TEKNISKA HÖGSKOLAN
Matematik
Blandade A-uppgifter Matematisk analys
1. Låt u = 2 − 2i och v = 1 + i. Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen
reiϕ
π
Svar: 2e−i 2
2. Bestäm de reella tal x för vilka |x − 5| ≤ |x + 1|.
Svar: x ≥ 2
3. Bestäm Re(z), Im(z) samt z på formen a + ib om (1 − i)z = 7 + i.
Svar: z = 3 + 4i
4. Bestäm sin ϕ och cos ϕ om ϕ = arctan 34 .
Svar: sin ϕ = 35 , cos ϕ =
4
5
√
4+h−2
5. Bestäm gränsvärdet lim
·
h→0
h
Svar: 14 ·
Z 3
(2x − 3) dx
6. Beräkna
·
2
2 x − 4x + 5
Svar: ln 2 + π4
7. Lös begynnelsevärdesproblemet (1 + x2 )y ′ (x) = y med villkoret y(0) = 1.
Svar: y(x) = earctan(x)
8. Bestäm det λ för vilket funktionen
(
f (x) =
λ arctan
1,
1
x2
, x 6= 0
x=0
blir kontinuerlig i origo.
Svar: λ = π2 ·
9x − 5
.
x+3
Svar: x < −3, 1 ≤ x ≤ 5
9. Lös olikheten x ≤
10. Bestäm en primitiv funktion till f (x) = x2008 sin(x2009 + 3) .
1
Svar: − 2009
cos(x2009 + 3)
1
3
11. Beräkna sin arcsin + arccos
.
4
4
Svar:
3
16
+
√
7
4
√
·
15
4
10
12. Låt f (x) = ln x + 4 +
. Bestäm Df .
x−3
Svar: x ∈ Df ⇔ −2 < x < 1 eller x > 3.
A-uppgifter Matematisk analys
13. Skissa kurvan y =
toter.
sid. 2 av 5
x2 + x + 9
med angivande av eventuella extrempunkter och asympx+1
Svar: Stationära punkter x = 2 (lok. min) och x = −4. (lok. max); lodrät asymptot
x = −1; sned asymptot y = x då x → ±∞
14. Lös differentialekvationen y ′′ − 6y ′ + 9y = 27x2 + 4 .
Svar: y = yh + yp = (C1 x + C2 )e3x + 3x2 + 4x +
22
9
15. Lös ekvationen tan (arccos x) = −1 .
Svar: − √12
√
16. Undersök om en invers funktion f −1 existerar till funktionen f (x) = 2x + 6. Bestäm
i så fall den inversa funktionen samt även definitions- och värdemängd till både f och
f −1 .
Svar: f −1 (y) =
y 2 −6
2 ;
Df −1 = Vf = [0, ∞[ och Vf −1 = Df = [−3, ∞[ .
√
17. Bestäm en primitiv funktion till f (x) = x( x + sin(2x)) .
Svar: 25 x5/2 − x cos(2x)
+
2
sin(2x)
4
18. Använd derivatans definition för att bestämma f ′ (x) om f (x) =
19. Bestäm en primitiv funktion till funktionen f (x) =
Svar: 3 ln |x − 3| + 2 ln |x + 3| + C
√
2x + 1.
5x + 3
.
x2 − 9
20. Bestäm samtliga lösningar till ekvationen z 3 = 8i. Ge lösningarna på formen z = a + bi.
√ π
2π
2π
π
Svar: 3 8ei 6 +n· 3 = 2ei 6 +n· 3 , n = 0, 1, 2.
21. Lös differentialekvationen xy ′ − 2y = x2 + 1 för x > 0 med begynnelsevillkoret y(1) = 0.
Svar: y = x2 ln x −
1
2
+ Cx2 y = x2 ln x +
x2 −1
2
22. Bestäm värdet av den generaliserade integralen
Svar: 1
Z
1
ln
0
1
x
dx.
23. Bestäm samtliga lösningar till differentialekvationen y ′′ + 3y ′ − 4y = ex .
Svar: y = yp + yh = xe5 + C1 e−4x + C2 ex =
√ 2
24. Bestäm f ′ π16 om f (x) = ln | sin x |.
x
Svar:
(x+C)ex
5
+ C1 e−4x
2
π·
25. Lös ekvationen ex − 12e−x = 4.
Svar: x = ln 6
26. (a) Visa (genom att sätta in i ekvationen) att z = 1 + 2i är en lösning till ekvationen
z 4 + 12z − 5 = 0.
(b) Lös ekvationen z 4 + 12z − 5 = 0 fullständigt.
√
√
Svar: (b) z1,2 = 1 ± 2i, z3,4 = −1 ± 1 + 1 = −1 ± 2
A-uppgifter Matematisk analys
27. Beräkna gränsvärdet
lim
x→π
sid. 3 av 5
(x − π) sin x
.
tan2 x
Svar: -1
28. Använd implicit derivering för att hitta ett värde på parametern β för vilket kurvan
x3 + y 3 − xy = 1 + β ln(x) har en vågrät tangent i punkten (1, 1).
Svar: β = 2
29. Bestäm alla stationära punkter och alla asymptoter till funktionen f (x) =
Bestäm också funktionens värdemängd.
3x + 3
.
3x − x2
Svar: Lodräta asymptoter: Linjen x = 0 (dvs. y-axeln) och linjen x = 3. Vågrät asymptot: linjen y = 0 (dvs. x−axeln) Stationära punkter är x = 1 och x = −3. Värdemängden
är Vf =] − ∞, 13 ] ∪ [3, ∞[.
1
30. Lös differentialekvationen y ′ = y 2 cos x, y > 0 med begynnelsevillkoret y(0) = .
2
1
1
Svar: y = − sin x−2 = 2−sin x
Z ∞
31. Beräkna värdet av den generaliserade integralen
(2 + 3x) e−x dx.
0
Svar: 5
32. Bestäm samtliga lösningar till differentialekvationen y ′′ − 5y ′ + 6y = 52 cos 2x.
Svar: y = yp + yh = −5 sin 2x + cos 2x + C1 e2x + C2 e3x
x+3
.
x−1
Svar: x ≤ −1, 1 < x ≤ 3
33. Lös olikheten x ≤
34. Låt z =
3 − 4i
.
1 + 2i
(a) Skriv z på fomen a + bi.
(b) Beräkna |z|.
Svar: (a) z = −1 − 2i (b) |z| =
√
12 + 22 =
√
5
35. Ange den allmänna lösningen till differentialekvationen y ′′ (x) − y ′ (x) − 2y(x) = 2x2 +
2x − 3.
Svar: y(x) = C1 e2x + C2 e−x − x2 + 12 ·
R
36. Bestäm den primitiva funktionen x2 ln x dx.
Svar:
x3 ln x
3
−
x3
9
+C
37. Bestäm ekvationen för en tangent till kurvan y = y(x) som definieras av sambandet
x3 − 5xy + y 2 + 1 = 0 i punkten (2, 1).
7
3
Svar: y = x −
8
4
38. Lös differentialekvationen y ′ +
Svar: y =
x
2
−
1
2x
=
y
x
= 1,
x > 0 med begynnelsevillkoret y(1) = 0.
x2 −1
2x
39. (a) Skriv på polär form det komplexa talet z =
√
3+i
2 ·
A-uppgifter Matematisk analys
sid. 4 av 5
(b) Ange på (a + ib)–form talet w = z 11 .
Svar: (a) z =
√
3+i
2
= cos π6 + i sin π6 = eiπ/6 (b) z 11 = e11πi/6 = e−πi/6 =
√
3−i
2
40. Bestäm samtliga lösningar till differentialekvationen y ′′ − 6y ′ + 9y = ex .
Svar: y = yp + yh = 14 ex + (C1 x + C2 )e3x .
p
p
41. Beräkna gränsvärdet lim
x2 + 3x − x2 + 1 .
x→∞
Svar:
3
2
42. Ekvationen 3z 3 − 5z 2 + 13z + 5 = 0 har en lösning 1 − 2i. Lös ekvationen fullständigt.
Svar: z1,2 = 1 ± 2i, z3 = − 13
√ 43. Bestäm f ′ 14 om f (x) = ln arcsin( x ) .
Svar:
√
4 3
π ·
44. Bestäm gränsvärdena
√
x2 − 2x + 3
(a) lim
·
x→∞
3x − 4
sin(4x)
(b) lim
·
x→0 ln(1 + 3x)
Svar: (a) 13 ; (b) 43
Z 3
dx
45. Beräkna
·
2
2 x − 4x + 5
Svar: π4
√
46. Låt z = 3 + i.
(a) Ange z på polär form (dvs bestäm r > 0 och ϕ, sådana att z = r eiϕ ).
(b) Låt w = z2 · Ange talet w11 på formen a + ib.
Svar: (a) 2 eiπ/6 ; (b)
√
3
2
− 2i ·
47. Skissa kurvan till funktionen f (x) =
ter och samtliga asymptoter.
3x2 − 2x + 2
· Ange speciellt samtliga extrempunkx−1
Svar: Lodrät asymptot x = 1; sned asymptot y = 3x + 1 då x → ±∞; Lok. max i x = 0,
lok. min i x = 2
48. Lös olikheten 2|x − 2| > |x + 4| .
Svar: x < 0 eller x > 8.
49. Lös ekvationen z 4 = −16. Lösningarna skall vara på formen x + iy .
√
√
Svar: ± 2 ± i 2 (alla 4 fall)
50. Lös differentialekvationen y ′′ + 7y ′ + 10y = 12 sin(2x) + 28 cos(2x) .
Svar: y = yh + yp = C1 e−2x + C2 e−5x + 2 sin(2x)
A-uppgifter Matematisk analys
sid. 5 av 5
x+8
51. Bestäm en primitiv funktion till funktionen f (x) = 2
.
x + 4x
x2 Svar: 2 ln |x| − ln |x + 4| + C = ln x+4
+C
52. Ekvationen z 4 − 6z 3 + 10z 2 + 2z = 15 har lösningen z = 2 + i. Finn övriga tre rötter.
Svar: z1,2 = 2 ± i, z3 = 3, z4 = −1
√
9 + 7h − 4h2 − 3
53. Bestäm gränsvärdet lim
·
h→0
h
Svar: 76 ·
54. Beräkna integralen
Svar:
4π
27
Z
2π
3
x2 cos 3x dx.
0
55. Bestäm samtliga asymptoter och stationära punkter till funktionen f (x) =
Skissa funktionens graf.
x3
.
(x + 1)2
Svar: Lodrät asymptot: x = −1, sned asymptot: y = x − 2. Stationära punkter: x =
0, x = −3.
56. Bestäm samtliga lösningar till differentialekvationen y ′′ + 2y ′ + 5y = sin x.
Svar: y = yp + yh =
1
5
sin x −
1
10
cos x + e−x (C1 sin 2x + C2 cos 2x)
57. Ange realdelen, imaginärdelen och beloppet |z| för lösningen z till ekvationen (1−3i)z =
3 + i.
Svar: z =
3+i
1−3i
= i Realdel=0, imaginärdel=1. |z| = 1,.
58. Bestäm sin ϕ om ϕ = arctan 43 ·
Svar: 45 ·
59. Ange inversen f −1 till funktionen f (x) = ln(1 + ex ).
Svar: f −1 (x) = ln(ex − 1).
60. Bestäm gränsvärdet lim
x→0
ln(1 + 3x)
·
sin(2x)
Svar: 32 ·
2
61. Använd partialbråksuppdelning för att bestämma en primitiv funktion till f (x) = 2
·
x −4
q
x−2
Svar: ln
x+2
62. Lös det separabla begynnelsevärdesproblemmet (1+ x2 )y ′ = 2xy med villkoret y(0) = 1.
Svar: y(x) = 1 + x2 .
63. Polynomet P (z) = 2z 4 − 3z 3 + 3z 2 + 77z − 39 har en rot z0 = 2 + 3i. Bestäm dess övriga
nollställen.
Svar: P (z) = (2z 2 + 5z − 3)(z 2 − 4z + 13) = (2z − 1)(z + 3)(z 2 − 4z + 13)
64. Ange den allmänna lösningen till differentialekvationen y ′′ (t) + 2y ′ (t) − 3y(t) = et .
Svar: y(x) = c1 e−3t + (c2 + 4t )et