‫פרק ‪ - 1‬טורים של מספרים חיוביים‬ ‫𝑛𝑎‬ ‫בהינתן סדרת מספרים ממשיים‬ ‫באופן הבא‪:‬‬ ‫מגדירים סדרה חדשה‪ ,‬אותה נסמן‬ ‫𝑛𝑆‬ ‫והיא מוגדרת‬ ‫‪= 𝑎1‬‬ ‫‪= 𝑎1 + 𝑎2‬‬ ‫‪= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3‬‬ ‫⋮‬ ‫𝑛𝑎 ‪= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ +‬‬ ‫כלומר‪ ,‬כל איבר 𝑖𝑆 בסדרה 𝑛𝑆 הוא סכום 𝑖 איברים ראשונים של הסדרה‬ ‫הסדרה 𝑛𝑆 נקראית סדרת הסכומים החלקיים של איברי הסדרה 𝑛𝑎 ‪.‬‬ ‫‪𝑆1‬‬ ‫‪𝑆2‬‬ ‫‪𝑆3‬‬ ‫⋮‬ ‫𝑛𝑆‬ ‫𝑛𝑎 ‪.‬‬ ‫נסמן 𝑆 = 𝑛𝑆 ∞→𝑛‪ lim‬ונגדיר טור של מספרים כסכום אינסופי של איברי הסדרה‬ ‫הבא‪:‬‬ ‫𝑛𝑎‬ ‫באופן‬ ‫∞‬ ‫)∗(‬ ‫𝑆 = ⋯ ‪𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +‬‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫נפריד‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫למספר מקרים‪:‬‬ ‫אם 𝑆 מספר סופי‪ ,‬אז נגיד כי הטור )∗( מתכנס‪.‬‬ ‫אם 𝑆 הוא אינסופי (חיובי או שלילי)‪ ,‬אז נגיד כי הטור )∗( מתבדר‪.‬‬ ‫אם 𝑆 לא קיים אז נגיד כי הטור )∗( מתבדר‪.‬‬ ‫במילים אחרות‪ ,‬כדי לבדוק האם טור מתכנס או מתבדר‪ ,‬יש לחשב את האיבר ה‪-𝑛-‬י של סדרת‬ ‫הסכומים החלקיים שלו 𝑛𝑆 ‪ ,‬כלומר את 𝑛𝑆‪ .‬לאחר מכן לחשב את גבול האיבר ה‪-𝑛-‬י כאשר‬ ‫∞ → 𝑛‪ .‬לפי תוצאת הגבול נדע האם הטור מתכנס או מתבדר‪.‬‬ ‫תרגילים‬ ‫בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪−1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1 𝑛 𝑛+1‬‬ ‫(מתקיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑛+1‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪= −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑛 𝑛+1‬‬ ‫)‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1‬‬ ‫פתרונות‬ ‫‪ .1‬מתבדר‬ ‫‪ .2‬מתכנס‪1 ,‬‬ ‫‪ .3‬מתבדר‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫טורי מספרים בהם ניתן להגיע לנוסחת האיבר ה‪-𝑛-‬י של סדרת הסכומים החלקיים שלו‬ ‫𝑛𝑆 ‪:‬‬ ‫‪ .1‬טור הנדסי (גיאומטרי)‬ ‫טור הנדסי (גיאומטרי) הוא טור מהצורה‬ ‫∞‬ ‫𝑛‬ ‫𝑞 ‪𝑛=1‬‬ ‫כאשר 𝑞 מספר ממשי קבוע‪.‬‬ ‫האיבר ה‪-𝑛-‬י של סדרת הסכומים החלקיים של טור הנדסי הוא‪:‬‬ ‫𝑞‪𝑞 𝑛 +1 −‬‬ ‫‪𝑞−1‬‬ ‫= 𝑛𝑆‪.‬‬ ‫תנאי להתכנסות טור הנדסי‪:‬‬ ‫א‪ .‬כאשר ‪ −1 < 𝑞 < 1‬הטור מתכנס‪ ,‬ומתקיים‪:‬‬ ‫𝑞‬ ‫𝑞‪1−‬‬ ‫=‬ ‫∞‬ ‫𝑛‬ ‫𝑞 ‪𝑛=1‬‬ ‫ב‪ .‬כאשר ‪ 𝑞 ≤ 1‬הטור מתבדר‬ ‫‪ .2‬טור טלסקופי‬ ‫טור טלסקופי הוא טור מהצורה ‪− 𝑏𝑛+1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬ ‫האיבר ה‪-𝑛-‬י של סדרת הסכומים החלקיים של טור טלסקופי הוא‪𝑆𝑛 = 𝑏1 − 𝑏𝑛+1 :‬‬ ‫תנאי להתכנסות טור הנדסי‪:‬‬ ‫הטור ‪− 𝑏𝑛+1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס כאשר הגבול ‪ lim𝑛→∞ 𝑏𝑛+1‬סופי‪.‬‬ ‫תרגילים‬ ‫בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים‪ .‬במידה והטור מתכנס חשב את סכום הטור‪.‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑛=1 1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫𝑛 ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛‬ ‫𝑒 ‪𝑛=1‬‬ ‫‪− 3𝑛 . 5‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛+1‬‬ ‫‪𝑛=1 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑛+1 2‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1 ln‬‬ ‫פתרונות‬ ‫‪ .1‬מתבדר‬ ‫‪ .2‬מתבדר‬ ‫‪ .3‬מתכנס‪,‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ .4‬מתבדר‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .5‬מתבדר‬ ‫‪ .6‬מתכנס‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫משפט ‪ -‬תנאי הכרחי להתכנסות של טור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫אם הטור‬ ‫מתכנס‪ ,‬אזי ‪lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נתבונן באיבר ה‪-𝑛-‬י של סדרת הסכומים החלקיים‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫הטור‬ ‫𝑛𝑆 ‪.𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 :‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬ולכן 𝑆 = 𝑛𝑆 ∞→𝑛‪( lim‬וגם 𝑆 = ‪ )lim𝑛→∞ 𝑆𝑛+1‬כאשר 𝑆 סופי‪.‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪𝑆𝑛+1 − 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛+1 − 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 +1‬‬ ‫‪lim 𝑆𝑛+1 − 𝑆𝑛 = lim 𝑎𝑛+1‬‬ ‫∞→𝑛‬ ‫∞→𝑛‬ ‫ולכן ‪ lim𝑛→∞ 𝑎𝑛+1 = 0‬ומכאן ‪lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0‬‬ ‫תרגילים‬ ‫בדוק האם בהכרח הטורים הבאים מתכנסים או מתבדרים‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑛2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1 1‬‬ ‫‪∞ 1‬‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1‬‬ ‫𝑛‪1+‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1 ln‬‬ ‫פתרונות‬ ‫‪ .1‬כן ‪ -‬מתבדר‬ ‫‪∞ 1‬‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1‬‬ ‫הטור‬ ‫‪ .2‬לא‬ ‫‪ .3‬כן ‪ -‬מתבדר‬ ‫נקרא טור הרמוני‪ .‬בתרגיל ‪ 2‬ראינו כי לא ניתן לקבוע ע"פ התנאי ההכרחי‬ ‫להתכנסות אם הטור מתכנס או מתבדר‪ .‬נוכיח כי טור זה מתבדר‪:‬‬ ‫נניח בשלילה כי הטור מתכנס‪ ,‬כלומר האיבר ה‪-𝑛-‬י של סדרת הסכומים החלקיים מקיים‬ ‫𝑆 = 𝑛𝑆 ∞→𝑛‪( lim‬וגם 𝑆 = 𝑛‪ )lim𝑛→∞ 𝑆2‬כאשר 𝑆 סופי‪ .‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛 = 1 + + ⋯ + +‬‬ ‫‪+⋯+‬‬ ‫‪− 1+ +⋯+‬‬ ‫=‬ ‫‪+⋯+‬‬ ‫∙𝑛>‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑛 𝑛+1‬‬ ‫𝑛‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑛+1‬‬ ‫𝑛‪2‬‬ ‫‪2𝑛 2‬‬ ‫ולכן בהכרח ‪ .lim𝑛→∞ 𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛 ≠ 0‬כלומר סתירה לכך שהטור מתכנס )∗(‪ ,‬ולכן הטור‬ ‫‪∞ 1‬‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתבדר‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪[email protected]‬‬