Beräkningsuppgift, Hållfasthetslära AK1 för M
I bärverket visat i figuren är L = 1 m. Materialet i de tre stängerna är
aluminium AA 7075-T6 med data enligt formelsamlingens "Materialtabell
för krypdata". Stängerna har tvärsnittsarean 400 mm2 . Det dimensionslösa
talet x bestäms genom din födelsesdag som x = (10 + 2 · dag)/100 där dag =
1, ..., 31.
L
F
L
45°
B
xL
L
Vid beräkningarna förutsätts att aluminiummaterialet kan modelleras
med en termoelastisk-idealplastisk modell, så att materialmodellen karakteriseras av tre parametrar: elasticitetsmodulen E, längdutvidgningskoefficienten α och sträckgränsen σs där sträckgränsen räknas som temperaturberoende
enligt materialdatatabellen.
Belastningen av bärverket sker i fyra steg:
1. Först ökas temperaturen från rumstemperatur (20 0 C) till 149 0 C.
2. Därefter ökas dessutom lasten F till F = 100 kN . Ingen plasticitet
beaktas.
3. Lasten F = Fs appliceras så att plasticitet initieras i bärverket.
4. Lasten ökas till F = Ff där Ff är kollapslasten d v s den maximala
lasten bärverket kan klara.
De beräkningar som ska utföras i varje steg beskrivs detaljerat på nästa
sida.
1
Observera
Du kan kontrollera dina beräkningsresultat via hemsidan på webben. Vid
inlämningen ska alltså alla beräkningsresultat vara korrekta, vilket betyder
att granskningen fokuserar på rapportens utformning.
Rapporten ska vara prydlig och ska på ett struktuerad sätt beskriva hur
de olika resultaten beräknats.
1 - Temperaturen höjs till 149 0 C
a) Hur stor hade töjningen i de tre stängerna blivit, om de inte varit
inkopplade i bärverket, utan kunnat utvidga sig fritt?
b) Vid tekniska beräkningar på belastade konstruktioner är tumregeln
att man måste ta hänsyn till krypning om driftstemperaturen överstiger halva smälttemperaturen, där båda temperaturerna uttryckts i
K (Kelvin). Måste man ta hänsyn till krypning här?
c) Bestäm den horisontella förskjutningen u och den vertikala förskjutningen v av nodpunkt B.
d) Bestäm spänningarna i bärverkets tre stänger.
e) Bestäm töjningarna i bärverkets tre stänger.
2 - Bärverket belastas dessutom med kraften F = 100 kN
a) Bestäm nodförskjutningarna u och v.
b) Bestäm spänningarna i bärverkets tre stänger.
c) Bestäm töjningarna i bärverkets tre stänger.
3 - Bärverket belastas till initiering av plasticitet d v s F = Fs
a) Vilken av stängarna plasticeras först?
b) Från resultaten i 1d) och 2b) bestäm via interpolation eller extrapolation kraften Fs
c) Bestäm nodförskjutningarna u och v.
d) Bestäm spänningarna i bärverkets tre stänger.
2
e) Bestäm töjningarna i bärverkets tre stänger.
f) Istället för metoden antyd i b) kan Fs , u och v bestäms via en annan
metod. Utnyttja att du känner spänningen i den stång som precis har
plasticeras. Jämför ditt resultat med resultatet i b) och c).
4 - Bärverket ökas till kollapslasten F = Ff
a) Vilken av stängerna plasticeras härnäst?
b) Du känner nu spänningerna i två av stängerna. Från jämviktsekvationerna bestäm spänningen i den sista stången samt Ff .
c) Förklara varför bärverket inte kan bära en last större än Ff .
d) Bestäm nodförskjutningarna u och v samt de plastiska töjningarna i
stängerna.
e) Rita sambandet mellan u och F samt mellan v och F . Bemärk att
arbetskurvan är horisontell när F = Ff .
Ledning till de enskilda punkter finns nedan.
Ledning till inlämningsuppgift
Då där finns många uträkningar är det bra att vara systematisk och lösa
ekvationssystem med användning av matrisprogram. MATLAB kan rekommenderas och du kommar senare i dina studier (inte bara i hållfasthetslära)
att ha stor nytta av detta program.
Notera att materialsambandet kan skrivas som
= e + p + T
där = totala töjningen, e = σ/E, p = plastiska töjningen och T = α∆T .
Som vanligt, räkna stångkraften N positiv som dragkraft.
Som vanligt, räkna längdändringen δ positiv som förlängning.
Allmänna samband
Etablera jämviktsekvationerna
Samband mellan σ1 , σ2 , σ3 och kraften F
3
(jämvikt)
(1)
där σ1 , σ2 , σ3 är spänningerna i stängerna.
Uttryck de kinematiska samband mellan stångförlängningar och den horisontella förskjutningen u och den vertikala förskjutningen v av knutpunkt
B. Istället för stångförlängningarna införes töjningarna och vi får då
Samband mellan 1 , 2 , 3 och u och v
(kinematik)
(2)
Skriv materiallagen uttryckt i töjningar och spänningar, α∆T , plastiska
töjningar.
Samband mellan 1 , 2 , 3 och
spänningar, α∆T , plastiska töjningar
(kinematik)
(3)
Kombinera (2) och (3) så att spänningarna uttrycks i u, v, temperaturtöjningar och plastiska töjningar
Samband mellan σ1 , σ2 , σ3 och
u, v, α∆T , plastiska töjningar
(kinematik
+ materiallag)
(4)
Insätt (4) i (1) så du får ett ekvationssystem på följande form
"
· ·
· ·
#"
u
v
#




=  F, plastiska töjningar, α∆T 
(5)
Deluppgift 1:
Använd i (5) att F = 0 och p1 = p2 = p3 = 0 (vi har termoelasticitet och
därmed ingen plasticitet).
Deluppgift 3:
a)+b) Från deluppgift 1 har du spänningarna i stängerna när F = 0.
Dessa spänningar kallas σF,=0 , σ2,F =0 och σ3,F =0 .
Från deluppgift 2 har du spänningarna när F = 100 kN. Dessa spänningar
kallas kallas σ1,F , σ2,F och σ3,F .
Då vi har linjär elasticitet, beror spänningarna linjärt av F . För varje
av stängerna, skissera det linjära sambandet mellan spänning och last F .
Baserat på detta kan det nu värderas vilken stång som först blir plastisk.
För denna stång kan du nu mha interpolation (eller extrapolation) mellan de
två ovannämnda resultat bestämma den last Fs som initerar plasticitet.
f) För den stång där plasticitet initieras känner du spänningen. Utnyttja
(4) för denna stång till att bestämma ett uttryck för (säg) v. Insätt detta
uttryck i (5) som skrivs om så du får två ekvationer med de två obekanta:
Fs och u.
4
Deluppgift 4
c) Från b) kännar du spänningen i alla stänger. Utnyttja (4) till att
bestämma u, v och den plastiska töjningen i den hårdast belastade stången.
5