש־ ‪ f‬עומדת בתנאי ההגדרה‪ ,‬אז נמצא עבור ‪ ε = 1‬את ה־ ‪ 0 < δ‬המתאים‬
‫וניקח ‪ P‬מסוימת עם ‪ λ(P) < δ‬ו־ ‪ S‬סכום רימן של ‪ f‬המתאים לה‪ .‬כעת‪ ,‬אם החלוקה‬
‫המספרים ‪ x0 , . . . , xn‬הסכום מוסיף את ‪ t1 , . . . , tn‬ביניהם‪ .‬כיוון ש־ = ‪S‬‬
‫היא‬
‫באמצעות‪P‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ , i=1 f (ti )∆xi‬אנו יודעים ש־ ‪ −1 < S − J < 1‬כלומר ‪.−1 + J < S < 1 + J‬‬
‫כעת נבחר נקודה כלשהי בקטע‪ ,‬ונשייך לה את האינדקס ‪ j‬של הקטע שבתוכו היא נופלת‪,‬‬
‫ונסמנה ] ‪ .sj ∈ [xj−1 , xj‬נגדיר גם‬
‫‪f (ti )∆xi + f (sj )∆xj‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪Sj :‬‬
‫‪i6=j‬‬
‫נשים לב ש־ ‪ Sj‬גם הוא סכום רימן המתאים לאותה חלוקה ‪ ,P‬ועל כן מתקיים גם‬
‫‪ −1 + J < Sj < 1 + J‬באותו האופן כמו קודם‪ .‬לכן כמובן ‪ .|S − Sj | < 2‬מצד שני‪,‬‬
‫⇒= | ‪|S − Sj | = |f (tj )∆xj − f (sj )∆xj‬‬
‫‪−2 + f (tj )∆xj < f (sj )∆xj < 2 + f (tj )∆xj‬‬
‫‪2 + f (tj )∆xj‬‬
‫‪−2 + f (tj )∆xj‬‬
‫< ) ‪< f (sj‬‬
‫‪∆xj‬‬
‫‪∆xj‬‬
‫בחרנו את ‪ sj‬שרירותית בקטע ] ‪ [xj−1 , xj‬ולכן ‪ f‬חסומה בו וגם בכל ]‪ [a, b‬מאותו‬
‫שיקול‪ ,‬שהרי מספר הקטעים בחלוקה הוא סופי ולכן נוכל לקחת ‪ max‬ו־ ‪ min‬על החסמים‬
‫שקיבלנו בכל קטע ‪.j‬‬
‫משפט ‪ 2.41‬תהי ‪ f‬מוגדרת ב־ ]‪ f .[a, b‬אינטגרבילית לפי רימן אםם לכל ‪ 0 < ε‬קיים ‪0 < δ‬‬
‫כך שלכל שני סכומי רימן ‪ S, S 0‬המתאימים לחלוקות ‪ P, P 0‬בעלות פרמטר > ‪ δ‬מתקיים‬
‫‪.|S − S 0 | < ε‬‬
‫הוכחה‪ (⇐) :‬בהנתן ‪ 0 < ε‬נבחר את ה־ ‪ 0 < δ‬המבטיח שלסכום רימן ‪ S‬המתאים לחלוקה‬
‫‪ P‬עם ‪ λ(P) < δ‬מתקיים ‪ .|S − J| < 2ε‬יהיו כעת ‪ S, S 0‬סכומי רימן כנ"ל ואז‬
‫‪ε ε‬‬
‫‪+ =ε‬‬
‫‪2 2‬‬
‫< |‪|S − S 0 | ≤ |S − J| + |S 0 − J‬‬
‫)⇒( נבחר סדרה ) ‪ (Sn‬של סכומי רימן של ‪ f‬המתאימים לסדרה ) ‪ (Pn‬של חלוקות‬
‫בהתאם עם ‪ .λ(Pn ) < n1‬כעת בהנתן ‪ 0 < ε‬יהי ‪ 0 < δ‬המבטיח את התנאי של המשפט‪.‬‬
‫אז קיים ‪ N ∈ N‬כך ש־ ‪ . N1 < δ‬עבור כל ‪ n > N‬כמובן גם ‪ . n1 < N1 < δ‬לכן אם‬
‫‪ n, m > N‬אזי ‪ λ(Pn ) < δ, λ(Pm ) < δ‬ולכן יתקיים ‪ .|Sn − Sm | < ε‬מכאן ) ‪ (Sn‬סדרת‬
‫קושי ולכן מתכנסת‪ ,‬ונסמן ‪ J‬הגבול שלה‪.‬‬
‫די להראות ש־ ‪ J‬מקיים את תנאי הגדרת האינטגרביליות לפי רימן‪ .‬בהינתן ‪ 0 < ε‬יהי‬
‫‪ 0 < δ‬המתאים ל־ ‪ 2ε‬לפי קריטריון רימן‪ .‬נבחר כעת אינדקס ‪ M‬כך ש־ ‪ λ(PM ) < δ‬וגם‬
‫‪ .|SM − J| < 2ε‬עכשיו יהי ‪ S‬סכום רימן של ‪ f‬עבור חלוקה ‪ P‬עם ‪ ,λ(P) < δ‬אזי‬
‫‪ε ε‬‬
‫‪+ =ε‬‬
‫‪2 2‬‬
‫< |‪|S − J| ≤ |S − SM | + |S − J‬‬
‫‪32‬‬
‫כלומר קיימנו את תנאי רימן לאינטגרביליות‪.‬‬
‫‪2.4‬‬
‫המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי‬
‫‪´x‬‬
‫משפט ‪ 2.42‬תהי ]‪ f ∈ R[a, b‬ותהי ‪ F (x) := a f (t)dt‬עבור ‪ .a ≤ x ≤ b‬אזי ‪ F‬רציפה‬
‫ב־ ]‪ [a, b‬וגזירה בכל ]‪ x ∈ [a, b‬שבה ‪ f‬רציפה‪ ,‬ובנקודות אלה מתקיים )‪.F 0 (x) = f (x‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו ]‪ .x, y ∈ [a, b‬נשים לב ש־‬
‫‪y‬‬
‫ˆ‬
‫|‪|f | ≤ M |y − x‬‬
‫‪y‬‬
‫ˆ‬
‫≤ |‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫ˆ‬
‫‪x‬‬
‫| = |‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫ˆ‬
‫‪y‬‬
‫| = |)‪|F (y) − F (x‬‬
‫‪f−‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫כאשר ‪ M‬חסם על | ‪ |f‬בקטע‪ .‬זה אומר ש־ ‪ F‬ליפשיצית‪ ,‬כלומר רציפה במידה שווה‬
‫בקטע ולכן רציפה‪.‬‬
‫כעת תהי ]‪ c ∈ [a, b‬ונניח ש־ ‪ f‬רציפה ב־ ‪ .c‬ובכן‪ ,‬עבור ‪,x 6= c‬‬
‫‪´x‬‬
‫‪´c‬‬
‫‪f− af‬‬
‫‪f‬‬
‫‪= c‬‬
‫‪x−c‬‬
‫‪x−c‬‬
‫‪´x‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪F (x) − F (c‬‬
‫=‬
‫‪x−c‬‬
‫)‪(c‬‬
‫‪| F (x)−F‬‬
‫כעת על מנת להראות שהפונקציה גזירה ונגזרתה היא )‪ ,f (c‬די להראות ש־ ‪−‬‬
‫‪x−c‬‬
‫‪ .f (c)| → 0‬ובכן‪,‬‬
‫‪´x‬‬
‫‪´x‬‬
‫‪´x‬‬
‫‪f‬‬
‫‪f‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x−c‬‬
‫)‪− f (c‬‬
‫‪|=| c‬‬
‫| ‪− f (c) c‬‬
‫‪x−c‬‬
‫‪x−c‬‬
‫‪x−c‬‬
‫‪x−c‬‬
‫‪´x‬‬
‫‪´x‬‬
‫‪ˆ x‬‬
‫‬
‫‬
‫‪f‬‬
‫)‪f (c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪c‬‬
‫|‬
‫‪− c‬‬
‫=|‬
‫|‬
‫|‪f (t) − f (c) dt‬‬
‫‪x−c‬‬
‫‪x−c‬‬
‫‪|x − c| c‬‬
‫‪1‬‬
‫|)‪|f (t) − f (c)||x − c| = |f (t) − f (c‬‬
‫|‪|x − c‬‬
‫‪c‬‬
‫)‪F (x) − F (c‬‬
‫= |)‪− f (c‬‬
‫‪x−c‬‬
‫|‬
‫|‬
‫=‬
‫≤‬
‫כעת כאשר ‪ t → c‬קיבלנו בדיוק שהביטוי שרצינו ← ‪ ,0‬כלומר הפונקציה ‪ F‬גזירה ב־ ‪c‬‬
‫ונגזרתה שם )‪.f (c‬‬
‫משפט ‪) 2.43‬המשפט היסודי–הגרסה מהתיכון( תהי ‪ f‬רציפה ב־ ]‪ [a, b‬ו־ ‪ g‬גזירה ב־ ]‪[a, b‬‬
‫וכן ‪ ,G0 = f‬אז מתקיים‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫)‪f (t)dt = G(b) − G(a‬‬
‫‪a‬‬
‫)נוסחת ניוטון־לייבניץ‪ ,‬או "הנוסחה היסודית"(‬
‫‪33‬‬
‫‪´x‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪f (t)dt‬‬
‫‪a‬‬
‫= )‪ F (x‬כמו קודם‪ ,‬ואז כמובן‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫)‪f (t)dt = F (b) = F (b) − F (a‬‬
‫‪a‬‬
‫כי הרי ‪ .F (a) = 0‬כעת כיוון ש־ ‪ f‬רציפה בכל נקודה‪ F ,‬גזירה בכל נקודה )מהמשפט‬
‫הקודם( וגם ‪ G‬גזירה לפי ההנחה‪ .‬לכן גם הפונקציה ‪ G − F‬גזירה בקטע ]‪ [a, b‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪(G − F )0 = G0 − F 0 = f − f = 0‬‬
‫לכן ‪ G − F‬קבועה‪ ,‬כלומר ‪ G − F = C‬עבור קבוע ‪ C‬כלשהו‪ .‬לכן‪,‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫= )‪G(b) − G(a) = (F (b) + C) − (F (a) + C) = F (b‬‬
‫‪f (t)dt‬‬
‫‪a‬‬
‫הגדרה ‪ 2.44‬נאמר ש־ ‪ F‬קדומה של ‪ f‬ב־ ]‪ [a, b‬אם ‪ F‬רציפה‪ ,‬גזירה פרט אולי למספר‬
‫סופי של נקודות‪ ,‬ומקיימת ‪ F 0 = f‬בכל שאר הנקודות‪.‬‬
‫משפט ‪) 2.45‬המשפט היסודי–נוסח מת"פ( תהי ]‪ f ∈ R[a, b‬ו־ ‪ F‬קדומה שלה בקטע זה‪.‬‬
‫‪´b‬‬
‫אזי )‪. a f (t)dt = F (b) − F (a‬‬
‫הוכחה‪ :‬נראה שלכל חלוקה ‪ P‬של ]‪ [a, b‬מתקיים )‪.L(P) ≤ F (b) − F (a) ≤ U(P‬‬
‫בה"כ ניתן להניח ש־ ‪ P‬מכילה את כל הנקודות שבהן ‪ f‬לא רציפה‪ ,‬אחרת נוכל להוסיף‬
‫אותן ולקבל עידון שלא מפריע לא"ש הנ"ל‪ .‬בסימונים כרגיל‪ P = {x0 , . . . , xn } ,‬מתקיים‪:‬‬
‫]) ‪F (b) − F (a) = [F (x1 ) − F (x0 )] + . . . + [F (xn ) − F (xn−1‬‬
‫כיוון ש־ ‪ F‬רציפה ב־ ] ‪ [xi−1 , xi‬וגזירה ב־ ) ‪ ,(xi−1 , xi‬לפי משפט לגרנז' קיימים ∈ ‪ti‬‬
‫) ‪ (xi−1 , xi‬כך ש־‬
‫) ‪F (xi ) − F (xi−1‬‬
‫) ‪= F 0 (ti ) = f (ti‬‬
‫‪xi − xi−1‬‬
‫לכן‪,‬‬
‫) ‪f (ti )(xi − xi−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪F (b) − F (a‬‬
‫‪i=1‬‬
‫וזהו סכום רימן ‪ S‬של ‪ f‬עבור החלוקה ‪ ,P‬והוא מקיים )‪ L(P) ≤ S ≤ U(P‬כנדרש‪.‬‬
‫‪34‬‬
‫משפט ‪) 2.46‬משפט ערך הביניים של האינטגרציה( תהי ‪ f‬רציפה ב־ ]‪.[a, b‬‬
‫‪´b‬‬
‫)‪ c ∈ (a, b‬כך ש־ )‪. a f (t)dt = f (c)(b − a‬‬
‫‪´x‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ F (x) = a f (t)dt‬גזירה בקטע‪ .‬לפי המשפט היסודי‪,‬‬
‫אזי קיים‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫)‪f (t)dt = F (b) − F (a) = F 0 (c)(b − a) = f (c)(b − a‬‬
‫‪a‬‬
‫כאשר המעבר השני הוא לפי משפט לגרנז' ביחס ל־ ‪ F‬בקטע ]‪.[a, b‬‬
‫משפט ‪) 2.47‬הכללה למשפט ערך הביניים של האינטגרציה( תהי ‪ g‬פונקציה אינטגרבילית‬
‫אי־שלילית בקטע ]‪ [a, b‬ו־ ‪ f‬רציפה בו‪ .‬אז קיימת ]‪ c ∈ [a, b‬כך ש־‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫)‪f (x)g(x)dx = f (c‬‬
‫‪g(x)dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪´b‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן ‪ .C = a g(x)dx ≥ 0‬כיוון ש־ ‪ f‬רציפה בקטע חסום וסגור‪ ,‬היא מממשת‬
‫מינימום ומקסימום בנקודות ‪ .c1 , c2‬לכן מתקיים‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪f (c1 )g(x)dx = f (c1 ) · C‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫≥ ‪f (x)g(x)dx‬‬
‫‪a‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫≥ ‪f (c2 )g(x)dx‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪f (c2 ) · C‬‬
‫‪a‬‬
‫כיוון ש־ ‪ f‬רציפה‪ ,‬לפי משפט ערך הביניים קיים ‪ c‬בין ‪ c1‬ל־ ‪ c2‬כך ש־ = ‪f (x)g(x)dx‬‬
‫‪ ,f (c) · C‬כפי שרצינו‪.‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪a‬‬
‫משפט ‪) 2.48‬משפט ערך הביניים השני של האינטגרציה( תהי ‪ f‬רציפה ב־ ]‪ [a, b‬ו־ ∈ ‪Φ‬‬
‫)‪ C 1 (c, d‬מונוטונית כך ש־ )‪ .[a, b] ⊆ (c, d‬אזי קיימת ]‪ ξ ∈ [a, b‬כך ש־‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪f (x)dx‬‬
‫ˆ‬
‫‪ξ‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪f (x)Φ(x)dx = Φ(a‬‬
‫)‪f (x)dx + Φ(b‬‬
‫‪ξ‬‬
‫ˆ‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ש־ ‪) Φ0 ≥ 0‬אחרת נתבונן ב־ ‪ .(−Φ‬נסמן ‪f (x)dx‬‬
‫רציפה ו־ ‪ Φ0‬אי שלילית ואינטגרבילית‪ ,‬קיים ‪ ξ‬כך ש־‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫ˆ‬
‫‬
‫)‪Φ0 (x)dx = F (ξ) Φ(b) − Φ(a‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫)‪F (x)Φ0 (x)dx = F (ξ‬‬
‫‪a‬‬
‫לפי המשפט היסודי‪ ,‬שהרי ‪ Φ‬גזירה ברציפות‪ .‬לכן‪,‬‬
‫‪35‬‬
‫‪´t‬‬
‫= )‪ .F (t‬כיוון ש־ ‪F‬‬
‫‪a‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪F (x)Φ0 (x‬‬
‫‪F (x)Φ(x)|ba −‬‬
‫=‬
‫‪f (x)Φ(x)dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‬
‫ˆ‬
‫‪a‬‬
‫)‪F (b)Φ(b) − F (a)Φ(a) − F (ξ) Φ(b) − Φ(a‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪= Φ(a) F (ξ) − F (a) + Φ(b) F (b) − F (ξ‬‬
‫‪ˆ ξ‬‬
‫‪ˆ b‬‬
‫)‪= Φ(a‬‬
‫)‪f (x)dx + Φ(b‬‬
‫‪f (x)dx‬‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪ξ‬‬
‫כפי שרצינו‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.49‬מעתה והלאה‪ ,‬נאמר ש־ ‪ F‬קדומה של ‪ f‬בקטע ‪ I‬אם ‪ F 0 = f‬בקטע‪.‬‬
‫‪´x‬‬
‫הערה ‪ 2.50‬אם ‪ f‬רציפה ב־ ]‪ [a, b‬ו־ ‪ ,F (x) := a f (t)dt‬אז לכל ]‪,c ∈ [a, b‬‬
‫‪a‬‬
‫ˆ‬
‫)‪f (t)dt + F (x‬‬
‫‪x‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪f (t)dt‬‬
‫‪c‬‬
‫=‪G(x) :‬‬
‫‪c‬‬
‫כלומר‪ G ,‬היא הזזה קבועה של ‪ .F‬להיפך‪ ,‬אם )‪ G0 (x) = F 0 (x) = f (x‬אז הרי‬
‫‪ G = F + C‬כאשר ‪ C‬קבוע‪ ,‬ואז כמובן‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫= )‪G(b) − G(a) = (F (b) + C) − (F (a) + C)) = F (b) − F (a‬‬
‫‪f (x)dx‬‬
‫‪a‬‬
‫כלומר‪ ,‬חישוב אינטגרל מסוים לא תלוי בפונקציה הקדומה שבחרנו‪.‬‬
‫‪2.5‬‬
‫האינטגרל הלא מסוים‬
‫´‬
‫הגדרה ‪ 2.51‬האינטגרל הלא מסוים של ‪ f‬הוא הקבוצה } ‪. f (x)dx = {F : F 0 = f‬‬
‫הערה ‪ 2.52‬בספרים לעתים קרובות מציגים את הקבוצה הזאת בתור ‪ F + C‬כאשר ‪ C‬קבוע‪,‬‬
‫וזה אכן נכון כאשר ‪ f‬רציפה‪ ,‬כי שתי קדומות נבדלות רק בקבוע‪ .‬כשלא´מציינים את התחום‬
‫ו־ ‪ f‬לא רציפה בכל ‪ ,R‬זה עשוי לגרום לבעיות‪ .‬למשל‪ x1 dx = ln x ,‬רק כאשר ‪.x > 0‬‬
‫כלומר‪ ,‬בשביל ‪ x < 0‬זה בעצם )‪ .ln(−x‬הדבר המדויק ביותר יהיה‬
‫‪0<x‬‬
‫‪x<0‬‬
‫‪ln x + C1‬‬
‫‪ln(−x) + C2‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫ˆ‬
‫טענה ‪) 2.53‬ללא הוכחה(‬
‫ˆ‬
‫‪f‬‬
‫ˆ‬
‫‪kf = k‬‬
‫ˆ‬
‫‪g‬‬
‫‪36‬‬
‫ˆ‬
‫‪f+‬‬
‫ˆ‬
‫= )‪(f + g‬‬
‫‪2.5.1‬‬
‫אינטגרציה לפי הצבה‬
‫רוצים לחשב אינטגרלים מהצורה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫‪ex 2xdx‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪e‬‬
‫=‬
‫‪+C‬‬
‫=‬
‫‪esin x + C‬‬
‫ˆ‬
‫‪esin x cos xdx‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪eln x dx‬‬
‫‪x‬‬
‫√ ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪2 e x √ dx‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪+C‬‬
‫=‬
‫‪+C‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫√‬
‫‪2e‬‬
‫המשותף לכל המקרים האלה הוא שהם מהצורה‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪f (g(x))g 0 (x)dx‬‬
‫וכעת אם חישבנו ‪f (t)dt‬‬
‫´‬
‫= ‪ F (t) + C‬אז כמובן מתקיים‬
‫ˆ‬
‫‪f (g(x))g 0 (x)dx‬‬
‫= ‪F (g(x)) + C‬‬
‫שהרי‪,‬‬
‫))‪dF (g(x‬‬
‫)‪= F 0 (g(x))g 0 (x) = f (g(x))g 0 (x‬‬
‫‪dx‬‬
‫כלומר‪ ,‬כדי למצוא פונקציה קדומה ל־ )‪ f (g(t))g 0 (t‬די למצוא פונקציה קדומה ל־ )‪.f (x‬‬
‫משפט ‪) 2.54‬אינטגרציה לפי הצבה עבור האינטגרל המסוים( תהי ]‪ g ∈ C 1 [c, d‬ו־ ∈ ‪f‬‬
‫‬
‫]‪) C 0 g [c, d‬תמונת ‪ g‬היא כמובן קטע סגור וחסום(‪ .‬בתנאים אלה‪(f ◦ g) · g 0 ,‬‬
‫אינטגרבילית בקטע ]‪ [c, d‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫ˆ‬
‫‪f (g(t))g 0 (t)dt‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪f (x)dx‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫כאשר )‪.a = g(c), b = g(d‬‬
‫הוכחה‪ f ◦ g :‬רציפה ב־ ]‪ [c, d‬וגם ‪ g 0‬רציפה בו‪ ,‬ולכן ‪ f ◦ g, g 0‬אינטגרביליות ב־ ]‪ [c, d‬וכן‬
‫‪ (f ◦ g) · g 0‬אינטגרבילית בו‪ .‬על כן‪ ,‬שני האינטגרלים מהמשפט קיימים ונותר רק להראות‬
‫שוויון ביניהם‪.‬‬
‫‪37‬‬
‫‪´u‬‬
‫תהי ‪ F ,F (u) = a f (x)dx‬רציפה וגזירה ב־ ]‪ [a, b‬ועל כן קדומה של ‪ f‬ומתקיים‬
‫‪ .F 0 = f‬כעת לפי כלל השרשרת‪,‬‬
‫‪(F ◦ g)0 = (F 0 ◦ g) · g 0 = (f ◦ g) · g 0‬‬
‫נשים לב שזוהי פונקציה רציפה‪ ,‬שהרי ‪ f ◦ g‬רציפה ו־ ‪ g 0‬רציפה‪ .‬לכן ‪ F ◦ g‬קדומה של‬
‫‪ .(f ◦ g) · g 0‬כעת לפי המשפט היסודי‪,‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪d‬‬
‫ˆ‬
‫= )‪f (g(t))g 0 (t)dt = (F ◦ g)|dc = F (g(d)) − F (g(c)) = F (b) − F (a‬‬
‫‪f (x)dx‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫כאשר המעבר האחרון הוא שוב לפי המשפט היסודי‪ ,‬כי ‪ F‬קדומה של ‪.f‬‬
‫נראה כמה דוגמאות‪:‬‬
‫´‬
‫‪1‬‬
‫‪ . √1−x‬אנחנו יודעים מראש שהקדומה היא ‪ ,arcsin x‬אבל רוצים‬
‫‪dx‬‬
‫‪ .1‬נמצא את‬
‫‪2‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫לעשות זאת באמצעות הצבה‪ .‬ובכן הפונקציה ‪ 1 − x‬מייצגת את החצי העליון של מעגל‬
‫היחידה )זו האינטואיציה שלנו(‪ .‬אם נציב ‪ x = g(t) = cos t‬ואז כמובן ‪ g 0 (t) = − sin t‬אז‬
‫לפי ההצבה‪,‬‬
‫ˆ‬
‫‪−1dt = −t + C‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪(− sin t)dt‬‬
‫‪1 − cos2 t‬‬
‫ˆ‬
‫√‬
‫כעת אם ‪ x = cos t‬אז כמובן ‪ t = arccos x‬ולכן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx = − arccos x + C‬‬
‫‪1 − x2‬‬
‫ˆ‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪ (arccos x)0 = − √1−x‬ולכן ‪.(arccos x+arcsin x)0 = 0‬‬
‫התוצאה אולי מפתיעה‪ ,‬אבל‬
‫‪2‬‬
‫כלומר‪ ,‬הפונקציות נבדלות בקבוע ועל כן התוצאה שקיבלנו אכן נכונה‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.55‬ההצבה צריכה להיות הפיכה )במקרה האחרון‪(x = cos t ⇐⇒ t = arccos x ,‬‬
‫ובדרך כלל זה מכריח אותנו להתמקד בקטע מסוים‪ .‬למשל במקרה √האחרון‪arccos x ,‬‬
‫מוגדרת ב־ )‪ (0, π‬שם ‪ sin‬חיובית‪ ,‬ולכן כשהוצאנו את השורש מ־ ‪ sin2 t‬קיבלנו ‪ sin t‬ולא‬
‫‪.− sin t‬‬
‫√´‬
‫‪ .‬כאן נציב ‪ x = g(t) = cos t‬ו־ ‪g 0 (t) = − sin t‬‬
‫‪ .2‬דוגמא אחרת‪ :‬נחשב ‪1 − x2‬‬
‫כמו קודם‪ ,‬וכעת‪:‬‬
‫‪ˆ p‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪1 − cos2 t(− sin t)dt = − sin2 t dt‬‬
‫ניזכר ש־ ‪ cos 2t = cos2 t − sin2 t‬ולכן‬
‫‪1−cos 2t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪38‬‬
‫= ‪ .sin2 t‬לכן נמשיך‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1 − cos 2t‬‬
‫‪dt = −‬‬
‫‪1dt − cos 2t dt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫=‬
‫´‬
‫וכעת המשקל נופל על חישוב ‪ . cos 2t dt‬נציב ‪ u = 2t‬ואז‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sin u + C‬‬
‫‪2‬‬
‫וכמובן מכאן ‪sin 2t + C‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪cos u du‬‬
‫´‬
‫= ‪cos 2t dt‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫כצפוי‪ .‬זה מאפשר לנו לחזור אחורה‪:‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t − sin 2t + C = [sin t cos t − t] + C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 − cos2 t = −‬‬
‫‪ˆ p‬‬
‫וכעת עלינו לחזור לאינטגרל המקורי במונחי ‪:x‬‬
‫‪ˆ p‬‬
‫‪1 p‬‬
‫‪1 − x2 dx = [x 1 − x2 − arccos x] + C‬‬
‫‪2‬‬
‫שכן ‪ ,x = cos t ,t = arccos x‬ו־ ‪1 − x2‬‬
‫את ‪ − arccos x‬ב־ ‪.arcsin x‬‬
‫ניתן לתאר את המסלול כך‪:‬‬
‫√‬
‫= ‪ .sin t‬אפשר גם כאן כמו שראינו‪ ,‬להחליף‬
‫ˆ‬
‫‪F (g(t)) + C‬‬
‫‪f (g(t))g 0 (t)dt =4‬‬
‫‪↑3‬‬
‫‪F (x) + C‬‬
‫‪↓1‬‬
‫‪=2‬‬
‫ˆ‬
‫‪f (x)dx‬‬
‫כלומר‪ ,‬תחילה הופכים את הבעיה לבעיה פשוטה יותר באמצעות הצבה‪ ,‬מחשבים את‬
‫האינטגרל הלא מסוים לאחר ההצבה‪ ,‬ומבצעים הצבה הפוכה כדי לחזור לאינטגרל הלא‬
‫מסוים המקורי‪.‬‬
‫´‬
‫לעשות את הדרך ההפוכה–לחשב ‪ f (x)dx‬ע"י הצבת )‪ x = g(t‬וחישוב‬
‫אפשר גם ´‬
‫‪ . f (g(t))g 0 (t)dt‬כלומר‪,‬‬
‫ˆ‬
‫‪H(g −1 (x)) + C‬‬
‫‪=4‬‬
‫‪↑3‬‬
‫‪H(t) + C‬‬
‫‪f (x)dx‬‬
‫‪↓1‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪39‬‬
‫ˆ‬
‫‪0‬‬
‫‪f (g(t))g (t)dt‬‬
‫קל לבדוק זאת‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫))‪H(g −1 (x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪= H 0 (g −1 (x))(g −1 (x))0‬‬
‫‪1‬‬
‫))‪g 0 (g −1 (x‬‬
‫‪1‬‬
‫))‪g 0 (g −1 (x‬‬
‫))‪= H 0 (g −1 (x‬‬
‫))‪f (g(g −1 (x)))g 0 (g −1 (x‬‬
‫=‬
‫)‪= f (x‬‬
‫כפי שרצינו‪.‬‬
‫‪2.5.2‬‬
‫אינטגרציה לפי חלקים‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫אנו יודעים כמובן ש־ ‪ (f g) = f g + f g‬ולכן ‪ .f g = (f g) − f g‬לכן‪,‬‬
‫ˆ‬
‫‪f g0‬‬
‫ˆ‬
‫‪f g0 = f g −‬‬
‫ˆ‬
‫‪(f g)0 −‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪f 0g‬‬
‫משפט ‪ 2.56‬יהיו ]‪ .f, g ∈ C 1 [a, b‬אזי‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫‪f (x)g 0 (x)dx‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫‪−‬‬
‫‪f (x)g(x)|ba‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪f (x)g(x)dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‪ (f g)0 , f 0 g, f g 0 :‬כולן רציפות ב־ ]‪ [a, b‬ולכן אינטגרביליות שם‪ .‬כמו כן‪ f g ,‬קדומה‬
‫של ‪ (f g)0‬בקטע‪ ,‬ולכן‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪(f g)0 (x)dx = (f g)(x)|ba‬‬
‫‪a‬‬
‫לפי המשפט היסודי‪ .‬מצד שני‪ ,‬מכלל הגזירה‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪f (x)g 0 (x)dx‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪f 0 (x)g(x)dx+‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‬
‫= ‪f 0 (x)g(x)+f (x)g 0 (x) dx‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪(f g)0 (x)dx‬‬
‫‪a‬‬
‫כעת מהעברת אגפים מתקבל המשפט‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬הדוגמא הבסיסית ביותר‪:‬‬
‫‪40‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪a‬‬
ˆ
ˆ
ex x dx = ex x −
ex 1 dx = ex x − ex + C
,‫ להיפך‬.2
ˆ
x ex dx =
x2 x
e −
2
ˆ
x2 x
e dx
2
‫ אנחנו יודעים‬,‫ אבל היות ופתרנו את הבעיה הקודמת‬,‫ זה לא הקל עלינו בכלל‬,‫לכאורה‬
´ 2
. x2 ex dx ‫עכשיו גם את‬
.3
ˆ
ˆ
x
e sin x dx
x
ex cos x dx
ˆ
= ex sin x − [ex cos x − ex (− sin x)dx]
ˆ
x
x
= e sin x − e cos x − ex sin x dx
= e sin x −
:‫ וכעת קיבלנו‬,‫השתמשנו פעמיים באינטגרציה לפי חלקים‬
ˆ
ex sin x dx = ex sin x − ex cos x + C
2
.‫ומכאן האינטגרל‬
.4
ˆ
ˆ
2
sin t dt
ˆ
sin t sin t dt = − cos t sin t − − cos t cos t dt
ˆ
ˆ
= − cos t sin t + cos2 t dt = − cos t sin t + (1 − sin2 t)dt
ˆ
ˆ
= − cos t sin t + 1dt − sin2 t dt
=
,‫ומכאן שוב כמו קודם‬
ˆ
2
sin2 t dt = − cos t sin t + t + C
41
‫ומכאן האינטגרל‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x dx = x ln x − x + C‬‬
‫‪x‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪1 ln x dx = x ln x −‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪ln x dx‬‬
‫‪ .6‬בכלל‪ ,‬אפשר לעשות טריקים נחמדים עם פונקציות הפוכות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1 − x2‬‬
‫ˆ‬
‫√‪x‬‬
‫ˆ‬
‫‪1 arcsin x dx = x arcsin x −‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪arcsin x dx‬‬
‫כעת נשתמש באינטגרציה לפי הצבה עם ‪ t = 1 − x2‬ונקבל‪:‬‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪√ dt = −2 t + C‬‬
‫‪2 t‬‬
‫ˆ‬
‫‪−‬‬
‫וכאשר חוזרים אחורה‪,‬‬
‫‪p‬‬
‫‪x‬‬
‫‪dx = −2 1 − x2 + C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1−x‬‬
‫ˆ‬
‫√‬
‫´‬
‫וזה נותן את ‪. arcsin x dx‬‬
‫‪2.5.3‬‬
‫על האינטגרל הלא מסוים ופונקציות קדומות‬
‫הגדרה ‪ 2.57‬תהי ]‪ f ∈ R[a, b‬ו־ ]‪ .c ∈ [a, b‬מעתה ואילך נאמר ש־ ‪f (t)dt‬‬
‫תיקרא אינטגרל לא מסוים של ‪ f‬בקטע ]‪.[a, b‬‬
‫‪´x‬‬
‫‪c‬‬
‫=‪Fc (x) :‬‬
‫הערה ‪ 2.58‬עד כה בדרך כלל השתמשנו ב־ ‪.c = a‬‬
‫נשים לב לכמה עובדות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫ˆ‬
‫‪f‬‬
‫‪c‬‬
‫ˆ‬
‫‪f+‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫ˆ‬
‫=‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫= )‪Fc (x‬‬
‫‪c‬‬
‫כלומר אם נסמן ‪ F = Fa‬אז כל האינטגרלים הלא מסוימים הם אותה ‪ F‬בהזזה של‬
‫קבוע כלשהו‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬אם ‪ f‬רציפה אז ‪ F‬גם קדומה של ‪ f‬בקטע‪ .‬למשל‪ ,‬אם ‪ f ≡ 1‬אז‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫ˆ‬
‫)‪f + (x − a‬‬
‫= )‪Fc (x‬‬
‫‪c‬‬
‫‪42‬‬
‫‪´c‬‬
‫כמובן ‪ a f‬הוא לכל הפחות ‪ a−b‬ולכל היותר ‪ .0‬כלומר‪ ,‬הקבוע המבדיל בין האינטגרלים‬
‫הלא מסוימים לא יכול להיות שרירותי‪ ,‬אלא הוא תלוי בקטע ובפונקציה‪.‬‬
‫להבדיל‪ ,‬פונקציות קדומות יכולות להיבדל בקבוע שרירותי‪ ,‬שהרי הוא ייעלם בגזירה‪.‬‬
‫אם נחזור למשפט היסודי‪ ,‬אז הרי אם ‪ f‬רציפה הפונקציה ‪ Fa‬מקיימת ‪ .Fa0 = f‬אבל‬
‫אותו הדבר נכון לכל אינטגרל לא מסוים בקטע‪ ,‬כי הקבוע נעלם בגזירה‪ .‬אבל באופן כללי‪,‬‬
‫‪´b‬‬
‫החלק של המשפט לגבי )‪ a f = G(b) − G(a‬כאשר ‪ G0 = f‬נכון לכל פונקציה קדומה‪,‬‬
‫ולאו דווקא לפונקציה קדומה שהיא גם אינטגרל לא מסוים‪.‬‬
‫כעת אפשר לעשות חזרה קצרה לפולינום טיילור‪:‬‬
‫משפט ‪) 2.59‬צורת האינטגרל של שארית פולינום טיילור( אם ]‪ f ∈ C n [a, b‬ו־ ∈ )‪f (n+1‬‬
‫]‪ R[a, x‬אז מתקיים‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪x‬‬
‫)‪f (n+1) (t‬‬
‫‪(x − t)n dt‬‬
‫!‪n‬‬
‫= )‪Rn (x‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‪ :‬בהוכחה של משפט טיילור קיבלנו ש־ )‪ Rn (x, t) = S(t‬מקיימת‪:‬‬
‫)‪−f (n+1) (t‬‬
‫‪(x − t)n‬‬
‫!‪n‬‬
‫= )‪S 0 (t‬‬
‫כלומר ‪ S‬קדומה של הביטוי מימין‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫)‪f (n+1) (t‬‬
‫‪(x − t)n dt‬‬
‫!‪n‬‬
‫ˆ‬
‫‪x‬‬
‫‪S(x) − S(a) = −‬‬
‫‪a‬‬
‫כעת נשים לב ש־ ‪ S(x) = Rn (x, x) = 0‬ו־ )‪ S(a) = Rn (x, a) = Rn (x‬השארית‬
‫המקורית שאותה אנו מחפשים‪ .‬מכאן הטענה‪.‬‬
‫‪2.5.4‬‬
‫דוגמאות נוספות‬
‫‪ .1‬ניתן דוגמא לפונקציה גזירה שנגזרתה לא אינטגרבילית‪:‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x2 sin x12‬‬
‫(‬
‫= )‪f (x‬‬
‫זוהי פונקציה גזירה בכל הישר‪ ,‬ונגזרתה‪:‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫(‬
‫‪0‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪2x sin x12 −‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪43‬‬
‫וכאן הנגזרת לא חסומה בסביבת ‪ 0‬ולכן כמובן לא אינטגרבילית בקטע שמכיל את ‪.0‬‬
‫‪ .2‬ניתן דוגמא לפונקציה אינטגרבילית שאין לה קדומה‪:‬‬
‫ניקח את הפונקציה ]‪ .f (x) = x − [x‬בקטע כמו ]‪ [0.7, 1.3‬אין לה קדומה‪ .‬אם הייתה‬
‫לה קדומה ‪ ,F‬זה אומר שהנגזרת של ‪) F‬שהיא ‪ (f‬בקטע ]‪ [0.7, 1.3‬מדלגת על הערך ‪0.5‬‬
‫אבל מקבלת את הערכים ‪ 0.7‬ו־ ‪ ,0.3‬בסתירה למשפט דרבו )משפט ערך הביניים לנגזרות(‪.‬‬
‫בציור‪ ,‬הפונקציה מוצגת בכחול והפונקציה המצטברת מוצגת בסגול‪ ,‬והיא בעלת "שפיץ" של‬
‫אי־גזירות‪.‬‬
‫באופן דומה‪ ,‬גם לפונקציית רימן אין קדומה למרות שהיא אינטגרבילית‪ ,‬מאחר שהפונקציה‬
‫מקבלת רק ערכים רציונאליים )למעשה‪ ,‬רק ערכים מהצורה ‪ n1‬ל־ ‪ (n ∈ N‬ולכן אינה בעלת‬
‫תכונת ערך הביניים‪.‬‬
‫לפונקציית רימן יש פונקציה מצטברת‪ ,‬כלומר אינטגרל לא מסוים‪F (x) = ,‬‬
‫מצד שני‪´ x,‬‬
‫‪ , a R(t)dt ≡ 0‬וכמובן ‪ F 0 ≡ 0‬כלומר האינטגרל הלא מסוים אינו פונקציה קדומה‪ .‬למרות‬
‫שהאינטגרל הלא מסוים הוא רציף ואף גזיר‪ ,‬הוא אינו פונקציה קדומה‪.‬‬
‫תזכורת‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1 − y2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 + z2‬‬
‫‪p‬‬
‫)‪ln(y + y 2 + 1‬‬
‫‪1 1+z‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪2 1−z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y +1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 − z2‬‬
‫כעת כמה דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .3‬ברור ש־ ‪= arctan x + C‬‬
‫ובכן‪ ,‬ראשית נעשה השלמה לריבוע‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2 +1 dx‬‬
‫´‬
‫=‬
‫)‪arcsin0 (y‬‬
‫=‬
‫)‪arctan0 (z‬‬
‫=‬
‫)‪arcsinh(y‬‬
‫=‬
‫)‪arctanh(z‬‬
‫=‬
‫)‪arcsinh0 (y‬‬
‫=‬
‫)‪arctanh0 (z‬‬
‫‪ ,‬אבל מה לגבי‬
‫‪44‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2 −2x+5 dx‬‬
‫´‬
‫?‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪(x − 1)2 + 4‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x − 2x + 5‬‬
‫ˆ‬
‫כעת נציב ‪ t = x − 1‬ועברנו לבעיה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+1‬‬
‫ˆ‬
‫‪( 2t )2‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t +4‬‬
‫‪4‬‬
‫ושוב נציב ‪ u = 12 t‬ועברנו לבעיה המוכרת‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪du = arctan u + C‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫‪u2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪2du‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u +1‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫ואחרי שחוזרים אחורה מקבלים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx = arctan‬‬
‫‪+C‬‬
‫‪− 2x + 5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫´‬
‫‪1‬‬
‫‪ .4‬נוסיף גם שורש–מהו ‪dx‬‬
‫‪x2 −2x+5‬‬
‫´‬
‫‪1‬‬
‫‪ t = x − 1‬ונקבל ‪ . 2 √t21+4 dt‬כעת נכניס גם‬
‫´‬
‫‪ . 21 2 √u12 +1 du‬מכאן כבר אפשר היה להשתמש‬
‫‪2‬‬
‫√‬
‫ˆ‬
‫‪x2‬‬
‫? תחילה נעשה השלמה לריבוע‪ ,‬נציב כמו קודם‬
‫√‬
‫‪√4‬‬
‫‪4‬‬
‫לשורש עם הצבת ‪ u‬כמו קודם ונקבל‬
‫ישירות בנגזרת של ‪ ,arcsinh‬אבל במקום‬
‫זה נמשיך ונציב ‪ ,u = tan θ‬ואז ‪ du = (1 + tan θ)dθ‬ומקבלים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cos θdθ‬‬
‫‪1 − sin2 θ‬‬
‫ˆ‬
‫‪cos θ‬‬
‫= ‪dθ‬‬
‫‪cos2 θ‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dθ‬‬
‫‪cos θ‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dθ‬‬
‫‪cos2 θ‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cos2 θ‬‬
‫‪q‬‬
‫כאשר במעבר הראשון )הוצאת השורש( השתמשנו בכך שההצבה מלכתחילה מניחה ש־‬
‫‪ tan‬הפיכה ולכן אנחנו בקטע שבו ‪ cos‬חיובי ממש‪ .‬בביטוי שקיבלנו לבסוף אפשר שוב להציב‬
‫‪ z = sin θ‬ולקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1+z‬‬
‫‪1‬‬
‫| ‪dz = ln‬‬
‫‪|+C‬‬
‫‪1 − z2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1−z‬‬
‫ˆ‬
‫ועכשיו צריך ללכת חזרה‪:‬‬
‫‪1 1 + sin θ‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪+C‬‬
‫‪2 1 − sin θ‬‬
‫‪1 1 + sin arctan u‬‬
‫‪ln‬‬
‫= ‪+C‬‬
‫‪2 1 − sin arctan u‬‬
‫‪45‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dθ‬‬
‫‪cos θ‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫= ‪du‬‬
‫‪u2 + 1‬‬
‫עכשיו צריך לשים לב ש־‬
‫‪√ α‬‬
‫‪α2 +1‬‬
‫= ‪ sin arctan α‬ולכן אפשר לפשט עוד‪:‬‬
‫√‬
‫‪u2 + 1 + u‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+C‬‬
‫√ ‪+ C = ln‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u2 + 1 − u‬‬
‫‪√ u‬‬
‫‪u2 +1‬‬
‫‪√ u‬‬
‫‪u2 +1‬‬
‫‪1 1+‬‬
‫‪= ln‬‬
‫‪2 1−‬‬
‫‪ u = x−1‬וקיבלנו את התוצאה הסופית‪.‬‬
‫כעת מציבים ‪2‬‬
‫בדרך אחרת‪ ,‬אפשר להסתכל על ‪ x2 −y 2 = 1‬כמשוואה של היפרבולה‪ ,‬ואז ‪,x = y +1‬‬
‫ולפי הפרמטר ‪ .x = cosh t, y = sinh t‬במקרה שלנו אם מציבים ‪ u = sinh t‬אז עוברים‬
‫לבעיה הקלה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪cosh t dt = t + C‬‬
‫‪cosh t‬‬
‫וחוזרים דרך ‪ t = arcsin u‬ומקבלים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪du = arcsinh(u) + C‬‬
‫‪u2 + 1‬‬
‫ˆ‬
‫√‬
‫כפי שידענו כבר מראש‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫)‪(n − 1) sinn−2 x cos2 x + sinn−1 x(− sin x‬‬
‫=‬
‫‪(n − 1) sinn−2 x − (n − 1) sinn x − sinn x‬‬
‫=‬
‫‪(sinn−1 x cos x)0‬‬
‫‪(n − 1) sinn−2 x − n sinn x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪sinn−2 x − (sinn−1 x cos x)0‬‬
‫= ‪sinn x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫=‬
‫לכן‪,‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(sinn−1 x cos x)|02‬‬
‫‪n‬‬
‫‪sinn−2 x dx −‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫‪n−1‬‬
‫= ‪sin x dx‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0‬‬
‫זה מאפשר לנו לקבל נוסחת נסיגה‪:‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪In−2‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪In‬‬
‫‪sinn x dx‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫=‪In :‬‬
‫‪0‬‬
‫כאשר כמובן‬
‫‪46‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I1 = 1‬‬
‫= ‪I0‬‬
‫ובאופן כללי‪:‬‬
‫‪π13‬‬
‫‪2n − 1‬‬
‫···‬
‫‪224‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪24‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪1‬‬
‫···‬
‫‪35‬‬
‫‪2n + 1‬‬
‫=‬
‫‪I2n‬‬
‫=‬
‫‪I2n+1‬‬
‫היות ו־ ‪ 0 ≤ sin x ≤ 1‬בקטע ] ‪ ,[0, π2‬גם ‪ 0 ≤ sinn+1 x ≤ sin x ≤ 1‬בקטע זה‪ ,‬כלומר‬
‫‪ ,0 ≤ In+1 ≤ In ≤ 1‬ומקבלים‪:‬‬
‫‪2n + 1‬‬
‫‪I2n+1‬‬
‫‪2n‬‬
‫= ‪0 < I2n+1 ≤ I2n ≤ I2n−1‬‬
‫ולכן‬
‫‪1‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪≤1+‬‬
‫‪I2n‬‬
‫‪I2n+1‬‬
‫≤‪1‬‬
‫ולכן קיבלנו סנדוויץ'–היחס באמצע שואף ל־ ‪ .1‬ניתן לכתוב את המנה שקיבלנו בתור‪:‬‬
‫‪I2n‬‬
‫‪2n − 1 3 5‬‬
‫‪2n + 1‬‬
‫‪π 13 35‬‬
‫)‪(2n − 1)(2n + 1‬‬
‫‪π 13‬‬
‫···‬
‫()‬
‫···‬
‫( · · · ) () ( = )‬
‫‪)→1‬‬
‫( =‬
‫‪I2n+1‬‬
‫‪2 24‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪24‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪2 22 44‬‬
‫‪2n · 2n‬‬
‫ומכאן מקבלים נוסחא על שם ‪:Wallis‬‬
‫···‪2 · 2 · 4 · 4 · 6 · 6‬‬
‫‪π‬‬
‫→‬
‫···‪3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .6‬ניתן דוגמא למקרה המדגים שלא ניתן להחליף בין גבול לאינטגרל בצורה חופשית‪.‬‬
‫ראינו שהאינטגרל מתנהג כמו פונקציה רציפה על גבולות האינטגרציה‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪f (t)dt‬‬
‫‪x‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪f (t)dt‬‬
‫‪a‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x→b‬‬
‫אבל לאו דווקא ניתן להכניס את הגבול לתוך האינטגרל‪ .‬למשל‪ ,‬נתבונן במשפחת‬
‫‪´1‬‬
‫הפונקציות ‪ .fn (x) = (n + 1)xn‬לכל ‪ n‬מתקיים כאן ‪f (x)dx = xn+1 |10 = 1‬‬
‫‪0 n‬‬
‫‪47‬‬
‫‪´1‬‬
‫לפי המשפט היסודי‪ .‬כלומר‪ ,‬הסדרה )‪ ( 0 fn (x)dx‬היא קבועה ‪ 1‬ולכן גבולה ‪) 1‬כאשר‬
‫∞ → ‪ .(n‬לעומת זאת‪ ,‬אם מתבוננים בפונקציה עצמה‪ ,‬אז הרי‪:‬‬
‫(‬
‫‪∞ x=1‬‬
‫‪0 0≤x<1‬‬
‫∞→‪fn (x) −→n‬‬
‫לכן ניתן לומר ש־ ‪ .limn→∞ fn (x)|[0,1) ≡ 0‬ממשפט שראינו‪ ,‬הנקודה האחת לא‬
‫מפריעה לחישוב האינטגרל‪ ,‬ולכן‬
‫‪1‬‬
‫ˆ‬
‫‪lim fn (x)dx = 0‬‬
‫∞→‪0 n‬‬
‫קיבלנו שני ערכים שונים‪.‬‬
‫‪2.5.5‬‬
‫נוסחת סטירלינג‬
‫נרצה להעריך את !‪ ,n‬ולשם כך נעריך את !‪ log n‬שהרי זו פונקציה הפיכה על החיוביים‪ ,‬ואז‬
‫נצטרך רק לחשב !‪ .elog n‬נשים לב ש־ ‪ .log n! = log 2 + . . . + log n‬אחת הדרכים לקרב‬
‫את ‪ log‬היא באמצעות שיטת הטרפז‪ ,‬וזה יהיה קירוב מלרע )שכן הפונקציה קמורה‪ ,‬ולכן‬
‫הישר המחבר שתי נקודות ))‪ (k, log k), (k + 1, log(k + 1‬יהיה מתחת לגרף הפונקציה(‪.‬‬
‫שטח הטרפז הנכלא מתחת לגרף במקטע זה הוא ))‪ , 21 (log k + log(k + 1‬ואפשר לכתוב‪:‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪log n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪log((n − 1)!) +‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(log 1 + log 2) + (log 2 + log 3) + . . . + (log(n − 1) + log n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪log 2 + log 3 + . . . + log(n − 1) + log n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪´n‬‬
‫עכשיו נסמן ‪ An = 1 log xdx‬ו־ ‪ Tn‬את הביטוי הנ"ל‪ .‬נרצה להבין את גודל השגיאה‪,‬‬
‫‪ .An − Tn‬הטענה הבסיסית היא שאם נסמן ‪ an = An − Tn‬אז הסדרה ) ‪ (an‬מונוטונית‬
‫עולה וחסומה‪ ,‬ולכן בעלת גבול‪ ,‬ולכן ההפרשים האלה ניתנים להערכה די טובה‪.‬‬
‫נשים לב שבכל קטע ]‪ [k, k + 1‬המשיק לגרף הפונקציה באמצע הקטע נמצא מעל גרף‬
‫הפונקציה )קמירות(‪ ,‬ואילו כפי שראינו הצלע של הטרפז נמצאת מתחת לגרף‪ .‬לכן‪ ,‬בבואנו‬
‫לחשב את ‪ ,An − Tn‬הפרש זה יהיה קטן יותר מאשר ההפרש בין השטח שנמצא מתחת‬
‫למשיק לבין השטח שנמצא מתחת לצלע הטרפז‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫בציור הנ"ל‪ ,‬הקו השחור הוא גרף הפונקציה ‪ ,log‬השטח הצבוע הוא הערכת השגיאה‪,‬‬
‫הקו המקווקו באדום הוא המשיק‪ ,‬והקו המקווקו בכחול הוא צלע הטרפז העליונה‪.‬‬
‫משוואת המשיק היא‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y = log(k + ) +‬‬
‫)) ‪(x − (k +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k + 12‬‬
‫ערכי הפונקציה בנקודות הקצה הם‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k+ 12‬‬
‫‪ y(k) = log(k + 12 ) −‬ו־ = )‪y(k + 1‬‬
‫‪ .log(k + 21 ) + k+2 1‬השטח הכלוא מתחת למשיק הוא ) ‪.log(k + 12‬‬
‫‪2‬‬
‫כעת נוכל להעריך את ההפרש בין שטחי הטרפזים בקטע ]‪ [k, k + 1‬ע"י‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫])‪≤ log(k + ) − [log k + log(k + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫)‬
‫‪log(1 +‬‬
‫‪) − log(1 +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪2(k + 12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫<‬
‫‪log(1 +‬‬
‫‪) − log(1 +‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪2(k + 1‬‬
‫‪ak+1 − ak‬‬
‫כעת נתבונן בסכום‬
‫‪1‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪log − log(1 +‬‬
‫‪) < log‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ ‪(an − an−1 ) + . . . + (a2 − a1 ) = an − a1‬‬
‫כיוון שקיבלנו סכום טלסקופי‪ .‬בכל מקרה‪ ,‬קיבלנו ש־ ) ‪ (an‬חסומה‪ .‬קל לראות גם שהיא‬
‫מונוטונית שכן‬
‫‪an = (an − an−1 ) + . . . + a1‬‬
‫‪49‬‬
‫וכל ביטוי בסכום הוא חיובי‪ .‬לכן ‪ an % a‬כלשהו‪ .‬כמו כן‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪log(1 +‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪2n‬‬
‫כי ) ‪− ak‬‬
‫כעת‬
‫∞‪P‬‬
‫‪k=0 (ak+1‬‬
‫≤ ) ‪(ak+1 − ak‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪a − an‬‬
‫‪k=n‬‬
‫= ‪ a‬משיקולי טורים )גבול של סדרת הסכומים החלקיים(‪ .‬אבל‬
‫‪1‬‬
‫‪An − Tn = an =⇒ log n! = 1 − an + (n + ) log n − n‬‬
‫‪2‬‬
‫שהרי ‪log xdx = (x log x − x)|n1 = n log n − n + 1‬‬
‫בחזקת שני האגפים ונקבל‬
‫‪´n‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ .An‬עכשיו נעלה את ‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n! = e1−an nn+ 2 e−n‬‬
‫נשים לב ש־ ) ‪ (1 − an‬מונוטונית יורדת‪ ,‬ולכן ‪ αn = e1−an‬גם כן יוצרת סדרה מונוטונית‬
‫יורדת‪ .‬ובכן‪ αn & α ,‬ובגלל הרציפות של ‪ ex‬מתקיים ‪ .α = e1−a‬לכן ‪ 1 < ααn‬אבל‬
‫‪ ααn = ea−an‬ולפי ההערכה שעשינו קודם על ‪ a − an‬מקבלים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪≤1+‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪4n‬‬
‫מכאן‬
‫‪1‬‬
‫‪4n‬‬
‫‪≤1+‬‬
‫‪αn‬‬
‫‪α‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1+‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪log(1+ 2n‬‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪≤e‬‬
‫‪a−an‬‬
‫‪e‬‬
‫< ‪ 1‬ולכן‬
‫‪1‬‬
‫)‬
‫‪4n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪αnn+ 2 e−n < n! ≤ αnn+ 2 e−n (1 +‬‬
‫√זה נחמד‪ ,‬אבל ‪ α‬עדיין מרחף באוויר‪ .‬אפשר לחשב אותו מתוך נוסחת ‪ Wallis‬ולקבל‬
‫‪ ,α = 2π‬ומכאן את נוסחת סטירלינג‪:‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2.6‬‬
‫‪2πn‬‬
‫√‬
‫≈ !‪n‬‬
‫פונקציות רציונאליות‬
‫אם )‪ R(x‬פונקציה רציונאלית )מנה של פולינומים( והמונה מדרגה גבוהה מהמכנה‪ ,‬תמיד‬
‫אפשר לחלק ולקבל‪:‬‬
‫‪50‬‬
‫)‪P (x‬‬
‫)‪Q(x‬‬
‫‪R(x) = P∞ (x) +‬‬
‫כאשר ‪ .deg P < deg Q‬אם רוצים לחשב אינטגרל‪ ,‬הקושי כמובן נופל על חישוב‬
‫)‪´ P (x‬‬
‫)‪. Q(x‬‬
‫‪dx‬‬
‫כל פולינום מעל ‪ R‬אפשר לפרק לצורה‪:‬‬
‫‪P (x) = C(x − a1 )n1 · · · (x − ar )nr · (x2 + 2b1 x + c1 )m1 · · · (x2 + 2bs x + cs )ms‬‬
‫כאשר כל הפולינומים הריבועיים המופיעים כאן הם אי־פריקים‪ ,‬כלומר ‪.b2j − cj < 0‬‬
‫זה אומר שכל מנה של פולינומים אפשר לכתוב כמנה של שני ביטויים מהצורה הנ"ל‪ ,‬וכאשר‬
‫פותחים את המנה המקדמים ‪ mi , ni‬יכולים גם להיות שליליים‪.‬‬
‫יתר על כן‪ ,‬כל פונקציה רציונאלית אפשר להציג כסכום של שברים פשוטים‪ ,‬כלומר סכום‬
‫של ביטויים מהצורה‪:‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪An‬‬
‫‪(x−a) + . . . + (x−a)n‬‬
‫‪B1 x+C1‬‬
‫‪Bm x+Cm‬‬
‫‪(x2 +bx+c) + . . . + (x2 +bx+c)m‬‬
‫(‬
‫וכעת הבעיה היא בסה"כ למצוא אינטגרלים של הצורות הנ"ל‪ .‬כיוון שבמכנה אפשר‬
‫לעשות השלמה לריבוע‪ ,‬נותרנו עם הצורך לחשב את האינטגרל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪+ a2 )n‬‬
‫ˆ‬
‫‪(x2‬‬
‫=‪In :‬‬
‫ובכן נרצה לכתוב נוסחא רקורסיבית‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪+ a2 In‬‬
‫‪+ a2 )dx‬‬
‫ˆ‬
‫‪(x2‬‬
‫‪x2 + a2‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪(x2 + a2 )n‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪In−1‬‬
‫וכעת‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x dx‬‬
‫‪(x2 + a2 )n‬‬
‫ˆ‬
‫‪x2‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪(x2 + a2 )n‬‬
‫ˆ‬
‫וכעת נרצה לבצע אינטגרציה לפי חלקים‪ ,‬כאשר ‪ f 0 (x) = (x2 + a2 )n‬ו־ ‪.g(x) = x‬‬
‫ראשית נשים לב ש־‬
‫‪u−n+1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪du‬‬
‫=‬
‫‪+C‬‬
‫‪un‬‬
‫‪−u + 1‬‬
‫‪51‬‬
‫ˆ‬
‫ולכן‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪dx = 2‬‬
‫‪+C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n−1‬‬
‫) ‪+a‬‬
‫) ‪(x + a‬‬
‫‪(−n + 1) 2‬‬
‫‪(x2‬‬
‫וכעת האינטגרציה לפי חלקים נותנת‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪2 1 − n (x + a‬‬
‫‪2 1 − n (x + a2 )n−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪In−1‬‬
‫‪2 − 2n (x2 + a2 )n−1‬‬
‫‪2 − 2n‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(x + a2 )n‬‬
‫=‬
‫ˆ‬
‫=‬
‫ולכן קיבלנו פתרון לנוסחא הרקורסיבית‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪In−1 + a2 In‬‬
‫‪2 − 2n (x2 + a2 )n−1‬‬
‫‪2 − 2n‬‬
‫= ‪In−1‬‬
‫ומכאן אפשר לחלץ את ‪ In‬ולחשב את הכל ברקורסיה‪.‬‬
‫למעשה‪ ,‬ראינו סקיצה של הוכחה לכך שלכל פונקציה רציונאליות אפשר למצוא אינטגרל‬
‫בצורה אנליטית‪ .‬זה כמובן משפט קיום–למצוא שורשים של פולינום זו בעיה קשה בפני‬
‫עצמה‪ ,‬ואינה סגורה בנוסחא עבור מעלות גבוהות‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.60‬הצבות שנוח לבצע בפונקציות רציונאליות )מתוך תרגיל ‪:(8‬‬
‫אם )‪ f (x) = R(sin x, cos x‬כדאי להציב ‪.t = tan x2‬‬
‫√‬
‫אם ) ‪ f (x) = R(x, √a2 − x2‬כדאי להציב ‪ x = a sin t‬ואז את ההצבה הקודמת‪.‬‬
‫אם ) ‪ f (x) = R(x, a2 + x2‬כדאי להציב ‪ x = a tan t‬ואז את ההצבה הראשונה‪.‬‬
‫‪2.7‬‬
‫פונקציות מדרגות‬
‫הגדרה ‪ 2.61‬נאמר ש־ ‪ ϕ‬המוגדרת בקטע ]‪ [a, b‬היא פונקציית מדרגות אם קיימת חלוקה ‪P‬‬
‫של הקטע לפי הנקודות ‪ x0 , . . . , xn‬וקיימים קבועים ‪ c1 , . . . , cn‬כך ש־ ‪ϕ|(xi−1 ,xi ) ≡ ci‬‬
‫לכל ‪.i‬‬
‫כמו כן‪ ,‬נסמן ב־ ]‪ S[a, b‬את קבוצת פונקציות המדרגות בקטע ]‪ .[a, b‬הקבוצה הזאת‬
‫היא מרחב וקטורי‪ ,‬ולמעשה אפילו חוג )קומוטטיבי(‪ .‬כמו כן‪ ,‬כמובן‪ S[a, b] ⊂ R[a, b] ,‬שהרי‬
‫לכל פונקציית מדרגות מספר סופי של נקודות אי־רציפות‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.62‬תהי ]‪ .f ∈ B[a, b‬אזי לכל חלוקה ‪ P‬של ]‪ [a, b‬קיימות ]‪ ϕ, ψ ∈ S[a, b‬כך ש־‬
‫‪ ϕ ≤ f ≤ ψ‬וגם‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫= )‪U(P‬‬
‫‪ψ‬‬
‫ˆ‬
‫= )‪L(P‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪52‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר את הפונקציות כך‪:‬‬
‫} ‪Mi = sup{f (t) : xi−1 ≤ t ≤ xi‬‬
‫≡‬
‫) ‪ϕ|(xi−1 ,xi‬‬
‫} ‪mi = inf{f (t) : xi−1 ≤ t ≤ xi‬‬
‫≡‬
‫) ‪ψ|(xi−1 ,xi‬‬
‫) ‪f (xi‬‬
‫=‬
‫) ‪ϕ(xi‬‬
‫) ‪f (xi‬‬
‫=‬
‫) ‪ψ(xi‬‬
‫ואלה הפונקציות הדרושות‪.‬‬
‫משפט ‪ 2.63‬תהי ]‪ .f ∈ B[a, b‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪ f .0‬אינטגרבילית בקטע ]‪[a, b‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪ψ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫<‬
‫‪ε‬‬
‫וגם‬
‫‪ϕ‬‬
‫≤‬
‫‪f‬‬
‫≤‬
‫‪ψ‬‬
‫ש־‬
‫כך‬
‫‪ϕ,‬‬
‫‪ψ‬‬
‫∈‬
‫‪ .1‬לכל ‪ 0 < ε‬קיימות ]‪S[a, b‬‬
‫´‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ 0 < ε‬קיימות ]‪ g, h ∈ R[a, b‬כך ש־ ‪ g ≤ f ≤ h‬וגם ‪h − a g < ε‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‪ (1 ⇐ 0) :‬לפי קריטריון רימן לאינטגרביליות‪ ,‬לכל ‪ 0 < ε‬קיימת חלוקה ‪ P‬כך ש־‬
‫‪´b‬‬
‫‪ .U(P) − L(P) < ε‬לפי ההערה קיימות פונקציות מדרגות ‪ ϕ, ψ‬כך ש־ ‪,L(P) = a ϕ‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪ U(P) = a ψ‬וגם ‪ .ϕ ≤ f ≤ ψ‬לכן הטענה‪.‬‬
‫)‪ (2 ⇐ 1‬טריוויאלי כי בפרט ]‪.S[a, b] ⊂ R[a, b‬‬
‫‪´b‬‬
‫)‪ (0 ⇐ 2‬אנו יודעים ש־ })‪ a h = inf{U(h, Q‬על כל החלוקות ‪ .Q‬לכן בהינתן ‪0 < ε‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫קיימת חלוקה ‪ Ph‬כך ש־ ‪ .U(h, Ph ) < a h + ε‬בצורה אנלוגית‪g = sup{L(g, P)} ,‬‬
‫‪a‬‬
‫‪´b‬‬
‫ולכן בהינתן ‪ 0 < ε‬קיימת חלוקה ‪ Pg‬כך ש־ ‪.L(g, Pg ) > a g − ε‬‬
‫עכשיו נגדיר ‪ ,P = Pg ∪ Ph‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫< ) ‪U(h, P) ≤ U(h, Ph‬‬
‫‪h+ε‬‬
‫;‬
‫ˆ‬
‫)‪g − ε < L(g, Pg ) ≤ L(g, P‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫כיוון ש־ ‪ g ≤ f ≤ h‬ובפרט ‪ g ≤ h‬מתקיים גם‪:‬‬
‫)‪L(g, P) ≤ L(f, P) ≤ U(f, P) ≤ U(h, P‬‬
‫ולכן‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪h−‬‬
‫‪g + 2ε < 3ε‬‬
‫‪a‬‬
‫< )‪U(f, P) − L(f, P‬‬
‫‪a‬‬
‫וקיבלנו קבועה כפולה של ‪ ε‬ולכן סיימנו‪) .‬עלינו לבחור את ‪ g, h‬בהתאם‪(.‬‬
‫‪53‬‬
‫הערה ‪ 2.64‬באופן דומה‪ ,‬ניתן לחסום כל פונקציה אינטגרבילית ע"י שתי פונקציות רציפות‬
‫שהפרש האינטגרלים שלהן יהיה > ‪ .ε‬כדי לעשות זאת‪ ,‬יש לקחת את פונקציות המדרגות‬
‫שחוסמות את הפונקציה )לפי המשפט( ולתקן את נקודות אי־הרציפות שבהן יש אסימפטוטה‬
‫אנכית לידי קו ישר עם שיפוע תלול אך סופי‪.‬‬
‫אינטגרלים לא אמיתיים‬
‫‪2.8‬‬
‫עד כה הדיון היה תמיד על פונקציות חסומות בקטע חסום וסגור‪ .‬כעת נרצה להתבונן‬
‫באינטגרל על קטעים לא חסומים ועל פונקציות לא חסומות‪.‬‬
‫‪2.8.1‬‬
‫אינטגרלים בקטעים לא חסומים‬
‫הגדרה ‪ 2.65‬תהי ‪ f‬מוגדרת בקטע )∞ ‪ .I = [a,‬נניח ש־ ‪ f‬אינטגרבילית בכל קטע מהצורה‬
‫‪´b‬‬
‫]‪ .[a, b‬אז נאמר ש־ ‪ f‬אינטגרבילית ב־ ‪ I‬אם קיים ‪ limb→∞ a f (x)dx‬ובמקרה זה נסמן‬
‫∞´‬
‫את הגבול באמצעות ‪ a f (x)dx‬ונאמר שהאינטגרל מתכנס‪ .‬אחרת‪ ,‬נאמר שהאינטגרל‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫נראה כמה דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬נתבונן ב־‬
‫‪1‬‬
‫‪1+x2 dx‬‬
‫∞´‬
‫‪ . 0‬בכל קטע סופי‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx = arctan x|b0 = arctan b‬‬
‫‪1 + x2‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪0‬‬
‫לכן‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪dx = lim arctan b‬‬
‫∞→‪b‬‬
‫‪1 + x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪54‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx = lim‬‬
‫∞→‪b‬‬
‫‪1 + x2‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫‪0‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪e−x dx = 0 − (−1) = 1‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫‪e−x dx = lim‬‬
‫‪0‬‬
‫∞→‪b‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪1‬‬
‫∞ = ‪dx = lim ln b‬‬
‫∞→‪b‬‬
‫‪x‬‬
‫ˆ‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫כלומר זהו אינטגרל שלא מתכנס‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫‪sin x dx = lim cos b − cos 0‬‬
‫∞→‪b‬‬
‫‪0‬‬
‫הגבול הזה לא קיים‪ ,‬ולכן האינטגרל לא מתכנס‪.‬‬
‫הערה‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪) 2.66‬תכונות האינטגרל הלא אמיתי( יהיו ‪ f, g‬אינטגרביליות בקטע )∞ ‪ .[a,‬אזי‪:‬‬
‫∞´‬
‫אם ‪ 0 ≤ f‬אז ‪0 ≤ a f‬‬
‫∞´‬
‫∞´‬
‫אם ‪ f ≤ g‬אז ‪f ≤ a g‬‬
‫‪a‬‬
‫∞´‬
‫∞´‬
‫∞´‬
‫)‪f + a g = a (f + g‬‬
‫‪a‬‬
‫∞´‬
‫∞´‬
‫‪k a f = a kf‬‬
‫∞´‬
‫‪´c‬‬
‫∞´‬
‫לכל ‪ ,a < c < ∞ ,c ∈ R‬מתקיים ‪f = a f + c f‬‬
‫‪a‬‬
‫כל התכונות האלה נובעות מתכונות שהוכחנו קודם על אינטגרלים אמיתיים )ליניאריות‪,‬‬
‫אדיטיביות( ומתכונות הגבול )חיוביות‪ ,‬מונוטוניות(‪.‬‬
‫‪) 2.67‬קריטריון קושי( תהי ‪ f‬אינטגרבילית בכל קטע ]‪ [a, b‬כאשר ‪ a‬קבוע‪.a < b ,‬‬
‫משפט ∞ ´‬
‫אזי ‪ a f‬מתכנס אםם‬
‫ˆ‬
‫‪b0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫| ⇒= ‪(∀ε > 0)(∃B ∈ R)(∀b, b ∈ R)(B < b < b‬‬
‫)‪f | < ε‬‬
‫‪b‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר ‪f (t)dt‬‬
‫לתנאי‬
‫‪´x‬‬
‫‪a‬‬
‫=‪ .F (x) :‬עלינו להראות את השקילות של קיום גבול )‪limx→∞ F (x‬‬
‫)‪(∀ε > 0)(∃B ∈ R)(∀b, b0 ∈ R)(B < b < b0 =⇒ |F (b0 ) − F (b)| < ε‬‬
‫ותנאים אלה שקולים לפי תנאי קושי לקיום גבול של פונקציה כאשר ∞ → ‪.x‬‬
‫כעת נראה עוד קריטריונים להתכנסות‪:‬‬
‫‪55‬‬
‫משפט ‪) 2.68‬קריטריון ההשוואה( יהיו ‪ f, g‬אינטגרביליות בכל תת קטע סגור וחסום מהקטע‬
‫)∞ ‪ .I = [a,‬נניח שקיים ‪ 0 < k ∈ R‬כך ש־ )‪ 0 ≤ f (x) ≤ kg(x‬לכל ‪ .x ∈ I‬אזי‪:‬‬
‫∞´‬
‫∞´‬
‫‪ .1‬אם ‪ a g‬מתכנס‪ ,‬אז ‪ a f‬מתכנס‬
‫∞´‬
‫∞´‬
‫‪ .2‬אם ‪ a f‬מתבדר‪ ,‬אז ‪ a g‬מתבדר‬
‫‪´b‬‬
‫∞´‬
‫הוכחה‪ :‬במקרה שלנו‪ ,‬אם ‪ a f‬מתכנס אז הפונקציה ‪ F (b) = a f‬עולה‪ ,‬שהרי ‪ f‬חיובית‪.‬‬
‫ההערה‪ ,‬נוכיח כעת‪:‬‬
‫אםם הפונקציה ‪ F‬חסומה‪ .‬לפי∞ ´‬
‫לכן האינטגרל מתכנס∞ ´‬
‫תחילה )‪–(1‬אם ‪ a g‬מתכנס אז מליניאריות ‪ a kg‬מתכנס‪ .‬לכן‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫≤ ‪f (x)dx‬‬
‫)‪kg(x)dx =: G(b‬‬
‫‪a‬‬
‫=‪F (b) :‬‬
‫‪a‬‬
‫∞´‬
‫לפי ההערה‪ G ,‬חסומה ולכן ‪ F‬חסומה ולכן ‪ a f‬מתכנס‪.‬‬
‫∞´‬
‫∞´‬
‫כעת )‪–(2‬אילו ‪ a g‬היה מתכנס‪ ,‬אז לפי )‪ a f (1‬היה מתכנס בסתירה להנחה‪.‬‬
‫נראה כעת כמה דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬נתבונן במשפחה ‪,0 < α‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xα dx‬‬
‫‪α=1‬‬
‫‪α 6= 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xα dx‬‬
‫∞´‬
‫‪´b‬‬
‫‪ . 1‬ובכן‪,‬‬
‫‪ln b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪b‬‬
‫‪− α−1‬‬
‫‪xα−1 |1‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪xα‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫מתכנס אםם ‪ 0 < α − 1‬כלומר ‪.1 < α‬‬
‫במקרה זה‪,‬‬
‫קל לראות ש־‬
‫∞´‬
‫‪1‬‬
‫‪. 1 x1α dx = α−1‬‬
‫‪´ ∞ sin x‬‬
‫‪ .2‬נתבונן ב־ ‪ 0 x dx‬עם הרחבה רציפה ל־ ‪ .0‬אנחנו נראה שהאינטגרל הזה מתכנס‪,‬‬
‫ובדרך נשים לב שהכללים לגבי אינטגרציה לפי הצבה ואינטגרציה לפי חלקים תקפים גם‬
‫עבור אינטגרלים לא אמיתיים )פשוט מכיוון שההגדרה היא באמצעות גבול על אינטגרלים‬
‫אמיתיים(‪.‬‬
‫ובכן‪ ,‬האינטגרל המסוים הוא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪)dx‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪(− cos x)(−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx = (− cos x) |b1 −‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫∞´‬
‫‪´∞ 1‬‬
‫|‪x‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1 | cos‬מתכנס‬
‫עכשיו נשים לב ש־´ ‪ .| x2 | ≤ x2‬כיוון ש־ ‪ 1 x2 dx‬מתכנס‪ ,‬גם ‪x2 dx‬‬
‫∞‬
‫‪x‬‬
‫‪ 1 cos‬מתכנס )ר' משפט ‪ .(2.70‬עכשיו אפשר לנסות לחשב את הגבול‪:‬‬
‫ומכאן גם ‪x2 dx‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x2‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪h‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪1 ib‬‬
‫)‪dx = lim (− cos x‬‬
‫‪−‬‬
‫∞→‪b‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪lim‬‬
‫‪1‬‬
‫∞→‪b‬‬
‫וראינו שהמחובר הימני מתכנס‪ ,‬ולכן גם כל האינטגרל מתכנס‪ .‬לבסוף גם‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪56‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪x dx‬‬
‫∞´‬
‫‪0‬‬
‫הגדרה ‪ 2.69‬נאמר ש־ ‪ f‬אינטגרבילית בהחלט בקטע )∞ ‪ I = [a,‬אם | ‪|f‬‬
‫∞´‬
‫‪a‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫משפט ‪ 2.70‬אם ‪ f‬אינטגרבילית בהחלט ב־ ‪ I‬אז ‪ f‬אינטגרבילית בו‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נשתמש בקריטריון קושי )משפט ‪ .(2.67‬בהינתן ‪ ,0 < ε‬קיים ‪ B ∈ R‬כך שאם‬
‫‪´ b0‬‬
‫‪´ b0‬‬
‫‪ B < b < b0‬אז ‪ .| b |f || = b |f | < ε‬כעת‬
‫‪b0‬‬
‫ˆ‬
‫‪|f | < ε‬‬
‫‪b0‬‬
‫ˆ‬
‫|‬
‫≤ |‪f‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫וסיימנו‪.‬‬
‫∞´‬
‫הגדרה ‪ 2.71‬נאמר ש־ ‪ f‬אינטגרבילית בתנאי בקטע )∞ ‪ I = [a,‬אם ‪f‬‬
‫∞´‬
‫| ‪ a |f‬מתבדר‪.‬‬
‫∞´‬
‫למשל‪ 1 sinx x dx ,‬מתכנס בתנאי‪ .‬ראינו כבר שהוא מתכנס‪ ,‬אז צריך להראות ש־‬
‫∞´‬
‫‪ 1 | sinx x| dx‬מתבדר‪ .‬ובכן נשים לב‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫|‪| sin x‬‬
‫≤‬
‫|‪| sin x‬‬
‫‪x‬‬
‫≤‬
‫‪sin2 x‬‬
‫‪x dx‬‬
‫כלומר די שנראה ש־‬
‫‪2x‬‬
‫שממנה‬
‫‪ sin2 x = 1−cos‬ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪1‬‬
‫מתכנס אבל‬
‫‪sin2 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪x‬‬
‫מתבדר‪ .‬ניזכר בזהות ‪cos 2x = cos2 x − sin2 x‬‬
‫‪sin2 x‬‬
‫‪1 h 1 cos 2x i‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪x‬‬
‫ע"י חיקוי של ההוכחה עבור‬
‫∞´‬
‫‪ 1 x1 dx‬מתבדר ולכן ההפרש מתבדר‪.‬‬
‫עוד שתי דוגמאות‪´ ∞ 1 :‬‬
‫‪ . 2 x ln‬ובכן‪:‬‬
‫‪ .1‬נתבונן ב־ ‪x dx‬‬
‫מקבלים ש־‬
‫‪cos 2x‬‬
‫‪x dx‬‬
‫‪1‬‬
‫∞ ∞→‪dx = ln ln x|b2 −→b‬‬
‫‪x ln x‬‬
‫‪b‬‬
‫∞´‬
‫‪1‬‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫ולכן האינטגרל מתבדר )המעבר הראשון הוא באמצעות הצבה‬
‫והקדומה בקטע )∞ ‪´ ∞ .([2,‬‬
‫‪ .2‬מה לגבי ‪ ? 2 x ln12 x dx‬ובכן‪,‬‬
‫‪57‬‬
‫מתכנס‪ ,‬אבל כמובן‬
‫‪1‬‬
‫‪x dx‬‬
‫= ‪t = ln x, du‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 dx = (− ln x )|2 −→b→∞ 0 − (− ln 2 ) = ln 2‬‬
‫‪x ln x‬‬
‫‪2‬‬
‫כלומר האינטגרל הזה מתכנס )המעבר הראשון הוא באמצעות הצבה כמו בדוגמא‬
‫הקודמת(‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.72‬אם ‪f (x)dx‬‬
‫∞´‬
‫‪a‬‬
‫מתכנס‪ ,‬לאו דווקא ‪ .limx→∞ f (x) = 0‬למשל‪ ,‬נגדיר‬
‫∈‪x‬‬
‫‪/N‬‬
‫‪x∈N‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫∞´‬
‫∞´‬
‫וכאן כמובן ∞ < ‪ 1 f (x)dx = 1 x12 dx‬אבל הפונקציה לא חסומה‪ .‬זאת משום‬
‫שנקודות אי־רציפות מבודדות לא משפיעות על האינטגרל‪.‬‬
‫יש לציין שגם בהינתן הדרישה ש־ ‪ f‬רציפה‪ ,‬אין כורח ש־ ‪ .limx→∞ f (x) = 0‬למשל‪,‬‬
‫נבנה פונקציה כך שבכל קטע ]‪ [k, k + 1‬עם ‪ k ∈ N‬יש לה משולש בגובה ‪ 2k‬וברוחב ‪, 41k‬‬
‫ובשאר המקטע היא זהותית ‪ .0‬היא כמובן רציפה‪ ,‬וקל לראות שהאינטגרל שלה בקטע‬
‫]‪ [k, k + 1‬הוא פשוט ‪ , 12 21k‬וכמובן הסכום של האינטגרלים האלה )טור גיאומטרי( הוא ‪.1‬‬
‫בכל זאת‪ ,‬הפונקציה לא חסומה‪.‬‬
‫‪2.8.2‬‬
‫אינטגרלים של פונקציות לא חסומות‬
‫הגדרה ‪ 2.73‬תהי ‪ f‬מוגדרת בקטע ]‪ ,I = (a, b‬ונניח ש־ ‪ f‬אינטגרבילית בכל תת קטע‬
‫‪´b‬‬
‫סגור של ‪ .I‬נאמר ש־ ‪ f‬אינטגרבילית ב־ ‪ I‬אם קיים ‪ limε→0+ a+ε f (x)dx‬ובמקרה זה‬
‫‪´b‬‬
‫נאמר שהאינטגרל הלא אמיתי מתכנס ונסמן ב־ ‪ a f (x)dx‬את הגבול הנ"ל‪ .‬אחרת‪ ,‬נאמר‬
‫שהאינטגרל מתבדר‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.74‬ראינו בלמה ‪ 2.17‬שכל פונקציה חסומה בקטע ואינטגרבילית בכל תת קטע היא‬
‫אינטגרבילית בכל הקטע‪ .‬כאן אין לנו את הנחת החסימות ולכן לא ניתן להשתמש בלמה‪,‬‬
‫ובאמת קיימים מקרים שבהם האינטגרל לא מתכנס למרות שהפונקציה אינטגרבילית בכל‬
‫תת קטע )מפני שאין לנו את דרישת החסימות(‪.‬‬
‫נראה כמה דוגמאות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪1‬‬
‫∞ = )‪dx = lim (ln 1 − ln ε‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ε→0+‬‬
‫‪1‬‬
‫ˆ‬
‫‪ε‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx = lim‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ε→0+‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫הזה לא מתכנס‪.‬‬
‫כלומר‬
‫האינטגרל ‪´ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ? 0 √1−x‬הפונקציה אינה חסומה ב־ ]‪ (0, 1‬ובכל זאת‪:‬‬
‫‪dx‬‬
‫מהו‬
‫‪.2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪dx = lim (arcsin 1 − arcsin ε‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ε→0‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪58‬‬
‫‪1‬‬
‫ˆ‬
‫√‬
‫‪0‬‬
‫וקיבלנו שהאינטגרל מתכנס למרות שהפונקציה לא חסומה‪.‬‬
‫‪´1‬‬
‫‪´1‬‬
‫‪ .3‬נתבונן ב־ ‪ . 0 x12 dx‬היות ובקטע ]‪ (0, 1‬מתקיים ‪ , x12 ≥ x1‬ו־ ‪ 0 x1 dx‬מתבדר‪ ,‬ניתן‬
‫לצפות מקריטריון ההשוואה )שטרם הוכחנו עבור אינטגרלים של פונקציות לא חסומות( שגם‬
‫האינטגרל הזה מתבדר‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‪dx =? lim+ [ln ln − ln ln ε] = −‬‬
‫‪x ln x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ε→0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫‪0‬‬
‫כלומר האינטגרל מתבדר‪.‬‬
‫‪ .5‬לעומת זאת‪,‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2 1‬‬
‫‪dx = 0 − = −‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ln x|10 −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪x ln x dx‬‬
‫‪0‬‬
‫וכאן יכולנו להגדיר הרחבה רציפה ב־ ‪ 0‬ולכן בעצם חישבנו אינטגרל אמיתי‪ ,‬שכן‬
‫הפונקציה חסומה ואינטגרבילית בכל תת־קטע של ]‪ [0, 1‬ולכן אינטגרבילית בו‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1dx = 0 − 1 = −1‬‬
‫‪x ln x|10‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪ln x dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫וכדאי לשים לב שזה סימטרי לחלוטין ל־ ‪e−x dx = 1‬‬
‫∞´‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.75‬התכונות והטענות‪ ,‬לרבות קריטריון ההשוואה‪ ,‬ליניאריות‪ ,‬קריטריון קושי וכד'‪,‬‬
‫שהוכחנו עבור אינטגרלים לא אמיתיים על קטעים לא חסומים מתקיימות גם לגבי אינטגרלים‬
‫לא אמיתיים על פונקציות לא חסומות‪.‬‬
‫∞´‬
‫‪´b‬‬
‫הערה חשובה נוספת‪ −∞ f (x)dx :‬אינו ‪ !limb→∞ −b f (x)dx‬אנחנו מאבדים אינפורמציה‬
‫אם שני גבולות האינטגרציה שואפים לאינסוף באותו הקצב‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪sin xdx 6= lim‬‬
‫‪sin xdx = 0‬‬
‫‪−b‬‬
‫הגדרה ‪ 2.76‬נגדיר את ‪f (x)dx‬‬
‫∞´‬
‫∞‪−‬‬
‫‪b‬‬
‫∞‬
‫∞→‪b‬‬
‫∞‪−‬‬
‫בתור הגבול הבא‪ ,‬אם הוא קיים‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪f (x)dx‬‬
‫∞‬
‫‪lim‬‬
‫‪a‬‬
‫ˆ‬
‫∞→‪a→−∞,b‬‬
‫‪59‬‬
‫ˆ‬
‫=‪f (x)dx :‬‬
‫∞‪−‬‬
‫למען הנוחות‪ ,‬אפשר גם לבחור נקודה ‪ c ∈ R‬כלשהי )ולהראות שהבחירה לא משפיעה‬
‫על התוצאה( ואז‪:‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫‪f (x)dx‬‬
‫‪c‬‬
‫ˆ‬
‫‪f (x)dx +‬‬
‫∞‬
‫=‪f (x)dx :‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪c‬‬
‫ˆ‬
‫∞‪−‬‬
‫למשל‪,‬‬
‫‪π‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪=π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x +1‬‬
‫= ‪e−x dx‬‬
‫∞‪−‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫∞‪−‬‬
‫‪ 2.9‬סיור סביב הפונקציות ההיפרבוליות והגדרה אנליטית של הפונקציות‬
‫הטריגונומטריות‬
‫נרצה לסקור בקצרה את הפונקציות ההיפרבוליות ולהבין כיצד ניתן להשתמש באינטגרציה‬
‫כדי להגדיר בצורה אנליטית את הפונקציות הטריגונומטריות המוכרות‪.‬‬
‫ראשית ההגדרות‪:‬‬
‫‪eu + e−u‬‬
‫‪2‬‬
‫‪eu − e−u‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪cosh u‬‬
‫= ‪sinh u‬‬
‫קל לבדוק שמתקיים‪:‬‬
‫‪cosh0 u = sinh u‬‬
‫‪sinh0 u = cosh u‬‬
‫‪60‬‬
‫כמו כן רואים בנקל ש־ ‪ cosh u‬תמיד חיובי‪ ,‬ולכן ‪ sinh u‬עולה ממש )חח"ע(‪.‬‬
‫לבסוף כמו בטריגו‪,‬‬
‫‪sinh u‬‬
‫‪eu − e−u‬‬
‫‪= u‬‬
‫‪cosh u‬‬
‫‪e + e−u‬‬
‫= ‪tanh u‬‬
‫כיוון ש־ ‪ tanh u ,cosh u 6= 0‬מוגדרת על כל ‪ ,R‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cosh2 u‬‬
‫= ‪tanh0 u = 1 − tanh2 u‬‬
‫וכן מתקיים‬
‫‪−1 < tanh u < 1‬‬
‫וגם זו פונקציה עולה ממש )חח"ע(‪.‬‬
‫למעט הקוסינוס ההיפרבולי‪ ,‬הפונקציות כולן הפיכות‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫‪1 1+u‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪2 1−u‬‬
‫= ‪arctanhu‬‬
‫ולגבי ‪ ,cosh‬מקובל להצטמצם לגבי החצי הימני שלה‪ ,‬שם )∞ ‪,arccosh : [1, ∞) → [0,‬‬
‫ואז‪:‬‬
‫)‪u2 + 1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ln(u +‬‬
‫)‪u2 − 1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ln(u +‬‬
‫= ‪arcsinhu‬‬
‫= ‪arccoshu‬‬
‫עבור אינטגרציה‪ ,‬חשוב לחשב את הנגזרות של הפונקציות האלה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2 − 1‬‬
‫‪1‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 − x2‬‬
‫√‬
‫= ‪arccosh0 x‬‬
‫= ‪arcsinh0 x‬‬
‫= ‪arctanh0 x‬‬
‫כתוצאה מזה‪ ,‬אנחנו יודעים לטנגרל כל פולינום ריבועי או פונקציה רציונאליות של‬
‫פולינום ריבועי‪.‬‬
‫כעת אנו מוכנים להגדרה אנליטית של הפונקציות הטריגונומטריות‪.‬‬
‫‪61‬‬
‫אנו יודעים שהפונקציה‬
‫לכן אפשר להגדיר‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1+t2‬‬
‫אינטגרבילית בכל קטע סגור וחסום ב־ ‪ R‬שכן היא רציפה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪1 + t2‬‬
‫ˆ‬
‫‪z‬‬
‫=‪arctan z :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ arctan0 z = 1+z‬והביטוי הזה חיובי‪ ,‬לכן‬
‫וכמובן ‪ .Darctan = R‬לפי המשפט היסודי‪2 ,‬‬
‫הפונקציה ‪ arctan‬עולה ממש והפיכה‪ .‬כמו כן הנגזרת זוגית ולכן הפונקציה אי־זוגית‪.‬‬
‫מכאן אפשר להגדיר‪:‬‬
‫)‪tan x := arctan−1 (x‬‬
‫כעת נשים לב ש־‬
‫‪1‬‬
‫‪t2‬‬
‫<‬
‫‪1‬‬
‫‪1+t2‬‬
‫ולכן‬
‫‪1‬‬
‫∞ < ‪dt‬‬
‫‪t2‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫≤ ‪dt‬‬
‫‪1 + t2‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫ואנו יכולים להגדיר‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪1 + t2‬‬
‫ˆ‬
‫∞‬
‫‪π := 2‬‬
‫‪0‬‬
‫כעת יש לנו ‪ tan : (− π2 , π2 ) → R‬ואנחנו רוצים שהיא תהיה מחזורית‪ ,‬אז נבצע הרחבה‬
‫מחזורית כדי לעשות זאת )וכיוון שבקצוות יש אסימפטוטות‪ ,‬אין חשש מאי־רציפות ההדבקה‬
‫כי היא במילא לא תהיה רציפה(‪ .‬מתוך כך אפשר יהיה להגדיר את סינוס וקוסינוס‪:‬‬
‫‪2 tan θ2‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 + tan2‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪tan2 θ2‬‬
‫‪1 − tan2‬‬
‫=‪sin θ :‬‬
‫‪1+‬‬
‫=‪cos θ :‬‬
‫ושוב לעשות הרחבה מחזורית‪.‬‬
‫אפשר להמשיך כך עוד הרבה‪ ,‬למשל אפשר להגדיר גם את‬
‫חיוביים(‪ ,‬ועוד‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪´x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪1 t‬‬
‫=‪) ln x :‬עבור ‪x‬‬
‫טורים‬
‫‪P‬‬
‫בהנתן קבוצה סופית ‪ X ⊂ R‬אפשר להתבונן בסכום ‪ . x∈X x‬כדי לחשב את הסכום‪,‬‬
‫אנו יודעים אינדוקטיבית לחבר מספר סופי של מספרים ממשיים אם מסדרים אותם‬
‫לפי הסדר ומבצעים חיבור אסוציאטיבי ) ‪.((((x1 + x2 ) + x3 ) + . . . + xn−1 ) + xn‬‬
‫תמורה כלשהי על המספרים עדיין מתקיימת קומוטטיביות‪,‬‬
‫אנחנו גם‬
‫יודעים‪P‬שבהנתן ‪Pn‬‬
‫‪n‬‬
‫עבור כל תמורה ‪ .σ‬אפשר להוכיח את האסוציאטיביות‬
‫= ‪i=1 xi‬‬
‫כלומר )‪i=1 xσ(i‬‬
‫והקומוטטיביות באינדוקציה‪.‬‬
‫אך אנו רוצים לייחס משמעות לסכימה על קבוצה אינסופית‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫‪3.1‬‬
‫התכנסות טורים‬
‫הגדרה ‪ 3.1‬תהי ) ‪ (xn‬סדרה ב־ ‪ .R‬נכנה בשם הטור המתאים לסדרה ) ‪ (xn‬את הסדרה‬
‫) ‪ (sn‬של הסכומים החלקיים המוגדרת ע"י‪:‬‬
‫‪sn := x1 + . . . + xn‬‬
‫סדרה זו תכונה גם סדרת הסכומים החלקיים של הסדרה המקורית‪.‬‬
‫ניתנת לסכימה אם ) ‪ (sn‬מתכנסת‪ .‬במקרה זה נאמר שהטור מתכנס‪,‬‬
‫נאמר ש־ ) ‪n‬‬
‫‪P(x‬‬
‫∞‬
‫ונכתוב ‪ i=1 xi = S‬כאשר ‪ .S = limn→∞ sn‬אחרת‪ ,‬נאמר שהסדרה לא ניתנת לסכימה‪,‬‬
‫או שהטור מתבדר‪.‬‬
‫נראה כמה דוגמאות‪:‬‬
‫‪ ,xn ≡ 1 .1‬כאן ‪ sn = n‬מתבדרת ולכן הסדרה לא סכימה‪.‬‬
‫‪ xn = n .2‬שוב אינה סכימה‪.‬‬
‫‪n+1‬‬
‫וכאן‬
‫‪xn = q n , q ∈ R, q 6= 1 .3‬‬
‫‪ sn = 1−q‬והסדרה סכימה אםם ‪.−1 < q < 1‬‬
‫‪1−q‬‬
‫‪P∞ i‬‬
‫‪1‬‬
‫במקרה זה הטור מתכנס‪ ,‬וזה הטור הגיאומטרי‪. i=0 q = 1−q :‬‬
‫‪ .4‬נראה בהמשך שהטור המתאים ל־ ‪) xn = n1‬הטור ההרמוני( מתבדר‪.‬‬
‫‪ .5‬נראה בהמשך שהטור המתאים ל־ ‪ xn = (−1)n+1 n1‬מתכנס‪.‬‬
‫טורים מתכנסים( יהיו ) ‪ (xn ), (yn‬שתי סדרות סכימות‪ .‬אזי‪:‬‬
‫טענה ‪) 3.2‬תכונות של ‪P‬‬
‫)חיוביות(;‬
‫‪0‬‬
‫≤‬
‫‪P‬‬
‫אם ‪ 0 ≤ xn‬אז ‪P xn‬‬
‫)מונוטוניות(;‬
‫‪y‬‬
‫≥‬
‫אם ‪ yn ≥ xn‬אז ‪xn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫לכל ‪ k, l ∈ R‬מתקיים ‪) (kxn + lyn ) = k xn + l yn‬ליניאריות(‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תוצאה ישירה של משפטים על אריתמטיקה של גבולות של סדרות )ההתייחסות כאן‬
‫היא לגבולות סדרות הסכומים החלקיים‪ ,‬שמקיימים חיוביות‪ ,‬מונוטוניות‪ ,‬וליניאריות(‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.3‬אם ) ‪ (xn‬סדרה ו־ ‪ m ∈ N0‬אז נגדיר )‪ x(m‬הזנב ה־ ‪ m‬של הסדרה המקורית‪,‬‬
‫וכמובן ) ‪.x(m) / (xn‬‬
‫‪ P‬הסכומים החלקיים שלה‪ .‬הטור‬
‫‪) 3.4‬אדיטיביות( תהי ) ‪ (xn‬סדרה‪ (sn ) ,‬סדרת‬
‫משפט‬
‫∞‪P‬‬
‫∞‬
‫‪ i=1 xi‬מתכנס אםם לכל ‪ m‬מתכנס הטור ‪ . i=m+1 xi‬במלים אחרות‪ (xn ) ,‬סכימה אםם‬
‫‪P‬‬
‫∞‪P‬‬
‫= ‪.S‬‬
‫כל זנב )‪ x(m‬סכימה‪ ,‬ובמקרה זה נסמן ‪ rm = i=m+1 xi‬ומתקיים ‪xi = sm +rm‬‬
‫סדרת הסכומים החלקיים של הזנב )‪ ,x(m‬וכמובן ‪.tn = sn+m − sm‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ) ‪P (tn‬‬
‫מתכנס אז ) ‪ (sn‬מתכנסת ולכן כל תת־סדרה שלה גם כן מתכנסת‬
‫)⇐( אם ‪xn‬‬
‫לאותו הגבול‪ ,‬בפרט ) ‪ (tn‬מתכנסת לאותו הגבול‪ ,‬וגבולה מקיים‪:‬‬
‫‪rm = lim tn = lim (sm+n − sm ) = lim sm+n − sm = S − sm‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫כאשר ‪ S‬סכום הטור‪.‬‬
‫‪63‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫)⇒( אם קיים ‪m‬־זנב שמתכנס‪ ,‬אז ‪ .(tn ) → rm‬כמו קודם‪ sm+n = tn + sm ,‬מתכנסת‬
‫ומתקיים‬
‫‪lim sm+n = lim (tn + sm ) = rm + sm‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫אבל כמובן ) ‪ (sm+n‬סדרה חלקית של ) ‪ (sn‬ולכן גם ) ‪ (sn‬מתכנסת לאותו הגבול ‪.S‬‬
‫הערה‪ :‬אפשר היה להסתפק בכך שעבור הזנב ‪ m = 0‬קיבלנו את הדרוש‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס אז ‪.(xn ) → 0‬‬
‫משפט ‪) 3.5‬תנאי הכרחי להתכנסות( אם ‪xn‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס אז ) ‪ (sn‬מתכנסת וגם ) ‪ (sn+1 ) / (sn‬מתכנסת לאותו הגבול‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪xn‬‬
‫לכן נוכל לכתוב ‪ an+1 = sn+1 − sn‬וכמובן ‪ an+1 → 0‬ולכן ‪ an → 0‬גם כן‪.‬‬
‫‪P1‬‬
‫מתבדר למרות ש־ ‪ . n1 → 0‬כלומר‪ ,‬זה אכן תנאי הכרחי אך אינו תנאי‬
‫אנטי־דוגמא‪n :‬‬
‫מספיק‪.‬‬
‫משפט ‪) 3.6‬קריטריון קושי להתכנסות( הטור ‪xn‬‬
‫‪N < n < m =⇒ |sm − sn | < ε‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס אםם‬
‫‪∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n, m ∈ N :‬‬
‫הוכחה‪ :‬במילים אחרות‪ (sn ) ,‬סדרת קושי‪ ,‬וכמובן מתכנסת לפי התנאי של קושי לסדרות‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫הטור המתאים לה‪ .‬נאמר שהטור מתכנס בהחלט אם‬
‫‪ 3.7P‬תהי ) ‪ (xn‬סדרה ו־ ‪xn‬‬
‫הגדרה‬
‫מתכנס‪ .‬אם הוא מתכנס אך לא בהחלט‪ ,‬נאמר שהוא מתכנס בתנאי‪.‬‬
‫| ‪|xn‬‬
‫הערה ‪ 3.8‬כמובן‪ ,‬לאו דווקא | ‪|xn‬‬
‫משפט ‪ 3.9‬אם הטור ‪an‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫שווה ל־ | ‪xn‬‬
‫‪P‬‬
‫|‪.‬‬
‫מתכנס בהחלט‪ ,‬אזי הוא מתכנס‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נשתמש בקריטריון קושי‪ .‬בהנתן ‪ 0 < ε‬קיים ‪ N‬כך שאם ‪ m > n > N‬אז‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪|an+1 | + . . . + |am | < ε‬‬
‫אבל לכן כמובן‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪|an+1 + . . . + am | ≤ |an+1 | + . . . + |am | = |an+1 | + . . . + |am | < ε‬‬
‫‪64‬‬
‫‪3.2‬‬
‫טורים חיוביים‬
‫‪P‬‬
‫החלקיים מתכנסת אםם } ‪{sn‬‬
‫הערה ‪ 3.10‬בהנתן ‪xn‬‬
‫טור חיובי‪ (sn ) ,‬סדרת הסכומים ‪P‬‬
‫חסומה )שכן היא מונוטונית עולה(‪ .‬במקרה של התכנסות‪.sup{sn } = lim sn = xn ,‬‬
‫‪ (dn ), (a‬סדרות‪.‬‬
‫משפט ‪) 3.11‬קריטריון ההשוואה(‬
‫‪ P‬יהיו ) ‪Pn ), (cn‬‬
‫מתכנס בהחלט‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫מתכנס‪,‬‬
‫אם ‪ |an | ≤ cn‬אזי אם ‪cn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫מתבדר‪an ,‬‬
‫אם ‪ 0 ≤ dn ≤ an‬אזי אם ‪dn‬‬
‫הוכחה‪ :‬מיידית‪ ,‬נובעת מחסימות סדרות הסכומים החלקיים‪.‬‬
‫נראה כמה דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬תהי ) ‪ (an‬סדרה עם ‪ a0 ∈ N0‬ו־ }‪ .an ∈ {0, . . . , 9‬אז אפשר לפרש את המספר‬
‫העשרוני ‪ a0 .a1 a2 . . .‬בתור הטור‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ a2 2 + . . . + an n + . . .‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫והטור הזה מתכנס‪ ,‬שכן לכל ‪ 1 ≤ n‬מתקיים‬
‫‪9‬‬
‫‪10n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫) ‪≤ a0 + 9( + . . . + n‬‬
‫‪10n‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫≤‬
‫‪a0 + a1‬‬
‫‪an‬‬
‫‪10n‬‬
‫‪sn = a0 + . . . +‬‬
‫וכמובן באגף ימין יש לנו זנב של טור גיאומטרי עם ‪< 1‬‬
‫הסכום הזה חסום‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 − 1) = a0 + 1‬‬
‫‪1 − 10‬‬
‫ולכן‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫= ‪ −1 < q‬שמתכנס‪ ,‬ולכן‬
‫( ‪≤ a0 +‬‬
‫היות וזה טור חיובי‪ ,‬החסימות מספיקה להתכנסות ולכן הטור מתכנס‪ .‬על כן ניתן יהיה‬
‫את סכום הטור המתאים כפי שראינו‪.‬‬
‫לסמן בתור ‪P a10 .a1 a2 . . .‬‬
‫מתבדר‪ .‬נראה זאת‪:‬‬
‫‪ .2‬הטור ההרמוני ‪n‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1 1 1‬‬
‫‪+ + + ... = 1 + + ( + ) + ( + + + ) + ...‬‬
‫‪2 3 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪5 6 7 8‬‬
‫‪1+‬‬
‫וכעת נחליף בתוך כל סוגריים את האיברים באיבר הקטן ביותר‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1 1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪+ ( + ) + ( + + + ) + ... = 1 + + + ...‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4 4‬‬
‫‪8 8 8 8‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪>1+‬‬
‫וכמובן סדרת הסכומים החלקיים של הטור שקיבלנו לא מתכנסת‪ ,‬ולפי קריטריון‬
‫ההשוואה גם הטור ההרמוני לא מתכנס‪ .‬פורמלית‪ ,‬אם ) ‪ (sn‬סדרת הסכומים החלקיים‬
‫אז קיבלנו ש־ ‪ s2k ≥ 1 + k 21‬וכמובן אגף ימין מתבדר‪.‬‬
‫‪65‬‬
‫‪ P‬חיוביות ממש‪.‬‬
‫‪ (limit‬יהיו ) ‪ (an ), (cn‬סדרות‬
‫משפט‪) 3.12a‬קריטריון ההשוואה הגבולי‪P test ,‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫מתכנס אםם הטור ‪an‬‬
‫אם ‪ lim cnn‬קיים וגדול ממש מ־ ‪ 0‬אז הטור ‪cn‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו ‪q‬‬
‫‪ p,P‬כך ש־ ‪ 0 < p < acnn < q‬כמעט תמיד‪ .‬זה שקול לכך ש־ ‪.pcn < an < qcn‬‬
‫הסכומים החלקיים של ) ‪ (qcn‬חסומה ולכן סדרת הסכומים‬
‫סדרת‬
‫אז‬
‫מתכנס‬
‫כעת אם ‪cn‬‬
‫‪P‬‬
‫של‬
‫החלקיים‬
‫הסכומים‬
‫סדרת‬
‫אם‬
‫להיפך‪,‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫ולכן‬
‫חסומה‬
‫‪(a‬‬
‫)‬
‫של‬
‫החלקיים‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫) ‪ (an‬חסומה אז כך גם סדרת הסכומים החלקיים של ) ‪ (pcn‬ולכן של ) ‪ (cn‬ולכן ‪cn‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪P 1‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬נתבונן בטור )‪ . n(n+1‬נשים לב‪:‬‬
‫‪X 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪( −‬‬
‫)‬
‫)‪n(n + 1‬‬
‫‪n n+1‬‬
‫‪X‬‬
‫וכעת‬
‫‪k‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪( −‬‬
‫‪) = (1 − ) + ( − ) + . . . + ( −‬‬
‫‪) = 1−‬‬
‫‪−→k→∞ 1‬‬
‫‪n n+1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪k k+1‬‬
‫‪k+1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫מתכנס ל־ ‪.1‬‬
‫כלומר הטור‪P 1‬‬
‫מתכנס לפי קריטריון הגבול‪ ,‬שכן‪:‬‬
‫לכן הטור ‪n2‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪n(n+1‬‬
‫‪1‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪lim‬‬
‫ואנו עומדים בתנאי הקריטריון‪ .‬לא נוכיח כאן‪ ,‬אבל‬
‫‪π2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪. n12‬‬
‫מתקיים ‪< q‬‬
‫מסקנה ‪ 3.13‬באותם התנאים‪ ,‬אם ‪ lim acnn = 0‬אז‪P‬כמעט תמיד‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫מתכנס אז ‪an‬‬
‫‪ an < qcn‬ולכן מקבלים תנאי חד־כיווני‪ :‬אם ‪cn‬‬
‫‪an‬‬
‫‪cn‬‬
‫< ‪ 0‬כלומר‬
‫משפט ‪) 3.14‬קריטריון המנה‪ (ratio test ,‬תהי ) ‪ (xn‬סדרה חיובית‪ .‬נתבונן בשני המספרים‪:‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪l = lim inf‬‬
‫אזי אם ‪ ,u < 1‬הטור ‪xn‬‬
‫‪P‬‬
‫‪u = lim sup‬‬
‫מתכנס‪ ,‬ואם ‪ l > 1‬הטור מתבדר‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ‪ .u < 1‬לכל ‪ ε > 0‬יש אינסוף ‪ xn‬כך ש־ ‪ u − ε < xn‬ויש מספר סופי בלבד‬
‫של ‪ xn‬כך ש־ ‪ .xn > u + ε‬במקרה שלנו‪ ,‬יהי ‪ u < q < 1‬ואז ‪< q‬‬
‫‪ xxn+1‬כמעט תמיד‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫במלים אחרות‪ ,‬קיים ‪ N‬כך שאם ‪ n > N‬אז ‪ .xn+1 < xn q‬אז כמובן מתקיים‪:‬‬
‫‪xN q‬‬
‫<‬
‫‪xN +1‬‬
‫‪xN q 2‬‬
‫<‬
‫‪xN +2‬‬
‫‪...‬‬
‫‪xN q k‬‬
‫<‬
‫‪66‬‬
‫‪xN +k‬‬
‫∞‪P‬‬
‫∞‪P‬‬
‫∞‪P‬‬
‫הטור ‪ k=1 xN q k = xN k=1 q k‬מתכנס )טור גיאומטרי‪ (q < 1 ,‬ולכן גם ‪xN +k‬‬
‫מתכנס‪ ,‬והוא זנב של הטור המקורי‪ .‬כיוון שהזנב מתכנס‪ ,‬גם הטור המקורי מתכנס‪ ,‬כנדרש‪.‬‬
‫באופן דומה‪ ,‬אם ‪ l > 1‬אזי ‪> 1‬‬
‫‪ xxn+1‬כמעט תמיד‪ .‬כלומר‪ xn+1 > xn ,‬כמעט תמיד‬
‫‪n‬‬
‫ולכן כמובן ‪ xn 9 0‬כלומר הטור לא מתכנס‪ ,‬כנדרש‪.‬‬
‫‪k=1‬‬
‫נראה דוגמא חשובה מאוד לקריטריון הזה‪ :‬יהי ‪ x ∈ R‬ונתבונן בסדרה ) ‪ .( xn!n‬אם ‪x = 0‬‬
‫הסדרה היא )‪ (1, 0, 0, . . .‬וכמובן הטור המתאים לה מתכנס‪ .‬אחרת‪,‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫|‪|x‬‬
‫‪an+1‬‬
‫!)‪(n+1‬‬
‫= | ‪| = | xn‬‬
‫‪→0‬‬
‫|‬
‫‪an‬‬
‫‪n+1‬‬
‫!‪n‬‬
‫כלומר‪ ,‬אנחנו במקרה שבו הגבול העליון קטן מ־ ‪ 1‬ולכן הטור מתכנס בהחלט )ולכן‬
‫מתכנס(‪ .‬אגב‪ ,‬אם נסמן ב־ )‪ E(x‬את סכום הטור‪ ,‬מסתבר ש־ ‪) E(x) = ex‬ברור שעבור ‪n‬‬
‫סופי זהו פיתוח טיילור של ‪ ex‬סביב ‪ .(0‬שקול לומר‪ ,‬קיבלנו הצגה אחרת של ‪:e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ + ...‬‬
‫!‪1! 2‬‬
‫‪e=1+‬‬
‫√‬
‫‪n‬‬
‫‪.u = lim sup‬‬
‫השורש‪ (root test ,‬תהי ) ‪ (an‬סדרה חיובית‪ .‬נסמן ‪an‬‬
‫משפט ‪) 3.15‬קריטריון ‪P‬‬
‫מתכנס; אם ‪ ,u > 1‬הטור מתבדר‪.‬‬
‫אם ‪ ,u < 1‬הטור ‪an‬‬
‫√‬
‫‪P‬קודם ‪ n an < q‬כמעט תמיד‪ ,‬כלומר ‪ an < q n‬כמעט‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ ,u < q < 1‬אז כמו‬
‫מתכנס במקרה זה‪ .‬באופן דומה‪ ,‬אם ‪ u > 1‬אז יהי‬
‫תמיד‪ ,‬וזה כמובן מספיק כי ‪q n‬‬
‫‪ 1 < p < u‬ואז ‪ 1 ≤ pn < an‬באופן שכיח ולכן ‪ ,an 9 0‬כלומר הטור מתבדר‪.‬‬
‫טענה ‪ 3.16‬תהי ) ‪ (an‬סדרה חיובית‪ ,‬אזי מתקיים‪:‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪an+1‬‬
‫‪an+1‬‬
‫‪≤ lim inf n an ≤ lim sup n an ≤ lim sup‬‬
‫‪an‬‬
‫‪an‬‬
‫‪lim inf‬‬
‫כלומר‪ ,‬קריטריון השורש חזק יותר מקריטריון המנה‪ .‬המסקנה היא שתמיד כדאי לבדוק‬
‫קודם את קריטריון המנה‪.‬‬
‫‪ .u = lim sup aan+1‬אם ∞ = ‪ u‬אז הא"ש מתקיים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח רק את הצד הימני‪ .‬יהי‬
‫‪n‬‬
‫‪an+1‬‬
‫אחרת‪ .u ∈ R ,‬ניקח ‪ ,u < q‬ונקבל שמתקיים ‪ an < q‬כמעט תמיד‪ ,‬כלומר קיים ‪N‬‬
‫כך שאם ‪ n > N‬אז ‪ .an+1 < qan‬כלומר‪ ,aN +m < q m aN ,‬ואם נחליף אינדקסים‬
‫‪ N + m = n‬אז מקבלים‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n−N‬‬
‫√‬
‫‪aN 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪= q( N ) n‬‬
‫‪q n−N n aN = q n aN‬‬
‫‪q‬‬
‫‪67‬‬
‫< ‪an‬‬
‫√‬
‫‪n‬‬
‫לכן אותו יחס מתקיים גם לגבי ‪ lim sup‬בגבול‪:‬‬
‫‪aN 1‬‬
‫‪)n = q‬‬
‫‪qN‬‬
‫(‪an ≤ lim sup q‬‬
‫√‬
‫‪n‬‬
‫‪lim sup‬‬
‫√‬
‫זה נכון עבור כל ‪ ,u < q‬ולכן ‪ lim sup n an ≤ u‬כפי שרצינו‪ .‬הצד השמאלי סימטרי‪.‬‬
‫(‬
‫‪q n−1 n (mod2) ≡ 0‬‬
‫= ‪ an‬עבור ‪ 0 < q < 1‬כלשהו‪ .‬אם‬
‫לדוגמא‪ ,‬נתבונן בסדרה‬
‫‪q n+1 n (mod2) ≡ 1‬‬
‫ננסה להפעיל את קריטריון המנה‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n is even‬‬
‫‪n is odd‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q‬‬
‫ולכן ‪> 1‬‬
‫הטור מתכנס‪.‬‬
‫לעומת זאת‪,‬‬
‫=‬
‫‪=q‬‬
‫‪qn‬‬
‫‪q n+1‬‬
‫‪q n+2‬‬
‫‪q n−1‬‬
‫(‬
‫‪an+1‬‬
‫=‬
‫‪an‬‬
‫= } ‪= max{ 1q , q 3‬‬
‫‪ ,lim sup aan+1‬כלומר אין לנו אפשרות להכריע האם‬
‫‪n‬‬
‫‪n is even‬‬
‫‪n is odd‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q n = qq − n‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q n = qq n‬‬
‫(‬
‫= ‪an‬‬
‫√‬
‫‪n‬‬
‫√‬
‫ומכאן‪ lim n an = q < 1 ,‬והטור מתכנס‪ .‬כלומר‪ ,‬קריטריון השורש קבע שהטור מתכנס‬
‫אך קריטריון המנה לא מכריע האם הטור מתכנס‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 3.17‬נתבונן בסדרה‬
‫‪nn‬‬
‫!‪n‬‬
‫= ‪ .an‬אזי‬
‫‪an+1‬‬
‫‪(n + 1)n‬‬
‫‪1‬‬
‫!‪(n + 1)n+1 n‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪= lim(1 + )n = e‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪n‬‬
‫‪an‬‬
‫‪(n + 1)! n‬‬
‫‪nn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪lim‬‬
‫במקרה זה קיים לסדרה גבול‪ ,‬כלומר הגבול העליון שווה לגבול התחתון‪ ,‬ולכן לפי הטענה‬
‫‪q‬‬
‫√‬
‫‪n‬‬
‫‪n nn‬‬
‫√ ‪ ,lim‬או ‪) n n! ∼ ne‬נוסחת סטרלינג‬
‫=‬
‫‪e‬‬
‫ש־‬
‫להסיק‬
‫אפשר‬
‫מכאן‬
‫‪.lim‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n! = e‬‬
‫!‪n‬‬
‫הקטנה(‪.‬‬
‫√‬
‫נוסחת סטרלינג הרגילה היא ‪ n! ∼ 2πn( ne )n‬ואותה כבר ראינו ב־ ‪.2.5.5‬‬
‫תהי ‪Pf : [1, ∞) → R‬חיובית ומונוטונית יורדת‪ .‬תהי‬
‫משפט ‪) 3.18‬קריטריון האינטגרל(∞ ´‬
‫∞‬
‫)‪ an := f (n‬סדרה‪ .‬אזי ‪ 1 f (x)dx‬מתכנס אםם ‪ n=1 an‬מתכנס‪ ,‬ובמקרה של התכנסות‬
‫∞´‬
‫∞´‬
‫מתקיים ‪ , n+1 f (x)dx ≤ S − sn ≤ n f (x)dx‬כאשר ‪ S‬סכום הטור ו־ ‪ sn‬האיבר‬
‫המתאים בסדרת הסכומים החלקיים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נשים לב שהפונקציה אינטגרבילית בכל תת־קטע של )∞ ‪ [1,‬כי היא מונוטונית‪,‬‬
‫ומתקיים‪:‬‬
‫‪68‬‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫‪f (x)dx ≤ a1‬‬
‫≤‬
‫‪1‬‬
‫‪...‬‬
‫ˆ‬
‫‪n‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪f (x)dx ≤ an−1‬‬
‫≤‬
‫‪an‬‬
‫‪n−1‬‬
‫ואם מסכמים‪,‬‬
‫ˆ‬
‫‪n‬‬
‫≤ ‪sn − a1‬‬
‫‪f (x)dx ≤ sn−1 − a1‬‬
‫‪1‬‬
‫כעת אם ‪f (x)dx‬‬
‫∞´‬
‫‪1‬‬
‫מתכנס‪ ,‬אז לכל ‪ n‬מתקיים‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪n‬‬
‫≤ ‪f (x)dx‬‬
‫‪f (x)dx‬‬
‫≤ ‪sn − a1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫כלומר סדרת הסכומים החלקיים חסומה‪ ,‬ולכן הטור מתכנס‪.‬‬
‫להיפך‪ ,‬אם הטור מתכנס אז } ‪ {sn‬חסומה ו־ ‪ S‬סכום הטור‪ ,‬ולכן‬
‫‪n‬‬
‫ˆ‬
‫‪f (x)dx ≤ sn−1 − a1 ≤ S − a1‬‬
‫‪1‬‬
‫לכל ‪ ,n‬ולכן האינטגרל מתכנס‪.‬‬
‫כעת נרצה לקבל את ההערכה על גודל השגיאה‪ .‬ובכן‪ ,‬לכל ‪ ak > ak+1 ,k‬כי הפונקציה‬
‫יורדת‪ .‬בקטע ]‪ [k, k + 1‬יש לנו את היחס הבא בין שלוש פונקציות‪:‬‬
‫‪ak+1 ≤ f ≤ ak‬‬
‫לכן כמובן גם‬
‫‪k+1‬‬
‫ˆ‬
‫‪k+1‬‬
‫ˆ‬
‫≤ ‪f (x)dx‬‬
‫‪ak‬‬
‫‪k+1‬‬
‫ˆ‬
‫≤ ‪ak+1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫כלומר‪,‬‬
‫‪k+1‬‬
‫ˆ‬
‫≤ ‪ak+1‬‬
‫‪f (x)dx ≤ ak‬‬
‫‪k‬‬
‫‪69‬‬
‫כעת נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים‪ ,‬עבור ‪ n < m‬על´ ‪ .sn , sm‬כיוון שהסכומים‬
‫‪m‬‬
‫החלקיים הם מתחת לגרף הפונקציה‪ ,‬מתקיים ש־ ‪ .sm − sn ≤ n f (x)dx‬אם נרצה‬
‫לחסום את האינטגרל מלמעלה‪ ,‬נוכל להזיז את ) ‪ (an‬באיבר אחד ימינה‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫ˆ‬
‫≤ ‪sm − sn‬‬
‫‪f (x)dx ≤ sm−1 − sn−1‬‬
‫‪n‬‬
‫וכעת‬
‫‪m‬‬
‫ˆ‬
‫‪m+1‬‬
‫ˆ‬
‫≤ ‪f (x)dx ≤ sm − sn‬‬
‫‪f (x)dx‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n+1‬‬
‫וכאשר ∞ → ‪ ,m‬מקבלים את הא"ש בין הגבולות‪:‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫∞‬
‫≤ ‪f (x)dx ≤ S − sn‬‬
‫‪f (x)dx‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪n‬‬
‫כפי שרצינו‪.‬‬
‫הערה ‪ 3.19‬הקריטריון מאפשר לקבל הערכה על גודל השגיאה בחישוב סכום הטור ע"י ‪n‬‬
‫האיברים הראשונים ע"י חישוב האינטגרל הלא אמיתי )או הערכה שלו(‪.‬‬
‫זה פותח פתח לכמה‪P‬דוגמאות פשוטות‪:‬‬
‫∞´‬
‫∞‬
‫‪ .1‬הטור ‪ n=1 n1‬מתבדר כי האינטגרל ‪ 1 x1 dx‬מתבדר‪.‬‬
‫‪´∞ 1‬‬
‫‪P∞ 1‬‬
‫‪ .2‬הטור ‪ n=1 n2‬מתכנס כי האינטגרל ‪ 1 x2 dx‬מתכנס‪.‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ n=2 n log‬מתבדר שכן‬
‫‪ .3‬הטור ‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫∞ = ‪dx = lim log log x|b2‬‬
‫∞→‪b‬‬
‫‪x log x‬‬
‫‪ .4‬הטור‬
‫∞‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n=2 n log2 n‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫מתכנס שכן‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪lim (−‬‬
‫= ‪)|b2‬‬
‫∞→‪2 dx = b‬‬
‫‪log‬‬
‫‪x‬‬
‫‪log‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x log x‬‬
‫למעשה‪ ,‬לכל ‪ 1 < p‬נקבל ש־‬
‫∞‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n=2 n logp n‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫העיבוי‪ (condensation test ,‬תהי‪ (an )P‬סדרה חיובית מונוטונית‬
‫משפט ‪) 3.20‬קריטריון‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫מתכנס אםם הטור ‪2n a2n‬‬
‫יורדת ל־ ‪ .0‬אזי הטור ‪an‬‬
‫‪70‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן‪:‬‬
‫‪tk = a1 + 2a2 + 4a4 + . . . + 2k a2k‬‬
‫‪sn = a1 + . . . + an‬‬
‫נניח ‪ n ≤ 2k‬ואז מתקיים‪:‬‬
‫‪sn = a1 + (a2 + a3 ) + (a4 + . . . + a7 ) + . . . + an ≤ a1 + 2a2 + . . . + 2k a2k‬‬
‫נשים לב ש־ ‪2n a2n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪an‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫בכיוון השני‪ ,‬נניח ‪ 2k < n‬ואז‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫אםם } ‪ {tk‬חסומה‪ .‬אם הוא אכן מתכנס‪ ,‬אז } ‪ {sn‬חסומה ולכן‬
‫‪1‬‬
‫‪a1 +a2 +2a4 +. . .+2k−1 a2k‬‬
‫‪2‬‬
‫≥ ‪sn ≥ a1 +a2 +(a3 +a4 )+(a5 +. . .+a8 )+. . .+a2k‬‬
‫ומכאן‬
‫‪2sn ≥ a1 + 2a2 + . . . + 2k a2k = tk‬‬
‫‪P‬‬
‫כעת‪P‬אם ‪an‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫‪2n a2n‬‬
‫מתכנס אז } ‪ {sn‬חסומה ואז } ‪ {2sn‬חסומה ולכן גם } ‪ {tk‬חסומה ו־‬
‫הערה ‪ 3.21‬הבחירה של ‪ 2‬בקריטריון היא שרירותית‪ .‬באותה מידה אפשר היה לבחור ‪.17‬‬
‫דוגמאות‪P :‬‬
‫‪ , n1 .1‬זהו טור על סדרה חיובית מונוטונית יורדת ל־ ‪ ,0‬והטור ‪1‬‬
‫כמובן מתבדר ולכן‬
‫הטור הזה מתבדר‪P n 1 .‬‬
‫גם ‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫מתכנס אםם ‪2 (2n )p‬‬
‫מתכנס‪ ,‬כלומר אםם ‪ ( 22p )n‬מתכנס‪,‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ .2‬באופן כללי‪n ,‬‬
‫‪1‬‬
‫כבר‪.‬‬
‫שידענו‬
‫כפי‬
‫‪1‬‬
‫<‬
‫‪p‬‬
‫כלומר‬
‫‪,‬‬
‫וזה קורה אםם ‪1‬‬
‫‪2p−1 < P‬‬
‫‪P n‬‬
‫‪P 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מתכנס‪ ,‬וזו כפולה של הטור‬
‫‪2 2n log‬‬
‫=‬
‫אםם‬
‫מתכנס‬
‫‪2n‬‬
‫‪n log 2‬‬
‫‪n log n .3‬‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫ההרמוני‬
‫‪P n‬‬
‫‪P‬‬
‫ולכן ‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מתכנס‪ ,‬וזו כפולה של‬
‫‪2 2n log‬‬
‫=‬
‫אםם‬
‫מתכנס‬
‫‪.4‬‬
‫‪2 2n‬‬
‫‪n2 log2 2‬‬
‫‪n log2 n P‬‬
‫‪1‬‬
‫ולכן מתכנס‪.‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪P‬‬
‫‪3.3‬‬
‫= ‪2n 21n‬‬
‫‪P‬‬
‫טורים כלליים‬
‫תהי ) ‪ (xn‬סדרה מונוטונית‬
‫משפט ‪) 3.22‬קריטריון לייבניץ לטורים עם סימנים‬
‫מתחלפים(‪P‬‬
‫∞‬
‫חיובית יורדת ל־ ‪ 0‬במובן החזק‪ .‬אזי הטור ‪ n=1 (−1)n+1 xn‬מתכנס‪ ,‬ו־ ‪0 < S < x1‬‬
‫כאשר ‪ S‬סכום הטור‪ .‬יתר על כן‪ ,‬מתקיים ‪.0 < (−1)m+1 S − sm < xm+1‬‬
‫‪71‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר ‪ .an = s2n , bn = s2n−1‬נראה ש־ ‪ an < an+1 < bn+1 < bn‬וכן‬
‫‪.bn − an = x2n‬‬
‫ובכן‪,‬‬
‫‪an+1 − an = s2n+2 − sn = s2n + x2n+1 − x2n+2 − s2n = x2n+1 − x2n+2 > 0‬‬
‫ממונוטוניות ) ‪ .(xn‬הצד השני סימטרי‪.‬‬
‫כעת ) ‪ (x2n ) / (xn‬ולכן ‪ x2n → 0‬ולכן ‪ .bn − an → 0‬אנו עומדים בתנאי הלמה‬
‫של קנטור‪ ,‬ויהי ‪ S‬הגבול של ) ‪ (an ), (bn‬ביחד‪ ,‬וכמובן ‪ sn → S‬בעצמה כי היא מורכבת‬
‫מהסדרות ) ‪.(an ), (bn‬‬
‫מכאן נובעות גם כל שאר הטענות של המשפט‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬הטור ‪ (−1)n+1 n1‬מתכנס‪ .‬זהו טור מתכנס בתנאי‪.‬‬
‫אנטי־דוגמא‪ :‬אם הסדרה לא מונוטונית יורדת‪ ,‬המשפט לא נכון‪ .‬למשל‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫√‪−‬‬
‫√‪+‬‬
‫√‪−‬‬
‫√ ‪+ ... +‬‬
‫√‪−‬‬
‫‪+ ...‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪2−1‬‬
‫‪2+1‬‬
‫‪3−1‬‬
‫‪3+1‬‬
‫√‬
‫זו סדרה השואפת ל־ ‪ 0‬עם סימנים מתחלפים אך שאינה מונוטונית‪ .‬אם מקבצים את‬
‫האיברים בזוגות‪ ,‬מקבלים‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫‪+ ...‬‬
‫‪2−1 3−1‬‬
‫‪n−1‬‬
‫וזו כפולה של זנב הטור ההרמוני‪ ,‬שמתבדר‪ .‬דהיינו‪ ,‬חשוב לדרוש שהסדרה יורדת‬
‫מונוטונית ל־ ‪.0‬‬
‫הערה ‪ 3.23‬במישור המעשי‪ ,‬המשפט נותן הערכה על גודל השארית‪ .‬אם חישבנו את ‪sm‬‬
‫ואיננו יודעים את ‪ ,S‬אז אפשר להעריך את הזנב ה־ ‪ m‬באמצעות האיבר הראשון שלו‪:‬‬
‫| ‪.|S − sm | < |xm+1‬‬
‫דבר נוסף‪ :‬אם ) ‪ (xn‬יורדת במובן החלש‪ ,‬אזי המסקנות נכונות גם כן‪ ,‬עם אי־שוויונות‬
‫חלשים במקום חזקים‪.‬‬
‫‪ .0 P‬יהי ‪bn‬‬
‫משפט ‪) 3.24‬דיריכלה( תהי ) ‪ (an‬סדרה חיובית מונוטונית יורדת ל־‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫)כלומר סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה(‪ .‬אזי הטור ‪an bn‬‬
‫‪P‬‬
‫טור חסום‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר ‪ .Bn = b1 + . . . + bn , B0 = 0‬אזי ) ‪ (Bn‬סדרה חסומה‪ ,‬ונניח ‪|Bn | ≤ B‬‬
‫לכל ‪ .n‬כעת נשים לב‪:‬‬
‫) ‪a1 (B1 − B0 ) + a2 (B2 − B1 ) + . . . + an (Bn − Bn−1‬‬
‫=‬
‫‪a1 B1 + a2 B2 − a2 B1 + a3 B3 − a3 B2 + . . . + an Bn − an Bn−1‬‬
‫=‬
‫‪B1 (a1 − a2 ) + B2 (a2 − a3 ) + . . . + Bn−1 (an−1 − an ) + an Bn‬‬
‫=‬
‫‪72‬‬
‫‪a1 b1 + . . . + an bn‬‬
‫‪Pn−1‬‬
‫וכעת מספיק להראות ש־ ) ‪ (an Bn‬מתכנסת וש־ )) ‪k=1 Bk (ak − ak+1‬‬
‫אז כמובן ) ‪ (an Bn‬מתכנסת ל־ ‪ 0‬כי ) ‪ (an‬מתכנסת ל־ ‪ 0‬ו־ ) ‪ (Bn‬חסומה‪ .‬וכן‪,‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪(ak − ak+1 ) = B(a1 − an ) → Ba1‬‬
‫‪|ak − ak+1 ||Bk | ≤ B‬‬
‫( מתכנסת‪.‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫סכימת‬
‫כאשר המעבר הראשון מוצדק מחסימות ) ‪ (Bn‬ומונוטוניות‪ ,‬המעבר השני הוא ∞‪P‬‬
‫טור טלסקופי‪ ,‬והמעבר האחרון משום ש־ ‪ .an → 0‬זה אומר ש־ ‪k=1 (ak − ak+1 )Bk‬‬
‫שקולה להתכנסות כי זה טור חיובי( ולכן מתכנס‪ ,‬ולכן כמובן‬
‫מתכנס בהחלט )חסימות ‪Pn−1‬‬
‫הסדרה ) ‪ ( k=1 (ak − ak+1 )Bk‬מתכנסת כפי שרצינו‪.‬‬
‫∞´‬
‫∞‪P‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬ראינו שהאינטגרל ‪ 0 sinx x dx‬מתכנס‪ .‬באופן דומה‪ n=1 sinnnx ,‬מתכנס לכל‬
‫‪ .x ∈ R‬נסמן כאן ‪ an = n1‬ו־ ‪ bn = sin nx‬וניזכר ש־‬
‫‪(n+1)x‬‬
‫‪sin nx‬‬
‫‪2 sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin x2‬‬
‫= ‪sin kx‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫)עבור ‪ x 6= kπ‬לכל ‪ k‬שלם‪ ,‬ואילו עבור ‪ x = kπ‬הטור הוא ‪ 0‬ולכן מתכנס(‬
‫בערך מוחלט‪,‬‬
‫‪(n+1)x‬‬
‫‪sin nx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 sin‬‬
‫‪2‬‬
‫≤|‬
‫‪x‬‬
‫‪sin 2‬‬
‫| ‪| sin x2‬‬
‫| = |‪sin kx‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫|‬
‫‪k=1‬‬
‫מונוטונית וחיובית‪ ,‬והראינו‬
‫ולכן מתכנס‪ .‬לכן הטור המקורי מתכנס כי ‪P∞ (an ) → 0‬‬
‫שהטור השני חסום‪ .‬אפשר להראות טענה דומה גם לגבי ‪. n=1 cosnnx‬‬
‫‪P‬‬
‫הערה ‪ 3.25‬משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של קריטריון דיריכלה‪ ,‬עם ‪(−1)n+1‬‬
‫שהוא כמובן חסום‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪bn‬‬
‫‪P‬‬
‫‪,‬‬
‫)קריטריון אבל( תהי ) ‪ (an‬סדרה מונוטונית יורדת ל־ ‪ .a‬יהי ‪bn‬‬
‫משפט ‪3.26‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫אזי הטור ‪an bn‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫מונוטונית יורדת ל־ ‪ 0‬ו־ ‪ bn‬מתכנס‬
‫הוכחה‪ :‬נתבונן ב־ )‪ (an −a‬ו־ ‪ . bn‬כמובן )‪(an −a‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס‪ .‬אבל = ‪(an − a)bn‬‬
‫ולכן חסום‪ .‬לכן לפי משפט דיריכלה‪ ,‬הטור ‪(an − a)bn‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס כי הוא שווה ל־‬
‫‪ ,an bn = (an − a)bn + ab‬ולכן ‪an bn‬‬
‫‪− abn‬‬
‫‪ ,an bn P‬כלומר ‪Pn‬‬
‫‪ , (an − a)bn + abn‬ששניהם מתכנסים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.27‬לכל ‪ x‬נגדיר‬
‫‪0‬‬
‫‪x>0‬‬
‫‪−x x ≤ 0‬‬
‫(‬
‫(‬
‫‪x x≥0‬‬
‫= )‪P (x‬‬
‫‪0 x<0‬‬
‫= )‪N (x‬‬
‫‪73‬‬
‫טור מתכנס‪.‬‬
‫וכמובן מתקיים )‪.x = P (x) − N (x), |x| = P (x) + N (x‬‬
‫כמו כן‪ ,‬בהינתן ) ‪ (an‬סדרה‪ ,‬נגדיר ) ‪ Pn = P (an‬ו־ ) ‪ Nn = N (an‬סדרות מתאימות‪,‬‬
‫ואפשר גם לכתוב ישירות‪:‬‬
‫‪|an | − an‬‬
‫‪2‬‬
‫| ‪an + |an‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪Nn‬‬
‫= ‪Pn‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫ובמקרה‬
‫‪PnP‬‬
‫מתכנס בהחלט אםם הטורים ‪, Nn‬‬
‫משפט ‪ 3.28‬הטור ‪an‬‬
‫מתכנסים; ‪P‬‬
‫ו־‬
‫‪ S = P − N P‬כאשר ‪ S‬סכום הטור ‪ P , an‬סכום הטור ‪Pn‬‬
‫של התכנסות מתקיים‬
‫‪ N‬סכום הטור ‪. Nn‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫הוכחה‪ (⇐) :‬אם | ‪|an‬‬
‫מתכנס‪ ,‬נשים לב ש־ | ‪ Pn , Nn ≤ |an‬ולכן ‪P Pn , Nn‬‬
‫אריתמטיקה של טורים מתכנסים‪Pn − ,‬‬
‫לפי‬
‫לכן‬
‫ההשוואה‪.‬‬
‫קריטריון‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫שניהם לפי ‪P‬‬
‫מתכנסים ‪P‬‬
‫= ) ‪ (Pn − Nn‬מתכנס וכן ‪ S = P − N‬כפי‬
‫מתכנס‪an ,‬‬
‫) ‪Nn = (Pn − Nn‬‬
‫שרצינו‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫אריתמטיקה של טורים מתכנסים‬
‫לפי‬
‫אזי‬
‫מתכנסים‬
‫‪P‬‬
‫‪,‬‬
‫‪N‬‬
‫אם‬
‫להיפך‪,‬‬
‫)⇒(‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס בהחלט‪ ,‬ובכל מקרה‬
‫ולכן ‪an‬‬
‫גם ) ‪ (Pn + Nn‬מתכנס‪ ,‬והוא בדיוק | ‪|an‬‬
‫‪.S = P − N‬‬
‫‪3.4‬‬
‫החלפת סדר והכנסת סוגריים‬
‫הגדרה ‪ 3.29‬נאמר שהסדרה ) ‪ (bn‬מתקבלת מן הסדרה ) ‪ (an‬ע"י שינוי סדר אם קיימת‬
‫תמורה ‪ σ : N → N‬כך ש־ )‪ .bn = aσ(n‬באופן דומה נוכל לדבר על טור המתקבל מטור‬
‫אחר ע"י שינוי סדר‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫טור המתקבל ממנו ע"י שינוי סדר‪ .‬אזי ‪an‬‬
‫‪ P‬טור חיובי‪ ,‬ויהי ‪bn‬‬
‫משפט ‪ 3.30‬יהי ‪an‬‬
‫מתכנס‪ ,‬ובמקרה של התכנסות‪ ,‬סכומי הטורים שווים‪.‬‬
‫מתכנס אםם ‪bn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר כרגיל )‪ .sn = k=1 ak , tn = k=1 bk = k=1 aσ(k‬בהנתן ‪ n ∈ N‬יהי‬
‫‪ N ∈ N‬עם התכונה ‪ σ(i) ≤ N‬לכל }‪ .i ∈ {1, . . . , n‬כעת‪:‬‬
‫‪tn = aσ(1) + . . . + aσ(n) ≤ a1 + . . . + aN‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫חסם‬
‫≤ ‪ ,tn ≤ sN‬כלומר ‪an‬‬
‫מתכנס אז ‪an‬‬
‫אם ‪an‬‬
‫משום שהטור חיובי‪ .‬כעת ‪P‬‬
‫מתכנס )חסימות טור חיובי שקולה להתכנסות( ומתקיים‬
‫‪ P‬של } ‪ .{tn‬אם כך‪bnP,‬‬
‫מלעיל‬
‫‪. bn = sup{tn } ≤ an‬‬
‫מתקבלת מ־ ) ‪ (bn‬ע"י שינוי סדר ע"י התמורה ההפכית ‪,σ −1‬‬
‫אך נשים לב שגם ) ‪(an‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫ומכאן השוויון בין הסכומים‪.‬‬
‫≤ ‪an‬‬
‫ולכן מאותם שיקולים ‪bn‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס בהחלט ו־ ‪bn‬‬
‫מסקנה ‪ 3.31‬אם ‪an‬‬
‫מתכנס בהחלט וסכומי הטורים שווים‪.‬‬
‫‪74‬‬
‫‪P‬‬
‫מתקבל ממנו ע"י שינוי סדר‪ ,‬אז ‪bn‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ .3.27 P‬אבל‬
‫בסימוני הגדרה‬
‫הוכחה‪ :‬כאן מתקיים ) )‪bn = P aσ(n) = (Pσ(n) − Nσ(n‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס וכנ"ל )‪ . Nσ(n‬לכן לפי‬
‫חיובי ומתכנס‪ ,‬ולכן לפי המשפט גם )‪Pσ(n‬‬
‫‪Pn‬‬
‫אריתמטיקה של טורים מתכנסים‪,‬‬
‫‪an‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Nn‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Pn −‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪Nσ(n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Pσ(n) −‬‬
‫= )‪Nσ(n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Pσ(n) −‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) )‪(Pσ(n) − Nσ(n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪bn‬‬
‫‪X‬‬
‫כפי שרצינו‪ .‬כמו כן‪,‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫= | )‪|aσ(n‬‬
‫) )‪(Pσ(n) + Nσ(n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Pσ(n) +‬‬
‫= )‪Nσ(n‬‬
‫‪Pn +‬‬
‫= ‪Nn‬‬
‫| ‪|an‬‬
‫= | ‪|bn‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫מאותו השיקול‪.‬‬
‫הערה ‪ 3.32‬המשפט דורש את חיוביות הטור‪ .‬כלומר‪ ,‬אם טור מתכנס בתנאי‪ ,‬החלפת סדר‬
‫עלולה להשפיע על ההתכנסות )בהמשך נראה זאת–משפט רימן(‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫משפט ‪ 3.33‬אם ‪an‬‬
‫יתכנס לאותו הסכום‪.‬‬
‫מתכנס וסכומו ‪ ,S‬אזי כל טור המתקבל ממנו ע"י הכנסת סוגריים‬
‫הוכחה‪ :‬נתבונן בטור ‪bn‬‬
‫) ‪ (nk‬ב־ ‪ N‬כך ש־‬
‫‪P‬‬
‫שהתקבל ע"י הכנסת סוגריים‪ ,‬כלומר קיימת סדרה עולה ממש‬
‫‪b1 = a1 + . . . + an1 , . . . , bk = ank−1 +1 + . . . + ank‬‬
‫כאשר הכנסת הסוגריים התבצעה במקומות ה־ ) ‪ .(nk‬אבל כעת‪,‬‬
‫‪tk = b1 + . . . + bk = a1 + . . . + ank = snk‬‬
‫‪ P‬וכן‪ (snk ) / (sn ) ,‬ולכן מתכנסת לאותו הגבול‪ ,‬ולכן‬
‫מאסוציאטיביות של סכום סופי‪.‬‬
‫מתכנס ל־ ‪.S‬‬
‫) ‪ (tk‬מתכנסת ל־ ‪ S‬ולכן הטור ‪bn‬‬
‫הערה ‪ 3.34‬אזהרה‪ :‬אם טור מתכנס‪ ,‬הכנסת סוגריים משאירה טור מתכנס לאותו הסכום‪,‬‬
‫אבל אם הטור לא מתכנס‪ ,‬הכנסת הסוגריים עלולה להשפיע על ההתכנסות‪ .‬כלומר‪ ,‬אם‬
‫לאחר הכנסת סוגריים טור מתכנס‪ ,‬אין משמעות הדבר שהטור מתכנס גם לפני הכנסת‬
‫הסוגריים‪.‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬הטור ‪ 1 − 1 + 1 − 1 + . . .‬לא מתכנס‪ ,‬אבל אם מכניסים סוגריים‪ ,‬מתקבל‬
‫הטור ‪ (1 − 1) + (1 − 1) + . . . = 0‬שמתכנס‪.‬‬
‫‪75‬‬
‫כמו כן יש לשים לב שהכנסת סוגריים בטור שקולה למעבר לתת־סדרה של סדרת‬
‫הסכומים החלקיים‪ .‬לכן‪ ,‬לכל טור ניתן להוסיף סוגריים וליצור טור מתכנס )במובן הרחב(‪,‬‬
‫שהרי לכל סדרה יש תת־סדרה מתכנסת במובן הרחב‪.‬‬
‫זה גם נותן קריטריון להתבדרות‪ :‬אם ישנן שתי דרכים שונות להכניס סוגריים המובילות‬
‫לסכומים שונים‪ ,‬אזי הטור המקורי לא מתכנס )שכן לסדרת הסכומים החלקיים שלו שני‬
‫גבולות חלקיים שונים לפחות‪ ,‬ועל כן היא לא מתכנסת(‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫טור המתכנס בתנאי‪ .‬אזי הטורים המתאימים ‪Nn‬‬
‫למה ‪ 3.35‬יהי ‪an‬‬
‫‪ 3.27‬מתבדרים שניהם ‪.1‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Pn ,‬‬
‫‪P‬‬
‫מהגדרה‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית נשים לב שב־ ) ‪ (an‬אינסוף איברים חיוביים ואינסוף איברים שליליים‪.‬‬
‫ואז היה מתכנס‪P‬בהחלט בניגוד‬
‫‪ P‬אותו סימן‬
‫אחרת‪ ,‬הטור המקורי היה בעל‬
‫כמעט תמיד‪PN,‬‬
‫‪PN‬‬
‫‪N‬‬
‫מתכנס‪ ,‬שני‬
‫ולכן אם ‪an‬‬
‫‪a‬‬
‫=‬
‫‪P‬‬
‫‪−‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫להנחה‪ .‬יתר על כן‪n=1 Nn ,‬‬
‫הטורים מתבדרים או שני הטורים מתכנסים )שכן אם אחד מתבדר והשני מתכנס‪ ,‬סכומם‪,‬‬
‫המקורי‪ ,‬היה‪P‬מתבדר בסתירה להנחה(‪ .‬אבל כעת אם שניהם מתכנסים אזי‬
‫שהוא‬
‫‪P‬הטור ‪P‬‬
‫היה מתכנס בסתירה להנחה‪ ,‬ולכן אין מנוס מלהסיק ששניהם‬
‫= | ‪|an‬‬
‫‪Pn + Nn‬‬
‫מתבדרים‪ ,‬וכיוון שהם חיוביים‪ ,‬הם מתבדרים לאינסוף‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫טור המתכנס בתנאי‪ .‬אזי‪P‬לכל ‪ x ∈ R‬קיים טור ‪bn‬‬
‫משפט ‪) 3.36‬רימן( יהי ‪an‬‬
‫המתקבל מהטור המקורי ע"י החלפת סדר כך ש־ ‪. bn = x‬‬
‫‪P‬‬
‫הוכחה‪ :‬בה"כ נניח ‪ ,an 6= 0‬אחרת נוכל להשמיט את האפסים מבלי לשנות את הטור‪ .‬כמו‬
‫כן נבנה סדרות חדשות‪ (pk ) / (Pn ), (ql ) / (Nn ) ,‬שמתקבלות מהסדרות המקוריות ע"י‬
‫השמטת האפסים בסדרות אלה‪ .‬כמובן גם ) ‪.(pk ) / (an ), (−ql ) / (an‬‬
‫עתה נניח ‪) 0 ≤ x‬המקרה האחר דומה(‪ .‬יהי כעת ‪ k1‬האינדקס הראשון כך ש־‬
‫‪x < p1 + p2 + . . . + pk1 = s1‬‬
‫וכמובן ‪ .p1 + . . . + pk−1 ≤ x‬זה אפשרי כי ∞ = ‪pk‬‬
‫‪.pk1‬‬
‫כעת נוכל לבחור ‪ l1‬האינדקס הראשון המקיים‬
‫‪P‬‬
‫‪ .‬כמו כן יתקיים ≤ ‪0 ≤ s1 − x‬‬
‫‪t1 = s1 − (q1 + . . . + ql1 ) < x‬‬
‫‪P‬‬
‫וזה שוב אפשרי שכן ∞ = ‪ , ql‬וכן ‪.0 ≤ x − t1 < ql1‬‬
‫אינדקסים כך ש־ < ‪0 ≤ sm − x‬‬
‫נמשיך בצורה אינדוקטיבית כך שבצעד ה־ ‪ m‬בוחרים‪P‬‬
‫מתכנס ולכן ‪ (an ) → 0‬וגם‬
‫‪ pkm‬ו־ ‪ .0 ≤ x − tm < qlm‬נשים לב שהטור ‪an‬‬
‫‪ .(pk ), (ql ) → 0‬גם תת־הסדרות ) ‪ (pkm ), (qkl‬מתכנסות ל־ ‪ .0‬ואז מקבלים סנדוויץ'‪ ,‬שהרי‬
‫‪.(sm ) → x, (tm ) → x‬‬
‫אי אפשר לעצור כאן כי אלה רק חלק מהסכומים החלקיים של הטור החדש שאנו בונים‪.‬‬
‫אם כך יהי ‪ un‬סכום חלקי כלשהו של הטור לאחר הסידור מחדש שמוביל לסדרת הסכומים‬
‫החלקיים )‪.(s1 , t1 , s2 , t2 , . . .‬‬
‫‪1‬בהרצאה‪ ,‬למה זו ניתנה כהערה במסגרת הוכחת המשפט‪ ,‬ולכן היא חלק אינטגרלי הימנו‪.‬‬
‫‪76‬‬
‫אם ‪ un‬הוא סכום שהאיבר האחרון בו הוא חיובי‪ ,‬אזי קיים ‪ m‬כך ש־ ‪tm−1 ≤ un ≤ sm‬‬
‫)כאשר לצורך העניין נניח ‪ .(t0 = 0‬באופן דומה‪ ,‬אם ‪ un‬הוא סכום שהאיבר האחרון בו‬
‫הוא שלילי‪ ,‬אזי קיים אינדקס ‪ m‬כך ש־ ‪) tm ≤ un ≤ sm−1‬ושוב ‪ .(s0 = 0‬אבל כאשר‬
‫∞ → ‪ n‬גם ∞ → ‪ m‬ולכן מקבלים שוב סנדוויץ' ובגללו ‪ (un ) → x‬כפי שרצינו‪.‬‬
‫נתבונן בדוגמא מפורסמת מאוד‪ ,‬שהיא הטור ההרמוני בעל סימנים מתחלפים‪ ,‬כלומר הטור‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪+ − + ...‬‬
‫‪2 3 4‬‬
‫‪1−‬‬
‫ראינו שהטור הזה מתכנס‪ ,‬נניח ל־ ‪ .L‬ראינו גם שהכנסת סוגריים לטור מתכנס לא‬
‫משנה את ההתכנסות‪ ,‬ולכן נקבץ אותו בתור‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫‪−‬‬
‫‪)=L‬‬
‫= ‪(1 − ) + ( − ) + . . .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪2n − 1 2n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫כעת נתבונן בטור המתקבל ע"י החלפת סדר האיברים‪ ,‬כך שיהיו שניים שליליים ואחד‬
‫חיובי‪ .‬את הטור המתקבל אפשר לכנס באמצעות‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪(1 − − ) + ( − − ) + . . .‬‬
‫(‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫)‬
‫‪2 4‬‬
‫‪3 6 8‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4n‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 12 ( 2n−1‬ולכן כל הסכום הוא מחצית מהסכום‬
‫‪− 2n‬‬
‫נשים לב שהביטוי הנסכם שווה ל־ )‬
‫המקורי‪ ,‬כלומר ‪ . L2‬באופן דומה ניתן להראות שאם מחליפים את סדר האיברים כך שיהיו‬
‫‪) . 3L‬כל זאת ועוד בתרגיל ‪(.10‬‬
‫שניים חיוביים ואחד שלילי‪ ,‬סכום הטור משתנה להיות ‪2‬‬
‫‪3.5‬‬
‫מכפלת טורים‬
‫‪2‬‬
‫נציין שקיימות דרכים רבות להציג מכפלת טורים‪ ,‬שהרי לא ברור בצורה חד־משמעית כיצד‬
‫יש לכפול שני סכומים אינסופיים‪ .‬אנו נשתמש בהגדרת המכפלה של קושי‪ ,‬שמאפשרת את‬
‫התוצאה הנוחה הבאה‪:‬‬
‫משפט ‪ 3.37‬יהיו ‪bn‬‬
‫‪P‬‬
‫‪an ,‬‬
‫‪P‬‬
‫טורים מתכנסים בהחלט‪ .‬יהי ‪cn‬‬
‫‪ai bj‬‬
‫‪i+j=n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪P‬‬
‫הטור כך ש־‬
‫= ‪cn‬‬
‫‪0≤i,j≤n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס ומתקיים ) ‪cn = ( an )( bn‬‬
‫אזי הטור ‪cn‬‬
‫‪P‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬פרק זה נלמד רק בהרצאה של מר איתמר צביק‪ ,‬ולכן ככל הנראה אינו מהווה חומר לבחינה‪.‬‬
‫‪77‬‬
‫הוכחה‪ :‬נבנה את הסדרה )‪ ,(a0 b0 , a1 b0 , a0 b1 , a2 b0 , a1 b1 , a0 b2 , . . .‬וכעת נראה שהטור‬
‫המתאים לסדרה הזאת מתכנס בהחלט‪ .‬נתבונן בסכום חלקי כלשהו ‪ .s‬יהי ‪ N‬המקסימלי‬
‫‪P‬חלקי זה‪P.‬אזי סכום האיברים המוחלטים שמופיעים‬
‫מבין האינדקסים ‪ i, j‬המופיעים בסכום‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫(‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫()| ‪|ai‬‬
‫בסכום זה חסום מלמעלה ע"י )| ‪|bj‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫( ≤ )| ‪|bj‬‬
‫()| ‪|an‬‬
‫∞ < )| ‪|bn‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫()| ‪|ai‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫( ≤ | ‪|ai bj‬‬
‫‪X‬‬
‫‪0≤i,j≤N‬‬
‫בזאת הראינו שהטור מתכנס בהחלט‪ ,‬שהרי סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה‪.‬‬
‫הסכימה מבלי לשנות את סכום הטור‪,‬‬
‫ראינו שמותר לנו להכניס סוגריים ולשנות את סדר ‪P‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫ולקבל שהטור ‪cn = (a0 b0 ) + (a0 b1 + a1 b0 ) + . . .‬‬
‫על מנת לחשב את סכומו‪ ,‬נתבונן בסכומים "לפי ריבועים"‪:‬‬
‫‪a0 b0 + (a1 b0 + a1 b1 + a0 b1 ) + (a0 b0 + a2 b1 + a2 b2 + a1 b2 + a0 b2 ) + . . .‬‬
‫הסכומים החלקיים של טור זה‪ ,‬ו־ ‪ un , sn‬הסכומים החלקיים של הטורים‬
‫סדרת ‪P‬‬
‫תהי ) ‪P (tn‬‬
‫המקוריים ‪ . an , Pbn‬אזי מתקיים ‪ tn = sn un‬וזו מכפלה של סדרות מתכנסות‪ ,‬כלומר‬
‫‪P‬‬
‫ריבועים" מתכנס למכפלת סכומי‬
‫) ‪ .tn = sn un → ( an )( bn‬כיוון שכך‪ ,‬הטור "לפי ‪P‬‬
‫ע"י הכנסת סוגריים והחלפת‬
‫‪P‬והוא בעצמו בסה"כ מתקבל מהטור ‪cn‬‬
‫הטורים המקוריים‪,‬‬
‫מתכנס למכפלת סכומי הטורים המקוריים‪ ,‬כנדרש‪.‬‬
‫סדר‪ ,‬ולכן גם ‪cn‬‬
‫‪P∞ xn‬‬
‫דוגמא‪ :‬ראינו כבר שהטור !‪ E(x) = n=0 n‬מתכנס בהחלט‪ .‬כעת נתבונן ב־ )‪E(x)E(y‬‬
‫עבור ‪ x, y ∈ R‬כלשהם‪ .‬ובכן‪,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪∞ i n−i‬‬
‫∞‬
‫‪∞ X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪xi y n−i‬‬
‫‪n xy‬‬
‫‪(x + y)n‬‬
‫=‬
‫=‬
‫)‪= E(x + y‬‬
‫= )‪E(x)E(y‬‬
‫‪i! (n − i)! n=0 i‬‬
‫!‪n‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪n=0 i=0‬‬
‫אנטי־דוגמא‪ :‬הטור‬
‫∞‪P‬‬
‫‪n√ 1‬‬
‫)‪n=0 (−1‬‬
‫‪n+1‬‬
‫מתכנס בתנאי‪ .‬נכפול אותו בעצמו לפי קושי‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪2(n + 1‬‬
‫√‬
‫‪p n‬‬
‫≥‬
‫=‬
‫≥‬
‫‪→2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n+2‬‬
‫‪n+2‬‬
‫)‪n − k + 1 k + 1 k=0 ( 2 + 1) − ( 2 − k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫√‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= | ‪|cn‬‬
‫‪k=0‬‬
‫כלומר‪ ,‬האיבר הכללי של טור המכפלה אינו שואף ל־ ‪ ,0‬ולכן טור המכפלה בכלל לא‬
‫מתכנס )וזאת משום שהטור המקורי מתכנס בתנאי ולא בהחלט(‪.‬‬
‫‪3.6‬‬
‫אפיון לֶבֶג לאינטגרביליות‬
‫ראינו בעבר ששינוי מספר סופי של נקודות לא פוגע באינטגרביליות של פונקציה וגם‬
‫לא בערך האינטגרל‪ .‬השאלה היא האם שינוי של מספר אינסופי של נקודות בהכרח‬
‫פוגע באינטגרביליות‪ .‬הזכרנו קודם ששינוי של מספר בן־מניה של נקודות לא משפיע על‬
‫אינטגרביליות‪ ,‬כלומר למשל פונקציה בעלת מספר בן־מניה של נקודות אי־רציפות היא עדיין‬
‫אינטגרבילית‪ .‬כאן נרצה להגיע לתוצאה אפילו יותר חזקה‪.‬‬
‫‪78‬‬
‫הגדרה ‪ 3.38‬קבוצה ‪ A ⊆ R‬תיקרא בת מניה אם קיימת התאמה חח"ע ועל בין ‪ N‬לבין ‪.A‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬אם קיימת סדרה ) ‪ (xn‬שהיא על ‪ ,A‬כלומר ‪.{xn } = A‬‬
‫אין לנו עניין במושג המידה הכללי‪ ,‬אבל מעניינת אותנו מידה אפס‪:‬‬
‫‪P‬לכל ‪ 0 < ε‬קיימת סדרה ) ‪(In‬‬
‫תיקרא בעלת מידה אפס אם‬
‫הגדרה ‪ 3.39‬קבוצה ‪S A ⊆ R‬‬
‫∞‬
‫של קטעים פתוחים כך ש־ ‪ A ⊆ In‬וגם ‪. n=1 l(In ) < ε‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬כל קבוצה סופית } ‪ A = {x1 , . . . , xN‬היא בעלת מידה אפס‪ .‬בהינתן ‪ 0 < ε‬לכל ‪i‬‬
‫נמצא ‪ xi ∈ Ii‬כך ש־ ‪ .l(Ii ) < Nε‬החל מ־ ‪ ,N‬נגדיר ∅ = ‪ In‬וקיימנו את ההגדרה‪) .‬למען‬
‫ההגינות‪ ,‬דרשנו ש־ ‪ In‬תמיד יהיו קטעים‪ ,‬וקבוצה ריקה היא קטע באופן ריק‪(...‬‬
‫הקבוצה בסדרה ) ‪ .(xn‬בהנתן‬
‫‪ .2‬כל קבוצה בת מניה היא בעלת מידה אפס‪ .‬נסדר את ∞‪P‬‬
‫‪ 0 < ε‬יהי ‪ xi ∈ Ii‬כך ש־ ‪ .l(Ii ) < 2εi‬כמובן‪ i=1 l(Ii ) < ε ,‬משיקולי טור גיאומטרי‪.‬‬
‫בעלת מידה אפס )אם מקבלים את הקביעה שהיא בת מניה(‪.‬‬
‫מכאן ניתן להסיק למשל ש־ ‪Q‬‬
‫∞‪S‬‬
‫כאן‪,‬‬
‫אפס‪.‬‬
‫מידה‬
‫בעלות‬
‫קבוצות‬
‫של‬
‫מניה‬
‫בן‬
‫איחוד‬
‫‪,A‬‬
‫=‬
‫‪ .3‬נתבונן בקבוצה ‪n=1 An‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪l(I‬‬
‫)‬
‫<‬
‫ש־‬
‫ונדרוש‬
‫‪I‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪I‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫פתוחים‬
‫קטעים‬
‫אפשר לכסות את ‪ A1‬באמצעות‬
‫‪1n‬‬
‫‪11‬‬
‫‪1n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪ . 2ε‬באופן דומה‪ ,‬לכל ‪ Aj‬נדרוש ‪ . n=1 l(Ijn ) < 2εj‬זה ייתן לנו סדרה כפולה‪ ,‬וראינו‬
‫שאפשר לבנות ממנה סדרה רגילה‪ .‬לא הוכחנו‪ ,‬אבל אפשר לסכום לפי שורות ואז לפי‬
‫שינוי‬
‫העמודה של הסכומים ואם מתקבלת תוצאה מתכנסת‪ ,‬אז אפשר לשנות סדר ללא‪P P‬‬
‫התכנסות‪ .‬הסדרה המתקבלת‪ ,‬מאותם שיקולים של טור גיאומטרי‪ ,‬תקיים ‪l(Iij ) < ε‬‬
‫כנדרש מההגדרה‪.‬‬
‫‪ .4‬אם ‪ B ⊆ A‬ו־ ‪ A‬בעלת מידה אפס‪ ,‬אז גם ‪ B‬בעלת מידה אפס‪.‬‬
‫‪ .5‬לא כל קבוצה בעלת מידה אפס היא בת מניה‪ .‬למשל‪ ,‬אפשר לקחת את הקטע ]‪[0, 1‬‬
‫ולהוציא מתוכו את השליש האמצעי ) ‪ ( 13 , 23‬ואז מתוך שני הקטעים הנותרים שוב להוציא את‬
‫השליש האמצעי‪ ,‬וכד'‪ .‬אפשר להראות שבסה"כ סכום האורכים של הקטעים שהוצאנו הוא‬
‫‪ ,1‬כלומר מה שנשאר הוא בעל מידה אפס‪ ,‬על אף שהקבוצה אינה בת מניה )שגם את זה‬
‫כמובן צריך להראות(‪ .‬ר' למשל בויקיפדיה‪.Cantor set ,‬‬
‫אם לכל ‪ 0 < ε‬קיימת סדרה סופית‬
‫תיקרא בעלת תכולה אפס‪PN‬‬
‫הגדרה ‪ 3.40‬קבוצה ‪SNA ⊆ R‬‬
‫) ‪ (I1 , . . . , IN‬כך ש־ ‪ A ⊆ n=1 In‬וכן ‪. n=1 l(In ) < ε‬‬
‫הערה ‪ 3.41‬כמובן‪ ,‬כל קבוצה סופית היא בעלת תכולה אפס‪ ,‬וכל קבוצה בעלת תכולה אפס‬
‫היא בעלת מידה אפס‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.42‬תהי ]‪ f ∈ B[a, b‬ויהי ‪ .0 < α‬נאמר ש־ ‪ f‬היא ‪α‬־רציפה ב־ ]‪ x ∈ [a, b‬אם‬
‫קיים ‪ 0 < δ‬כך שלכל )‪ y, z ∈ (x − δ, x + δ‬מתקיים ‪) .|f (y) − f (z)| < α‬במונחי תנודה‪,‬‬
‫‪(.ωf (x) < α‬‬
‫טענה ‪ f 3.43‬רציפה ב־ ‪ x‬אםם לכל ‪ f ,0 < α‬היא ‪α‬־רציפה ב־ ‪.x‬‬
‫הוכחה‪ (⇐) :‬בהנתן ‪ 0 < α‬נמצא מהרציפות ‪ 0 < δ‬כך שאם ‪ |x − x0 | < δ‬אז ‪|f (x) −‬‬
‫‪ .f (x0 )| < α2‬כעת בהנתן )‪ ,x, y ∈ (x0 −δ, x0 +δ‬כלומר גם ‪ |y−x0 | < δ‬וגם ‪,|x−x0 | < δ‬‬
‫מתקיים‬
‫‪ε ε‬‬
‫‪+ =ε‬‬
‫‪2 2‬‬
‫< |)‪|f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − f (x0 )| + |f (x0 ) − f (y‬‬
‫‪79‬‬
‫)⇒( בהנתן ‪ 0 < ε‬נמצא מה־ ‪α‬־רציפות עבור ‪ α = ε‬את ‪ 0 < δ‬כך שאם ∈ ‪x, y‬‬
‫)‪ (x0 −δ, x0 +δ‬אז ‪ .|f (x)−f (y)| < ε‬כעת אם ‪ |x−x0 | < δ‬אז כמובן )‪x ∈ (x0 −δ, x0 +δ‬‬
‫וגם ‪ x0‬באותה סביבה‪ ,‬ולכן ‪.|f (x) − f (x0 )| < ε‬‬
‫הגדרה ‪ 3.44‬בהנתן ]‪ f ∈ B[a, b‬נסמן לכל ‪ 0 < α‬את הקבוצה ‪ Dα‬של הנקודות שבהן ‪f‬‬
‫איננה ‪α‬־רציפה‪.‬‬
‫הערה ‪ .0 3.45‬אם ‪ ,x ∈ Dα‬זה אומר שלכל ‪ 0 < δ‬קיימים )‪ y, z ∈ (x − δ, x + δ‬כך ש־‬
‫‪.|f (y) − f (z)| ≥ α‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ 0 < α < β‬אזי ‪ ,Dβ ⊆ Dα‬שהרי ‪.|f (y) − f (z)| ≥ β > α‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ f‬איננה רציפה ב־ ‪ ,x‬אז קיים ‪ 0 < α‬כך ש־ ‪ .x ∈ Dα‬זה נובע מהטענה‬
‫כזה‪ ,‬הפונקציה הייתה רציפה ב־‪.xS‬‬
‫הקודמת‪ ,‬שכן אם לא היה קיים ‪S α‬‬
‫‪ .3‬כמסקנה מסעיף ‪ .D = α∈R+ Dα ,2‬יתר על כן‪ D = n∈N D n1 ,‬שזהו איחוד בן‬
‫מניה של הקבוצות ‪) {D n1 }n∈N‬בגלל סעיף ‪ ,1‬בהנתן ‪ 0 < α‬די ש־ ‪.(α > n1‬‬
‫למה ‪ 3.46‬תהי ]‪ .f ∈ R[a, b‬אזי לכל ‪ ,0 < α‬הקבוצה ‪ Dα‬בעלת תכולה אפס‪.‬‬
‫אינטגרבילית‪ ,‬קיימת חלוקה ‪ P‬כך ש־‬
‫הוכחה‪ :‬בהנתן ‪ 0 < ε‬יהי ‪ .0 < ε0 < ε‬כיוון ש־ ‪f‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪ ,U(P) − L(P) < αε0‬כלומר ‪. i=1 (Mi − mi )∆xi < αε0‬‬
‫‪S‬‬
‫כעת נאמר ש־ ‪ i ∈ B‬אם ∅ =‪ Dα ∩ (xi−1 , xi ) 6‬וכמובן ] ‪ Dα ⊆ i∈B [xi−1 , xi‬וייתכן‬
‫רק שפספסנו את הקצוות‪ .‬לכן‪ ,‬נאמר ש־‬
‫} ‪{x0 , . . . , xn‬‬
‫[‬
‫) ‪(xi−1 , xi‬‬
‫[‬
‫⊆ ‪Dα‬‬
‫‪i∈B‬‬
‫יתר על כן‪ ,‬אם ‪ i ∈ B‬אז בקטע ) ‪ (xi−1 , xi‬יש זוג נקודות שעליהן ערך הפונקציה ≤ ‪,α‬‬
‫ולכן כמובן ‪ .Mi − mi ≥ α‬לכן‪,‬‬
‫‪∆xi‬‬
‫‪X‬‬
‫‪(Mi − mi )∆xi ≥ α‬‬
‫‪i∈B‬‬
‫‪X‬‬
‫≥ ‪(Mi − mi )∆xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫> ‪αε0‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i∈B‬‬
‫‪P‬‬
‫לכן קיבלנו ‪ i∈B ∆xi < ε0‬ע"י צמצום ב־ ‪ .0 < α‬יש גם מספר סופי של נקודות‬
‫)נקודות החלוקה( שעלינו לכסות בקטעים פתוחים שאורכם הכולל > ‪ .ε − ε0‬זה כמובן לא‬
‫‪0‬‬
‫‪ l(Ii ) < ε−ε‬ואז נקבל את הכיסוי הסופי הנדרש‪,‬‬
‫קשה‪ ,‬יהיו ‪ xi ∈ Ii‬קטעים פתוחים כך ש־ ‪n+1‬‬
‫ [‬
‫‪ [ n+1‬‬
‫) ‪(xi−1 , xi‬‬
‫‪Ii‬‬
‫‪i=0‬‬
‫[‬
‫‪i∈B‬‬
‫ומתקיים גם‬
‫‪80‬‬
‫⊆ ‪Dα‬‬
‫) ‪d(xi−1 , xi‬‬
‫‪X‬‬
‫‪l(Ii ) +‬‬
‫‪i∈B‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪X‬‬
‫> ‪ε = (ε − ε0 ) + ε0‬‬
‫‪i=0‬‬
‫כפי שרצינו‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 3.47‬אם ]‪ f ∈ R[a, b‬אז ‪ D‬בעלת מידה אפס‪) .‬איחוד בן מניה של קבוצות בעלות‬
‫תכולה אפס‪ ,‬ובפרט מידה אפס‪(.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.48‬תהי ]‪ .f ∈ B[a, b‬נאמר ש־ ‪ f‬היא ‪α‬־רציפה במידה שווה ב־ ]‪ [a, b‬אם קיים‬
‫‪ 0 < δ‬כך שלכל ]‪ y, z ∈ [a, b‬אם ‪ |y − z| ≤ δ‬אז ‪.|f (y) − f (z)| < α‬‬
‫טענה ‪ f 3.49‬רציפה במ"ש בקטע אםם לכל ‪ 0 < α‬היא ‪α‬־רציפה במ"ש בקטע‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬הנה המשמעות של שתי הטענות‪:‬‬
‫‪|x − y| < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < ε‬‬
‫‪∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ I‬‬
‫‪|x − y| < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < α‬‬
‫‪∀α > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ I‬‬
‫כלומר‪ ,‬הן זהות לחלוטין‪.‬‬
‫משפט ‪ 3.50‬תהי ]‪ .f ∈ B[a, b‬אם ‪ f‬היא ‪α‬־רציפה בכל נקודה ]‪ x ∈ [a, b‬אז ‪ f‬היא‬
‫‪α‬־רציפה במ"ש ב־ ]‪.[a, b‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 3.51‬הקבוצה ‪ A ⊆ R‬תיקרא סגורה אם כל סדרה ) ‪ (xn‬ב־ ‪ A‬שמתכנסת‪ ,‬מתכנסת‬
‫לגבול ב־ ‪.A‬‬
‫למשל‪ ,‬כל קטע סגור ב־ ‪ R‬מהווה קבוצה סגורה‪ ,‬לרבות ‪ R‬עצמו‪.‬‬
‫למה ‪ 3.52‬לכל ‪ 0 < α‬הקבוצה ‪ Dα‬סגורה‪.‬‬
‫∈ ‪ ,x‬כלומר קיים‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ) ‪ (xn‬סדרה ב־ ‪ Dα‬המתכנסת ל־ ‪ .x‬נניח בשלילה ש־ ‪/ Dα‬‬
‫‪ 0 < δ‬כך שאם )‪ y, z ∈ (x−δ, x+δ‬אז ‪ .|f (y)−f (z)| < α‬אבל אז = ) ‪Dα ∩(x− 2δ , x+ 2δ‬‬
‫∅‪ .‬מדוע? כי אם ) ‪ x0 ∈ Dα ∩ (x − 2δ , x + 2δ‬אז עבור ‪ δ 0 = 2δ‬מתקיים התנאי של ‪α‬־רציפות‬
‫בנקודה ‪.x0‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪δ‬‬
‫אבל זה אומר שבקטע ) ‪ (x − 2 , x + 2‬אין אף איבר של ) ‪ ,(xn‬בסתירה לכך ש־ ‪ x‬הוא‬
‫הגבול שלה‪ .‬לכן ‪ ,x ∈ Dα‬כלומר הקבוצה סגורה‪.‬‬
‫‪81‬‬
‫למה ‪) 3.53‬הלמה של היינה־בורל‪ ,‬קומפקטיות( תהי ]‪ B ⊆ [a, b‬קבוצה‪ S‬סגורה‪ .‬נניח ש־‬
‫‪ B‬ניתנת לכיסוי ע"י הקטעים הפתוחים והחסומים } ‪ ,{Ii‬כלומר ‪ .B ⊆ j∈J Ij‬אזי קיים‬
‫תת־כיסוי סופי‪ ,‬כלומר קיימים אינדקסים ‪ j1 , . . . , jn ∈ J‬כך ש־ ‪.B ⊆ Ij1 ∪ · · · ∪ Ijn‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה שקיים כיסוי ‪ C = {Ij }j∈J‬כזה שכל תת־קבוצה שלו אינה מכסה את‬
‫‪a+b‬‬
‫‪ .[ a+b‬יהי ‪ Q1‬תת קטע כך ש־ ‪ B ∩ Q1‬אינו ניתן לכיסוי‬
‫‪ .B‬נתבונן בקטעים ] ‪ [a, 2‬ו־ ]‪2 , b‬‬
‫ע"י תת־קבוצה סופית של ‪ .C‬קיים כזה‪ ,‬כי אילו שני החצאים היו ניתנים לכיסוי סופי‪ ,‬גם‬
‫הקטע כולו היה ניתן לכיסוי סופי‪.‬‬
‫‪|Qn | = b−a‬‬
‫ו־‬
‫‪,Q‬‬
‫=‬
‫‪[a,‬‬
‫]‪b‬‬
‫‪,Q‬‬
‫⊂‬
‫‪Q‬‬
‫ש־‬
‫כך‬
‫קטעים‬
‫באופן דומה‪ ,‬נבנה סדרה של‬
‫‪n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫כך שהקבוצה ∅ =‪ B ∩ Qn 6‬אינה ניתנת‪T‬לכיסוי ע"י תת־קבוצה סופית של ‪.C‬‬
‫לפי הלמה של קנטור‪ ,‬יהי ‪ .x ∈ n∈N Qn‬נשים לב ש־ ‪ !x ∈ B‬מדוע? ובכן‪ ,‬יהי‬
‫‪ |xn − x| ≤ b−a‬כי ‪ .x, xn ∈ Qn‬לכן ‪ (xn ) → x‬כסדרה‪ ,‬אבל‬
‫‪ .xn ∈ B ∩ Qn‬אזי כמובן ‪2n‬‬
‫‪ B‬סגורה ולכן ‪ x ∈ B‬בתור גבול של סדרה ב־ ‪) B‬שהרי ‪.(xn ∈ B‬‬
‫אם כך‪ ,‬קיים ‪ j ∈ J‬כך ש־ ‪) x ∈ Ij‬בהיות ‪ .(x ∈ B‬כעת קיים ‪ 0 < δ‬כך ש־‬
‫‪ ,[x − δ, x + δ] ⊂ Ij‬וקיים גם ‪ n‬כך ש־ ‪ l(Qn ) < δ‬וכמובן ‪ .x ∈ Qn‬לכן ‪ ,Qn ⊂ Ij‬וזו‬
‫סתירה‪ ,‬כי הצלחנו לכסות את ‪ Qn‬ע"י קטע אחד בלבד‪ ,‬שהוא תת־קבוצה סופית של ‪.C‬‬
‫למה ‪ 3.54‬אם ‪ D‬בעלת מידה אפס‪ ,‬אז לכל ‪ 0 < α‬הקבוצה ‪ Dα‬בעלת תכולה אפס‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראינו ש־ ‪ ,Dα ⊆ D‬ולכן ‪ Dα‬גם כן בעלת מידה אפס‪ .‬כלומר‪ ,‬בהינתן ‪ 0 < ε‬קיים‬
‫כיסוי של ‪ Dα‬ע"י קטעים שסכום אורכיהם קטן מ־ ‪ .ε‬אבל כיוון ש־ ‪ Dα‬סגורה‪ ,‬לפי הלמה‬
‫של היינה־בורל קיימת תת־קבוצה סופית של כיסוי זה שמהווה כיסוי סופי של ‪ ,Dα‬וכמובן‬
‫סכום אורכי הקטעים בתת־כיסוי זה קטן גם הוא מ־ ‪.ε‬‬
‫למעשה‪ ,‬אפשר לדרוש גם שהכיסוי יהיה איחוד זר‪ :‬אם יש בכיסוי שני קטעים שנחתכים‪,‬‬
‫נחליף אותם באיחוד שלהם‪ ,‬מה שייתן לנו קטע חדש עם אורך שלא יעלה על סכום אורכי‬
‫שני הקטעים המקוריים‪.‬‬
‫משפט ‪ 3.55‬אם ]‪ f ∈ B[a, b‬ו־ ‪ D‬בעלת מידה אפס‪ ,‬אז ]‪.f ∈ R[a, b‬‬
‫ניתן להציג‬
‫הוכחה‪ :‬בהנתן ‪< ε‬‬
‫‪ 0 U‬יהי ‪ .0 < α < ε‬הקבוצה ‪ Dα‬בעלת תכולה אפס‪ ,‬ולכן‪Pn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ Dα ⊆ i=1‬איחוד זר של קטעים פתוחים כך ש־ ‪ . i=1 l(Ii ) < ε‬נתבונן‬
‫אותה בתור ‪UnIi‬‬
‫במשלים ‪ [a, b] \ i=1 Ii‬שהוא איחוד זר של מספר סופי של קטעים סגורים ‪.J1 , . . . , Jm‬‬
‫נתבונן בכיסוי של ]‪ [a, b‬המורכב מהקטעים הסגורים ‪ J1 , . . . , Jm‬והקטעים ‪I1 , . . . , In‬‬
‫שהם הקטעים הפתוחים לאחר שסגרנו אותם בקצוות‪ .‬כיסוי זה משרה חלוקה ‪ P‬של ]‪.[a, b‬‬
‫אבל כעת‪,‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪(Mj − mj )∆xj +‬‬
‫‪(Mi − mi )∆xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= )‪U(P) − L(P‬‬
‫‪j=1‬‬
‫כאשר האינדקסים השמאליים מתאימים ל־ ‪ J1 , . . . , Jm‬והאינדקסים הימניים ל־ ‪.I1 , . . . , In‬‬
‫יהיו ‪ m < f < M‬חסמים על ‪ ,f‬ואז‪:‬‬
‫‪∆xi < (M − m)ε‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪(Mi − mi )∆xi ≤ (M − m‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪82‬‬
‫יתר הקטעים } ‪ {Jj‬לא שייכים ל־ ‪ ,Dα‬כלומר הפונקציה ‪α‬־רציפה בהם‪ .‬הקטעים‬
‫האלה סגורים‪ ,‬ובכל אחד מהם הפונקציה ‪α‬־רציפה במ"ש ולכן היא ‪α‬־רציפה במ"ש ב־‬
‫‪ .J1 ∪ · · · ∪ Jm‬עבור ‪ 0 < ε‬שאנו עובדים איתו‪ ,‬קיים ‪ 0 < δ‬כך ש־‬
‫‪|y − z| ≤ δ =⇒ |f (y) − f (z)| < α < ε‬‬
‫‪Ji‬‬
‫‪m‬‬
‫[‬
‫∈ ‪∀y, z‬‬
‫‪i=1‬‬
‫נעדן את ‪ P‬אם צריך‪ ,‬כך ש־ ‪ λ(P) < δ‬ואז‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪(Mj − mj )∆xj ≤ α‬‬
‫)‪∆xj < ε(b − a‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪j=1‬‬
‫)מאחר שאורכי הקטעים קטנים מ־ ‪ ,δ‬הרצבמ"ש מספקת את החסם( ובסה"כ קיבלנו‬
‫‪U(P) − L(P) < (M − m)ε + (b − a)ε‬‬
‫כלומר כפולה קבועה וחיובית של ‪ ,ε‬ולכן סיימנו‪.‬‬
‫מסקנה ‪) 3.56‬אפיון לבג לאינטגרביליות( ]‪ f ∈ B[a, b‬אינטגרבילית אםם קבוצת נקודות‬
‫האי־רציפות שלה )‪ (D‬בעלת מידה אפס‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4.1‬‬
‫סדרות וטורי פונקציות‬
‫סדרות פונקציות‬
‫הגדרה ‪ 4.1‬תהי ‪ .X ⊆ R‬סדרה של פונקציות ממשיות ) ‪ (fn‬ב־ ‪ X‬הינה סדרה כך ש־‬
‫‪ fn : X → R‬פונקציה‪.‬‬
‫נאמר שסדרת הפונקציות ) ‪ (fn‬מתכנסת ב־ ‪ x ∈ X‬אם סדרת המספרים ))‪(fn (x‬‬
‫מתכנסת‪ .‬נאמר שסדרת הפונקציות מתכנסת נקודתית ב־ ‪ X‬אם היא מתכנסת לכל ‪.x ∈ X‬‬
‫במקרה זה‪ ,‬נגדיר ‪ f : X → R‬המקיימת )‪ f (x) := limn→∞ fn (x‬והיא תיקרא הפונקציה‬
‫הגבולית של הסדרה‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ ,fn (x) = n1 x .1‬והפונקציה הגבולית היא ‪.0‬‬
‫‪ ,gn (x) = xn , X = [0, 1] .2‬והפונקציה הגבולית היא ‪ 0‬בכל הקטע למעט ‪ ,1‬שם היא‬
‫‪ .1‬זו דוגמא לכך שגבול של סדרת פונקציות רציפות אינו בהכרח פונקציה רציפה‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x < − n1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1‬‬
‫≤ ‪fn (x) = −1 + n(x + n ) − n1 ≤ x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n <x‬‬
‫‪83‬‬
‫וכאן הפונקציה הגבולית היא )‪.sgn(x‬‬
‫‪ .4‬הפונקציה ה־ ‪ n‬יוצרת משולש בגובה ‪ 2n‬וברוחב ‪ n1‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫במקרה זה‪ ,‬האינטגרל של הפונקציה הגבולית )שהוא ‪ (0‬לא מתלכד עם הגבול של‬
‫האינטגרלים )שהוא ‪.(1‬‬
‫‪ kn (x) = x21+n .5‬בקטע ]‪ ,[0, 1‬וכאן הפונקציה הגבולית היא זהותית ‪ 0‬על כל הקטע‪.‬‬
‫‪ hn (x) = x1n .6‬בקרן )∞ ‪ [1,‬וכאן הפונקציה הגבולית היא ‪ 0‬למעט ב־ ‪ 1‬שם היא ‪.1‬‬
‫‪ dn (x) = limm→∞ (cos n!πx)2m .7‬ב־ ]‪.[0, 1‬‬
‫זאת פונקציה שניתן להגדיר גם בתור‬
‫(‬
‫‪Z‬‬
‫!‪1 n!x ∈ Z ⇐⇒ x ∈ ” n‬‬
‫”‬
‫= )‪dn (x‬‬
‫‪0 otherwise‬‬
‫∈ ‪ .x‬לכל ‪ ,n‬ל־ )‪ dn (x‬יש מספר סופי של נקודות אי־רציפות‪.‬‬
‫כלומר‪ dn (x) = 0 ,‬לכל ‪/ Q‬‬
‫זאת משום שאנו מחפשים ‪ x = pq‬עם ‪ 0 ≤ p ≤ q‬כך ש־ ‪ n! pq‬הוא שלם‪ ,‬ויש רק מספר סופי‬
‫של ‪q‬־ים שמתקזזים עם !‪ n‬בקטע ]‪ .[0, 1‬לכן הפונקציות האלה כולן אינטגרביליות‪.‬‬
‫מאידך ניתן להראות ש־ )‪ ,lim dn (x) = D(x‬פונקציית דיריכלה‪ ,‬שאינה אינטגרבילית‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫!‪ n‬שלם‪ ,‬למשל עבור ‪ .n = q‬כלומר‬
‫זאת משום שלכל ‪ x = q‬יהיה לנו ‪ n‬מספיק גדול כך ש־ ‪q‬‬
‫אכן ‪ (lim dn )(x) = 1‬לכל ‪.x ∈ Q‬‬
‫הגדרה ‪ 4.2‬תהי ) ‪ (fn‬סדרה של פונקציות ב־ ‪ ,X‬ו־ ‪ f‬פונקציה המוגדרת ב־ ‪ .X‬נאמר‬
‫שהסדרה ) ‪ (fn‬מתכנסת ב־ ‪ X‬במידה שווה )במ"ש( ל־ ‪ f‬אם‬
‫‪∀n ∈ N N < n =⇒ |fn (x) − f (x)| < ε‬‬
‫‪∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀x ∈ X‬‬
‫)בדומה לרציפות במ"ש‪ ,‬ההבדל הוא שאותו ה־ ‪ N‬צריך להתאים לכל איברי ‪(.X‬‬
‫הערה ‪ 4.3‬אם סדרת פונקציות מתכנסת במ"ש‪ ,‬היא כמובן מתכנסת נקודתית‪ .‬נשים לב‬
‫לסתירה של התכנסות במ"ש‪ (fn ) :‬אינה מתכנסת במ"ש ל־ ‪ f‬ב־ ‪ X‬אם‬
‫‪N < n ∧ |fn (x) − f (x)| ≥ ε‬‬
‫‪∃n ∈ N :‬‬
‫‪∃ε > 0 ∀N ∈ N ∃x ∈ X‬‬
‫דוגמאות ואנטי־דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬הסדרה ‪ kn (x) = x21+n‬מקודם מתכנסת ל־ ‪ g ≡ 0‬במ"ש בקטע ]‪ .[0, 1‬זאת משום‬
‫ש־ ‪ | x21+n − 0| = x21+n ≤ n1‬ללא תלות ב־ ‪ ,x‬כך שבהנתן ‪ ε > 0‬די לבחור ‪ N‬המקיים‬
‫‪. N1 < ε‬‬
‫(‬
‫‪0 0≤x<1‬‬
‫‪ .2‬נראה ש־ ‪ fn (x) = xn‬לא מתכנסת במ"ש ב־ ]‪ [0, 1‬לפונקציה‬
‫‪1 x=1‬‬
‫‪1‬‬
‫√ = ‪ .x1 = 12 , . . . , xk‬נשים לב ש־‬
‫למשל‪ ,‬נבחר ‪ ε = 12‬ונגדיר את סדרת הנקודות‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0 ≤ xk < 1‬ונשים לב ש־‬
‫= )‪.f (x‬‬
‫‪84‬‬
‫‪1 k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪) − 0| = ≥ ε‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪k‬‬
‫(| = |) ‪|fk (xk ) − f (xk‬‬
‫וכך שללנו את ההתכנסות במ"ש‪.‬‬
‫הערה ‪ 4.4‬דרך אחרת לנסח התכנסות במ"ש היא באמצעות הקריטריון‪:‬‬
‫‪sup{|fn (x) − f (x)|} < ε‬‬
‫‪∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N‬‬
‫‪x∈I‬‬
‫זה נותן כלי מעשי להערכת ההתכנסות אם ניתן לחשב בקלות את הסופרמום הנ"ל‪ .‬הנ"ל‬
‫שקול לטענה‬
‫‪lim sup{|fn (x) − f (x)|} = 0‬‬
‫‪n→∞ x∈I‬‬
‫טענה ‪ 4.5‬אם ‪ fn → f‬במ"ש ו־ ‪ gn → g‬במ"ש‪ ,‬אזי ‪ fn +gn → f +g‬במ"ש ו־ ‪fn gn → f g‬‬
‫נקודתית אך לאו דווקא במ"ש‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬לגבי הסכום‪,‬‬
‫}|)‪sup{|fn (x) + gn (x) − f (x) − g(x)|} ≤ sup{|fn (x) − f (x)|} + sup{|gn (x) − g(x‬‬
‫‪x∈I‬‬
‫‪x∈I‬‬
‫‪x∈I‬‬
‫ולכן כמובן ← ‪ 0‬כאשר ‪.∞ ← n‬‬
‫לגבי המכפלה‪ ,‬התוצאה נובעת מאריתמטיקה של גבולות בכל נקודה‪ .‬כדי להראות‬
‫שההתכנסות היא לאו דווקא במ"ש די להביא דוגמא אחת‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪gn (x) = x‬‬
‫‪fn (x) = x +‬‬
‫שתי הסדרות מתכנסות במ"ש על ‪ R‬לפונקציה הגבולית ‪ ,x‬אבל המכפלה ‪ x2 + nx‬מתכנסת‬
‫נקודתית ל־ ‪ x2‬אבל לא במ"ש‪ .‬בנקודות ‪ xn = n‬מתקיים‬
‫‪n‬‬
‫‪− n2 | = 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪|fn (xn )gn (xn ) − f (xn )g(xn )| = |n2 +‬‬
‫כלומר הסופרמום לא שואף ל־ ‪ 0‬ולכן ההתכנסות היא לא במ"ש‪.‬‬
‫הערה ‪ 4.6‬אילו הפונקציות ‪ f, g‬היו חסומות‪ ,‬התכנסות המכפלה הייתה במ"ש‪.‬‬
‫‪85‬‬
‫משפט ‪) 4.7‬קריטריון קושי להתכנסות במ"ש( תהי ) ‪ (fn‬סדרה של פונקציות ב־ ‪ .X‬אזי‬
‫) ‪ (fn‬מתכנסת במ"ש ב־ ‪ X‬לפונקציה גבולית אםם‬
‫‪∀n, m ∈ N N < m, n =⇒ |fn (x) − fm (x)| < ε‬‬
‫‪∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀x ∈ X‬‬
‫הוכחה‪ (⇐) :‬בהנתן ‪ ε > 0‬יהי ‪ N ∈ N‬כך שאם ‪ m, n > N‬אז‬
‫לגבי )‪ .fm (x‬אזי‬
‫‪ε ε‬‬
‫‪+ =ε‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪2‬‬
‫< |)‪ |fn (x) − f (x‬וכנ"ל‬
‫< |)‪n, m > N =⇒ |fn (x) − fm (x)| ≤ |fn (x) − f (x)| + |fm (x) − f (x‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫)⇒( נניח את קיום הקריטריון‪ .‬נשים לב שלכל ‪ ,x ∈ X‬סדרת המספרים ))‪ (fn (x‬הנה‬
‫סדרת קושי ולכן מתכנסת‪ .‬נגדיר את הפונקציה הגבולית )‪ f (x) := limn→∞ fn (x‬ונרצה‬
‫להראות שההתכנסות אליה היא במ"ש ב־ ‪ .X‬בהנתן ‪ ε > 0‬יהי ‪ 0 < ε0 < ε‬ולפי הקריטריון‬
‫יהי ‪ Nε0 ∈ N‬כך שלכל ‪ n, m > N‬מתקיים ‪ |fn (x) − fm (x)| < ε0‬לכל ‪.x ∈ X‬‬
‫אך כעת נקבע את ‪ n‬וניתן ל־ ‪ m‬לשאוף לאינסוף‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪|fn (x) − lim fm (x)| = |fn (x) − f (x)| ≤ ε0 < ε‬‬
‫∞→‪m‬‬
‫כנדרש )יש לשים לב שהא"ש הפך לחלש כיוון שלקחנו גבול באגף שמאל(‪.‬‬
‫משפט ‪ 4.8‬תהי ) ‪ (fn‬סדרה של פונקציות רציפות המתכנסות במידה שווה לפונקציה ‪ f‬ב־‬
‫‪ .X‬אזי ‪ f‬רציפה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח את הרציפות בנקודה ‪ x ∈ X‬כלשהי‪ .‬בהנתן ‪ ε > 0‬יהי ‪ N ∈ N‬כך שלכל‬
‫‪ m, n > N‬מתקיים ‪ |fn (y) − f (y)| < 3ε‬בקטע‪ .‬נתבונן בפונקציה ‪ fN‬שהיא רציפה ב־ ‪,X‬‬
‫בפרט בנקודה ‪ .x‬לכן קיים ‪ δ > 0‬כך שאם ‪ |y − x| < δ‬אז ‪ .|fN (y) − fN (x)| < 3ε‬אבל‬
‫כעת‪,‬‬
‫‪ε ε ε‬‬
‫‪+ + =ε‬‬
‫‪3 3 3‬‬
‫< |)‪|y−x| < δ =⇒ |f (y)−f (x)| ≤ |f (y)−fN (y)|+|fN (y)−fN (x)|+|fN (x)−f (x‬‬
‫הערה ‪ 4.9‬נשים לב ש־‬
‫)‪lim lim fn (x) = lim lim fn (x‬‬
‫‪n→∞ x→a‬‬
‫∞→‪x→a n‬‬
‫במקרה זה‪ ,‬כלומר בגלל ההתכנסות במ"ש ניתן להחליף את סדר הגבולות‪.‬‬
‫‪86‬‬
‫משפט ‪ 4.10‬תהי ) ‪ (fn‬סדרת פונקציות אינטגרביליות ב־ ]‪ [a, b‬המתכנסת ´במ"ש לפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪ f‬באותו קטע‪ .‬אזי ‪ f‬אינטגרבילית בקטע‪ .‬יתר על כן‪ ,‬אם ‪ Fn (x) = a fn (t)dt‬ו־‬
‫‪´x‬‬
‫‪ F (x) = a f (t)dt‬אזי ) ‪ (Fn‬מתכנסת במ"ש ל־ ‪ F‬בקטע‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬בהנתן ‪ ε > 0‬יהי ‪ N ∈ N‬כך שאם ‪ n ≥ N‬אז‬
‫נתבונן ב־ ‪ .fN‬מתקיים‬
‫‪ε‬‬
‫)‪2(b−a‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪< f < fN +‬‬
‫)‪2(b − a‬‬
‫)‪2(b − a‬‬
‫< |)‪ .|fn (t) − f (t‬כעת‬
‫‪fN −‬‬
‫כיוון ש־ ‪ fN‬אינטגרבילית בקטע‪ ,‬הצלחנו לחסום את ‪ f‬באמצעות שתי פונקציות‬
‫אינטגרביליות וכמובן‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪)(x)dx = ε‬‬
‫)‪2(b − a‬‬
‫‪(fN −‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪)(x)dx −‬‬
‫)‪2(b − a‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪(fN +‬‬
‫‪a‬‬
‫וזה מספיק על מנת ש־ ‪ f‬תהיה אינטגרבילית מתוקף משפט ‪ .2.63‬לכן ניתן באמת‬
‫להגדיר את הפונקציה המצטברת ‪ F‬כנ"ל‪ .‬כעת נשים לב ש־‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪|fn (t)−f (t)|dt‬‬
‫‪x‬‬
‫ˆ‬
‫≤ ‪|fn (t)−f (t)|dt‬‬
‫‪a‬‬
‫ˆ‬
‫‪x‬‬
‫≤ |‪(fn (t)−f (t))dt‬‬
‫‪x‬‬
‫| = |‪f (t)dt‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫ובהנתן ‪ ε > 0‬יהי ‪ N‬כך ש־‬
‫ˆ‬
‫‪ε‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪x‬‬
‫ˆ‬
‫| = |)‪|Fn (x)−F (x‬‬
‫‪fn (t)dt−‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫< |)‪ |fN (t) − f (t‬ואז אם ‪ n ≥ N‬מקבלים‬
‫‪ε‬‬
‫‪dt = ε‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫< |)‪|Fn (x) − F (x‬‬
‫‪a‬‬
‫כלומר ) ‪ (Fn‬מתכנסת ל־ ‪ F‬במ"ש‪.‬‬
‫הערה ‪ 4.11‬לא נכון לומר באופן כללי ש־‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪fn (x)dx‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪lim fn (x)dx = lim‬‬
‫‪a‬‬
‫∞→‪a n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫כלומר ההתכנסות צריכה להיות במ"ש כדי שזה יתקיים‪ .‬ראינו דוגמה קודם לכך‬
‫שגבול האינטגרלים הוא ‪ 1‬אבל האינטגרל של הפונקציה הגבולית הוא ‪ .0‬יתר על כן‪,‬‬
‫הפונקציה הגבולית לאו דווקא אינטגרבילית–ראינו סדרת פונקציות אינטגרביליות שמתכנסות‬
‫לפונקציית דיריכלה‪ ,‬שכמובן אינה אינטגרבילית‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬המשפט הנ"ל לא עובד לגבי אינטגרלים לא אמיתיים‪:‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫למרות ש־ ‪→ 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫= ∞ = ‪dx‬‬
‫=‪6 0‬‬
‫‪n‬‬
‫במ"ש‪.‬‬
‫‪87‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫‪0‬‬
‫משפט ‪ 4.12‬תהי ) ‪ (fn‬סדרה של פונקציות גזירות ברציפות בקטע ‪ .I‬אם קיים ‪ a ∈ I‬כך ש־‬
‫))‪ (fn (a‬מתכנסת וגם הסדרה ) ‪ (fn0‬מתכנסת במ"ש ב־ ‪ I‬לפונקציה ‪ ,g‬אזי ) ‪ (fn‬מתכנסת‬
‫במ"ש בקטע לפונקציה ‪ f‬המקיימת ‪ f 0 = g‬בקטע‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נשים לב שלכל ‪ x ∈ I‬הפונקציות ) ‪ (fn0‬אינטגרביליות בקטע ]‪ [a, x‬כי לפי ההנחה‬
‫רציפות‪ .‬לפי משפט ההתכנסות במ"ש ´של פונקציות אינטגרביליות‪ ,‬גם ]‪ g ∈ R[a, x‬ו־‬
‫הן ‪´ x‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪ ( a fn0‬מתכנסת במ"ש ב־ ]‪ [a, x‬ל־ ‪ . a g‬לפי המשפט היסודי‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫ˆ‬
‫‪fn0‬‬
‫=‬
‫)‪fn (x) − fn (a‬‬
‫‪ˆax‬‬
‫)‪fn0 + fn (a‬‬
‫=‬
‫)‪fn (x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪´x‬‬
‫וכאן לפי ההנחה ))‪ (fn (a‬מתכנסת ו־ ) ‪ ( a fn0‬מתכנסת ולכן גם ) ‪ (fn‬מתכנסת‬
‫לפונקציה גבולית ‪ f‬ומתקיים‬
‫‪x‬‬
‫ˆ‬
‫)‪g + f (a‬‬
‫‪x‬‬
‫ˆ‬
‫= )‪g + lim fn (a‬‬
‫‪a‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫= )‪f (x) = lim fn (x‬‬
‫‪a‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫בקטע ]‪.[a, x‬‬
‫למעשה‪ ,‬ההתכנסות היא במ"ש ‪´ x‬‬
‫המשקל בנוגע לגזירות נופל על ‪ , a g‬וכיוון ש־ ‪ g‬היא גבול במ"ש של פונקציות רציפות‪,‬‬
‫‪´x‬‬
‫גם היא רציפה‪ .‬לכן ‪ a g‬גזירה בכל ]‪ [a, x‬ונקבל ‪ f 0 (x) = g(x) + 0‬כפי שרצינו‪.‬‬
‫הערה ‪ 4.13‬ללא הדרישה על ההתכנסות במ"ש של סדרת הנגזרות‪ ,‬לא ניתן היה לטעון את‬
‫המשפט‪.‬‬
‫‪ fn (x) = sin‬מתכנסת במ"ש לפונקציית האפס כי ‪√nx | ≤ √1‬‬
‫למשל‪ ,‬הסדרה ‪√nx‬‬
‫‪| sin‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫כמו כן‪ ,‬הפונקציות עצמן גזירות וגם הפונקציה הגבולית גזירה‪ .‬עם‬
‫והחסם לא תלוי ב־ ‪√ .x‬‬
‫זאת‪,‬‬
‫הנגזרות ‪ fn0 (x) = n cos nx‬לא מתכנסות בכלל כי עבור ‪ x 6= 0‬לא קיים הגבול‬
‫√‬
‫‪ .lim n cos nx‬לכן דרושים התנאים החזקים יותר שנתונים במשפט‪.‬‬
‫טענה ‪ 4.14‬תהי ) ‪ (fn‬סדרה של פונקציות חסומות בקטע ‪ I‬המתכנסות במ"ש ב־ ‪ I‬לפונקציה‬
‫‪ .f‬אזי ‪ f‬חסומה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬קיים ‪ N‬כך ש־ ‪ |fN (x) − f (x)| < 1‬לכל ‪ ,x ∈ I‬כלומר‬
‫‪fN (x) − 1 < f (x) < fN (x) + 1‬‬
‫ולכן גם ‪ f‬חסומה‪.‬‬
‫למה ‪ 4.15‬יהי ‪ x ∈ R‬ו־ }‪ .n ∈ N ∪ {0‬מתקיים‬
‫‪88‬‬
‫ ‬
‫‪n k‬‬
‫)‪(nx − k‬‬
‫)‪x (1 − x)n−k = nx(1 − x‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫ובקטע ]‪ [0, 1‬הביטוי הנ"ל גם ≥ ‪. n4‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגזור את הביטוי‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n k n−k‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪k‬‬
‫= ‪(x + y)n‬‬
‫‪k=0‬‬
‫לפי ‪ x‬ונקבל‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n k−1 n−k‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪k‬‬
‫=‬
‫‪k‬‬
‫‪n−1‬‬
‫)‪n(x + y‬‬
‫‪k=1‬‬
‫ואם מציבים ‪ y = 1 − x‬אז מקבלים‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪n‬‬
‫‪kxk−1 (1 − x)n−k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k=1‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪kxk (1 − x)n−k‬‬
‫= ‪nx‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k=1‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫=‬
‫‪kxk (1 − x)n−k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫ואם גוזרים שוב לפי ‪ x‬אז מקבלים‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫=‬
‫‪k(k − 1)xk−2 y n−k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n−2‬‬
‫)‪n(n − 1)(x + y‬‬
‫‪k=2‬‬
‫ועבור ‪ y = 1 − x‬נקבל‬
‫‪k(k − 1)xk (1 − x)n−k‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫= ‪n(n − 1)x2‬‬
‫‪k=0‬‬
‫ומשלושת הביטויים האלה מקבלים אלגברית את הנדרש–צביק הבטיח לשים הוכחה‬
‫באתר‪.‬‬
‫‪89‬‬
‫משפט ‪) 4.16‬ברנשטיין־ויירשראס( תהי ]‪ .f ∈ C 0 [0, 1‬אזי קיימת סדרה ) ‪ (Bn‬של פולינומים‬
‫אשר מתכנסים במ"ש ב־ ]‪ [0, 1‬ל־ ‪.f‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר את פולינום ברנשטיין של ‪ f‬מסדר ‪ n‬להיות‬
‫ ‬
‫‪k n k‬‬
‫) (‪f‬‬
‫‪x (1 − x)n−k‬‬
‫‪n k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪Bn f (x) :‬‬
‫‪k=0‬‬
‫בקטע‪.‬‬
‫נראה שאלה הפולינומים שמתכנסים‬
‫במ"ש ל־ ‪ k f‬‬
‫שלפי הבינום של ניוטון‪x (1 − x)n−k ,‬‬
‫נשים לב ‬
‫‪Pn‬‬
‫‪ . k=0 f (x) nk xk (1 − x)n−k‬מכאן‪:‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k=0 k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫ ‬
‫‪n k‬‬
‫‪k‬‬
‫| ‪x (1 − x)n−k‬‬
‫])‪[f ( ) − f (x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫ ‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n k‬‬
‫|)‪|f ( ) − f (x‬‬
‫‪x (1 − x)n−k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫|‬
‫= ‪ 1‬ולכן = )‪f (x‬‬
‫= |)‪|Bn f (x) − f (x‬‬
‫≤‬
‫‪k=0‬‬
‫כעת‪ ,‬בהנתן ‪ ,ε > 0‬כיוון ש־ ‪ f‬רציפה בקטע חסום וסגור היא גם רצבמ"ש ולכן קיים‬
‫‪ δ > 0‬כך שאם ‪ |x − y| < δ‬אז ‪ |f (y) − f (x)| < 2ε‬לכל ]‪ .x, y ∈ [0, 1‬נחלק את‬
‫האינדקסים לשתי קבוצות )הטובים ‪ G‬והרעים ‪ (B‬כך ש־‬
‫‪k‬‬
‫‪− x| < δ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ε‬‬
‫< |)‪|f ( ) − f (x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫| ⇒⇐ ‪k ∈ G‬‬
‫‪k‬‬
‫‪− x| ≥ δ‬‬
‫‪n‬‬
‫| ⇒⇐ ‪k ∈ B‬‬
‫‪k‬‬
‫‪− x)2 ≥ δ 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n2 δ 2 ≤ (nx − k)2‬‬
‫(‬
‫זה מאפשר לפרק את האי־שוויון מקודם‪:‬‬
‫‪90‬‬
‫ ‬
‫‪X‬‬
‫‪εX n k‬‬
‫‪x (1 − x)n−k +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k∈G‬‬
‫‪k∈B‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪n k‬‬
‫‪x (1 − x)n−k +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪k∈B‬‬
‫‪ε X‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫≤‬
‫‪X‬‬
‫‪k∈B‬‬
‫‪+‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪k∈G‬‬
‫≤‬
‫=‬
‫‪k∈B‬‬
‫נשים לב שהפונקציה ‪ f‬רציפה בקטע חסום וסגור ולכן חסומה בו ע"י ‪.m ≤ f ≤ M‬‬
‫לכן‪,‬‬
‫ ‬
‫‪n k‬‬
‫)‪(M − m‬‬
‫‪x (1 − x)n−k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k∈B‬‬
‫‪X n‬‬
‫)‪(M − m‬‬
‫‪xk (1 − x)n−k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k∈B‬‬
‫‪X (nx − k)2 n‬‬
‫‪xk (1 − x)n−k‬‬
‫)‪(M − m‬‬
‫‪n2 δ 2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k∈B‬‬
‫ ‬
‫‪X‬‬
‫‪M −m‬‬
‫‪2 n‬‬
‫‪(nx‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪k‬‬
‫‪xk (1 − x)n−k‬‬
‫‪n2 δ 2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k∈B‬‬
‫ ‬
‫‪n‬‬
‫‪M −m X‬‬
‫‪2 n‬‬
‫)‪(nx − k‬‬
‫‪xk (1 − x)n−k‬‬
‫‪n2 δ 2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪X‬‬
‫≤‬
‫‪X‬‬
‫‪k∈B‬‬
‫=‬
‫≤‬
‫=‬
‫≤‬
‫‪k=0‬‬
‫‪M −mn‬‬
‫‪M −m‬‬
‫=‬
‫‪n2 δ 2 4‬‬
‫‪4nδ 2‬‬
‫≤‬
‫)המעבר האחרון הוא בזכות הלמה(‪ ,‬וכעת אם ‪ M = m‬סיימנו‪ ,‬כלומר הפונקציה קבועה‬
‫‪ N > 21 Mδ−m‬ואז לכל ‪n > N‬‬
‫‪ P‬בדיוק‪ .‬אחרת‪ ,‬יהי ‪ N ∈ N‬כך ש־‬
‫והפולינומים שווים לה‬
‫‪2ε‬‬
‫נקבל ש־ ‪ . k∈B < 2ε‬לכן כל הסכום כולו > ‪ ε‬ונשים לב שה־ ‪ N‬הנ"ל וה־ ‪ δ‬הנ"ל לא‬
‫תלויים ב־ ‪ x‬ולכן אכן קיבלנו התכנסות במ"ש‪.‬‬
‫‪4.2‬‬
‫טורי פונקציות‬
‫הגדרה ‪ 4.17‬תהי ) ‪ (fn‬סדרת פונקציות בקטע ‪ .I‬נגדיר סדרה חדשה ) ‪ (sn‬של פונקציות‬
‫באותו קטע כך ש־‬
‫)‪sn (x) := f0 (x) + . . . + fn (x‬‬
‫ונכנה את ) ‪ (sn‬בשם הטור המתאים לסדרה ) ‪.(fn‬‬
‫נאמר שהטור מתכנס נקודתית לפונקציה ‪ S‬המוגדרת ב־ ‪ I‬אם )‪ sn (x) → S(x‬נקודתית‬
‫בכל ‪ .x ∈ I‬נאמר שהטור מתכנס במ"ש ב־ ‪ I‬אם ‪ sn → S‬במ"ש ב־ ‪.I‬‬
‫‪91‬‬
‫דוגמא‪ :‬יהי )‪ I = (−1, 1‬ו־ ‪ .fn (x) = xn‬אזי‬
‫)"סכום הטור"(‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1−x‬‬
‫= )‪fn (x‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪n=0‬‬
‫וזו הפונקציה הגבולית‬
‫)קריטריון קושי להתכנסות במ"ש של טורים( תהי ) ‪ (fn‬סדרה של פונקציות ב־‬
‫משפט ‪P 4.18‬‬
‫מתכנס במ"ש ב־ ‪ I‬אםם‬
‫‪ .I‬הטור ‪fn‬‬
‫‪∀n, m ∈ N N < n < m =⇒ |fn+1 (x)+. . .+fm (x)| < ε‬‬
‫‪∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀x ∈ I‬‬
‫הוכחה‪ :‬מיידית מקריטריון קושי להתכנסות במ"ש של סדרות פונקציות )משפט ‪.(4.7‬‬
‫הערה ‪ 4.19‬כמובן שכל המשפטים לגבי רציפות‪ ,‬אינטגרביליות‪ ,‬וגזירות של הפונקציה הגבולית‬
‫נכונים גם בהקשר של טורי פונקציות–שהרי ) ‪ (sn‬יוצרת סדרה של פונקציות בעלת אותן‬
‫התכונות כמו ) ‪.(fn‬‬
‫ב־ ‪ I‬ו־ ) ‪(Mn‬‬
‫משפט ‪) 4.20‬קריטריון ‪ M‬של ויירשטראס( תהי ) ‪ (fn‬סדרה של פונקציות ‪P‬‬
‫מתכנס‪ .‬אזי‬
‫מספרים חיוביים כך ש־ ‪ |fn (x)| ≤ Mn‬לכל ‪ ,x ∈ I‬והטור ‪Mn‬‬
‫סדרה של‪P‬‬
‫מתכנס במ"ש ב־ ‪.I‬‬
‫הטור ‪fn‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס‪ ,‬ולכן הוא מקיים את‬
‫הוכחה‪ :‬נשתמש בקריטריון קושי לטורי מספרים‪ .‬הטור ‪Mn‬‬
‫קריטריון קושי‪ .‬בהנתן ‪ ε > 0‬יהי ‪ N‬כך שאם ‪ N < n < m‬אז ‪,|Mn+1 + . . . + Mm | < ε‬‬
‫ואפשר כמובן לוותר על הערך המוחלט‪ .‬אז לכל ‪ x ∈ I‬נקבל‬
‫‪Mi < ε‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=n+1‬‬
‫≤ |)‪|fi (x‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ |)‪fi (x‬‬
‫‪i=n+1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫| ⇒= ‪N < n < m‬‬
‫‪i=n+1‬‬
‫כלומר קיבלנו את קריטריון קושי לטורי פונקציות )המשפט הקודם(‪.‬‬
‫‪Pm‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס בהחלט‪ ,‬שכן התבוננו ב־ |)‪. i=n+1 |fi (x‬‬
‫מסקנה ‪ 4.21‬בתנאי המשפט‪fn ,‬‬
‫‪P 1‬‬
‫דוגמאות‪P :‬‬
‫‪1‬‬
‫והטור הימני מתכנס‪ ,‬ולכן הטור השמאלי מתכנס במ"ש בכל ‪.R‬‬
‫≤‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x +n‬‬
‫‪n2 .1‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ .2‬מאידך‪ ,‬נתבונן על הטור ‪ n=1 (−1) x2 +n‬בקטע ]‪ .[0, 1‬זהו טור לייבניץ לכל ‪x‬‬
‫בקטע‪ ,‬אבל הטור לא מתכנס בהחלט‪ ,‬שכן בערך מוחלט זהו "מעין זנב" של הטור ההרמוני‬
‫שמתבדר‪ ,‬כי‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪| ≥ |(−1)n‬‬
‫|‬
‫‪+n‬‬
‫‪1+n‬‬
‫‪x2‬‬
‫בקטע ]‪ [0, 1‬וההתבדרות היא מקריטריון ההשוואה‪.‬‬
‫אך האם ההתכנסות היא במ"ש? לכל ‪,x‬‬
‫‪92‬‬
‫‪|(−1)n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪− S(x)| ≤ 2‬‬
‫≤‬
‫‪+i‬‬
‫)‪x + (n + 1‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪(−1)i‬‬
‫|‬
‫‪i=1‬‬
‫לפי הקריטריון של משפט לייבניץ‪ .‬זהו חסם שלא תלוי ב־ ‪ x‬ולכן ההתכנסות היא במ"ש‪.‬‬
‫זו הייתה דוגמא לטור שמתכנס במ"ש‪P‬אבל לא בהחלט‪.‬‬
‫‪P∞ n‬‬
‫∞‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫הטור‬
‫‪[0,‬‬
‫)‪1‬‬
‫שב־‬
‫ראינו‬
‫‪ n=0‬בקטע ]‪.[0, 1‬‬
‫‪ .3‬נתבונן בטור )‪xn (1 − x‬‬
‫‪n=0‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1−x‬ולכן ‪ n=0 xn (1 − x) = 1‬בקטע זה‪ .‬לעומת זאת עבור ‪ x = 1‬הטור הוא קבוע ‪0‬‬
‫(‬
‫)‪1 x ∈ [0, 1‬‬
‫ולכן מתכנס ל־ ‪ ,0‬כלומר הטור מתכנס נקודתית לפונקציה‬
‫= )‪ f (x‬שאינה‬
‫‪0 x=1‬‬
‫רציפים‪ .‬לכן ההתכנסות היא לא במ"ש‪.‬‬
‫רציפה‪ ,‬בעוד שהפולינומים היוצרים אותה∞‪P‬‬
‫‪ .4‬נתבונן בטור )‪ . n=0 (−1)n xn (1 − x‬הטור מתכנס במ"ש כי זהו טור לייבניץ‪ ,‬ולפי‬
‫משפט לייבניץ מתקיים‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫|‬
‫)‪(−1)i (1 − x) − S| ≤ xn+1 (1 − x‬‬
‫‪i=0‬‬
‫ולפונקציה )‪ gn (x) = xn+1 (1 − x‬יש מקסימום ב־‬
‫‪n+1‬‬
‫‪n + 1 n+1‬‬
‫)‬
‫‪(1 −‬‬
‫)‬
‫‪n+2‬‬
‫‪n+2‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪n+2‬‬
‫ולכן‬
‫(≤‬
‫והחסם הזה לא תלוי ב־ ‪ ,x‬וכמובן ← ‪ 0‬כי הנכפל השמאלי חסום והימני שואף ל־ ‪.0‬‬
‫אם כן זהו טור שמתכנס בהחלט )דוגמא ‪ (3‬ומתכנס במ"ש‪ ,‬אך לא מתכנס בהחלט במ"ש‬
‫)דוגמא ‪.(3‬‬
‫‪π‬‬
‫) ‪P∞ arctan(x2‬‬
‫‪ .5‬הטור ‪ n=1 e n2 +x2‬מתכנס במ"ש ב־ ‪ R‬כי הוא חסום ע"י ‪ en22‬שמתכנס‪.‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪) .6‬פונקציית ‪ ζ‬של רימן( ‪ n=1 n1x‬מתכנס נקודתית בקרן )∞ ‪ (1,‬ובמ"ש לכל תת־קטע‬
‫)∞ ‪ [a,‬כאשר ‪ .a > 1‬זאת משום ש־‬
‫∞ ˆ‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫∞ ‪t1−x‬‬
‫‪|1 = 0 −‬‬
‫∞<‬
‫≤‬
‫‪dt‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x−1‬בקטע )∞ ‪ ,(1,‬ולכן אין התכנסות‬
‫ההתכנסות הנקודתית היא לפונקציה הלא־חסומה‬
‫במ"ש כי סדרת פונקציות חסומות לא יכולה להתכנס במ"ש לפונקציה לא חסומה‪.‬‬
‫‪4.3‬‬
‫טורי חזקות‬
‫∞‪P‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n=0 cn xP‬ייקרא טור חזקות‪ .‬באופן‬
‫הגדרה ‪ 4.22‬תהי ) ‪ (cn‬סדרה של מספרים‪ .‬הטור‬
‫∞‬
‫כללי יותר‪ ,‬נכנה גם טור מהצורה ‪ n=0 cn (x − a)n‬טור חזקות )עבור ‪ a‬ממשי(‪.‬‬
‫‪93‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪P∞ xn‬‬
‫‪ n=0‬מתכנס לכל ‪ x‬והסכום הוא ‪.ex‬‬
‫הטור‬
‫‪.1‬‬
‫‪P n!n‬‬
‫מתכנס עבור ‪.1 < x < −1‬‬
‫‪x‬‬
‫הטור‬
‫‪.2‬‬
‫‪P‬‬
‫עבור ‪ x = 0‬בלבד‪.‬‬
‫‪ .3‬הטור ‪n!xn‬‬
‫‪ n+1‬מתכנס∞‪P‬‬
‫‪xn‬‬
‫)‪ n=1 (−1‬מתכנס עבור ‪ −1 < x < 1‬שכן האיבר הכללי חסום ע"י‬
‫‪ .4‬הטור ‪n‬‬
‫‪ |x|n‬והוא מתכנס‪ .‬כמו כן‪ ,‬ב־ ‪ x = 1‬יש התכנסות )לייבניץ( וב־ ‪ x = −1‬לא )הטור‬
‫ההרמוני(‪ .‬לכן ההתכנסות היא ב־ ]‪.x ∈ (−1, 1‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪ .5‬הטור ‪ n=1 (−1)n+1 xn‬מתכנס ב־ ‪) −1 ≤ x ≤ 1‬ברור מהדוגמא הקודמת(‪.‬‬
‫למה ‪) 4.23‬לייבניץ( אם הטור ‪cn xn‬‬
‫כך ש־ |‪.|x| < |r‬‬
‫‪P‬‬
‫הוא טור מתכנס של מספרים‪ .‬לכן ) ‪ (cn rn‬שואפת ל־ ‪ 0‬ובפרט‬
‫הוכחה‪ :‬הטור ‪cn rn‬‬
‫חסומה‪ ,‬ויהי ‪ M‬כך ש־ ‪ |cn rn | ≤ M‬לכל ‪ .n‬נשים לב שאם ‪ r = 0‬אין מה להוכיח‪ ,‬ואחרת‪,‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס עבור ‪ r ∈ R‬אזי הוא גם מתכנס עבור כל ‪x‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫≤ ‪|cn rn || |n‬‬
‫‪M | |n ≤ M‬‬
‫∞ < ‪| |n‬‬
‫≤ | ‪|cn rn ( )n‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫כי ‪ | xr | < 1‬לפי ההנחה‪ .‬קיבלנו שהטור ‪cn xn‬‬
‫‪P‬‬
‫‪X‬‬
‫= | ‪|cn xn‬‬
‫‪X‬‬
‫מתכנס בהחלט ולכן מתכנס‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫טור חזקות‪ .‬אזי מתקיים אחד מהבאים‪:‬‬
‫משפט ‪ 4.24‬יהי ‪cn xn‬‬
‫הטור מתכנס לכל ‪;x ∈ R‬‬
‫קיים ∞ < ‪ 0 < R‬כך שהטור מתכנס לכל ‪ |x| < R‬ומתבדר עבור |‪;R < |x‬‬
‫הטור מתכנס רק עבור ‪.x = 0‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ .0P‬נניח ש־ ‪ I‬אינה‬
‫‪ .I = {x ∈ R :‬כמובן ∅ =‪ I 6‬כי ‪∈ I‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי }∞ < ‪cn xn‬‬
‫‪n‬‬
‫מתכנס ולפי הלמה‬
‫‪P‬בהנתן ‪ ,x0 ∈ R‬יהי ‪ r ∈ I‬עם ‪ .|x0 | < r‬אזי ‪cn r‬‬
‫חסומה מלמעלה‪.‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫הקודמת ‪cn xn0‬‬
‫חסומה ויהי ‪) 0 < R = sup I‬אם ‪ R = 0‬אין מה להוכיח(‪ .‬כעת אם ‪|x0 | < R‬‬
‫אחרת‪P I n,‬‬
‫להיפך‪ ,‬אם‬
‫הלמה‪.‬‬
‫לפי‬
‫‪|x‬‬
‫|‬
‫<‬
‫‪r‬‬
‫≤‬
‫‪R‬‬
‫ש־‬
‫כך‬
‫‪r‬‬
‫∈‬
‫‪I‬‬
‫קיים‬
‫שכן‬
‫מתכנס‪,‬‬
‫אז הטור ‪cn x0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס‬
‫היה מתכנס‪ ,‬הרי שיש | ‪ R < r < |x0‬כך ש־ ‪cn rn‬‬
‫‪ |x0 | > R‬אזי אם ‪cn xn0‬‬
‫לפי הלמה‪ ,‬וזאת בסתירה לכך ש־ ‪.R = sup I‬‬
‫הגדרה ‪ 4.25‬מן המשפט הקודם‪ ,‬ניתן לדבר על קטע ההתכנסות של הטור–הקטע שבו הטור‬
‫מתכנס‪ R .‬יכונה רדיוס ההתכנסות )ויכול להיות גם ‪ 0‬או ∞(‪.‬‬
‫משפט ‪) 4.26‬נוסחת קושי־הדמרד( יהי ‪cn xn‬‬
‫‪P‬‬
‫טור חזקות‪ .‬יהי‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫| ‪= lim sup n |cn‬‬
‫‪R‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫אזי ‪ R‬הוא רדיוס ההתכנסות של הטור‪ ,‬והכוונה היא ש־ ∞ =‬
‫הנוסחא‪.‬‬
‫‪94‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫ו־ ‪= 0‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫לצורך‬
‫‪p‬‬
‫הוכחה‪p:‬באמצעות קריטריון השורש‪ .‬אם |‪ 1 > lim sup n |cn ||x‬אז הטור מתכנס‪ ,‬ואם‬
‫‪ 1 < lim sup n |c‬אז הטור מתבדר‪ .‬למשל‪ ,‬במקרה הראשון‪ ,‬הטור מתכנס עבור‬
‫|‪pn ||x‬‬
‫‪1‬‬
‫|‪ |x‬וזה בדיוק שקול לטענה לגבי רדיוס ההתכנסות‪.‬‬
‫| ‪> lim sup n |cn‬‬
‫‪P‬‬
‫טור חזקות עם רדיוס התכנסות ‪ R‬וקטע התכנסות ‪ .I‬תהי‬
‫מסקנה‪ 4.27P‬יהי ‪cn xn‬‬
‫=‪ f (x) :‬עבור ‪ .x ∈ I‬אזי הפונקציה ‪ f‬רציפה ב־ ‪ I‬שכן היא גבול במ"ש של‬
‫‪cn xn‬‬
‫פולינומים שיוצרים את טור החזקות‪.‬‬
‫יתר על כן‪ ,‬לכל קטע ‪ [a, b] ⊂ I‬הפונקציה ‪ f‬אינטגרבילית בו )מאותו שיקול–גבול של‬
‫סדרת פולינומים שהם רציפים ולכן אינטגרביליים על כל קטע סגור(‪.‬‬
‫משפט ‪ 4.28‬יהי ‪cn xn‬‬
‫‪P‬‬
‫טור חזקות עם רדיוס התכנסות ‪ R‬וקטע התכנסות ‪ .I‬יהיו גם‬
‫‪cn nxn−1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪cn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=0‬‬
‫טורי הנגזרת והאינטגרל )שניהם טורי חזקות(‪ .‬אזי לשניהם אותו רדיוס התכנסות כמו‬
‫לטור המקורי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נשתמש בנוסחת קושי־הדמרד לגבי הטור של הנגזרת‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫= | ‪|cn | n−1 n = lim sup n |cn‬‬
‫‪R‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪|cn |n = lim sup‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪lim sup‬‬
‫לכן רדיוס ההתכנסות נשמר‪ .‬באופן דומה‪ ,‬גם הרדיוס של טור האינטגרל נשמר‪.‬‬
‫הערה ‪ 4.29‬רדיוס ההתכנסות נשמר תחת המשפט הקודם‪ ,‬אבל קטע ההתכנסות עשוי‬
‫להתרחב לקצוות‪ .‬בפרט‪ ,‬כאשר עוברים לטור הנגזרות הקצוות עשויים "להתקלקל" וכאשר‬
‫עוברים לטור האינטגרל הקצוות עשויים "להשתפר"‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 4.30‬תהי ‪ g‬פונקציה גזירה אינסוף פעמים בקטע ‪ I‬ויהי ‪ .a ∈ I‬הטור‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫)‪g (n) (a‬‬
‫‪(x − a)n‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪n=0‬‬
‫נקרא טור טיילור של ‪ g‬סביב ‪) a‬או‪ :‬בחזקות של ‪.(x − a‬‬
‫)‪(n‬‬
‫‪P‬‬
‫=‪ f (x) :‬אז ‪ .f (0) = c0 , . . . , f n!(0) = cn‬לכן טור החזקות‬
‫הערה ‪ 4.31‬אם ‪cn xn‬‬
‫מהווה טור טיילור של הפונקציה הגבולית שלו בקטע ההתכנסות‪ .‬במלים אחרות‪ ,‬מקדמי‬
‫טור טיילור יהיו זהים לטור החזקות שיצר את הפונקציה‪.‬‬
‫אבל אי אפשר לעשות את המסלול ההפוך–אם לוקחים את טור הטיילור של הפונקציה‪,‬‬
‫אז הפונקציה הגבולית של טור הטיילור היא לאו דווקא הפונקציה המקורית‪ .‬לדוגמא‪,‬‬
‫‪95‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ g(x) = e− x2‬עם ‪ g(0) = 0‬היא פונקציה רציפה‪ ,‬גזירה אינסוף פעמים‪ ,‬ומתקיים ש־‬
‫‪ g (n) (0) = 0‬לכל ‪ .n‬לכן טור טיילור שלה הוא ‪ T g(x) ≡ 0‬וכמובן הפונקציה הגבולית שלו‬
‫לא מתלכדת עם הפונקציה המקורית‪) .‬הציור מראה את הפונקציה‪ :‬היא "שטוחה" בצורה‬
‫יוצאת מן הכלל סביב ‪(.0‬‬
‫מסקנה ‪ 4.32‬אם ‪bn xn‬‬
‫מיחידות הטור‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪an xn‬‬
‫‪P‬‬
‫מתלכדים על )‪ x ∈ (−ε, ε‬אזי ‪ an = bn‬לכל ‪n‬‬
‫דוגמאות לבנייה של פונקציה מטור חזקות‪:‬‬
‫נראה‬
‫מספר ∞‪P‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ E(x) := n=0 xn! .1‬היא פונקציה המוגדרת בכל ‪ R‬כי ראינו שהטור המתאים בעל‬
‫רדיוס התכנסות ∞‪ .‬כמו כן‪ ,‬מתקיים‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪xn−1‬‬
‫‪xn−1‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪n‬‬
‫=‬
‫=‬
‫)‪= E(x‬‬
‫!‪n‬‬
‫!‪(n − 1)! n=0 n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫= )‪E 0 (x‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪: E(x‬‬
‫וכעת נראה ש־ ‪ .E(x) = e‬נתבונן ב־ ‪ex‬‬
‫‪E(x) 0‬‬
‫‪E 0 (x)ex − E(x)ex‬‬
‫= )‬
‫‪=0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪(ex )2‬‬
‫(‬
‫)‪ E(x‬כאשר ‪ C‬קבוע‪ .‬במלים אחרות‪ E(x) = Cex ,‬ונציב ‪ x = 0‬ונקבל‬
‫כלומר ‪ex = C‬‬
‫‪ ,E(0) = C‬וכמובן קל לבדוק לפי הטור מהו )‪ E(0‬והוא כמובן ‪ ,1‬ולכן ‪.E(x) ≡ ex‬‬
‫‪ .2‬הטורים הבאים הופיעו בתרגיל ‪:11‬‬
‫‪x2n+1‬‬
‫!)‪(2n + 1‬‬
‫‪(−1)n‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪x2n‬‬
‫!)‪(2n‬‬
‫= )‪S(x‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪(−1)n‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= )‪C(x‬‬
‫‪n=0‬‬
‫שתי הפונקציות מוגדרות על כל הישר כי לטורים המגדירים אותן יש רדיוס התכנסות ∞‪.‬‬
‫אפשר לבדוק ולראות שהפונקציות גזירות אינסוף פעמים ומתקיים = )‪C 0 (x) = −S(x), S 0 (x‬‬
‫)‪ C(x‬מהתבוננות על הטורים המתאימים‪ .‬אם כך‪,‬‬
‫‪96‬‬
‫‪(C 2 (x) + S 2 (x))0 = 2C(x)(−S(x)) + 2S(x)C(x) ≡ 0‬‬
‫ולכן שוב מקבלים ש־ ‪ C 2 (x) + S 2 (x) = C‬כאשר ‪ C‬קבוע‪ ,‬ואפשר לבדוק מה ערכו‬
‫ע"י הצבה ‪ x = 0‬ומקבלים ש־ ‪ .C = 1‬באופן דומה‪ ,‬ע"י גזירת הביטוי ‪(C(x) − cos x)2 +‬‬
‫‪ (S(x) − sin x)2‬אפשר להראות ש־ ‪ C(x) = cos x‬ו־ ‪ S(x) = sin x‬כצפוי‪.‬‬
‫אפשר להמשיך מן הטורים האלה לפתח את הפונקציות הטריגונומטריות במלואן‪ ,‬להראות‬
‫את הרציפות שלהן‪ ,‬להעריך את ‪ ,π‬לקבל את המחזוריות שלהן‪ ,‬ועוד ‪.3‬‬
‫‪P‬‬
‫טור מתכנס‪ .‬אם נגדיר ‪cn xn‬‬
‫‪) 4.33‬אבל( יהי ‪cn‬‬
‫משפט ‪P‬‬
‫‪ f (1) := cn = S‬אז מתקיים‬
‫‪P‬‬
‫=‪ f (x) :‬בקטע )‪ [0, 1‬ו־‬
‫)‪lim f (x) = f (1‬‬
‫‪x→1−‬‬
‫הוכחה‪ :‬בקטע )‪ (−1, 1‬אנו יודעים ש־ ‪xn‬‬
‫כן‪,‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪ , 1−x‬או )‪xn (1 − x‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪n=0‬‬
‫= ‪ .1‬כמו‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫( = )‪f (x‬‬
‫() ‪xn‬‬
‫) ‪cn xn‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫זו מכפלה של טורי מספרים‪ ,‬ובקטע ‪ 0 ≤ x < 1‬הטור הראשון מתכנס בהחלט והשני‬
‫‪ P‬המכפלה של טורים מתכנסים‪P‬בהחלט‪,‬‬
‫ההתכנסות‪ .‬לכן לפי משפט‬
‫מתכנס בהחלט בכל קטע‬
‫∞‪P‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫הסכום‪P‬הנ"ל הוא ‪P n=0 dn‬כאשר ‪ .dn = i=0 ci xi xn−i‬כלומר‪dn = i=0 ci xn = ,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ,xn i=0 ci‬וכמובן ‪ sn = i=0 ci‬הוא סכום חלקי של הטור המקורי‪ ,‬ולכן‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫)‪sn x =⇒ f (x) = (1 − x‬‬
‫‪sn xn‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪n‬‬
‫∞‪P‬‬
‫היות ו־ )‪ f (x‬מייצגת טור מתכנס‪ ,‬גם‬
‫עצמה‪(.‬‬
‫∞‪P‬‬
‫ניזכר בכך ש־ ‪ 1 = (1 − x) n=0 xn‬עבור ‪ −1 < x < 1‬ולכן‬
‫‪Sxn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=0 sn x‬‬
‫מתכנס‪) .‬זו תוצאה מעניינת בפני‬
‫)‪f (1) = S = (1 − x‬‬
‫‪n=0‬‬
‫כלומר‪,‬‬
‫‪3‬הדבר נעשה בהרצאה של מר איתמר צביק במהלך שיעור רשות‪.‬‬
‫‪97‬‬
‫‪(sn − S)xn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫)‪f (x) − f (1) = (1 − x‬‬
‫‪n=0‬‬
‫כעת בהנתן ‪ ε > 0‬קיים ‪ N ∈ N‬כך שאם ‪ n > N‬אז‬
‫‪ε‬‬
‫‪2‬‬
‫< |‪ ,|sn − S‬שהרי ‪.sn → S‬‬
‫לכן‪,‬‬
‫‪(sn − S)xn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪(sn − S)xn +‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪(sn − S)xn‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪n=N +1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫כעת נתבונן בזנב הזה‪:‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪ε X n‬‬
‫‪ε 1‬‬
‫‪εX n‬‬
‫‪ε n‬‬
‫= ‪x‬‬
‫= ‪x‬‬
‫< ‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 n=0‬‬
‫‪21−x‬‬
‫‪n=N +1‬‬
‫≤ ‪|sn −S|xn‬‬
‫‪n=N +1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫≤ | ‪(sn −S)xn‬‬
‫‪n=N +1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫|‬
‫‪n=N +1‬‬
‫וכעת נחזור בחזרה‪:‬‬
‫‪ε 1‬‬
‫‪21−x‬‬
‫)‪|sn − S|xn + (1 − x‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪|f (x) − f (1)| ≤ (1 − x‬‬
‫‪n=0‬‬
‫כעת נסמן‬
‫‪|sn − S|xn‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪g(x) = (1 − x‬‬
‫‪n=0‬‬
‫זהו פולינום רציף ב־ ‪ 1‬וכמובן ‪ .g(1) = 0‬לכן עבור אותו ‪ ε > 0‬יהי ‪ δ > 0‬מן‬
‫הרציפות כך שאם ‪ |x − 1| < δ‬אז ‪ .|g(x)| < 2ε‬עבור ‪ max{0, 1 − δ} < x < 1‬נקבל‬
‫‪ |f (x) − f (1)| < ε‬והראינו את הרציפות‪.‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪n‬‬
‫טור מתכנס עם ‪ R > 0‬אזי ‪ f‬המוגדרת באמצעות‬
‫מסקנה ‪ 4.34‬אם ‪n=0 cn R = S‬‬
‫הטור כמו קודם רציפה משמאל ב־ ‪ R‬ומתקיים ‪.limx→R− f (x) = S‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי )‪ g(x) := f (Rx‬מוגדרת בקטע ]‪ (−1, 1‬ועומדת בתנאי המשפט הקודם‪ ,‬ולכן‬
‫‪x‬‬
‫‪ f (x) = g( R‬ולכן רציפה משמאל ב־ ‪.R‬‬
‫רציפה משמאל ב־ ‪ .1‬אבל כמובן )‬
‫∞‪P‬‬
‫מסקנה ‪4.35‬‬
‫‪ P‬אם ‪ n=0 cn (−R)n = S‬טור מתכנס עם ‪ R > 0‬אז הפונקציה =‪f (x) :‬‬
‫∞‬
‫‪ n=0 cn xn‬רציפה מימין ב־ ‪ −R‬ומתקיים ‪.limx→−R+ f (x) = S‬‬
‫‪98‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי )‪ g(x) := f (−x‬והיתר כמו קודם‪.‬‬
‫נראה מספר דוגמאות‪:‬‬
‫‪P n‬‬
‫היא לא בקצוות‪ ,‬אלא רק ב־ )‪.(−1, 1‬‬
‫של הטור ‪x‬‬
‫שההתכנסות‬
‫‪ .1‬ראינו‬
‫‪P‬‬
‫‪ .2‬גם הטור ‪ (−1)n xn‬לא מתכנס בקצוות‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪ .3‬טור האינטגרל של הדוגמא הקודמת‪ (−1)n xn+1 ,‬מתכנס כמובן ב־ )‪ .(−1, 1‬נשים‬
‫לב שהפונקציה המוגדרת ע"י הטור החדש‪ ,‬נסמנה ‪ ,g‬מקיימת שהנגזרת שלה שווה לפונקציה‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,f (x) = 1+x‬אנו גם‬
‫המוגדרת ע"י הטור מהדוגמה הקודמת‪ .f ,‬כיוון שאנו יודעים ש־‬
‫יודעים ש־ ‪ .g(x) = ln(1 + x) + C‬את הקבוע אפשר לחשב ע"י הצבה ‪ x = 0‬ומקבלים ש־‬
‫‪ ,C = 0‬כלומר )‪.g(x) = ln(1 + x‬‬
‫נשים לב שב־ ‪ x = 1‬מקבלים טור הרמוני עם סימנים מתחלפים‪ ,‬ויש התכנסות–מה‬
‫שמראה שהאינטגרציה יכולה להרחיב את ההתכנסות והגזירה יכולה לצמצם את ההתכנסות‬
‫)בקצוות(‪ .‬בפרט‪ ,‬קיבלנו ש־‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪(−1)n+1‬‬
‫‪(−1)n‬‬
‫=‬
‫‪n+1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=0‬‬
‫= )‪ln 2 = lim− ln(1 + x‬‬
‫‪x→1‬‬
‫וזו למעשה הפעם הראשונה שבה הוכחנו שהטור ההרמוני בעל הסימנים המתחלפים אכן‬
‫מתכנס ל־ ‪.ln 2‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n 2n‬‬
‫‪ 1+x‬מתכנס ב־ ‪ .−1 < x < 1‬טור האינטגרל‪,‬‬
‫‪ .4‬הטור‬
‫= ‪2‬‬
‫‪n=0 (−1) x‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪n x2n+1‬‬
‫= ‪ arctan x‬מתכנס גם בקצה הימני‪ ,‬כי ב־ ‪ x = 1‬מקבלים טור‬
‫‪n=0 (−1) 2n+1‬‬
‫לייבניץ‪ ,‬וקיבלנו‪:‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(−1)n‬‬
‫= ‪= lim arctan x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪x→1−‬‬
‫‪n=0‬‬
‫הגדרה ‪ 4.36‬פונקציה נקראת אנליטית בקטע אם לכל ‪ a‬בקטע קיים טור חזקות ב־ )‪(x − a‬‬
‫כך שהפונקציה מתלכדת בסביבה של ‪ a‬עם טור החזקות הנ"ל‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬אם ‪ limn→∞ (f (x) − Tn f (x)) = 0‬אז טור טיילור של ‪ f‬מתלכד עם ‪.f‬‬
‫‪5‬‬
‫מסילות במישור‬
‫נרצה להתבונן בגרפים במישור שאינם מייצגים פונקציה )למשל‪ ,‬כי אינם חד־ערכיים(‪ .‬זוהי‬
‫‬
‫‪t2‬‬
‫‪ √sin‬כש־ ]‪:t ∈ [0, 2π‬‬
‫דוגמה למסילה המוזרה ‪cos t‬‬
‫‪99‬‬
‫‬
‫הגדרה ‪ 5.1‬יהי ‪ I‬קטע פתוח‪ .‬מסילה ב־ ‪ R2‬הנה פונקציה ‪ ,P : I → R2‬כך ש־ ‪.P : t 7→ xy‬‬
‫לעתים נרצה להגדיר )‪ x = f (t), y = g(t‬ההיטלים של המסילה על שני הצירים‪ ,‬ואף‬
‫להתבונן במסילה בתור זוג הטלות אלה ‪.P = fg‬‬
‫נציין גם שהפרמטר ‪ t‬הוא משמעותי‪ ,‬כלומר לא נעסוק רק במקום הגיאומטרי במישור של כל‬
‫הנקודות שהמסילה דורכת עליהן‪ ,‬אלא נתעניין גם בציר הזמן–עבור איזה ‪ t‬המסילה דרכה‬
‫על נקודות אלה‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‬
‫‪ P (t) = ab .1‬היא המסילה המשעממת מכולן‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ P (t) = 1+2t‬וזהו ישר בהצגה פרמטרית‪.‬‬
‫‪ P (t) = 0 + t 3 .2‬עם ‪ .t ∈ R‬כלומר‪0+3t ,‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ P (t) = cos‬והנקודות שהמסילה דורכת עליהן מקיימות ‪ ,x2 + y 2 = 1‬כלומר הן‬
‫‪sin t .3‬‬
‫ממעגל היחידה‪.‬‬
‫חלק ‬
‫‪t‬‬
‫‪ H(t) = cosh‬והנקודות שהמסילה דורכת עליהן מקיימות ‪ ,x2 − y 2 = 1‬כלומר‬
‫‪.4‬‬
‫‪sinh t‬‬
‫הן חלק מהיפרבולת היחידה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ P (t) = tt2 .5‬וכאן המסילה מטיילת על הישר ‪ x = y‬בקרן החיובית )הרביע הראשון(‪.‬‬
‫‬
‫‪t‬‬
‫‪ Q(t) = sin‬וכאן המסילה מטיילת על הישר ‪ x = y‬באופן מחזורי בין ‪ −1‬ל־ ‪.1‬‬
‫‪sin t .5‬‬
‫‪5.1‬‬
‫נגזרת של מסילה‪ ,‬מהירות ותאוצה‬
‫הגדרה ‪ 5.2‬נגדיר את הגבול של המסילה בנקודה בתור הביטוי הבא‪ ,‬אם הוא קיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫)‪f (t‬‬
‫)‪limt→a f (t‬‬
‫‪lim‬‬
‫=‪:‬‬
‫)‪t→a g(t‬‬
‫)‪limt→a g(t‬‬
‫כעת אפשר לדון גם על נגזרת של מסילה‪ ,‬כדי לקבל את הוקטור המשיק–וקטור המהירות‬
‫על המסילה‪.‬‬
‫)‪(a‬‬
‫‪ P 0 (a) = limt→0 P (a+t)−P‬אם קיים‪ ,‬הנגזרת של‬
‫הגדרה ‪ 5.3‬תהי ‪ P‬מסילה‪ ,‬נגדיר‬
‫‪t‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫)‪f (a‬‬
‫‪0‬‬
‫המסילה בזמן ‪ .a‬לפי ההגדרה הקודמת‪ ,‬אם ‪ f, g‬גזירות ב־ ‪ ,a‬אזי )‪.P (a) = g0 (a‬‬
‫באופן דומה‪ ,‬נגדיר את המסילה המשיקה )‪.L(t) = P (a) + P 0 (a)(t − a‬‬
‫‪100‬‬
‫‬
‫‬
‫‪sin t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ .P 0 (t) = −cos‬זה לא מפתיע שהוקטור‬
‫‪ P (t) = cos‬ואז‬
‫‪t‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬נתבונן במסילה ‪sin t‬‬
‫המשיק‬
‫)המהירות( ניצב לוקטור הדרך‪ ,OP (a) ,‬שהוא כמובן רדיוס במעגל‪ .‬ואכן‪ ,‬ממכפלה‬
‫‬
‫‪t‬‬
‫‪− sin t‬‬
‫‪. cos‬‬
‫·‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫סקלרית‪,‬‬
‫‪sin t‬‬
‫‪cos t‬‬
‫‪p‬‬
‫הגדרה ‪ 5.4‬תהי ‪ P‬מסילה גזירה‪ .‬נגדיר ‪(f 0 (t))2 + (g 0 (t))2‬‬
‫המהירות )גודל וקטור המהירות(‪.‬‬
‫= |)‪ v(t) = |P 0 (t‬סקלר‬
‫במקרה של הדוגמה הקודמת‪ ,v(t) ≡ 1 ,‬כלומר גודל המהירות קבוע‪ .‬אבל‪ ,‬כמובן‪ ,‬הכיוון‬
‫של וקטור המהירות משתנה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.5‬תהי ‪ P‬מסילה גזירה פעמיים‪ .‬נגדיר )‪ P 00 (t‬וקטור התאוצה‪ ,‬ו־ |)‪a(t) = |P 00 (t‬‬
‫סקלר התאוצה‪.‬‬
‫במקרה של הדוגמא הקודמת‪ ,a(t) ≡ 1 ,‬כלומר גודל המהירות קבוע אך גודל התאוצה אינו‬
‫המהירות משנה כיוון‪ :‬יש לו מהירות סיבובית(‪.‬‬
‫אפס )זאת משום שוקטור‬
‫‬
‫דוגמא נוספת‪ :‬המסילה ‪ P (t) = −t2t+9‬כאשר ‪ .−3 ≤ t ≤ 3‬המסילה היא חלק‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪ .P 0 (t) = −2t‬כלומר‪ ,‬התנועה האופקית על המסילה‬
‫מהפרבולה ‪ ,y = −x2 + 9‬וכאן‬
‫במהירות קבועה ימינה‪ ,‬אך התנועה האנכית משתנה כתלות ב־ ‪ .t‬המהירות היא‬
‫היא‬
‫√‬
‫‪ v(t) = 1 + 4t2‬והמינימום מתקבל ב־ ‪ .0‬התאוצה היא ‪ ,a(t) = 2‬קבועה‪.‬‬
‫‪5.2‬‬
‫אורך של מסילה‬
‫דרך אחת לחשב אורך של עקום היא לקחת מספר נקודות על העקום‪ ,‬לחבר אותן בקווים‬
‫ישרים‪ ,‬ולמדוד את סך האורכים של הקווים הישרים‪ .‬התקווה היא שאם העקום "חלק"‪,‬‬
‫לאחר שניקח הרבה מאוד נקודות נגיע להערכה די מדויקת של אורך העקום‪.‬‬
‫אפשרות אחרת שמתקבלת על הדעת היא לחשב את האינטגרל של המהירות‪ ,‬אך יש‬
‫להצדיק את השימוש ב"מהירות" למדידת ה"דרך"‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.6‬המרחק בין שתי נקודות‬
‫‪c‬‬
‫‪d‬‬
‫‬
‫=‪, Q‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‬
‫‪p‬‬
‫‪(c − a)2 + (b − d)2‬‬
‫= ‪ P‬מוגדר ע"י‪:‬‬
‫= )‪d(P, Q‬‬
‫נרצה לבנות חלוקה של הקטע עליו המסילה מוגדרת‪ ,‬להגדיר אורך המתאים לחלוקה‪ ,‬ולדבר‬
‫על החסם העליון של אורכי כל החלוקות האפשריות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.7‬בהינתן חלוקה ‪ P‬של תחום ההגדרה של המסילה‪ ,‬נסמן ) ‪d(Pi−1 , Pi‬‬
‫‬
‫) ‪(ti‬‬
‫‪.Pi := fg(t‬‬
‫כאשר‬
‫)‪i‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= )‪,l(P‬‬
‫עכשיו אפשר לדבר על החסם‪ ,‬בתנאי שהמסילה לא חוזרת על עצמה‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 5.8‬תהי ‪ P‬מסילה כך שלכל ‪ a ≤ t < t0 ≤ b‬מתקיים ) ‪ .P (t) 6= P (t0‬נאמר ש־‬
‫‪ P‬בעלת אורך סופי אם הקבוצה })‪ {l(P‬על כל החלוקות ‪ P‬חסומה מלעיל‪ .‬אם זה המצב‪,‬‬
‫נגדיר })‪.l(P ) = sup{l(P‬‬
‫‪101‬‬
‫בכל זאת‪ ,‬נרצה גם קריטריון נוח יותר לחישוב האורך‪ ,‬באמצעות אינטגרל של המהירות‪ .‬על‬
‫מנת להצדיק מעבר זה‪ ,‬דרושה הגדרה נוספת‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 5.9‬נאמר שהמסילה ‪ P‬חלקה אם הפונקציות ‪ f, g‬המרכיבות אותה גזירות ברציפות‬
‫ומתקיים ‪ 0 < (f 0 )2 + (g 0 )2‬בכל תחום ההגדרה‪) .‬כלומר‪ ,‬וקטור המהירות לא מתאפס‪(.‬‬
‫אך לפני שנוכל להוכיח את מה שאנחנו רוצים‪ ,‬אנו זקוקים למספר טענות עזר‪:‬‬
‫טענה ‪ 5.10‬אורך של מסילה הינו אדיטיבי‪ ,‬כלומר אם ‪ P : [a, b] → R2‬בעלת אורך ו־‬
‫]‪ c ∈ [a, b‬כלשהו‪ ,‬אז מתקיים ) ]‪.l(P |[a,b] ) = l(P |[a,c] ) + l(P |[c,b‬‬
‫הוכחה‪ :‬כדי להקל קצת‪ ,‬נסמן ]‪ .T = P |[a,c] , S = P |[c,b‬ראשית צריך להראות שהביטויים‬
‫באגף ימין מוגדרים בכלל‪ .‬למשל‪ ,‬נראה שהקבוצה })‪ {lT (Q‬כאשר ‪ Q‬חלוקה של ]‪ [a, c‬היא‬
‫קבוצה חסומה‪ .‬ובכן‪ ,‬תהי } ‪ Q = {x0 , . . . , xn‬חלוקה של ]‪ ,[a, c‬אז‬
‫))‪d(T (xi ), T (xi−1 )) + d(T (c), P (b‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ )) ‪d(T (xi ), T (xi−1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪lT (Q‬‬
‫‪i=1‬‬
‫אבל הביטוי באגף ימין מייצג ) ‪ l(Q0‬כאשר }‪ Q0 = Q ∪ {b‬חלוקה של ]‪ [a, b‬ולכן כל‬
‫הביטוי חסום ע"י ) ‪ ,l(P‬כלומר הקבוצה })‪ {lT (Q‬אכן חסומה‪ .‬באופן דומה גם אורכי‬
‫החלוקות של ]‪ [c, b‬חסומים‪.‬‬
‫נסמן })‪ l1 = sup{lT (Q‬כאשר ‪ Q‬חלוקה של ]‪ [a, c‬ו־ })‪ l2 = sup{lS (W‬כאשר ‪W‬‬
‫חלוקה של ]‪ ,[c, b‬וכן ) ‪.l = l(P‬‬
‫נראה ש־ ‪.l1 + l2 ≤ l‬‬
‫מהיות ‪ l1 , l2‬חסמים עליונים ניתן למצוא סדרות ) ‪ (Qn ), (Wn‬של חלוקות של הקטעים‬
‫המצומצמים בהתאמה‪ ,‬כך ש־ ‪ (l(Qn )) → l1‬ו־ ‪ .(l(Wn )) → l2‬מתוך שתי סדרות אלה‬
‫נבנה סדרה ) ‪ (Qn ∪ Wn‬של חלוקות של הקטע ]‪.[a, b‬‬
‫ברור שלכל ‪ n‬מתקיים ) ‪ .l(Qn ∪ Wn ) = l(Qn ) + l(Wn‬מאריתמטיקה של סדרות‬
‫מתכנסות‪ ,‬מתקיים ‪ .(l(Qn ∪ Wn )) → l1 + l2‬מאידך‪ ,‬החלוקות ) ‪ (Qn ∪ Wn‬הן חלוקות‬
‫של הקטע ]‪ [a, b‬ולכן חסומות ע"י ‪ .l‬ממונוטוניות הגבול‪.l1 + l2 ≤ l ,‬‬
‫כעת נראה ש־ ‪.l1 + l2 ≥ l‬‬
‫תהי ) ‪ (Pn‬סדרת חלוקות של ]‪ [a, b‬המתכנסת ל־ ‪ .l‬נסמן }‪ .Yn = Pn ∪ {c‬זהו עידון‬
‫של ‪ Pn‬ולכן מתקיים ) ‪ l(Yn ) ≥ l(Pn‬לכל ‪ .n‬אבל כיוון שגם ) ‪ (Yn‬היא סדרת חלוקות של‬
‫]‪ ,[a, b‬מתקבל‬
‫) ‪l ≥ l(Yn ) ≥ l(Pn‬‬
‫ולכן ‪ (l(Yn )) → l‬ממשפט הסנדוויץ'‪ .‬כעת נגדיר ]‪ Qn = Yn ∩[a, c‬ו־ ]‪Wn = Yn ∩[c, b‬‬
‫חלוקות של ]‪ [a, c‬ו־ ]‪ [c, b‬בהתאמה‪ .‬ברור ש־‬
‫‪l(Pn ) ≤ l(Yn ) = l(Qn ) + l(Wn ) ≤ l1 + l2‬‬
‫וממונוטוניות הגבול‪ .l ≤ l1 + l2 ,‬מכאן‪ l = l1 + l2 ,‬כפי שרצינו‪.‬‬
‫‪102‬‬
‫‬
‫הגדרה ‪ 5.11‬אם ‪ F : [a, b] → R2‬מסילה עם‬
‫)‪ F (t) = ff12 (t‬והפונקציות ‪ f1 , f2‬אינטגרביליות‬
‫)‪(t‬‬
‫´‬
‫‪b‬‬
‫‪´b‬‬
‫ ‪f‬‬
‫ב־ ]‪ [a, b‬אז נגדיר גם את האינטגרל של המסילה‪. a F := ´ab f1 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫טענה ‪ 5.12‬אם ‪ F : [a, b] → R2‬מסילה ו־‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪d‬‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫= ‪ ,C‬אז מתקיים‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪C · F (t)dt‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫·‪C‬‬
‫= ‪F (t)dt‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫כאשר · מכפלה סקלרית‪ ,‬ושני הצדדים הם סקלרים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מליניאריות האינטגרל )לפונקציות ממשיות רגילות( והמכפלה הסקלרית‪ ,‬שהרי‪:‬‬
‫ ‪´ b‬‬
‫‪ˆ b‬‬
‫‪ˆ b‬‬
‫‪ˆ b‬‬
‫‪ˆ b‬‬
‫‪f‬‬
‫‪a 1‬‬
‫‪C · ´b‬‬
‫‪=c‬‬
‫‪f1 + d‬‬
‫= ‪f2‬‬
‫= ) ‪(cf1 + df2‬‬
‫‪C ·F‬‬
‫‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a 2‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫טענה ‪ 5.13‬אם ‪ F : [a, b] → R2‬אינטגרבילית‪ ,‬אז מתקיים || ‪||F‬‬
‫|| · || אורך וקטור‪.‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן ‪ .C = a F‬אז מתקיים ‪ C · C = a C · F (t)dt‬מהטענה הקודמת‪ .‬כעת‬
‫נתבונן באורך הוקטור‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫| = |‪||C|| · ||C|| = |C · C‬‬
‫≤ |‪C · F (t)dt‬‬
‫‪|C · F (t)|dt‬‬
‫≤ || ‪F‬‬
‫‪a‬‬
‫||‪ ,‬כאשר‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫כאשר המעבר האחרון נכון מפני שמדובר באינטגרלים של פונקציות ממשיות רגילות‪.‬‬
‫כעת אם ‪ C = 0‬הטענה מתקיימת‪ ,‬ואם ‪ C 6= 0‬נשתמש באי־שוויון קושי־שוורץ )מאלגברה‬
‫ליניארית ‪:(2‬‬
‫||)‪|C · F (t)| ≤ ||C|| · ||F (t‬‬
‫ולכן‪,‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪||F (t)||dt‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫||‪||C|| · ||F (t)||dt = ||C‬‬
‫‪a‬‬
‫≤ ‪|C · F (t)|dt‬‬
‫‪a‬‬
‫כלומר‪,‬‬
‫‪103‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪||F (t)||dt‬‬
‫||‪||C|| · ||C|| ≤ ||C‬‬
‫‪a‬‬
‫ומחלקים ב־ ‪ ||C|| > 0‬ומכאן המסקנה‪.‬‬
‫טענה ‪ 5.14‬אם ‪ P‬מסילה חלקה ובעלת אורך על קטע ]‪ ,[a, b‬ו־ )‪ v(t‬כמו קודם‪ ,‬אז לכל‬
‫‪´b‬‬
‫חלוקה ‪ P‬של הקטע מתקיים ‪.l(P) ≤ a v‬‬
‫הוכחה‪ :‬נשתמש בטענה הקודמת עבור ‪:P 0‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫||‬
‫≤ ||‪P (t)dt‬‬
‫= ‪||P (t)||dt‬‬
‫‪v(t)dt‬‬
‫‪b‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫ˆ‬
‫אבל מהמשפט היסודי‪,‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫) ‪P 0 (t)dt|| = ||P (b) − P (a)|| = d(Pb , Pa‬‬
‫||‬
‫‪a‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´t‬‬
‫וקיבלנו את הא"ש ) ‪ t−1 v(t)dt ≥ d(Pi , Pi−1‬לכל ‪ .i‬מכאן כמובן גם )‪. a v ≥ l(P‬‬
‫משפט ‪ 5.15‬אם ‪ P : [a, b] → R2‬מסילה חלקה‪ ,‬ו־ )‪ v(t‬כמו קודם‪ ,‬אז ‪v(t)dt‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪a‬‬
‫= ) ‪.l(P‬‬
‫הוכחה‪ v :‬רציפה ולכן אינטגרבילית‪ .‬לכן די להראות שלכל ‪ 0 < ε‬קיימת חלוקה ‪ P‬המקיימת‬
‫‪´b‬‬
‫‪´b‬‬
‫ש־ ‪ .| a v − l(P)| < ε‬למעשה‪ ,‬לאור הטענה‪ ,‬די להראות ‪. a v − l(P) < ε‬‬
‫נשים לב ש־‬
‫) ‪d(Pi−1, Pi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n p‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪(f (ti ) − f (ti−1 ))2 + (g(ti ) − g(ti−1 ))2‬‬
‫=‬
‫)‪l(P‬‬
‫=‬
‫‪i=1‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ f (t ) − f (t ) 2 g(t ) − g(t ) 2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i−1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i−1‬‬
‫‪+‬‬
‫) ‪(ti − ti−1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪−‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪−‬‬
‫‪t‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i−1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i−1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫כעת לפי משפט לגרנז' עבור ‪ f, g‬בכל קטע ] ‪ [ti−1 , ti‬קיימים ‪ ti−1 < ci < ti‬ו־‬
‫‪ ti−1 < di < ti‬כך שהביטוי הנ"ל מקיים‬
‫) ‪(f 0 (ci ))2 + (g 0 (di ))2 (ti − ti−1‬‬
‫‪n p‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪104‬‬
‫=‬
‫נשים לב שאם ‪ ci = di‬אז היינו מקבלים סכום רימן של ‪ .v‬זה לא המצב‪ ,‬אז נרצה‬
‫לבחור נקודה משותפת שלא תקלקל יותר מדי‪.‬‬
‫אם ‪ ti−1 < ui < ti‬אז‬
‫‪n p‬‬
‫‪X‬‬
‫) ‪(f 0 (ci ))2 + (g 0 (di ))2 (ti −ti−1‬‬
‫‪v(ui )(ti −ti−1 )+‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪v(ui )(ti −ti−1 )−‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪l(P‬‬
‫נתבונן בכל מחובר שנכפל ב־ ) ‪:(ti − ti−1‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫≤ | ‪| (f 0 (ci ))2 + (g 0 (di ))2 − (f 0 (ui ))2 + (g 0 (ui ))2‬‬
‫‪p‬‬
‫≤ ‪(f 0 (ui ) − f 0 (ci ))2 + (g 0 (ui ) − g 0 (di ))2‬‬
‫√‬
‫}|) ‪2 max{|f 0 (ui ) − f 0 (ci )|, |g 0 (ui ) − g 0 (di‬‬
‫כאשר )‪ (3‬מתקבל משיקולי א"ש המשולש ההפוך אם | · | מתפקד כאורך וקטור‪ ,‬שהרי‬
‫|‪.||a| − |b|| ≤ |a − b‬‬
‫כעת אנו רוצים לראות שהחסם שקיבלנו לא תלוי בקטע ‪ .i‬למרבה המזל‪ f 0 , g 0 ,‬רציפות‬
‫במ"ש )כי הן רציפות בקטע סגור וחסום(‪ .‬לכן‪ ,‬עבור אותו ‪ 0 < ε‬קיים ‪ 0 < δ‬כך שאם‬
‫‪0‬‬
‫ו־ ‪.|f 0 (x) − f 0 (y)| < ε‬‬
‫‪ |x − y| < δ‬אז בו־זמנית ‪(x) − g 0 (y)| < ε‬‬
‫‪P|g‬‬
‫‪n‬‬
‫כעת‪ ,‬הביטוי מקודם ) ‪ i=1 v(ui )(ti − ti−1‬הוא סכום רימן של ‪ v‬עבור החלוקה ‪.P‬‬
‫נדאג לכך שהחלוקה עדינה מספיק כדי ש־ ‪ λ(P) < δ‬וגם שיתקיים‬
‫‪v(ui )(ti − ti−1 )| < ε‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫)אינטגרביליות לפי סכומי רימן(‪.‬‬
‫לבסוף נקבל‪:‬‬
‫‪105‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫|‬
‫‪v−‬‬
‫‪a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪v(ui )(ti − ti−1 )| +‬‬
‫‪b‬‬
‫‪v−‬‬
‫|‬
‫|) ‪(f 0 (ci ))2 + (g 0 (di ))2 (ti − ti−1‬‬
‫‪v(ui )(ti − ti−1 ) −‬‬
‫‪v(ui )(ti − ti−1 )| +‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫|) ‪(f 0 (ci ))2 + (g 0 (di ))2 )(ti − ti−1‬‬
‫‪a‬‬
‫|‬
‫|‬
‫‪v−‬‬
‫≤‬
‫‪a‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪p‬‬
‫|)‪v − l(P‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ˆ b‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫≤‬
‫‪a‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n p‬‬
‫‪X‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫|‬
‫‪(v(ui ) −‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫|‬
‫‪i=1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫| ‪ε + | (f 0 (ci ))2 + (g 0 (di ))2 − (f 0 (ui ))2 + (g 0 (ui ))2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫√‬
‫‪≤ ε+‬‬
‫) ‪2 max{|f 0 (ui ) − f 0 (ci )|, |g 0 (ui ) − g 0 (di )|}(ti − ti−1‬‬
‫<‬
‫‪i=1‬‬
‫)‪2ε(b − a‬‬
‫√‬
‫‪ε+‬‬
‫<‬
‫וזו קבועה כפולה חיובית של ‪ ε‬ולכן סיימנו‪) .‬המעבר האחרון מתקיים בגלל הרציפות‬
‫במ"ש‪ ,‬שהרי ‪ λ(P) < δ‬ולכן ‪(.|ui − ci | < δ, |ui − di | < δ‬‬
‫נראה מספר דוגמאות‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‬
‫‬
‫‪−a1‬‬
‫‪ ,P (t) = aa12 +t bb21 −a‬המסילה המחברת שתי נקודות‪ .‬כאן‪(b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 ,‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‪ b1‬‬
‫‪´1‬‬
‫‪a1‬‬
‫ואז לפי המשפט ) ‪ .l(P ) = 0 v(t)dt = d( a2 , b2‬כלומר‪ ,‬אורך הקטע הוא בדיוק‬
‫המרחקבין הנקודות‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ P (t) = cos‬עבור ‪ ,0 ≤ t ≤ 2π‬כלומר סיבוב אחד סביב מעגל היחידה‪ .‬כאן‪,‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪sin t‬‬
‫‪´ 2π‬‬
‫‪) l(P ) = 0 1dt = 2π‬ראינו כבר קודם ש־ ‪ .(v(t) ≡ 1‬אם הרדיוס היה ‪ ,r‬היינו מקבלים‬
‫ש־ ‪.l(P ) = 2πr‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ E(t) = ab cos‬עם ‪ 0 < a, b‬ו־ ‪ .0 ≤ t ≤ 2π‬מתקיים ‪ xa = cos t, yb = sin t‬כלומר‬
‫‪sin t .3‬‬
‫= )‪v(t‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫וזוהי משוואה של אליפסה‪ .‬אם מסמנים‬
‫‪p‬‬
‫‪a sin2 t + e2 cos2 tdt‬‬
‫‪2π‬‬
‫= ‪ e‬אז מתקבל‬
‫ˆ‬
‫= )‪L(E‬‬
‫‪0‬‬
‫ומסתבר שאין קדומה אלמנטרית לפונקציה זו‪ ,‬אז אפשר רק לעשות חישוב נומרי‪.‬‬
‫‪ .4‬ציקלואיד ברדיוס ‪ a‬מתאר מעגל שמסתובב ללא החלקה על ציר ה־ ‪ .x‬נסמן ‪θ‬‬
‫הזוית של הנקודה לעומת נקודת ההשקה‪ ,‬ומתקיים )‪ x= a(θ − sin θ‬ו־ )‪.y = a(1 − cos θ‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪ Q0 (θ) = 1−cos‬ובכל‬
‫המסילה שמציירת הנקודה שמתחילה בראשית שנסמנה ‪ Q‬מקיימת‬
‫‪sin θ‬‬
‫נקודה פרט להתחלה ולסוף יש תנועה ימינה כי ‪ .1 − cos θ > 1‬בכל מקרה מתקיים = )‪v(θ‬‬
‫√‬
‫‪´ 2π‬‬
‫‪.l(Q) = 2a 0 sin θ2 dθ = 4a(− cos θ2 )|2π‬‬
‫‪ a 2 − 2 cos θ‬ואפשר למצוא אינטגרל‪0 = 8a :‬‬
‫‪106‬‬
‫)ציקלואידים ברדיוסים מ־ ‪1‬עד ‪ 2‬בתחום ]‪(.[0, 2π‬‬
‫‪ .5‬מהו השטח הכלוא מתחת לציקלואיד? ובכן‪ ,‬זהו אינטגרל של ‪ y‬כפונקציה של ‪...x‬‬
‫בחצי השמאלי‪ y ,‬הוא אכן פונקציה של ‪ ,x‬ושם‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫))) ‪t(y) = arccos(1 − ) =⇒ x(y) = a(arccos(1 − ) − sin(arccos(1 −‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫כעת אפשר לעשות אינטגרל לפי ‪ ,y‬אבל זה ייתן לנו את השטח הלא נכון‪ ,‬כי עשינו‬
‫אינטגרל של ‪ x‬לפי ‪ .y‬ע"י חיסור משטח המלבן )‪ (0, 0, 2πa, 2a‬אפשר יהיה לחשב מחצית‬
‫מהשטח שבו אנו מעוניינים‪.‬‬
‫אפשר היה לעשות הכל גם דרך )‪ .y(x‬נניח שיש לנו פונקציה )‪ x−1 (ξ‬כך ש־ = ))‪x(x−1 (ξ‬‬
‫‪ ,ξ‬והיא קיימת כי )‪ x(t‬הפיכה )מהחלקּות(‪ .‬אז כעת‪,‬‬
‫))‪y(ξ) = y(t(x)) = y(x−1 (ξ‬‬
‫לכן‪ ,‬השטח המבוקש הוא האינטגרל‬
‫‪2π‬‬
‫ˆ‬
‫‪y(t)x0 (t)dt‬‬
‫‪2π‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪y(x−1 (ξ))dξ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫לפי חילוף משתנה ‪ .ξ = x(t), dξ = x0 (t)dt‬במקרה שלנו‪,‬‬
‫‪2π‬‬
‫ˆ‬
‫‪= a2‬‬
‫‪(1 − cos t)2 dt = 3πa2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5.3‬‬
‫מסילות שקולות‬
‫הגדרה ‪ 5.16‬שתי מסילות ‪ P : [a, b] → R2 , Q : [c, d] → R2‬ייקראו שקולות אם קיימת‬
‫]‪ ϕ : [c, d] → [a, b‬גזירה ברציפות המקיימת ‪ ϕ0 > 0‬וגם ‪ ϕ(c) = a, ϕ(d) = b‬יחד עם‬
‫‪.Q = P ◦ ϕ‬‬
‫ההגדרה הנ"ל היא הגדרה של שקילות ששומרת על כיוון‪ ,‬כי דרשנו ‪ .ϕ0 > 0‬הרעיון הוא‬
‫ששתי המסילות מציירות את אותו העקום‪ ,‬בעל אותו אורך‪ ,‬וכד'‪ .‬זו תהיה ממש אותה‬
‫"תמונה"‪ ,‬אבל אולי "נצייר" אותה מהר יותר‪.‬‬
‫‪107‬‬
‫הערה ‪ 5.17‬קל לראות שההגדרה הקודמת משרה יחס שקילות‪ :‬כל מסילה שקולה לעצמה‪,‬‬
‫‪ ϕ‬חח"ע ולכן הפיכה )סימטריות(‪ ,‬ומתקיימת גם טרנזיטיביות‪.‬‬
‫טענה ‪ 5.18‬אם ‪ P, Q‬מסילות שקולות וחלקות אזי )‪.l(P ) = l(Q‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם‬
‫‪(fP0 (t))2 + (gP0 (t))2‬‬
‫‪q‬‬
‫= )‪vP (t‬‬
‫אז‬
‫))‪= ϕ0 (t)vP (ϕ(t‬‬
‫‪2‬‬
‫))‪+ ϕ0 (t)(gP0 (ϕ(t‬‬
‫‪2‬‬
‫))‪ϕ0 (t)(fP0 (ϕ(t‬‬
‫‪q‬‬
‫= )‪vQ (t‬‬
‫ולכן‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫‪d‬‬
‫ˆ‬
‫‪0‬‬
‫= ‪ϕ (t)vP (ϕ(t))dt‬‬
‫) ‪vP (u)du = l(P‬‬
‫‪a‬‬
‫‪d‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪vQ (t)dt‬‬
‫‪c‬‬
‫= )‪l(Q‬‬
‫‪c‬‬
‫כאשר השתמשנו בהחלפת משתנה‪ u = ϕ(t) ,‬ו־ ‪.du = ϕ0 (t)dt‬‬
‫‪5.4‬‬
‫פרמטריזציה באמצעות האורך‬
‫הגדרה ‪ 5.19‬תהי ‪ P : [a, b] → R2‬מסילה חלקה‪ .‬נגדיר לכל ]‪ t ∈ [a, b‬את ‪v‬‬
‫)"אורך הטיול" מההתחלה ועד ‪(.t‬‬
‫‪´t‬‬
‫‪a‬‬
‫=‪.s(t) :‬‬
‫הערה ‪ 5.20‬כמובן מתקיים ‪ s(a) = 0‬ו־ ) ‪ ,s(b) = L = l(P‬וכן לפי המשפט היסודי‪,‬‬
‫)‪ .s0 (t) = v(t‬למעשה‪ ,‬הפונקציה ‪ s‬היא חח"ע ]‪ ,[a, b] → [0, L‬כי ‪ s0 = v > 0‬מדרישת‬
‫החלקות‪ .‬על כן‪ ,‬אפשר להשתמש בפונקציה ‪.s−1‬‬
‫הגדרה ‪ 5.21‬ההרכבה ‪ Q = P ◦ s−1‬נקראת פרמטריזציה באמצעות אורך המסילה‪ ,‬והיא‬
‫מסילה בפני עצמה השקולה למסילה המקורית‪ .‬פרמטר הזמן של ‪ P‬הופך לפרמטר הדרך‬
‫)אורך( של ‪.Q‬‬
‫טענה ‪ 5.22‬בתנאי ההגדרה‪ ||Q0 (t)|| = 1 ,‬לכל ‪.t‬‬
‫‬
‫))‪(s−1 (t‬‬
‫)‪(t‬‬
‫)‪ P (t) = fg(t‬אז‬
‫הוכחה‪ :‬אם‬
‫‪ .Q(t) = fg(s‬לכן‪,‬‬
‫))‪−1 (t‬‬
‫‬
‫)‪f 0 (s−1 (t))(s−1 )0 (t‬‬
‫)‪g 0 (s−1 (t))(s−1 )0 (t‬‬
‫אבל‬
‫‪1‬‬
‫))‪v(s−1 (t‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫))‪s0 (s−1 (t‬‬
‫‬
‫= )‪ ,(s−1 )0 (t‬כלומר‬
‫‪108‬‬
‫= )‪Q0 (t‬‬
‫‪1‬‬
‫))‪P 0 (s−1 (t‬‬
‫))‪v(s−1 (t‬‬
‫= )‪Q0 (t‬‬
‫ומכאן‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ||))‪||P 0 (s−1 (t‬‬
‫‪v(s−1 (t)) = 1‬‬
‫))‪v(s−1 (t‬‬
‫))‪v(s−1 (t‬‬
‫‪5.5‬‬
‫= ||)‪||Q0 (t‬‬
‫עקמומיות ורדיוס עקמומיות‬
‫בהינתן מסילה חלקה‪ ,‬נרצה לאפיין את מידת העקמומיות של המסלול–עד כמה המהירות‬
‫הסיבובית משפיעה על התנועה לאורך המסילה‪ .‬ניתן לאפיין את הזווית של וקטור המהירות‬
‫המשיק לפי פרמטר הזמן‪ ,‬ולקבל פונקציה )‪.4 θ(t‬‬
‫הגדרה ‪ 5.23‬תהי ‪ P‬מסילה חלקה‪ .‬העקמומיות של המסילה בזמן ‪ t‬מוגדרת ע"י‬
‫)‪f 0 (t)g 00 (t) − g 0 (t)f 00 (t‬‬
‫‪κ(t) = p‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(f 0 (t))2 + (g 0 (t))2‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬נתבונן במסילה המציירת מעגל ברדיוס ‪,r‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪r3‬‬
‫‪r‬‬
‫=‬
‫‬
‫‪r cos t‬‬
‫‪r sin t‬‬
‫‪r2 sin2 t + r2 cos2 t‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪(r2‬‬
‫= )‪ .P (t‬העקמומיות‪:‬‬
‫= )‪κ(t‬‬
‫כלומר‪ ,‬העקמומיות קבועה על כל המעגל ולא תלויה ב־ ‪.t‬‬
‫הגדרה ‪ 5.24‬תהי ‪ P‬מסילה חלקה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫|)‪.ρ(t) = |κ(t‬‬
‫רדיוס העקמומיות של המסילה בזמן ‪ t‬מוגדר ע"י‬
‫‪4‬בהרצאה ראינו אפיון ארוך ולא מאוד קוהרנטי של וקטור היחידה המשיק‪ ,‬התאוצה הנורמלית‪ ,‬התאוצה‬
‫המשיקית‪ ,‬ועוד כמה מושגים כאלה‪ .‬למיטב הבנתי אין צורך בהם על מנת לקבל את ההגדרות‪.‬‬
‫‪109‬‬