פרק-3
§7גרפים של דרך ומהירות בתנועה קצובה דוגמה :מכונית נוסעת מאילת לחיפה במהירות 90קמ"ש .מה הדרך שהיא תעבור בשעה אחת? בשעתיים? ב 3 -שעות? ב t -שעות? על-פי נוסחת הדרך ( )6.2אפשר לרשום: )(7.1 s = 90t נציב בנוסחה את הערכים של tונרשום את התוצאות בצורת הטבלה: זמן (שעות) 1 2 3 4 5 6 דרך (ק"מ) 90 180 270 360 ? ? אפשר למלא גם את המשבצות הריקות ,אולם הרישום מסו ג זה אינו מאפשר לראות באופן מיידי ,מה הדרך שאותה תעבור המכונית ב 3.5 -שעות ,או בשעה ורבע. כדי לה ראות ש s -תלוי ב ,t -רושמים( s(t) :מבטאים s " :של "tאו "דרך כתלות בזמן") ,ואומרים שהקשר בין sל t -הוא פונקציה. כאשר מציבים בנוסחה ) (7.1במקום tערך מסוים של הזמן ,מקבלים את הערך של ( sדרך) ,המתאים לרגע הזמן .t לדוגמה: אם רוצים לדעת את הדרך sברגע מסוים tללא חישוב ,אפשר להיעזר בגרף של הפונקציה ). s(t גרף הוא קו רציף העובר דרך כל הנקודות במערכת צירים ישרה, כאשר שיעורי x -של כל נקודה שווים לערכי שווים לערכי הפונקציה המתאימים ). y(x נניח שבמערכת הצירים מתואר גרף של פונקציה כלשהי ).y(x כדי למצאו על -פי הגרף הזה את ערך הפונקציה ) y(xעבור ערך מסוים של ,xמעלים אנך לנקודה על ציר האופקי ששיעורה 4 ,xעד למפגש עם קו ,xוערכי הy - הגרף .שיעור ה y -של נקודת המפגש הוא ע רך הפונקציה ) y(xהמבוקש. במקרה שלנו ,המשתנה הבלתי תלוי הוא הזמן ,tוהפונקציה היא הדרך .s כדי לשרטט גרף ) ,s(tנבצע את הפעולות הבאות: א .נשרטט מערכת צירים ישרה ב .נסמן את הצירים על-ידי שם המשתנה והיחידות; ג .נסמן את שנתות החלוקה ,בהתאם לערכי tו s -הנתונים; ה .נעביר קו רציף המחבר את הנקודות: כדי לדעת ,מה יהיה ערך הדרך sברגע כלשהו ,t 5 ד .נסמן כמה נקודות ) (s, tהנתונות; עלינו להעלות אנך מהנקודה הנתונה של tעד למפגש עם קו הגרף ,וממנו לשרטט קו אופקי לכיוון הציר :s כך נמצא מהגרף שבנינו: s(6) = 540 km התלות של דרך בזמן ) s(tבתנועה קצובה היא פונקציה קווית של יחס ישר: רואים ,שב"תפקיד" השיפוע kמופיעה המהירות :v מכיוון שגרף הפונקציה של יחס ישר עובר תמיד דרך ראשית הצירים ,מספיק רק עוד נקודה אחת כדי לשרטט אותו. דוגמה :לאחר הבעיטה כדורגל עף במהירות של 10מטר/שנייה .שרטטו גרף של מקום כתלות בזמן עבור תנועת הכדור ,ומצאו באמצעות הגרף היכן היה הכדור לאחר 2.5 שניות מתחילת המעוף. פתרון .תנועת הכדור היא שוות -מהירות ,לכן דרך sשהוא עבר תלויה בזמן על -פי הנוסחה ,s = vtכלומר התלות היא יחס ישר .כדי לשרטט גרף מספיק לדעת נקודה אחת מלבד נקודת הראשית . ניקח t = 5 sec :ונציב בנוסחה: הגרף הוא הישר העובר בין הראשית לנקודה שמצאנו. נעלה אנך לציר tמהנקודה t = 2.5ונמצא את הנקודה המתאימה על ציר s = 25 m :s 6 כיצד למצוא את גודל המהירות מהגרף של דרך כפונקציה של זמן? מכיוון שפונקציה ) s(tמהווה יחס ישר: המקדם vשווה לשיפוע הגרף , כלומר לתנועה בעלת מהירות גבוהה יותר גרף הפונקציה ) s(tהוא תלול יותר . כדי לחשב את המהירות באמצעות גרף הדרך כתלות בזמן ,צריך לבחור נקודה כלשהי על קו הגרף ,למצוא את שיעוריה (הערכים של tו,)s - ולחשב את השיפוע הנוסחה: (השווה למהירות ) על-פי הקשר בין דרך ומקום במקרים רבים יש צורך לדעת את מקום הג וף יחסית לגוף ייחוס ,הנמצא בראשית צירי הקואורדינאטות .כך ,למשל ,מציינים את מקומנו במערכות ניווט ) (GPSאו במפות מודפסות; כך מסמנים את מקום הסמן על מסך מחשב או מקום הרכיב על מעגל אלקטרוני מודפס. במקרה של תנועה בקו ישר ,מסמנים את מקומו של הגוף באות ,xוגודלו שווה לשיעור ( xקואורדינאטה) יחסית לראשית הציר. אם מקומו של גוף בתחילת התנועה היא x1וברגע מסוים tהוא היה , x2אז הדרך שאותה עבר הגוף שווה ל : s = x2 – x1 אם ידוע מקום התחלתי של הגוף ) (x0ומהירות התנועה ,vאז אפשר למצוא את מקומו של הגוף בכל רגע :t )(7.2 7 דוגמה :מכונית יצאה מנתניה ,הנמצאת במרחק של 35ק"מ מתל-אביב ,לכיוון חיפה. מהירות המכונית – 80קמ"ש .איפה תהיה המכונית ,יחסית לתל-אביב ,כעבור רבע שעה של נסיעתה? פתרון .נרשום את הנתונים: נציב בנוסחת המקום ):(7.2 כאשר מקום התחלתי של הגוף היה בראשי ת הצירים ) ,(x0 = 0אז מקום הגוף ברגע t כלשהו שווה לדרך שהגוף עשה ,x = s :וגרף של מקום כתלות בזמן אינו שונה מגרף של דרך: אולם ,אם בתחילת הנסיעה )(t = 0 הגוף לא היה בראשית הציר ,אלא במקום כלשהו ) ,(x0אז גרף התנועה נשאר קו ישר (הרי תלות המקום בזמן נשאר ה פונקציה קווית: ,) x(t) = x0 + vtאבל הוא לא עובר דרך ראשית הצירים: גרף של מהירות עבור תנועה קצובה. יכול לקרות מצב שהמשתנים מחליפים תפקידים ,והמשתנה הבלתי תלוי הופך לתלוי ולהפך. לדוגמה :מכונית נוסעת מאילת לחיפה במהירות 90קמ"ש .תוך כמה זמן היא תעב ור דרך של 135ק"מ? 180ק"מ? 292.5ק"מ? 8 נסתכל בנוסחה ( )1כאל משוואה שבה הנעלם הוא ,90t = s :tונפתור אותה: לנוסחה זו אפשר להתייחס כאל ה פונקציה tשל המשתנה בלתי תלוי :sלכל ערך הדרך sמתאים זמן נסיעה ).s(t אפשר גם למלא את טבלת ההתאמה כמו שעשענו עבור הפונקציה ):s(t דרך (ק"מ) 135 180 292.5 זמן (שעות) 1.5 2 3.2 5 כדי למלא את המשבצות הריקות ,יש להציב בנוסחה ( )2את הערכים השונים של s ולחשב את הערכים המתאימים של .t במתמטיקה מסמנים בדרך כלל את המשתנה הבלתי תלוי באות xואת המשתנה התלוי (הפונקציה) באות .y(x) :y אפשר להגדיר פונקציה בדרכים שונות. §7תנועה במהירות משתנה .בקטעי רוב התנועות שמתרחשות בטבע אינן שייכות לסוג של תנועה קצובה מסלול שונים ג וף יכ ול לנוע במהירויות שונות ,כמו לדוגמה ,הרכבת שהיוצאת מתחנה ,או מעבורת חלל בעת שיגור . נבצע ניסוי הבא :נציב על העגלה בקבוק עם טפטפת שממנה יורדות טיפות נוזל בכל פרקי זמן שווים .נעמיד את העגלה על מישור משופע ונשחרר אותה .במהלך הגלישה ,המרחקים בין סימני הטיפ ות הולכים וגדלים (ראו איור .)12משמעות הדבר היא שהמרחקים שאותם עוברת העגלה בפרקי זמן שווים הם שונים .מהירות העגלה וגדלה .אפשר להוכיח שבפרקי זמן שווים מהירות העגלה גדלה באותו גודל . הולכת ַ גדלה (או קטֵ נה ) באותו גודל ,אז לתנ ועה אם מהירות הגוף הנע במהירות משתנה ֵ , זאת קוראים תנועה שוות-תאוצה. כך ,למשל ,הוכח בניסויים רבים ,שמהירות הגוף הנופל חופשי 9 (ללא התנגדות אוויר) בכל שנייה גדלה ב 9.8 -מ'/ש' ,כלומר אם תחילה הגוף היה נייח ,אז לאחר שנייה אחת של הנפילה מהירותו תהיה 9.8מ'/ש' ,בעוד שנייה – 19.6מ'/ש' ,כעבור עוד שנייה – 29.4מ'/ש' וכו'. הערך הפיזיקלי שמראה בכמה משתנה מהירות הגוף בכל שנייה של תנועה שוות- תאוצה מכונה תאוצה .את התאוצה מסמנים באות .a יחידת התאוצה במערכת היחידות SIהיא תאוצה כזאת שמהירות הגוף משתנה כל שנייה ב 1 -מ'/ש' ,כלומר מטר בנייה בכל שנייה .את יח ידות התאוצה מסמנים איפו כ( m/sec2 -וקוראים "מטר לשנייה בריבוע"). תאוצה מסמנת קצב שינוי המהירות. אם לדוגמה ,תאוצה הגוף שווה ל- 2 ,10 m/secמשמע בכל שנייה מהירות הגוף גדלה ב.10 m/sec - ֵ ערכי התאוצה הנפוצים בחיי יום -יום אפשר לראות בטבלה הבאה : רכבת פרוורים 0.6 m/sec2 אוטובוס היוצא מתחנה 1.2 m/sec2 מטוס נוסעים בהמראה 1.7 m/sec2 מעבורת חלל בעת השיגור 60 m/sec2 קליע בקנה הרובה 600 000 m/sec2 כיצד לחשב תאוצת הגופים המתחילים לנוע ? נניח שידוע לנו שמהירות הרכבת היוצאת מהרציף ,ב 2 -שניות ראשונות של גדלה בשנייה אחד ,צריך נסיעתה גדל ה ב .1.2 m/sec -אז ,כדי לדעת ,בכמה היא ֵ לחלק את 1.2 m/secב .2 sec -נקבל: זוהי תאוצת הרכבת. ובכן ,על-מנת למצוא את תאוצת הגוף המתחיל לנוע ממנוחה בתאוצה קבועה צריך לחלק את המהירות שאותה רכש הגוף ,בזמן שבו היא נרכשה : תאוצה 10 מהירות הנרכשת זמן , נסמן את כל הערכים באותיות לועזיות : – aתאוצה – v ,מהירות הנרכשת (מהירות סופית) – t ,זמן. אז אפשר לרשום את הנוסחה לחישוב התאוצה כך : )(7.1 הערה :נוסחה זו נכונה רק כאשר הגוף מתחיל לנוע ממנוחה . מהי תאוטה? כאשר מכונית מאטה מהירות ּה הולכת וקטנה ,כלומר התנועה היא במהירות משתנה .אם במשך הזמן tהמהירות משתנה בגודל מסוים ) ,(-vאז בכל שנייה שינוי המהירות יהיה שווה ל- )(7.2 גודל זה נקרא תאוטה ,והוא מראה את קצב ההאטה. ההבדל בשתי הנוסחאות )7.1( ,ו )7.2( -הוא שבמקרה של תאוצה ,המהירות vהיא המהירות הסופית של הגוף המאיץ ,ובנוסחה ( ,)7.2המהירות vהיא המהירות ההתחלתית. דוגמה :מכונית נוסעת במהירות של 72קמ"ש .פתאום על הכביש קופצת חיית -בר, והנהג מתחיל לבלום .מה תאוצת המכונית במהלך הבלימה ,אם עד העצירה הסופית עברו 5שניות? פתרון. א .נמיר את יחידות המהירות למטר/שנייה: ב .נשתמש בנוסחת התאוטה: ג. תשובה: בדומה למהירות ,לתאוצת הגוף יש לא רק גודל אלא גם כיוון .כלומר ,גם התאוצה היא ערך ווקטורי .לכן משרטטים אותה בצורת חץ . 11 אם מהירות הגוף ,הנמצא בתנועה בתאוצה ,גדלה ,אז התאוצה מכוונת באותה מגמה כמו המהירות (איור (13א)); ואילו המהירות הולכת וקטֵ נה ,אז מגמת התאוצה בכיוון ההפוך (איור ( 13ב)). כאשר גוף נמצא בתנועה קצובה (שוות-מהירות) ,מהירות אינה משתנה .לכן תאוצת הגוף שווה ל ,0-ואי-אפשר לשרטט אותה באיורים . 12
© Copyright 2024