הורד את ספר הקורס

‫מתמטיקה ‪ 5‬יח"ל שאלון ‪ 807‬מיקודית‬
‫‪1‬‬
‫תוכן העניינים‪:‬‬
‫בחינה מספר ‪3 ................................... ................................ ................................ 1‬‬
‫בחינה מספר ‪5 ................................... ................................ ................................ 2‬‬
‫בחינה מספר ‪7 ................................... ................................ ................................ 3‬‬
‫בחינה מספר ‪9 ................................... ................................ ................................ 4‬‬
‫בחינה מספר ‪11 ................................. ................................ ................................ 5‬‬
‫תשובות סופיות‪13 .............................. ................................ ................................ :‬‬
‫בחינה ‪13 ..................................... ................................ ................................ :1‬‬
‫בחינה ‪13 ..................................... ................................ ................................ :2‬‬
‫בחינה ‪14 ..................................... ................................ ................................ :3‬‬
‫בחינה ‪14 ..................................... ................................ ................................ :4‬‬
‫בחינה ‪15 ..................................... ................................ ................................ :5‬‬
‫‪2‬‬
‫בחינה מספר ‪1‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – גיאומטריה אנליטית‪ ,‬וקטורים‪ ,‬טריגונומטריה‬
‫במרחב‪ ,‬מספרים מרוכבים ( ‪ 66 2‬נקודות)‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‬
‫‪3‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ 33‬נקודות)‪.‬‬
‫‪ )1‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬הסבר ע"פ הגדרת מעגל‪ ,‬מדוע המקום הגיאומטרי של נקודות ‪ z‬במישור גאוס‬
‫המקיימות ‪  R  0  , z  1  R‬הוא מעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬הסבר‪ ,‬ע"פ הגדרת פרבולה‪ ,‬מדוע המקום הגיאומטרי של נקודות ‪ Z‬במישור גאוס‬
‫‪p‬‬
‫‪ p‬‬
‫‪‬‬
‫‪  p  0  , z     yi   z ‬הוא פרבולה‪.‬‬
‫המקיימות‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬רשום באמצעות ‪ R‬ו‪ p -‬את המשוואות המפורשות של המעגל והפרבולה הנ"ל‪.‬‬
‫ד‪ .‬נתון כי המעגל והפרבולה הנ"ל משיקים בשתי נקודות ‪ .‬הוכח כי‪. R2  2 p  p 2 :‬‬
‫‪ )2‬נתון המישור ‪ I‬שמשוואתו‪x  y  z  0 :‬‬
‫ונתון המישור ‪ II‬שמשוואתו‪. x  y  z  0 :‬‬
‫א‪ .‬מצא הצגה פרמטרית של ישר שמרחקו ממישור ‪ I‬הוא ‪3‬‬
‫ומרחקו‬
‫ממישור ‪ II‬הוא‪. 3 3 :‬‬
‫ב‪ .‬כמה ישרים כאלו ניתן למצוא? נמק!‬
‫ג‪ .1 .‬מצא משוואת מישור העובר בנקודה ‪  k , 0, k ‬ומאונך לישר שמצאת בסעיף א'‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪‬‬
‫עבור אילו ערכי ‪ k‬הנקודה ‪k 2  1, 0, k 2  1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫נמצאת במישור זה‪.‬‬
‫‪ )3‬בפירמידה משולשת ‪ SABC‬הנקודה ‪ K‬היא מרכז הכובד של‬
‫הפאה ‪ SBC‬והנקודה ‪ L‬היא מרכז הכובד של הפאה ‪. SAC‬‬
‫סמן‪. SA  w , AC  v , AB  u :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ AK‬ואת ‪ BL‬באמצעות ‪ v , u‬ו‪. w -‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי ‪ AK‬ו‪ BL -‬נחתכים‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי ‪ AK‬ו‪ BL -‬נחתכים בנקודה ‪. M‬‬
‫חשב את היחס שבו הנקודה ‪ M‬מחלקת את ‪AK‬‬
‫ואת היחס שבו מחלקת הנקודה ‪ M‬את ‪. BL‬‬
‫פרק שני – גדילה ודעיכה‪ ,‬פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות‬
‫( ‪ 33 1‬נקודות)‬
‫‪3‬‬
‫ענה על אחת מהשאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ )4‬נתון כי מספר החיידקים מסוג מסוים גדל פי ‪ e‬בכל שעה‪ ,‬אולם באמצעות שימוש‬
‫באנטיביוטיקה מספרם קטן פי ‪ e‬בכל שעה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫רשום פונקציה ‪ f  x ‬המתארת את מספר החיידקים שיהיו בתרבית ללא‬
‫אנטיביוטיקה במשך ‪ x‬שעות אם מספרם ההתחלתי הוא ‪. n‬‬
‫רשום פונקציה ‪ g  x ‬המתארת את מספר החיידקים שיהיו בתרבית עם‬
‫אנטיביוטיקה במשך ‪ x‬שעות אם מספרם ההתחלתי הוא ‪. n‬‬
‫‪f  x  g  x‬‬
‫‪ ‬והראה כי איננו תלוי ב‪. n -‬‬
‫מצא את האינטגרל ‪dx‬‬
‫‪f  x  g  x‬‬
‫‪ f  x ‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪ .  ‬חשב את ‪. n‬‬
‫נתון‪ dx   n  1 :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ g  x ‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ )5‬נתונה פונקציה ‪  f  x   0  , f  x ‬המקיימת‪, f '  x   f ''  x  :‬‬
‫‪f ' x‬‬
‫ונתונה פונקציה ‪ g  x ‬המקיימת‪dx :‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪. g  x  ‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי ‪ g  x ‬היא משוואת ישר (כלומר מהצורה‪.) g  x   ax  b :‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬הצב ‪ g  x   x‬וחשב את האינטגרל המסוים ‪.   f  x   g  x   dx‬‬
‫‪0‬‬
‫ד‪ .‬ידוע כי לכל ערך של ‪ x‬מתקיים ‪ . f  x   g  x ‬חשב את נפח גוף הסיבוב הנוצר‬
‫כתוצאה מסיבוב השטח שמצאת בסעיף ג' סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫‪4‬‬
‫בחינה מספר ‪2‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – גיאומטריה אנליטית‪ ,‬וקטורים‪ ,‬טריגונומטריה‬
‫במרחב‪ ,‬מספרים מרוכבים ( ‪ 66 2‬נקודות)‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‬
‫‪3‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ 33‬נקודות)‪.‬‬
‫‪ )1‬האליפסה ‪  a  b  0 , b2 x 2  a 2 y 2  a 2b2‬נמצאת במישור ‪  xy ‬ומוקדיה‬
‫הם‪ F1  c, 0, 0  :‬ו‪ . F2  c,0,0  -‬הנקודה ‪ S  0, 0, c ‬היא קדקוד פירמידה מרובעת‬
‫שבסיסה הוא המרובע שקדקודיו הם קודקודי האליפסה‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הפירמידה איננה ישרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי סכום ריבועי הצלעות של פאה צדדית בפירמידה הנתונה אינו תלוי ב‪ b -‬וב‪. c -‬‬
‫‪10bc‬‬
‫‪ V ‬סמ"ק‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של ‪. c‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי נפח הפירמידה הוא‬
‫‪3‬‬
‫ד‪ .‬נתון גם כי ‪.  c  0  , 3c2  bc  4b2  0‬‬
‫מצא את קדקוד הפירמידה ואת משוואת האליפסה‪.‬‬
‫‪ )2‬מעגל קנוני שרדיוסו ‪ R‬חסום באליפסה הקנונית ‪x 2  4 y 2  4R 2‬‬
‫‪4R‬‬
‫נתון כי היחס בין שטח המעגל לבין שטחו של משולש שווה צלעות החסום בו הוא‬
‫‪27‬‬
‫א‪ .‬חשב את ‪ R‬ורשום את הצורה המפורשת של משוואת האליפסה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הסבר‪ ,‬ע"פ הגדרת אליפסה‪ ,‬מדוע המקום הגיאומטרי של נקודות ‪ z‬במישור גאוס‬
‫‪.‬‬
‫המקיימות‪ z  3  z  3  4 :‬הוא אליפסה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי המקום הגיאומטרי של נקודות ‪ z‬המקיימות‪z  3  z  3  4 :‬‬
‫זהה לאליפסה שרשמת בסעיף א'‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ )3‬נתון הישר‪. l1 : x   3,0, 3  t  1,1, 2  :‬‬
‫א‪ .‬מצא הצגה פרמטרית של שני ישרים העוברים דרך הראשית ‪ , O  0, 0, 0 ‬חותכים‬
‫את הישר ‪ l1‬ויוצרים איתו זווית ‪. 60‬‬
‫(הנחיה‪ :‬הנח כי קיים ישר אחד כלשהו המקיים את התנאים הנ"ל ומצא את ‪ 2‬האפשרויות)‪.‬‬
‫ב‪ .‬שני הישרים שמצאת בסעיף א חותכים את ‪ l1‬בנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪.OAB‬‬
‫פרק שני – גדילה ודעיכה‪ ,‬פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות‬
‫( ‪ 33 1‬נקודות)‬
‫‪3‬‬
‫ענה על אחת מהשאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )4‬השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫ו‪ x  en4 -‬מסתובב סביב ציר ה‪ . x -‬נתון כי הישר ‪ x  1‬מחלק את נפח גוף הסיבוב‬
‫שנוצר ביחס של ‪ 1: 5‬באופן שהחלק הגדול נמצא מימין לישר זה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה מתאימה לתיאור הבעיה וחשב את ‪. n‬‬
‫‪ f ( x) ‬ובין הישרים‪, y  0 :‬‬
‫‪f  x  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, g  x ‬‬
‫‪ )5‬נתונות הפונקציות‪, f  x   ln x :‬‬
‫‪f ' x‬‬
‫‪f ' x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x  e‬‬
‫‪. h  x ‬‬
‫בשרטוט שלפניך מופיעים שלושה גרפים ‪ II , I‬ו‪. III -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציות ‪ g  x ‬ו‪ , h  x  -‬התאם לכל גרף בשרטוט פונקציה מתאימה‬
‫וקבע איזו מבין הפונקציות הנתונות איננה מופיעה בשרטוט‪ .‬נמק!‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. h '  x   f  x  :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את‪ f  x   f '  x   dx :‬‬
‫‪e2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ln x‬‬
‫ד‪ .‬העזר בסעיפים קודמים וחשב את‪dx :‬‬
‫‪x  ln x  1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪e3‬‬
‫‪. 2‬‬
‫‪e‬‬
‫בחינה מספר ‪3‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – גיאומטריה אנליטית‪ ,‬וקטורים‪ ,‬טריגונומטריה‬
‫במרחב‪ ,‬מספרים מרוכבים ( ‪ 66 2‬נקודות)‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‬
‫‪3‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ 33‬נקודות)‪.‬‬
‫‪ )1‬נתונות הנקודות ‪ A 1, 2 ‬ו‪. C  3, 2  -‬‬
‫משתי הנקודות העלו שני קטעים‪ AB ,‬ו‪ , CD -‬המקבילים לציר ה‪. y -‬‬
‫נתון‪ . AB  CD  16 :‬הוכח כי המקום הגיאומטרי של מפגשי הישרים ‪ AD‬ו‪ BC -‬הוא‬
‫מעגל ומצא את רדיוסו‪.‬‬
‫‪ )2‬נתונים שני מישורים מקבילים שהמרחק ביניהם הוא ‪.4‬‬
‫מישור אחד עובר בנקודות‪ A  0, 0, 2  :‬ו‪ , B 1, 0,1 -‬והמישור השני עובר‬
‫בנקודה ‪ . C  0,0, 4 ‬מצא את משוואות המישורים‪.‬‬
‫‪ )3‬נתונה המשוואה ‪ a , b , c ( z 3  az 2  bz  c  0‬ממשיים)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬אם ‪ z‬פתרון של המשוואה אז גם ‪ z‬פתרון של המשוואה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הסתמך על סעיף א' והוכח שאם ‪ z  cis‬פתרון של המשוואה אז מתקיים‪:‬‬
‫‪. cos3  a cos 2  b cos  c  0 .1‬‬
‫‪. 1  a cos  b cos 2  c cos3  0 .2‬‬
‫‪7‬‬
‫פרק שני – גדילה ודעיכה‪ ,‬פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות‬
‫( ‪ 33 1‬נקודות)‬
‫‪3‬‬
‫ענה על אחת מהשאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ )4‬המדינות אוקיאניה ואיראסיה נוסדו בשנת ‪.1984‬‬
‫עם היווסדה של אוקיאניה בתאריך ‪ 01/01/1984‬נמנו בה ‪ 50K‬תושבים‪.‬‬
‫לפניך פונקציה ‪ f  x   k  22 x  15  2x  64 ‬המתארת את גודל אוכלוסיית מדינה זו‬
‫כתלות בזמן ‪ x‬הנמדד בשנים‪.‬‬
‫עם היווסדה של איראסיה‪ ,‬גם כן בתאריך ‪ 01/01/1984‬נמנו בה ‪ 5K‬תושבים‪.‬‬
‫ידוע כי אוכלוסיית מדינה זו גדלה פי ‪ 2‬בכל שנה‪.‬‬
‫א‪ .‬רשום פונקציה ‪ g  x ‬המתארת את גודל אוכלוסיית איראסיה כתלות‬
‫בזמן ‪ x‬הנמדד בשנים‪.‬‬
‫ב‪ .‬באילו תאריכים היה שווה מספר האוכלוסיות של שתי המדינות?‬
‫ג‪ .‬באילו תאריכים עלה מספר תושביה של איראסיה על זה של אוקיאניה?‬
‫ד‪ .‬מה היה ההפרש הגדול ביותר בין מספר תושבי שתי המדינות מאז היווסדן בתאריך‬
‫‪ 01/01/1984‬ועד ‪ ?01/01/1988‬מצא את שתי האפשרויות‪.‬‬
‫(תוכל לעגל את תשובתך ל‪ 2-‬ספרות אחרי הנקודה העשרונית)‪.‬‬
‫‪ )5‬הנגזרת של הפונקציה‪ f  x    a  x  e x :‬היא‪ a , f '  x    b  x  e x :‬ו‪ b -‬פרמטרים‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי‪. a  b  1 :‬‬
‫ב‪ .‬מגדירים את הפונקציה הבאה‪. g  x   ln  f  x   f '  x   :‬‬
‫‪ .1‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ‪? g‬‬
‫‪ .2‬כתוב מפורשות את )‪. g ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬נתונה המשוואה‪ a  2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  f '  x   g  x   dx  2e‬‬
‫‪0‬‬
‫חשב את הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫‪8‬‬
‫בחינה מספר ‪4‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – גיאומטריה אנליטית‪ ,‬וקטורים‪ ,‬טריגונומטריה‬
‫במרחב‪ ,‬מספרים מרוכבים ( ‪ 66 2‬נקודות)‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‬
‫‪3‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ 33‬נקודות)‪.‬‬
‫‪ )1‬המשולש ‪ ABC‬נמצא כולו ברביע הראשון‪ .‬הקדקוד ‪ A‬של המשולש מונח על‬
‫הישר ‪ , y  x  6‬הקדקוד ‪ B‬מונח על הישר ‪ y  2 x‬והקדקוד ‪ C‬מונח על‬
‫הישר ‪ . y  3x  2‬הנקודה ‪ M  2,5‬היא מרכז הכובד של המשולש ושטחו‬
‫שווה ל‪ 3 / 2 -‬יחידות שטח‪.‬‬
‫א‪ .‬סמן‪ xA  a , xB  b , xC  c :‬והבע את קודקודי המשולש ‪ABC‬‬
‫באמצעות‪. a , b , c :‬‬
‫ב‪ .‬חשב את קודקודי המשולש‪ a , b , c ( .‬הם מספרים שלמים)‪.‬‬
‫‪ )2‬נתון טרפז ‪ ABCD‬שבו הבסיס התחתון ‪ DC‬גדול פי ‪ 1.5‬מהבסיס העליון ‪. AB‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכח‪. 3  AB  2  AD  BC  2  AC  BD :‬‬
‫‪ )3‬נתונה המשוואה‪  3m  1 z  1  0 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . i  Im  m   m‬הנח כי ‪ m‬פרמטר מרוכב‪.‬‬
‫א‪ .‬נתון כי למשוואה הנתונה יש פתרון יחיד‪ ,‬הראה כי ‪ m‬ממשי וחשב אותו‬
‫(מצא את ‪ 2‬האפשרויות)‪.‬‬
‫ב‪ .‬עבור כל אחד מערכי ‪ m‬שמצאת בסעיף א' חשב את הפתרון היחיד של המשוואה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫סמן את שני הפתרונות היחידים שמצאת בסעיף הקודם ב ‪z1 , z2 -‬‬
‫ומצא את ‪z1Oz2‬‬
‫( ‪ O‬ראשית הצירים במישור גאוס)‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫פרק שני – גדילה ודעיכה‪ ,‬פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות‬
‫( ‪ 33 1‬נקודות)‬
‫‪3‬‬
‫ענה על אחת מהשאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ )4‬קרן אור א' שעוצמתה ‪ N‬יחידות פוטומטריות‪ ,‬העוברת דרך לוח זכוכית מסוג ‪X‬‬
‫מאבדת ‪ 20%‬מעוצמתה‪.‬‬
‫קרן אור ב' שעוצמתה ‪ 16N‬יחידות פוטומטריות‪ ,‬העוברת דרך לוח זכוכית מסוג ‪Y‬‬
‫מאבדת ‪ 60%‬מעוצמתה‪ .‬הנח דעיכה מעריכית וענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬קרן אור א' עוברת דרך ‪ K‬לוחות זכוכית מסוג ‪ X‬וקרן אור ב' עוברת דרך ‪K‬‬
‫לוחות זכוכית מסוג ‪ . Y‬שתי קרני האור היוצאות שוות בעוצמתן‪ .‬מצא את ‪. K‬‬
‫ב‪ .‬בשלב מסוים נשברו כל לוחות הזכוכית מסוג ‪ Y‬ונותרו רק לוחות זכוכית מסוג ‪. X‬‬
‫מהו המספר המינימלי של לוחות מסוג ‪ X‬שדרכן תעבור קרן אור ב' כדי שתאבד‬
‫מעוצמתה לפחות אותה עוצמת אור שהייתה מאבדת אילו עברה דרך לוח זכוכית‬
‫אחד מסוג ‪? Y‬‬
‫‪ )5‬לפניך גרף הפונקציה‪ f  x   cot x :‬בתחום‪. 0  x   :‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה בתחום הנתון?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫ציר ה‪ x -‬והישר‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪( x ‬ראה איור)‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫ד‪.‬‬
‫נתונה המשוואה‪ cot xdx  0 :‬‬
‫; ‪.0 t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫חשב את ‪. t‬‬
‫‪10‬‬
‫בחינה מספר ‪5‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון – גיאומטריה אנליטית‪ ,‬וקטורים‪ ,‬טריגונומטריה‬
‫במרחב‪ ,‬מספרים מרוכבים ( ‪ 66 2‬נקודות)‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 1-3‬לכל שאלה –‬
‫‪3‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ 33‬נקודות)‪.‬‬
‫‪ )1‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי אם‪ :‬הישר ‪ y  mx  n‬משיק לפרבולה‪,  p , m , n  0  , y  2 px :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫אז‪:‬‬
‫‪2m‬‬
‫ב‪ .‬הוכח שמשוואת המשיק המשותף לפרבולה הקנונית ‪ y 2  4 x‬ולפרבולה ‪y  16 x 2‬‬
‫היא‪. 16 x  4 y  1  0 :‬‬
‫‪.n ‬‬
‫‪ )2‬הישר ‪ l1‬עובר בנקודה ‪ , A  0, 0,1‬יוצר זווית ‪ 60‬עם ציר ה‪ z -‬וחותך את‬
‫המישור ‪ z  0‬בנקודות ‪. P  x, y, z ‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המקום הגיאומטרי של הנקודות ‪. P‬‬
‫ב‪ .‬הנקודות ‪ P2 , P1‬ו‪ P3 -‬נמצאות על המקום הגיאומטרי שמצאת בסעיף א ויוצרות‬
‫משולש שווה צלעות ‪ . P1P2 P3‬חשב את שטח הפנים של הטטראדר ‪. AP1P2 P3‬‬
‫‪ )3‬נתונים שלושה מקומות גיאומטריים‪ Im  z 2   0 , Re  z 2   0 :‬ו‪. z  k -‬‬
‫נקודות החיתוך בין המקומות הגיאומטריים מייצגות מספרים מרוכבים במישור גאוס‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את המשוואה שמספרים אלו הם כל הפתרונות שלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח שסכום הפתרונות האלו שווה ל‪.0-‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את שטח המצולע המתקבל מחיבור כל הנקודות‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫פרק שני – גדילה ודעיכה‪ ,‬פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות‬
‫( ‪ 33 1‬נקודות)‬
‫‪3‬‬
‫ענה על אחת מהשאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ )4‬לפניך המשוואה ‪ y 2  2 px‬והפונקציה‬
‫‪2p‬‬
‫‪. p  0 , f  x ‬‬
‫א‪ .‬הסבר מדוע המשוואה ‪ y 2  2 px‬איננה פונקציה של ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬מהמשוואה ‪ y 2  2 px‬ניתן ליצור שתי פונקציות שונות‪ g  x  ,‬ו‪h  x  -‬‬
‫המקיימות לכל ‪ . g  x   h  x : x‬רשום את שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ג‪ .‬הבע (במידת הצורך באמצעות ‪ ) p‬את פתרונות המשוואה‪. f  x   g  x  :‬‬
‫ד‪ .‬הבע באמצעות ‪ p‬את פתרון אי‪-‬השוויון‪. f  x   g  x  :‬‬
‫ה‪ .‬ידוע כי רק אם‪:‬‬
‫‪ 0  x  2e2‬אז מתקיים‪ g  x   f  x   dx  0 :‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫מצא את ‪ . p‬נמק‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בתשובותיך תוכל להיעזר במידת הצורך בשרטוטים מתאימים לתיאור הבעיה‪.‬‬
‫‪ )5‬הפונקציה ‪ f  x ‬היא פונקציה זוגית‪ ,‬נגזרתה ‪ f '  x ‬היא פונקציה אי זוגית‪ ,‬והנגזרת‬
‫השנייה ‪ f ''  x ‬היא פונקציה זוגית‪ .‬המוגדרות כולן לכל ‪. x‬‬
‫הסתמך על האיור הבא וענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬התאם לכל פונקציה גרף מתאים‬
‫מבין הגרפים ‪ II , I‬ו‪ . III -‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. f ''  0   e  f '  0  :‬‬
‫מבין כל המשיקים לגרף פונקציית הנגזרת מצא‬
‫את משוואת המשיק ששיפועו מינימלי‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נתון‪ f " x   f '  x   dx  0 :‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ x0‬‬
‫‪ .1‬הראה כי ‪. f '  x0   0‬‬
‫‪ .2‬הבע באמצעות ‪ x0‬את תחומי העלייה והירידה‬
‫של ‪ f  x ‬בתחום ‪.  x0  x  x0‬‬
‫‪x0 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫ד‪ .‬חשב את האינטגרל המסוים‪.   f '  x    dx :‬‬
‫‪ x0‬‬
‫‪ax ‬‬
‫‪‬‬
‫‪12‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫בחינה ‪:1‬‬
‫‪ )1‬א‪ .‬ע"פ ההגדרה‪" :‬אוסף כל הנקודות הנמצאות במרחק שווה מנקודה נתונה הוא מעגל"‪.‬‬
‫המשוואה הנתונה מתארת את הגודל הקבוע ‪ R‬שהוא מרחק‬
‫הנקודות ‪ z‬מהנקודה‪. z1  1 :‬‬
‫ב‪ .‬ע"פ ההגדרה‪" :‬אוסף כל הנקודות הנמצאות במרחק שווה מנקודה נתונה ומישר‬
‫נתון הוא פרבולה"‪ .‬המשוואה הנתונה מתארת שוויון בין שני מרחקים‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫האחד הוא מרחק הנקודות ‪ z‬מהנקודה הקבועה ‪ z1 ‬והאחר הוא מרחק‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫הנקודות ‪ z‬מהישר‪. x   :‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬משוואת המעגל‪ ,  x  1  y 2  R 2 :‬משוואת הפרבולה‪. y 2  2 px :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )2‬א‪ .‬אחד מן הישרים הבאים‪:‬‬
‫‪l1 : x  1, 3,5  t 1, 0, 1 , l2 : x  1, 6, 4   t 1, 0, 1‬‬
‫‪l3 : x  1, 6, 2   t 1, 0, 1 , l4 : x  1,3, 7   t 1, 0, 1‬‬
‫ב‪ .‬ארבעה‪.‬‬
‫ג‪x  z  0 .1 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )3‬א‪ 3u  v  w , AK   u  v  w .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )4‬א‪f  x   ne x .‬‬
‫ב‪g  x   ne x .‬‬
‫‪ )5‬א‪f  x   e x .‬‬
‫ג‪e2  3 .‬‬
‫ג‪. k  1 , k  1 .2 .‬‬
‫‪BL ‬‬
‫‪AM BM 3‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬‬
‫‪MK ML 1‬‬
‫ג‪ln  e x  e x   C .‬‬
‫‪.‬‬
‫ד‪. n  e10 .‬‬
‫‪ e4 19 ‬‬
‫ד‪     .‬יח"נ‪.‬‬
‫‪2 6‬‬
‫בחינה ‪:2‬‬
‫‪ )1‬ב‪4a 2 .‬‬
‫ג‪c  0 ,  5  c  5 .‬‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪ 1 , S  0, 0, 4  .‬‬
‫‪25 9‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )2‬א‪ 1 .‬‬
‫‪4 2  2‬‬
‫משתי נקודות נתונות שווה לגודל קבוע הוא אליפסה"‪ .‬המשוואה הנתונה מתארת סכום‬
‫של שני מרחקים (הנתונים בערך מוחלט) השווים לגודל קבוע שהוא ‪ .4π‬המרחק הראשון‬
‫ב‪ .‬ע"פ ההגדרה‪" :‬אוסף כל הנקודות אשר סכום מרחקיהן‬
‫הוא מרחק הנקודות ‪ z‬מהנקודה ‪ z1   3‬והמרחק השני הוא מרחק הנקודות ‪z‬‬
‫מהנקודה ‪. z2  3‬‬
‫‪3 3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )3‬א‪x  s  2,1, 1 , x  r 1, 2,1 .‬‬
‫‪. n2  16 , n1  1 )4‬‬
‫‪13‬‬
‫‪ S ‬יח"ש‪.‬‬
‫‪.‬‬
1
: III ‫ גרף‬. f  x   ln x : II ‫ גרף‬. g  x   x : I ‫ גרף‬.‫) א‬5
x
e2  1 .‫ ג‬.‫ איננה מופיעה בשרטוט‬h  x   x  ln x  1 ‫הפונקציה‬
. f ' x 
. 1  ln 2 .‫ד‬
:3 ‫בחינה‬
. R  2 ,  x  1   y  2   4 )1
2
2
. 1 : 2 x  y  2 z - 4  0 ,  2 : 2 x  y  2 z  8  0 :'‫) אפשרות א‬2
. 1 : 2 x  y  2 z  4  0 ,  2 : 2 x  y  2 z  8  0 :'‫אפשרות ב‬
.01/01/1988 :‫ ובתאריך‬01/01/1986 :‫ בתאריך‬.‫ב‬
.‫) הוכחות‬3
g  x   5K  2x .‫) א‬4
01/01/1988 ‫ ולפני‬01/01/1986 ‫ לאחר‬.‫ג‬
.‫ תושבים‬36K ‫ תושבים או‬45K .‫ד‬
. a  4 , b  3 .‫ג‬
g  x   x .2 .‫ב‬
x ‫ כל‬.1 .‫) ב‬5
:4 ‫בחינה‬
A  3,9  , B 1, 2  , C  2, 4  .‫ב‬
A  a, a  6  , B  b, 2b  , C  c,3c  2  .‫) א‬1
.‫) הוכחה‬2
1
. z  1 :‫ פתרון המשוואה הוא‬m1  1 :‫ עבור‬.‫ב‬
m1  1 , m2   .‫) א‬3
5
1
. 180 .‫ ג‬z  5 :‫ פתרון המשוואה הוא‬m2   :‫עבור‬
5
K  4 .‫) א‬4
.5 .‫ב‬
.‫ יח"ש‬S  ln 2  0.347 .‫ג‬
 
 , 0  .‫ב‬
2 
. 0  x   .‫) א‬5
. t1 
14

4
, t2 
3
.‫ד‬
4
‫בחינה ‪:5‬‬
‫‪ )1‬הוכחות‪.‬‬
‫‪ )2‬א‪x  y  3 .‬‬
‫ב‪ 9.85 .‬יחידות שטח‪.‬‬
‫‪ )3‬א‪z 8  k 8 .‬‬
‫ג‪ S  2 2k 2 .‬יחידות שטח‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )4‬א‪ .‬למשוואה ‪ , y 2  2 px‬לכל ‪ x‬בת‪.‬ה‪ .‬ישנם ‪ 2‬פתרונות ל‪, y -‬‬
‫בניגוד להגדרת המושג פונקציה‪.‬‬
‫ב‪ g  x    2 px , h  x    2 px .‬ג‪.  0,0  ,  2 p, 2 p  .‬‬
‫ה‪. p  e2 .‬‬
‫ד‪. 0  x  2 p .‬‬
‫‪ )5‬א‪ .‬גרף ‪ , f ''  x  : I‬גרף ‪ . f '  x  : II‬גרף ‪f  x  : III‬‬
‫ג‪ .1 .‬הוכחה ‪ .2‬עליה‪ .  x0  x  0 :‬ירידה‪. 0  x  x0 :‬‬
‫‪x0 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫ד‪.   f '  x    dx  0 .‬‬
‫‪ x0‬‬
‫‪ax ‬‬
‫‪‬‬
‫‪15‬‬
‫ב‪. y  ex .‬‬