פרק - 2מבחני התכנסות לטורים עם איברים חיוביים הגדרה – טור עם איברים חיוביים אם 𝑎𝑛 ≥ 0לכל ,𝑛 ∈ ℕהטור ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 נקרא טור עם איברים חיוביים משפטים .1לכל 𝛼 ≠ 0הטור מתקיים: .2יהיו ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 ו- ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 𝛼= והטור ∞ 𝑛𝑎𝛼 𝑛=1 מתכנסים ומתבדרים ביחד. ∞ 𝑛𝑎𝛼 𝑛=1 ∞ 𝑛𝑏 𝑛=1 טורים מתכנסים ,ו- א .הטור 𝑛𝑏 + ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 מתכנס ב .הטור 𝑛𝑐 + ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 מתבדר © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים ∞ 𝑛𝑐 𝑛=1 054-5-290106 1 טור מתבדר .אזי: [email protected] מבחן השוואה ראשון נניח 𝑛𝑏 ≤ 𝑛𝑎 ≤ 0לכל ,𝑛 ∈ ℕאזי: א .אם הטור ∞ 𝑛𝑏 𝑛=1 מתכנס אזי הטור ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 מתכנס. ב .אם הטור ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 מתבדר אזי הטור ∞ 𝑛𝑏 𝑛=1 מתבדר. דוגמא האם הטור 2 𝑛 𝑛𝑖𝑠 ∞ 𝑛𝑛=1 5 𝑛 + 𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 נסמן: 𝑛5 𝑛 + מתכנס או מתבדר? = 𝑛𝑎 ,כאשר 𝑎𝑛 ≥ 0לכל .𝑛 ∈ ℕמתקיים: 𝑛 𝑠𝑖𝑛2 1 1 𝑛 ≤ 𝑛 ≤ 𝑛 5 +𝑛 5 +𝑛 5 נסמן ∞ 𝑛𝑏 𝑛=1 1 𝑛5 = 𝑛𝑏 .הטור 𝑛 1 ∞ 𝑛=1 5 = 1 ∞ 𝑛 𝑛=1 5 = ∞ 𝑛𝑏 𝑛=1 ≤0 הוא טור הנדסי (כאשר 1 5 = 𝑞) ,ולכן הטור מתכנס. ולכן לפי מבחן השוואה ראשון ,הטור 2 𝑛 𝑛𝑖𝑠 ∞ 𝑛𝑛=1 5 𝑛 + מתכנס. משפט נתון הטור 1 ∞ 𝑝 𝑛 𝑛=1 כאשר :𝑝 ∈ ℝ .1לכל 𝑝 > 1הטור מתכנס .2לכל 𝑝 ≤ 1הטור מתבדר תרגילים בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים: .1 .2 1 ∞ 𝑛=1 𝑛 2 (מתקיים: 1 𝑛 𝑛−1 ≤ 1 𝑛2 ) 1 ∞ 𝑛𝑛=1 ln 2𝑛+1 ∙ 𝑛 3 + .3 1 ∞ 𝑛 𝑛=1 ln 𝑛 + .4 𝑛 ∞ ln 𝑛=1 𝑛 2 .5 1 ∞ 𝑛 𝑛=1 ln 𝑛 2 פתרונות .1מתכנס .2מתכנס .3מתבדר © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים .4מתכנס .5מתבדר 054-5-290106 2 [email protected] מבחן השוואה שני נניח 𝑎𝑛 ≥ 0ו 𝑏𝑛 > 0 -לכל :𝑛 ∈ ℕ אם 𝐿 = 𝑛𝑎 𝑛𝑏 ∞→𝑛 limו 𝐿 > 0 -אזי ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 ו- ∞ 𝑛𝑏 𝑛=1 מתכנסים ומתבדרים ביחד. דוגמא האם הטור נסמן 1 𝑛 1 ∞ 𝑛 𝑛=1 sin מתכנס או מתבדר? ,𝑎𝑛 = sinכאשר 𝑎𝑛 ≥ 0לכל .𝑛 ∈ ℕ נגדיר > 0 1 = 𝑛𝑏 לכל ,𝑛 ∈ ℕומתקיים: 𝑛 =1 הטור 1 ∞ 𝑛 𝑛=1 = ∞ 𝑛𝑏 𝑛=1 1 𝑛 sin 1 𝑛 𝑛𝑎 lim = lim 𝑛𝑏 ∞→𝑛 ∞→ 𝑛 מתבדר ,ולכן לפי מבחן השוואה שני הטור 1 ∞ 𝑛 𝑛=1 sin מתבדר. תרגילים בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים: .1 .2 𝑛1 + 𝑒 − ∞ 𝑛=1 ln 𝑛 𝑛 2 +2𝑛+sin ∞ 𝑛 𝑛=1 𝑛 2 + 𝑛 + −1 פתרונות .1מתכנס .2מתכנס © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 3 [email protected] מבחן קושי – מבחן השורש נניח 𝑎𝑛 ≥ 0לכל 𝑛 > 𝑁0ו𝑎𝑛 = 𝐿 - א .אם 𝐿 < 1הטור ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 מתכנס. ב .אם 𝐿 > 1הטור ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 מתבדר. 𝑛 : lim ∞→𝑛 ג .אם 𝐿 = 1לא ניתן לקבוע התכנסות או התבדרות הטור ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 לפי מבחן זה דוגמא האם הטור נסמן 𝑛3 ∞ 𝑛𝑛=1 5 𝑛 +3 𝑛 + 𝑛3 𝑛5 𝑛 +3 𝑛 + 1 5 מתכנס או מתבדר? = 𝑛𝑎 ,כאשר 𝑎𝑛 > 0לכל .𝑛 ∈ ℕומתקיים: 3 = 𝑛 𝑛5 + 𝑛 𝑛3 𝑛5 𝑛 𝑛 5𝑛 1 + ולכן לפי מבחן קושי הטור 𝑛3 𝑛3 = lim = lim 𝑛 ∞→𝑛 𝑛 5𝑛 + 3𝑛 + 𝑛 𝑛→∞ 𝑛 5𝑛 + 3𝑛 + 𝑛3 ∞ 𝑛𝑛=1 5 𝑛 +3 𝑛 + 𝑛 𝑎𝑛 = lim ∞→𝑛 𝑛 lim ∞→𝑛 מתכנס. תרגילים בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים: .1 .2 𝑛 ∞ 2 𝑛 𝑛 𝑛=1 𝑛7 ∞ 𝑛𝑛=1 2 2 פתרונות .1מתכנס .2מתבדר © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 4 [email protected] מבחן דלאמבר – מבחן המנה נניח 𝑎𝑛 ≥ 0לכל 𝑛 > 𝑁0ו= 𝐿 - 𝑎 𝑛 +1 : lim 𝑛𝑎 א .אם 𝐿 < 1הטור ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 מתכנס. ב .אם 𝐿 > 1הטור ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 מתבדר. ∞→𝑛 ג .אם 𝐿 = 1לא ניתן לקבוע התכנסות או התבדרות הטור ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 לפי מבחן זה דוגמא האם הטור נסמן 𝑛𝑛 !𝑛 𝑛 𝑛 ∞ !𝑛 𝑛=1 מתכנס או מתבדר? = 𝑛𝑎 ,כאשר 𝑎𝑛 > 0לכל .𝑛 ∈ ℕומתקיים: 𝑛 𝑒= 1 𝑛 𝑛 = lim 1 + ולכן לפי מבחן דאלמבר הטור ∞→𝑛 𝑛 𝑛 ∞ !𝑛 𝑛=1 𝑛 + 1 𝑛+1 𝑛+1 ! 𝑛+1 = lim 𝑛 𝑛 ∞→𝑛 𝑛𝑛 !𝑛 𝑎𝑛+1 lim = lim 𝑛𝑎 ∞→𝑛 ∞→𝑛 מתבדר. תרגילים בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים: .1 .2 𝑛 ∞ 𝑛 𝑛=1 4 ∞ 1∙2∙3⋯ 2𝑛−1 𝑛=1 !𝑛 פתרונות .1מתכנס .2מתבדר © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 5 [email protected] מבחן האינטגרל נניח 𝑓: 𝑛0 , ∞ → ℝפונקציה המקיימת: א 𝑓(𝑥) ≥ 0 .לכל ∞ 𝑥 ∈ 𝑛0 , ב 𝑓(𝑥) .פונקציה לא עולה נגדיר את הסדרה )𝑛(𝑓 = 𝑛𝑎 לכל ,𝑛 ∈ ℕאזי האינטגרל 𝑥𝑑 )𝑥(𝑓 ∞ 𝑛0 ∞ 𝑛𝑎 𝑛=1 והטור מתכנסים ומתבדרים יחד. דוגמא 1 ∞ 𝑛=2 𝑛 ln 𝑛 2 האם הטור נגדיר 1 𝑥 ln 𝑥 2 מתכנס או מתבדר? = )𝑥(𝑓 .נבדוק את התנאים עבור הפונקציה )𝑥(𝑓: א 𝑓(𝑥) > 0 .ומוגדרת לכל 𝑥 בקטע ב .לכל ∞ 2,דכ ∞ 𝑥 ∈ 2,הפונקציה )𝑥(𝑓 יורדת .מתקיים :ומתקיים𝑓 ′ 𝑥 < 0 : <0 1 𝑥 𝑙𝑛2 𝑥 + 𝑥𝑙𝑛 𝑥 + −1 𝑥 ln 𝑥 2 = 𝑥 𝑓 ′לכל ∞ 𝑥 ∈ 2, נחשב את האינטגרל: 𝑎 ln 2 𝑎 1 1 = lim − 2 ∞→𝑎 𝑡 𝑡 ln 2 𝑡 = 𝑥 ln 1 𝑥𝑑 = = lim 2 𝑡𝑑 = 𝑥𝑑 ∞→𝑎 𝑥 1 𝑥 𝑥 ln 1 1 1 + = ln 𝑎 ln 2 ln 2 𝑎 𝑑𝑥 = lim 2 𝑎→∞ 2 𝑎 = lim − ∞→𝑎 2 1 𝑥 ln קיבלנו כי האינטגרל מתכנס ,ולכן לפי מבחן האינטגרל הטור 1 𝑥 𝑥 ln ∞ ∞ = 𝑥𝑑 )𝑥(𝑓 2 2 = lim − ∞→𝑎 1 ∞ 𝑛 =1 𝑛 ln 𝑛 2 מתכנס. תרגילים בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים: .1 ∞ 1 𝑛 𝑛=1 .2 1 ∞ 𝑛 𝑛=2 𝑛 ln .3 1 ∞ 𝑛 𝑛=2 𝑛 ln פתרונות .1מתבדר .2מתכנס .3מתבדר © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 6 [email protected] .1כל מבחני ההשוואה בפרק זה מתייחסים לטורים חיוביים בלבד. .2טורים נפוצים להשוואה במבחני השוואה ראשון ושני הם מהצורה 𝑛 ∞ . טור הנדסי מהצורה 𝑞 𝑛=1 1 ∞ 𝑝 𝑛 𝑛=1 או .3לא לשכוח שתוצאה 𝐿 = 1במבחן קושי ובמבחן דלאמבר לא קובעת התכנסות או התבדרות לגבי הטור הנבדק ויש להשתמש במבחן השוואה אחר. © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 7 [email protected]
© Copyright 2024