‫פרק ‪ - 5‬טורי חזקות‬ ‫טור חזקות הוא טור של פונקציות‪ ,‬כאשר הפונקציה הבסיסית של הטור היא פונקציית‬ ‫חזקה‪ .‬הצורה הכללית של טור חזקות היא‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=0‬‬ ‫‪ ,‬כאשר ‪ 𝑥0‬היא הנקודה שסביבה‬ ‫מפותח הטור‪ ,‬ו‪ 𝑎𝑛 -‬סדרה של מספרים‪.‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪.1‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑥−2‬‬ ‫‪𝑥 𝑛 .2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫‪∞ 3‬‬ ‫!𝑛 ‪𝑛=0‬‬ ‫𝑛‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 𝑛 2 +‬‬ ‫‪2𝑥 − 1‬‬ ‫ טור חזקות המפותח סביב ‪ 𝑥0 = 2‬וסדרת המספרים היא‬‫‪ -‬טור חזקות המפותח סביב ‪ 𝑥0 = 0‬וסדרת המספרים היא‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫!𝑛 ‪𝑛=0‬‬ ‫𝑛‪3‬‬ ‫!𝑛‬ ‫= 𝑛𝑎‪.‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛 ‪𝑛 2+‬‬ ‫= 𝑛𝑎‪.‬‬ ‫– נסדר את הביטוי כדי להגיע לצורה הכללית של טור חזקות‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑥−‬‬ ‫!𝑛‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛‬ ‫=‬ ‫‪𝑛=0‬‬ ‫קיבלנו טור חזקות המפותח סביב‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 𝑥−‬‬ ‫!𝑛‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‬ ‫=‬ ‫‪𝑛=0‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2𝑥 − 1‬‬ ‫!𝑛‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=0‬‬ ‫= ‪ 𝑥0‬וסדרת המספרים היא‬ ‫𝑛‪2‬‬ ‫!𝑛‬ ‫= 𝑛𝑎‪.‬‬ ‫משפט – רדיוס התכנסות‬ ‫בהינתן טור חזקות‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=0‬‬ ‫‪ ,‬קיים מספר 𝑅 הנקרא "רדיוס התכנסות של הטור" כאשר‬ ‫∞ < 𝑅 ≤ ‪ 0‬המקיים‪:‬‬ ‫א‪ .‬אם ∞ < 𝑅 < ‪ 0‬אז הטור מתכנס בהחלט לכל 𝑥 בתחום 𝑅 < ‪ 𝑥 − 𝑥0‬ומתבדר לכל 𝑥 בתחום‬ ‫𝑅 > ‪. 𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ 𝑅 = 0‬אז הטור מתכנס נקודתית רק עבור ‪.𝑥 = 𝑥0‬‬ ‫ג‪ .‬אם ∞ → 𝑅 אז הטור מתכנס בהחלט לכל ‪.𝑥 ∈ ℝ‬‬ ‫משפט – מציאת רדיוס התכנסות‬ ‫ניתן לחשב את רדיוס ההתכנסות של טור חזקות‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=0‬‬ ‫בשתי צורות‪ :‬קושי‬ ‫ודאלמבר‪:‬‬ ‫‪ .1‬צורת קושי‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛𝑎‬ ‫‪ .2‬צורת דאלמבר‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫∞→ 𝑛‪𝑅 = lim‬‬ ‫𝑛𝑎‬ ‫‪𝑎 𝑛 +1‬‬ ‫∞→𝑛‪𝑅 = lim‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫דוגמא‬ ‫עבור הטור‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛 ‪2𝑛 3‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑥−5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 2 𝑛 3‬‬ ‫נמצא את תחום ההתכנסות וההתבדרות של הטור‪.‬‬ ‫= 𝑛𝑎‪ .‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫𝑛 ‪2𝑛 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞→𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫∞→𝑛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 𝑅 = lim‬‬ ‫𝑛‬ ‫∞→𝑛‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛𝑎‬ ‫‪𝑅 = lim‬‬ ‫𝑛 ∞→ 𝑛‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑛 𝑛‪2‬‬ ‫ולכן הטור מתכנס בהחלט לכל 𝑥 בתחום ‪ 𝑥 − 5 < 2‬ומתבדר לכל 𝑥 בתחום ‪. 𝑥 − 5 > 2‬‬ ‫נבדוק את התכנסות הטור בקצות הקטע‪:‬‬ ‫עבור ‪ 𝑥 = 7‬נקבל את הטור‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 3‬‬ ‫עבור ‪ 𝑥 = 3‬נקבל את הטור‪:‬‬ ‫𝑛 ‪−1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 3‬‬ ‫=‬ ‫𝑛‬ ‫=‬ ‫‪7−5‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 2 𝑛 3‬‬ ‫‪3−5‬‬ ‫‪ -‬הטור מתבדר‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 2 𝑛 3‬‬ ‫‪ -‬הטור מתכנס בתנאי‬ ‫לסיכום‪:‬‬ ‫הטור מתכנס בהחלט כאשר ‪3 < 𝑥 < 7‬‬ ‫הטור מתכנס בתנאי כאשר ‪𝑥 = 3‬‬ ‫הטור מתבדר כאשר ‪ 𝑥 ≥ 7‬או ‪𝑥 < 3‬‬ ‫תרגילים‬ ‫מצא את תחום ההתכנסות וההתבדרות של טורי החזקות הבאים‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑥−2‬‬ ‫‪𝑥 𝑛 .2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫‪∞ 3‬‬ ‫!𝑛 ‪𝑛=0‬‬ ‫𝑛‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 𝑛 2 +‬‬ ‫‪2𝑥 − 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫!𝑛 ‪𝑛=1‬‬ ‫פתרונות‬ ‫‪ .1‬מתכנס בהחלט לכל ‪𝑥 ∈ ℝ‬‬ ‫‪ .2‬מתכנס בהחלט ‪−1 < 𝑥 < 1‬‬ ‫‪ .3‬מתכנס בהחלט לכל ‪𝑥 ∈ ℝ‬‬ ‫מתכנס בתנאי ‪𝑥 = −1‬‬ ‫מתבדר ‪ 𝑥 ≥ 1‬או ‪𝑥 < −1‬‬ ‫משפט‬ ‫התכנסות של טור חזקות‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=0‬‬ ‫בכל קטע סגור המוכל בתחום ההתכנסות היא‬ ‫התכנסות במידה שווה‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫משפט‬ ‫אם לטור‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=0‬‬ ‫יש רדיוס התכנסות ‪ 𝑅 > 0‬אז פונקציית הסכום )𝑥(𝑆 מקיימת‪:‬‬ ‫א‪ .‬רציפה בתחום ההתכנסות‬ ‫𝑅 ‪ 𝑥 ∈ 𝑥0 − 𝑅, 𝑥0 +‬מתקיים‪:‬‬ ‫ב‪ .‬אינטגרציה איבר איבר ‪ -‬לכל‬ ‫∞‬ ‫‪𝑥 − 𝑥0 𝑛+1‬‬ ‫‪𝑛+1‬‬ ‫אם הטור‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫= 𝑥𝑑‬ ‫𝑛𝑎‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫‪𝑛=0‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=0‬‬ ‫∞‬ ‫𝑥‬ ‫∞‬ ‫= 𝑥𝑑‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫‪𝑛 =0 𝑥 0‬‬ ‫(המקורי) מתכנס אזי גם הטור‬ ‫𝑥‬ ‫𝑥‬ ‫= 𝑡𝑑 𝑡 𝑆‬ ‫‪𝑥0‬‬ ‫‪𝑥 0 𝑛=0‬‬ ‫‪𝑛 +1‬‬ ‫‪𝑥−𝑥 0‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=0‬‬ ‫‪𝑛+1‬‬ ‫(לאחר‬ ‫אינטגרציה) מתכנס‪.‬‬ ‫𝑅 ‪ 𝑥 ∈ 𝑥0 − 𝑅, 𝑥0 +‬מתקיים‪:‬‬ ‫ג‪ .‬גזירה איבר איבר ‪ -‬לכל‬ ‫‪′‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛+1‬‬ ‫‪𝑛𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛‬ ‫=‬ ‫‪𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫‪𝑛=0‬‬ ‫אם טור הנגזרות‬ ‫‪𝑛+1‬‬ ‫‪𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎𝑛 ‪𝑛=0‬‬ ‫= 𝑥 ‪𝑆′‬‬ ‫‪𝑛=0‬‬ ‫מתכנס באחד הקצוות אזי גם הטור המקורי‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫נתון‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥‪1−‬‬ ‫=‬ ‫∞‬ ‫𝑛‬ ‫𝑥 ‪𝑛=0‬‬ ‫לכל‬ ‫‪ .𝑥 ∈ −1,1‬נחשב סכומי הטורים‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛−1‬‬ ‫𝑥𝑛 ‪𝑛=0‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪𝑛 +1‬‬ ‫𝑥 ∞‬ ‫‪𝑛=0 𝑛+1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫𝑛‬ ‫∞ הוא טור חזקות‪ .‬רדיוס ההתכנסות של הטור הוא ‪ ,𝑅 = 1‬ולכן מתכנס‬ ‫הטור הנתון‬ ‫𝑥 ‪𝑛=0‬‬ ‫בהחלט לכל ‪ .𝑥 ∈ −1,1‬טור חזקות מתכנס במידה שווה בתחום התכנסותו‪ ,‬ולכן הטור מתכנס‬ ‫במידה שווה לכל ‪.𝑥 ∈ −1,1‬‬ ‫‪ 𝑥 ∈ −1,1‬ולכן ניתן לבצע גזירה איבר איבר‪:‬‬ ‫הטור מתכנס במידה שווה לכל‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥‪1−‬‬ ‫הטור מתכנס במידה שווה לכל‬ ‫𝑥 ‪= 𝑙𝑛 1 −‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪0‬‬ ‫‪′‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥‪1−‬‬ ‫‪′‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛‬ ‫=‬ ‫𝑥‬ ‫∞‬ ‫=‬ ‫‪𝑛 ′‬‬ ‫∞‬ ‫𝑥‬ ‫‪𝑛 =0‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑛−1‬‬ ‫𝑥𝑛‬ ‫‪𝑛=0‬‬ ‫‪𝑛=0‬‬ ‫‪ 𝑥 ∈ −1,1‬ולכן ניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥 ‪𝑑𝑥 = − 𝑙𝑛 1 −‬‬ ‫𝑥‪1−‬‬ ‫𝑥‬ ‫∞‬ ‫= 𝑥𝑑 𝑛 𝑥‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑥‬ ‫= 𝑥𝑑 𝑛 𝑥‬ ‫‪0 𝑛=0‬‬ ‫𝑥‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛 =0 0‬‬ ‫‪𝑥 𝑛+1‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑛+1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=0‬‬ ‫קיבלנו‪:‬‬ ‫‪𝑥 𝑛+1‬‬ ‫𝑥 ‪= 𝑙𝑛 1 −‬‬ ‫‪𝑛+1‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫∞‬ ‫‪,‬‬ ‫‪𝑛=0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫𝑥‪1−‬‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛−1‬‬ ‫𝑥𝑛‬ ‫‪𝑛=0‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪ .1‬לפני ביצוע פעולות על טור חזקות נתון‪ ,‬יש לוודא כי הוא מוצג בצורה‬ ‫𝑛‬ ‫∞ ‪.‬‬ ‫הכללית של טור חזקות‬ ‫‪𝑛=1 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫‪ .2‬כאשר מחשבים רדיוס התכנסות‪ ,‬התכנסות בהחלט של הטור מובטחת רק בקטע‬ ‫הפתוח 𝑅 ‪ . 𝑥0 − 𝑅, 𝑥0 +‬על מנת ללמוד על התכנסות הטור בקצוות הקטע‪ ,‬יש‬ ‫לבדוק נקודתית את התכנסות הטור בנקודות אלה‪.‬‬ ‫‪ .3‬כל טור חזקות מתכנס בהחלט בתחום ההתכנסות שלו‪.‬‬ ‫‪ .4‬כל טור חזקות מתכנס במידה שווה לכל קטע סגור בתחום ההתכנסות שלו‪,‬‬ ‫ולכן בכל קטע כזה ניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר וגזירה איבר איבר‪.‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪[email protected]‬‬