‫תרגיל בנושאים בטריגונומטריה )כולל הצגה טריגונמטרית של מספרים מרוכבים ומישור גאוס(‪.‬‬ ‫‪ .1‬א‪ .‬בקורסים של אנליזה מתמטית לומדים שעבור ערכים "קטנים" של ‪. sin x ≈ x ,x‬‬ ‫א‪ .‬מלאו את הטבלה הבאה בעזרת מחשבון‪:‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.08‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫ב‪ .‬בדקו בעזרת מחשבון‪ ,‬כמה "קטנים" צריכים להיות הערכים של ‪ x‬על מנת שההפרש בין ערך של ‪sin‬‬ ‫‪ x‬לבין הערך של ‪ x‬יהיה קטן מ – ‪ ?0.0002‬קטן מ – ‪ ?0.0001‬מ – ‪ ?0.01‬מ – ‪?0.1‬‬ ‫ג‪ .‬מה ניתן לטעון לגבי ערכי ‪ cos x‬עבור ערכים "קטנים" של ‪ ?x‬מהו הפירוש‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬של הביטוי‬ ‫"ערכים קטנים"?‬ ‫ד‪ .‬הסבירו מה פירוש שני השוויונים המקורבים עליהם מדובר בסעיפים א'‪ ,‬ב' לגבי הגרפים של ‪sin x‬‬ ‫ושל ‪.cos x‬‬ ‫ה‪ .‬האם השוויון ‪ sin x ≈ x‬מתקיים אם מביעים את ‪ x‬במעלות? האם יש משמעות להשוואה בין שני‬ ‫ערכים אלה במקרה זה?‬ ‫‪.2‬השתמשו במחשבון ו ‪ /‬או במעגל הטריגונומטרי ו ‪ /‬או בזהויות הידועות לכם ו ‪ /‬או בערכים הידועים‬ ‫לכם של הפונקציות הטריגונומטריות‪ ,‬ו ‪ /‬או בגרפים של שתי הפונקציות אותם תשרטטו באותה‬ ‫מערכת צירים‪ ,‬כדי למצוא את הפתרונות הכלליים של המשוואות הבאות‪:‬‬ ‫א‪ ; cos x = -0.5 .‬ב‪ ; cos x = -1 .‬ג‪ ; sin x = cos x .‬ד‪;|sin x| = - cos x .‬‬ ‫‪ .3‬שערו ללא שימוש במחשבון‪ ,‬אילו מהאי שוויונים הבאים נכונים‪:‬‬ ‫‪ ; cos 0.5 > 0.5 .4‬ב‪ ; cos 1 >1 .‬ג‪ ; sin 2 <0 .‬ד‪ ;sin 3 < cos 3 .‬ה‪cos 8 >0 .‬‬ ‫כדי לשער השערות מבוססות‪ ,‬השתמשו בגרפים של הפונקציות הטריגונומטריות או במעגל‬ ‫הטריגונומטרי‪.‬‬ ‫בדקו את השערותיכם בעזרת מחשבון‪ ,‬ונסו להבין איפה טעיתם )אם טעיתם!(‬ ‫‪.5‬ענו ללא שימוש במחשבון‪ ,‬אלא באמצעות המעגל הטריגונומטרי בלבד‪:‬‬ ‫א‪ .‬מה גדול יותר‪ sin 4 :‬או ‪ sin 14 ?sin 40‬או ‪?sin 140‬‬ ‫ב‪ .‬האם קיים מספר רציונלי ‪ a‬השונה מ‪ 0-‬אשר מקיים את השוויון ‪ ? sin a = sin a‬הנחיה‪ :‬על מנת‬ ‫לענות לשאלה זו‪ ,‬עליכם להסתמך על תכונות של מספר ‪ π‬ועל הפתרון הכללי של משאווה‬ ‫טריגונומטרית בסיסית‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ג‪ .‬האם קיים מספר אי‪-‬רציונלי ‪ a‬השונה מ‪ 0-‬אשר מקיים את השוויון ‪ ?sin a0 = sin a‬אם לא – הסבירו‬ ‫מדוע‪ .‬אם כן – כמה מספרים כאלה קיימים? תנו תשובה ממצה‪.‬‬ ‫‪ .6‬רשמו את הפתרונות הכלליים של האי שוויונים האלה‪:‬‬ ‫‪; cos x > - sin x‬‬ ‫‪. |sin x| ≤ cos x ;| tan x| + |cot x| ≤ 2‬‬ ‫‪ .7‬הוכיחו את הזהויות הבאות‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫; ‪a cos x ± b cos x = a 2 + b 2 sin( x ± ϕ) , ϕ = tan −1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫; ‪a cos x ± b cos x = a 2 + b 2 cos( x ∓ ϕ) , ϕ = tan −1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫בעבודה על השאלות ‪ 9 ,8‬כדאי להתבסס על הזהויות ‪:7‬‬ ‫סמ' א תשס"ט‬ ‫תרגיל מס' ‪ 2‬בקורס "גיאומטריה"‬ ‫פרופ' י‪ .‬קנאי דר' מ‪ .‬ברבש‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .8‬גרף הפונקציה ‪ y=sinx‬נקרא גם "סינוסואידה" )‪ .(sinusoid‬מדוע גם לגרף של פונקציה ‪ y=cosx‬גם‬ ‫ניתן לקרוא באותו שם?‬ ‫‪ .9‬בשרטוט מופיעים גרפים של פונקציות ‪ y=a⋅sinx, y=b⋅cosx‬וגם גרף הפונקציה ‪y=a⋅sinx + b⋅cosx‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫א‪ .‬התאימו גרפים לפונקציות;‬ ‫ב‪ .‬מצאו את משרעת פונקצית הסכום )ערך מקורב( ואת שיעור נקודת החיתוך שלה עם ציר ‪.y‬‬ ‫‪ .10‬בשרטוט מופיעים גרפים של פונקציות ‪ y=a⋅sinx, y=a⋅cos2x,‬וגם גרף הפונקציה‬ ‫‪.y=a⋅sinx + a⋅cos2x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫סמ' א תשס"ט‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫תרגיל מס' ‪ 2‬בקורס "גיאומטריה"‬ ‫פרופ' י‪ .‬קנאי דר' מ‪ .‬ברבש‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪ .‬התאימו גרפים לפונקציות;‬ ‫ב‪ .‬האם פונקצית הסכום היא פונקציה מחזורית? אם כן – מהו המחזור שלה? אם לא – מדוע?‬ ‫בשרטוט מופיעים גרפים של פונקציות ‪ y=a⋅sinx, y=b⋅cos(rx),‬וגם גרף הפונקציה‬ ‫‪.11‬‬ ‫)‪.y=a⋅sinx + b⋅cos(rx‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫א‪ .‬התאימו גרפים לפונקציות;‬ ‫ב‪ .‬האם פונקצית הסכום היא פונקציה מחזורית? אם כן – מהו המחזור שלה? אם לא – מדוע?‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .12‬האם פונקציה ‪ y = tan x‬היא פונקציה מחזורית? אם לא – מדוע? אם כן – מהו המחזור שלה?‬ ‫‪3‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ .13‬א‪ .‬הראו כי אם‬ ‫‪s‬‬ ‫ב‪ .‬מהו המחזור של פונקציה זו?‬ ‫ג‪ .‬האם הטענה ההפוכה לטענה א' נכונה גם היא?‬ ‫הוא מספר רציונלי אז הפונקציה )‪ y=a⋅sin(sx) + b⋅cos(rx‬מחזורית‪.‬‬ ‫סמ' א תשס"ט‬ ‫תרגיל מס' ‪ 2‬בקורס "גיאומטריה"‬ ‫פרופ' י‪ .‬קנאי דר' מ‪ .‬ברבש‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .14‬בשרטוט מופיעים גרפים של פונקציות ‪ y=a⋅tanx, y=b⋅tan(rx),‬וגם גרף הפונקציה‬ ‫)‪.y=a⋅tanx + b⋅tan(rx‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫א‪ .‬התאימו גרפים לפונקציות;‬ ‫ב‪ .‬האם פונקצית הסכום היא פונקציה מחזורית? אם כן – מהו המחזור שלה? אם לא – מדוע?‬ ‫‪.15‬‬ ‫א‪ .‬הוכיחו כי לכל שני מספרים מרוכבים ‪ z1, z2‬מתקיים‬ ‫) ‪. | z1 + z 2 | 2 + | z 1 − z 2 | 2 = 2(| z1 | 2 + | z 2 | 2‬‬ ‫ב‪ .‬איזה משפט בגיאומטריה של מישור מבטא שוויון זה?‬ ‫‪ .16‬מהו התנאי לכך שערך מוחלט של סכום שני מספרים מרוכבים יהיה שווה לסכום הערכים המוחלטים‬ ‫של המחוברים? ענו לשאלה דומה לגבי הפרש שני מספרים מרוכבים‪.‬‬ ‫‪πn‬‬ ‫‪πn‬‬ ‫‪ .17‬הראו כי א‪+ i sin ) .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(1 + i) = 2 (cos‬‬ ‫‪πn‬‬ ‫‪πn‬‬ ‫‪( 3 − i) = 2 (cos‬‬ ‫ב‪− i sin ) .‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2πn‬‬ ‫‪2πn‬‬ ‫‪+ i sin‬‬ ‫‪ .18‬חשבו ‪ − n ) (1 + w ) n‬טבעי( ‪ ,‬כאשר )‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ . w = (cos‬הנחיה‪ :‬חשבו קודם ‪.w2‬‬ ‫‪.19‬‬ ‫א‪ .‬על ידי שימוש חוזר בנוסחאות ‪ sin‬של סכום או ‪ cos‬של סכום ניתן להביע ‪ sin 3α‬באמצעות צירוף‬ ‫ליניארי של חזקות של ‪ sin α‬בלבד )במילים אחרות‪ ,‬כפולינום ב – ‪ ,(sin α‬ואת ‪ - cos 3α‬כפולינום ב‪-‬‬ ‫‪cos α‬בלבד )עשו זאת!(‬ ‫סמ' א תשס"ט‬ ‫תרגיל מס' ‪ 2‬בקורס "גיאומטריה"‬ ‫פרופ' י‪ .‬קנאי דר' מ‪ .‬ברבש‬ ‫‪4‬‬ ‫ב‪ .‬הראו כי ניתן להביע ‪ sin 5α‬כפולינום ב‪ ,sin α -‬ו‪ - cos 3α -‬בפולינום ב‪) cos α-‬הנחיה השתמשו‬ ‫בנוסחת ‪.(De Moivre‬‬ ‫ג‪ .‬הוכיחו כי לכל ‪ n‬אי זוגי‪ ,‬ניתן להביע את ‪ sin nα‬כפולינום ב‪ ,sin α -‬ואת ‪ - cos nα‬כפולינום ב‪-‬‬ ‫‪.cos α‬‬ ‫‪ .20‬הראו כי סכום ‪ n‬וקטורים שראשיתם – בראשית הצירים וקצותיהם ‪ -‬בקדקודי מצולע משוכלל בעל ‪n‬‬ ‫צלעות החסום במעגל שמרכזו בראשית‪ ,‬שווה ל‪ . 0 -‬הנחיה הראו קודם כי מספיק להראות זאת עבור‬ ‫מצולע החסום במעגל היחידה‪.‬‬ ‫‪ .21‬מצאו את שיעורי הקדקודים של מחומש משוכלל שאחד הקדקודים שלו נמצא בנקודה נתונה ‪.z0‬‬ ‫‪ .22‬יהיו ‪ – w1, w2‬שני שורשים שונים ממעלה ‪ n‬של ‪ – n) 1‬טבעי כלשהו(‪ .‬הראו כי מכפלתם ומנתם גם הם‬ ‫שורשים ממעלה ‪ n‬של ‪.1‬‬ ‫‪ .23‬הראו כי שני שורשי ‪ 1‬ממעלה ‪ 3‬שאינם ממשיים מקיימים את המשוואה ‪.z2+z+1=0‬‬ ‫‪ .24‬טרנספורמציית מישור נקראת אפינית אם היא שומרת על קוליניאריות של נקודות )כלומר‪ ,‬הימצאות‬ ‫של נקודות על ישר אחד(‪ ,‬ועל היחסים בין אורכים על ישר אחד‪ ,‬כלומר‪:‬‬ ‫אם ‪ C ,B,A‬הן שלוש נקודות כלשהן במישור‪ ,‬ו‪ – TC ,TB ,TA -‬תמונות של נקודות אלה תחת‬ ‫טרנספורמציה אפינית ‪ ,T‬אז ‪ TC ,TB ,TA‬נמצאות על ישר אחד אם ‪ C ,B ,A‬היו על ישר אחד‪ ,‬וכן‬ ‫)‪ r(A,B) ) ,r(TA,TB):r(TB,TC):r(TA,TC) = r(A,B):r(B,C):r(A,C‬מסמן את המרחק בין‬ ‫הנקודות ‪.(B ,A‬‬ ‫א‪ .‬נסחו את ההגדרה במונחים של אינווריאנטיות‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ב‪ .‬הראו כי כפל במספר מרוכב נתון )כלומר‪ ,‬הטרנספורמציה ‪→ cz‬‬ ‫‪ − c) z‬קבוע מרוכב( (‪,‬‬ ‫הוא טרנספורמציה אפינית‪ .‬הנחיה התבססו על ההצגה הטריגונומטרית של מספר מרוכב‬ ‫ג‪ .‬הראו כי כפל במספר מרוכב ניתן להציג כהרכבה של שתי טרנספורמציות במישור‪ :‬סיבוב מזווית‬ ‫נתונה סביב הראשית ושינוי המרחק מהראשית‪.‬‬ ‫ד‪ .‬האם כל אחת משתי הטרנספורמציות לעיל היא טרנספורמציה אפינית?‬ ‫ד‪ .‬תנו דוגמה למספר מרוכב שהכפל בו הוא סיבוב ללא שינוי המרחק מהראשית‪.‬‬ ‫ה‪ .‬באוגדן תרגילי רקע )תרגיל ‪ 9‬עמוד ‪ (4‬סיבוב של מישור ביחס לראשית הוגדר על ידי‬ ‫סיבוב בזווית ‪α‬‬ ‫) '‪A ' ( x ' , y‬‬ ‫→‬ ‫)‪A ( x , y‬‬ ‫)'‪ .A'(x⋅cosα + y⋅sinα, -x⋅sinα + y⋅cosα) = A'(x', y‬הראו‬ ‫כי כפל במספר ‪ c = cosα + isin α‬שקול להגדרה זו של סיבוב‪.‬‬ ‫ו‪ .‬הציעו פעולה במספרים מרוכבים שמשמעותה הגיאומטרית היא טרנספורמציית ההזזה )תרגיל ‪6h‬‬ ‫עמוד ‪ ,3‬אוגדן תרגילי רקע(‪.‬‬ ‫ז‪ .‬האם הטרנספורמציה שהגדרתם בסעיף ו' היא טרנספורמציה אפינית?‬ ‫סמ' א תשס"ט‬ ‫תרגיל מס' ‪ 2‬בקורס "גיאומטריה"‬ ‫פרופ' י‪ .‬קנאי דר' מ‪ .‬ברבש‬ ‫‪5‬‬ ‫ח‪ .‬אינוורסיה ביחס למעגל )‪) S(O,R‬כלומר מעגל בעל רדיוס ‪ R‬שמרכזו – בראשית הצירים( היא‬ ‫‪R2‬‬ ‫= '‪: z‬‬ ‫טרנספורמציה המוגדרת על ידי‬ ‫'‪. z → z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫הסבירו את המשמעות הגיאומטרית של אינוורסיה ביחס למעגל‪.‬‬ ‫ט‪ .‬האם אינוורסיה היא טרנספורמציה אפינית?‬ ‫י‪ .‬תנו דוגמה לקבוצות במישור אשר אינווריאנטיות תחת אינוורסיה ביחס למעגל‪.‬‬ ‫יא‪ .‬הכלילו את הגדרת האינוורסיה למקרה שהמרכז המעגל אינו בראשית הצירים אלא בנקודה כלשהי‬ ‫‪ z0‬של המישור המרוכב‪.‬‬ ‫‪ .25‬כתבו אלגוריתם לשרטוט מספר שלבי היווצרות של "פתית השלג של קוך" ‪Koch Snowflake‬‬ ‫‪ http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html‬המבוסס על הצגה הגיאומטרית של‬ ‫מספרים במישור המרוכב‪.‬‬ ‫סמ' א תשס"ט‬ ‫תרגיל מס' ‪ 2‬בקורס "גיאומטריה"‬ ‫פרופ' י‪ .‬קנאי דר' מ‪ .‬ברבש‬ ‫‪6‬‬