מבחני התכנסות לטורים עם איברים חיוביים

‫פרק ‪ - 2‬מבחני התכנסות לטורים עם איברים חיוביים‬
‫הגדרה – טור עם איברים חיוביים‬
‫אם ‪ 𝑎𝑛 ≥ 0‬לכל ‪ ,𝑛 ∈ ℕ‬הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫נקרא טור עם איברים חיוביים‬
‫משפטים‬
‫‪ .1‬לכל ‪ 𝛼 ≠ 0‬הטור‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪ .2‬יהיו‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫ו‪-‬‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫𝛼=‬
‫והטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎𝛼 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנסים ומתבדרים ביחד‪.‬‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎𝛼 ‪𝑛=1‬‬
‫∞‬
‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬
‫טורים מתכנסים‪ ,‬ו‪-‬‬
‫א‪ .‬הטור 𝑛𝑏 ‪+‬‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס‬
‫ב‪ .‬הטור 𝑛𝑐 ‪+‬‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫מתבדר‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫∞‬
‫𝑛𝑐 ‪𝑛=1‬‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪1‬‬
‫טור מתבדר‪ .‬אזי‪:‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫מבחן השוואה ראשון‬
‫נניח 𝑛𝑏 ≤ 𝑛𝑎 ≤ ‪ 0‬לכל ‪ ,𝑛 ∈ ℕ‬אזי‪:‬‬
‫א‪ .‬אם הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס אזי הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫מתבדר אזי הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫האם הטור‬
‫‪2‬‬
‫𝑛 𝑛𝑖𝑠 ∞‬
‫𝑛‪𝑛=1 5 𝑛 +‬‬
‫𝑛 ‪𝑠𝑖𝑛 2‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫𝑛‪5 𝑛 +‬‬
‫מתכנס או מתבדר?‬
‫= 𝑛𝑎‪ ,‬כאשר ‪ 𝑎𝑛 ≥ 0‬לכל ‪ .𝑛 ∈ ℕ‬מתקיים‪:‬‬
‫𝑛 ‪𝑠𝑖𝑛2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑛 ≤‬
‫𝑛 ≤‬
‫𝑛‬
‫‪5 +𝑛 5 +𝑛 5‬‬
‫נסמן‬
‫∞‬
‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑛‪5‬‬
‫= 𝑛𝑏‪ .‬הטור‬
‫𝑛 ‪1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1 5‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪𝑛=1 5‬‬
‫=‬
‫∞‬
‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬
‫≤‪0‬‬
‫הוא טור הנדסי (כאשר‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫= 𝑞)‪ ,‬ולכן הטור‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫ולכן לפי מבחן השוואה ראשון‪ ,‬הטור‬
‫‪2‬‬
‫𝑛 𝑛𝑖𝑠 ∞‬
‫𝑛‪𝑛=1 5 𝑛 +‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫משפט‬
‫נתון הטור‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫𝑝 𝑛 ‪𝑛=1‬‬
‫כאשר ‪:𝑝 ∈ ℝ‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ 𝑝 > 1‬הטור מתכנס‬
‫‪ .2‬לכל ‪ 𝑝 ≤ 1‬הטור מתבדר‬
‫תרגילים‬
‫בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1 𝑛 2‬‬
‫(מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑛 𝑛−1‬‬
‫≤‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑛2‬‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫𝑛‪𝑛=1 ln 2𝑛+1 ∙ 𝑛 3 +‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪𝑛=1 ln 𝑛 +‬‬
‫‪.4‬‬
‫𝑛 ‪∞ ln‬‬
‫‪𝑛=1 𝑛 2‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪𝑛=1 ln 𝑛 2‬‬
‫פתרונות‬
‫‪ .1‬מתכנס‬
‫‪ .2‬מתכנס‬
‫‪ .3‬מתבדר‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪ .4‬מתכנס‬
‫‪ .5‬מתבדר‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫מבחן השוואה שני‬
‫נניח ‪ 𝑎𝑛 ≥ 0‬ו‪ 𝑏𝑛 > 0 -‬לכל ‪:𝑛 ∈ ℕ‬‬
‫אם 𝐿 =‬
‫𝑛𝑎‬
‫𝑛𝑏‬
‫∞→𝑛‪ lim‬ו‪ 𝐿 > 0 -‬אזי‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫ו‪-‬‬
‫∞‬
‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנסים ומתבדרים ביחד‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫האם הטור‬
‫נסמן‬
‫‪1‬‬
‫𝑛‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪𝑛=1 sin‬‬
‫מתכנס או מתבדר?‬
‫‪ ,𝑎𝑛 = sin‬כאשר ‪ 𝑎𝑛 ≥ 0‬לכל ‪.𝑛 ∈ ℕ‬‬
‫נגדיר ‪> 0‬‬
‫‪1‬‬
‫= 𝑛𝑏 לכל ‪ ,𝑛 ∈ ℕ‬ומתקיים‪:‬‬
‫𝑛‬
‫‪=1‬‬
‫הטור‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪𝑛=1‬‬
‫=‬
‫∞‬
‫𝑛𝑏 ‪𝑛=1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑛‬
‫‪sin‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑛‬
‫𝑛𝑎‬
‫‪lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫𝑛𝑏 ∞→𝑛‬
‫∞→ 𝑛‬
‫מתבדר‪ ,‬ולכן לפי מבחן השוואה שני הטור‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪𝑛=1 sin‬‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫𝑛‪1 + 𝑒 −‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=1 ln‬‬
‫𝑛 ‪𝑛 2 +2𝑛+sin‬‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪𝑛=1 𝑛 2 + 𝑛 + −1‬‬
‫פתרונות‬
‫‪ .1‬מתכנס‬
‫‪ .2‬מתכנס‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪3‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫מבחן קושי – מבחן השורש‬
‫נניח ‪ 𝑎𝑛 ≥ 0‬לכל ‪ 𝑛 > 𝑁0‬ו‪𝑎𝑛 = 𝐿 -‬‬
‫א‪ .‬אם ‪ 𝐿 < 1‬הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ 𝐿 > 1‬הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫𝑛‬
‫‪: lim‬‬
‫∞→𝑛‬
‫ג‪ .‬אם ‪ 𝐿 = 1‬לא ניתן לקבוע התכנסות או התבדרות הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫לפי מבחן זה‬
‫דוגמא‬
‫האם הטור‬
‫נסמן‬
‫‪𝑛3‬‬
‫∞‬
‫𝑛‪𝑛=1 5 𝑛 +3 𝑛 +‬‬
‫‪𝑛3‬‬
‫𝑛‪5 𝑛 +3 𝑛 +‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫מתכנס או מתבדר?‬
‫= 𝑛𝑎‪ ,‬כאשר ‪ 𝑎𝑛 > 0‬לכל ‪ .𝑛 ∈ ℕ‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫𝑛‬
‫𝑛‪5‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑛‬
‫𝑛‪3‬‬
‫𝑛‪5‬‬
‫𝑛‬
‫𝑛‬
‫‪5𝑛 1 +‬‬
‫ולכן לפי מבחן קושי הטור‬
‫‪𝑛3‬‬
‫‪𝑛3‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫𝑛 ∞→𝑛 𝑛 ‪5𝑛 + 3𝑛 + 𝑛 𝑛→∞ 𝑛 5𝑛 + 3𝑛 +‬‬
‫‪𝑛3‬‬
‫∞‬
‫𝑛‪𝑛=1 5 𝑛 +3 𝑛 +‬‬
‫𝑛‬
‫‪𝑎𝑛 = lim‬‬
‫∞→𝑛‬
‫𝑛‬
‫‪lim‬‬
‫∞→𝑛‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫𝑛‬
‫‪∞ 2‬‬
‫𝑛 𝑛 ‪𝑛=1‬‬
‫𝑛‪7‬‬
‫∞‬
‫𝑛‪𝑛=1 2 2‬‬
‫פתרונות‬
‫‪ .1‬מתכנס‬
‫‪ .2‬מתבדר‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪4‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫מבחן דלאמבר – מבחן המנה‬
‫נניח ‪ 𝑎𝑛 ≥ 0‬לכל ‪ 𝑛 > 𝑁0‬ו‪= 𝐿 -‬‬
‫‪𝑎 𝑛 +1‬‬
‫‪: lim‬‬
‫𝑛𝑎‬
‫א‪ .‬אם ‪ 𝐿 < 1‬הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ 𝐿 > 1‬הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫∞→𝑛‬
‫ג‪ .‬אם ‪ 𝐿 = 1‬לא ניתן לקבוע התכנסות או התבדרות הטור‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫לפי מבחן זה‬
‫דוגמא‬
‫האם הטור‬
‫נסמן‬
‫𝑛𝑛‬
‫!𝑛‬
‫𝑛‬
‫𝑛 ∞‬
‫!𝑛 ‪𝑛=1‬‬
‫מתכנס או מתבדר?‬
‫= 𝑛𝑎‪ ,‬כאשר ‪ 𝑎𝑛 > 0‬לכל ‪ .𝑛 ∈ ℕ‬ומתקיים‪:‬‬
‫𝑛‬
‫𝑒=‬
‫‪1‬‬
‫𝑛‬
‫𝑛‬
‫‪= lim 1 +‬‬
‫ולכן לפי מבחן דאלמבר הטור‬
‫∞→𝑛‬
‫𝑛‬
‫𝑛 ∞‬
‫!𝑛 ‪𝑛=1‬‬
‫‪𝑛 + 1 𝑛+1‬‬
‫‪𝑛+1‬‬
‫! ‪𝑛+1‬‬
‫‪= lim‬‬
‫𝑛‬
‫𝑛‬
‫∞→𝑛‬
‫𝑛𝑛‬
‫!𝑛‬
‫‪𝑎𝑛+1‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫𝑛𝑎 ∞→𝑛‬
‫∞→𝑛‬
‫מתבדר‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫𝑛‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪𝑛=1 4‬‬
‫‪∞ 1∙2∙3⋯ 2𝑛−1‬‬
‫‪𝑛=1‬‬
‫!𝑛‬
‫פתרונות‬
‫‪ .1‬מתכנס‬
‫‪ .2‬מתבדר‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪5‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫מבחן האינטגרל‬
‫נניח ‪ 𝑓: 𝑛0 , ∞ → ℝ‬פונקציה המקיימת‪:‬‬
‫א‪ 𝑓(𝑥) ≥ 0 .‬לכל‬
‫∞ ‪𝑥 ∈ 𝑛0 ,‬‬
‫ב‪ 𝑓(𝑥) .‬פונקציה לא עולה‬
‫נגדיר את הסדרה )𝑛(𝑓 = 𝑛𝑎 לכל ‪ ,𝑛 ∈ ℕ‬אזי האינטגרל 𝑥𝑑 )𝑥(𝑓‬
‫∞‬
‫‪𝑛0‬‬
‫∞‬
‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬
‫והטור‬
‫מתכנסים‬
‫ומתבדרים יחד‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛=2 𝑛 ln 𝑛 2‬‬
‫האם הטור‬
‫נגדיר‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥 ln 𝑥 2‬‬
‫מתכנס או מתבדר?‬
‫= )𝑥(𝑓‪ .‬נבדוק את התנאים עבור הפונקציה )𝑥(𝑓‪:‬‬
‫א‪ 𝑓(𝑥) > 0 .‬ומוגדרת לכל 𝑥 בקטע‬
‫ב‪ .‬לכל‬
‫∞ ‪ 2,‬דכ‬
‫∞ ‪ 𝑥 ∈ 2,‬הפונקציה )𝑥(𝑓 יורדת‪ .‬מתקיים‪ :‬ומתקיים‪𝑓 ′ 𝑥 < 0 :‬‬
‫‪<0‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥‬
‫‪𝑙𝑛2 𝑥 + 𝑥𝑙𝑛 𝑥 +‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪𝑥 ln 𝑥 2‬‬
‫= 𝑥 ‪ 𝑓 ′‬לכל‬
‫∞ ‪𝑥 ∈ 2,‬‬
‫נחשב את האינטגרל‪:‬‬
‫𝑎‬
‫‪ln 2‬‬
‫𝑎‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= lim −‬‬
‫‪2‬‬
‫∞→𝑎‬
‫𝑡‬
‫𝑡‬
‫‪ln 2‬‬
‫𝑡 = 𝑥 ‪ln‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥𝑑‬
‫=‬
‫‪= lim‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡𝑑 = 𝑥𝑑‬
‫∞→𝑎‬
‫𝑥‬
‫‪1‬‬
‫𝑥 ‪𝑥 ln‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪ln 𝑎 ln 2 ln 2‬‬
‫𝑎‬
‫‪𝑑𝑥 = lim‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑎→∞ 2‬‬
‫𝑎‬
‫‪= lim −‬‬
‫∞→𝑎‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥 ‪ln‬‬
‫קיבלנו כי האינטגרל מתכנס‪ ,‬ולכן לפי מבחן האינטגרל הטור‬
‫‪1‬‬
‫𝑥 ‪𝑥 ln‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫= 𝑥𝑑 )𝑥(𝑓‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= lim −‬‬
‫∞→𝑎‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫‪𝑛 =1 𝑛 ln 𝑛 2‬‬
‫מתכנס‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫בדוק התכנסות או התבדרות של הטורים הבאים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪∞ 1‬‬
‫𝑛 ‪𝑛=1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪𝑛=2 𝑛 ln‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫𝑛 ‪𝑛=2 𝑛 ln‬‬
‫פתרונות‬
‫‪ .1‬מתבדר‬
‫‪ .2‬מתכנס‬
‫‪ .3‬מתבדר‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪6‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ .1‬כל מבחני ההשוואה בפרק זה מתייחסים לטורים חיוביים בלבד‪.‬‬
‫‪ .2‬טורים נפוצים להשוואה במבחני השוואה ראשון ושני הם מהצורה‬
‫𝑛‬
‫∞ ‪.‬‬
‫טור הנדסי מהצורה‬
‫𝑞 ‪𝑛=1‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫𝑝 𝑛 ‪𝑛=1‬‬
‫או‬
‫‪ .3‬לא לשכוח שתוצאה ‪ 𝐿 = 1‬במבחן קושי ובמבחן דלאמבר לא קובעת התכנסות‬
‫או התבדרות לגבי הטור הנבדק ויש להשתמש במבחן השוואה אחר‪.‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪7‬‬
‫‪[email protected]‬‬