‫סוג הבחינה‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫מועד הבחינה‪:‬‬ ‫‬ ‫מספר השאלון‪:‬‬ ‫‬ ‫מדינת ישראל‬ ‫משרד החינוך‬ ‫‬ ‫א‪ .‬בגרות לבתי ספר על־יסודיים‬ ‫ב‪ .‬בגרות לנבחנים אקסטרניים‬ ‫קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‬ ‫‪316 ,035806‬‬ ‫‬ ‫הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות‬ ‫מתמטיקה‬ ‫‪ 5‬יחידות לימוד — שאלון ראשון‬ ‫הוראות לנבחן‬ ‫א‪.‬‬ ‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות וחצי‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מבנה השאלון ומפתח ההערכה‪ :‬בשאלון זה שלושה פרקים‪.‬‬ ‫פרק ראשון‬ ‫—‬ ‫אלגברה והסתברות‬ ‫‬ ‫פרק שני‬ ‫—‬ ‫‬ ‫גאומטריה וטריגונומטריה‬ ‫‬ ‫— ‬ ‫‬ ‫פרק שלישי‬ ‫במישור‬ ‫—‬ ‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫—‬ ‫‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‬ ‫‪2 0#1‬‬ ‫‪20#2‬‬ ‫סה"כ‬ ‫—‬ ‫‪ 20‬נקודות‬ ‫—‬ ‫‪ 40‬נקודות‬ ‫— ‬ ‫‪ 100‬נקודות‬ ‫חומר עזר מותר בשימוש‪:‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫‬ ‫מחשבון לא גרפי‪ .‬אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות‪.‬‬ ‫שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫—‬ ‫‪20#2‬‬ ‫—‬ ‫‪ 40‬נקודות‬ ‫דפי נוסחאות (מצורפים)‪.‬‬ ‫הוראות מיוחדות‪:‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד‪.‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫התחל כל שאלה בעמוד חדש‪ .‬רשום במחברת את שלבי הפתרון‪ ,‬גם כאשר‬ ‫‬ ‫החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון‪.‬‬ ‫‬ ‫הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת‪.‬‬ ‫‬ ‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים‪.‬‬ ‫‬ ‫שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬ ‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫פרק ראשון — אלגברה והסתברות‬ ‫(‪ 40‬נקודות)‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 3-1‬לכל שאלה — ‪20‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫נקודות)‪- 2.‬‬ ‫‬‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫רץ ‪ I‬ורץ ‪ II‬יצאו באותו רגע מאותו מקום‪ .‬הם רצו במהירות קבועה ובאותו כיוון‪.‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫המהירות של רץ ‪ I‬הייתה ‪ 6‬קמ"ש‪ ,‬והמהירות של רץ ‪ II‬הייתה ‪ 7.5‬קמ"ש‪.‬‬ ‫כעבור ‪ 20‬דקות מרגע היציאה של שני הרצים‪,‬‬ ‫יצא רץ ‪ III‬מאותו מקום ובאותו כיוון‪ ,‬והוא רץ במהירות קבועה‪.‬‬ ‫רץ ‪ III‬פגש בדרך את רץ ‪ , I‬ושעה אחר כך הוא פגש את רץ ‪. II‬‬ ‫מצא כמה שעות עברו מרגע היציאה של רץ ‪ III‬עד לפגישתו עם רץ ‪. II‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪1‬‬ ‫נתונה סדרה חשבונית‪a1 , a2 , a3 , ... :‬‬ ‫היציאה‪, a‬‬ ‫שעברו‪a n + 2‬‬ ‫מקיימים‪:‬‬ ‫בסדרה‪,‬‬ ‫עוקבים‬ ‫לפגישתו עם רץ ‪II‬‬ ‫רץ‪ III, a‬עד‬ ‫השעות‬ ‫איבריםמספר‬ ‫שלושה‪— t‬‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫של ‪n‬‬ ‫מרגע ‪n + 1 ,‬‬ ‫‪a2n + 2 - a2n = 216‬‬ ‫‪ — v‬המהירות של רץ ‪III‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪a n + a n + 1 + a n + 2 = 54‬‬ ‫מצא את האיבר ‪. a n‬‬ ‫זמן‬ ‫מהירות‬ ‫(שעות)‬ ‫(קמ"ש)‬ ‫לקחו חלק מהאיברים בסדרה הנתונה ובנו סדרה חשבונית חדשה‪:‬‬ ‫רץ ‪ I‬עד הפגישה עם רץ ‪III‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫ ‪a9‬‬‫‪, 1a)13 , ...t +, 60‬‬ ‫‪a 4k-+11‬‬ ‫‪6a(t5 +, 60‬‬ ‫סכום כל האיברים בסדרה החדשה הוא ‪. 450‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪t + 60‬‬ ‫‪7.5‬‬ ‫עם רץ‬ ‫הפגישה‬ ‫רץ ‪ II‬עד‬ ‫בסדרה‬ ‫הראשון‬ ‫האיבר‬ ‫‪ III‬הנתונה בפתיח הוא ‪. a1 = - 21‬‬ ‫מצא את הערך של ‪. k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪v‬‬ ‫רץ ‪ III‬בין הפגישה עם רץ ‪ I‬לרץ ‪II‬‬ ‫הזמן של רץ ‪ III‬עד הפגישה עם רץ ‪ II‬מקיים‪:‬‬ ‫הזמן של רץ ‪ III‬בין הפגישה עם רץ ‪ I‬לרץ ‪ II‬מקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫נציב ‪ v = 1.5t + 6.5‬במשוואה ‪ , I‬ונקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫ ‪ , t 2 0‬לכן‪:‬‬ ‫דרך‬ ‫(ק"מ)‬ ‫‪20‬‬ ‫) ‪7.5 (t + 60‬‬ ‫‪v $1‬‬ ‫המשך בעמוד ‪3‬‬ ‫‪20‬‬ ‫) ‪7.5 (t + 60‬‬ ‫= ‪I. t‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫)‪7.5 (t + 60 ) - 6 (t + 60 - 1‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪v = 1.5t + 6.5‬‬ ‫‪1.5t2 - t - 2.5 = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 3‬שעות = ‪t‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫יצא רץ ‪ III‬מאותו מקום ובאותו כיוון‪ ,‬והוא רץ במהירות קבועה‪.‬‬ ‫רץ ‪ III‬פגש בדרך את רץ ‪ , I‬ושעה אחר כך הוא פגש את רץ ‪. II‬‬ ‫מצא כמה שעות עברו מרגע היציאה של רץ ‪ III‬עד לפגישתו עם רץ ‪. II‬‬ ‫‪-3-‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫נתונה סדרה חשבונית‪a1 , a2 , a3 , ... :‬‬ ‫שלושה איברים עוקבים בסדרה‪ , a n , a n + 1 , a n + 2 ,‬מקיימים‪:‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪a2n + 2 - a2n = 216‬‬ ‫‪a n + a n + 1 + a n + 2 = 54‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצא את האיבר ‪. a n‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫לקחו חלק מהאיברים בסדרה הנתונה ובנו סדרה חשבונית חדשה‪:‬‬ ‫‪a5 , a9 , a13 , ... , a 4k + 1‬‬ ‫סכום כל האיברים בסדרה החדשה הוא ‪. 450‬‬ ‫האיבר הראשון בסדרה הנתונה בפתיח הוא ‪. a1 = - 21‬‬ ‫מצא את הערך של ‪. k‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪2‬‬ ‫המשך בעמוד ‪3‬‬ ‫‪a2n + 2 - a2n = 216‬‬ ‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪(a n + 2 - a n) $ (a n + 2 + a n) = 216‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫נציב ‪ a n + 2 - a n = 2d‬ו־ ‪ , a n + 2 = a n + 2d‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪I. d (a n + d) = 54‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2d (2a n + 2d) = 216‬‬ ‫‪a n + a n + 1 + a n + 2 = 54‬‬ ‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪a n + a n + d + a n + 2d = 54‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪II. a n + d = 18‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫מ־ ‪ I‬ו־ ‪ II‬מקבלים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪a n = 15 , d = 3‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪-4‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.2‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫הפרש הסדרה החדשה הוא‪:‬‬ ‫‬ ‫מצאנו כי ‪ , d = 3‬לכן הפרש הסדרה החדשה הוא‪:‬‬ ‫‬ ‫‪ k‬מציין את מספר האיברים ‪ N‬בסדרה החדשה‪ ,‬כי‪:‬‬ ‫‬ ‫לכן סכום ‪ k‬האיברים בסדרה החדשה מקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫האיבר החמישי בסדרה הנתונה הוא‪:‬‬ ‫‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪a9 - a5 = a1 + 8d - (a1 + 4d) = 4d‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪k=N‬‬ ‫&‬ ‫)‪4k + 1 = 5 + 4 (N - 1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫))‪450 = 2 (2 $ a5 + 12 (k - 1‬‬ ‫‪a5 = - 21 + 3 (5 - 1) = - 9‬‬ ‫‪k‬‬ ‫))‪450 = 2 (- 2 $ 9 + 12 (k - 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪k = 10‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬ ‫‪-3‬‬‫‪.3‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪-5‬‬‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪ + 316 ,035806‬נספח‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫‬ ‫בעיר גדולה כל אחד מתלמידי כיתות י"ב בשנה מסוימת בוחר באחד משני המסלולים לטיול שנתי‪:‬‬ ‫מסלול א' או מסלול ב'‪.‬‬ ‫נמצא‪ 75% :‬מן התלמידים שבחרו במסלול א' הן בנות‪.‬‬ ‫‪ 10%‬מן הבנות בחרו במסלול ב'‪.‬‬ ‫‪ 40%‬מן התלמידים הם בנות‪.‬‬ ‫בוחרים באקראי תלמיד י"ב (בן‪/‬בת)‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שהוא בחר במסלול א' ?‬ ‫כאשר בוחרים באקראי תלמיד י"ב (בן‪/‬בת)‪ ,‬האם המאורע "התלמיד הוא בת"‬ ‫ב‪.‬‬ ‫והמאורע "התלמיד (בן‪/‬בת) בחר במסלול א' " הם מאורעות בלתי תלויים? נמק‪.‬‬ ‫בחרו באקראי כמה בנות מבין התלמידים‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫נמצא שההסתברות שלפחות אחת מהן בחרה במסלול א' היא ‪. 0.99‬‬ ‫(הבחירות של המסלולים על ידי הבנות שנבחרו הן בלתי תלויות‪).‬‬ ‫כמה בנות נבחרו?‬ ‫תשובה לשאלה ‪3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫נסמן‪ — A :‬קבוצת הבנות‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ — B‬קבוצת הבוחרים במסלול א'‬ ‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫‪P (B/A) = 0.1‬‬ ‫‪P (A) = 0.4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪P (A + B) = 0.1$ 0.4 = 0.04‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪P (A/B) = 0.75‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪40‬‬ ‫המשך בעמוד‬ ‫)‪P (A + B) = 0.75 P (B‬‬ ‫)‪P (A) = P (A + B) + P (A + B‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪0.4 = 0.75P (B) + 0.04‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪P (B) = 0.48‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מכפלת הסיכוי שיקרה המאורע "התלמיד הוא בת"‬ ‫בסיכוי שיקרה המאורע "התלמיד בחר במסלול א' " היא‪:‬‬ ‫‬ ‫הסיכוי שיקרה המאורע "התלמיד הוא בת וגם בחר במסלול א' " הוא‪:‬‬ ‫‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪P (A) $ P (B) = 0.4 # 0.48‬‬ ‫‪P (A + B) = 0.75 P (B) = 0.75# 0.48‬‬ ‫)‪P (A + B) ! P (A) $ P (B‬‬ ‫‪0‬‬ ‫המאורעות תלויים‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/6‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪-6‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.3‬‬ ‫ג‪ .‬ההסתברות שבת תבחר במסלול א' היא‪:‬‬ ‫‬ ‫ההסתברות שמבין ‪ n‬בנות לפחות אחת בחרה במסלול א' היא‪:‬‬ ‫)‪ m = 1 - Pn (0‬לפחות ‪P c‬‬ ‫אחת‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪P (B+ A) 0.75# 0.48‬‬ ‫‪= 0.9‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫= )‪P (A‬‬ ‫= )‪P (B/A‬‬ ‫נציב ‪ , Pn (0) = (1 - 0.9) n‬ונקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪0.99 = 1 - 0.1 n‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.1 n = 0.01‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪n=2‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬ ‫‪-4-‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪ + 316 ,035806‬נספח‬ ‫פרק שני — גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬ ‫ענה על אחת מהשאלות ‪. 5-4‬‬ ‫(‪ 20‬נקודות)‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪-7-‬‬ ‫שבמחברתך‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪ AC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ BD‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O2‬‬ ‫ישר משיק למעגלים ‪ O1‬ו־ ‪O2‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪O2‬‬ ‫בנקודות ‪ A‬ו־ ‪ B‬בהתאמה‪.‬‬ ‫‪O1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫המשיק חותך את קטע המרכזים ‪O1 O2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫נתון‪ :‬רדיוס המעגל ‪ O1‬הוא ‪ 30‬ס"מ‬ ‫רדיוס המעגל ‪ O2‬הוא ‪ 20‬ס"מ‬ ‫אורך קטע המרכזים ‪ O1 O2‬הוא ‪ 90‬ס"מ‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪O E‬‬ ‫(‪ )1‬מצא את היחס ‪ . O1 C‬נמק‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪ )2‬הוכח כי ‪. 3EO1 C +3EO2 D‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫הוכח כי הנקודה ‪ E‬נמצאת על הישר ‪. CD‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪4‬‬ ‫במשולש ישר־זווית ‪)B ACB = 90o ( ACB‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪o‬‬ ‫נקודה(‪ G)1‬היא אמצע‬ ‫‪B‬‬ ‫הניצב‪= 90‬‬ ‫‪ O1 AE =BO2 BE. AC‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫משיק למעגל מאונך לרדיוס‬ ‫נקודה ‪ P‬נמצאת על ‪ GB‬כך ש־ ‪( BG = 4 $ PG‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪ B‬זוויות קדקודיות הן שוות‬ ‫‪ O1 EA =BO2 EB‬‬ ‫‬ ‫‪R‬‬ ‫הוא‬ ‫‪CGB‬‬ ‫המשולש‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫רדיוס‬ ‫‪.‬‬ ‫‪G‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫ ‪= BC‬‬ ‫‪. GC‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫‪ O1 AE +3O2 BE‬‬ ‫‪3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ הבע באמצעות ‪ R‬את רדיוס המעגל‬ ‫‪0‬‬ ‫‪O E O E O O2 - O‬‬ ‫המשולש‬ ‫ החוסם את‬ ‫‪1E‬‬ ‫‪O1A = O2 B = .1ACB‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את ‪2‬מרחק הנקודה‪P 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪ACB‬‬ ‫המשולש‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫ממרכז‬ ‫‪.‬‬ ‫‪O1 E 90 - O1 E‬‬ ‫‬ ‫= ‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫על פי ז‪.‬ז‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫המשך בעמוד ‪5‬‬ ‫‪O1 E = 54‬‬ ‫‪O1 E 54‬‬ ‫‪O1 C = 30 = 1.8‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/8‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪-8‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.4‬‬ ‫‬ ‫‪O2 E O1 O2 - O1 E‬‬ ‫= ‪O2 D‬‬ ‫‪O2 D‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪O2 E 90 - 54‬‬ ‫‪O2 D = 20 = 1.8‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫מצאנו ‪ , BO1 AE =BO2 BE‬לכן‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AC z DB‬‬ ‫‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ CO1 E =BDO2 E‬‬ ‫זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו‬ ‫‪ EO1 C +3EO2 D‬‬ ‫‪3‬‬ ‫על פי צ‪.‬ז‪.‬צ‬ ‫מהדמיון מקבלים‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ O1 EC =BO2 ED = b‬‬ ‫‬ ‫מצאנו בתת־סעיף א(‪:)1‬‬ ‫‪BO1 EA =BO2 EB = a‬‬ ‫‬ ‫נקודה ‪ E‬על הישר ‪ , O1 O2‬לכן‪:‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫)‪BAED = 180 o - (b + a‬‬ ‫‬ ‫‪BCED = b + a +BAED‬‬ ‫‬ ‫‪BCED = b + a + 180 o - (b + a) = 180 o‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪O E‬‬ ‫‪O E‬‬ ‫‪O 2 D = O1 C‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הנקודה ‪ E‬על הישר ‪CD‬‬ ‫‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/9‬‬ ‫(‪ )1‬מצא את היחס ‪ . O1 C‬נמק‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪ )2‬הוכח כי ‪. 3EO1 C +3EO2 D‬‬ ‫הוכח כי הנקודה ‪ E‬נמצאת על הישר ‪- 9 - . CD‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫במשולש ישר־זווית ‪)B ACB = 90o ( ACB‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪A‬‬ ‫נקודה ‪ G‬היא אמצע הניצב ‪. AC‬‬ ‫נקודה ‪ P‬נמצאת על ‪ GB‬כך ש־ ‪( BG = 4 $ PG‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ CGB‬הוא ‪. R‬‬ ‫‪P‬‬ ‫נתון‪. GC = BC :‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ R‬את רדיוס המעגל‬ ‫א‪.‬‬ ‫החוסם את המשולש ‪. ACB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ R‬את מרחק הנקודה ‪P‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ממרכז המעגל החוסם את המשולש ‪. ACB‬‬ ‫מכאן במשולש ‪ BCG‬ישר־הזווית‬ ‫לפי משפט פיתגורס מתקיים‪:‬‬ ‫לפי הנתון ‪ , GC = BC‬לכן‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪(2R) 2 = BC2 + GC2‬‬ ‫‪GC = 2 R‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪ G‬אמצע ‪ , CA‬לכן‪:‬‬ ‫‬ ‫זווית היקפית של ‪ 90o‬נשענת על קוטר‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪C‬‬ ‫המשך בעמוד ‪5‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪5‬‬ ‫‪BG = 2R‬‬ ‫‬ ‫א‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪G‬‬ ‫‪CA = 2 2 R‬‬ ‫במשולש ישר־הזווית ‪ACB‬‬ ‫לפי משפט פיתגורס מתקיים‪:‬‬ ‫‪AB2 = BC2 + CA2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪AB2 = ( 2 R) 2 + (2 2 R) 2‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪AB = 10 R‬‬ ‫‬ ‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל החוסם את ‪ ACB‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2 R‬‬ ‫זווית היקפית של ‪ 90o‬נשענת על קוטר‬ ‫‪0‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫= ‪ = 2‬רדיוס המעגל החוסם את ‪3ACB‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/10‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫ ‪- 10‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.5‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫במשולש ישר־הזווית ‪ ACB‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪CA‬‬ ‫)‪CB = tg (BABC‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫)‪2 = tg (BABC‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪BABC = 63.435 o‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ , BCGB =BCBG = 45 o‬לכן‪BPBA = 63.435 o - 45 o = 18.435 o :‬‬ ‫‬ ‫מהנתון ‪ BG = 4PG‬נקבל‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪BP = 4 BG = 4 $ 2R = 2 R‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫נסמן ב־ ‪ O‬את מרכז המעגל החוסם את המשולש ‪, ACB‬‬ ‫ונקבל כי לפי משפט הקוסינוסים במשולש ‪ POB‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪PO2 = c 2 R m + b 2 R l - 2 $ 2 R $ 2 R $ cos 18.435 o‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪PO2 = BO2 + BP2 - 2 $ BO $ BP $ cos BPBA‬‬ ‫‪ , PO 2 0‬לכן‪:‬‬ ‫‪PO = 0.5R‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/11‬‬ ‫פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬ ‫של פונקציות שורש‪ ,‬של פונקציות רציונליות‬ ‫ושל פונקציות טריגונומטריות (‪ 40‬נקודות)‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 8-6‬לכל שאלה — ‪20‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫נקודות)‪- 11.‬‬ ‫‬‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫נתונות שתי פונקציות‪:‬‬ ‫‪f (x) = x 8 - x2‬‬ ‫‪g (x) = 8x2 - x 4‬‬ ‫(‪ )1‬לשתי הפונקציות יש אותו תחום הגדרה‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצא את תחום ההגדרה‪.‬‬ ‫(‪ )2‬מצא את נקודות החיתוך של כל אחת מהפונקציות )‪ f(x‬ו־ )‪ g(x‬עם הצירים‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של כל אחת מהפונקציות ‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫על פי הסעיפים א ו־ ב‪ ,‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪, f(x‬‬ ‫וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬ ‫לפניך ארבעה גרפים‪. IV-I ,‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫איזה מהגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת )‪ ? g'(x‬נמק‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪IV‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪III‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪II‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪6‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫המשך בעמוד ‪6‬‬ ‫‪8- x $0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪ )1‬צריך להתקיים‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫תחום ההגדרה של )‪ f(x‬ושל )‪: g(x‬‬ ‫‪-2 2 # x#2 2‬‬ ‫‬ ‫(‪)2‬‬ ‫‬ ‫‪x = 0 , x =! 2 2‬‬ ‫&‬ ‫‪f (x) = 0‬‬ ‫‬ ‫‪x = 0 , x =! 2 2‬‬ ‫&‬ ‫‪g (x) = 0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫נקודות חיתוך עם הצירים‬ ‫של )‪ f(x‬ושל )‪: g(x‬‬ ‫)‪(0 , 0) , (2 2 , 0) , (- 2 2 , 0‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/12‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫ ‪- 12‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.6‬‬ ‫‪- 2x‬‬ ‫‪8 - 2x2‬‬ ‫=‬ ‫‪2 8 - x2‬‬ ‫‪8 - x2‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪16x - 4x3‬‬ ‫‪8x - 2x3‬‬ ‫=‬ ‫‪2 8x2 - x 4‬‬ ‫‪8x 2 - x 4‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫עבור )‪ f(x‬נקודות "חשודות" לקיצון‪:‬‬ ‫‬ ‫עבור )‪ g(x‬נקודות "חשודות" לקיצון‪:‬‬ ‫&‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫מקסימום מוחלט של )‪: g(x‬‬ ‫‬ ‫מינימום מוחלט של )‪: g(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪(2 , 4‬‬ ‫)‪(- 2 , - 4‬‬ ‫)‪(2 , 4) (- 2 , 4‬‬ ‫)‪(- 2 2 , 0) (0 , 0) (2 2 , 0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-2 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-2 2 -2‬‬ ‫)‪ g'(x‬אינה מוגדרת עבור ‪x = 0‬‬ ‫‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫גרף ‪ III‬וגרף ‪ IV‬אינם מתאימים‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪ g(x‬עולה עבור ‪0 1 x 1 2 , - 2 2 1 x 1- 2‬‬ ‫‬ ‫)‪ g(x‬יורדת עבור ‪2 1 x 1 2 2 , - 2 1 x 1 0‬‬ ‫‬ ‫לכן‪ g'(x) :‬חיובית עבור ‪0 1 x 1 2 , - 2 2 1 x 1- 2‬‬ ‫‬ ‫)‪ g'(x‬שלילית עבור ‪0 1 x 1 2 2 , - 2 1 x 1 0‬‬ ‫‬ ‫‪8 x - 2x3 = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מינימום מוחלט של )‪: f(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x =! 2 , x = 0‬‬ ‫‪8 - 2x2 = 0‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪x =! 2‬‬ ‫&‬ ‫= )‪g'(x‬‬ ‫‪-2 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מקסימום מוחלט של )‪: f(x‬‬ ‫‪2 2 x‬‬ ‫‪8 - x2 + x‬‬ ‫= )‪f'(x‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫גרף ‪ I‬הוא הנכון‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/13‬‬ ‫תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫מתמטיקה‪,‬‬ ‫מתמטיקה‪- 13,‬‬ ‫‬‫קיץנספח‬ ‫‪+ 316‬‬ ‫תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪,035806‬‬ ‫‪-6‬‬‫‪(x - 2) 2‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪x2 - 1‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫שאלה ‪7‬‬ ‫= )‪. f (x‬‬ ‫(‪ )1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫(‪ )2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f(x‬המקבילות לצירים‪.‬‬ ‫(‪ )3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם הצירים‪.‬‬ ‫(‪ )4‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪ , f(x‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫רק על פי סעיף א‪ ,‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪.f(x‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫רק על פי הסקיצה של גרף הפונקציה )‪ f(x‬שסרטטת‪ ,‬מצא את התחום שבו מתקיים‪:‬‬ ‫פונקציית הנגזרת )‪ f'(x‬שלילית ופונקציית הנגזרת השנייה )‪ f''(x‬חיובית‪.‬‬ ‫נמק‪.‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪7‬‬ ‫‪x2 - 1 ! 0‬‬ ‫מוגדרת עבור‪:‬‬ ‫מלבן )‪f(x‬‬ ‫נתון (‪)1‬‬ ‫‪ .8‬א‪.‬‬ ‫‪. ABCD‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫הצלע ‪ DC‬מונחת על הקוטר של חצי מעגל‬ ‫‪xB!! 1‬‬ ‫תחום ההגדרה של )‪: f(x‬‬ ‫‬ ‫שהרדיוס שלו ‪ R‬ומרכזו ‪ M‬כך ש־ ‪. DC $ R‬‬ ‫המעגל)‪f(x‬‬ ‫אסימפטוטות של‬ ‫ הצלע(‪)2‬‬ ‫בנקודה ‪, D‬‬ ‫‪ AD‬משיקה לחצי‬ ‫המקבילות לצירים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪C y = 1 , x =! 1‬‬ ‫והקדקוד ‪ B‬נמצא על המעגל (ראה ציור)‪.‬‬ ‫חיתוך עם ציר ה־ ‪: y‬‬ ‫ נסמן‪= x)3(:‬נקודת‬ ‫‪BBMC‬‬ ‫‬ ‫המלבןציר ה־ ‪: x‬‬ ‫חיתוך עם‬ ‫‪ABCD‬‬ ‫נקודתשטח‬ ‫)‪— S (x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫)‪(2 , 0‬‬ ‫)‪& f (0) = - 4 & (0 , - 4‬‬ ‫& ‪f (x) = 0 & (x - 2) = 0 & x = 2‬‬ ‫המלבן )‪ S(x‬יהיה מקסימלי‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא מה צריך להיות ‪ , x‬כדי ששטח‬ ‫)‪2 (x - 2) (x2 - 1) - (x - 2) 2 (2x‬‬ ‫= )‪f'(x‬‬ ‫‬ ‫(‪)4‬‬ ‫‬ ‫באמצעות ‪ R‬את השטח‪2 - 1) 2‬‬ ‫המוגבל‪(x‬על ידי גרף הפונקציה )‪ S(x‬ועל ידי ציר ה־ ‪x‬‬ ‫ב‪ .‬הבע‬ ‫‪0‬‬ ‫ ‪r‬‬ ‫‪.‬‬ ‫בתחום ‪0 # x # 2‬‬ ‫)‪2 (x - 2) (2x - 1‬‬ ‫= )‪f'(x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(x - 1‬‬ ‫‬ ‫שיעורי ה־ ‪ x‬של הנקודות "החשודות" לקיצון‪:‬‬ ‫‬ ‫הנגזרת של המונה בפונקציית הנגזרת )‪ f'(x‬היא‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ = 2 (4 $ 2 - 5) 1 0‬הסימן של ) ‪f''( 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪2 (4x - 5‬‬ ‫פי‬ ‫למדינתעל‬ ‫שמורהנקבע‬ ‫)‪f''(x‬‬ ‫השנייה‬ ‫ישראל‬ ‫היוצרים‬ ‫הסימן של הנגזרת זכות‬ ‫‪0‬‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬ ‫הסימן של נגזרת המונה של )‪f'(x‬‬ ‫‪ = 2 (4 $ 2 - 5) 2 0‬הסימן של )‪f''(2‬‬ ‫כי המכנה של )‪ f'(x‬חיובי לכל ‪ , x‬לכן‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x=2 , x= 2‬‬ ‫&‬ ‫‪f'(x) = 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ל־ )‪ f(x‬מינימום ב־ ‪ x = 2‬ומקסימום ב־ ‪x = 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נקודות הקיצון של )‪ f(x‬הן‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מינימום ב־ )‪ , (2 , 0‬מקסימום ב־ ‪b 2 , - 3l‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/14‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫ ‪- 14‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.7‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪ f'(x) 1 0‬עבור‪:‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 1 x 11 , 11 x 1 2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫בתחום‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ f(x‬קעורה כלפי מעלה ‪ ,‬עבור‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪11 x 1 2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫בתחום ‪2 1 x 11 , 11 x 1 2‬‬ ‫‪ f''(x) 2 0‬עבור‪:‬‬ ‫‪11 x 1 2‬‬ ‫‬ ‫מכאן ‪ f'(x) 1 0‬ו־ ‪ f''(x) 2 0‬עבור‪:‬‬ ‫‪11 x 1 2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫כי בתחום זה )‪ f(x‬יורדת‬ ‫‪0‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/15‬‬ ‫רק על פי הסקיצה של גרף הפונקציה )‪ f(x‬שסרטטת‪ ,‬מצא את התחום שבו מתקיים‪:‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫פונקציית הנגזרת )‪ f'(x‬שלילית ופונקציית הנגזרת השנייה )‪ f''(x‬חיובית‪.‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪- 15 -‬‬ ‫נמק‪.‬‬ ‫שאלה ‪8‬‬ ‫נתון מלבן ‪. ABCD‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫הצלע ‪ DC‬מונחת על הקוטר של חצי מעגל‬ ‫‪B‬‬ ‫שהרדיוס שלו ‪ R‬ומרכזו ‪ M‬כך ש־ ‪. DC $ R‬‬ ‫הצלע ‪ AD‬משיקה לחצי המעגל בנקודה ‪, D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫והקדקוד ‪ B‬נמצא על המעגל (ראה ציור)‪.‬‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪BBMC = x‬‬ ‫)‪ — S (x‬שטח המלבן ‪ABCD‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצא מה צריך להיות ‪ , x‬כדי ששטח המלבן )‪ S(x‬יהיה מקסימלי‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ R‬את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ S(x‬ועל ידי ציר ה־ ‪x‬‬ ‫‪r‬‬ ‫בתחום ‪. 0 # x # 2‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪8‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫במשולש ישר־הזווית ‪ MBC‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫שטח המלבן ‪ ABCD‬הוא‪:‬‬ ‫‪MC = R cos x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪S (x) = BC $ (R + MC‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪S (x) = R sin x (R + R cos x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪BC = R sin x‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪S (x) = R2 sin x + 2 sin (2x‬‬ ‫נשתמש בזהות ‪ , sin (2x) = 2 sin x cos x‬ונקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫))‪S'(x) = R2 cos x + 2 $ 2 cos (2x) = R2 (cos x + cos (2x‬‬ ‫‬ ‫‪S'(x) = 0‬‬ ‫‪cos x + cos 2x = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫נשתמש בזהות ‪ , cos (2x) = cos2 x - sin2 x‬ונקבל‪cos x + cos2 x - sin2 x = 0 :‬‬ ‫‬ ‫נשתמש בזהות ‪ , sin2 x = 1 - cos2 x‬ונקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2 cos2 x + cos x - 1 = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫&‬ ‫‪ x‬זווית חדה במשולש‪ ,‬לכן ‪ , cos x !- 1‬ולכן‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪x= 3‬‬ ‫&‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cos x = 2‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/16‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫ ‪- 16‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.8‬‬ ‫)‪S''(x) = R2 (- 2 sin (2x) - sin x‬‬ ‫בדיקת מקסימום‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪2r‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪S'' a 3 k = R2 b- 2 sin 3 - sin 3 l = R2 c- 2 $ 2 - 2 m‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪r‬‬ ‫‪S'' a 3 k 1 0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪r‬‬ ‫ל־ )‪ S(x‬מקסימום ב־ ‪x = 3‬‬ ‫‬ ‫‪r‬‬ ‫הערכים של )‪ S(x‬אינם שליליים בתחום ‪0 # x # 2‬‬ ‫‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪r‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R2 (sin x + 2 sin (2x)) dx = R2 [- cos x - 4 cos (2x)] 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫= השטח המבוקש‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ = R2 (- cos 2 - 4 cos (2 $ 2 ) + cos 0 + 4 cos 0‬השטח המבוקש‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ = 2 R2‬השטח המבוקש‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬