Document
אוניברסיטת בן־גוריון בנגב -המחלקה למתמטיקה
חדו"א להנדסת מכונות - (201-1-9711) 1סמסטר א' תשע"ה
פתרון תרגיל 2
.1מצאו את התמונה של הפונקציות הבאות:
)א( .f (x) = x2 − 2x + 2 ,f : [−2, 3] → Rלפונקציה זו אין שורשים ממשיים .נראה כי f (x) ≥ 1
וכי הערך 1מתקבל בתחום הנתון:
2
2
f (x) ≥ 1 ⇐⇒ x − 2x + 2 ≥ 1 ⇐⇒ x − 2x + 1 ≥ 0 ⇐⇒ (x − 1)2 ≥ 0וזה כמובן
מתקיים .בנוסף ,קל לראות שהערך 1הוא הערך המינימלי שהפונקציה יכולה לקבל ,ושערך זה
מתקבל בנקודה 1שנמצאת בתחום הנתון .הערך המקסימלי של הפונקציה מתקבל באחד הקצוות.
מהצבה נקבל ש f (−2) = 10, f (3) = 5זאת אומרת שהערך המקסימלי שהפונקציה מקבלת
בקטע הוא .10היות שגרף הפונקציה הוא קו רציף ,נובע שהפונקציה מקבלת כל ערך בין 1ל־,10
ולכן התמונה שלה היא ].[1, 10
)ב( .f (x) = x2 − 200x + 7 ,f : [−5, 5] → Rיהיו .−5 ≤ x1 < x2 ≤ 5אזי
.f (x2 ) − f (x1 ) = x22 − x21 − 200(x2 − x1 ) = (x2 − x1 )(x2 + x1 − 200) < 0לכן הפונקציה f
היא מונוטונית יורדת ממש בתחום הנתון .לכן הערך המקסימלי שלה מתקבל בקצה הימני ,והערך
המינימלי שלה מתקבל בקצה הימני .ע''י הצבה ,נקבל שהתמונה היא ].[−968, 1032
)ג( .f (x) = x3 + 2 ,f : {3, 4, 5} → Qע''י הצבת שלושת איברי התחום בפונקציה ,נקבל שהתמונה
היא }.{29, 66, 127
.2בכל אחד מהסעיפים הבאים ,רישמו ביטוי מפושט עבור הפונקציות f ◦ gו־ ,g ◦ fוכן את תחומי ההגדרה
הטבעיים של :g ◦ f ,f ◦ g,g,fנסמן )) ,G(x) = g(f (x)), F (x) = f (g(xונסמן ב־ Dfאת תחום
ההגדרה הטבעי של הפונקציה .f
√
)א( g(x) = x2 ,f (x) = x
)∞ .Df = [0, ∞), Dg = R, F (x) = |x|, DF = R, G(x) = x, DG = [0,
)ב( )g(x) = 2x ,f (x) = log4 (x
√
)∞ .Df = [0, ∞), Dg = R, F (x) = x2 , DF = R, G(x) = x, DG = [0,
)ג( )g(x) = x2 ,f (x) = log10 (x
)∞ .Df = [0, ∞), Dg = R, F (x) = 2 log10 |x|, DF = R\{0}, G(x) = log210 x, DG = (0,
)ד( )g(x) = arcsin(x) ,f (x) = sin(5x + 1
Df = R, Dg = [−1, 1], F (x) = sin(5 arcsin(x) + 1), DF = [−1, 1],
π
π
1
2πk
5x + 1 + 2πk,
− 10
− 15 + 2πk
5 ≤ x ≤ 10 − 5 + 5
{ = ))G(x) = arcsin(sin(5x+1
π
3π
1
2πk
(2k + 1)π − (5x + 1), 10
− 15 + 2πk
5 ≤ x ≤ 10 − 5 + 5
עבור kשלם.
π π
הסבר :לכל ,xנסמן .y = 5x + 1הפונקציה arcsinהופכית ל־ sinרק בקטע ] .[− 2 , 2
[ π2 , 3πכך ש־ y − 2πkנמצא באחד הקטעים
לכן ,צריך למצוא נקודה aבקטע זה ,או בקטע ] 2
הללו .ואז ,מממחזוריות פונקציית הסינוס ,נובע ש .sin y = sin a
אם ] a ∈ [− π2 , π2אז arcsin(sin y) = arcsin(sin a) = a
a ∈ [ π2 , 3πאז arcsin(sin y) = arcsin(sin a) = arcsin(sin(π − a)) = π − aכאשר
ואם ] 2
השיוויון האמצעי נובע מסימטריה של פונקצית הסינוס ביחס לישר .x = π2
כעת נותר לבודד את .xלמשל ,במקרה ש ] a = y − 2πk = 5x + 1 − 2πk ∈ [− π2 , π2נבודד את
π
π
1
2πk
− 10ואז .arcsin(sin(5x + 1)) = 5x + 1 + 2πk
− 15 + 2πk
xונקבל ש 5 ≤ x ≤ 10 − 5 + 5
המקרה השני דומה.
.DG = R
)ה( )g(x) = cos(x) ,f (x) = arcsin(x
Df = [−1, 1], Dg = R,
π
0 + 2πk ≤ x ≤ π + 2πk
2 − x + 2πk,
{ = )) F (x) = arcsin(cos(x)) = arcsin(sin(x+ π2
π
−(2k + 1)π − 2 + x, π + 2πk ≤ x ≤ 2π + 2πk
עבור kשלם.
.DF = R
√
2
].G(x) = 1 − x , DG = [−1, 1
.3עבור כל אחת מהפונקציות הבאות בדקו אם הפונקציה חד־חד ערכית בתחום הגדרתה .במידה וכן,
מצאו את הפונקציה ההופכית ואת תחום הגדרתה ,שיסומן ב־:D
)א(
−y
√
= y = f (x) = −x2 ⇐⇒ xולכן ]−x, D = (−∞, 0
√
f (x) = −x2 , x ≥ 0,
= ).f −1 (x
√ 1 − x2 , 0 ≤ x
≤ 1,
)ב(
p
√
y = f (x) = 1 − x2 ⇐⇒ x = 1 − y 2ולכן ].f −1 (x) = 1 − x2 , D = [0, 1
)ג(
y−1
√
3
= + 1 ⇐⇒ x
)ד(
= R.
x2 ), D
1+
√
x3
= ) y = f (xולכן x − 1, D = R
√
3
f (x) = x3 + 1,
=
).f −1 (x
∈ R,
= ln(x +
√
= )f (x
)f −1 (x
ex −e−x
,x
2
= )f (x
f (x) = cos(x), −3π ≤ x ≤ −2.5π,
)ה(
)f −1 (x
= 2π − arccos x, D = [−1, 0].
√
)ו( ) 0 ≤ x ≤ 5 ,f (x) = sin( π4 x2לא חח''ע.
.4עבור כל אחת מהפונקציות הבאות ,קבעו האם הפונקציה היא מונוטונית עולה ,מונוטונית יורדת ,מונוטונית
עולה ממש ,מונוטונית יורדת ממש ,או שאינה מונוטונית:
)א( f : R → R, f (x) = x2לא מונוטונית ,כי ).f (−1) > f (0) < f (1
)ב( f : [0, ∞) → [0, ∞), f (x) = x2
מונוטונית עולה ממש ,כי אם 0 ≤ x1 < x2אז
f (x2 ) − f (x1 ) = x22 − x21 = (x2 − x1 )(x2 + x1 ) > 0היות שזו מכפלת מספרים חיוביים.
)ג( ) f : R → R, f (x) = sin(xלא מונוטונית ,כי ).f (0) < f ( π2 ) > f (π
1
f : (−2, ∞) → (0, ∞), f (x) = 2x+4
)ד(
מונוטונית יורדת ממש ,כי אם −2 ≤ x1 < x2אז
) 1 −x2
.f (x2 ) − x(x1 ) = 2x21+4 − 2x11+4 = (2x22(x
+4)(2x1 +4) < 0
1
)f (x
הערה :ניתן להוכיח כי אם fפונקציה עולה ו f (x) 6= 0לכל ,x ∈ Dאז הפונקציה
מונוטונית יורדת בתחום .D
p
)ה( )f : [0, π2 ] → R, f (x) = sin(x
מונוטונית עולה ממש ,כי סינוס עולה בתחום זה ,ולכן אם 0 ≤ x1 < x2 ≤ π2אז
) 0 ≤ sin(x1 ) < sin(x2והיות שפונקציית השורש היא פונקציה עולה ,נקבל ש ) .f (x1 ) < f (x2
היא
)ו( f : R → R, f (x) = bxcפונקציה זו נקראת ''פונקציית הערך השלם'' ,והיא מתאימה לכל מספר
ממשי את המספר השלם המקסימלי הקטן או שווה לו.
מונוטונית עולה :אם x1 < x2אז מהגדרה ,השלם המקסימלי הקטן או שווה ל x1הוא קטן
או שווה לשלם המקסימלי הקטן או שווה .x2נשים לב שפונקציה זו אינה עולה ממש ,כי למשל
.b1c = 1 = b1.5c
.5עבור כל אחת מהפונקציות הבאות ,קבעו האם הפונקציה מחזורית ,ואם כן ,חשבו את המחזור שלה.
)א( f : R → R, f (x) = x2לא מחזורית ,כי בחלק החיובי ,ככל ש־ xגדל ערך הפונקציה גדל.
2
)ב( ) f : R → R, f (x) = sin(3xמחזורית ,עם מחזור
2π
3
= .T
)ג( ) f : R → R, f (x) = cos( x4מחזורית ,עם מחזור .T = 8π
)ד( ) f : R → R, f (x) = sin(3x) + cos( x4מחזורית ,עם מחזור .T = 8π
)ה( f : R → R, f (x) = bxcלא מחזורית ,כי ככל ש־ xגדל ערך הפונקציה גדל.
)ו( f : R → R, f (x) = bxc − xמחזורית ,עם מחזור .T = 1
.6הוכיחו באינדוקציה את הטענה הבאה :אם f : R → Rפונקציה מחזורית בעלת מחזור ,Tאז לכל
מספר טבעי nולכל xממשי מתקיים ) .f (x + nT ) = f (xנוכיח את הטענה באינדוקציה על .nיהי
xממשי כלשהו .עבור n = 1מתקיים ) ,f (x + T ) = f (xע''פ ההנחה ש ־ fמחזורית בעלת מחזור .T
נניח ל־ n − 1ונוכיח ל־ ,f (x + nT ) = f ((x + (n − 1)T ) + T ) = f (x + (n − 1)T ) = f (x) :nכאשר
השיוויון השני נובע מכך ש ־ fמחזורית בעלת מחזור ,Tוהשיוויון השלישי נובע מהנחת האינדוקציה.
∞} {anסידרה המתכנסת ל־ .1הוכיחו שקיים Nכך שלכל n ≥ Nמתקיים כי .an < 4
.7תהי n=1
מכך שהסדרה מתכנסת ל־ ,1נובע שלכל > 0קיים Nטבעי ,כך שלכל n > Nמתקיים < |.|an − 1
בפרט ,אם ניקח = 3נקבל שקיים Nטבעי ,כך שלכל n > Nמתקיים ,|an − 1| < 3כלומר
−2 < an < 4כנדרש.
.8חשבו את הגבולות הבאים:
2
3
−2008n+3
limn→∞ 2n +23nוזה מתקבל ע''י כך שנכפיל את המונה והמכנה ב־
)א( = 25
5n3 +n2 +2
באריתמטיקה של גבולות ובעובדה ש .limn→∞ n1 = 0
)ב( = 1
n2 +n+10
n2 −2008n−1
∞→limn
3
1
n3
ונשתמש
© Copyright 2024