‫הצורה האלכסונית הקנונית‬ ‫יהי ‪ R‬תחום ראשי‪ ,‬נאמר שמטריציות )‪ A, B ∈ Mn (R‬דומות אם קיימות מטריצות הפיכות‬ ‫‪ P, Q‬כך ש ‪.B = P AQ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪..‬‬ ‫משפט‪ :‬כל מטריצה מעל תחום ראשי דומה למטריצה אלכסונית ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dn‬‬ ‫‪0‬‬ ‫עם ‪.d1 |d2 | · · · |dn‬‬ ‫מה שמיוחד הוא שצורה זו היא יחידה ונקראת הצורה האלכסונית הקנונית‪ .‬האיברים‬ ‫‪ d1 , d2 , . . . , dn‬עצמם נקראים הגורמים האינווריאנטים והם יחידים עד כדי חברות‪.‬‬ ‫כזכור‪ ,‬פעולות אלמנטריות על שורות\עמודות מטריצה שקול לכפל במטריצות אלמנטריות‬ ‫)שהן הפיכות( מימין ומשמאל‪) .‬להבהרה‪ ,‬פעולות שורה אלמנטריות הן‪ :‬כפל שורה בהפיך‪,‬‬ ‫הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת והחלפת שורות(‪ .‬מעל שדות‪ ,‬די לנו בזה כדי‬ ‫לקבל צורה רציונלית קנונית של המטריצה )זה נובע מכך שהמטריצות האלמנטריות יוצרות‬ ‫את התת חבורה של המטריצות ההפיכות(־ מעל סתם תחומי שלמות זה לא מספיק‪ .‬מעל‬ ‫תחום ראשי כדי לקבל דירוג כל מה שצריך הוא את הפעולות האלמנטריות ומטריצות ‪2 × 2‬‬ ‫הפיכות‪.‬‬ ‫אז איך זה עובד?‬ ‫נגדיר את האורך של כל איבר להיות הדרגה שלו )במקרה שזהו חוג אוקלידי( או מס'‬ ‫הגורמים הראשוניים שלו )במקרה הכללי של חוג ראשי(‪ .‬נמצא את האיבר במטריצה‬ ‫שהוא בעל האורך המינימלי ונקרא לו ‪ .a‬ע"י פעולות שורה ועמודה נעביר את ‪ a‬להיות‬ ‫במקום ה )‪ (1, 1‬במטריצה‪ .‬כעת‪ ,‬מקרה ראשון הוא ש‪ a‬מחלק כל איבר בשורה ובעמודה‬ ‫‪ ‬כל האיברים שם ע"י פעולות אלמנטריות ונקבל מטריצה‬ ‫הראשונה‪‬ואז ניתן לאפס את‬ ‫‪a 0 ··· 0‬‬ ‫‪ 0 ∗ ∗ ∗ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ , .‬מקרה שני הוא שיש איזשהו איבר ‪ b‬ש‪ a‬לא מחלק אותו־‬ ‫מהצורה ‪‬‬ ‫‪ .. ∗ ∗ ∗ ‬‬ ‫∗ ∗ ∗ ‪0‬‬ ‫נניח שהוא במקום ה)‪) (1, 2‬אפשר להזיז אותו לשם(‪ .‬אז נניח ש‪ d‬הוא הממ"מ של‬ ‫כצירוף שלהם‪ .d = αa + βb :‬אז ניתן לכפול במטריצה ההפיכה‬ ‫‪a‬ו־ ‪ b‬ונרשום אותו ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪α −b/d‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪α −b/d‬‬ ‫‪d 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫)כשמסתכלים‬ ‫=‬ ‫‪ β a/d‬ולקבל‬ ‫∗ ∗‬ ‫‪β a/d‬‬ ‫∗ ∗‬ ‫‪0‬‬ ‫‪I‬‬ ‫רק על הפינה השמאלית עליונה(‪ .‬ממשיכים כך באינדוקציה על הבלוק המתקבל ע"י הסרה‬ ‫של השורה והעמודה הראשונה‪.‬‬ ‫מודולים מעל תחום ראשי‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫לכל מטריצה )‪ A · R = {Ax : x ∈ R } , A ∈ Mn (R‬הוא תת־מודול של ‪ R‬הנפרש ע"י‬ ‫העמודות של ‪ .A‬למעשה‪ ,‬מעל תחום ראשי‪ ,‬כל התתי־מודולים של ‪Rn‬הם מהצורה הזאת‪.‬‬ ‫אם ‪ R‬ראשי‪ ,‬אז כל מודול נוצר סופית הוא מהצורה ‪ MA = Rn /A · Rn‬לאיזשהו ‪ n‬ו־‬ ‫)‪ .A ∈ Mn (R‬את זאת ניתן לראות )ולחשב( באופן הבא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .1‬נבחר קבוצה פורשת ‪ x1 , x2 , . . . , xn‬של ‪.M‬‬ ‫‪ .2‬נגדיר אפימורפיזם של מודולים ‪ּπ : Rn → M‬לפי ‪) ei 7→ xi‬כלומר = ) ‪π(r1 , r2 , . . . , rn‬‬ ‫‪.(r1 x1 + . . . + rn xn‬‬ ‫‪P‬‬ ‫הפורשת את הגרעין ‪.Kerπ‬‬ ‫‪ .3‬נמצא קבוצת וקטורים ‪aij ei‬‬ ‫∼ ‪.M‬‬ ‫‪ .4‬המטריצה ) ‪ A = (aij‬מקיימת ‪ Kerπ = A · Rn‬ו־ ‪= Rn /A · Rn‬‬ ‫∼ ‪ M‬נקראת מטריצת היחסים של‬ ‫עבור מודול ‪ M‬נוצר סופית‪ ,‬מטריצה ‪ A‬המקיימת ‪= MA‬‬ ‫‪.M‬‬ ‫∼ ‪ MA‬אם"ם המטריצות ‪ A, B‬דומות‪.‬‬ ‫משפט‪= MB :‬‬ ‫המסקנה מהמשפט הוא שאחרי שמצאנו מטריצת יחסים‪ ,‬ניתן להחליף אותה בצורה‬ ‫∼ ‪M‬‬ ‫הרציונלית‪ .‬ואם ‪ d1 , . . . , dn‬הם הגורמים האינווריאנטים של המטריצה אז ⊕ ‪= R/d1 R‬‬ ‫‪) .. . . ⊕ R/dn R‬שים לב שאם ‪di = 0‬אז ‪.(R/di R = R‬‬ ‫‪2‬‬