‫דטרמיננטים‪-‬שימושים‬ ‫בפרק זה נדון בקשר של דטרמיננטים‬ ‫לשני נושאים קודמים‪:‬‬ ‫‪ .1‬דטרמיננטים והפיכות‪.‬‬ ‫‪ .2‬דטרמיננטים ומערכת משוואות לינאריות‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אלגברה לינארית‪-‬החוג למדעי המחשב‬ ‫‪.1‬דטרמיננטים והפיכות‬ ‫‪2‬‬ ‫אלגברה לינארית‪-‬החוג למדעי המחשב‬ ‫דטרמיננטים והפיכות‬ ‫הקשר בין דטרמיננטים והפיכות‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ ‬מטריצה ריבועית ‪ A‬היא הפיכה אםם ‪. A  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם ‪ A‬הפיכה אזי מתקיים ‪A‬‬ ‫הוכחה‪ :‬בהרצאה‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫אלגברה לינארית‪-‬החוג למדעי המחשב‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.A‬‬ ‫דטרמיננטים והפיכות‬ ‫המטריצה הצמודה הקלאסית‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫תהי ‪A  R nn‬‬ ‫ראינו כי ‪ M‬הינו המינור המתאים לאיבר ‪.aij‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫המספר ‪ M ij‬‬ ‫‪Aij   1‬‬ ‫‪i j‬‬ ‫נקרא משלים אלגברי לאיבר ‪.aij‬‬ ‫‪ 2 3  4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A  0  4 2 ‬‬ ‫‪ 1 1 5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמא‪ :‬נתונה המטריצה‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ M 32   1 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫אלגברה לינארית‪-‬החוג למדעי המחשב‬ ‫נחשב את ‪A32‬‬ ‫‪A32   1‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫דטרמיננטים והפיכות‬ ‫המטריצה הצמודה הקלאסית‪ ,‬המשך‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫תהי ‪A  R nn‬‬ ‫המטריצה המוחלפת של המשלימים האלגבריים של איברי ‪,A‬‬ ‫נקראת המטריצה הצמודה הקלאסית של ‪A‬‬ ‫ומסומנת ע"י ‪adjA‬‬ ‫‪An1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ An 2 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Ann ‬‬ ‫‪A21 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪A22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A2 n‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪A1n   A11‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ A2 n   A12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ Ann   A1n‬‬ ‫‪A12 ‬‬ ‫אלגברה לינארית‪-‬החוג למדעי המחשב‬ ‫‪A22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪An 2‬‬ ‫‪ A11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ A21‬‬ ‫‪adjA  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ n1‬‬ ‫דטרמיננטים והפיכות‬ adjA ‫דוגמא לחישוב‬ . adjA ‫נחשב את‬  A11  adjA   A21 A  31 A12 A22 A32 t A13   A11   A23    A12 A33   A13 A21 A22 A23  2 3  4   A  0  4 2   1 1 5    A31   A32   A33   4 2 3 4   111  121 1 5 1 5   2 2 4 1 2 0  12 2    1 1 5 1 5   4 3 1 3 0 23 2  1   1 1  1 1 1    18  11  10     2 14  4   4 5 ‫המחשב‬ ‫למדעי‬ 8  ‫החוג‬-‫אלגברה לינארית‬  ‫נתונה המטריצה‬  131 3 4 3 2 2  1 0 3 3 2  1 0 4  2  4   2  3    4  6 ‫דטרמיננטים והפיכות‬ ‫המטריצה הצמודה הקלאסית‪ ,‬המשך‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫עבור מטריצה ריבועית ‪ A  R nn‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A  adjA  adjA  A  A  I n  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫הוכחה‪ :‬הוכחת מקרה פרטי ‪ n  4‬כתרגיל בית‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫אלגברה לינארית‪-‬החוג למדעי המחשב‬ ‫דטרמיננטים והפיכות‬ ‫המטריצה הצמודה הקלאסית‪ ,‬המשך‬ ‫מסקנה שימושית להפיכת מטריצה‪:‬‬ ‫עבור מטריצה ריבועית ‪ A  R nn‬הפיכה מתקיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A   adjA‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הוכחת המסקנה‪ :‬בהרצאה‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫אלגברה לינארית‪-‬החוג למדעי המחשב‬ ‫דטרמיננטים והפיכות‬ ‫דוגמא להפיכת מטריצה ע"י שימוש במסקנה‬ ‫עבור המטריצה‬ ‫‪ 2 3  4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A  0  4 2 ‬‬ ‫‪ 1 1 5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫נחשב את ‪. A1‬‬ ‫פתרון‪ A :‬הפיכה כי מתקיים ( בדקו! ) ‪A  46  0‬‬ ‫‪ 10 ‬‬ ‫חישבנו קודם את הצמודה הקלאסית של ‪ A‬וקיבלנו ‪‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪ 8 ‬‬ ‫‪  18  11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪adjA   2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ע"י שימוש במסקנה נקבל‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪  18  11  10   23‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪23 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪A1   adjA ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪14  4     1‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪23 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 46 ‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 8    2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪23 ‬‬ ‫‪ 23‬‬ ‫‪9‬‬ ‫אלגברה לינארית‪-‬החוג למדעי המחשב‬ ‫דטרמיננטים והפיכות‬ ‫המטריצה הצמודה הקלאסית‪ ,‬המשך‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪ A  R nn‬הפיכה מתקיים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫עבור מטריצה ריבועית‬ ‫‪‬‬ ‫עבור מטריצה ריבועית ‪ A  R nn‬הפיכה מתקיים‪:‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪adjA  A‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪A  adjA  A‬‬ ‫הוכחת ההערות‪ :‬בהרצאה‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫אלגברה לינארית‪-‬החוג למדעי המחשב‬ ‫‪.2‬דטרמיננטים ופתרון‬ ‫מערכת משוואות לינאריות‬ ‫כלל קרמר‬ ‫‪11‬‬ ‫אלגברה לינארית‪-‬החוג למדעי המחשב‬ ‫כלל קרמר‬ ‫כלל קרמר‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫תהי נתונה מערכת ריבועית‬ ‫‪Ax  b ; A  R nn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫למערכת המשוואות (‪ )1‬יש פתרון יחיד אםם ‪A  0‬‬ ‫הפתרון היחיד נתון ע"י‪:‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪xi  ; i  1,2,, n‬‬ ‫‪A‬‬ ‫כאשר ‪  i‬הנו הדטרמיננט של המטריצה המתקבלת מהמטריצה ‪A‬‬ ‫ע"י החלפת העמודה ה ‪- i‬ית בווקטור האיברים החופשיים ‪. b‬‬ ‫‪12‬‬ ‫אלגברה לינארית‪-‬החוג למדעי המחשב‬ ‫כלל קרמר‬ ‫כלל קרמר‪ ,‬המשך‬ ‫באופן מפורש‪:‬‬ ‫‪ a1n‬‬ ‫‪ a2 n‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ann‬‬ ‫‪a1,i 1‬‬ ‫‪a2,i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an ,i 1‬‬ ‫‪ a1,i 1 b1‬‬ ‫‪ a2,i 1 b2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an ,i 1 bn‬‬ ‫הוכחה ‪ :‬בהרצאה‪.‬‬ ‫‪13‬‬ ‫אלגברה לינארית‪-‬החוג למדעי המחשב‬ ‫‪a11‬‬ ‫‪a21‬‬ ‫‪i  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an1‬‬ ‫כלל קרמר‬ ‫דוגמא לשימוש בכלל קרמר‬ ‫נפתור ‪ ,‬לפי כלל קרמר‪ ,‬את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬ ‫פתרון‪ :‬ראשית נעיר כי‬ ‫‪2 x  7 y  3z  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3x  9 y  4 z  2‬‬ ‫‪ x  5 y  3z  1‬‬ ‫‪2 7 3‬‬ ‫‪A  3 9 4  3  0‬‬ ‫‪1 5 3‬‬ ‫ולכן למערכת יש פתרון יחיד‪.‬‬ ‫לפי משפט קרמר‪:‬‬ ‫‪2 7 3‬‬ ‫‪2 9 4‬‬ ‫‪1 1 5 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪14‬‬ ‫אלגברה לינארית‪-‬החוג למדעי המחשב‬ ‫כלל קרמר‬ ‫כלל קרמר‪:‬דוגמא‪ ,‬המשך‬ ‫נמשיך בפתרון‬ ‫‪2 2 3‬‬ ‫‪3 2 4‬‬ ‫‪2 1 1 3  3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 7 2‬‬ ‫‪3 9 2‬‬ ‫‪3 1 5 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הפתרון למערכת הנו‪x, y, z t   1,1,1t :‬‬ ‫‪15‬‬ ‫אלגברה לינארית‪-‬החוג למדעי המחשב‬