1. No category

19 ‫הרצאה‬
‫משוואת לפלס בגזרה‬
‫פתור את בעיית שפה‬
(1)
 u  u   u  0,   0,
2
u  ,0   0,0    1
u  ,   0,0    1
(2)
u 1,      ,0    
(2.1)
 
.   0 -‫ רציפה ב‬u  , 
‫פתרון‬
:‫הפרדת משתנים‬
u  ,   R T  , 0     ,0    1
(3)
u   RT ,

u 
 RT ,
(4)

u
 RT .
:(1)-‫( ל‬4) -‫(ו‬3) ‫מציבים את‬
(5)


 2u 
 u   u
  2 RT  RT  RT   0
 2 RT
(6)
RT
2
(7)

RT
RT

RT 
0
RT
R
R
T 



R
R
T
(8)
 2 R  R  R
(9)
T   T
‫מציבים‬
:‫( ומקבלים‬3)-‫( ל‬2) ‫מציבים את‬
1
(10)
u  , 0  R T 0  0, 0    1  T 0  0
u  ,   R T    0, 0    1  T    0
T   T
T 0  0
(11)
T    0
‫( נובעי כי‬14)-‫מ‬
n 
(12)
n 2 2

2
:‫ מקבלים‬.(8)-‫ ל‬n 
, Tn    sin
n 2 2
2
 2 R  R 
(13)
n

, n  1,2,...
, n  1,2,... ‫מציבים את‬
n 2 2
2
R  0, n  1,2,...
:‫ידי‬-‫ פתרון כללי של משוואת אוילר מתקבל על‬.‫המשוואה הזאת היא משוואת אוילר‬
n
(14)
(15)

n
Rn    Cn   Dn   , n  1, 2,...,.
:‫ לכן בהכרח מתקיים‬,  0,1 ‫ היא רציה בקטע‬R  ‫הפונקציה‬
. Dn  0, n  0,1,2,...,.
:‫( ומקבלים‬14)-‫( ל‬15) ‫מציבים את‬

. R n    C n 
n


, n  0 ,1, 2 ,...
(16)
:((3) ‫( ומקבלים ראה את‬12)-‫( ב‬16) ‫כופלים‬
(17)
(18)
(19)
 n 
 , n  1, 2,...,
 sin
 

‫ואזי‬
n


n 

u  ,    Cn    sin
 

n 1
(2) ‫ ואנחנו עדיין לא השתמשנו בתנאי התחלה‬, Cn , n  1,2,..., ‫נישאר למצוא‬
.( u 1,     , 0     )
:‫( מקבלים‬2) ‫פי‬-‫( ועל‬18)-‫ ל‬  1 ‫מציבים את‬

 n 
, u a,    Cn  sin
     ,0    
 

n 1
un  ,   Rn  Tn    Cn 
2
n


‫אפשר לראות בקלות‪ ,‬שהנוסחה )‪ (19‬היא פתוח של הפונקציה ‪ ,   , 0    ‬לטור פורייה‬
‫בקטע ‪ . 0, ‬על פי נוסחאות של מקדמי פורייה מקבלים‪:‬‬
‫‪d , n 1, 2,...,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  sin‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Cn ‬‬
‫)‪(20‬‬
‫‪0‬‬
‫מציבים את )‪ (20‬ל‪ (18)-‬ומקבלים תשובה סופית‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ n   n ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪u  ,        sin‬‬
‫‪d     sin  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n 1   0‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(21‬‬