הורד את ספר הקורס
מתמטיקה 5יח"ל שאלון 807מיקודית 1 תוכן העניינים: בחינה מספר 3 ................................... ................................ ................................ 1 בחינה מספר 5 ................................... ................................ ................................ 2 בחינה מספר 7 ................................... ................................ ................................ 3 בחינה מספר 9 ................................... ................................ ................................ 4 בחינה מספר 11 ................................. ................................ ................................ 5 תשובות סופיות13 .............................. ................................ ................................ : בחינה 13 ..................................... ................................ ................................ :1 בחינה 13 ..................................... ................................ ................................ :2 בחינה 14 ..................................... ................................ ................................ :3 בחינה 14 ..................................... ................................ ................................ :4 בחינה 15 ..................................... ................................ ................................ :5 2 בחינה מספר 1 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – גיאומטריה אנליטית ,וקטורים ,טריגונומטריה במרחב ,מספרים מרוכבים ( 66 2נקודות) 3 1 ענה על שתיים מהשאלות ( 1-3לכל שאלה – 3 שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. 33נקודות). )1ענה על הסעיפים הבאים: א .הסבר ע"פ הגדרת מעגל ,מדוע המקום הגיאומטרי של נקודות zבמישור גאוס המקיימות R 0 , z 1 Rהוא מעגל. ב .הסבר ,ע"פ הגדרת פרבולה ,מדוע המקום הגיאומטרי של נקודות Zבמישור גאוס p p p 0 , z yi z הוא פרבולה. המקיימות 2 2 ג .רשום באמצעות Rו p -את המשוואות המפורשות של המעגל והפרבולה הנ"ל. ד .נתון כי המעגל והפרבולה הנ"ל משיקים בשתי נקודות .הוכח כי. R2 2 p p 2 : )2נתון המישור Iשמשוואתוx y z 0 : ונתון המישור IIשמשוואתו. x y z 0 : א .מצא הצגה פרמטרית של ישר שמרחקו ממישור Iהוא 3 ומרחקו ממישור IIהוא. 3 3 : ב .כמה ישרים כאלו ניתן למצוא? נמק! ג .1 .מצא משוואת מישור העובר בנקודה k , 0, k ומאונך לישר שמצאת בסעיף א'. .2 עבור אילו ערכי kהנקודה k 2 1, 0, k 2 1 3 נמצאת במישור זה. )3בפירמידה משולשת SABCהנקודה Kהיא מרכז הכובד של הפאה SBCוהנקודה Lהיא מרכז הכובד של הפאה . SAC סמן. SA w , AC v , AB u : א .הבע את AKואת BLבאמצעות v , uו. w - ב .הוכח כי AKו BL -נחתכים. ג .נתון כי AKו BL -נחתכים בנקודה . M חשב את היחס שבו הנקודה Mמחלקת את AK ואת היחס שבו מחלקת הנקודה Mאת . BL פרק שני – גדילה ודעיכה ,פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ( 33 1נקודות) 3 ענה על אחת מהשאלות .4-5 שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך. )4נתון כי מספר החיידקים מסוג מסוים גדל פי eבכל שעה ,אולם באמצעות שימוש באנטיביוטיקה מספרם קטן פי eבכל שעה. א. ב. ג. רשום פונקציה f x המתארת את מספר החיידקים שיהיו בתרבית ללא אנטיביוטיקה במשך xשעות אם מספרם ההתחלתי הוא . n רשום פונקציה g x המתארת את מספר החיידקים שיהיו בתרבית עם אנטיביוטיקה במשך xשעות אם מספרם ההתחלתי הוא . n f x g x והראה כי איננו תלוי ב. n - מצא את האינטגרל dx f x g x f x 1 2 . חשב את . n נתון dx n 1 : 0 4 g x 2 ד. 5 )5נתונה פונקציה f x 0 , f x המקיימת, f ' x f '' x : f ' x ונתונה פונקציה g x המקיימתdx : f x . g x א .מצא את הפונקציה . f x ב .הוכח כי g x היא משוואת ישר (כלומר מהצורה.) g x ax b : 2 ג .הצב g x xוחשב את האינטגרל המסוים . f x g x dx 0 ד .ידוע כי לכל ערך של xמתקיים . f x g x חשב את נפח גוף הסיבוב הנוצר כתוצאה מסיבוב השטח שמצאת בסעיף ג' סביב ציר ה. x - 4 בחינה מספר 2 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – גיאומטריה אנליטית ,וקטורים ,טריגונומטריה במרחב ,מספרים מרוכבים ( 66 2נקודות) 3 1 ענה על שתיים מהשאלות ( 1-3לכל שאלה – 3 שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. 33נקודות). )1האליפסה a b 0 , b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2נמצאת במישור xy ומוקדיה הם F1 c, 0, 0 :ו . F2 c,0,0 -הנקודה S 0, 0, c היא קדקוד פירמידה מרובעת שבסיסה הוא המרובע שקדקודיו הם קודקודי האליפסה. א .הראה כי הפירמידה איננה ישרה. ב .הראה כי סכום ריבועי הצלעות של פאה צדדית בפירמידה הנתונה אינו תלוי ב b -וב. c - 10bc V סמ"ק .מצא את תחום ההגדרה של . c ג .נתון כי נפח הפירמידה הוא 3 ד .נתון גם כי . c 0 , 3c2 bc 4b2 0 מצא את קדקוד הפירמידה ואת משוואת האליפסה. )2מעגל קנוני שרדיוסו Rחסום באליפסה הקנונית x 2 4 y 2 4R 2 4R נתון כי היחס בין שטח המעגל לבין שטחו של משולש שווה צלעות החסום בו הוא 27 א .חשב את Rורשום את הצורה המפורשת של משוואת האליפסה. ב .הסבר ,ע"פ הגדרת אליפסה ,מדוע המקום הגיאומטרי של נקודות zבמישור גאוס . המקיימות z 3 z 3 4 :הוא אליפסה. ג .הוכח כי המקום הגיאומטרי של נקודות zהמקיימותz 3 z 3 4 : זהה לאליפסה שרשמת בסעיף א'. 5 )3נתון הישר. l1 : x 3,0, 3 t 1,1, 2 : א .מצא הצגה פרמטרית של שני ישרים העוברים דרך הראשית , O 0, 0, 0 חותכים את הישר l1ויוצרים איתו זווית . 60 (הנחיה :הנח כי קיים ישר אחד כלשהו המקיים את התנאים הנ"ל ומצא את 2האפשרויות). ב .שני הישרים שמצאת בסעיף א חותכים את l1בנקודות Aו.B- חשב את שטח המשולש .OAB פרק שני – גדילה ודעיכה ,פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ( 33 1נקודות) 3 ענה על אחת מהשאלות .4-5 שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך. x )4השטח הכלוא בין גרף הפונקציה x ו x en4 -מסתובב סביב ציר ה . x -נתון כי הישר x 1מחלק את נפח גוף הסיבוב שנוצר ביחס של 1: 5באופן שהחלק הגדול נמצא מימין לישר זה. סרטט סקיצה מתאימה לתיאור הבעיה וחשב את . n f ( x) ובין הישרים, y 0 : f x 1 1 , g x )5נתונות הפונקציות, f x ln x : f ' x f ' x n x e . h x בשרטוט שלפניך מופיעים שלושה גרפים II , Iו. III - א .מצא את הפונקציות g x ו , h x -התאם לכל גרף בשרטוט פונקציה מתאימה וקבע איזו מבין הפונקציות הנתונות איננה מופיעה בשרטוט .נמק! ב .הוכח כי. h ' x f x : ג. חשב את f x f ' x dx : e2 . e ln x ד .העזר בסעיפים קודמים וחשב אתdx : x ln x 1 6 e3 . 2 e בחינה מספר 3 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – גיאומטריה אנליטית ,וקטורים ,טריגונומטריה במרחב ,מספרים מרוכבים ( 66 2נקודות) 3 1 ענה על שתיים מהשאלות ( 1-3לכל שאלה – 3 שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. 33נקודות). )1נתונות הנקודות A 1, 2 ו. C 3, 2 - משתי הנקודות העלו שני קטעים AB ,ו , CD -המקבילים לציר ה. y - נתון . AB CD 16 :הוכח כי המקום הגיאומטרי של מפגשי הישרים ADו BC -הוא מעגל ומצא את רדיוסו. )2נתונים שני מישורים מקבילים שהמרחק ביניהם הוא .4 מישור אחד עובר בנקודות A 0, 0, 2 :ו , B 1, 0,1 -והמישור השני עובר בנקודה . C 0,0, 4 מצא את משוואות המישורים. )3נתונה המשוואה a , b , c ( z 3 az 2 bz c 0ממשיים). א .הוכח :אם zפתרון של המשוואה אז גם zפתרון של המשוואה. ב. הסתמך על סעיף א' והוכח שאם z cisפתרון של המשוואה אז מתקיים: . cos3 a cos 2 b cos c 0 .1 . 1 a cos b cos 2 c cos3 0 .2 7 פרק שני – גדילה ודעיכה ,פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ( 33 1נקודות) 3 ענה על אחת מהשאלות .4-5 שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך. )4המדינות אוקיאניה ואיראסיה נוסדו בשנת .1984 עם היווסדה של אוקיאניה בתאריך 01/01/1984נמנו בה 50Kתושבים. לפניך פונקציה f x k 22 x 15 2x 64 המתארת את גודל אוכלוסיית מדינה זו כתלות בזמן xהנמדד בשנים. עם היווסדה של איראסיה ,גם כן בתאריך 01/01/1984נמנו בה 5Kתושבים. ידוע כי אוכלוסיית מדינה זו גדלה פי 2בכל שנה. א .רשום פונקציה g x המתארת את גודל אוכלוסיית איראסיה כתלות בזמן xהנמדד בשנים. ב .באילו תאריכים היה שווה מספר האוכלוסיות של שתי המדינות? ג .באילו תאריכים עלה מספר תושביה של איראסיה על זה של אוקיאניה? ד .מה היה ההפרש הגדול ביותר בין מספר תושבי שתי המדינות מאז היווסדן בתאריך 01/01/1984ועד ?01/01/1988מצא את שתי האפשרויות. (תוכל לעגל את תשובתך ל 2-ספרות אחרי הנקודה העשרונית). )5הנגזרת של הפונקציה f x a x e x :היא a , f ' x b x e x :ו b -פרמטרים. א .הראה כי. a b 1 : ב .מגדירים את הפונקציה הבאה. g x ln f x f ' x : .1מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ? g .2כתוב מפורשות את ). g ( x 2 ג .נתונה המשוואה a 2 : 2 f ' x g x dx 2e 0 חשב את הפרמטרים aו. b - 8 בחינה מספר 4 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – גיאומטריה אנליטית ,וקטורים ,טריגונומטריה במרחב ,מספרים מרוכבים ( 66 2נקודות) 3 1 ענה על שתיים מהשאלות ( 1-3לכל שאלה – 3 שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. 33נקודות). )1המשולש ABCנמצא כולו ברביע הראשון .הקדקוד Aשל המשולש מונח על הישר , y x 6הקדקוד Bמונח על הישר y 2 xוהקדקוד Cמונח על הישר . y 3x 2הנקודה M 2,5היא מרכז הכובד של המשולש ושטחו שווה ל 3 / 2 -יחידות שטח. א .סמן xA a , xB b , xC c :והבע את קודקודי המשולש ABC באמצעות. a , b , c : ב .חשב את קודקודי המשולש a , b , c ( .הם מספרים שלמים). )2נתון טרפז ABCDשבו הבסיס התחתון DCגדול פי 1.5מהבסיס העליון . AB 2 הוכח. 3 AB 2 AD BC 2 AC BD : )3נתונה המשוואה 3m 1 z 1 0 : 2 z 2 . i Im m mהנח כי mפרמטר מרוכב. א .נתון כי למשוואה הנתונה יש פתרון יחיד ,הראה כי mממשי וחשב אותו (מצא את 2האפשרויות). ב .עבור כל אחד מערכי mשמצאת בסעיף א' חשב את הפתרון היחיד של המשוואה. ג. סמן את שני הפתרונות היחידים שמצאת בסעיף הקודם ב z1 , z2 - ומצא את z1Oz2 ( Oראשית הצירים במישור גאוס). 9 פרק שני – גדילה ודעיכה ,פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ( 33 1נקודות) 3 ענה על אחת מהשאלות .4-5 שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך. )4קרן אור א' שעוצמתה Nיחידות פוטומטריות ,העוברת דרך לוח זכוכית מסוג X מאבדת 20%מעוצמתה. קרן אור ב' שעוצמתה 16Nיחידות פוטומטריות ,העוברת דרך לוח זכוכית מסוג Y מאבדת 60%מעוצמתה .הנח דעיכה מעריכית וענה על הסעיפים הבאים: א .קרן אור א' עוברת דרך Kלוחות זכוכית מסוג Xוקרן אור ב' עוברת דרך K לוחות זכוכית מסוג . Yשתי קרני האור היוצאות שוות בעוצמתן .מצא את . K ב .בשלב מסוים נשברו כל לוחות הזכוכית מסוג Yונותרו רק לוחות זכוכית מסוג . X מהו המספר המינימלי של לוחות מסוג Xשדרכן תעבור קרן אור ב' כדי שתאבד מעוצמתה לפחות אותה עוצמת אור שהייתה מאבדת אילו עברה דרך לוח זכוכית אחד מסוג ? Y )5לפניך גרף הפונקציה f x cot x :בתחום. 0 x : א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה בתחום הנתון? ב .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ג .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה, ציר ה x -והישר 4 ( x ראה איור). t ד. נתונה המשוואה cot xdx 0 : ; .0 t 4 חשב את . t 10 בחינה מספר 5 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – גיאומטריה אנליטית ,וקטורים ,טריגונומטריה במרחב ,מספרים מרוכבים ( 66 2נקודות) 3 1 ענה על שתיים מהשאלות ( 1-3לכל שאלה – 3 שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. 33נקודות). )1ענה על הסעיפים הבאים: א .הוכח כי אם :הישר y mx nמשיק לפרבולה, p , m , n 0 , y 2 px : 2 p אז: 2m ב .הוכח שמשוואת המשיק המשותף לפרבולה הקנונית y 2 4 xולפרבולה y 16 x 2 היא. 16 x 4 y 1 0 : .n )2הישר l1עובר בנקודה , A 0, 0,1יוצר זווית 60עם ציר ה z -וחותך את המישור z 0בנקודות . P x, y, z א .מצא את משוואת המקום הגיאומטרי של הנקודות . P ב .הנקודות P2 , P1ו P3 -נמצאות על המקום הגיאומטרי שמצאת בסעיף א ויוצרות משולש שווה צלעות . P1P2 P3חשב את שטח הפנים של הטטראדר . AP1P2 P3 )3נתונים שלושה מקומות גיאומטריים Im z 2 0 , Re z 2 0 :ו. z k - נקודות החיתוך בין המקומות הגיאומטריים מייצגות מספרים מרוכבים במישור גאוס. א .הבע באמצעות kאת המשוואה שמספרים אלו הם כל הפתרונות שלה. ב .הוכח שסכום הפתרונות האלו שווה ל.0- ג .הבע באמצעות kאת שטח המצולע המתקבל מחיבור כל הנקודות. 11 פרק שני – גדילה ודעיכה ,פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ( 33 1נקודות) 3 ענה על אחת מהשאלות .4-5 שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך. x2 )4לפניך המשוואה y 2 2 pxוהפונקציה 2p . p 0 , f x א .הסבר מדוע המשוואה y 2 2 pxאיננה פונקציה של . x ב .מהמשוואה y 2 2 pxניתן ליצור שתי פונקציות שונות g x ,וh x - המקיימות לכל . g x h x : xרשום את שתי הפונקציות. ג .הבע (במידת הצורך באמצעות ) pאת פתרונות המשוואה. f x g x : ד .הבע באמצעות pאת פתרון אי-השוויון. f x g x : ה .ידוע כי רק אם: 0 x 2e2אז מתקיים g x f x dx 0 : 2p . 0 מצא את . pנמק. הערה :בתשובותיך תוכל להיעזר במידת הצורך בשרטוטים מתאימים לתיאור הבעיה. )5הפונקציה f x היא פונקציה זוגית ,נגזרתה f ' x היא פונקציה אי זוגית ,והנגזרת השנייה f '' x היא פונקציה זוגית .המוגדרות כולן לכל . x הסתמך על האיור הבא וענה על הסעיפים הבאים: א .התאם לכל פונקציה גרף מתאים מבין הגרפים II , Iו . III -נמק. ב .נתון. f '' 0 e f ' 0 : מבין כל המשיקים לגרף פונקציית הנגזרת מצא את משוואת המשיק ששיפועו מינימלי. ג. נתון f " x f ' x dx 0 : x0 . x0 .1הראה כי . f ' x0 0 .2הבע באמצעות x0את תחומי העלייה והירידה של f x בתחום . x0 x x0 x0 1 ד .חשב את האינטגרל המסוים. f ' x dx : x0 ax 12 תשובות סופיות: בחינה :1 )1א .ע"פ ההגדרה" :אוסף כל הנקודות הנמצאות במרחק שווה מנקודה נתונה הוא מעגל". המשוואה הנתונה מתארת את הגודל הקבוע Rשהוא מרחק הנקודות zמהנקודה. z1 1 : ב .ע"פ ההגדרה" :אוסף כל הנקודות הנמצאות במרחק שווה מנקודה נתונה ומישר נתון הוא פרבולה" .המשוואה הנתונה מתארת שוויון בין שני מרחקים: p האחד הוא מרחק הנקודות zמהנקודה הקבועה z1 והאחר הוא מרחק 2 p הנקודות zמהישר. x : 2 ג .משוואת המעגל , x 1 y 2 R 2 :משוואת הפרבולה. y 2 2 px : 2 )2א .אחד מן הישרים הבאים: l1 : x 1, 3,5 t 1, 0, 1 , l2 : x 1, 6, 4 t 1, 0, 1 l3 : x 1, 6, 2 t 1, 0, 1 , l4 : x 1,3, 7 t 1, 0, 1 ב .ארבעה. גx z 0 .1 . 1 1 )3א 3u v w , AK u v w . 3 3 )4אf x ne x . בg x ne x . )5אf x e x . גe2 3 . ג. k 1 , k 1 .2 . BL AM BM 3 ג . MK ML 1 גln e x e x C . . ד. n e10 . e4 19 ד .יח"נ. 2 6 בחינה :2 )1ב4a 2 . גc 0 , 5 c 5 . x2 y 2 ד 1 , S 0, 0, 4 . 25 9 x2 y2 )2א 1 . 4 2 2 משתי נקודות נתונות שווה לגודל קבוע הוא אליפסה" .המשוואה הנתונה מתארת סכום של שני מרחקים (הנתונים בערך מוחלט) השווים לגודל קבוע שהוא .4πהמרחק הראשון ב .ע"פ ההגדרה" :אוסף כל הנקודות אשר סכום מרחקיהן הוא מרחק הנקודות zמהנקודה z1 3והמרחק השני הוא מרחק הנקודות z מהנקודה . z2 3 3 3 ב. 2 )3אx s 2,1, 1 , x r 1, 2,1 . . n2 16 , n1 1 )4 13 S יח"ש. . 1 : III גרף. f x ln x : II גרף. g x x : I גרף.) א5 x e2 1 . ג. איננה מופיעה בשרטוטh x x ln x 1 הפונקציה . f ' x . 1 ln 2 .ד :3 בחינה . R 2 , x 1 y 2 4 )1 2 2 . 1 : 2 x y 2 z - 4 0 , 2 : 2 x y 2 z 8 0 :') אפשרות א2 . 1 : 2 x y 2 z 4 0 , 2 : 2 x y 2 z 8 0 :'אפשרות ב .01/01/1988 : ובתאריך01/01/1986 : בתאריך.ב .) הוכחות3 g x 5K 2x .) א4 01/01/1988 ולפני01/01/1986 לאחר.ג . תושבים36K תושבים או45K .ד . a 4 , b 3 .ג g x x .2 .ב x כל.1 .) ב5 :4 בחינה A 3,9 , B 1, 2 , C 2, 4 .ב A a, a 6 , B b, 2b , C c,3c 2 .) א1 .) הוכחה2 1 . z 1 : פתרון המשוואה הואm1 1 : עבור.ב m1 1 , m2 .) א3 5 1 . 180 . גz 5 : פתרון המשוואה הואm2 :עבור 5 K 4 .) א4 .5 .ב . יח"שS ln 2 0.347 .ג , 0 .ב 2 . 0 x .) א5 . t1 14 4 , t2 3 .ד 4 בחינה :5 )1הוכחות. )2אx y 3 . ב 9.85 .יחידות שטח. )3אz 8 k 8 . ג S 2 2k 2 .יחידות שטח. 2 2 )4א .למשוואה , y 2 2 pxלכל xבת.ה .ישנם 2פתרונות ל, y - בניגוד להגדרת המושג פונקציה. ב g x 2 px , h x 2 px .ג. 0,0 , 2 p, 2 p . ה. p e2 . ד. 0 x 2 p . )5א .גרף , f '' x : Iגרף . f ' x : IIגרף f x : III ג .1 .הוכחה .2עליה . x0 x 0 :ירידה. 0 x x0 : x0 1 ד. f ' x dx 0 . x0 ax 15 ב. y ex .
© Copyright 2024