‫אלגברה לינארית – הגדרות ומשפטים‬ ‫פרק ‪ - 1‬מערכות משוואות ליניאריות‬ ‫הגדרה ‪ - 1.1‬מערכות משוואות ליניאריות‬ ‫מערכת משוואות לינאריות בעלת 𝑚 משוואות ו‪ 𝑛 -‬נעלמים היא מערכת מהצורה‪:‬‬ ‫‪𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1‬‬ ‫‪𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2‬‬ ‫⋮‬ ‫𝑚𝑏 = 𝑛𝑥 𝑛𝑚𝑎 ‪𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ +‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫מטריצת המקדמים‪:‬‬ ‫מטריצת נעלמים‪:‬‬ ‫מטריצת מקדמים חופשיים‪:‬‬ ‫ובצורה מקוצרת‪𝐴𝑥 = 𝑏 :‬‬ ‫הגדרה ‪ - 1.2‬תהליך האלימינציה של גאוס‬ ‫תהי 𝐴 מטריצה מסדר 𝑛𝑥𝑚‪ .‬תהליך האלימינציה של גאוס מתבצע על שורות מטריצה 𝐴 וכולל‬ ‫את שלושת הפעולות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .1‬החלפת שורה אחת באחרת ‪𝑅𝑖 ↔ 𝑅𝑗 -‬‬ ‫‪ .2‬הכפלת שורה בקבוע שונה מאפס ‪𝑎 ≠ 0 ,𝑅𝑖 = 𝑎𝑅𝑖 -‬‬ ‫‪ .3‬הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת ‪𝑅𝑖 = 𝑅𝑖 + 𝑎𝑅𝑗 -‬‬ ‫הגדרה ‪ – 1.3‬מטריצות קנוניות‬ ‫מטריצה קנונית היא מטריצה המקיימת את שלושת החוקים הבאים‪:‬‬ ‫‪ .1‬מטריצה שבכל שורה‪ ,‬האיבר הראשון השונה מאפס הוא ‪( 1‬נקרא ‪ 1‬מוביל)‬ ‫‪ .2‬ככל שיורדים בשורות‪ ,‬ה‪ 1 -‬המוביל זז ימינה (לא בהכרח קפיצה של אחד)‬ ‫‪ .3‬בכל עמודה שבה יש ‪ 1‬מוביל‪ ,‬כל האיברים מתחתיו הם אפסים‬ ‫הגדרה ‪ – 1.4‬מטריצות שקולות שורה‬ ‫נאמר שמטריצות 𝐴 ו‪ 𝐵 -‬שקולות שורה אם אפשר להגיע ממטריצה 𝐴 למטריצה 𝐵 (או מ‪𝐵 -‬‬ ‫ל‪ )𝐴 -‬ע"י סדרה של פעולות אלמנטריות‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫הגדרה ‪ – 1.5‬דרגה של מטריצה‬ ‫הדרגה של מטריצה 𝐴 מטריצה מסדר 𝑛𝑥𝑚 היא מספר השורות או מספר העמודות שלא התאפסו‬ ‫בצורה המדורגת של 𝐴 (לאחר דירוג בתהליך האלימינציה של גאוס עד לצורה קנונית)‪.‬‬ ‫הדרגה של 𝐴 מסומנת‬ ‫𝐴 𝜌 ומתקיים כי‬ ‫𝐴 𝜌 שווה למספר האחדות המובילים‪.‬‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫א‪ .‬למטריצות שקולות אותה דרגה‬ ‫ב‪ .‬תהי 𝐴 מטריצה מסדר 𝑛𝑥𝑚‪ ,‬אזי מתקיים‪𝜌 𝐴 ≤ 𝑚𝑖𝑛 𝑚, 𝑛 :‬‬ ‫משפט ‪ – 1.6‬פתרונות של מערכת‬ ‫נתונה המערכת 𝑏 = 𝑥𝐴‪ .‬מבצעים על מטריצת המקדמים המורחבת דירוג בתהליך האלימינציה‬ ‫של גאוס עד לצורה קנונית‪ .‬בשלב זה ישנם שתי אפשרויות‪:‬‬ ‫‪ .1‬כאשר ‪( 𝑏 ≠ 0‬המערת נקראת מערכת משוואות אי‪-‬הומוגנית)‪ -‬למערכת יש שלוש‬ ‫אפשרויות של סוג פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬פתרון יחיד – כאשר 𝐴 שקולת שורות למטריצת היחידה‬ ‫ב‪ .‬אינסוף פתרונות – כאשר במטריצה לאחר הדירוג יש עמודה ללא ‪ 1‬מוביל‬ ‫ג‪ .‬אין פתרון – כאשר מתקבלת שורת סתירה מהצורה ‪0𝑥1 + 0𝑥2 + ⋯ + 0𝑥𝑛 = 𝑏𝑖 ≠ 0‬‬ ‫‪ .2‬כאשר ‪( 𝑏 = 0‬המערת נקראת מערכת משוואות הומוגנית)‪ -‬למערכת יש שתי אפשרויות‬ ‫של סוג פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬פתרון יחיד – תמיד יש פתרון יחיד והוא פתרון האפס (פתרון טרוויאלי)‬ ‫ב‪ .‬אינסוף פתרונות – מספר המשתנים גדול ממספר המשוואות‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪[email protected]‬‬