α - מתמטיקה-המדריך המלא לפתרון תרגילים
אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה לתלמידי 4ו 5 -יחידות לימוד כ 350-תרגילים עם פתרונות מלאים הקדמה ספר זה הוא חלק מסדרת ספרים "המדריך המלא לפתרון תרגילים" .הסדרה מיועדת לשימוש כהשלמה לכל ספר לימוד מקובל .כל ספר בסדרה כולל בתוכו מגוון רחב של תרגילים המלווים בהסברים ובפתרונות מלאים ומפורטים כדי להתאים לצרכים רבים יותר ולהיות יעיל כספר עזר. ספר זה מיועד לתלמידי 4ו 5 -יח"ל הניגשים לשאלונים .35807 – 35804 הוא מכסה את כל החומר היסודי בטריגונומטריה ומקנה טכניקות יעילות לפתרון בעיות. כל פרק פותח בהצגה ברורה של הגדרות ,משפטים ונוסחאות בשילוב הבהרות .תשומת לב רבה הוקדשה לשיבוץ התרגילים בכל נושא לפי דרגות קושי .התרגילים המסומנים ב ∗ -הם תרגילים יותר קשים ואתגריים .התרגילים הפתורים משמשים לפישוט והבהרה של תיאוריה ומאפשרים לתלמיד לרכוש ידע ,מיומנות וביטחון עצמי שחשובים מאוד להצלחה. תודה מיוחדת לבארי ז'יבוטובסקי שעזר רבות בהכנת ספר זה ,העיר הערות חשובות והארות מועילות. תודה למורים צביה פורת ,רומן דורפמן ,ורה יונובה שבדקו את הספר מבחינה מקצועית ותרמו רבות מהידע שלהם. בברכה ובהכרת טובה אקבל כל הערה והארה. אלכס זיו E-mail: [email protected] © כל הזכויות שמורות לאלכס זיו תוכן עניינים פרק :1מושגי יסוד וזהויות הגדרות ונוסחאות, תרגילים מושגי יסוד 7 אורך קשת 8 שטח גזרה הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות לגבי זווית חדה במשולש ישר-זווית הרחבת הגדרות של הפונקציות הטריגונומטריות על – ידי מעגל היחידה הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות מיוחדות )טבלה( 9 12 חיוביות ושליליות של סינוס ,קוסינוס ,טנגנס וקוטנגנס 13 זהויות טריגונומטריות 10 11 14 ייצוג של פונקציות טריגונומטריות בעזרת זווית חדה 14 הזהויות הטריגונומטריות היסודיות 18 הפונקציות הטריגונומטריות של סכום והפרש שתי זוויות 20 הפונקציות הטריגונומטריות של זווית כפולה 24 הפונקציות הטריגונומטריות של מחצית הזווית 26 זהויות לסכום והפרש שתי פונקציות טריגונומטריות 29 זהויות המעבר מכפל לסכום או הפרש פונקציות טריגונומטריות 30 פונקציה זוגית ואי-זוגית 32 פרק :2משוואות טריגונומטריות הגדרות ונוסחאות, תרגילים מחזוריות הפונקציות הטריגונומטריות 34 משוואות טריגונומטריות מהצורה sin x = aאו sin x = sin α 35 הפתרונות המיוחדים עבור סינוס משוואות טריגונומטריות מהצורה cos x = aאו cos x = cos α הפתרונות המיוחדים עבור קוסינוס משוואות טריגונומטריות מהצורה tan x = aאו tan x = tan α הפתרונות המיוחדים עבור טנגנס 36 37 37 38 39 פתרון משוואות טריגונומטריות בתחום נתון 39 משוואות טריגונומטריות שונות 41 משוואות בהן מופיע ריבוע של פונקציה טריגונומטרית 41 משוואות עם פירוק לגורמים 41 משוואות הכוללות משוואה ריבועית משוואות הומוגניות ממעלה ראשונה 42 a ⋅ sin mx + b ⋅ cos mx = 0 משוואות הומוגניות ממעלה שנייה a ⋅ sin 2 mx + b ⋅ sin mx ⋅ cos mx + c ⋅ cos 2 mx = 0 תרגילים לסיכום הפרק 42 43 43 פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור הגדרות ונוסחאות, תרגילים בעיות טריגונומטריות במשולש ישר-זווית 46 חישובים במשולש שווה-שוקיים 49 חישובים במרובעים 50 שטח משולש על-פי שתי צלעות וזווית שביניהן 52 מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי-זווית 53 משפט הסינוסים 54 משפט הקוסינוסים 57 תרגילים לסיכום הפרק 61 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות, תרגילים זוויות במרחב 75 זווית בין ישר למישור 75 זווית בין שני מישורים 77 משפט שלושת האנכים 78 מנסרה 80 תיבה 81 מנסרה ישרה משולשת 85 מנסרה ישרה שבסיסה מצולע כלשהו 87 פירמידה 90 פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-צלעות 91 פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-שוקיים 93 פירמידה ישרה שבסיסה משולש ישר-זווית 95 פירמידה ישרה שבסיסה משולש שונה צלעות 96 פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע 97 פירמידה ישרה שבסיסה מצולע כלשהו 99 פירמידה לא ישרה 100 גליל ישר 102 חרוט ישר 105 * הנושאים המסומנים באדום אינם כלולים בשאלוני בגרות של 4ו 5-יח"ל )שאלונים 35805ו.(35807 - ** הנושאים הבאים :הזווית בין שני מישורים ,השימוש במשפט הסינוסים או במשפט הקוסינוסים בגופים במרחב אינם כלולים בשאלון 4) 35805יח"ל(. הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :1מושגי יסוד וזהויות פרק :1מושגי יסוד וזהויות מושגי יסוד הגדרה הגדרה זווית בת מעלה אחת ) (1°היא הזווית המרכזית 1 מאורך היקף במעגל הנשענת על קשת שהיא 360 המעגל. 1 זווית מרכזית במעגל ,הנשענת על קשת שאורכה שווה לרדיוס המעגל ,נקראת זווית בת רדיאן אחד. R R 1 R ידוע כי היקף מעגל שרדיוסו Rהוא , (π ≈ 3.14) 2πRלכן בסיבוב מלא יש 2πרדיאנים 2πרדיאנים = , 360°מכאן πרדיאנים = . 180° )או .( 360°לפיכך מתקיים אם α°מסמנת את הזווית במעלות ו γ -מסמנת את אותה הזווית ברדיאנים ,מתקיימת הפרופורציה γ α° = π 180° . מהפרופורציה הנ"ל נוכל לקבל נוסחאות מעבר: γ ⋅ 180° π α° ⋅π 180° = α° =γ רדיאנים 1.01 חשב את גודלן של הזוויות הבאות ברדיאנים: ד108° . ג60° . ב45° . א30° . תשובה: א. π 6 . ב. π 4 . ג. π 3 . 3π ד. 5 . © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 7 פרק :1מושגי יסוד וזהויות הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 1.02 רשום במעלות את הזוויות הבאות הנתונות ברדיאנים: א. 2π 3 תשובה: ב. 3π 4 ג1.5 . א. 120° . ב. 135° . ג. 85.99° . אורך קשת לפי הגדרת הרדיאן ,הזווית המרכזית שגודלה 1רדיאן ,מתאימה לקשת שאורכה שווה לרדיוס Rשל המעגל .לפיכך הזווית המרכזית שגודלה γרדיאן מתאימה לקשת שאורכה : γR L = γ⋅R – Lאורך הקשת. – Rרדיוס המעגל. – γהזווית המרכזית ברדיאנים. אורך הקשת המתאימה לזווית בת α°הוא: πRα° 180° =L 1.03 נתונה זווית מרכזית )ברדיאנים( במעגל שרדיוסו 3ס"מ = . R חשב את אורך הקשת המתאימה לזווית: π 5 בπ . ג2.7 . א. 6 9 תשובה: א 1.57 .ס"מ. ב 5.23 .ס"מ. ג 8.1 .ס"מ. 1.04 נתונה זווית מרכזית )במעלות( במעגל שרדיוסו 2.2ס"מ = . R חשב את אורך הקשת המתאימה לזווית: גα = 154° . בα = 72° . אα = 45° . ג 5.91 .ס"מ. ב 2.763 .ס"מ. תשובה :א 1.727 .ס"מ. 1.05 אורך הקשת הוא 5.4ס"מ .חשב את הזווית המרכזית )ברדיאנים( המתאימה לקשת הנתונה, אם רדיוס המעגל הוא 3.6ס"מ = . R תשובה. 1.5 : 8 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :1מושגי יסוד וזהויות 1.06 אורך הקשת הוא 3.2ס"מ .חשב את הזווית המרכזית )במעלות( המתאימה לקשת הנתונה, אם רדיוס המעגל הוא 2ס"מ = . R תשובה. 91.72° : שטח גזרה שטח העיגול ניתן באמצעות הנוסחה . S = π R 2ידוע כי בסיבוב מלא יש 2πרדיאנים ,לכן R2 2 שטח הגזרה המתאימה לזווית מרכזית בת 1רדיאן הוא: ולכן שטח הגזרה המתאימה לזווית מרכזית בת γרדיאן הוא: R2 ⋅ γ 2 =S – Sשטח הגזרה. – Rרדיוס המעגל. – γהזווית המרכזית ברדיאנים. R שטח הגזרה המתאימה לזווית מרכזית בת α°הוא: = πR2 2π =S π R 2 ⋅ α° 360° g R =S 1.07 נתונה זווית מרכזית )ברדיאנים( במעגל שרדיוסו 5ס"מ = . Rחשב את שטח הגזרה המתאימה לזווית: תשובה: א. 2π 3 ב1.8 . א 26.17 .סמ"ר. ב 22.5 .סמ"ר. 1.08 נתונה זווית מרכזית )במעלות( במעגל שרדיוסו 5ס"מ = . Rחשב את שטח הגזרה המתאימה ב38° . א84° . לזווית: ב 8.29 .סמ"ר. תשובה :א 18.32 .סמ"ר. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 9 פרק :1מושגי יסוד וזהויות הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 1.09 רדיוס של גזרה הוא 6ס"מ = Rושטחה 15סמ"ר .חשב את אורך הקשת של הגזרה. תשובה 5 :ס"מ. 1.10 2π אורך הקשת של גזרה הוא ס"מ ושטחה הוא 4πסמ"ר .חשב את רדיוס הגזרה ואת הזווית 5 5 המרכזית של הגזרה. תשובה: 4ס"מ = , R π 10 = .γ הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות לגבי זווית חדה במשולש ישר-זווית הערה: הגדרות ותכונות הבאות נכונות גם לזוויות הנתונות במעלות וגם לזוויות הנתונות ברדיאנים. במשולש ישר-זווית ()C = 90°) ABC נסמן. )B = β , )A = α , AB = c , AC = b , BC = a : להלן נביא הגדרות של הפונקציות הטריגונומטריות במשולש ישר-זווית. b הניצב ליד הזווית = c היתר 1 tanα = cotα ⇒ = cosα ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ a הניצב מול הזווית = c היתר הניצב מול הזווית a = הניצב ליד הזווית b b הניצב ליד הזווית = a הניצב מול הזווית = sinα B b = tanα = cotα a C c b a A נתבונן במשולש שבציור הנ"ל ונביע את tan β , cos β , sin βו cot β -באמצעות b , aו. c - לפי ההגדרות של פונקציות טריגונומטריות נקבל: a הניצב ליד הזווית = c היתר a הניצב ליד הזווית = b הניצב מול הזווית 10 = cos β = cot β b הניצב מול הזווית = c היתר = sin β b הניצב מול הזווית = a הניצב ליד הזווית = tan β © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :1מושגי יסוד וזהויות קל לראות את הקשרים הבאים: cot β = tan α ; tan β = cot α ; cos β = sin α במשולש ישר-זווית , α + β = 90°מכאן . β = 90° − α לכן מתקיים: cos ( 90° − α ) = sinα ; sin β = cos α sin ( 90° − α ) = cosα 1 tanα cot ( 90° − α ) = tanα = tan ( 90° − α ) = cotα הגדרות הנ"ל מתייחסות רק לזוויות חדות .בהמשך נראה שאפשר להגדיר את הפונקציות הטריגונומטריות גם לזוויות קהות וגם לזווית המוגדרות כזוויות שליליות. הערה הרחבת הגדרות של הפונקציות הטריגונומטריות על-ידי מעגל היחידה הגדרה המעגל שרדיוסו R = 1ומרכזו בראשית הצירים ,נקרא מעגל היחידה. + זווית במעגל היחידה :קודקוד הזווית נמצא בראשית הצירים ) , (0, 0קרן אחת מתלכדת עם הכיוון החיובי של ציר ה , x -והקרן השנייה של הזווית היא קרן ניידת. כאשר הקרן הניידת נעה נגד כיוון השעון ,מתקבלת זווית x חיובית ,וכאשר היא נעה עם כיוון מחוגי השעון, מתקבלת זווית שלילית. בציור α ,היא זווית חיובית ) β , ( α > 0היא זווית שלילית ) ( β < 0 נגדיר את הפונקציות הטריגונומטריות לזוויות שאינן בהכרח חדות. α במעגל היחידה מתאימה לכל זווית מרכזית נקודה אחת ויחידה על המעגל )נקודת החיתוך של הקרן הניידת עם המעגל( .נסמנה ) P( x , y )ראה ציור( .שיעוריה של הנקודה מקיימים: y 1 ⇒ = sin α O b y 90 )P (x , y 1 y = sin α ⇒ = sin α 1 a y =R x = cos α ⇒ = cos α x ⇒ = cos α y 0 x 360 x x a O 180 R y R © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 270 11 פרק :1מושגי יסוד וזהויות הגדרות ונוסחאות ,תרגילים לזווית המרכזית ) α = 0°הקרן הניידת מתלכדת עם הכיוון החיובי של ציר ה ( x -מתאימה הנקודה ) . P(1, 0זאת אומרת. sin 0° = 0 , cos 0° = 1 , לזווית המרכזית ) α = 90°הקרן הניידת מתלכדת עם הכיוון החיובי של ציר ה ( y -מתאימה הנקודה ) . P(0, 1כלומר. sin 90° = 1 , cos 90° = 0 , לזווית המרכזית ) α = 180°הקרן הניידת מתלכדת עם הכיוון השלילי של ציר ה ( x -מתאימה הנקודה ) . P(−1, 0דהיינו. sin180° = 0 , cos180° = −1 , לזווית המרכזית ) α = 270°הקרן הניידת מתלכדת עם הכיוון השלילי של ציר ה ( y -מתאימה הנקודה ) . P(0, − 1כלומר. sin 270° = −1 , cos 270° = 0 , מהגדרתו של מעגל היחידה נובע כי . −1 ≤ y ≤ 1 , −1 ≤ x ≤ 1לכן לכל זווית αמתקיים: . − 1 ≤ sin α ≤ 1 , − 1 ≤ cos α ≤ 1 נוסף על כך ,במעגל היחידה היחס בין שיעור ה y -לשיעור ה x -של הנקודה , Pשווה לטנגנס הזווית . αהיחס בין שיעור ה x -לבין שיעור ה y -שווה לקוטנגנס הזווית , αדהיינו: x )( y ≠ 0 y תחום הערכים של טנגנס וקוטנגנס הוא: = cotα , )( x ≠ 0 ∞ < , − ∞ < cot α y x ∞ < . −∞ < tan α = tanα מהגדרות של cot α , tan α , cos α , sin αניתן לראות את הקשרים הבאים: cosα sinα tanα ⋅ cotα = 1 sinα cosα = cotα = tanα הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות מיוחדות נרכז בטבלה את ערכי הפונקציות הטריגונומטריות עבור זוויות מיוחדות. 360° 2π 270° 3π 2 180° π 90° π 60° π 45° π 30° π 2 3 4 6 0° 0 α 0 −1 0 1 3 2 2 2 1 2 0 sinα 1 0 −1 0 1 2 2 2 3 2 1 cosα 0 לא מוגדרת 0 לא מוגדרת 3 1 3 3 0 tanα לא מוגדרת 0 לא מוגדרת 0 3 3 1 3 לא מוגדרת cotα 12 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :1מושגי יסוד וזהויות חיוביות ושליליות של cotα , tanα , cosα , sinα על-ידי התבוננות במעגל היחידה נמצא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציות הטריגונומטריות. ) ( 0° < α < 90° , x>0 ∗ ברביע הראשון ∗ ברביע השני ) ( 90° < α < 180° ∗ ברביע השלישי ) (180° < α < 270°מתקיים: מתקיים: , y>0 לכן sin α > 0 , cos α > 0 , tan α > 0 , cot α > 0 , x<0 מתקיים: , y > 0מכאן sin α > 0 , cos α < 0 , tan α < 0 , cot α < 0 , x<0 , y < 0לפיכך sin α < 0 , cos α < 0 , tan α > 0 , cot α > 0 ∗ ברביע הרביעי ) ( 270° < α < 360° , x>0 מתקיים: ,y<0 לכן sin α < 0 , cos α > 0 , tan α < 0 , cot α < 0 בציורים הנ"ל ניתן לראות את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציות הטריגונומטריות. טנגנס ,קוטנגנס: 90 0 360 x קוסינוס: y 90 + O 180 + 270 tana, cota 0 360 x y + + סינוס: O 90 180 0 360 x 270 cosa © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה y + + O 180 270 sina 13 פרק :1מושגי יסוד וזהויות הגדרות ונוסחאות ,תרגילים זהויות טריגונומטריות ייצוג של פונקציות טריגונומטריות בעזרת זווית חדה כל זווית βהנתונה במעלות ניתן להציג בצורה הבאה: , β = 90°n ± αכאשר nמספר שלם π ו α -זווית חדה .אם הזווית נתונה ברדיאנים ,אז ניתן להציג אותה בצורה , β = 2 ⋅ n ± α ) n = 0 , ± 1, ± 2 ,...ו- π 2 < . (0 < α כדי להציג פונקציות ) cot ( 90°n ± α ) , tan ( 90°n ± α ) , cos ( 90°n ± α ) , sin ( 90°n ± α באמצעות פונקציה טריגונומטרית של זווית חדה , αנוח להשתמש בכלל הבא: כלל א. אם nמספר אי-זוגי ,אזי שם הפונקציה סינוס משתנה לקוסינוס, קוסינוס משתנה לסינוס ,טנגנס משתנה לקוטנגנס ,וקוטנגנס משתנה לטנגנס. אם nמספר זוגי ,אזי שם הפונקציה איננו משתנה. ב. הסימן של הפונקציה המתקבלת )פונקציה של זווית חדה( זהה לסימנה של הפונקציה המקורית ברביע שבו "מסתיימת" הזווית המקורית. דוגמה 1 הצג את הפונקציה ) sin ( 90°n − αבאמצעות פונקציה טריגונומטרית של זווית חדה αכאשר: אn = 1 . בn = 2 . גn = 3 . דn = 4 . פתרון: א .עבור n = 1הפונקציה המקורית היא ) n = 1 . sin ( 90° − αהוא מספר אי-זוגי ,לכן שם הפונקציה המקורית סינוס משתנה לשם קוסינוס. αהיא זווית חדה ,לפיכך הזווית ) " ( 90° − αמסתיימת" ברביע הראשון .הפונקציה המקורית סינוס חיובית ברביע הראשון ,לכן הפונקציה המתקבלת גם היא חיובית .לפיכך נקבל. sin ( 90° − α ) = cos α : 14 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה פרק :1מושגי יסוד וזהויות הגדרות ונוסחאות ,תרגילים ב. עבור n = 2הפונקציה המקורית היא ) n = 2 . sin (180° − αהוא מספר זוגי ,לכן שם הפונקציה אינו משתנה. αהיא זווית חדה ,מכאן הזווית ) " (180° − αמסתיימת" ברביע השני שבו הפונקציה . sin (180° − α ) = sin α סינוס חיובית לכן נקבל: ג. כאשר n = 3הפונקציה המקורית היא ) n = 3 . sin ( 270° − αמספר אי-זוגי ,לפיכך השם סינוס של הפונקציה המקורית משתנה לקוסינוס. αהיא זווית חדה ,לכן הזווית ) " (270° − αמסתיימת" ברביע השלישי ,שבו סינוס שלילי ולכן הפונקציה המתקבלת )קוסינוס( גם תהיה שלילית .כלומר מתקיים: . sin(270° − α) = − cos α ד. עבור n = 4הפונקציה המקורית היא ) n = 4 . sin ( 360° − αהוא מספר זוגי ,לכן שם הפונקציה אינו משתנה. αהיא זווית חדה ,מכאן הזווית ) " (360° − αמסתיימת" ברביע הרביעי ,שבו סינוס שלילי .לפיכך נקבל. sin ( 360° − α ) = − sin α : דוגמה 2 הצג את הפונקציה ) cos(90°n + αבאמצעות פונקציה טריגונומטרית של זווית חדה , α דn = 5 . גn = 3 . בn = 2 . אn = 1 . כאשר: פתרון: א .עבור n = 1הפונקציה המקורית היא ) n = 1 . cos(90° + αהוא מספר אי-זוגי ,לכן השם קוסינוס של הפונקציה משתנה לסינוס. αהיא זווית חדה ,לפיכך הזווית ) " (90° + αמסתיימת" ברביע השני שבו קוסינוס שלילי ,לכן הפונקציה המתקבלת גם תהיה שלילית .מכאן קיבלנו: . cos ( 90° + α ) = − sin α ב. כאשר n = 2הפונקציה המקורית היא ) n = 2 . cos (180° + αהוא מספר זוגי ,לכן השם המקורי קוסינוס איננו משתנה. הזווית ) " (180° + αמסתיימת" ברביע השלישי שבו קוסינוס שלילי .מכאן שהפונקציה . cos(180° + α ) = − cos α המתקבלת גם היא תהיה שלילית .לפיכך מתקיים: ג. עבור n = 3הפונקציה המקורית היא ) n = 3 . cos(270° + αהוא מספר אי-זוגי ,לכן השם המקורי קוסינוס משתנה לסינוס. הזווית ) " (270° + αמסתיימת" ברביע הרביעי שבו קוסינוס חיובי ,לפיכך הפונקציה המתקבלת גם תהיה חיובית .כלומר. cos ( 270° + α ) = sin α , © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 15 הגדרות ונוסחאות ,תרגילים ד. פרק :1מושגי יסוד וזהויות כאשר n = 5הפונקציה המקורית היא ) n = 5 . cos ( 450° + αהוא מספר אי-זוגי ,לפיכך השם המקורי קוסינוס משתנה לסינוס. הזווית )" (450° + αמסתיימת" ברביע השני ) כי . 450° + α = 360° + 90° + αהזווית 360°היא סיבוב מלא ,והזווית " 90° + αמסתיימת" ברביע השני(. הפונקציה המקורית קוסינוס שלילית ברביע השני ,מכאן שהפונקציה המתקבלת אף היא שלילית .כתוצאה מכך נקבל: . cos ( 450° + α ) = − sin α דוגמה 3 הצג את הפונקציה ) tan ( 90°n + αבאמצעות פונקציה טריגונומטרית של זווית חדה , α כאשר: א. n = −2 . ב. n = 1 . גn = 4 . פתרון: א .עבור n = −2הפונקציה המקורית היא ) n = −2 . tan ( −180° + αהוא מספר זוגי ,לכן השם המקורי טנגנס איננו משתנה. הזווית ) " (−180° + αמסתיימת" ברביע השלישי שבו טנגנס חיובי ,לפיכך הפונקציה . tan ( −180° + α ) = tan α המתקבלת גם תהיה חיובית .אי לכך מתקיים: ב. כאשר n = 1הפונקציה המקורית היא ) n = 1 . tan ( 90° + αהוא מספר אי-זוגי ,לכן השם המקורי טנגנס משתנה לקוטנגנס .הזווית ) " (90° + αמסתיימת" ברביע השני שבו טנגנס שלילי מכאן שהפונקציה המתקבלת גם תהיה שלילית .לפיכך נקבל: 1 tan ( 90° + α ) = − cot α . tan ( 90° + α ) = − או tan α ג. עבור n = 4הפונקציה המקורית היא ) n = 4 . tan ( 360° + αהוא מספר זוגי ,לפיכך השם המקורי טנגנס איננו משתנה. הזווית ) " (360° + αמסתיימת" ברביע הראשון שבו טנגנס חיובי ומכך נובע שהפונקציה המתקבלת גם חיובית .לכן מתקיים. tan ( 360° + α ) = tan α : הערה ניתן להשתמש בכלל הנ"ל גם אם לא נתון במפורש ש α -היא זווית חדה .במקרים אלה ,יש להניח ש α -היא חדה ולהסתמך על הכלל. 16 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :1מושגי יסוד וזהויות דוגמה 4 הצג את הפונקציות הטריגונומטריות הבאות באמצעות פונקציות טריגונומטריות של זווית . α ג. tan(270° + α ) . ב. cos(180° − α ) . א. sin(180° + α ) . ד. sin(450° − α ) . ה. cos ( 540° + α ) . פתרון: א .הזווית הנתונה מקיימת . 180° + α = 90° ⋅ 2 + α :במקרה זה ) n = 2מספר זוגי( ,לכן השם המקורי סינוס איננו משתנה. מהנחה ש α -זווית חדה ,נקבל כי הזווית ) " (180° + αמסתיימת" ברביע השלישי שבו . sin (180° + α ) = − sin α סינוס שלילי .לפיכך נקבל: ב. הזווית הנתונה מקיימת . 180° − α = 90° ⋅ 2 − α :במקרה זה ) n = 2מספר זוגי( ,לכן השם המקורי קוסינוס איננו משתנה. מהנחה ש α -זווית חדה נקבל כי הזווית ) " (180° − αמסתיימת" ברביע השני שבו . cos (180° − α ) = − cos α קוסינוס שלילי .כלומר: ג. הזווית הנתונה מקיימת . 270° + α = 90° ⋅ 3 + α :במקרה זה ) n = 3מספר אי-זוגי(, לפיכך השם המקורי טנגנס משתנה לקוטנגנס. מהנחה ש α -זווית חדה נקבל כי הזווית ) " (270° + αמסתיימת" ברביע הרביעי שבו 1 . tan ( 270° + α ) = − טנגנס שלילי .לכן tan ( 270° + α ) = − cot α :או tan α ד. הזווית הנתונה מקיימת . 450° − α = 90° ⋅ 5 − α :במקרה זה ) n = 5מספר אי-זוגי(, לכן השם המקורי סינוס משתנה לקוסינוס. מההנחה ש α -היא זווית חדה ,נקבל שהזווית )" (450° − αמסתיימת" ברביע הראשון שבו סינוס חיובי .זאת אומרת. sin ( 450° − α ) = cos α , ה. הזווית הנתונה מקיימת . 540° + α = 90° ⋅ 6 + α :במקרה זה ) n = 6מספר זוגי(, לכן השם המקורי קוסינוס איננו משתנה. (540 מהנחה ש α -זווית חדה ,הזווית ) ° + α "מסתיימת" ברביע השלישי שבו קוסינוס . cos ( 540° + α ) = − cos α שלילי .לפיכך נקבל: כדי להציג את הפונקציות הטריגונומטריות של הזוויות π x = 90°n ± αאו , x = 2 n ± α כאשר n = 1, 2, 3, 4בעזרת זווית , αניתן להיעזר בטבלה הבאה: © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 17 מושגי יסוד וזהויות:1 פרק תרגילים,הגדרות ונוסחאות 90° − α x π 2 90° + α π −α 2 180° − α 180° + α +α π−α π+α 270° − α 3π 270° + α 3π −α 2 2 360° − α +α 2π − α sinx cos α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α cosx sin α − sin α − cos α − cos α − sin α sin α cos α tanx cot α − cot α − tan α tan α cot α − cot α − tan α cotx tan α − tan α − cot α cot α tan α − tan α − cot α : חשב ללא מחשבון1.19 − 1.11 בתרגילים tan 225° cot 300° 15π tan 4 .− .− 3 2 2 2 1.13 1.16 cos 240° 17π cos 6 1.19 . 1.14 . 1.18 cos135° . 1 . 1.13 .− 2 2 . 1.17 .− .− 2 2 3 3 1.12 1.15 sin 315° 13π sin 4 1.18 . 1.12 . 1.16 1.11 1.14 sin120° 3 2 . 1.11 .− 1 . 1.15 . 2 1.17 :תשובות . −1 . 1.19 הזהויות הטריגונומטריות היסודיות sin 2α + cos 2α = 1 : מתקייםα לכל זווית (1) 1 דוגמה . cos α מצא את , 90° < α < 180° © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 1 , sin α = 2 נתון כי 18 הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :1מושגי יסוד וזהויות פתרון: ⇒ cos α = ± 1 − sin 2 α ⇒ cos 2 α = 1 − sin 2 α sin 2α + cos 2α = 1 לפי הנתון ,הזווית " αמסתיימת" ברביע השני שבו קוסינוס שלילי ,לכן נקבל: 3 2 cos α = − 3 4 ⇒ =− 2 )( 1 2 ⇒ cos α = − 1 − cos α = − 1 − sin 2 α דוגמה 2 נתון כי , 180° < α < 270° , cos α = −0.8מצא את . sin α פתרון: ⇒ sin α = ± 1 − cos 2 α ⇒ sin 2 α = 1 − cos 2 α sin 2α + cos 2α = 1 הזווית " αמסתיימת" ברביע השלישי שבו סינוס שלילי לפיכך מתקיים: ⇒ sin α = −0.6 sin α = − 1 − (−0.8) 2 = − 0.36 ⇒ sin α = − 1 − cos 2 α דוגמה 3 נתון כי 5 13 , 270° < α < 360° , sin α = −מצא את . cot α , tan α , cos α פתרון: ⇒ cos α = ± 1 − sin 2 α cos 2 α = 1 − sin 2 α ⇒ sin 2α + cos 2α = 1 הזווית " αמסתיימת" ברביע הרביעי שבו קוסינוס חיובי ,לכן מתקיים : 12 13 = cos α 144 169 ⇒ =) ( 2 5 13 cos α = 1 − sin 2 α ⇒ cos α = 1 − − נחשב את tan αואת : cot α ; −5 12 = tan α −12 5 = cot α ⇒ ⇒ −5 12 −5 13 : = ⋅ 13 13 13 12 = tan α ⇒ sinα cosα = tanα 12 −5 12 13 = ⋅ : 13 13 13 −5 = cot α ⇒ cosα sinα = cotα נעבור לזהויות הבאות: © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 19 פרק :1מושגי יסוד וזהויות הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 1 )( 3 sin 2α 1 )( 2 = 1 + cot 2α 2 cos α ) ( sin α ≠ 0 = 1 + tan 2α ) ( cos α ≠ 0 הזהות ) (2מתקבלת כאשר את שני האגפים של זהות ) (1מחלקים ב. cos 2 α - הזהות ) (3מתקבלת כאשר את שני האגפים של זהות ) (1מחלקים ב. sin 2 α - 1.20 נתון כי . 90° < α < 180° , tan α = − 3מצא את . cot α , sin α , cos α תשובה: 3 2 , cos α = − 1 2 1 3 = , sin α . cot α = − 1.21 נתון כי . 0° < α < 90° , cot α = 8 תשובה: , sinα = 1 3 8 3 מצא את . tan α , cos α , sin α = , cos α 1 8 = . tan α הפונקציות הטריגונומטריות של סכום והפרש שתי זוויות ∗ הסינוס של סכום והפרש שתי זוויות: )( 4 sin ( α + β ) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ )(5 sin ( α − β ) = sinα ⋅ cosβ − cosα ⋅ sinβ דוגמה פשט את הביטויים הבאים: א. sin 53° ⋅ cos 37° + cos 53° ⋅ sin 37° ב. π π π π sin ⋅ cos − cos ⋅ sin 3 2 3 2 פתרון: א .בהסתמך על זהות ) (4נקבל: 20 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה תרגילים,הגדרות ונוסחאות מושגי יסוד וזהויות:1 פרק sin ( α + β ) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ ⇒ ⇒ sin 53° ⋅ cos 37° + cos 53° ⋅ sin 37° = sin ( 53° + 37° ) = sin 90° = 1 :( נקבל5) בהסתמך על זהות sin ( α − β ) = sinα ⋅ cosβ − cosα ⋅ sinβ ⇒ sin π 2 ⋅ cos π 3 .ב ⇒ ( ) π π π π π 1 − cos ⋅ sin = sin − = sin = 2 3 2 3 2 6 1.22 sin 7β ⋅ cos 3β − cos 7β ⋅ sin3β :פשט את הביטויים הבאים sin α ⋅ cos 2α + cos α ⋅ sin2α .א . sin 4β .ב . sin 3α . א:תשובה .ב 1.23 sin105° . 2 ( 3 +1) 4 sin15° .ג .ג .ב 2 ( 3 −1) . 4 sin 75° .ב . .א 2 ( 3 +1) 4 :חשב ללא מחשבון .א :תשובה :∗ הקוסינוס של סכום והפרש שתי זוויות cos ( α + β ) = cosα ⋅ cosβ − sinα ⋅ sinβ (6) cos ( α − β ) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ (7) cos 2x ⋅ cos 4x 3 + sin2x ⋅ sin 4x 3 דוגמה :פשט את הביטויים הבאים π π π π cos ⋅ cos − sin ⋅ sin .א 3 4 3 4 .ב :פתרון :( ונקבל6) נשתמש בזהות.א cos ( α + β ) = cosα ⋅ cosβ − sinα ⋅ sinβ ⇒ 21 ⇒ ( ) π π π π π π 7π cos ⋅ cos − sin ⋅ sin = cos + = cos 3 4 3 4 3 4 12 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה פרק :1מושגי יסוד וזהויות הגדרות ונוסחאות ,תרגילים על-פי זהות ) (7נקבל: ב. ⇒ 2x 3 ) = cos 4x 3 ( = cos 2x − cos ( α − β ) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ 4x 3 + sin2x ⋅ sin 4x 3 cos 2x ⋅ cos ⇒ 1.24 ) cos ( 45° − α ) ⋅ cos (15° + α ) − sin ( 45° − α ) ⋅ sin (15° + α פשט את הביטוי הבא: תשובה: . 12 1.25 חשב ללא מחשבון: תשובה: א. א. cos15° )2 ( 3 +1 4 . cos150° ב. ב. 3 2 .− ∗ הטנגנס של סכום והפרש שתי זוויות: ) (8 tanα + tanβ 1 − tanα ⋅ tanβ = ) tan ( α + β )(9 tanα − tanβ 1 + tanα ⋅ tanβ = ) tan ( α − β דוגמה 1 tan 26° + tan19° 1 − tan 26° ⋅ tan19° פשט את הביטוי: פתרון: נשתמש בזהות ) (8ונפשט את הביטוי: tan 26° + tan19° = tan ( 26° + 19° ) = tan 45° = 1 1 − tan 26° ⋅ tan19° ⇒ tanα + tanβ 1 − tanα ⋅ tanβ = ) tan ( α + β דוגמה 2 פשט את הביטוי: 22 β 2 β 3β ⋅ tan 2 2 − tan 3β 2 tan 1 + tan © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה תרגילים,הגדרות ונוסחאות מושגי יסוד וזהויות:1 פרק :( נקבל9) פי זהות-על tanα − tanβ tan ( α − β ) = 1 + tanα ⋅ tanβ ⇒ tan 3β 2 1 + tan β 2 3β β ⋅ tan 2 2 − tan = tan ( 3β 2 − β 2 :פתרון ) = tan β 3 דוגמה tan ( 2x + y ) + tan ( x − y ) 1 − tan ( 2x + y ) ⋅ tan ( x − y ) :פשט את הביטוי :( נקבל8) בהסתמך על זהות tan ( α + β ) = ⇒ tanα + tanβ 1 − tanα ⋅ tanβ :פתרון ⇒ tan ( 2x + y ) + tan ( x − y ) = tan ⎡⎣( 2x + y ) + ( x − y ) ⎤⎦ = tan 3x 1 − tan ( 2x + y ) ⋅ tan ( x − y ) : הוכח את הזהויות הבאות1.37 − 1.26 בתרגילים cos α − cos3 α = tan α sin α − sin 3 α sin 2 α = ( sin 2 α − sin 4 α ) ⋅ (1 + tan 2 α ) 1.27 1 1 + = 2 + 2 tan 2 α 1 − sin α 1 + sin α 1.28 cos 4 α − sin 4 α = 1 − 2 sin 2 α sin α 1 − cos α = 1 + cos α sin α 1.29 tan 2 (180° + α ) ⋅ cos 2 ( 90° + α ) = tan 2 α − sin 2 α 1.31 sin 2 α − sin 2 β = sin ( α − β ) ⋅ sin ( α + β ) 1.32 ( )= 1.30 2 ( cos α − sin α ) 2 1.33 sin ( α + 45° ) − sin ( α − 45° ) = 2 cos α 1.34 ( 1.35 cos α + π 4 cos β = cos 23 1.26 π 3 ) + β + cos ( π 3 −β ) © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 1.36 1.37 פרק :1מושגי יסוד וזהויות 1 − tan α ) = tan ( 45° − α 1 + tan α ) sin ( α + β = tan α + tan β cos α ⋅ cos β הפונקציות הטריגונומטריות של זווית כפולה ∗ הסינוס של זווית כפולה: בזהות ) (4נציב את αבמקום βונקבל: ⇒ sin ( α + α ) = sin α ⋅ cos α + cos α ⋅ sinα ) (10 ⇒ sin2α = 2 ⋅ sinα ⋅ cosα דוגמה השתמש בזהות ) (10ומצא את: ב. sin10α . א. sin 4α . פתרון: על-פי הזהות ד. sin α . ג. sin 7α . sin2α = 2 ⋅ sinα ⋅ cosα נקבל: א. sin 4α = sin ⎡⎣ 2 ⋅ ( 2α ) ⎤⎦ = 2 sin 2α ⋅ cos 2α ב. sin10α = sin ⎡⎣ 2 ⋅ ( 5α ) ⎤⎦ = 2 sin 5α ⋅ cos 5α ג. ⋅ sin 7α = sin ⎡⎢ 2 ⎣ 7α 2 ( )⎤⎥⎦ = 2 sin ⋅ cos sin α = sin ⎡⎢ 2 ⋅ ( ) ⎤⎥ = 2 sin ⋅ cos ⎣ ⎦ 7α 2 α 2 ד. 7α 2 α 2 α 2 ∗ הקוסינוס של זווית כפולה: בזהות ) (6נציב את αבמקום βונקבל: ⇒ )(11 24 cos ( α + α ) = cos α ⋅ cos α − sin α ⋅ sinα cos2α = cos 2α − sin 2α ⇒ © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה תרגילים,הגדרות ונוסחאות מושגי יסוד וזהויות:1 פרק ( ניתן11) לפיכך מזהות. cos 2 α = 1 − sin 2 α - וsin 2 α = 1 − cos 2 α ( נובע כי1) מזהות :לקבל את הזהויות הבאות (11′) cos2α = 2cos 2α − 1 . cos α cos2α = 1 − 2sin 2α ; (11′′) :( ומצא את11′′) , (11′) , (11) דוגמה השתמש בזהויות . cos 5α .ג . cos14α .ב . cos 6α .א :פתרון .ד cos 6α = cos ⎡⎣ 2 ⋅ ( 3α ) ⎤⎦ = cos 2 3α − sin 2 3α ; .א cos 6α = cos ⎡⎣ 2 ⋅ ( 3α ) ⎤⎦ = 2 cos 2 3α − 1 ; cos 6α = cos ⎡⎣ 2 ⋅ ( 3α ) ⎤⎦ = 1 − 2 sin 2 3α cos14α = cos ⎡⎣ 2 ⋅ ( 7α ) ⎤⎦ = cos 2 7α − sin 2 7α ; cos14α = cos ⎡⎣ 2 ⋅ ( 7α ) ⎤⎦ = 2 cos 2 7α − 1 ; ( ) ( ) .ב cos14α = cos ⎡⎣ 2 ⋅ ( 7α ) ⎤⎦ = 1 − 2 sin 2 7α 5α 5α cos 5α = cos ⎡⎢ 2 ⋅ 5α ⎤⎥ = cos 2 ; − sin 2 2 2 2 ⎦ ⎣ 5α 5α cos 5α = cos ⎡⎢ 2 ⋅ 5α ⎤⎥ = 2 cos 2 cos 5α = cos ⎡⎢ 2 ⋅ 5α ⎤⎥ = 1 − 2 sin 2 −1 ; 2 2 2 ⎦ 2 ⎦ ⎣ ⎣ .ג ( ) α α ⎡ α ⎤ cos α = cos ⎢ 2 ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ = cos 2 − sin 2 ; 2 2 ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ α ⎡ α ⎤ cos α = cos ⎢ 2 ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ = 2 cos 2 − 1 ; 2 2 ⎣ ⎝ ⎠⎦ .ד α ⎡ α ⎤ cos α = cos ⎢ 2 ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ = 1 − 2 sin 2 2 2 ⎣ ⎝ ⎠⎦ :∗ הטנגנס של זווית כפולה : ונקבלβ במקוםα ( נציב את8) בזהות tan ( α + α ) = ⇒ 25 tan α + tan α 1 − tan α ⋅ tan α tan2α = 2 tanα 1 − tan 2α ⇒ (12) © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :1מושגי יסוד וזהויות דוגמה השתמש בזהות ) (12ומצא את: בtan 3α . אtan 4α . פתרון: tan α ג. 2 tan 2α = ⎦⎤ ) tan 4α = tan ⎡⎣ 2 ⋅ ( 2α 1 − tan 2 2α 3α 2 tan α 3 2 =⎤ ⋅ tan 3α = tan ⎢⎡ 2 ⎥ 2 ⎣ ⎦ 1 − tan 2 3α א. ) ( ב. 2 α 2 tan ⎤⎞ ⎡ ⎛ α 2 = ⎥ ⎟ ⎜ ⋅ tan α = tan ⎢ 2 2 ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ 1 − tan 2 α ג. 2 בתרגילים 1.41 − 1.38הוכח את הזהויות הבאות: 1.38 1.40 2 tan α 1 + tan 2 α = sin 2α 1.39 1 − tan 2 α = cos 2α 1 + tan 2 α sin 4 α + cos 4 α = 1 − sin 2 2α 1.41 2 = cot α − tan α tan 2α 1 2 הפונקציות הטריגונומטריות של מחצית הזווית ∗ הסינוס של מחצית הזווית: ניעזר בזהות ) (11′′ונמצא: ⇒ = 1 − cos α ) (13′ α 2 2 sin 2 1 − cosα 2 α ⇒ =± 2 α 2 sin cos α = 1 − 2 sin 2 ⇒ 1 − cosα 2 )(13 שים לב ,הסימן לפני השורש בזהות ) (13′נקבע לפי הרביע בו נמצאת 26 cos2α = 1 − 2sin 2α α 2 = α 2 sin 2 . © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :1מושגי יסוד וזהויות השתמש בזהות ) (13ומצא את: דוגמה א. sin 2 α ב. sin 2 3α 5α ג. 2 sin 2 פתרון: ( α ) = 1 − cos2 2α α 1 − cos 6α = ) ( sin 3α = sin 2 α 1 − cos 5α = ) ( sin 2 2 2 א. 6 2 ב. sin 2 α = sin 2 2 2 5 2 ג. 2 ∗ הקוסינוס של מחצית הזווית: ניעזר בזהות ) (11′ונמצא: = 1 + cos α ⇒ α 2 2 cos 2 1 + cosα 2 ) (14′ =± ⇒ α 2 −1 α 2 cos α = 2 cos 2 ⇒ 1 + cosα 2 ) (14 cos שים לב ,הסימן לפני השורש בזהות ) (14′נקבע לפי הרביע בו נמצאת דוגמה cos2α = 2cos 2α − 1 α 2 = α 2 cos 2 . השתמש בזהות ) (14ומצא את: א. cos 2 α ב. cos 2 4x ג. 7β 2 cos 2 פתרון: א. ב. ג. 1 + cos 2α 2 1 + cos 8x = ⎟⎞ cos 2 4x = cos 2 ⎛⎜ 8 x ⎠ ⎝ 2 2 1 + cos 7β 7β cos 2 = 2 2 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה = ⎟⎞ cos 2 α = cos 2 ⎛⎜ 2α ⎠ ⎝ 2 ) ( 27 פרק :1מושגי יסוד וזהויות הגדרות ונוסחאות ,תרגילים ∗ הטנגנס של מחצית הזווית: נחלק את הזהות ) (13בזהות ) (14ונקבל: ⇒ 1 − cos α 2 ⋅ 2 1 + cos α α = 2 α 2 1 − cosα 1 + cosα ) (15′ =± α 2 sin 2 2 ⇒ cos 1 − cos α 1 + cos α = : 2 2 שים לב ,הסימן לפני השורש בזהות ) (15′נקבע לפי הרביע בו נמצאת דוגמה 2 : cos 2 1 − cosα 1 + cosα ) (15 tan α α 2 = α 2 α 2 sin 2 tan 2 . השתמש בזהות ) (15ומצא את: א. tan 2 α ב. tan 2 5β ג. ⎟⎞ tan 2 ⎛⎜ 9 x ⎠ ⎝ 2 פתרון: 2α ( α ) = 11 +− cos cos 2α 2 2 א. 1 − cos10β 1 + cos10β ב. tan 2 α = tan 2 = ⎟⎞ tan 2 5β = tan 2 ⎛⎜ 10β ⎠ ⎝ 2 1 − cos 9x 1 + cos 9x ג. = ⎟⎞ tan 2 ⎛⎜ 9 x ⎠ ⎝ 2 בתרגילים 1.44 − 1.42הוכח את הזהויות הבאות: 1.42 1.43 1.44 28 sin α α = tan 2 1 + cos α α 1 − cos α = tan 2 sin α 1 − cos 2α cos α α ⋅ = cot 2 sin 2α 1 − cos α © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :1מושגי יסוד וזהויות זהויות לסכום והפרש שתי פונקציות טריגונומטריות ∗ סכום והפרש של שתי פונקציות סינוס: דוגמה ) (16 α+β α −β ⋅ cos 2 2 sinα + sinβ = 2sin ) (17 α −β α+β ⋅ cos 2 2 sinα − sinβ = 2sin נבטא את סכום )או הפרש( של שתי פונקציות בעזרת מכפלה. א. sin 5x + sin 3x ב. sin10β − sin 4β 5α 2 ג. + sin 7α 2 sin בהסתמך על זהויות ) (16ו (17) -נקבל: פתרון: 5x + 3x 5x − 3x ⋅ cos = 2 sin 4x ⋅ cos x 2 2 10β − 4β 10β + 4β sin10β − sin 4β = 2 sin ⋅ cos = 2 sin 3β ⋅ cos 7β 2 2 7α 5α 7α 5α + − α 7α 5α 2 2 2 2 sin + sin = 2 sin ⋅ cos = 2 sin 3α ⋅ cos 2 2 2 2 2 sin 5x + sin 3x = 2 sin א. ב. ג. ∗ סכום והפרש של שתי פונקציות קוסינוס: ) (18 ) (19 דוגמה α+β α −β ⋅ sin 2 2 cosα − cosβ = −2sin נבטא את סכום )או הפרש( של שתי פונקציות בעזרת מכפלה. א. פתרון: α+β α −β ⋅ cos 2 2 cosα + cosβ = 2cos cos 9α + cos 4α ב. cos11x − cos 5x ג. γ γ cos − cos 3 2 על-פי זהויות ) (18ו (19) -נקבל: © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 29 מושגי יסוד וזהויות:1 פרק תרגילים,הגדרות ונוסחאות 9 α + 4α 9 α − 4α 13α 5α ⋅ cos ⋅ cos = 2 cos 2 2 2 2 11x + 5x 11x − 5x cos11x − cos 5x = −2 sin ⋅ sin = −2 sin 8x ⋅ sin 3x 2 2 γ γ γ γ + − γ γ γ 5γ cos − cos = −2 sin 2 3 ⋅ sin 2 3 = −2 sin ⋅ sin 2 3 12 12 2 2 cos 9α + cos 4α = 2 cos .א .ב .ג : הוכח את הזהויות הבאות1.47 − 1.45 בתרגילים sin 3α + 2 sin 2α + sin α = 4 sin 2α ⋅ cos 2 α 2 sin 5α − sin α = 2 sin α cos 4α + cos 2α sin 5α + sin 3α + sin α = tan 3α cos 5α + cos 3α + cos α 1.45 1.46 1.47 זהויות המעבר מכפל לסכום או הפרש פונקציות טריגונומטריות cosα ⋅ cosβ = 1 ⎡cos ( α − β ) + cos ( α + β ) ⎤⎦ 2⎣ ( 20 ) .נבטא את מכפלה של שתי פונקציות בעזרת סכום cos α 5α ⋅ cos 2 2 cos 7 γ ⋅ cos 6γ .ג .ב cos 3x ⋅ cos x :( נקבל20) בהסתמך על זהות 1 1 cos 3x ⋅ cos x = ⎡⎣ cos ( 3x − x ) + cos ( 3x + x ) ⎤⎦ = ( cos 2x + cos 4x ) 2 2 1 1 cos 7 γ ⋅ cos 6 γ = ⎡⎣ cos ( 7 γ − 6 γ ) + cos ( 7 γ + 6γ ) ⎤⎦ = ( cos γ + cos13γ ) 2 2 cos 5α 2 ⋅ cos α 2 = ( ) ( ) α α ⎤ 1 1⎡ 5α 5α cos − + cos + = ( cos 2α + cos 3α ) ⎢ 2 2 2 2 ⎥ 2⎣ ⎦ 2 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה דוגמה .א :פתרון .א .ב .ג 30 תרגילים,הגדרות ונוסחאות מושגי יסוד וזהויות:1 פרק 1 sinα ⋅ sinβ = ⎣⎡cos ( α − β ) − cos ( α + β ) ⎤⎦ 2 ( 21) .נבטא את מכפלה של שתי פונקציות בעזרת הפרש sin 2γ ⋅ sin γ sin 5β ⋅ sin2β .ג 2 sin 4x ⋅ sin2x .ב .א :( נקבל21) פי זהות-על :פתרון 1 1 ⎡⎣ cos ( 4x − 2x ) − cos ( 4x + 2x ) ⎤⎦ = ( cos 2x − cos 6x ) 2 2 1 1 sin 5β ⋅ sin2β = ⎡⎣ cos ( 5β − 2β ) − cos ( 5β + 2β ) ⎤⎦ = ( cos 3β − cos 7β ) 2 2 sin 4x ⋅ sin2x = sin 2 γ ⋅ sin γ 2 = ) ( ) ( ( γ γ ⎤ 1 1⎡ 3γ 5γ cos 2 γ − − cos 2 γ + ⎥ = cos − cos 2 2 ⎦ 2 2 2 ⎣⎢ 2 1 sinα ⋅ cosβ = ⎡⎣sin ( α + β ) + sin ( α − β ) ⎤⎦ 2 .א .ב ) .ג ( 22 ) .נבטא את מכפלה של שתי פונקציות בעזרת סכום sin 5x 3 ⋅ cos 2x 3 sin .ג 7α ⋅ cos 3α 2 sin 9β ⋅ cos 4β .ב 1 1 ⎡sin 9β + 4β ) + sin ( 9β − 4β ) ⎤⎦ = ( sin13β + sin 5β ) 2⎣ ( 2 ( ) ( ) ( x 1⎡ x x x x ⎤ 1 = sin ( + ) + sin ( − )⎦⎥ = 2 (sin 2 ⎣⎢ sin 7α 2 ⋅ cos 3α = sin 5x 3 ⋅ cos α 1⎡ 7α 7α 1 13α sin + 3α + sin − 3α ⎤ = sin + sin ⎥⎦ 2 2 ⎢⎣ 2 2 2 2 2 3 5 3 2 3 5 3 2 3 1 cosα ⋅ sinβ = ⎡⎣sin ( α + β ) − sin ( α − β ) ⎤⎦ 2 7x 3 + sin x :פתרון .א ) .ב ) .ג ( 23) .נבטא את מכפלה של שתי פונקציות בעזרת הפרש cos 31 7x 6 ⋅ sin 2x 3 .ג cos α 3α ⋅ sin 4 2 דוגמה .א :( ונקבל22) נשתמש בזהות sin 9β ⋅ cos 4β = דוגמה .ב cos10γ ⋅ sin 8γ דוגמה .א © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פתרון: פרק :1מושגי יסוד וזהויות נשתמש בזהות ) (23ונקבל: 1 1 ) ⎡⎣sin (10 γ + 8γ ) − sin (10 γ − 8γ ) ⎤⎦ = ( sin18γ − sin 2 γ 2 2 א. ב. ) ג. ) ( ) ( ) ( ) ( = cos10 γ ⋅ sin 8γ α ⎤ 1 α ⎡1 3α α 3α 5α sin + − sin − ⎥ = 2 sin 4 − sin 4 4 2 4 ⎦ 2 ⎢⎣ 2 ( ) ( x ⎡1 1 7x 2x 7x ⎤ 2x 11x sin + − sin − = sin − sin ⎥ 2 6 3 6 ⎦ 3 6 2 ⎢⎣ 2 = = α 2 2x 3 ⋅ sin 3α 4 cos ⋅ sin 7x 6 cos פונקציה זוגית ואי-זוגית הגדרה פונקציה זוגית – פונקציה המקיימת ) f ( − x ) = f ( xלכל xו (−x) -בתחום הגדרתה. פונקציה אי-זוגית – פונקציה המקיימת ) f ( − x ) = −f ( xלכל xו(−x) - בתחום הגדרתה. הערה משפט לא כל פונקציה היא בהכרח זוגית או אי-זוגית. אם הפונקציה ) f (xהיא זוגית ,אזי היא סימטרית ביחס לציר ה. y - אם הפונקציה ) f (xהיא אי-זוגית ,אזי היא סימטרית ביחס לראשית הצירים. קוסינוס היא פונקציה זוגית .כלומר. cos( − x) = cos x , פונקציות סינוס ,טנגנס וקוטנגנס הן אי-זוגיות .דהיינו ,מתקיים: sin(− x) = − sin x , tan( − x) = − tan x , cot(− x) = − cot x דוגמה 1 נתונה הפונקציה . f ( x ) = sin x ⋅ cos 2x פתרון: נראה שהפונקציה ) f (xמקיימת ). f (− x) = −f (x cos ( −2x ) = cos2x מ .ש .ל . 32 הוכח כי ) f ( xהיא פונקציה אי-זוגית. sin ( − x ) = −sinx )f (− x) = −f (x ⇒ ) f ( − x ) = sin ( − x ) ⋅ cos ( −2x f (− x) = − sin x ⋅ cos 2x ⇒ © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :1מושגי יסוד וזהויות דוגמה 2 sin 2x נתונה הפונקציה tan 3x פתרון :נראה כי הפונקציה ) f (xמקיימת ). f (− x) = f (x = ).f (x − sin 2x sin 2x = − tan 3x tan 3x ⇒ מ .ש .ל . הוכח כי ) f ( xהיא פונקציה זוגית. = ) f ( −x ⇒ )f ( − x) = f (x ⇒ sin ( −2x ) = −sin2x tan ( −3x ) = −tan3x ) sin ( −2x ) tan ( −3x = ) f ( −x דוגמה 3 נתונה הפונקציה . f ( x ) = 3 − cos x ⋅ sin 2 4x פתרון: הוכח כי ) f ( xהיא פונקציה זוגית. נראה כי ) f (xמקיימת ). f (− x) = f (x sin ( −4x ) = −sin4x cos ( − x ) = cosx f ( − x ) = 3 − cos x ⋅ sin 2 4x ⇒ ⇒ ) f ( − x ) = 3 − cos ( − x ) ⋅ sin 2 ( −4x 2 ) f ( − x ) = 3 − cos x ⋅ ( − sin 4x ⇒ )f (− x) = f (x ⇒ מ .ש .ל . בתרגילים 1.50 − 1.48הוכח את הזהויות הבאות: ∗1.48 ∗1.49 ∗1.50 cos ( 270° + 4α ) + sin (180° − 8α ) − sin ( 360° − 12α ) = 4 cos 2α ⋅ cos 4α ⋅ sin 6α β 2 2 ( β − α ) = sin 2 sin α ⋅ sin ( β − α ) + sin 2 sin 7α − 2 ( cos 2α + cos 4α + cos 6α ) = 1 sin α © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 33 פרק :2משוואות טריגונומטריות הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :2משוואות טריגונומטריות מחזוריות הפונקציות הטריגונומטריות הגדרה פונקציה ) f (xנקראת מחזורית ,אם קיים מספר קבוע , T > 0כך שלכל x בתחום ההגדרה של הפונקציה ,גם x − Tוגם x + Tנמצאים בתחום ההגדרה ומתקיים . f ( x − T ) = f ( x ) = f ( x + T ) :המספר החיובי , Tהקטן ביותר המקיים את השוויון הנ"ל ,נקרא המחזור של הפונקציה. משפט הפונקציות הטריגונומטריות סינוס ,קוסינוס ,טנגנס וקוטנגנס הן פונקציות מחזוריות .המחזור של סינוס וקוסינוס הוא (360°) 2πוהמחזור של טנגנס וקוטנגנס הוא . (180°) πכלומר ,מתקיים: K = 0, ± 1, ± 2,.. cos x = cos ( x ± 2πK ) , sin x = sin ( x ± 2πK ) , ) cot x = cot ( x ± πK tan x = tan ( x ± πK ) , הערות א. ב. A ⋅ f (x) + B אם מחזורה של פונקציה ) f (xהוא , Tאזי הפונקציה ) A , Bמספרים קבועים ( A ≠ 0 ,גם היא מחזורית ,בעלת אותו מחזור . T אם הפונקציה ) f (xהיא מחזורית בעלת מחזור , Tאזי הפונקציה )f (mx + n ) m , nמספרים קבועים ( m ≠ 0 ,גם היא מחזורית ,בעלת מחזור T m . דוגמה מצא את המחזור של הפונקציות הבאות: א. ב. f (x) = 3sin x + 7 . . f (x) = 3cos x ג. . f ( x ) = tan 2x x ד. f (x) = 2 cos + 5 . 3 34 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :2משוואות טריגונומטריות פתרון: המחזור של cos xהוא . T = 2πעל-פי הערה א' ,המחזור של הפונקציה f (x) = 3cos x א. גם הוא . T = 2π ב. המחזור של sin xהוא . T = 2πעל סמך הערה א' ,מחזורה של הפונקציה f (x) = 3sin x + 7גם הוא . T = 2π ג. המחזור של tan xהוא . T = πעל-פי הערה ב' ,מחזורה של הפונקציה f (x) = tan 2x π הוא 2 = .T המחזור של cos xהוא . T = 2πלפי הערות א' וב' ,המחזור של הפונקציה 2π x . T = 1 = 6π f (x) = 2 cos + 5הוא ד. 3 3 משוואות טריגונומטריות מהצורה sinx = aאו sinx = sinα המשוואות sin x = aו sin x = sin α -הן משוואות שקולות, כאשר a = sin α ). (−1 ≤ a ≤ 1 הערה אם αזווית במעלות ,אזי פתרונות המשוואה הם: ⎡ x1 = α° + 360°K K = 0 , ± 1, ± 2 ,... ⎢ או ⎣ x 2 = 180° − α° + 360°K אם αזווית ברדיאנים ,אזי פתרונות המשוואה הם: ⎡ x1 = α + 2πK K = 0 , ± 1, ± 2 ,... ⎢ או ⎣ x 2 = π − α + 2πK ⇒ sinx = sinα° ⇒ sinx = sinα בתרגילים 2.06 − 2.01תן פתרון כללי למשוואות הבאות: 2.01 2.04 sin x = sin 52° 2.02 sin 2x = − 2.05 1 2 2π 5 π 9 sin x = sin 2.03 1 3 sin 2.06 3 2 = sin x 5 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה = sin x sin ( 3x + 15° ) = − 35 פרק :2משוואות טריגונומטריות הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 2.01 תשובות: . x 2 = 128° + 360°K , x1 = 52° + 360°K . x 2 = 35π + 2πK 2.03 . x 2 = 160.53° + 360°K , x1 = 19.47° + 360°K . x 2 = 105° + 180°K , x1 = −15° + 180°K 2.04 2.02 . x 2 = 409π + 10πK , x1 = 25π + 2πK 2.06 2.05 , x1 = 59π + 10πK . x 2 = 75° + 120°K , x1 = −25° + 120°K הפתרונות המיוחדים עבור סינוס ) ( x = πK K = 0 , ± 1, ± 2 ,... π ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ x = 2 + 2πK ⎝ ⎠ π ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ x = − 2 + 2πK ⎝ ⎠ K = 0 , ± 1, ± 2 ,... K = 0 , ± 1, ± 2 ,... x = 180°K ⇒ sinx = 0 x = 90° + 360°K ⇒ sinx = 1 x = −90° + 360°K ⇒ sinx = −1 בתרגילים 2.09 − 2.07פתור את המשוואות הבאות: 2.07 2.08 2.09 ( x − 28°) = 0 π sin ( 6x + ) = 1 2 3 sin 3 5 2sin ( x + 36° ) + 2 = 0 תשובות: . x = 42° + 270°K 2.07 2.09 36 2.08 π . x = − 60 + π3K . x = −126° + 360°K © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :2משוואות טריגונומטריות משוואות טריגונומטריות מהצורה cosx = aאו cosx = cosα המשוואות cos x = aוcos x = cos α - כאשר . (−1 ≤ a ≤ 1) a = cos α הערה הן משוואות שקולות, אם αזווית במעלות ,אזי פתרונות המשוואה הם: ⎡ x1 = α° + 360°K K = 0, ± 1, ± 2,... ⎢ או ⎣ x 2 = −α° + 360°K אם αזווית ברדיאנים ,אזי פתרונות המשוואה הם: ⎡ x1 = α + 2πK K = 0, ± 1, ± 2,... ⎢ או ⎣ x 2 = −α + 2πK ⇒ cosx = cosα° ⇒ cosx = cosα בתרגילים 2.15 − 2.10תן פתרון כללי למשוואות הבאות: 3π cos x = cos 2.11 cos x = cos 38° 2.10 10 2.13 2 2 2.15 =0 2.10 . x = ±38° + 360°K 2.11 + 2πK 2.12 . x = ±40° + 120°K 2.13 . x 2 = −6° + 72°K , x1 = 12° + 72°K 2.14 . x 2 = − 76π + 4πK , x1 = π6 + 4πK 2.15 . x 2 = −138° + 432°K , x1 = 186° + 432°K 2.12 2 cos 3x + 1 = 0 2.14 (x + π)−3 = 0 4 תשובות: 2 6 cos = ) cos ( 5x − 15° 2 6 ) − 20° + 3π 10 ( 1 5x ⋅ cos 3 6 = + 2πK , x1 3π 10 . x2 = − הפתרונות המיוחדים עבור קוסינוס K = 0 , ± 1, ± 2 ,... K = 0 , ± 1, ± 2 ,... K = 0 , ± 1, ± 2 ,... ) ( x = π + πK 2 ) ( x = 2πK ) ( x = π + 2πK x = 90° + 180°K ⇒ cosx = 0 x = 360°K ⇒ cosx = 1 x = 180° + 360°K ⇒ cosx = −1 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 37 פרק :2משוואות טריגונומטריות הגדרות ונוסחאות ,תרגילים בתרגילים 2.18 − 2.16פתור את המשואות הבאות: 2.16 ) 2.18 3 5 − 31° = 0 11x 12 ) ( cos 2.17 ( ( x + π) =1 3 2 9 cos 3 6x ⋅ cos 5 7 + 72° + = 0 °K . x = 132° + 2160 11 תשובות2.16 : 2.18 2.17 . x = − 32π + 9πK . x = 126° + 420°K משוואות טריגונומטריות מהצורה tanx = aאו tanx = tanα הערה המשוואות tan x = aו tan x = tan α -הן משוואות שקולות, כאשר a = tan α ) ∞ < . (−∞ < a אם αזווית במעלות ,אזי פתרון המשוואה הוא: x = α° + 180°K , K = 0 , ± 1, ± 2 ,... אם αזווית ברדיאנים ,אזי פתרון המשוואה הוא: x = α + πK , K = 0 , ± 1, ± 2 ,... הערה sinx היות ש- cosx ⇒ tanx = tanα° ⇒ tanx = tanα = , tanxהפונקציה tanxמוגדרת עבור . cos x ≠ 0כלומר, x ≠ 90° + 180°K ) + πK π 2 ( ≠ . xלפיכך בכל משוואה שכוללת את פונקציית הטנגנס צריך לשים לב לתחום ההגדרה של המשוואה. בתרגילים 2.22 − 2.19פתור את המשוואות הבאות: 2.19 tan x = tan63° 2.20 2.21 tan ( 5x + 41° ) = 3 2.22 38 8π 15 3 tan 4x = tan ( x + π)=2 12 3 4 6 ⋅ tan © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה פרק :2משוואות טריגונומטריות תשובות: הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 2.19 . x = 63° + 180°K 2.20 2.21 . x = 6.11° + 36°K 2.22 . x = 215π + π4K 4 πK 3 + π 9 = .x הפתרונות המיוחדים עבור טנגנס ) ( x = πK K = 0 , ± 1, ± 2 ,... ) ( x = π + πK ) ( x = − π + πK K = 0 , ± 1, ± 2 ,... 4 K = 0 , ± 1, ± 2 ,... 4 x = 180°K ⇒ tanx = 0 x = 45° + 180°K ⇒ tanx = 1 x = −45° + 180°K ⇒ tanx = −1 בתרגילים 2.25 − 2.23פתור את המשוואות הבאות: 2.23 )=0 2.25 ( x + 18°) + 1 = 0 2π 3 ( tan 4x + 9 8 תשובות: 2.23 2.24 ( x − 25°) = 1 5 8 tan tan . x = − π6 + π4K 2.24 . x = 112° + 288°K . x = −56° + 160°K 2.25 פתרון משוואות טריגונומטריות בתחום נתון כדי למצוא את הפתרונות בתחום הנתון ,צריך למצוא את הפתרון הכללי של המשוואה הטריגונומטרית ולהציב מספר ערכים שלמים במקום . ( K = 0 , ± 1, ± 2 ,...) K מבין הפתרונות המתקבלים יש לבחור את אלה שנמצאים בתחום הנתון. דוגמה פתור את המשוואה tan ( 4x + 20° ) = 3 בתחום . −90° < x < 90° © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 39 הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פתרון: פרק :2משוואות טריגונומטריות ידוע כי , 3 = tan 60°לכן מתקיים: נמצא את הפתרון הכללי של המשוואה. 4x + 20° = 60° + 180°K ⇒ K = 0, ± 1, ± 2,... x = 10° + 45°K , tan ( 4x + 20° ) = tan 60° ⇒ 4x = 40° + 180°K : 4 ⇒ נמצא את הפתרונות בתחום . −90° < x < 90°נציב בפתרון הכללי ⇒ ) ( x = 10° + 45°K מספר ערכים שלמים במקום . K אינו שייך לתחום x = − 125° ⇒ )x = 10° + 45° ⋅ ( −3 K = −3 : x = −80° ⇒ ) x = 10° + 45° ⋅ ( −2 K = −2 : x = −35° ⇒ )x = 10° + 45° ⋅ ( −1 K = −1 : x = 10° ⇒ x = 10° + 45° ⋅ 0 K=0 : x = 55° ⇒ x = 10° + 45° ⋅1 K =1 : x = 10° + 45° ⋅ 2 K=2: ⇒ אינו שייך לתחום x = 100° על מנת לפשט את תהליך הפתרון ניתן להשתמש בטבלה הבאה: 2 1 0 −1 −2 −3 K 100° 55° 10° −35° −80° −125° x = 10° + 45°K קבוצת הפתרונות של המשוואה השייכים לתחום −90° < x < 90°היא: }x = {−80° , − 35° , 10° , 55° בתרגילים 2.31 − 2.26פתור את המשוואות הבאות ומצא את הפתרונות בתחום הרשום משמאל למשוואה. 2.26 tan ( 6x + 150° ) = tan x 2.27 2 ⋅ cos 4x = 1 2.28 2π 3 2.29 2.30 2.31 40 . 0° ≤ x ≤ 360° ( ) = cos 2x 2sin ( + 18° ) − 2 = 0 ) sin ( 3x + ) = sin ( − x cos 4x − 9x 2 π 6 . 90° < x < 270° π 3 cos 4x − sin x = 0 . −π ≤ x ≤ π . 0° ≤ x ≤ 360° 3π 2 π ≤ .− 2 ≤ x . −π ≤ x ≤ π © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :2משוואות טריגונומטריות }222°, 258° תשובות2.26 : . x = {114°, 150°, 186°, }. x = {15°, 75°,105°,165°,195°, 255°, 285°, 345° 2.27 2.28 } 2.29 }. x = {6°, 26°, 86°,106°,166°,186°, 246°, 266°, 326°, 346° 2.30 π π − 7π , 10 } } 2.31 2π π π 4π 7 π , , , , 9 9 3 9 9 − 11π 23π 5 π 35 π , , , 24 24 4 24 π π 9π , , 10 2 10 π 6 − , 5π , 9 − 2π , 3 − 8π , 9 { .x = − { . x = − 24 , 4 , 3π , 10 − 5π , 6 { .x = − משוואות טריגונומטרית שונות משוואות בהן מופיע ריבוע של פונקציה טריגונומטרית בתרגילים 2.35 − 2.32פתור את המשוואות הבאות: 2.32 tan 2 x = 3 2.33 2.34 2 cos 2 2x = 1 2.35 תשובות2.32 : 2 2.33 . x 2 = −60° + 180°K , x1 = 60° + 180°K . x 2 = −30° + 120°K 2.35 sin 2 3x = 1 3x 4 sin 2 =3 2.34 ± 22.5° + 180° K = xאו }40° + 240° K , 80° + 240°K , 160° + 240° K , x1 = 30° + 120°K ± 67.5° + 180° K =.x . x = {−40° + 240°K , משוואות עם פירוק לגורמים בתרגילים 2.40 − 2.36פתור את המשוואות הבאות: 2.36 2.38 2.40 )=0 π 6 ( sin x ⋅ tan x + 2 cos 2 x + 3 cos x = 0 ) (1 + 2 sin 2x ) ⋅ (1 − 2.37 2 cos 5x = 0 2.39 5 tan 2 3x − 2 tan 3x = 0 3sin 2 4x = 2sin 4x © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 41 הגדרות ונוסחאות ,תרגילים תשובות: פרק :2משוואות טריגונומטריות { 2.36 } 2.37 }± 9° + 72° K , 105° + 180° K . x = πK , − π6 + πK . x = {−15° + 180°K , . x = {90° + 180°K 2.38 }, ± 150° + 360° K 2.39 }x = {60°K , 7.27° + 60°K 2.40 }x = {45°K , 10.45° + 90°K , 34.55° + 90° K משוואות הכוללות משוואה ריבועית בתרגילים 2.44 − 2.41פתור את המשוואות הבאות: 2.41 2.43 3 tan 2 x + 2 tan x − 1 = 0 2 tan x − 12 cot x − 5 = 0 תשובות: 2.41 2.42 2.43 2.44 2.42 2.44 }18.43° + 180° K }360° K 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0 4sin 2x − 8sin 2x + 3 = 0 2 . x = {−45° + 180°K , . x = {±120° + 360°K , }75.96° + 180° K }75° + 180° K . x = {−56.31° + 180°K , . x = {15° + 180°K , משוואות הומוגניות ממעלה ראשונה )(a ⋅ sinmx + b ⋅ cosmx = 0 בתרגילים 2.47 − 2.45פתור את המשוואות הבאות: 2.45 2.47 sin x + 3 cos x = 0 x π x π =0 3 sin + − cos + ) 4 תשובות: 42 2 ) ( 4 2 ( 2.45 . x = −60° + 180°K 2.47 . x = − π6 + 2πK 2.46 2.46 3sin 2x − 4 cos 2x = 0 . x = 26.565° + 90°K © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :2משוואות טריגונומטריות משוואות הומוגניות ממעלה שנייה ) ( a ⋅ sin 2mx + b ⋅ sinmx ⋅ cosmx + c ⋅ cos2mx = 0 בתרגילים 2.50 − 2.48פתור את המשוואות הבאות: sin 2 x + sin x ⋅ cos x − 2 cos 2 x = 0 2.48 4sin 2x − 7 sin 2x ⋅ cos 2x − 2 cos 2x = 0 2.49 6sin 2 x + 13sin x ⋅ cos x + 7 cos 2 x = 1 2.50 2 2 }45° + 180° K . x = {−63.43° + 180°K , 2.48 . x = {−7° + 90°K , 31.72° + 90°K} 2.49 . x = {−63.43° + 180°K , − 30.96° + 180°K} 2.50 תשובות: תרגילים לסיכום הפרק בתרגילים 2.61 − 2.51פתור את המשוואות הבאות: 2.52 cos 2x − 3cos x + 2 = 0 2.54 sin 2x + 3 cos x = 0 2.56 cos 2 3x − sin 2 3x + cos 2x = 0 cos 4 3x − sin 4 3x = sin 5x 2.51 2 cos 2 x + 5sin x + 1 = 0 6 = 25 tan x − 8 cos 2 x 2.55 =0 3x 2 2.57 2 tan x + 2 cot 2x = 3 1 − tan 2 x 2.58 2.59 cos 2 5x + sin 2 2x = 1 2.60 2.53 ∗2.61 3x 2 cos sin 7x − 2 sin =0 x 2 3 − cos x + 5sin 1 2 sin 4 x + cos 4 x = sin 2x }, 210° + 360° K . x = {−30° + 360°K תשובות2.51 : . x = {33.69° + 180°K , 74.05° + 180°K} 2.53 . x = {±60° + 360°K , 360°K} 2.52 . x = {90°K , 18° + 36°K} 2.55 . x = {90° + 180°K , − 60° + 360°K , 240° + 360°K} 2.54 . x = {22.5° + 90°K , 31.72° + 90°K} 2.57 . x = {22.5° + 45°K , − 45° + 90°K} 2.56 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 43 פרק :2משוואות טריגונומטריות הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 2.58 , − 90° + 360°K } 2.60 }, 420° + 720° K = .x 2.59 } . x = {−60° + 720°K 2.61 . x = 45° + 180°K 360° K 11 + 90° 11 { 180° K 7 K, {60° = .x בתרגילים 2.64 − 2.62פתור את המשוואות הבאות: 2.62 sin 2x =0 1 + cos 2x 2.62 תשובות: cos 2x =0 1 + tan x 2.63 2.63 . x = 180°K ) ∗− 1 = 0 2.64 . x = 45° + 180°K 2.64 x 2 ( tan x ⋅ tan . x = 360°K בתרגילים 2.72 − 2.65פתור את המשוואות הבאות: 2.65 2.67 cos 3x + cos 2x + cos x = 0 x 2 cos 2x − cos x = sin 2.66 sin 7x + sin x = − 3 sin 4x 2.68 sin 4x + sin 2x = cos 5x − cos x 2.69 sin 2 x + sin 2 2x = cos 2 3x + cos 2 4x 2.70 ) sin ( 3x + 60° ) + sin ( 3x − 60° ) = tan ( x + 10° ) cos ( 3x + 60° ) + cos ( 3x − 60° 2.71 2.72 cos 3x + 2 cos x = 0 sin 9x − 2 sin 3x = 0 2.65 תשובות: }± 120° + 360° K . x = {45° + 90°K , }. x = {45°K , ± 50° + 120°K 2.67 }− 20° + 240° K , 140° + 240° K . x = {360°K , 2.66 . x = {45° + 90°K , 18° + 36°K} 2.69 . x = {60°K , − 90° + 360°K , − 30° + 120°K} 2.68 . x = {90° + 180°K , ± 60° + 180°K} 2.71 . x = 5° + 90°K 2.70 . x = {60°K , ± 10° + 60°K} 2.72 בתרגילים 2.77 − 2.73פתור את המשוואות הבאות: 2.73 44 ) π 9 ( = sin x − 5π 9 + cos 5x ⋅ sin 5π 9 sin 5x ⋅ cos © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :2משוואות טריגונומטריות 2.74 ) 2.75 sin 2x + 3 cos 2x = 1 π 6 ( cos 7x ⋅ cos x − sin 7x ⋅ sin x = cos 2x − x 2.76 = 2 2.77 4 sin x − cos x = 2 2 תשובות: 2.75 2.77 − cos x 3 sin 2 } 2.73 πK 3 + 5π 54 { . x = − π6 + π2K , }. x = {−15° + 180°K , 45° + 180°K 2.74 } πK 5 + π 60 { π πK . x = − 36 + , 3 }. x = {150° + 720°K , 330° + 720°K 2.76 }. x = {43° + 360°K , 165° + 360°K בתרגילים 2.81 − 2.78פתור את המשוואות הבאות: ∗2.78 ∗2.79 ∗2.80 ∗2.81 cos 8x ⋅ cos 4x − cos x ⋅ cos 3x = 0 sin 6x ⋅ sin 2x = cos 3x ⋅ cos x ) ) ⋅ cos ( 2x − π ) = − sin (6x − π ) ⋅ sin ( x − π 4 4 4 π 4 ( sin 5x + 8sin x ⋅ sin ( x + 60° ) ⋅ sin ( x − 60° ) = −1 תשובות: 2.78 2.80 } { ° . x = 36°K , 180 K 7 }. x = {22.5° + 45°K , 90° + 180°K . x = {18° + 36°K , 30° + 60°K } 2.79 . x = {10° + 120°K , 50° + 120°K} 2.81 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 45 פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור בעיות טריגונומטריות במשולש ישר-זווית בפרק 1הגדרנו פונקציות טריגונומטריות לגבי זווית חדה במשולש ישר-זווית. b הניצב מול הזווית = c היתר a הניצב ליד הזווית = c היתר = sinβ = cosβ b הניצב מול הזווית = a הניצב ליד הזווית a הניצב מול הזווית = c היתר = sinα b הניצב ליד הזווית = c היתר = cosα נשתמש בהגדרות הנ"ל לפתרון בעיות גיאומטריות במישור. במשולש ישר-זווית. 5.88ס"מ = BC = 10 ⋅ sin 36° ⇒ = tanα B a פתרון :במשולש ישר-זווית ABCנתונים אורך היתר וגודל הזווית החדה BC .הוא הניצב שמול הזווית הנתונה. נשתמש בהגדרה של פונקציית הסינוס ונחשב את אורכו של : BC BC 10 C b a A נביא דוגמה לחישובים דוגמה במשולש ישר-זווית ABCשבו , )C = 90° 10 , )A = 36°ס"מ = , ABמצא את אורכי הניצבים BCו. AC - = sin 36° c a a הניצב מול הזווית = b הניצב ליד הזווית = tanβ B b ⇒ C 10 b a הניצב מול הזווית = היתר c 36 A = sinα הניצב השני ACהוא הניצב שליד הזווית הנתונה .נשתמש בהגדרה של פונקציית הקוסינוס ונחשב את אורכו של : AC 8.09ס"מ = AC = 10 ⋅ cos 36° 46 ⇒ AC 10 = ⇒ cos 36° הניצב ליד הזווית b = c היתר = cosα © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור 3.01 B במשולש ישר-זווית , ()C = 90°) ABC נתון 7 :ס"מ = . )B = 71° , AB חשב את ACואת . BCמצא את שטח המשולש . ABC תשובה 6.62 :ס"מ 2.28 ,ס"מ 7.547 ,סמ"ר. 7 A 3.02 C C במשולש ישר-זווית ()C = 90°) ABC נתון 4 :ס"מ = . )A = 19° , BC חשב את אורכי הצלעות AB , ACומצא את . )B תשובה 11.62 :ס"מ 12.29 ,ס"מ. 71° , 71 4 19 B A 3.03 במשולש ישר-זווית ,אחד מהניצבים גדול ב 5 -ס"מ מהניצב השני .אחת מהזוויות החדות היא בת . 31°חשב את ניצבי המשולש. תשובה 7.5 :ס"מ 12.5 ,ס"מ. 3.04 במשולש ישר-זווית , ()C = 90°) ABCנתון 8 :ס"מ = 5 , ABס"מ = . AC חשב את הזוויות החדות של המשולש ומצא את שטחו. תשובה 15.61 , 38.68° , 51.32° :סמ"ר. 3.05 המשולש ABCהוא ישר-זווית ) AD , ()C = 90°הוא התיכון לניצב . BCנתון 13 :ס"מ = )B = 32° , AB א .חשב את הזווית . ADC ב .חשב את אורך התיכון . AD תשובה :א . 51.35° .ב 8.82 .ס"מ. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה A 13 B 32 D C 47 פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 3.06 A במשולש ישר-זווית CE , ()C = 90°) ABCהוא הגובה ליתר . ABנתון 9.4 :ס"מ = . )BCE = 35° , AB א .חשב את אורך הניצב . AC ב .מצא את שטח המשולש . AEC ב 13.945 .ס"מ תשובה :א 7.7 .ס"מ. 9.4 E 35 C 3.07 A במשולש ישר-זווית , ()C = 90°) ABC AEהוא חוצה הזווית . )BAC נתון 11.6 :ס"מ = 7.4 , ABס"מ = . BC א .חשב את . AE ב .מצא את שטח המשולש . ABE ב 18.66 .סמ"ר. תשובה :א 9.49 .ס"מ. B 3.08 E C B במשולש ישר-זווית , ()C = 90°) ABC ADהוא חוצה הזווית )BAC B 5 ) . ()A1 = )A 2 D נתון 5 :ס"מ = 4 , BDס"מ = . CD א .חשב את הזווית . )B ב .חשב את . AD תשובה: א . 53.13° .ב 12.65 .ס"מ. 4 2 1 C A 3.09 ABCהוא משולש ישר-זווית ), ()C = 90° הקטע BEהוא חוצה הזווית ABC ) . ()B1 = )B2 CDהוא הגובה ליתר . ABהקטעים נפגשים בנקודה . O נתון 2.43 :ס"מ = 3 , BDס"מ = . OB חשב את אורך הקטע . OE תשובה 6.6 :ס"מ. 48 C E B 1 O 2 D A © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור 3.10 במשולש ישר-זווית BD , ()C = 90°) ABCהוא התיכון B לניצב , ACו BE -הוא חוצה הזווית . ()B1 = )B2 ) ABC נתון 5 :ס"מ = 8.5 , BCס"מ = . AB א .חשב את הזווית . EBD ב .חשב את שטח המשולש . EBD תשובה :א . 7.54° .ב 2.23 .סמ"ר. 12 8.5 A 3.11 במשולש ישר-זווית ()C = 90°) ABCהעבירו קטע . AE נתון. tan α = 2 tan β , )EAC = β , )BAC = α : הוכח כי . BE = EC 5 D C E A a b C B E חישובים במשולש שווה-שוקיים 3.12 במשולש שווה-שוקיים , ABCנתון 7 , )BAC = 48° :ס"מ = . AB = AC א .חשב את הגובה לבסיס . BC ב .חשב את שטח המשולש . ABC ב 18.21 .סמ"ר. תשובה :א 6.39 .ס"מ. 3.13 במשולש שווה-שוקיים ABC A ), (AB = AC AEהוא הגובה לבסיס . BC נתון 6.2 :ס"מ = 4.6 , ABס"מ = AE א .חשב את זוויות המשולש . ABC ב .חשב את שטח המשולש . ABC תשובה :א. 47.9° , 47.9° ,84.2° . 6.2 ב 19.14 .סמ"ר. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה C 4.6 E 6.2 B 49 פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 3.14 חשב את הזוויות של משולש שווה-שוקיים שבו חוצה זווית הראש שווה באורכו לבסיס. תשובה. 63.43° , 63.43° ,53.14° : 3.15 +ABCהוא משולש שווה-שוקיים ) AD . (AB = ACהוא תיכון לבסיס BE , BCהוא גובה לשוק ACוהם נפגשים בנקודה . O נתון 4 :ס"מ = . )EBC = 28° , EC חשב את אורך הקטע . AO תשובה 5.74 :ס"מ. 4 28 3.16 A במשולש שווה-שוקיים AD , (AB = AC) ABCהוא חוצה 12 זווית הראש ) CE , ()A1 = )A 2הוא התיכון לשוק . ABהקטעים נפגשים בנקודה . Oנתון 9 :ס"מ = 6.3 , ADס"מ = . CE חשב את גודל הזווית . AEC תשובה. 117.49° : O C E B D 3.17 במשולש שווה-שוקיים ,אורך השוק שווה ל a -וזווית הבסיס היא . βהבע את היקף המשולש ואת שטחו באמצעות aו. β - תשובה; P = 2a (1 + cos β ) : 1 . S = 2 a 2 sin 2β חישובים במרובעים B 3.18 במלבן ABCDנתון 14 :ס"מ = . )DOC = 124° , AC חשב את צלעותיו של המלבן. תשובה 6.57 :ס"מ 12.36 ,ס"מ. 50 C O 124 A D © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור 3.19 A B בריבוע ABCDהקטע BFחותך את האלכסון AC 1 בנקודה . Eנתון. CF = 2 DF : E חשב את זוויות המשולש . ABE תשובה. 63.43° , 71.57° , 45° : C D F 3.20 האלכסון הקטן במעוין הוא 7.2ס"מ והזווית הקהה היא . 136° א .מצא את האלכסון הגדול של המעוין. ב .מצא את גובה המעוין. ב 6.68 .ס"מ. תשובה :א 17.82 .ס"מ. 3.21 בטרפז ישר-זווית , )D = 90° ) ABCD B ( AB & CD נתון. )ABC = 116° , AB = AD = a : הבע את היקף הטרפז באמצעות . a תשובה. P = 4.6a : 11 6 a C 3.22 3.23 בטרפז ישר-זווית (AB & CD , )B = )C = 90°) ABCD D A B במלבן ABCDנתון. )BDC = α , AE ⊥ BD : S+ ABE 1 = cos 2 α הוכח כי: SABCD 2 AE 3 = נתון, AD = a , CE ⊥ AD : DE 7 הבע את בסיסי הטרפז באמצעות . a תשובה. 0.97a , 0.25a : a A E C B . )ACE = 24° , a A E D a C D © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 51 פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור הגדרות ונוסחאות ,תרגילים שטח משולש על-פי שתי צלעות וזווית שביניהן A שטח משולש שווה למחצית מכפלת שתיים מצלעותיו בסינוס הזווית הכלואה ביניהן. b 1 2 S+ = ⋅ a ⋅ b ⋅ sinγ C g a דוגמה במשולש ABCנתון 3.2 :ס"מ = 5.6 , ABס"מ = , BC . )B = 54°חשב את שטח המשולש. פתרון: ⇒ A 3.2 שטח המשולש הוא: 1 2 S+ ABC = ⋅ AB ⋅ BC ⋅ sin )B 7.25סמ"ר = S+ ABC 54 C ⇒ ⇒ B 5.6 B 1 2 S+= ⋅ a ⋅ b ⋅ sinγ 1 2 S+ ABC = ⋅ 3.2 ⋅ 5.6 ⋅ sin 54° ⇒ 3.24 במשולש +ABCנתון 7 :ס"מ = 4.3 , ABס"מ = , AC . )A = 112°חשב את שטח המשולש. תשובה 13.95 :סמ"ר. A 4.3 112 C 7 B 3.25 שטחו של משולש הוא 18.7סמ"ר .שתי הצלעות שלו הן 7.2ס"מ ו 5.8 -ס"מ. חשב את שני הערכים האפשריים לזווית שבין שתי הצלעות הנ"ל. 63.58°או . 116.42° תשובה: 52 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי-זווית 3.26 מחומש משוכלל חסום במעגל שרדיוסו 4ס"מ. א .חשב את שטח המחומש. ב .חשב את היקף המחומש. ב 23.5 .ס"מ . תשובה :א 38.05 .סמ"ר. 3.27 במשושה משוכלל חסום מעגל שרדיוסו 5.2ס"מ .חשב את שטחו של המשושה. תשובה 93.6 :סמ"ר. 3.28 מתומן משוכלל )מתומן -מצולע בעל 8צלעות( חסום במעגל .היקפו של המתומן הוא 32ס"מ. א .חשב את שטח המעגל. ב .חשב את שטח המתומן. ב 77.36 .סמ"ר. תשובה :א 27.35π .סמ"ר. ∗3.29 מצולע משוכלל בעל 2nצלעות ) , n ≥ 2מספר טבעי( שאורך צלעו הוא , aחוסם מעגל שרדיוסו rוחסום במעגל שרדיוסו . R א .הבע את rו R -באמצעות aו. n - ב .הוכח כי היחס בין שטח המעגל החסום במצולע הנ"ל לבין שטח המעגל החוסם את המצולע ,הוא תשובה: א. )(n 90° . cos 2 a )(n 90° 2 tan =; r a )(n 90° 2 sin = .R © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 53 פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור הגדרות ונוסחאות ,תרגילים משפט הסינוסים משפט בכל משולש קיים יחס קבוע בין כל צלע לסינוס הזווית מולה .יחס זה שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם את המשולש ,דהיינו: R a b c = = = 2R sinα sinβ sinγ Rהוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש . ABC b C דוגמה רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABCהוא 5ס"מ = . R נתון. )B = 55° , )A = 83° : מצא את אורכי הצלעות של המשולש ABC O g c B b a A 83 5 C פתרון: A a O 55 B נמצא את הזווית Cבמשולש . ABC )C = 180° − ( 83° + 55° ) = 42° ⇒ )A + )B + )C = 180° בהסתמך על משפט הסינוסים ,נמצא את אורכי הצלעות של המשולש : ABC AB = 2R ⋅ sin )C = 2 ⋅ 5 ⋅ sin 42° ⇒ 6.69ס"מ = AB ⇒ 8.19ס"מ = AC ⇒ AC = 2R ⋅ sin )B = 2 ⋅ 5 ⋅ sin 55° ⇒ 9.93ס"מ = BC ⇒ BC = 2R ⋅ sin )A = 2 ⋅ 5 ⋅ sin 83° ⇒ 3.30 במשולש ABCנתון 8 , )C = 63° , )B = 39° :ס"מ = . BC חשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABC וחשב את אורכי הצלעות ABו. AC - תשובה 4.09 :ס"מ = 7.29 , Rס"מ = 5.15 , ABס"מ = . AC 54 AB = 2R sin )C AC = 2R sin )B BC = 2R sin )A A C 63 8 39 B © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור 3.31 במשולש ABCנתון 4 :ס"מ = 10 , ABס"מ = . )B = 129° , AC חשב את הזוויות הנותרות ,ואת שטחו של המשולש. תשובה 10.86 , 32.88° , 18.12° :סמ"ר. A 10 4 129 C B 3.32 שתי צלעות של משולש הן 4.8ס"מ = 6.4 , aס"מ = . bרדיוס המעגל החוסם את המשולש הוא 4.2ס"מ = . Rחשב את זוויות המשולש. תשובה 34.82° , 130.36° , 14.82° :או 34.82° , 49.64° , 95.54° 3.33 במשולש ABCנתון. )ACB = 32° , )ABC = 76° : BEהוא חוצה הזווית )ABCואורכו 11ס"מ. חשב את אורכי הצלעות ABו. BC - תשובה 10.87 :ס"מ = 19.51 , ABס"מ = . BC A E 11 32 C B 3.34 במשולש שווה-שוקיים CD , (AB = AC) ABCחוצה הזווית . )ACBנתון )BAC = 42° :ורדיוס המעגל החוסם את המשולש הוא 6.5ס"מ = . R א .חשב את אורכו של . CD ב .חשב את שטח המשולש . ACD ב 28.71 .סמ"ר. תשובה :א 8.35 .ס"מ. 42 3.35 בטרפז שווה-שוקיים B ( AB & CD ) ABCD נתון 14 :ס"מ = . )C1 = 45° , )ADC = 65° , CD חשב את היקף הטרפז. תשובה 40.15 :ס"מ. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה C 1 A 65 14 D 55 פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור הגדרות ונוסחאות ,תרגילים ∗3.36 A במשולש ABCנתון 4 :ס"מ = 6 , ABס"מ = , AC . )B = 2)Cחשב את אורך הצלע . BC תשובה 5 :ס"מ. 6 4 C B 3.37 B BDהוא התיכון לצלע ACבמשולש . ABC נתון 4.2 :ס"מ = . )B 2 = 18° , )B1 = 50° , BD 1 2 4.2 C חשב את שטח המשולש . ABC תשובה 9 :סמ"ר. A D 3.38 בטרפז (AB & CD) ABCDנתון 5 :ס"מ = , AD 4ס"מ = 7.2 , ABס"מ = . )C = 36° , BC חשב את גודל הזווית , )Dואת אורך הבסיס . CD תשובה 12.48 , )D = 57.89° :ס"מ = . CD B 4 A 7.2 5 36 C D 3.39 C CEהוא חוצה הזווית הישרה במשולש ישר-זווית ABC ) . ()C = 90°נתון. AC = b , )A = α : b הבע את CEואת BEבאמצעות bו. α - תשובה: b ⋅ sin α ) sin (135° − α = ; CE 2 ⋅ b ⋅ tan α ) 2sin (135° − α = . BE B E a A ∗3.40 במשולש שווה-שוקיים (AB = AC) ABCנתון. )B = β : הוכח את הזהות . sin 2β = 2 sin β ⋅ cos β 56 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור 3.41 נתון מעגל שמרכזו Oורדיוסו . rהמשיק למעגל בנקודה C חותך את המשכו של הרדיוס OBבנקודה . A נתון . ( α < 45° ) )ACB = α א .הבע את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABC באמצעות rו. α - ב .הבע את שטחו של המשולש ABCבאמצעות rו. α - r tan 2α ב. r 2 tan 2α sin 2 α . . א. תשובה: A B O r r a C 2 cos α ∗∗3.42 A המשולש שווה-צלעות ABCחסום במעגל שרדיוסו . R Eהיא נקודה על המעגל .נתון. )ACE = γ : הוכח. AE + BE = CE : E g C B משפט הקוסינוסים משפט ריבוע צלע במשולש שווה לסכום ריבועי שתי הצלעות האחרות פחות פעמיים מכפלתן בקוסינוס הזווית הכלואה ביניהן, דהיינו: A b C c g a c 2 = a 2 + b 2 − 2abcosγ מהמשפט נובע כי: a2 + b 2 − c2 2ab © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה B = cosγ 57 פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור הגדרות ונוסחאות ,תרגילים A דוגמה במשולש ABCנתון 4 :ס"מ = 6 , ACס"מ = , BC . )C = 34°חשב את אורך הצלע . AB פתרון: 4 C 34 B 6 נשתמש במשפט הקוסינוסים ונחשב את : AB ⇒ AB2 = AC2 + BC2 − 2AC ⋅ BC ⋅ cos )C 3.49ס"מ = AB ⇒ ⇒ c 2 = a 2 + b 2 − 2abcosγ ⇒ AB2 = 42 + 62 − 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ cos 34° = 12.21 3.43 במשולש ABCנתון 3.2 :ס"מ = 5.1 , ABס"מ = . )B = 116° , BC חשב את אורך הצלע . AC תשובה 7.11 :ס"מ. 3.44 A במשולש ABCנתון 6 :ס"מ = 4.5 , ABס"מ = , AC 7ס"מ = . BCחשב את זוויות המשולש. תשובה. 58.13° , 39.57° , 82.3° : 3.45 במקבילית ABCDנתון 5 :ס"מ = , AD 8ס"מ = . )ADC = 70° , CD חשב את אורכי האלכסונים ACו BD -של המקבילית. תשובה 7.85 :ס"מ = 10.79 , ACס"מ = . BD 6 4.5 C B 7 A B 5 C 8 70 D 3.46 במשולש ABCנתון 3.6 :ס"מ = 4.8 , ABס"מ = 5.7 , ACס"מ = . BC חשב את שטח המשולש . ABC תשובה 8.6 :סמ"ר. 58 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור 3.47 במקבילית ABCDנתון 4 :ס"מ = , AB 6.5ס"מ = 8 , BCס"מ = . AC א .חשב את גודל הזווית . BAD ב .חשב את אורך האלכסון . BD תשובה :א . 83.65° .ב 7.2 .ס"מ. הגדרות ונוסחאות ,תרגילים C B 6.5 8 4 A D 3.48 בתוך משולש ABCחסום מעגל המשיק לצלעות , AB ACו BC -בנקודות E , Dו F -בהתאמה. נתון 3 :ס"מ = 4 , AEס"מ = . )A = 82° , CE חשב את אורכי הצלעות ABו. BC - תשובה 12.15 :ס"מ = 13.15 , ABס"מ = . BC A 3 D E 4 B C F 3.49 A המרובע ABCDחסום במעגל .נתון 14 :ס"מ = , AB 9ס"מ = 8 , BCס"מ = 12 , CDס"מ = . AD חשב את שטח המרובע . ABCD תשובה 109.62 :סמ"ר. D 12 8 14 C 9 B ∗3.50 A B בטרפז שווה-שוקיים (AB & CD) ABCDהאלכסון BD 2 שאורכו 8 2ס"מ יוצר זווית בת 45°עם הבסיס הגדול . CD אורך הבסיס ABקטן ב 8 -ס"מ מכל שוק של הטרפז. חשב את אורך הבסיס . CD תשובה 14 :ס"מ = . CD C 45 3.51 C B במקבילית ABCDנתון, AB = b , AD = a : . AC = d 2 , BD = d1 הוכח כי: ) . d12 + d 2 2 = 2(a 2 + b 2 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה d2 D 8 D b d1 a A 59 פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור הגדרות ונוסחאות ,תרגילים ∗3.52 BE , ADו CF -הם שלושת התיכונים במשולש ABC לצלעות AC , BCו AB -בהתאמה .התיכונים נפגשים בנקודה . Oנתון. CF = m c , BE = m b , AD = m a : הוכח: 2m b 2 + 2m c 2 − m a 2 2 3 = . BC )הדרכה :היעזר בתוצאה של תרגיל קודם( ∗3.53 B בטרפז שווה-שוקיים (AB & CD) ABCD m A p נתון כי . AD = BC = p , CD = n , AB = m הבע את אורך אלכסון הטרפז באמצעות n , mו. p - p C תשובה. p 2 + nm : D n ∗3.54 במשולש ABCנתון. (t > 0) AC = ta , AB = 1.5a , BC = a : עבור אילו ערכי , tהמשולש ABCיהיה קהה זווית? תשובה: 13 2 > tאו 5 2 < .0 < t ∗3.55 B במעוין ABCDהנקודה Eנמצאת על הצלע . CD A 1 נתון. )AEB = γ , )ADC = β , CE = 3 CD : א. ב. הבע את cos γבאמצעות . β מצא את הזווית , γכאשר . β = 60° תשובה: 60 א. 7 − 3cos β ) (13 − 12 cos β )(10 + 6 cos β g C . E b D ב. 54.79° . © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור תרגילים לסיכום הפרק 3.56 C B , Aו C -הן נקודות על מעגל שמרכז AB . OוOC - נחתכים בנקודה ) Eראה ציור(. S נתון. + BOE = 5 , )OAC = )BOC : S+ ACE 9 חשב את . )AEO תשובה. 71.82° : E A O 3.57 C במשולש BE , ABCחוצה את הזווית . ABC נתון. )AEB = γ , )ABC = β , AC = b : א .הבע את BEבאמצעות β , bו. γ - ב. B E נתון. β = 2 γ , AE = EC : 3 הבע את BEבאמצעות . b ) ( β2 ) ⋅ sin ( γ + β2 B b ⋅ sin γ − תשובה: א. sin β ⋅ sin γ A .ב. b 3 . 2 3.58 בטרפז שווה-שוקיים ( AB & CD ) ABCDחסום מעגל שרדיוסו . Rקטע האמצעים MNמחלק את ABCD לשני טרפזים ABNMו) MNCD -ראה ציור(. נתון. ( 90° < α < 180° ) )BAD = α : א .הבע את שטחי הטרפזים ABNMוMNCD - באמצעות Rו. α - ב. SABNM 2 נתון: = SMNCD 3 תשובה :א= R 2 ⋅ 2 + cos α . sin α B N C .חשב את . α ) ( , SABNM A ) M D ( . SMNCD = R 2 ⋅ 2 − cos αב. 113.58° . sin α © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 61 פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 3.59 בטרפז ישר-זווית , ( )C = 90° , AD & BC ) ABCD DEחוצה את הזווית ) ADBראה ציור(. נתון. (α > 45°) )A = α , DE = m , AD = BD : א .הראה כי שטח הטרפז שווה ל. m 2 sin 2α - C E S+ ABD 5 נתון= : SABCD 8 תשובה :ב. 63.43° . .חשב את . α ב. B a D A 3.60 נתון מעגל שקוטרו AB . BCהוא מיתר במעגל זה. המשיק למעגל בנקודה Aחותך את המשך הקוטר BC בנקודה . Eנתון. ( 0° < β < 45° ) )B = β , CE = m : א. m cos β ) . (iהראה כי רדיוס המעגל שווה ל- 1 − cos 2β ) . (iiחשב את βשעבורה רדיוס המעגל שווה ל. m - . m 2 cos 2β ב .הראה כי שטח המשולש ABEהוא: 2 tan 3 β תשובה :א. β = 30° . (ii ) . A E b B C . 3.61 מרובע ABCDחסום במעגל שמרכז Oכך ש AD -הוא קוטר במעגל )ראה ציור( .נתון)ADC = γ , )BAD = α , CD = a : הראה כי היקף המרובע ABCDהוא: ⎤ a ⋅ ⎡1 + cos α + cos γ − cos α + γ ( ⎦) ⎣ cos γ A B O C D 3.62 במשולש שווה-צלעות ABCחסום משולש שווה-צלעות DEF )ראה ציור( .נתון. )AEF = α : 1 = . EF א .הוכח כי ) AB 2 cos ( 60° − α ב .נתון. EF = 1 : AB 2 ) . (iחשב את . α ) . (iiמה התכונה ההנדסית של הנקודות , E , DוF - עבור התוצאה שקיבלת ב. (i) - תשובה :ב . (ii) . 60° (i) .אמצעי הצלעות. 62 B D F C E A © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור 3.63 מרובע ABCDחסום במעגל ,כך שהצלעות ADוBC - נמצאות על ישרים הניצבים זה לזה )ראה ציור(. נתון. )DAC = β , )BAC = α , AD = m : א .הבע את האלכסונים BDו AC -באמצעות α , mו. β - B הראה כי ) . BD = tan ( α + β ב. תשובה: AC ) m sin ( α + β = , BD א. ) cos ( α + 2β ) m cos ( α + β ) cos ( α + 2β C b = . AC a A D 3.64 A במשולש ישר-זווית ( )ACB = 90° ) ABCנתון: ) MN & AB , )NAC = )B = βראה ציור(. א. ב. S+ ANM S+ NAC = הראה כי= tan 2 β : S+ BAN S+ ABC S נתון כי . + MCN = 1חשב את . β S+ ANM 2 תשובה :ב. 30° . b . M b B N 3.65 A במשולש שווה-שוקיים AD , (AB = AC) ABCהוא גובה לבסיס CF . BCחותך את ADבנקודה ) Eראה ציור(. נתון. )FCB = γ , )ABC = β , BC = 2a : א. ב. ג. הבע את היחס EDבאמצעות βו. γ - AD הבע את ABו FB -באמצעות β , aו. γ - נתון . ED = 2 :הראה כי ) FB = 4היעזר בסעיפים AB 9 AD 7 א' וב'(. תשובה: tan γ א. tan β ב. . , AB = a cos β 2a ⋅ sin γ ) sin ( β + γ F E b g C B D = . FB 3.66 A במשולש b , a , ABCו c -הם אורכי הצלעות , BC ACו AB -בהתאמה R .הוא רדיוס במעגל החוסם את . +ABCהנקודות Mו N -נמצאות על הצלע BCכך ש) )AMN = )ANM = α -ראה ציור(. S+ ABC a ⋅ R ⋅ tan α הוכח: = S+ AMN b⋅c C . c b C © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה a N a a M B 63 פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 3.67 A הנקודות E , D , C , Bנמצאות על ישר אחד. הנקודה Aנמצאת מחוץ לישר .חיברו את Aעם כל הנקודות הנ"ל )ראה ציור(. נתון. )BAC = )CAD = )DAE = 30° : הוכח. BC ⋅ DE = 1 : 3 BD ⋅ CE D E B C 3.68 בטרפז E , ( AB & CD ) ABCDנקודה כלשהי על השוק . ADנתון. )ABE = β , )A = α , AD = BC = CD : הבע באמצעות αו β -את היחס בין שטח המשולש DEB לבין שטח המשולש . AEB תשובה: ) ( sin α − β ⋅ sin α 2 . sin 3α ⋅ sin β 2 C D E B A 3.69 B במשולש שווה-שוקיים (AB = BC) ABCנקודה Eהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש ,נקודה Oהיא מרכז המעגל החסום במשולש .נתון. OE = a , )BAC = α : א .הבע את אורכי הקטעים AOו AE -באמצעות aו. α - ב .מצא את היחס בין רדיוס המעגל החסום במשולש לבין רדיוס המעגל החוסם את המשולש. תשובה: E O −a cos α א2 , AO = −a sin 2α . = . AE α 3 cos cos 3α 2 2 ב. sin 2α ⋅ tan α . 2 C D 3.70 A משולש ABCחסום במעגל בעל רדיוס . Rנתון: BE , )ABC = 2β , )BAC = αחוצה את הזווית . ABC המשכו של BEחותך את המעגל בנקודה ) Dראה ציור(. א .הוכח. BD = 2R sin ( α + β ) : ב. 2R sin α ⋅ sin β הוכח: ) sin ( α + β ג. 2R sin 2 β הוכח: ) sin ( α + β 64 = . EC A D E C B = . ED © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור 3.71 A במעגל שמרכז Oורדיוסו Rחסום משולש שווה-שוקיים ABCשבו . )ABC = β , AB = ACנקודה Eהיא נקודת מפגש של גבהים במשולש הנ"ל )ראה ציור(. א .הבע את AEבאמצעות Rו. β - ב .הבע את שטח המשולש COEבאמצעות Rו. β - תשובה :א . −2R cos 2β .ב. −R 2 sin 3β ⋅ cos β . O D E C b F B 3.72 נתון מעגל שמרכז Oורדיוסו . Rמנקודה Aשמחוץ למעגל העבירו משיק ABוישר . AOחיברו את Oעם . B מעגל נוסף שמרכזו Cורדיוסו rמשיק ל OB -ומשיק להמשכי הקטעים ABו) AO -ראה ציור( .נתון. )A = α : הראה כי. r = R 1 + tan α : 2 2 ) ( B C A O 3.73 A הקודקודים Aו C -של משולש ABCנמצאים על היקפו של מעגל שמרכז Oורדיוסו . Rהקודקוד השלישי Bנמצא על הקוטר ) CDראה ציור( .נתון)ABC = β , )BAC = α : ) αו β -זוויות ברדיאנים(. א .הבא את שטח המשולש ABCבאמצעות α , Rו. β - ב. C O נתון . β = π , α = 5π :הבע את השטח החסום בין 12 הקשת ACלבין המיתר ) ACהשטח המקווקו שבציור( באמצעות . R B 4 R 2 sin ( 2α + 2β ) ⋅ cos ( α + β ) ⋅ sin α .ב. תשובה :א. sin β ) ( R 2 ⋅ 2π − 3 3 12 . 3.74 ACהוא קוטר במעגל שמרכז Oורדיוסו AD . RוBD - שני מיתרים במעגל זה .המשכו של הרדיוס OBחותך את המיתר ADבנקודה ) Eראה ציור(. נתון. )DAC = α , BE ⊥ AC : א .הבע את שטח המשולש BEDבאמצעות Rו. α - ב .חשב את הזווית αשעבורה . OE = OF S עבור αשחישבת בסעיף ב' ,מצא את היחס. + ADF : ג. S+ BDE D A B O F C © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה E D 65 פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור הגדרות ונוסחאות ,תרגילים ) 2 ⋅ R 2 sin 2 ( α + 45° ) ⋅ sin ( 45° − α א. cos α תשובה: .ב . 22.5° .ג. 1 . 3.75 C CDחוצה את הזווית Cבמשולש שונה צלעות . ABC נתון. AC = b , BC = a , )C = γ : γ הוכח2 : 2ab ⋅ cos a+b b a = . CD B D 3.76 B במשולש E , ABCהיא נקודה על צלע BCכך שAE = EC - נתון) ( a > c ) AB = c , AC = b , BC = a :ראה ציור(. הוכח כי: ) ( a a 2 − c2 a + b − c2 2 2 A E a c = . BE C A b 3.77 הנקודה Oהיא מרכז המעגל החסום במשולש . ABC זוויות המשולש הן. )ACB = γ , )ABC = β , )BAC = α : א. ב. sin α 2 הראה כי β γ 2 cos ⋅ cos 2 2 A S = . + BOC S+ ABC O נתון כי רדיוס המעגל החסום במשולש ABCהוא . r הבע את המכפלה OA ⋅ OB ⋅ OCבאמצעות β , α , rו. γ - תשובה: ב. r3 β γ sin α ⋅ sin ⋅ sin 2 2 2 . B C 3.78 A Eנקודה כלשהי בתוך משולש שווה-צלעות , ABCשאורך צלעו . aנתון. )EBC = β , CE = r , BE = q , AE = p : א. ב. p2 − r 2 הראה כי ) 2q ⋅ sin ( 30° − β נתון . β = 15° :הבע את שטח המשולש BEC באמצעות rו. p - = .a תשובה: 66 p2 − r 2 ב. 4 . p a r E a q b C a B © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור 3.79 B משולש חד-זווית ABCחוסם מעגל שרדיוסו . rהנקודות M , L , Kהן נקודות ההשקה. נתון) )KML = β , )KLM = α :ראה ציור(. הראה כי רדיוס המעגל החוסם את +ABCהוא: −r 4 cos ( α + β ) ⋅ cos α ⋅ cos β L a K b =R C M 3.80 C ABהוא קוטר במעגל שמרכז Oורדיוסו . Rהמיתר BD חותך את הרדיוס OCבנקודה ) Eראה ציור(. נתון. )OBD = β , )BOC = 60° : א .הבע את שטח המשולש CDEבאמצעות Rו. β - ב .מהו שטח המשולש CDEכאשר . β = 30° ) R 2 sin (120° − 2β ) ⋅ cos ( 30° + β תשובה :א. ) 2sin ( 60° + β ב3 . . B E D 2 8 A b O .R 3.81 בטרפז שווה שוקיים (AB & CD) ABCDשאלכסוניו נחתכים בנקודה , Mנתון. )CAD = β , )CAB = α : א .הוכח כי היחס בין שטח המשולש CMDלבין שטח A B A M S+CMD sin 2 β = המשולש AMBהוא: )S+ AMB sin 2 (2α + β C הוכח כי היחס בין שטח המשולש CBDלבין S+CBD 2sin (α + β) ⋅ cos α . שטח המשולש AMDהוא: = S+ AMD )sin (2α + β . ב. ג. S+CBD 10 נתון גם, α = 15° : = S+ AMD 9 תשובה :ג. 86.11° . D .חשב את . β 3.82 משולש ABCחסום במעגל E .היא נקודת המפגש של חוצי הזוויות הפנימיות במשולש זה .הישר BEחותך את המעגל בנקודה ) Fראה ציור(. נתון. )ACB = 2γ , )ABC = 2β , BC = m : א .הבע את AEבאמצעות β , mו. γ - ב .הראה כי +AEFהוא משולש שווה-שוקיים והבע את היקפו באמצעות β , mו. γ - A F E C © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה B 67 פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 2m sin β ⋅ sin γ תשובה :א. ) sin ( 2β + 2γ . ) 2m sin β ⋅ (1 + sin γ ב. ) sin ( 2β + 2 γ . 3.83 A במשולש ABCנתון. )ACB = γ , )ABC = β , )BAC = α : γ , β , αהן זוויות חדות .נקודה Eהיא נקודת חיתוך גבהים במשולש. א. ב. הוכח: . AE = BE = CE cos β cos α cos γ נסמן ב R -את רדיוס המעגל החוסם את . +ABC הראה כי המשולשים BCE , ACE , ABEניתן לחסום במעגלים בעלי רדיוס . R E C B 3.84 במקבילית ABCDנתון)B = β , BC = b , AB = a : ) βחדה( .מקודקוד Cהעבירו ישר החותך את הצלע ADבנקודה , Fוחותך את המשכה של הצלע AB B E A F בנקודה ) Eראה ציור( .שטח המרובע ABCFהוא 2 ab 5 א .הבע את עורך הקטע BEבאמצעות b , aו. β - S ב .נתון . + EAC = 1 :חשב את . β S+ ABC 2 5a sin β .ב. 36.87° . תשובה :א. ) 2 ( 5sin β − 2 C D 3.85 נתון משולש שווה-שוקיים ( DE = EC ) DECשבו . )DEC = θ , DC = mעל השוקיים של משולש זה בנו משולש שווי-צלעות AEDו) BEC -ראה ציור(. א .הוכח כי . AB & CD A B ב .הבע את ABבאמצעות mו. θ - נתון. S+AEB = S+ DEC : ג. E חשב את . θ ) (i ) (iiמה המשמעות ההנדסית של התוצאה שקיבלת לגבי המרובע . ABCD תשובה :ב. 68 ) ( m ⋅ cos θ − 30° 2 .ג (ii) . 120° (i) .מלבן. sin θ 2 C D © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור 3.86 B מרובע ABCDחסום במעגל .אלכסוני המרובע נחתכים בנקודה . Eנתון. )CBD = γ , )ABD = β , AE = a , AB = BC : א .הבע את ECבאמצעות β , αו. γ - ב. הראה כי רדיוס המעגל החוסם את המרובע ABCD b g β−γ ( ) 2 = .R β+γ ( 2sin β ⋅ cos ) 2 C a cos הוא: תשובה: a ⋅ sin γ א. sin β E a A D . 3.87 טרפז ABCDומשולש שווה-שוקיים (EF = EG) EFG חסומים במעגל .הבסיס הגדול CDשל הטרפז הוא קוטר במעגל ומקביל לבסיס FGשל המשולש .שוקי הטרפז מקבילות לשוקי המשולש .נתון. )G = γ , FG = m : א .הבע את שוקי הטרפז באמצעות mו. γ - ב .הראה כי שטח הטרפז שווה לשטח המשולש והבע את השטח באמצעות mו. γ - . AD = BC = mב. 1 m 2 tan γ . תשובה :א. 4 2sin γ E A B C D G F 3.88 משולש ABCחסום במעגל .חוצי הזוויות )B , )Aו)C - חותכים את המעגל בנקודות E , Dו F -בהתאמה )ראה ציור(. נתון. )C = 2γ , )B = 2β , )A = 2α : א .הראה כי היחס בין היקף המשולש ABCלבין היקפו של sin 2α + sin 2β + sin 2γ . המשולש DEFהוא: cos α + cos β + cos γ ב .הראה כי היחס בין שטח המשולש ABCלבין שטח המשולש DEFהוא8sin α ⋅ sin β ⋅ sin γ : A E F C D 3.89 B טרפז ABCDחסום במעגל שמרכז AE . Oהוא גובה בטרפז )ראה ציור( .נתון. )COD = 2β , )AOB = 2α , AE = h : א. ב. h הראה כי רדיוס המעגל שווה ל- cos α + cos β β הראה כי שטח הטרפז ABCDהוא. h 2 tan α + : 2 2 B O . ) ( A C © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה E D 69 פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 3.90 B BEהוא גובה לצלע ACבמשולש ) ABCראה ציור( נתון. )ABC = )A + 45° , AC = b , BC = a : א. ב. = . BE a הראה כי AE b 2 − a נתון . b = 4 , a = 3 :חשב את זוויות המשולש . ABC תשובה :ב. 38.06° , 93.47° , 48.47° . C E 3.91 A במשולש ישר-זווית ()C = 90°) ABCהעבירו BDכך ש- . )CBD = )Aמנקודה Dהעבירו DEהמקביל לAB - )ראה ציור( .נתון. ( 0° < α < 45° ) )A = α : א. ב. D S+ ECD sin 4 α = הראה כי: S+ ABD cos 2 α ⋅ cos 2α חשב את αאם ידוע ש. S+ ECD = S+ ABD - תשובה :ב. 38.17° . . B E 3.92 ב. ) 2Q ⋅ sin ( α + β הראה כי: sin α ⋅ sin β נתון כי 6 :ס"מ = 8 , EFס"מ = , α = 45° , m . EF2 = m 2 − C C ABמיתר במעגל .חיברו נקודה Cעם הנקודות Aו. B - הנקודות Eו F -הן נקודות החיוך של BCו AC -עם המעגל בהתאמה .נתון. SABEF = Q , AB = m , )B = β , )A = α : א. A F E b a A m ) 12 ( 3 − 3סמ"ר = . Qחשב את . β B תשובה :ב. 60° . 3.93 C בטרפז ( AB & CD ) ABCDנתון, CD = n , AB = m : . )B = β , )A = α , BC = q , AD = p א. ב. 70 ( ) הראה כי1 m 2 + n 2 − p 2 − q 2 = mn + pq ⋅ cos α + β : ( ) 2 נתון כי בטרפז ABCDניתן לחסום מעגל .הראה כי: mn = sin 2 α + β pq 2 2 ) ( n p q a b B D m A © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור 3.94 A מעגל שמרכז Oורדיוסו Rחוסם משולש ABCכך שמרכז המעגל נמצא על צלע . ABנתון , OE ⊥ AB :מעגל החסום ב +ABC -משיק ל. OE - א .חשב את זוויות המשולש . ABC ב .הבע את רדיוס המעגל החסום ב +ABC -באמצעות . R תשובה :א. 30° , 60° , 90° . O E B ב. 0.365R . C 3.95 A משולש ABCחסום במעגל AE .חוצה את הזווית BAC וחותך את המעגל בנקודה ) Fראה ציור(. נתון. BC = a , AC = b , AB = c : א .הבע את המכפלה AE ⋅ EFבאמצעות b , aו. c - ב .נתון . )BAC = 2α :הראה כי: a2 2 ( b + c ) ⋅ cos α תשובה: b = . AE = 2bc ⋅ cos α , EF E C b+c c B a 2 א. a bc 2 . )( b + c F 3.96 A בגזרה ABCשרדיוסה (AB = BC = R) Rחסום מעגל r 5 = שמרכזו Oורדיוסו . rנתון כי R 16 הבע את שטח הגזרה באמצעות . r R . O C תשובה. 4.84r 2 : R 3.97 B A מנקודה Aהנמצאת מחוץ למעגל העבירו ישר המשיק למעגל בנקודה Bוישר שני החותך את המעגל בנקודות Eו. C - נתון 4 :ס''מ = 1.6 , ABס''מ = . )A = α , AE א .הבע את sin )Cבאמצעות . α ב .הבע את רדיוס המעגל באמצעות . α תשובה: א. 2 ⋅ sin α 29 − 20 cos α . ב. 29 − 20 cos α 5sin α 1.6 4 E B . © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה C 71 פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 3.98 במשולש שווה-שוקיים (AB = AC) ABCמקודקוד C העבירו גובה CEלשוק . ABנתון כי . )BCE = γ הבע באמצעות γאת היחס בין רדיוס המעגל החסום ב +ABC -לבין רדיוס המעגל החוסם את . +ABC תשובה: ) γ 2 ( g . sin 2γ⋅ tan 45°− 3.99 A במשולש BM , ABCהוא התיכון לצלע . AC נתון 2.5 :ס"מ = 4 , ABס"מ = 3 , BCס"מ = . BM חשב את זוויות המשולש . ABC תשובה. 38.84° ,46.57° ,94.59° : M C 2.5 3 B 4 3.100 C בטרפז (AB & CD, AB > CD) ABCD נתון 11 :ס''מ = 4 , ABס''מ = 6 , ADס''מ = , BC . )B = β , )A = α א .הבע את הבסיס CDבאמצעות αו. β - ב .חשב את זוויות הטרפז עבור 3ס''מ = . CD תשובה :א. ) . 11 − 2 13 + 12 cos ( α + β D 6 B 4 b A a 11 ב. 133.43° , 151.04° , 28.96° , 46.57° . 3.101 טרפז ( AB & CD ) ABCDחסום במעגל. נתון 9 :ס"מ = 5 , ABס"מ = . )A =α , CD א .הבע את רדיוס Rשל המעגל באמצעות . α ב. חשב את הזווית , αכאשר תשובה: 72 106 2 49 + 4 tan 2 α א. 2sin α ס"מ = . R C B 5 9 D A a ב 45° .או . 74.05° © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור 3.102 CEהוא חוצה הזווית ACBבמשולש . ABC נתון 4 :ס''מ = 7 , AEס''מ = . )AEC = 60° , BE א .חשב את אורכו של . CE ב .חשב את גודל הזווית . ACB תשובה: א 9 13 .ס''מ. A 4 60 E 7 B C ב. 48.93° . 3.103 A במשולש BE , ABCהוא חוצה הזווית . ()B1 = )B2 ) ABC E נתון. BE = p , AB = c , BC = a : א. הבע את cos )B1באמצעות c , aו. p - ב. חשב את שטחו של המשולש , ABCכאשר 8ס''מ = , a 5.5ס''מ = 6 , cס''מ = . p תשובה: )p(c + a א. 2ac . C c p 2 a 1 B ב 15.83 .סמ''ר. 3.104 A במשולש שווה-שוקיים (AB = AC) ABC נתון 8 :ס''מ = . )B = β , BCמקודקוד Cשל המשולש העבירו תיכון CEלצלע . AB א. הראה כי. CE = 2 9 + tan 2 β : ב. חשב את זוויות המשולש , ABCעבור 2 11ס''מ = . CE תשובה :ב. 70.52°, 54.74°, 54.74° . E C b 8 B 3.105 בטרפז ישר-זווית ()A = )D = 90° , AB < CD , AB & CD) ABCD B חסום מעגל שמרכזו . Oחיברו את Oעם הקודקודים Bו. C - נתון. OC = n , OB = m : א. 2mn הוכח כי: m2 + n 2 ב. הבע את היקף הטרפז ABCDבאמצעות mו. n - = sin )BCD A m C n O D ) 2 m2 + n 2 ⋅ ( m + n . ב. m2 + n 2 2 תשובה: © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 73 פרק :3בעיות טריגונומטריות במישור הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 3.106 ABCהוא משולש חד-זווית ושווה-שוקיים ). (AB = AC המשולש חסום במעגל שמרכזו . Oמקודקוד Bדרך מרכז המעגל Oמעבירים ישר החותך את השוק ACבנקודה . E נתון. BC = 2a , )C = γ : א .הבע את שטח המשולש AOEבאמצעות aו. γ - ב. ג. מצא את הזווית γאם ידוע כי . S+ ABE = 2.5 ⋅ S+ AOE תשובה: E O C S+ AOE 1 הוכח כי: = S+ ABE 4sin 2 γ א. A . a2 −4sin γ ⋅ cos 3γ g 2a ג. 52.24° . 3.107 A במשולש ABCנתון AM , )C = γ , )B =β :תיכון 1 2 לצלע AE , BCחוצה את הזווית . ()A1 = )A 2 ) BAC הוכח: B BE 2sin γ = MC sin β+ sin γ C b g E M B 3.108 A במשולש ABCהנקודה Eהיא אמצע של , BCונקודה M היא אמצע של . ACאנך אמצעי לצלע BCחותך את AC בנקודה , Dואנך אמצעי לצלע ACחותך את BCבנקודה . N BN 2 AD 1 , נתון, AC = b : = = NC 5 DC 2 הבע את אורכי הצלעות BCו AB -באמצעות . b 2 b 30 b 210 = . AB = , BC תשובה: 10 M C B 15 C בתוך משולש ישר-זווית ( )C = 90° ) ABC 3 2 חסום מעגל שמרכזו . Oנתון . OA = d , OB = d 74 N E 3.109 א. ב. D מצא את הזוויות החדות של המשולש . ABC A הבע את אורכי הצלעות של המשולש באמצעות . d תשובה :א . 54.48° , 35.52° .ב. 1.35d , 1.89d , 2.32d . 3 2d O d B © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב זוויות במרחב זווית בין ישר למישור הגדרה ישר hמאונך למישור , ωאם הוא מאונך לכל ישר הנמצא במישור . ω כדי לקבוע אם ישר ניצב למישור ניעזר במשפט הבא: משפט אם ישר hמאונך לשני ישרים שונים במישור ωהעוברים דרך נקודת החיתוך של הישר עם המישור ,אזי הישר hמאונך למישור ωכולו )כלומר ,הישר h מאונך לכל ישר הנמצא במישור .( ω הערה אם הישר hמאונך למישור ωוהישר h ′מקביל ל , h -אזי גם הישר h ′מאונך למישור . ω הגדרה ישר A משופע A החותך את מישור ωואיננו ניצב לו נקרא משופע למישור. A חותך את המישור ωבנקודה . B l מנקודה ) Aנקודה כלשהי על המשופע( נוריד אנך hהחותך את המישור בנקודה . C ישר pהעובר דרך הנקודות Bו C -נקרא היטל B h p C המשופע על המישור. הגדרה w הזווית החדה שבין ישר משופע למישור לבין היטלו של הישר על המישור, נקראת זווית בין ישר למישור. בציור הנ"ל ,הזווית בין ישר A למישור ωהיא הזווית . ABC © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 75 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים A דוגמה הישר ACמאונך למישור ) ωראה ציור( נתון 4 :ס"מ = 5.6 , ACס''מ = . AB חשב את הזווית בין משופע ABלמישור . ω B C פתרון: היטלו של משופע ABעל המישור ωהוא הישר BC ולכן הזווית בין הישר ABלמישור ωהיא הזווית . ABC ; 5.6ס''מ = 4 , ABס"מ = )C = 90°, AC sin )ABC = sin 45.58° )ABC = 45.58° AC 4 = AB 5.6 ⇒ ⇒ w +ABC : = sin )ABC )(0° < )ABC < 90° 4.01 הישר ACניצב למישור . ω נתון 4.5 :ס''מ = 3 , ABס''מ = . BC חשב את הזווית בין המשופע ABלמישור . ω תשובה. 48.19° : A C B w 4.02 ABCDהוא מלבן שצלעותיו הן 4.5 :ס''מ= 6 , ADס''מ= . CD מנקודה Aהעלו אנך AMלמישור המלבן וחיברו את Mעם קודקוד ) Cראה ציור( .נתון 5 :ס''מ = . AM חשב את אורך האלכסון ACואת הזווית שבין MCלמישור המלבן . ABCD תשובה 7.5 :ס"מ. 33.69° , 76 M 5 A B 4.5 C 6 D © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב 4.03 ABCהוא משולש שווה-שוקיים ) (AB = ACשבו ADתיכון לבסיס . BC מקודקוד Aהעלו אנך AEלמישור המשולש וחיברו את הנקודה Eעם הנקודה ) Dראה ציור(. נתון 4.2 :ס''מ = 5 , AEס''מ = . ) B = 35° , AB חשב את הזווית בין הישר EDלמישור המשולש . ABC תשובה. 55.65° : E 4.2 A C 5 D 35 B זווית בין שני מישורים w2 n2 אם לשני מישורים יש נקודה משותפת ,אזי יש להם ישר חיתוך משותף .למישורים ω1ו ω2 -ישר חיתוך משותף . d מנקודה ) Aנקודה כלשהי על ישר ( dנעלה שני אנכים: n1מאונך ל d -במישור ω1ו n 2 -מאונך ל d -במישור . ω2 n1 a A w1 הזווית החדה αהכלואה בין n1לבין n 2היא d הזווית בין המישורים ω1ו) ω2 -ראה ציור(. הגדרה זווית בין שני מישורים היא הזווית הכלואה בין שני האנכים לישר החיתוך המשותף .האנכים יוצאים מנקודה כלשהי על ישר החיתוך ונמצאים במישורים שונים. הערה משפט אם הזווית בין שני מישורים היא זווית ישרה ,אזי המישורים מאונכים זה לזה. אם ישר מאונך למישור נתון ,אזי כל מישור שבו נמצא ישר זה מאונך גם הוא למישור הנתון. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 77 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים משפט שלושת האנכים A נתון AC :אנך למישור AB , ωמשופע וBC - הוא היטלו של ABעל המישור .דרך נקודה B עובר ישר mהנמצא במישור )ראה ציור(. משפט B C m w אם ישר עובר במישור דרך נקודת החיתוך של משופע עם המישור והוא מאונך להיטלו של המשופע על המישור ,אזי הישר מאונך גם למשופע. )אם הישר mמאונך ל , BC -אזי mמאונך ל.( AB - משפט הפוך אם ישר עובר במישור דרך נקודת חיתוך של משופע עם המישור והוא מאונך למשופע ,אזי הישר מאונך גם להיטלו של המשופע על המישור. )אם הישר mמאונך ל , AB -אזי mמאונך גם ל.( BC - דוגמה ABCהוא משולש שווה-שוקיים ) . (AB = ACמקודקוד Aהעלו אנך למישור המשולש ABC וחיברו את Dעם Bועם . Cנתון 4.8 :ס''מ = 3 , ABס''מ = . )BAC = 36° , AD חשב את הזווית שבין מישור המשולש BDCלמישור המשולש . ABC פתרון: המישורים BDCו ABC -נחתכים על-ידי הישר . BC בניית עזר :במשולש ABCנעביר AEמאונך ל. BC - במישור BDCנחבר את Eעם הנקודה . D ידוע כי ADמאונך למישור . ABCעל-פי בניית עזר, AE ⊥ BCלכן ) DE ⊥ BCמשפט שלושת האנכים: אם הישר מאונך להיטלו של המשופע ,אזי הוא מאונך גם למשופע(. מעצם העובדה ש DE ⊥ BC -וגם AE ⊥ BC -נובע כי )AEDהיא הזווית בין המישורים BDCו. ABC - 78 C D A E B © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב שים לב: הגדרות ונוסחאות ,תרגילים אפשר להראות ש DE ⊥ BC -מבלי להיעזר במשפט שלושת האנכים .לשם כך ,צריך להוכיח כי המשולש DBCהוא משולש שווה-שוקיים )על-ידי חפיפת המשולשים ABDו ( ACD -ולהיעזר במשפט האומר שבמשולש שווה-שוקיים התיכון לבסיס מתלכד עם הגובה לבסיס ועם חוצה זווית הראש. נחשב את . AE 1 2 1 2 ; 4.8ס''מ = )AEB = 90°, )BAE = )BAC = ⋅ 36° = 18°, AB 4.565ס"מ = AE ⇒ AE = AB ⋅ cos ) BAE = 4.8 ⋅ cos18° AE AB ⇒ +ABE : = cos ) BAE נמצא את הזווית . AED ; 4.565ס''מ = 3 , AEס''מ = ) DAE = 90°, AD tan ) AED = tan 33.31° ⇒ ) AED = 33.31° + ADE : AD 3 = AE 4.565 ) ( 0°< ) AED < 90° ⇒ = tan ) AED 4.04 המרובע ABCDהוא מלבן .מנקודה , Oשהיא מפגש האלכסונים ,העלו אנך OMלמישור המלבן וחיברו את Mעם Bו) C -ראה ציור(. נתון 4 :ס''מ = . ) BMC = 42° , ) AOD = 50° , AC חשב את הזווית שבין מישור המשולש BMC למישור המלבן . ABCD תשובה. 35.01° : M 42 A B O 50 D C 4.05 מקודקוד Aשל מקבילית ABCDהעלו אנך AEלמישור המקבילית וחיברו את Eעם הקודקודים Bו) C -ראה ציור(. נתון 3.2 :ס''מ= 4.3 , ADס''מ= 16 , AEסמ"ר = . SABCD חשב את הזווית שבין מישור המשולש EBC למישור המקבילית . ABCD תשובה. 40.7° : E 4.3 A B 3.2 C © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה D 79 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים מנסרה הגדרה פאון – חלק המרחב החסום על-ידי מצולעים מישוריים הנקראים פאות. הגדרה מנסרה – פאון בו שתי פאות הן מצולעים חופפים ,הנמצאים במישורים מקבילים ,הנקראים בסיסים ,ושאר הפאות הן מקביליות. ∗ ∗ ∗ ∗ פאות המנסרה מקצועות צדדיים מקצועות הבסיס אלכסון המנסרה – המקביליות הצדדיות. – ישרי החיתוך של הפאות. – צלעות הבסיסים. – קטע המחבר שני קודקודים שאינם נמצאים על אותה פאה. הגדרה מנסרה ישרה – מנסרה שבה מקצועות צדדיים מאונכים לבסיסים. הגדרה מנסרה משוכללת – מנסרה ישרה שבסיסיה הם מצולעים משוכללים. הגדרה שטח המעטפת – סכום שטחים של פאות צדדיות. הגדרה שטח הפנים – סכום שטח המעטפת ושטח שני בסיסי המנסרה. הגדרה נפח המנסרה – מכפלתם של שטח הבסיס בגובה המנסרה. 80 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב תיבה הגדרה ∗ ∗ תיבה – מנסרה ישרה שבסיסיה הם מלבנים. תיבה ריבועית – תיבה שבסיסה הוא ריבוע. קובייה – תיבה שכל מקצועותיה שווים. שטח המעטפת: שטח הפנים: הנפח: 'C M = 2(a + b ) ⋅ h P = 2( a + b ) ⋅ h + 2ab 'D 'B h C V = a ⋅b ⋅h 'A D b B 4.06 'C בתיבה ABCDA′B′C′D′הבסיס ABCD הוא ריבוע .אלכסון הפאה הצדדית יוצר זווית בת 68°עם בסיס התיבה. גובה התיבה הוא 5.4ס''מ . חשב את שטח המעטפת של התיבה ואת נפחה. תשובה 47.09 :סמ''ר 25.66 ,סמ''ק. a A 'D 'B 'A 5.4 D C A B 4.07 נתונה קובייה . ABCDA′B′C′D′ א .חשב את הזווית שבין אלכסון הקובייה BD′ לבסיס . ABCD ב. נתון 2 3 :ס''מ = . BD′חשב את שטח הפנים של הקובייה. תשובה :א . 35.26° .ב 24 .סמ''ר. 'D 'C 'B D C B © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 'A A 81 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 4.08 בתיבה ABCDA′B′C′D′אלכסון הבסיס שאורכו 8ס''מ יוצר זווית בת 40°עם מקצוע הבסיס. אורך אלכסון התיבה הוא 10ס''מ. חשב את שטח הפנים של התיבה ואת נפחה. תשובה 198.26 :סמ''ר 189.05 ,סמ''ק. 'D 'C 'A 'B C D 40 B 4.09 'D 'C בתיבה ABCDA′B′C′D′שבסיסה הוא ריבוע, אלכסון BC′של הפאה הצדדית BB′C′C יוצר זווית בת 30°עם הפאה . AA′B′B נתון . BC′ = d :הבע את שטח המעטפת של התיבה באמצעות . d תשובה. d 2 3 : A 'B 'A D C B 4.10 בתיבה ABCDA′B′C′D′שבסיסה ריבוע, אלכסון BD′שאורכו 8ס''מ יוצר זווית α ) ( 0°< α < 45°עם הפאה הצדדית . AA′D′D הבע את נפח התיבה באמצעות . α A 'D 'C 'B 'A D C תשובה. V = 512 sin 2 α ⋅ cos 2α : 4.11 בתיבה ABCDA′B′C′D′אלכסון AC′שאורכו 10.3ס''מ יוצר זווית בת 25°עם פאה AA′B′Bוזווית בת 38°עם פאה . AA′D′D חשב את שטח הפנים של התיבה. תשובה 201.4 :סמ''ר = . P 'C 'D 'A 'B C B 82 B A D A © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב 4.12 'D 'C נתונה קובייה ABCDA′B′C′D′שצלע שלה . a Eהיא נקודה על המקצוע . D′D חיברו את Eעם הקודקודים Aו. C - 'B a a 2 34 . שטח המשולש AECהוא 8 חשב את הזווית שבין המישור AECלמישור הבסיס . ABCD תשובה. 46.69° : E D C a a B 4.13 A 'D 'C נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′שצלעות הבסיס שלה הן 4 :ס''מ = 3 , ABס''מ = . BC הנקודה Eהיא אמצע במקצוע . CC′חיברו את E עם הקדקודים Bו .D -המישור BEDיוצר זווית בת 55°עם מישור הבסיס . ABCD חשב את נפח התיבה. תשובה 82.32 :סמ''ק. 'A 'B E 'A D C 3 B 4 A 4.14 נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′שבסיסה ABCDהוא ריבוע .גובה התיבה הוא . h הזווית שבין האלכסונים של שתי פאות סמוכות היוצאים מקודקוד Bהיא 2β ) ) ( 0°<β < 45°ראה ציור(. הבע את שטח המעטפת של התיבה באמצעות hו. β - תשובה: 4 2 ⋅ h 2 ⋅ sin β cos 2β 'D 'C 'B C 2b . 4.15 בתיבה ABCDA′B′C′D′האלכסון AC′יוצר זווית αעם הפאה AA′B′Bואלכסון AB′ של הפאה AA′B′Bיוצר זווית βעם הפאה . BB′C′C אורך האלכסון AC′הוא .m הבע את נפח התיבה באמצעות β , αו.m- תשובה: 3 . m4 sin 2 α ⋅ sin 2β ⋅ cos α © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 'A D h B A 'C 'D 'A 'B m C B D A 83 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 'C 4.16 נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′שבסיסה ריבוע . ABCD נתון . BB′ = h :הזווית בין אלכסון BD′ ופאה CC′D′Dהיא .( 0° < γ < 45° ) γ הוכח כי נפח התיבה הוא h 3 sin 2 γ cos 2 γ . 'D 'B h C B 'A D A 4.17 בתיבה , ABCDA′B′C′D′שבסיסה מלבן , ABCD האלכסון BD′יוצר זווית αעם מקצוע ,AB זווית βעם מקצוע BCוזווית γעם מישור הבסיס .אורכו של BD′שווה ל. d - א .הבע את נפח התיבה באמצעות γ , β , αו. d - ב .הוכח כי . cos 2 γ = cos 2 α + cos 2 βחשב את זווית , γ כאשר α = 55°ו. β = 70° - 3 א . d cos α cos β sin γ .ב. 48.09° . תשובה: d 4.18 ABCDA′B′C′D′מנסרה מרובעת ישרה ומשוכללת. המישור AD′Cיוצר זווית γעם מישור הבסיס . ABCD מקצוע הבסיס שווה ל. a - א .הבע את שטח המשולש AD′Cבאמצעות aו. γ - ב .הבע את הנפח Vשל המנסרה באמצעות aוγ - ומצא את גודלה של זווית γכאשר 3ס"מ = aו 54 -סמ"ק=.V תשובה: a2 א. 2 cos γ a3 2 = . γ = 70.53° ; V בtan γ . 2 ∗4.19 בקובייה , ABCDA′B′C′D′שאורך מקצוע שלה הוא , a הנקודה Mהיא אמצע המקצוע ' D'Cונקודה Nהיא אמצע המקצוע ' . B'Cדרך האלכסון BDשל הבסיס התחתון ודרך הנקודות Mו N -העבירו מישור , BDMN היוצר זווית ( 0° < γ < 90° ) γעם מישור הבסיס . ABCD א .חשב את זווית . γ ב .חשב את אורך המקצוע aשל הקובייה ,אם ידוע ששטח המרובע BDMNשווה ל 28 -סמ"ר. תשובה :א . 70.53° .ב 5 .ס"מ. 84 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב מנסרה ישרה משולשת 'C מנסרה ישרה משולשת – מנסרה ישרה שבסיסה משולש. שטח המעטפת: שטח הפנים: הנפח: M = (a + b + c) ⋅ h h P = M + 2S+ ABC C 'A 'B b A c a V = S+ ABC ⋅ h B 4.20 'A 'C נתונה מנסרה ישרה משולשת , ABCA′B′C′שבסיסיה הם משולשים שווי-צלעות .אורך צלע המשולש הוא 4ס"מ. האלכסון BC′בפאה צדדית BB′C′Cיוצר זווית בת 70° עם הבסיס . ABC חשב את שטח הפנים של המנסרה. תשובה 145.74 :סמ"ר. 'B 4 C A 4 4 B 4.21 'A 'C הבסיס של מנסרה משולשת וישרה ABCA′B′C′הוא משולש שווה-שוקיים שבו AB = ACו. )BAC = 54° - האלכסון B′Cבפאה הצדדית BB′C′Cשאורכו 7ס"מ יוצר זווית בת 65°עם מישור הבסיס . ABC 'B 7 חשב את נפח המנסרה. תשובה 27.26 :סמ"ק. C 54 A B 4.22 במנסרה ישרה משולשת ABCA′B′C′צלעות הבסיס הן 3.2 :ס"מ = 4.5 , ABס"מ = ACוהזווית ביניהן . )BAC = 112°אלכסון B′Cבפאה BB′C′C יוצר זווית בת 43°עם מישור הבסיס. חשב את נפח המנסרה. תשובה 40.01 :סמ"ק. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 'C 4.5 'A 3.2 'B C A 112 B 85 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 4.23 נתונה מנסרה ישרה משולשת ABCA′B′C′שבסיסה משולש ישר-זווית שבו )ACB = 90°ו 8 -ס"מ = . BC הזווית בין מישור הפאה AA′B′Bלמישור הפאה AA′C′Cהיא בת , 50°הזווית בין האלכסון AB′ למישור הפאה BB′C′Cהיא בת . 32° חשב את גובה המנסרה. תשובה 7.17 :ס"מ. 'A 'B 'C A B 8 C 4.24 נתונה מנסרה ישרה משולשת . ABCA′B′C′ רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABCהוא ,R . (0° < α + β < 90°) )ABC = β ,)BAC = α האלכסון AB′בפאה הצדדית AA′B′Bשווה ל. 2R - הבע את שטח המעטפת של המנסרה באמצעות β, αו.R - 2 תשובה: ) . 4R ⎡⎣sin β + sin α + sin ( α + β ) ⎤⎦ ⋅ cos ( α + β 'C 'A 'B C B 4.25 b a 'A 'C במנסרה ישרה משולשת ומשוכללת ABCA′B′C′ דרך מקצוע הבסיס BCודרך קודקוד A′העבירו מישור , A′BCהיוצר זווית בת 62°עם מישור הבסיס . ABC A 'B 6 גובה המנסרה הוא 6ס"מ. חשב את שטח המעטפת של המנסרה. 66.24ס"מ. תשובה: A C B ∗4.26 'C במנסרה ישרה משולשת ABCA′B′C′שבסיסה משולש ישר-זווית ,נתון, )ACB = 90° : 5ס"מ = . )ABC = 36° , ABדרך המקצוע A′C′ ודרך קודקוד Bהעבירו מישור A′C′Bהיוצר זווית בת 48°עם מישור הבסיס . A′B′C′ חשב את שטח המשולש . A′C′B תשובה 8.89 :סמ"ר. 'B C B 86 'A 36 5 A © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב ∗4.27 במנסרה ישרה ABCA′B′C′שבסיסה משולש ישר-זווית ( )ACB = 90° ) ABCנתון, )BAC = α : , AC = bהזווית שבין האלכסון B′Aלאלכסון B′C היא , βהזווית שבין מישור המשולש AB′Cלבין מישור הבסיס היא . γ הראה כי cos γ = tan α ⋅ tan β א. ב .נתון 3 :ס"מ = . β = 30° , α = 45° ,bחשב את נפח המנסרה. תשובה: 'A A B a b C ב 19.09 .סמ"ק. במנסרה ישרה משולשת , ABCA′B′C′שבסיסה משולש שווה-שוקיים ,( AB = AC ) ABCהאלכסון AB′בפאה AA′B′Bשאורכו , mיוצר זווית αעם מישור הבסיס ויוצר זווית γעם מישור הפאה . AA′C′C הבע את נפח המנסרה באמצעות γ , αו.m - b 'C ∗4.28 תשובה: 'B 'A 'C 'B m C A 3 . m4 sin 2α sin γ B מנסרה ישרה שבסיסה מצולע כלשהו שטח המעטפת: M = LB ⋅ h ) - L Bהיקף הבסיס - h ,הגובה( שטח הפנים: P = M + 2S B ) - SBשטח הבסיס - M ,שטח המעטפת( הנפח: V = SB ⋅ h ) - SBשטח הבסיס - h ,הגובה( © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 87 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 4.29 במנסרה ישרה מרובעת ABCDA′B′C′D′ שבסיסה מקבילית , ABCDדרך הקודקודים A, B, C′, D′העבירו מישור היוצר זווית בת 67°עם מישור הבסיס .נתון 4 :ס"מ = , )BAD = 40° ,AD שטח המרובע ABC′D′הוא 28סמ"ר. חשב את נפח המנסרה. תשובה 66.25 :סמ"ק. 'D 'C 'B 'A D C 4 40 B 4.30 'D במנסרה ישרה משוכללת ABCDEA′B′C′D′E′ שבסיסה מחומש ,האלכסון A′Eבפאה הצדדית AA′E′Eשאורכו 11ס"מ יוצר זווית בת 48°עם מישור הבסיס העליון . A′B′C′D′E′ חשב את שטח הפנים של המנסרה. תשובה 487.26 :סמ"ר. 'E 'C 'A 'B 11 D C E B 4.31 נתונה מנסרה ישרה מרובעת ABCDA′B′C′D′ שבסיסה מעוין . ABCDאלכסוני המעוין נחתכים בנקודה . Oהישר B′Oיוצר זווית βעם מישור הבסיס. נתון. AC = m , )BAD = α : הבע את שטח המעטפת של המנסרה באמצעות β , αו.m- תשובה: α 2 α cos 2 m 2 tan tan β 'C 'B 88 'A D C O A B 4.32 העליון .המישור יוצר זווית γעם מישור הבסיס . ABCDנתון. )BAD = α , AD = BC = CD = a : הבע את שטח המרובע ABC′D′באמצעות α ,aו. γ - A 'D . במנסרה ישרה מרובעת ABCDA′B′C′D′ שבסיסה טרפז שווה-שוקיים ABCD ) ,( AB & CD , AB > CDהעבירו מישור דרך מקצוע ABבבסיס התחתון ודרך מקצוע C′D′בבסיס A 'C 'D 'A 'B a B C D a a a A © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב תשובה: הגדרות ונוסחאות ,תרגילים a 2 (1 + cos α ) ⋅ sin α cos γ . ∗4.33 במנסרה ישרה ABCDEFA′B′C′D′E′F′ שבסיסה משושה משוכלל ,האלכסון AC′ יוצר זווית αעם הפאה הצדדית . AA′F′F רדיוס המעגל החוסם את המשושה הוא . R הבע את נפח המנסרה באמצעות αו. R - תשובה: 9R 3 2 tan α 'D 'C 'B 'E 'F 'A E D C . F B A ∗4.34 במנסרה מרובעת וישרה , ABCDA′B′C′D′שבסיסה טרפז שווה-שוקיים , (AB & CD) ABCDהאלכסון BD של הבסיס שווה ל d -ויוצר זווית βעם צלע ABשל הבסיס. d 2 ⋅ sin 2β א .הוכח כי 2 ב .נתון :האלכסון AC′של המנסרה יוצר זווית αעם בסיסה. הבע את נפח המנסרה באמצעות β , αו. d - C B = . SABCD תשובה: d 3 sin 2β tan α ב. 2 . D A C B © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה D b A 89 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פירמידה הגדרה פירמידה – פאון בו פאה אחת היא מצולע ,הנקרא בסיס ,ושאר הפאות הן משולשים הבנויים כל אחד על צלע אחת של הבסיס ונפגשים בנקודה אחת, הנמצאת מחוץ למישור הבסיס ונקראת קודקוד הפירמידה. ∗ ∗ ∗ ∗ פאות הפירמידה מקצועות צדדיים מקצועות הבסיס גובה הפירמידה הגדרה – המשולשים הצדדיים. – ישרי החיתוך של הפאות. – צלעותיו של מצולע הבסיס. – אנך היורד מקודקוד הפירמידה למישור הבסיס. פירמידה ישרה – פירמידה שבה הגובה פוגש את הבסיס במרכז המעגל החוסם את הבסיס. ∗ ∗ בפירמידה ישרה כל המקצועות הצדדיים שווים. בפירמידה ישרה כל הזוויות בין המקצועות הצדדיים לבסיס שוות. הגדרה פירמידה משוכללת – פירמידה ישרה שבה הבסיס הוא מצולע משוכלל. הגדרה שטח המעטפת – סכום שטחן של כל הפאות הצדדיות. הגדרה שטח הפנים – סכום שטחם של המעטפת והבסיס. הגדרה נפח הפירמידה – שליש ממכפלת שטח הבסיס בגובה. נגדיר - M :שטח המעטפת - P ,שטח הפנים - V ,נפח. - SBשטח הבסיס - H ,גובה הפירמידה. שטח הפנים: הנפח: 90 P = M + SB 1 ⋅ SB ⋅ H 3 =V © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-צלעות 3 2 M = a ⋅h שטח המעטפת: ) - aצלע הבסיס – h ,גובה הפאה הצדדית( S שים לב :שטח משולש שווה-צלעות שצלעו aהוא: a2 3 4 = S+ 1 2 S+= ⋅ a ⋅ a ⋅ sin60° ⇒ h שטח הפנים: a2 ⋅ 3 4 B 3 2 P = ah + הנפח: ) - aצלע הבסיס, ⇒ O E ) - aצלע הבסיס - h ,גובה הפאה הצדדית( H ⋅ a2 3 =V 12 H A a C 2 1 a 3 ⋅ =V ⋅H 3 4 - Hגובה הפירמידה( S 4.35 בפירמידה ישרה ומשולשת , SABCהבסיס ABC הוא משולש שווה-צלעות .אורך צלע המשולש הוא 5ס"מ .הזווית בין הפאה הצדדית לבסיס היא בת . 72° א .חשב את שטח המעטפת של הפירמידה. ב .חשב את שטח הפנים של הפירמידה. תשובה :א 35.025 .סמ"ר .ב 45.85 .סמ"ר. C 5 5 A 5 B S 4.36 בפירמידה ישרה SABCשבסיסה משולש שווה-צלעות , ABCהמקצוע הצדדי שאורכו 10ס"מ יוצר זווית בת 65°עם בסיס הפירמידה. חשב את נפח הפירמידה. תשובה 70.28 :סמ"ק. 10 A C B © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 91 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 4.37 נתונה פירמידה SABCישרה ,משולשת ומשוכללת. רדיוס המעגל החוסם את הבסיס הוא 3ס"מ = ,R הזווית שבין המקצוע הצדדי לצלע הבסיס היא בת . 53° א .חשב את שטח המעטפת של הפירמידה. ב .חשב את גובה הפירמידה. ב 3.11 .ס"מ. תשובה :א 26.91 .סמ"ר. S C A 53 B 4.38 בפירמידה ישרה SABCהבסיס הוא משולש שווה-צלעות . ABCאורך צלע המשולש הוא 6ס"מ .נפח הפירמידה הוא 37סמ"ק. חשב את הזווית שבין הפאה הצדדית לבסיס הפירמידה. תשובה. 76.34° : S C 6 6 A 6 B 4.39 בפירמידה ישרה SABCשבסיסה משולש שווה-צלעות , ABCהזווית בין שני המקצועות הצדדיים היא בת . 44° שטח המעטפת של הפירמידה הוא 37.8סמ"ר . חשב את הזווית בין המקצוע הצדדי לבסיס הפירמידה. תשובה. 64.32° : S 44 C A B S 4.40 נתונה פירמידה ישרה משוכללת SABCשבה המקצוע הצדדי שווה למקצוע הבסיס )טטראדר(. אורך צלע הבסיס הוא . a א .חשב את הזווית בין הפאה הצדדית לבסיס הפירמידה. ב .הבע את נפח הפירמידה באמצעות .a תשובה :א . 70.53° .ב. 0.12a 3 . C B 92 A © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים ∗4.41 SABCהיא פירמידה ישרה ומשוכללת .גובה הפירמידה שווה למקצוע הבסיס . א .חשב את הזווית בין המקצוע הצדדי למישור הבסיס. ב .חשב את הזווית בין שתי הפאות הצדדיות של הפירמידה. ב. 67.38° . תשובה :א. 60° . פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-שוקיים 4.42 SABCהיא פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-שוקיים .(AB = AC) ABCנתון , )BAC = 2α , BC = a :הזווית שבין המקצוע הצדדי של הפירמידה לבין בסיס הפירמידה היא . βהבע את נפח הפירמידה באמצעות β , αו. a - תשובה: a 3 tan β 48sin 2 α 2a a . 4.43 בפירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-שוקיים ,( AB = AC ) ABCנתון )ABC = β :וגובה הפירמידה שאורכו Hיוצר זווית αעם המקצוע הצדדי של הפירמידה. הבע את נפח הפירמידה באמצעות α , Hו. β - תשובה. 23 H 3 tan 2 α sin 2 β sin 2β : a H b O 4.44 בפירמידה ישרה SABCשבסיסה משולש , ABC נתון SA = AB = AC = a :והזווית בין הפאה SBCלבסיס הפירמידה היא . 2β הבע את הגובה SOשל הפירמידה באמצעות aו. β - תשובה. a ⋅ cosβ : © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה S a a O B a 93 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 4.45 S בפירמידה ישרה SABCשבסיסה משולש שווה-שוקיים ,(AB=AC) ABC נתון. BC = 2a , )BSC = 2β , )BAC = α : 2b C a tan 2 α − tan 2 β הוכח כי גובה הפירמידה שווה ל- . tan α ⋅ tan β 2a A a B ∗4.46 S בפירמידה ישרה SABCשבסיסה משולש שווה-שוקיים , ABCנתון 7 :ס"מ = )BAC = 46° , AB = ACוהפאה הצדדית SBCיוצרת זווית בת 75°עם מישור הבסיס. חשב את שטח המעטפת של הפירמידה. תשובה 97.68 :סמ"ר. 7 C B 46 A 7 ∗4.47 בפירמידה ישרה SABCשבסיסה משולש שווה-שוקיים ,( AB = AC ) ABCנתון )ABC = 63° :והזווית בין המקצוע הצדדי לבסיס שווה ל. 71° - חשב את הזווית בין הפאות הצדדיות SABו. SAC - תשובה. 56.78° : B 63 C ∗4.48 בפירמידה משולשת וישרה SABCנתון כי: . BC = m3 3 , SA = SB = SC = AB = AC = m הזווית בין הפאה הצדדית SBCלמישור הבסיס היא , α והזווית בין הפאה הצדדית SABלפאה צדדית SACהיא . γ א .מצא את . cos α ב .מצא את . cos γ ג .על-פי התוצאות שקיבלת בסעיפים הקודמים, הוכח ללא שימוש במחשבון ,כי תשובה: 94 5 . cos α = 11 א. α+γ α − γ 61 ⋅ cos = 2 2 99 . cos ב. cos γ = 79 . © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב פירמידה ישרה שבסיסה משולש ישר-זווית S 4.49 נתונה פירמידה ישרה SABCשבסיסה משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים . (AC = BC) ABC אורך של כל אחד מהמקצועות הצדדיים של הפירמידה שווה לאורך היתר של הבסיס. א. חשב את הזווית בין המקצוע SC למישור הבסיס של הפירמידה. ב. B A C נתון כי אורך היתר של הבסיס שווה ל 6 2 -ס"מ .חשב את נפח הפירמידה. ב 44.1 .סמ"ק. תשובה :א. 60° . 4.50 בפירמידה ישרה SABCשבסיסה משולש ישר-זווית ,( )ACB = 90° ) ABC נתון 8 , )BAC = 35° :ס"מ = , ABהזווית בין הפאה הצדדית SBCלבסיס הפירמידה היא . 67° חשב את גובה הפירמידה. תשובה 7.72 :ס"מ. 8 4.51 35 S בפירמידה ישרה , SABCשבסיסה +ABCהוא משולש ישר-זווית ) , ( )ACB = 90°נתון, AB = c , )BAC = α : והזווית בין המקצוע SCלבסיס הפירמידה היא . β הבע את נפח הפירמידה באמצעות β , αו. c - תשובה: c B a 3 c . 24 ⋅ sin 2α tan β A C S ∗4.52 52 בסיסה של פירמידה ישרה SABCהוא משולש ישר-זווית ABC ) . ()ACB = 90°דרך גובה הפירמידה SOודרך קודקוד C העבירו מישור SOCהיוצר זווית בת 50°עם הפאה הצדדית . SABהזווית בין המקצוע הצדדי SAלבין המקצוע הצדדי SCשווה ל. 52° - א .חשב את הזווית שבין המקצועות הצדדיים SBו. SC - O © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה B A C 95 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים ב .חשב את הזווית בין המקצוע SAלבין מישור הבסיס. תשובה :א . 23.65° .ב. 60.99° . ∗4.53 בפירמידה ישרה , SABCשבסיסה +ABC הוא משולש ישר-זווית ), ()ACB = 90° נתון. )SCB = 62° , )SCA = 55° : חשב את הזוויות שיוצרות הפאות SACו SBC -בהתאמה עם מישור הבסיס. תשובה. 49.61° , 55.04° : 55 62 ∗4.54 בפירמידה משולשת וישרה , SABCשבסיסה +ABCהוא משולש ישר-זווית ), ()ACB = 90° נתון , )ABC = β :אורכו של התיכון ליתר ABהוא , dכל המקצועות הצדדיים של הפירמידה יוצרים זווית αעם הבסיס. א .הבע את נפח הפירמידה באמצעות α , dו. β - ב .חשב את זווית , αאם ידוע ש 5 , α = 2β :ס"מ = 47.5 , dסמ"ק = . V תשובה: אsin 2β ⋅ tan α . d3 3 . ב. 54.55° . פירמידה ישרה שבסיסה משולש שונה צלעות 4.55 S בפירמידה SABCישרה משולשת שבסיסה , +ABC נתון 4 :ס"מ = , )BAC = 39° , AB )ACB = 57°והזווית בין המקצוע הצדדי לבין בסיס הפירמידה שווה ל. 66° - חשב את נפח הפירמידה. 10.65סמ"ק. תשובה: C 39 57 A 4 B 96 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב 4.56 בפירמידה ישרה משולשת SABCשבסיסה , +ABC נתון 17 , )ACB = 75° :ס"מ = , SA גובה הפירמידה שווה ל 15 -ס"מ. חשב את הזווית בין המקצוע הצדדי SAלבין המקצוע הצדדי . SB תשובה. 54.06° : 75 4.57 בפירמידה ישרה משולשת SABCשבסיסה , +ABC נתון 7 :ס"מ = 8 , ABס"מ = ; )BAC = 42° , AC הפאה הצדדית SBCיוצרת זווית בת 68° עם מישור הבסיס. חשב את הגובה של הפאה הצדדית . SBC תשובה 8.09 :ס"מ. O S 8 C 42 A 7 B פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע שטח המעטפת: M = 2ah ) - aצלע הבסיס - h ,גובה הפאה הצדדית( שטח הפנים: P = a 2 + 2ah ) - aצלע הבסיס - h ,גובה הפאה הצדדית( הנפח: S H h D C 1 3 V = a2H ) - aצלע הבסיס - H ,גובה הפירמידה( E B O a a A 4.58 בפירמידה ישרה SABCDשבסיסה ריבוע , ABCD אורך צלע הבסיס שווה ל 5 -ס"מ ,והזווית בין המקצוע הצדדי לבין מישור הבסיס היא . 53° א .חשב את שטח המעטפת של הפירמידה. ב .חשב את שטח הפנים של הפירמידה. חשב את נפח הפירמידה. ג. תשובה :א 53.2 .סמ"ר .ב 78.2 .סמ"ר .ג 39.17 .סמ"ק. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה A 97 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 4.59 נתונה פירמידה ישרה SABCDשבסיסה ריבוע . ABCDגובה הפירמידה הוא Hוהזווית בין הפאה הצדדית לבין בסיס הפירמידה היא . β הבע את שטח הפנים של הפירמידה באמצעות Hו. β - תשובה: ) 4H 2 (1 + cos β tan β ⋅ sin β H . ∗4.60 בפירמידה ישרה SABCDשבסיסה ריבוע , ABCD נתון. )ASC = 2γ , SA = m : א .הבע את נפח הפירמידה באמצעות mו. γ - ב .הזווית בין הפאה הצדדית של הפירמידה לבין הבסיס היא . βהראה כי. tan β ⋅ tan γ = 2 : תשובה: 3 א. m3 sin γ ⋅ sin 2γ . ∗4.61 נתונה פירמידה ישרה SABCDשבסיסה ריבוע . ABCD הזווית בין שני מקצועות צדדיים סמוכים שווה ל. 70° - א .חשב את הזווית בין מקצוע צדדי לבסיס הפירמידה. ב .חשב את הזווית בין פאה צדדית לבין בסיס הפירמידה. תשובה :א . 36.39° .ב. 45.96° . 70 ∗4.62 שטח המעטפת של פירמידה ישרה , SABCDשבסיסה ריבוע , ABCDגדול פי 3משטח הבסיס. א .מצא את הזווית שבין שני המקצועות הצדדיים הסמוכים של הפירמידה. ב .מצא את הזווית שבין שני המקצועות הצדדיים הנגדיים של הפירמידה. תשובה :א . 36.87° .ב. 53.13° . ∗4.63 בפירמידה ישרה SABCDשבסיסה ריבוע , ABCDהזווית בין שתי פאות צדדיות סמוכות, שווה ל . 102° -מצא את הזווית שבין המקצוע הצדדי לבסיס הפירמידה. . 54.1° תשובה: 98 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב ∗∗4.64 בפירמידה ישרה SABCDשבסיסה ריבוע , ABCD פאות צדדיות סמוכות שווה ל. β - א .הבע את שטח הפנים של הפירמידה באמצעות aו. β - ב .באיזה תחום צריכה להימצא βכדי שיהיה פתרון לבעיה? נתון: תשובה: ⎞ 1 א⎟ . ⎠⎟ − cos β ⎛ . 4a 2 ⎜⎜1 + ⎝ AB = 2aוהזווית שבין שתי ב. 90° < β < 180° . פירמידה ישרה שבסיסה מצולע כלשהו 4.65 בפירמידה ישרה SABCDשבסיסה מלבן , ABCD נתון 4 :ס"מ = 3 , ABס"מ = ; BC נפח הפירמידה שווה ל 24 -סמ"ק. א .חשב את שטח המעטפת של הפירמידה. ב .חשב את הזווית שבין המקצוע הצדדי לבסיס הפירמידה. תשובה :א 43.68 .סמ"ר .ב. 67.38° . S D C 3 B A 4 S 4.66 בפירמידה ישרה SABCDשבסיסה מלבן , ABCD אורך המקצוע הצדדי הוא ; d . )BSC = 2β , )ASB = 2α הבע את נפח הפירמידה באמצעות β , αו. d - תשובה: . 43 d 3 sin α sin β ⋅ cos 2 α − sin 2 β 2b 2a D C d A B 4.67 בפירמידה ישרה SABCDשבסיסה טרפז שווה-שוקיים ,( AB & CD ) ABCDנתון: 3ס"מ = 4 , ABס"מ = ; )BAD = 110° , AD המקצוע הצדדי של הפירמידה יוצר זווית בת 75°עם מישור הבסיס. חשב את אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה. תשובה 11.82 :ס"מ. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 3 110 4 99 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 4.68 בפירמידה ישרה SABCDשבסיסה דלתון , ABCD נתון 10 , )BAD = 62° :ס"מ = ; AC המקצוע הצדדי של הפירמידה יוצר זווית בת 37°עם גובה הפירמידה. חשב את נפח הפירמידה. תשובה 97.7 :סמ"ק. 10 62 ∗4.69 בפירמידה ישרה שבסיסה משושה משוכלל ,הזווית שבין שני מקצועות צדדיים סמוכים שווה לזווית שבין מקצוע צדדי לבסיס הפירמידה .חשב את הזווית הנ"ל. תשובה. 42.94° : פירמידה לא ישרה ∗4.70 בפירמידה SABCשבסיסה +ABCהוא משולש ישר-זווית ), ()ACB = 90° המקצוע הצדדי SCמאונך למישור הבסיס. נתון 4 :ס"מ = 9 , ACס"מ = ; BCהפאה הצדדית SABיוצרת זווית בת 65°עם מישור הבסיס. חשב את גובה הפירמידה. תשובה 7.83 :ס"מ. ∗4.71 בפירמידה SABCDהבסיס הוא מלבן , ABCD הזווית שבין הפאה הצדדית SABלבין הבסיס היא . α הזווית שבין הפאה SBCלבין הבסיס היא . γ המקצוע הצדדי SDשאורכו , Hהוא גובה של הפירמידה. הבע את נפח הפירמידה באמצעות γ , αו. H - תשובה: 100 H3 3 tan α tan γ H . © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב בחלק מן השאלות בנושא פירמידה לא ישרה משתמשים במשפטים הבאים: משפט אם גובה הפירמידה פוגש את הבסיס במרכז המעגל החסום בבסיס ,אזי כל הזוויות בין הפאות הצדדיות לבסיס ,שוות זו לזו )וגם הגבהים של הפאות הצדדיות שווים זה לזה(. משפט הפוך אם בפירמידה כל הפאות הצדדיות יוצרות זוויות שוות עם הבסיס ,אזי גובה הפירמידה פוגש את הבסיס במרכז המעגל החסום בבסיס הפירמידה. ∗4.72 בפירמידה SABCשבסיסה ABCהוא משולש שווה-שוקיים ) , (AB = ACנתון 6 , )BAC = 52° :ס"מ = ; BCכל הפאות הצדדיות של הפירמידה יוצרות זווית בת 70°עם מישור הבסיס. חשב את נפח הפירמידה. תשובה 31.61 :סמ"ק. 52 6 ∗4.73 S בפירמידה SABCDשבסיסה מעוין , ABCD גובה הפירמידה פוגש את הבסיס בנקודת מפגש אלכסוני המעוין .אורך הגובה שווה לאורך האלכסון הגדול במעוין .הזווית החדה של המעוין שווה ל. 44° - חשב את הזווית שיוצרת כל אחת מהפאות הצדדיות עם בסיס הפירמידה. תשובה. 79.38° : D 44 C B O A ∗4.74 בפירמידה SABCDשבסיסה טרפז שווה-שוקיים ABCD ) , (AB & CD ,AB < CDנתון; )ADC = α , AD = a : כל אחת מן הפאות הצדדיות יוצרת זווית βעם מישור הבסיס. הבע את שטח המעטפת של הפירמידה באמצעות α , aו. β - תשובה: a 2 sin α cos β . © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה A a a D 101 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים גליל ישר הגדרה גליל ישר – גוף הנוצר על-ידי סיבוב המלבן סביב הציר העובר דרך אחת מצלעותיו של המלבן. h )ראה ציור :הגליל הוא הגוף הנוצר על-ידי סיבוב המלבן AA′O′Oסביב הצלע (. O′O R ניתן לומר ,שגליל ישר הוא גוף המוגבל על-ידי שני עיגולים חופפים ומקבילים ,ועל-ידי קטעים שווים ,המחברים את שפות העיגולים ומאונכים להם. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ בסיסי הגליל – שני העיגולים החופפים והמקבילים. רדיוס הגליל – רדיוס של בסיס הגליל. גובה הגליל – אנך המחבר את בסיסי הגליל. קו יוצר של הגליל – כל קטע המחבר את שפת העיגולים וניצב לעיגולים. החתך הצירי של הגליל – המישור המאונך לבסיסים ועובר דרך מרכזיהם: המישור הנ"ל הוא מלבן שצלע אחת שלו היא קוטר הבסיס ,והצלע השנייה היא הקו היוצר של הגליל. אם נפרוש את המעטפת של הגליל הישר, נקבל מלבן שצלע אחת שלו שווה להיקף מעגל הבסיס ,וצלע שנייה שווה לגובה הגליל. h שטח המעטפת של הגליל – שטחו של מלבן הפרישה: ) – Rרדיוס הגליל – h ,גובה הגליל( שטח הפנים של הגליל – סכום שטחם של המעטפת ובסיסי הגליל: נפח הגליל – מכפלת שטח הבסיס בגובה הגליל: 102 h R M = 2πRh P = 2πRh + 2πR 2 V = πR 2 ⋅ h © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב 4.75 בגליל ישר הנקודה O′היא מרכז הבסיס העליון ,הנקודה O היא מרכז הבסיס התחתון E ,היא נקודה כלשהי על שפת העיגול התחתון .הקטע O′Eשאורכו 10ס"מ ,יוצר זווית בת 56°עם הבסיס התחתון. א. ב. ג. חשב את שטח המעטפת של הגליל. חשב את שטח הפנים של הגליל. חשב את נפח הגליל. תשובה :א 291.16 .סמ"ר .ב 487.5 .סמ"ר. ג 813.82 .סמ"ק. O 10 O E 4.76 בגליל ישר שנפחו , Vהזווית בין אלכסוני החתך הצירי היא α ) αהיא הזווית שמול קוטר הבסיס(. הבע את גובה הגליל באמצעות Vו. α - תשובה: 4V α 2 π tan 2 3 4.77 שטח הבסיס של גליל ישר קטן פי 2משטח החתך הצירי של הגליל .חשב את הזווית החדה בין אלכסוני החתך הצירי של הגליל. . 64.98° תשובה: 4.78 בגליל ישר ,פרישת מעטפת הגליל היא מלבן AA'C'Cשבו האלכסון ' ACשווה לd - ו . )AC'C = α -הבע את שטח הפנים של הגליל באמצעות dו. α - ⎛ d2 ⎞ sin 2 α תשובה: . ⎜ sin 2α + ⎟ ⎝2 ⎠ π 4.79 בגליל ישר ,הנקודה Oהיא מרכז הבסיס התחתון; הנקודה Cהיא נקודה כלשהי על שפת הבסיס התחתון. נתון כי הקטע A′Cשאורכו , dיוצר זווית αעם הקו היוצר , AA′והזווית המרכזית המתאימה למיתר ACהיא . 2β הבע את שטח המעטפת של הגליל באמצעות α , dו. β - תשובה: πd 2 ⋅ sin2α 2sinβ . A d O A 2b C © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 103 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 4.80 בגליל ישר העבירו מישור AA′C′Cהמאונך לבסיסים והיוצר זווית αעם החתך הצירי AA′B′Bשל הגליל. האלכסון A′Cשל המלבן AA′C′Cשווה ל m -ויוצר זווית βעם מישור הבסיס. הבע את נפח הגליל באמצעות α , mו. β - תשובה: O B C m B πm3 ⋅ cos 2 β ⋅ sin β . 4 cos 2 α A C 4.81 בגליל ישר הנקודה O′היא מרכז הבסיס העליון והנקודה O היא מרכז הבסיס התחתון AE .הוא מיתר בבסיס התחתון. נתון. )AO′E = 2β , )AOE = 2α , AE = a : הבע את נפח הגליל באמצעות α , aו. β - תשובה: 104 πa 3 ⋅ sin 2 α − sin 2 β 8sin 3α sin β A 2b O O . E 2a a A © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה הגדרות ונוסחאות ,תרגילים פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב חרוט ישר הגדרה חרוט ישר – גוף הנוצר על-ידי סיבוב של משולש ישר-זווית סביב הציר העובר דרך אחד מהניצבים של המשולש. S l h )ראה ציור :החרוט הוא הגוף הנוצר על-ידי סיבוב המשולש ישר-זווית SOAסביב הניצב (. SO O A R ניתן לומר ,שחרוט ישר הוא גוף המוגבל על-ידי עיגול וקטעים שווים ,המחברים את שפת העיגול עם נקודה הנמצאת מחוץ למישור העיגול .הקטע המחבר את הנקודה הנ"ל אל מרכז העיגול מאונך למישור העיגול. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ בסיס החרוט – העיגול הנ"ל. רדיוס החרוט – רדיוס של בסיס החרוט. קוים יוצרים של החרוט – קטעים שווים ,המחברים את שפת הבסיס עם נקודה אחת, הנמצאת מחוץ למישור הבסיס. קודקוד החרוט – הנקודה המשותפת לכל הקווים היוצרים של החרוט. גובה החרוט – אנך המחבר את הקודקוד עם בסיס החרוט. החתך הצירי של החרוט – המישור הניצב לבסיס ,העובר דרך קוטר הבסיס וקודקוד החרוט. המישור הנ"ל הוא משולש שווה-שוקיים .שוקי המשולש הם הקווים היוצרים של החרוט. אם נפרוש את המעטפת של החרוט הישר ,נקבל גזרת עיגול שהרדיוס שלה שווה לקו היוצר של החרוט ואורך הקשת שלה שווה להיקף הבסיס של החרוט. S S l l A 2p R A l l h O R A O © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 105 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים M = πRA שטח המעטפת של החרוט – שטחה של גזרת עיגול הפרישה: ) – Rרדיוס החרוט – A ,קו היוצר של החרוט(. A2 ⋅ γ ניתן למצוא את שטח המעטפת של החרוט גם באמצעות הנוסחה: =M 2 ) – γהזווית המרכזית )ברדיאנים( של גזרת עיגול הפרישה – A ,קו היוצר של החרוט(. שטח הפנים של החרוט – סכום שטחם של המעטפת והבסיס: P = πRA + πR 2 ) – Rרדיוס החרוט – A ,קו היוצר של החרוט(. πR 2h נפח החרוט – שליש ממכפלת שטח הבסיס בגובה: 1 3 =V ) – Rרדיוס החרוט – h ,גובה החרוט(. 4.82 בחרוט ישר אורך הגובה הוא 7ס"מ ,הזווית בין הקו היוצר לבין הבסיס היא . 63° חשב את שטח המעטפת ,שטח הפנים ,ונפח החרוט. תשובה 88.11 :סמ"ר = 128.13 , Mסמ"ר = 93.38 , Pסמ"ק = . V 4.83 בחרוט ישר העלו אנך ממרכז הבסיס לקו היוצר של החרוט. אורך האנך הוא . mהזווית בין קו היוצר לגובה החרוט היא . α הבע את נפח החרוט באמצעות mו. α - תשובה: πm3 3cos 2 α sin α m . 4.84 6π פרישת המעטפת של חרוט ישר היא גזרה שהזווית המרכזית שלה היא 5 של החרוט שווה ל 60π -סמ"ר .חשב את שטחו של החתך הצירי של החרוט. תשובה 48 :סמ"ר. .שטח המעטפת 106 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 4.85 גובהו של חרוט ישר הוא 10ס"מ .הזווית בין גובה החרוט לבין קו היוצר היא . 25° חשב את הזווית המרכזית של פרישת המעטפת של החרוט. . 0.845π = 152.1° תשובה: 4.86 בחרוט ישר ,זווית הראש של החתך הצירי היא 2β והיקפו של החתך הצירי הוא . 2b 2b הבע את נפחו של החרוט באמצעות βו. b - תשובה: πb3 sin 2 β cos β . 3(1 + sin β)3 4.87 בחרוט ישר שקודקודו Sומרכז בסיסו , Oהעבירו מיתר . AB חיברו את Sעם הנקודות Aו. B - נתון , )ASB = β :הזווית בין קו היוצר לבין בסיס החרוט היא . α הבע את היחס שבין שטח החתך SABלבין שטח המעטפת של החרוט באמצעות αו. β - תשובה: sinβ 2πcosα b . 4.88 S בחרוט ישר שקודקודו Sומרכז בסיסו , O העבירו מיתר CEשאורכו . mנתון, )COE = 2α : הזווית בין גובה החרוט לקו היוצר היא . γ הבע את שטח הפנים של החרוט באמצעות α , mו. γ - תשובה: )πm 2 (1 + sinγ . 4sin 2 α ⋅ sinγ O E © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 2a m C 107 פרק :4בעיות טריגונומטריות במרחב הגדרות ונוסחאות ,תרגילים 4.89 SAו SC -הם שני קוים יוצרים בחרוט ישר. נתון , )ASC = 50° :הזווית בין מישור החתך SAC לבין בסיס החרוט היא , 61°רדיוס הבסיס הוא 5ס"מ. א .חשב את אורכו של הקו היוצר. ב .חשב את נפח החרוט. א 8.22 .ס"מ .ב 170.61 .סמ"ק. תשובה: 50 ∗4.90 נתון חרוט ישר שקודקודו Sומרכז בסיסו . O בבסיס החרוט חסום משולש שווה-שוקיים . ( AB = AC) ABCאת קודקוד החרוט S חיברו עם הנקודות B , Aו. C - נתון , )SCβ = γ , )ABC = β :גובה החרוט הוא . h הבע את רדיוס החרוט באמצעות β , hו. γ - תשובה: h cos γ sin 2β − cos 2 γ 2 h B . b g ∗4.91 בחרוט ישר ,מכפלת שטח הבסיס בשטח הפנים ,שווה לריבוע של שטח המעטפת. חשב את הזווית בין הקו היוצר לבסיסו של החרוט. תשובה. 51.83° : 108 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה
© Copyright 2024