‫אורט בראודה‬ ‫משוואות דיפרנציאליות ב‬ ‫גידול ודעיכה אקספוננציאלית‬ ‫‪)1‬‬ ‫גידול אוכלוסיות חיות‪-‬בית‬ ‫במחקר שנערך בארה"ב העריכו את שיעור הגידול של אוכלוסיות הכלבים והחתולים‪ ,‬בעזרת סקר‬ ‫שכלל ‪ 7399‬בעלי חיות‪-‬בית‪ .‬הטבלה הבאה מציגה את תוצאות המחקר‪:‬‬ ‫חתולים‬ ‫כלבים‬ ‫ילודה‪ :‬מספר גורים ל‪ 100-‬חיות לשנה‬ ‫‪11.2‬‬ ‫‪11.4‬‬ ‫תמותה‪ :‬מספר מיתות ל‪ 100-‬חיות לשנה‬ ‫‪8.3‬‬ ‫‪7.9‬‬ ‫על פי נתוני האגודה האמריקאית של יצרני מוצרים לחיות בית מ‪ ,2012-‬מספר החתולים בארה"ב‬ ‫הוא ‪ 95.6‬מליון‪ ,‬ומספר הכלבים ‪ 83.3‬מליון‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫מהו שיעור הגידול של אוכלוסיית החתולים ושל אוכלוסיית הכלבים‪.‬‬ ‫כתבו ופתרו משוואות דיפרנציאליות‪ ,‬עם תנאי התחלה מתאימים‪ ,‬עבור גדלי האוכלוסיות‪.‬‬ ‫פתרו את המשוואות כדי לקבל תחזית לגבי מספר חיות הבית בעשורים הקרובים‪ .‬מה יהיה‬ ‫גודל אוכלוסיות החתולים והכלבים בשנת ‪?2040 ?2030 ?2020‬‬ ‫מהו זמן ההכפלה של אוכלוסיות אלו?‬ ‫"התפוצצות" האוכלוסיה של חיות הבית מביאה לתופעה נרחבת של נטישת חיות‪ .‬מה ניתן‬ ‫לעשות כדי להתמודד עם הבעיה?‬ ‫מקורות‪:‬‬ ‫‪New, Jr, John C., et al. "Birth and death rate estimates of cats and dogs in US households‬‬ ‫‪and related factors." Journal of Applied Animal Welfare Science 7.4 (2004): 229-241.‬‬ ‫אתר אגודת צער בעלי‪-‬חיים בארה"ב‪:‬‬ ‫‪http://www.humanesociety.org/issues/pet_overpopulation/facts/pet_ownership_statistics.‬‬ ‫‪html‬‬ ‫‪ )2‬גידול אוכלוסיית בני האדם‬ ‫על פי נתוני האו"ם‪ ,‬אוכלוסיית העולם הגיעה ל‪ 6-‬מיליארד בשנת ‪ ,1999‬וקצב הגידול של‬ ‫האוכלוסייה היה באותו זמן ‪ 212,000‬בני אדם ליום‪.‬‬ ‫א‪- .‬‬ ‫‪-‬‬ ‫מה היה קצב הגידול השנתי של ב‪?1999-‬‬ ‫מה היה שיעור הגידול השנתי של האוכלוסיה ב‪?1999-‬‬ ‫ב‪ .‬בהנחה ששיעור הגידול השנתי נשאר קבוע‪ ,‬כתבו משוואה דיפרנציאלית שתתאר‬ ‫את גודל האוכלוסייה העולמית ) ‪ P(t‬בזמן ‪( t‬בשנים)‪ ,‬מצאו פתרון וענו על השאלות‬ ‫הבאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫כמה בני אדם צריכים להיות היום בעולם?‬ ‫השוו את תשובתכם להערכות העכשוויות על אוכלוסיית העולם‪:‬‬ ‫‪/http://www.worldometers.info/world-population‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫כמה בני אדם יהיו בעולם בשנת ‪?2050‬‬ ‫מתי תגיע אוכלוסיית העולם ל‪ 60-‬מיליארד בני אדם?‬ ‫‪ )3‬קינטיקה כימית מסדר ראשון‬ ‫חומצה אצטואצטית מתפרקת לאצטון ולפחמן דו‪-‬חמצני‬ ‫‪CH3COCH 2COOH  CH3COCH 3  CO2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ k  5 10‬לדקה (כלומר בכל דקה מתפרקת ‪0.5%‬‬ ‫בטמפרטורת החדר‪ ,‬קבוע הריאקציה הוא‬ ‫מהחומצה האצטואצטית)‪.‬‬ ‫בהתחלה היתה לנו תמיסה של חומצה אצטואצטית במים‪ ,‬בריכוז ‪ 0.15‬מולר (מול לליטר)‪.‬‬ ‫כתבו ופתרו משוואה דיפרנציאלית עם תנאי התחלה מתאימים‪ ,‬וענו על השאלות הבאות‪:‬‬ ‫א‪ .‬מהו ריכוז החומצה האצטואצטית שתישאר אחרי ‪ 5‬שעות?‬ ‫ב‪ .‬כעבור כמה זמן יהיה ריכוז האצטון בתמיסה ‪ 0.1‬מולר?‬ ‫ג‪ .‬מהו זמן מחצית החיים של התגובה (הזמן שבו תתפרק מחצית מכמות החומצה‬ ‫האצטואצטית)‪.‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫תרופה בדם‬ ‫כאשר נוטלים תרופה‪ ,‬החומר הפעיל מתפזר בדם‪ ,‬ומסולק בהדרגה על ידי הכליות והכבד‪.‬‬ ‫קצב הסילוק (כמות התרופה המסולקת ליחידת זמן) פרופורציונאלי לריכוז התרופה הנוכחי בדם‪,‬‬ ‫כלומר שיעור סילוק התרופה (אחוז התרופה המסולק ליחידת זמן) הוא קבוע (אבל משתנה מתרופה‬ ‫לתרופה)‪.‬‬ ‫א‪ .‬נניח שתרופה מסולקת בשיעור של ‪ 10%‬לשעה‪ .‬אדם נטל גלולה ובה ‪ 200‬מ"ג חומר פעיל‪.‬‬ ‫כתבו משוואה דיפרנציאלית עבור כמות התרופה ) ‪ x(t‬בדמו במהלך הזמן‪ .‬פתרו אותה‬ ‫וסרטטו בקירוב את הפתרון‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מהו זמן מחצית החיים ‪ - t 1‬הזמן שבו יורדת כמות התרופה בגוף למחצית מהמינון שניטל?‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪ .‬למען יעילות הטיפול חשוב שריכוז החומר הפעיל בדם יהיה לפחות ‪ 30‬מ"ג לליטר דם‪ ,‬וכדי‬ ‫למנוע הרעלה אסור שהריכוז יעלה על ‪ 50‬מ"ג לליטר דם‪ .‬נפח הדם הממוצע של אדם בוגר‬ ‫הוא ‪ 5‬ליטר‪.‬‬ ‫אם בהתחלה נוטלים גלולה של ‪ 200‬מ"ג‪ ,‬מתי תמליצו לקחת את המנה השניה של‬ ‫התרופה‪ ,‬ומהו המינון שתמליצו עליו?‬ ‫‪)5‬‬ ‫ורפארין היא תרופה המעכבת קרישת דם‪ ,‬אשר ניתנת לחולים הנמצאים בסיכון לחסימת‬ ‫עורק או וריד על‪-‬ידי קריש דם‪ .‬לאחר הפסקת מתן התרופה‪ ,‬הכמות הנותרת בדמו של‬ ‫המטופל דועכת בשיעור קבוע (כלומר בקצב שפרופורציונאלי לכמות התרופה הנוכחית)‪.‬‬ ‫זמן מחצית‪-‬החיים של התרופה בדם הוא ‪ 37‬שעות‪.‬‬ ‫א‪ .‬סרטטו גרף של כמות התרופה בדם כנגד הזמן מאז הפסקת מתן התרופה‪ .‬סמנו את‬ ‫הנקודה המתאימה ל‪ 37-‬שעות על הגרף שלכם‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כתבו משוואה דיפרנציאלית עבור כמות התרופה בדם‪.‬‬ ‫ג‪ .‬כעבור כמה ימים מהפסקת מתן התרופה תרד כמות התרופה בגוף ל‪ 25%-‬מהכמות‬ ‫ההתחלתית? ל‪ 10%-‬מהכמות ההתחלתית‪.‬‬ ‫ניקוי אקווריום‬ ‫‪)6‬‬ ‫אקווריום מכיל ‪ 100‬ליטר מים ובהם חומר מזהם בריכוז של ‪ 5‬גרם לליטר‪.‬‬ ‫כדי לנקות את האקווריום‪ ,‬שואבים ממנו מים בקצב של ‪ 2‬ליטר לדקה‪ ,‬ובאותו זמן שופכים לתוכו מים‬ ‫נקיים‪ ,‬באותו קצב‪.‬‬ ‫המים באקווריום מעורבבים היטב כל הזמן‪.‬‬ ‫א‪ .‬כתבו משוואה דיפרנציאלית עבור הפונקציה ) ‪ x(t‬המתארת את כמות החומר המזהם‬ ‫באקווריום בזמן ‪ , t‬ותנאי התחלה מתאים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬פתרו את המשוואה הדיפרנציאלית‪ ,‬וסרטטו סקיצה של הגרף של הפתרון‪.‬‬ ‫ג‪ .‬אם רמת הזיהום שרוצים להגיע אליה היא לא יותר מ‪ 0.5-‬גרם לליטר‪ ,‬כמה זמן צריך‬ ‫להמשיך בתהליך? כמה מים נשפוך אל תוך האקווריום עד אז?‬ ‫‪)7‬‬ ‫גידול אקספוננציאלי בשיעור משתנה‪-‬עונתית‬ ‫בעלי חיים רבים מתרבים רק בעונה מסוימת בשנה‪ ,‬וקצב התמותה גם הוא משתנה בהתאם‬ ‫לעונה בגלל תנאי מזג האוויר‪ .‬נוכל לתאר אוכלוסיה כזו על‪-‬ידי קצב גידול מחזורי‪-‬בזמן בעל מחזור‬ ‫של שנה‪ ,‬כלומר‬ ‫) ‪P '(t )  r (t ) P(t‬‬ ‫) ‪P(t‬‬ ‫כאשר‬ ‫גודל האוכלוסיה בזמן‬ ‫‪t‬‬ ‫(בשנים)‬ ‫) ‪ r (t‬היא פונקציה מחזורית בעלת מחזור של שנה אחת ( ) ‪r (t  1)  r (t‬‬ ‫לכל ‪,) t‬‬ ‫המתארת את שיעור הריבוי בזמן ‪. t‬‬ ‫ניקח‪ ,‬לדוגמה‪,‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪r0‬‬ ‫)) ‪r (t )  r0 (1   sin(2 t‬‬ ‫הוא קצב הגידול הממוצע‪ ,‬ו‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫הוא חוזק התנודות העונתיות של שיעור הריבוי (מדוע ה‪-‬‬ ‫‪)? 2‬‬ ‫פתרו את המשוואה הדיפרנציאלית‪ ,‬ותארו את התנהגות הפתרונות‪.‬‬