‫פרק ‪ - 3‬מבחני התכנסות לטורים עם איברים בעלי סימנים מתחלפים‬ ‫הגדרה – התכנסות בהחלט‬ ‫אם הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫𝑛𝑎‬ ‫מתכנס וגם הטור‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬נאמר שהטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס בהחלט‬ ‫הגדרה – התכנסות בתנאי‬ ‫אם הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫𝑛𝑎‬ ‫מתכנס אבל הטור‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫מתבדר‪ ,‬נאמר שהטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס בהחלט‬ ‫משפט‬ ‫אם הטור‬ ‫𝑛𝑎‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס אז גם הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס‬ ‫מבחן לייבניץ‬ ‫נתון טור מהצורה 𝑛𝑎 𝑛 ‪−1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫כאשר הסדרה 𝑛𝑎 מקיימת‪:‬‬ ‫‪ 𝑎𝑛 ≥ 0 .1‬לכל ‪𝑛 ≥ 𝑛0‬‬ ‫‪ 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛 .2‬לכל ‪𝑛 ≥ 𝑛0‬‬ ‫‪lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0 .3‬‬ ‫אז‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪ .1‬הטור 𝑛𝑎 ‪−1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪ .2‬אם נסמן 𝑘𝑎 𝑘 ‪−1‬‬ ‫מתכנס‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑘=1‬‬ ‫= 𝑛𝑆 ו‪−1 𝑛 𝑎𝑛 -‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫= 𝑆 אז מתקיים‪𝑆 − 𝑆𝑛 ≤ 𝑎𝑛 :‬‬ ‫דוגמא ‪1‬‬ ‫האם הטור‬ ‫‪cos 𝑛 2‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 𝑛 3 +4‬‬ ‫מתכנס בהחלט‪ ,‬מתכנס בתנאי או מתבדר?‬ ‫תחילה נבדוק התכנסות בהחלט‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑛3‬‬ ‫הטור‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1 𝑛 3‬‬ ‫ולכן‪ ,‬הטור‬ ‫‪2‬‬ ‫≤‬ ‫𝑛 ‪cos‬‬ ‫𝑛 ‪+4‬‬ ‫‪𝑛3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫𝑛 ‪cos‬‬ ‫𝑛 ‪+4‬‬ ‫‪𝑛3‬‬ ‫≤‪0‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬ולכן ע"פ מבחן ההשוואה הראשון‪ ,‬גם הטור‬ ‫‪cos 𝑛 2‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 𝑛 3 +4‬‬ ‫‪cos 𝑛 2‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 𝑛 3 +4‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫מתכנס בהחלט‪.‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫דוגמא ‪2‬‬ ‫האם הטור‬ ‫𝑛 ‪−1‬‬ ‫𝑛‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס בהחלט‪ ,‬מתכנס בתנאי או מתבדר?‬ ‫תחילה נבדוק התכנסות בהחלט‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛‬ ‫הטור‬ ‫‪∞ 1‬‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1‬‬ ‫𝑛‬ ‫=‬ ‫‪−1‬‬ ‫𝑛‬ ‫≤‪0‬‬ ‫מתבדר‪ ,‬ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט‪.‬‬ ‫נבדוק התכנסות בתנאי ע"י משפט לייבניץ‪:‬‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛‬ ‫= 𝑛𝑎‪ ,‬ומתקיים‪:‬‬ ‫‪ 𝑎𝑛 ≥ 0 .1‬לכל ‪𝑛 ≥ 1‬‬ ‫‪ 𝑛 + 1 > 𝑛 .2‬ולכן‪:‬‬ ‫‪= 0 .3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑛+1‬‬ ‫𝑛‬ ‫< ‪ ,‬כלומר 𝑛𝑎 < ‪ 𝑎𝑛+1‬לכל ‪𝑛 ≥ 1‬‬ ‫∞→𝑛‪lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim‬‬ ‫ולכן ע"פ משפט לייבניץ‪ ,‬הטור‬ ‫𝑛 ‪−1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס בתנאי‪.‬‬ ‫תרגילים‬ ‫בדוק התכנסות בהחלט‪ ,‬התכנסות בתנאי או התבדרות של הטורים הבאים‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫𝑛 ‪−1 𝑛 ln‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛‪𝑛=1 5 𝑛 +‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪−1 𝑛 +1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪.3‬‬ ‫𝑛 ‪𝑛+1 ln‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛 ‪∞ cos‬‬ ‫𝑛‪𝑛=1 𝑛 3 +‬‬ ‫‪−1 𝑛 +1 𝑛 3‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪𝑛 3 +1‬‬ ‫פתרונות‬ ‫‪ .1‬מתכנס בהחלט‬ ‫‪ .2‬מתכנס בתנאי‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪ .3‬מתכנס בתנאי‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .4‬מתכנס בהחלט‬ ‫‪ .5‬מתבדר‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫מבחן דיריכלה‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫אם הטור‬ ‫חסום ו‪-‬‬ ‫𝑛𝑏‬ ‫סדרה מונוטונית ואפסה אז הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑏 𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס‬ ‫דוגמא‬ ‫‪−1 𝑛 +1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1 𝑛 2 𝑛 3 +1‬‬ ‫האם הטור‬ ‫מתכנס בהחלט‪ ,‬מתכנס בתנאי או מתבדר?‬ ‫תחילה נבדוק התכנסות בהחלט‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑛2 𝑛3 + 1‬‬ ‫נסמן‬ ‫הטור‬ ‫הסדרה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑛2‬‬ ‫= 𝑛𝑎 ו‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1 𝑛 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑛 3 +1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑛 3 +1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫=‬ ‫‪−1 𝑛+1‬‬ ‫‪𝑛3 + 1‬‬ ‫‪𝑛2‬‬ ‫≤‪0‬‬ ‫= 𝑛𝑏‬ ‫מתכנס‪ ,‬ולכן חסום‪.‬‬ ‫= 𝑛𝑏 מונוטונית ואפסה‬ ‫ולכן ע"פ משפט דיריכלה‪ ,‬הטור‬ ‫‪𝑛 +1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1 𝑛 2 𝑛 3 +1‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬ולכן הטור‬ ‫‪𝑛 +1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1 𝑛 2 𝑛 3 +1‬‬ ‫מתכנס‬ ‫בהחלט‪.‬‬ ‫מבחן אבל‬ ‫אם הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס ו‪-‬‬ ‫𝑛𝑏‬ ‫סדרה מונוטונית וחסומה אז הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑏 𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס‬ ‫‪ .1‬כאשר בודקים התכנסות של טור בעל סימנים מתחלפים‪ ,‬בודקים תחילה‬ ‫התכנסות בהחלט ע"י בדיקת טור הערכים המוחלטים תוך שימוש במבחנים‬ ‫לטורים עם איברים חיוביים (פרק ‪.)2‬‬ ‫‪ .2‬אין דבר כזה התבדרות בתנאי או התבדרות בהחלט‪ .‬אם הטור לא מתכנס‬ ‫בתנאי ולא מתכנס בהחלט הוא מתבדר!‬ ‫‪ .3‬לא לשכוח לבדוק את התנאי ההכרחי להתכנסות טורים לפני בדיקת‬ ‫התכנסות‪.‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪[email protected]‬‬